人教版数学五年级下册：8 数学广角——找次品 课件(共19张PPT)
找次品
有27枚金币，其中有1枚 是假金币（比真金币轻一 些），你能3次找出假金 币吗？
例1 这里有5瓶健胃消食片，其中一瓶少了3 粒，你能想办法把它找出来吗？
健胃消 食
2
健胃消 食
1
健胃消 食
3
健胃消 食
5
健胃消 食
4
健胃消 食
1
健胃消 食
2
健胃消 食
5
健胃消 食
3
健胃消 食
4
健胃消 食
1
健胃消 食
2Hale Waihona Puke 健胃消 食5健胃消 食
3
健胃消 食
4
1
2
1
2
例2 在9个零件里有1个是次品（次品 重一些），用天平称，至少称几次就 一定能找出次品来？
要求： （1）每组中安排1人用两手表示天平的托盘，用 圆 片表示零件，模拟实验过程。 （2）剩余同学画图记录，并分析称的情况。
（3）看看用这种分法保证找到次品需要称几次。
关系（只含一个次品，已知次品比正品重或轻。）
要辨别的物品数目
2~3 4~9 10~27 28~81 82~243 ……
保证能找出次品需要的次数
1 2 3 4 5 ……
布置作业：
1、教材练习题1、2、3 2、小组合作，找出数学小用具中的次品 3、总结概括，发现自己最喜欢的找次品方法
谢谢大家！
比一比哪那些同学合作得最好，分析得快并有条理。
找次品的最优策略： 一是把待测物品分成3份，二是要分
得尽量平均，能够均分的就平均分，不能 均分的，也应该使多的一份与少的一份只 相差1。
有27枚金币，其中有1枚 是假金币（比真金币轻一 些），你能3次找出假金 币吗？
你知道吗？用天平找次品时，所测物品数目与测试的次数有以下
人教版五年级数学——“找次品”
• 设计意图：
通过播放一段与本课知识点有关的小视频，把学生 们的注意力集中到课堂中来，视频的播放过程中潜移默 化的铺垫出本课的知识，视频播放完之后，老师简单叙 述视频中的事件并谈话引导，让学生体会到视频中的数 学知识，以此引出本课课题——找次品。然后通过一系 列的课件呈现、教师引导、学生探究讨论、小组活动等 形式在师生互动的过程中学习本课的知识，掌握其中的 方式方法，形成数学思维，养成用数学知识解决生活中 的小问题的习惯。
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人教版五年级下数学广角找次品优秀课件
小学数学五年级下册
单位：实验小学 姓名：潘聪聪
这里有3瓶口香糖，其中有一瓶少了3 片，你能用什么办法把它找出来吗？
平衡
次数：1次
不平衡
在生活中常常有这样的情况，在一些
看似完全相同的物品中混着一个质量不同 (轻一点或是重一点)的物品，需要想办法把 它找出来，像这一类问题我们把它叫做 “找次品”，这节课我们就来当小小质检 员一起来研究如何利用天平“找次品”。
华罗庚
善于“退”,足 够的”退”。退 到最原始而又不 失去重要性的地 方，是学好数学 的一个诀窍。
5瓶口香糖，有一瓶少了几粒，用天平称 至少称几次能保证找出这瓶次品？
（推想）
平衡
不平衡
次数：2次
5瓶口香糖，有1瓶少了几粒，用天平称 至少称几次能保证找出这瓶次品？
3瓶还要1次ຫໍສະໝຸດ （推想）平衡次数：2次
次品？
12（4，4，4）→4（2，2） →2（1，1）
27瓶口香糖，有1瓶少了几粒，用天平称
至少称几次能保证找出这瓶次品？
27（9，9，9） 9（3，3，3） 3（1,1,1）
3次
81瓶呢？ 81（27，27，27） 27
4次
243瓶呢？ 243（81，81，81） 81
729瓶呢？
5次 6次
待测数量扩大3倍， 次数就增加1次。
不平衡
9瓶口香糖，有1瓶少了几粒，用天平称 至少称几次能保证找出这瓶次品？
9瓶
（推想）
平衡
不平衡
次数：3次
9瓶口香糖，有1瓶少了几粒，用天平称 至少称几次能保证找出这瓶次品？
平衡
9瓶
（推想） 不平衡
3瓶还要1次
次数：2次
3瓶还要1次
单位：实验小学 姓名：潘聪聪
这里有3瓶口香糖，其中有一瓶少了3 片，你能用什么办法把它找出来吗？
平衡
次数：1次
不平衡
在生活中常常有这样的情况，在一些
看似完全相同的物品中混着一个质量不同 (轻一点或是重一点)的物品，需要想办法把 它找出来，像这一类问题我们把它叫做 “找次品”，这节课我们就来当小小质检 员一起来研究如何利用天平“找次品”。
华罗庚
善于“退”,足 够的”退”。退 到最原始而又不 失去重要性的地 方，是学好数学 的一个诀窍。
5瓶口香糖，有一瓶少了几粒，用天平称 至少称几次能保证找出这瓶次品？
（推想）
平衡
不平衡
次数：2次
5瓶口香糖，有1瓶少了几粒，用天平称 至少称几次能保证找出这瓶次品？
3瓶还要1次ຫໍສະໝຸດ （推想）平衡次数：2次
次品？
12（4，4，4）→4（2，2） →2（1，1）
27瓶口香糖，有1瓶少了几粒，用天平称
至少称几次能保证找出这瓶次品？
27（9，9，9） 9（3，3，3） 3（1,1,1）
3次
81瓶呢？ 81（27，27，27） 27
4次
243瓶呢？ 243（81，81，81） 81
729瓶呢？
5次 6次
待测数量扩大3倍， 次数就增加1次。
不平衡
9瓶口香糖，有1瓶少了几粒，用天平称 至少称几次能保证找出这瓶次品？
9瓶
（推想）
平衡
不平衡
次数：3次
9瓶口香糖，有1瓶少了几粒，用天平称 至少称几次能保证找出这瓶次品？
平衡
9瓶
（推想） 不平衡
3瓶还要1次
次数：2次
3瓶还要1次
五年级下册数学课件 .数学广角——找次品 人教版 (共15张PPT)
瓶盐水？
4次
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随堂练习
1 5瓶钙片中有1瓶是次品（轻一些），完成下面找次品的过程。
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新知导入
试一试
根据天平的情况，试着对这几种物品的重量进行排序。
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课程讲授
做一做：
次品
你还有别的办法吗？
将剩余的零件进行称量，较重的一个就是次品。 这样称量，最少称量两次就能找到次品。
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课程讲分，用天平称量，天平向下倾斜的一端（4个）有 次品，再次将这部分零件等分称量，天平向下倾斜的一端（2个） 有次品，将剩余的零件进行称量，较重的一个就是次品。
1
2
平衡。 不平衡，轻的是次品。
至少要称___1__次。
4次
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随堂练习
1 5瓶钙片中有1瓶是次品（轻一些），完成下面找次品的过程。
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新知导入
试一试
根据天平的情况，试着对这几种物品的重量进行排序。
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课程讲授
做一做：
次品
你还有别的办法吗？
将剩余的零件进行称量，较重的一个就是次品。 这样称量，最少称量两次就能找到次品。
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课程讲分，用天平称量，天平向下倾斜的一端（4个）有 次品，再次将这部分零件等分称量，天平向下倾斜的一端（2个） 有次品，将剩余的零件进行称量，较重的一个就是次品。
1
2
平衡。 不平衡，轻的是次品。
至少要称___1__次。
人教版数学五年级下册：8 数学广角——找次品 课件(共43张PPT)
你能设法把它找出来吗？
还可以倒出来数
我用手掂了掂， 掂不出来。
可以用天 平称一称。
你能想办法用天平称找到次品吗？ 并清楚地把过程表示出来，试一试看。
我用 表示钙片。
可以这样记录。
平衡，剩下的
是次品。
平衡，剩下的
是次品。
不平衡， 中轻的是次品。
需要称 1次
用天平从3个外形相同的物品中找其中1个次 品的方法.
平衡
7个零件至少称2次
不平衡
平衡 在余下的3个里 再称1次
不平衡
再称1次
平衡 在余下的5个里 再称2次
不平衡
再称1次
零件个数
分的份数与 每份的个数
3(1，1，7) 9
9
3(3，3，3)
9
3(2，2，5)
保证能找出 次品需要称的次数
3
2 3
观察实验记录，你能发现什么?
平 衡 3(1，1，1）
2 次。 (3)你能称 2 次就保证把它找出来吗?
能。将 9 筐分成 3 份(3，3，3)，①天平两边分别放 3 筐，若天 平平衡，则轻的一筐在剩余的三筐中。② 再从剩余三筐中取两 筐，分别放在天平两盘中各一筐，若分出轻重，则放在轻的一 边的一筐即为小松树吃的那一筐；若天平仍平衡，则剩余的一 筐即为小松鼠吃的那一筐。若第①步天平不平衡，则从较轻的 三筐中取两筐，操作如②。
先任取其中2个物品， 如果天平平衡，次品是剩下的一个， 如果天平不平衡，次品是称的两个中的一个 （根据次品的特点轻重确定）。 称一次就能找到次品
2 8个零件里有1个是次品（次品重一些）。假如用天平
称，至少称几次就保证一定能找出次品？
“至少称几次能 保证……”是什么 意思。
还可以倒出来数
我用手掂了掂， 掂不出来。
可以用天 平称一称。
你能想办法用天平称找到次品吗？ 并清楚地把过程表示出来，试一试看。
我用 表示钙片。
可以这样记录。
平衡，剩下的
是次品。
平衡，剩下的
是次品。
不平衡， 中轻的是次品。
需要称 1次
用天平从3个外形相同的物品中找其中1个次 品的方法.
平衡
7个零件至少称2次
不平衡
平衡 在余下的3个里 再称1次
不平衡
再称1次
平衡 在余下的5个里 再称2次
不平衡
再称1次
零件个数
分的份数与 每份的个数
3(1，1，7) 9
9
3(3，3，3)
9
3(2，2，5)
保证能找出 次品需要称的次数
3
2 3
观察实验记录，你能发现什么?
平 衡 3(1，1，1）
2 次。 (3)你能称 2 次就保证把它找出来吗?
能。将 9 筐分成 3 份(3，3，3)，①天平两边分别放 3 筐，若天 平平衡，则轻的一筐在剩余的三筐中。② 再从剩余三筐中取两 筐，分别放在天平两盘中各一筐，若分出轻重，则放在轻的一 边的一筐即为小松树吃的那一筐；若天平仍平衡，则剩余的一 筐即为小松鼠吃的那一筐。若第①步天平不平衡，则从较轻的 三筐中取两筐，操作如②。
先任取其中2个物品， 如果天平平衡，次品是剩下的一个， 如果天平不平衡，次品是称的两个中的一个 （根据次品的特点轻重确定）。 称一次就能找到次品
2 8个零件里有1个是次品（次品重一些）。假如用天平
称，至少称几次就保证一定能找出次品？
“至少称几次能 保证……”是什么 意思。
数学人教版五年级下册数学广角--找次品ppt
次品？
8个零件里有1个是次品（次品重一些）。假如用 天平称，至少称几次能保证找出次品？
分组合作探究要求：
1.你们打算怎样表示找次品的过程？ 2.你们是怎样将零件分组的？每次分的是几份？每份是多少？ 3.想一想哪种方法需要称的次数最少？ 4.将探究的结果填入下表。
分组探究记录表
找次品---从8个零件里找出1个次品（次品重一些）
分成的份数
每一份的个数
至少要称的次数
分成的份数
每一份的个数
至少要称的次数
3 3 3
2
（3，3，2） （2，2，4） （1，1，6）
（ 4，4 ）
2 3 3
3
想一想： 如果是9个零件里有1个是次品（次品重一些）。假如 用天平称，至少称几次能保证找出次品？ 9（2，2，5） 3次 9（1，1，7） 3次
9（4，4，1） 4次
思考：
通过探究发现，在找次品时，想要保证用最少的次数称出次品，
我们应该怎样分？每份的数据有什么特点？ 在找次品时，我们可以把要检测的物品尽量平均分成3份。 这样可以保证用最少的次数称出次品。
运用： 如果零件是10个、11个呢？你能用发现的方法很快说出 至少称几次能保证找出次品？
10 (3,3,4) 3次
11（4,4,3） 3次
拓展练习：
有27瓶水，其中26瓶质量相等，另有一瓶是盐水， 比其他水略重，至少称几次能保证找出这瓶盐水？
27（9,9,9）3次
28？ 28（9，9，10） 4次
老师考考你：
现有乒乓球5个，其中有1个是次品，但 不知比其他乒乓球轻还是重，如果只能
利用没有砝码的天平找出这个乒乓球， 你准备怎么称？至少称几次能保证找出
义务教育教科书五年级数学下册
8个零件里有1个是次品（次品重一些）。假如用 天平称，至少称几次能保证找出次品？
分组合作探究要求：
1.你们打算怎样表示找次品的过程？ 2.你们是怎样将零件分组的？每次分的是几份？每份是多少？ 3.想一想哪种方法需要称的次数最少？ 4.将探究的结果填入下表。
分组探究记录表
找次品---从8个零件里找出1个次品（次品重一些）
分成的份数
每一份的个数
至少要称的次数
分成的份数
每一份的个数
至少要称的次数
3 3 3
2
（3，3，2） （2，2，4） （1，1，6）
（ 4，4 ）
2 3 3
3
想一想： 如果是9个零件里有1个是次品（次品重一些）。假如 用天平称，至少称几次能保证找出次品？ 9（2，2，5） 3次 9（1，1，7） 3次
9（4，4，1） 4次
思考：
通过探究发现，在找次品时，想要保证用最少的次数称出次品，
我们应该怎样分？每份的数据有什么特点？ 在找次品时，我们可以把要检测的物品尽量平均分成3份。 这样可以保证用最少的次数称出次品。
运用： 如果零件是10个、11个呢？你能用发现的方法很快说出 至少称几次能保证找出次品？
10 (3,3,4) 3次
11（4,4,3） 3次
拓展练习：
有27瓶水，其中26瓶质量相等，另有一瓶是盐水， 比其他水略重，至少称几次能保证找出这瓶盐水？
27（9,9,9）3次
28？ 28（9，9，10） 4次
老师考考你：
现有乒乓球5个，其中有1个是次品，但 不知比其他乒乓球轻还是重，如果只能
利用没有砝码的天平找出这个乒乓球， 你准备怎么称？至少称几次能保证找出
义务教育教科书五年级数学下册
新第八单元数学广角找次品教学课件ppt人教版五年级数学下册
我用手掂了 掂，掂不出 来。
可以用天平 称一称。
探究新知
天平平衡了，剩下 的这瓶就是次品。
如果不平衡呢？
探究新知
天平不平衡，轻的 那瓶是次品。
只称一次就能找 出次品了。
探究新知
你能想办法把用天平找次品的过 程清楚地表示出来吗？
我用 代表钙片。
123
探究新知
可以这样记录。
1
2
平衡， 3 是次品。
1
2
1
3
平衡。剩下的第3袋不是500g。
不平衡。
接着称2、3或1、3
平衡。第2袋不是500g。 不平衡。第1袋不是500g。
拓展练习
3.有3袋食盐，其中2袋450克，另一袋不是450克，但是 不知道是比450克轻还是重。用天平至少称几次才能保证 找出质量不是450克的那一袋？
两次
课堂课堂小结
数学阅读
探究新知
回忆简单找次品问题的解决问方法。
3个物品
1
2
平衡， 3 是次品。
需要称1次。
不平衡，轻的是次品。
1
2
5个物品
不平衡，轻的是次品。
平衡。
至少要称__2__次。
3
4
不平衡，轻的是次品。 平衡，剩下的一瓶。
探究新知
探究
：8个零件里有1个是次品（次品重一些）。假如用
基础练习
拓展练习
课堂小结
数学阅读
探究新知
同学们，大家会使用天平吗？如果天平平衡说明什么？
天平两边质量相等。
探究新知
不合格的产品都是次品，而今 天我们研究的次品是有些产品比合 格的产品重了或者是轻了。那我们 就要想办法找出这些次品。
人教版数学五年级下册数学广角《找次品》ppt
9找1(次品重一些)，用天平称，至少称几 次就一定能找出次品来?
1
2
3
4
9 (1，1，1，1，1，1，1，1，1）
至少4次
平衡 9 (2，2，2，2，1） 平衡（2，2） 不平衡 1 至少3次 不平衡 2（1，1）
9 (3，3，3）
平衡
3（1，1，1） （至少2次）
不平衡 3（1，1，1）
9 (4，4，1）
至少4次
有27瓶水，其中26瓶质量相同，另外 有一瓶是盐水（盐水重一些），至少 称几次能保证找出这瓶盐水来？
27（9 9 9）9（3 3 3 ）3（1 1 1） 至少3次
最优策略： １、把待测物品分成三份。 ２、尽量平均分，不能均 分的，也应该使多的一份 与少的一份只相差１。
有 729 盒饼干，其中的 728 盒质量相同，另有 1 盒
少了几块，如果能用天平称，至少几次可以找出
这盒饼干?
729（243 243 243） 243（81，81，81） 81（27，27 27）
至少称6次
义务教育课程标准实验教科书五年级数学下册---数学广角
1986年1月28日
美国第二架航天飞机：“挑战者号”
价值12亿美元
天 平
3个Βιβλιοθήκη 现在有5瓶药丸，其中有一瓶少了10粒， 请同学用天平设法找出来。
1
2
5（1，1，1，1，1） 2
工厂生产了9个羽毛球，其中一个 比较重，这样的球会影响运动员的 正常发挥.
平衡
1 2（1，1） （至少3次）
不平衡 4（2，2）
9 (3，3，3）
平衡
3（1，1，1） （至少2次）
不平衡 3（1，1，1） 平衡 1 2（1，1） 平衡 2
人教版五年级数学下册课件第8单元数学广角—找次品
我用手掂了掂， 掂不出来。
可以用天 平称一称。
以小组为单位，用桌子上的天平动手称一称，记录过程。
我用
表示钙片。 平衡， 是次品。 不平衡，轻的是次品。 需要称 1 次。
点击播放例题动画
提示： 尽管天平只有2个托盘，但托盘外的第3个物品也参与到 比较之中，所以天平可一次性比较出3个物品的质量。
归纳总结：
（1）如果用天平称，你打算怎样称？你能表示出称的
过程吗？
1 2 平衡 不平衡，轻的是吃 的那筐 1 3 5 2 4 6 平衡 不平衡，轻的 是吃的那筐 1 3 5 7 1 3 2 4 平衡 不平衡，轻的是吃 的那筐 2 4 6 8 平衡，吃的是 第9筐 不平衡，轻的 是吃的那筐
(答案不唯一)
（2）用你的方法称几次可以保证找出来？ 称4次可以保证找出来。(答案不唯一， 与(1)中过程相对应即可)
意识到还有不平衡的可能存在
这节课你有哪些收获？
找次品：
找次品的最佳策略：
一是把物体分成3份；
二是每份数量尽量平均。
8 数学广角——找次品
第1课时 找次品
RJ 五年级下册
提升点
找次品的最优策略与规律
4．狗爸爸的肉食店进了11袋骨头，其中有1袋轻一些。 (1)如果用天平称，至少称几次可以保证找出来？
8 数学广角——找次品
第 1 课时 找次品
RJ 五年级下册
1 课堂探究点
（1）利用天平找出3件物品中的1件次品
（2）运用优化策略解决问题
2 课时流程
复习 导入 探索 新知 当堂 检测 课堂 总结 课后 作业
同学们，大家会使用天平吗？如果天平
平衡说明什么？
探究点 1 利用天平找出3件物品中的1件次品 有3瓶钙片，其中1瓶少了3片。 你能设法把它找出来吗？
可以用天 平称一称。
以小组为单位，用桌子上的天平动手称一称，记录过程。
我用
表示钙片。 平衡， 是次品。 不平衡，轻的是次品。 需要称 1 次。
点击播放例题动画
提示： 尽管天平只有2个托盘，但托盘外的第3个物品也参与到 比较之中，所以天平可一次性比较出3个物品的质量。
归纳总结：
（1）如果用天平称，你打算怎样称？你能表示出称的
过程吗？
1 2 平衡 不平衡，轻的是吃 的那筐 1 3 5 2 4 6 平衡 不平衡，轻的 是吃的那筐 1 3 5 7 1 3 2 4 平衡 不平衡，轻的是吃 的那筐 2 4 6 8 平衡，吃的是 第9筐 不平衡，轻的 是吃的那筐
(答案不唯一)
（2）用你的方法称几次可以保证找出来？ 称4次可以保证找出来。(答案不唯一， 与(1)中过程相对应即可)
意识到还有不平衡的可能存在
这节课你有哪些收获？
找次品：
找次品的最佳策略：
一是把物体分成3份；
二是每份数量尽量平均。
8 数学广角——找次品
第1课时 找次品
RJ 五年级下册
提升点
找次品的最优策略与规律
4．狗爸爸的肉食店进了11袋骨头，其中有1袋轻一些。 (1)如果用天平称，至少称几次可以保证找出来？
8 数学广角——找次品
第 1 课时 找次品
RJ 五年级下册
1 课堂探究点
（1）利用天平找出3件物品中的1件次品
（2）运用优化策略解决问题
2 课时流程
复习 导入 探索 新知 当堂 检测 课堂 总结 课后 作业
同学们，大家会使用天平吗？如果天平
平衡说明什么？
探究点 1 利用天平找出3件物品中的1件次品 有3瓶钙片，其中1瓶少了3片。 你能设法把它找出来吗？
五年级下册数学统计、数学广角——找次品(18张)人教版标准课件
中得到哪些信息？这些信息对你有什么帮助？ 表示数据的增减变化情况。
（选自教材P121 T18） 2000 年：1600÷4000＝ 第3课时 统计、数学广角 绘制复式折线统计图时，应该注意图例用不同的线来表示。 表示数据的增减变化情况。
请同学们说说你的看法。 能够读懂折线统计图中包含的信息，解释统计结 果，根据结果作出简单的判断和预测。
知识点3 数学广角——找次品 找次品（只含有一个次品）的最优方法是什么？
把待测物体分成 3 份，要分得尽量平均， 不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份 只相差 1。
1. 我国 2000-2010 年学龄儿童人数和入学人数统 计图入下。 （选自教材P120 T17）
（1）哪年学龄儿童最多？哪年最少？ 2000年最多；2010年最少。
知识点1 单式折线统计图 折线统计图的特点是什么？
不仅能表示出数量的多少，还能看出数量增 减变化的情况。
制作折线统计图的步骤是怎样的？
能表示两组数据数量的多少和数量增减变化的情况，还能比较两组数据的变化趋势。
①根据统计资料整理数据； 作业1：完成教材相关练习题。
第3课时 统计、数学广角 找次品的最优方法是什么？
1 2
1995
年：900÷2000＝
9 20
2000 年：1600÷400＝
2324 4593
2010 年：2831÷5612＝
2831 5612
（2）比较这几个分数的大小，你能发现什么？ 2324 ＞ 2831 ＞ 1 ＞ 9 ＞ 1 4593 5612 2 20 5 请同学们自己说说你的发现。
（选自教材P117 T4）
（1）观察这两个折线统计图所表示的数据，说一 说折线统计图适合表示数据的什么情况。 表示数据的增减变化情况。
（选自教材P121 T18） 2000 年：1600÷4000＝ 第3课时 统计、数学广角 绘制复式折线统计图时，应该注意图例用不同的线来表示。 表示数据的增减变化情况。
请同学们说说你的看法。 能够读懂折线统计图中包含的信息，解释统计结 果，根据结果作出简单的判断和预测。
知识点3 数学广角——找次品 找次品（只含有一个次品）的最优方法是什么？
把待测物体分成 3 份，要分得尽量平均， 不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份 只相差 1。
1. 我国 2000-2010 年学龄儿童人数和入学人数统 计图入下。 （选自教材P120 T17）
（1）哪年学龄儿童最多？哪年最少？ 2000年最多；2010年最少。
知识点1 单式折线统计图 折线统计图的特点是什么？
不仅能表示出数量的多少，还能看出数量增 减变化的情况。
制作折线统计图的步骤是怎样的？
能表示两组数据数量的多少和数量增减变化的情况，还能比较两组数据的变化趋势。
①根据统计资料整理数据； 作业1：完成教材相关练习题。
第3课时 统计、数学广角 找次品的最优方法是什么？
1 2
1995
年：900÷2000＝
9 20
2000 年：1600÷400＝
2324 4593
2010 年：2831÷5612＝
2831 5612
（2）比较这几个分数的大小，你能发现什么？ 2324 ＞ 2831 ＞ 1 ＞ 9 ＞ 1 4593 5612 2 20 5 请同学们自己说说你的发现。
（选自教材P117 T4）
（1）观察这两个折线统计图所表示的数据，说一 说折线统计图适合表示数据的什么情况。 表示数据的增减变化情况。