人教版数学九年级下册28.2《解直角三角形及其应用》教案1

28．2 解直角三角形及其应用
28．2.1 解直角三角形
教学目标
知识与技能
1．使学生理解解直角三角形中五个元素的关系，什么是解直角三角形．
2．会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 过程与方法
通过综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
情感、态度与价值观
渗透数形结合的数学思想，培养学生综合运用知识的能力和良好的学习习惯．
重点难点
重点
直角三角形的解法．
难点
三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
教学过程
一、创设情境，导入新课
在直角三角形中，共有三条边、三个角(六个元素)，你能根据所学谈谈它们之间的关系吗？
教师提出问题，引导学生思考，然后小组内讨论、回答．
教师根据学生的回答归纳．
在直角三角形中：
1．三边之间关系：a 2＋b 2＝c 2(勾股定理)
2．锐角之间关系：∠A ＋∠B ＝90°.
3．边角之间关系
正弦函数：sin A ＝∠A 的对边斜边
余弦函数：cos A ＝∠A 的邻边斜边
正切函数：tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边
以上三点是解直角三角形的依据，熟知后运用．
教师提出问题，引导提示学生思考总结(引问：边与边、角与角、边与角之间的关系)． 学生尝试总结回答，教师讲评汇总．
二、合作交流，探究新知
探究：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°.
(1)若∠A ＝35°，AB ＝10，你能求出这个直角三角形中的其他元素吗？
(2)若AB ＝10，BC ＝5，你能求出这个直角三角形中的其他元素吗？
(3)若∠A ＝35°，∠B ＝55°，你能求出这个直角三角形中的其他元素吗？
(4)在直角三角形中知道几个元素就可以求出其他元素？
(只探讨方法，不解出结果)
归纳：1.在直角三角形的六个元素中，除直角外的五个元素只要知道两个元素(其中至少有一条边)，就可以求出其余的三个元素．
2．定义：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
3．解直角三角形，只有下面两种情况：
(1)已知两条边；(2)已知一条边和一个锐角．
【教学说明】1.教师提出问题引导学生思考分析，并作简要讲评．
2．学生思考回答，注意在解题过程中方法的多样性．
3．教师根据学生回答汇总归纳．
4．学生理解归纳，重点在于理解解直角三角形的方法．
三、运用新知，深化理解
例1 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，按下列条件解直角三角形．
(1)若a ＝36，∠B ＝30°，求∠A 的度数和边b 、c 的长； (2)若a ＝6 2，b ＝6 6，求∠A ，∠B 的度数和边c 的长．
分析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形．
解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠B ＝30°，a ＝36，∴∠A ＝90°－∠B ＝60°，∵cos B ＝a c
，即c ＝a cos B ＝363
2
＝24 3，∴b ＝sin B ·c ＝12×24 3＝12 3； (2)在Rt △ABC 中，∵a ＝6 2，b ＝6 6，∴tan A ＝a b ＝33
，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝60°，∴c ＝2a ＝12 2.
方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，解题时尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解．
例2 一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝30°，∠A ＝45°，AC ＝12 2，试求CD 的长．
分析：过点B 作BM ⊥FD 于点M ，求出BM 与CM 的长度，然后在△EFD 中可求出∠EDF ＝60°，利用解直角三角形解答即可．
解：过点B 作BM ⊥FD 于点M ，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝45°，AC ＝12 2，∴BC ＝AC ＝12 2 .∵AB ∥CF ，∴BM ＝BC sin45°＝12 2×22
＝12，CM ＝BM ＝12.在△EFD 中，∠F ＝90°，∠E ＝30°，∴∠EDF ＝60°，∴MD ＝BM tan60°
＝4 3，∴CD ＝CM
－MD ＝12－4
3.
方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．
例3 如图，在△ABC 中，已知∠C ＝90°，sin A ＝37
，D 为边AC 上一点，∠BDC ＝45°，DC ＝6.求△ABC 的面积．
分析：首先利用正弦的定义设BC ＝3k ，AB ＝7k ，利用BC ＝CD ＝3k ＝6，求得k 值，从而求得AB 的长，然后利用勾股定理求得AC 的长，再进一步求解．
解：∵∠C ＝90°，∴在Rt △ABC 中，sin A ＝BC AB ＝37
，设BC ＝3k ，则AB ＝7k (k ＞0)，在Rt △BCD 中，∵∠BCD ＝90°，∠BDC ＝45°，∴∠CBD ＝∠BDC ＝45°，∴BC ＝CD ＝3k
＝6，∴k ＝2，∴AB ＝14.在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2－BC 2＝142－62＝410，∴S △ABC ＝12
AC ·BC ＝12
×410×6＝1210.即△ABC 的面积是1210. 方法总结：若已知条件中有线段的比或可利用的三角函数，可设出一个辅助未知数，列方程解答．
四、课堂练习，巩固提高
1．教材P74练习．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂测评”内容．
五、反思小结，梳理新知
本节学了哪些内容？你有哪些认识和收获？
1．直角三角形中边与边、角与角、边与角之间的关系(基础)．
2．解直角三角形定义．
3．解直角三角形方法(重点)．
教师引导学生自我总结，梳理知识结构，结合实例归纳解法，明晰思路．
六、布置作业
1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．
2．教材P77习题28.2第1题．
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