树的遍历和哈夫曼树
数据结构中的树与图算法教程
数据结构中的树与图算法教程第一章树的基本概念与遍历算法树是一种非线性数据结构，它由若干个节点组成，这些节点以层级的方式连接，形成分支的结构。
树中的一个节点被称为根节点，它没有父节点；其他节点可以有一个或多个父节点，这些节点被称为子节点。
树具有分支，但没有循环。
1.1 具体树的概念在树的结构中，每个节点可以有零个或者多个子节点，但是只能有一个父节点。
树具有层级关系，通过连接节点的边表示。
1.2 树的分类常见的树包括二叉树、二叉搜索树、红黑树等。
其中，二叉树是一种特殊的树结构，它的每个节点最多可以有两个子节点。
1.3 树的遍历算法树的遍历算法主要有前序遍历、中序遍历和后序遍历。
前序遍历是以根节点、左子树、右子树的顺序进行遍历；中序遍历是以左子树、根节点、右子树的顺序进行遍历；后序遍历是以左子树、右子树、根节点的顺序进行遍历。
第二章树的存储结构与常见应用2.1 树的存储结构树的存储结构有两种常见的实现方式，分别是链表实现和数组实现。
链表实现利用指针进行节点的连接，数组实现则使用数组的索引来表示节点之间的关系。
2.2 平衡二叉树平衡二叉树是一种自平衡的二叉搜索树，它的左右子树的高度差不超过1。
平衡二叉树的插入和删除操作都可以通过旋转操作进行平衡。
2.3 哈夫曼树哈夫曼树是一种特殊的二叉树，用于编码和解码数据。
哈夫曼树中出现频率高的字符距离根节点较近，而出现频率低的字符距离根节点较远，以实现编码的高效率。
第三章图的基本概念与遍历算法3.1 图的基本概念图是由节点和边组成的非线性数据结构。
节点表示实体，边表示节点之间的关系。
图可以分为有向图和无向图两种类型，有向图的边是有方向的，无向图的边没有方向。
3.2 图的存储结构图的存储结构有邻接矩阵和邻接表两种常见的方式。
邻接矩阵是一个二维数组，用于表示节点之间的连接关系；邻接表是由链表或者数组实现的，用于表示每个节点相邻节点的信息。
3.3 图的遍历算法图的遍历算法主要有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。
哈夫曼树 带权路径长度 计算
哈夫曼树带权路径长度计算哈夫曼树是一种用于编码和解码的数据结构，常用于数据压缩算法中。
带权路径长度是指树中所有叶子节点的权值乘以其到根节点的路径长度的总和。
本文将介绍哈夫曼树的概念、构建方法以及带权路径长度的计算方法。
1. 哈夫曼树的概念哈夫曼树，又称最优二叉树，是一种满足以下条件的二叉树：树中的叶子节点代表待编码的字符，其权值为字符在文本中出现的频率或概率；树中的非叶子节点没有权值，只有左右子节点。
哈夫曼树的构建目标是使得带权路径长度最小。
2. 构建哈夫曼树的方法构建哈夫曼树的方法主要有两种：迭代法和递归法。
迭代法：首先将待编码的字符按照权值从小到大排序，然后选择权值最小的两个字符构造一个新的节点，其权值为这两个字符权值之和。
将这个新节点插入原来的字符集合中，重新按照权值排序。
重复以上步骤，直到只剩下一个节点，即为哈夫曼树的根节点。
递归法：首先将待编码的字符按照权值从小到大排序，选择权值最小的两个字符构造一个新的节点，其权值为这两个字符权值之和。
然后将这个新节点作为一个字符，与剩下的字符继续进行以上步骤，直到只剩下一个节点，即为哈夫曼树的根节点。
3. 带权路径长度的计算方法带权路径长度是指树中所有叶子节点的权值乘以其到根节点的路径长度的总和。
路径长度是指从根节点到目标节点的路径上所经过的边的数量。
计算带权路径长度的步骤如下：- 遍历哈夫曼树的每个叶子节点，计算该节点的权值乘以其到根节点的路径长度。
- 将所有叶子节点的带权路径长度相加，即可得到整个哈夫曼树的带权路径长度。
4. 哈夫曼树的应用哈夫曼树广泛应用于数据压缩算法中，如Huffman编码。
Huffman 编码是一种变长编码方式，通过根据字符在文本中的出现频率来构建不同长度的编码，从而减少编码后的数据长度，实现数据的压缩。
除了数据压缩，哈夫曼树还可以应用于其他领域，如图像压缩、音频压缩等。
在这些应用中，根据不同领域的特点，可以选择不同的权值计算方法，以达到更好的压缩效果。
数据结构哈夫曼树和哈夫曼编码权值
数据结构哈夫曼树和哈夫曼编码权值一、引言在计算机领域，数据结构是非常重要的一部分，而哈夫曼树和哈夫曼编码是数据结构中非常经典的部分之一。
本文将对哈夫曼树和哈夫曼编码的权值进行全面评估，并探讨其深度和广度。
通过逐步分析和讨论，以期让读者更深入地理解哈夫曼树和哈夫曼编码的权值。
二、哈夫曼树和哈夫曼编码的基本概念1. 哈夫曼树哈夫曼树，又称最优二叉树，是一种带权路径长度最短的二叉树。
它的概念来源于一种数据压缩算法，可以有效地减少数据的存储空间和传输时间。
哈夫曼树的构建过程是基于给定的权值序列，通过反复选择两个最小权值的节点构建出来。
在构建过程中，需要不断地重排权值序列，直到构建出一个满足条件的哈夫曼树。
2. 哈夫曼编码哈夫曼编码是一种变长编码方式，它利用了哈夫曼树的特点，对不同的字符赋予不同长度的编码。
通过构建哈夫曼树，可以得到一套满足最优存储空间的编码规则。
在实际应用中，哈夫曼编码经常用于数据压缩和加密传输，能够有效地提高数据的传输效率和安全性。
三、哈夫曼树和哈夫曼编码的权值评估1. 深度评估哈夫曼树和哈夫曼编码的权值深度值得我们深入探究。
从构建哈夫曼树的角度来看，权值决定了节点在树中的位置和层次。
权值越大的节点往往位于树的底层，而权值较小的节点则位于树的高层。
这种特性使得哈夫曼树在数据搜索和遍历过程中能够更快地找到目标节点，提高了数据的处理效率。
而从哈夫曼编码的角度来看，权值的大小直接决定了编码的长度。
权值越大的字符被赋予的编码越短，可以有效地减少数据传输的长度，提高了数据的压缩率。
2. 广度评估另哈夫曼树和哈夫曼编码的权值也需要进行广度评估。
在构建哈夫曼树的过程中，权值的大小直接影响了树的结构和形状。
当权值序列较为分散时，哈夫曼树的结构会更加平衡，节点的深度差异较小。
然而，当权值序列的差异较大时，哈夫曼树的结构也会更不平衡，而且可能出现退化现象。
这会导致数据的处理效率降低，需要进行额外的平衡调整。
层序遍历概念
层序遍历概念层序遍历概念层序遍历是一种二叉树的遍历方式，也叫广度优先遍历。
它按照树的层次顺序，从上到下逐层地访问每个节点。
在同一层中，按照从左到右的顺序访问每个节点。
层序遍历可以用于解决很多问题，例如查找最短路径、建立哈夫曼树等。
一、二叉树概念二叉树是一种特殊的树形结构，它的每个节点最多只有两个子节点。
一个节点没有子节点称为叶子节点，具有子节点的节点称为内部节点。
二叉树有很多种不同形态，例如满二叉树、完全二叉树等。
二、广度优先搜索广度优先搜索是一种图形搜索算法，它从起点开始向外扩展，在扩展过程中逐渐覆盖更多的区域。
广度优先搜索可以用来寻找两点之间最短路径或者解决迷宫问题等。
三、层序遍历算法层序遍历算法使用队列来实现。
首先将根节点入队列，然后依次取出队列中的元素，并将其左右子节点入队列。
按照这种方式遍历完一层之后，再遍历下一层，直到所有节点都被访问。
四、层序遍历应用1.查找最短路径在一个图中，如果每个边的权重都相等，那么可以使用广度优先搜索来查找两点之间的最短路径。
通过层序遍历，可以依次扩展到离起点越来越远的节点，直到找到目标节点为止。
2.建立哈夫曼树哈夫曼树是一种用于数据压缩的树形结构。
在哈夫曼编码中，出现频率高的字符使用较短的编码表示，而出现频率低的字符则使用较长的编码表示。
建立哈夫曼树时，可以先将所有叶子节点入队列，并不断取出队列中权值最小的两个节点合并为一个新节点，并将新节点入队列。
最终得到的根节点就是哈夫曼树。
五、总结层序遍历是一种非常实用的算法，在二叉树和图形搜索等领域有着广泛应用。
通过了解其基本原理和应用场景，我们可以更好地理解和运用这种算法来解决实际问题。
8哈夫曼树
b d e c
2 3 4 5 6 7 b c d e
d
e f g f g h
f
g
h
8
h
25
3、用孩子兄弟表示法来存储
思路：用二叉链表来表示树，但链表中的两个 指针域含义不同。 左指针指向该结点的第一个孩子； 右指针指向该结点的下一个兄弟结点。
firstchild data nextsibling
100
40
21 32 g e 17 7 a
60
28 11 10 h 6 d 2 c 5 3 f
10
对应的哈夫曼编码（左0右1）：
符 编码 频率 符 编码 频率
100
a
b
1100
00
0.07
0.19
a
b
000
001
0.07
0.19 0.06
0 b
0 40
1
1
0 60 1 28 1 0 6 d 0 2 c 11 1d Path Length
树的带权路径长度如何计算？ WPL = 哈夫曼树则是：WPL 最小的树。
w kl k
k=1
n
经典之例：
4 d
2 c 7 a (b) 5 b
Huffman树
7 a
7 a
5
2 b c
4 d
5 b
2 c (c)
4 d
(a)
WPL=36
WPL=46
WPL= 35
3
构造霍夫曼树的基本思想： 权值大的结点用短路径，权值小的结点用长路径。 构造Huffman树的步骤（即Huffman算法）：
(1) 由给定的 n 个权值{w0, w1, w2, …, wn-1}，构造具有 n 棵扩充 二叉树的森林F = { T0, T1, T2, …, Tn-1 }，其中每一棵扩充二叉树 Ti 只有一个带有权值 wi 的根结点，其左、右子树均为空。 (2) 重复以下步骤, 直到 F 中仅剩下一棵树为止： ① 在 F 中选取两棵根结点的权值最小的扩充二叉树, 做为左、 右子树构造一棵新的二叉树。置新的二叉树的根结点的权值为 其左、右子树上根结点的权值之和。 ② 在 F 中删去这两棵二叉树。 ③ 把新的二叉树加入 F。
哈夫曼树的建立及操作
哈夫曼树的建立及操作哈夫曼树是一种用于数据压缩的树形数据结构，可以有效地压缩数据并减小存储空间。
本文将介绍哈夫曼树的建立方法和相关操作。
一、哈夫曼树的建立方法：1.首先，我们需要统计给定数据中每个字符出现的频率。
频率越高的字符将被赋予较短的编码，从而实现数据的压缩。
可以使用一个字典或哈希表来记录字符及其频率。
2.创建一个包含所有字符频率的节点列表。
每个节点包含一个字符及其对应的频率。
3.排序节点列表，按照频率从小到大的顺序进行排序。
4.创建一个空的二叉树，并将频率最低的两个节点作为子节点，合并为一个新的节点。
新节点的频率为两个子节点的频率之和。
将这个新节点插入到节点列表中。
5.从节点列表中移除原先的两个子节点，插入新节点。
保持列表的有序性。
6.重复步骤4和5，直到节点列表中只剩下一个节点。
7.最后剩下的节点即为哈夫曼树的根节点。
二、哈夫曼树的操作：1.获取哈夫曼编码：根据哈夫曼树的结构，可以通过遍历树的路径来获取每个字符的编码。
左子树表示0，右子树表示1、从根节点出发，依次遍历所有叶子节点，记录下每个字符对应的路径即可得到编码。
2.数据压缩：将原始数据中的每个字符替换为对应的哈夫曼编码，从而实现数据压缩。
根据频率，越常见的字符编码越短，可以大幅减小数据存储的空间。
3.数据解压：使用相同的哈夫曼树，将压缩后的二进制编码解码为原始字符，从而还原数据。
4. 哈夫曼树的存储和传输：为了实现数据的压缩和解压缩，哈夫曼树需要存储和传输。
可以使用二进制格式存储树的结构和频率信息，并在解压缩时重新构建树。
还可以考虑使用霍夫曼编码的变种，如Adaptive Huffman Coding（自适应哈夫曼编码），使得树结构可以随着数据的变化进行更高效的编码和解码。
总结：哈夫曼树是一种用于数据压缩的树形数据结构，可以通过统计字符频率来生成树，并生成对应的编码。
通过编码，可以实现原始数据的高效压缩和解压缩。
在实际应用中，哈夫曼树被广泛应用于数据压缩，如文件压缩、图像压缩等。
树的遍历和哈夫曼树
2021/4/18 北京化工大学信息学院 数据结构 33
求二叉树高度的递归算法
int Height ( BinTreeNode * T ) { if ( T == NULL ) return -1; else { int m = Height ( T->leftChild ); int n = Height ( T->rightChild ) ); return (m > n) ? m+1 : n+1;
中序遍历 (Inorder Traversal)
中序遍历二叉树算法的框架是：
若二叉树为空，则空操作；
-
否则 中序遍历左子树 (L)；
+
/
访问根结点 (V)；
a *e f
中序遍历右子树 (R)。
遍历结果
b-
a+b*c-d-e/f
cd
2021/4/18 北京化工大学信息学院 数据结构 20
二叉树递归的中序遍历算法
如果 n = 0，称为空树；如果 n > 0，则 ▪ 有一个特定的称之为根(root)的结点，
它只有直接后继，但没有直接前驱； ▪ 除根以外的其它结点划分为 m (m 0)
个 互不相交的有限集合T0, T1, …, Tm-1，每 个集合又是一棵树，并且称之为根的子树。
2021/4/18 北京化工大学信息学院 数据结构 3
typedef struct node { //树结点定义
TreeData data;
//结点数据域
struct node * leftChild, * rightchild;
//子女指针域
} BinTreeNode;
typedef BinTreeNode * BinTree; //树定义，代表树的根指针
数据结构哈夫曼树和哈夫曼编码权值
主题：数据结构——哈夫曼树和哈夫曼编码权值1. 引言在计算机科学中，对于大规模的数据存储和传输，有效地压缩数据是一项重要的任务。
哈夫曼树和哈夫曼编码权值是一种经典的数据结构和算法，用于实现数据的高效压缩和解压缩。
本文将介绍哈夫曼树和哈夫曼编码权值的概念和原理，探讨其在数据压缩中的应用以及个人对该主题的理解。
2. 哈夫曼树2.1 概念哈夫曼树，又称最优二叉树，是一种具有最小带权路径长度的二叉树。
树的带权路径长度定义为树中所有叶子节点的权值乘以其到根节点的距离，即路径长度的总和。
2.2 构造方法哈夫曼树的构造方法是一种贪心算法。
将所有的权值作为叶子节点构建n棵单节点树。
从这些树中选择两棵权值最小的树合并，得到一棵新的树，新树的根节点的权值为这两棵树根节点权值之和。
重复此过程，直到只剩下一棵树，即为哈夫曼树。
2.3 例子以数据集[7, 5, 2, 4]为例，构造哈夫曼树的过程如下： 1. 初始状态下，将每个权值看作一棵树：7、5、2、4。
2. 选择两棵权值最小的树2和4进行合并，得到一棵新树，根节点的权值为2+4=6。
此时，剩下的树为6、5、7。
3. 选择两棵权值最小的树5和6进行合并，得到一棵新树，根节点的权值为5+6=11。
此时，剩下的树为11、7。
4. 选择两棵权值最小的树7和11进行合并，得到一棵新树，根节点的权值为7+11=18。
得到最终的哈夫曼树。
3. 哈夫曼编码权值3.1 概念哈夫曼编码权值是指在哈夫曼树中，从根节点到每个叶子节点的路径上所经过的边的权值。
对于哈夫曼树中的每个字符（叶子节点），都可以通过从根节点到叶子节点的路径上的边的权值，来进行编码。
3.2 编码方法哈夫曼编码方法的基本原则是将出现频率高的字符用较短的编码表示，出现频率低的字符用较长的编码表示。
在哈夫曼树中，根节点到左子树的路径上的边标记为0，到右子树的路径上的边标记为1。
通过遍历哈夫曼树，可以分配每个字符的编码。
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typedef struct node { //树结点定义
TreeData data;
//结点数据域
struct node * leftChild, * rightchild;
//子女指针域
} BinTreeNode;
typedef BinTreeNode * BinTree; //树定义，代表树的根指针
2020/7/20 北京化工大学信息学院 数据结构 17
二叉树遍历
二叉树遍历的递归算法 二叉树遍历的应用 二叉树遍历的非递归算法
二叉树遍历
树的遍历就是按某种次序访问树中的结点，要 求每个结点访问一次且仅访问一次。
设访问根结点记作 V 遍历根的左子树记作 L 遍历根的右子树记作 R
root A B CD EF
data parent leftChild rightChild
0 A -1 1 -1
1B 0 2
3
2 C 1 -1 -1
3D 1 4
5
4 E 3 -1 -1
5 F 3 -1 -1
三叉链表的静态结构
2020/7/20 北京化工大学信息学院 数据结构 16
二叉树的定义
typedef char TreeData; //树结点数据类型
树的特点
每棵子树的根结点有且仅有一个直接前驱，但 可以有0个或多个直接后继。
A
0层
BC
D
E F GH I J
1层
height
2层 = 3
KL
M
3层
2020/7/20 北京化工大学信息学院 数据结构 4
结点 结点的度 分支结点 叶结点
子女 双亲 兄弟
A
祖先 子孙 结点层次
树的度 树高度 森林
0层
0123456789
完全二叉树 的顺序表示
0123 4567 8 9
一般二叉树 的顺序表示
二叉树的链表表示
leftChild data rightChild
data
leftChild
rightChild
二叉链表
2020/7/20 北京化工大学信息学院 数据结构 13
二叉树的链表表示
leftChild data parent rightChild
e = 2n2 + n1
总结点与总边数的关系e= n - 1
因此，
n0 = n2 + 1
2020/7/20 北京化工大学信息学院 数据结构 8
定义1 满二叉树 (Full Binary Tree) 定义2 完全二叉树 (Complete Binary Tree)
若设二叉树的高度为h，则共有h+1层。除 第 h 层外，其它各层 (0 h-1) 的结点数都 达到最大个数，第 h 层从右向左连续缺若干 结点，这就是完全二叉树。
< n, 则 i 的右子女为2*i+2
若 i 为偶数, 且i != 0,
0
则其左兄弟为i-1, 若
1
2
i 为奇数, 且i != n-1,
34 56
则其右兄弟为i+1
789
2020/7/20 北京化工大学信息学院 数据结构 11
二叉树的顺序表示
ห้องสมุดไป่ตู้
0
1
2
3 4 56
78 9
1 3 67
0 2
45 89
如果 n = 0，称为空树；如果 n > 0，则 ▪ 有一个特定的称之为根(root)的结点，
它只有直接后继，但没有直接前驱； ▪ 除根以外的其它结点划分为 m (m 0)
个 互不相交的有限集合T0, T1, …, Tm-1，每 个集合又是一棵树，并且称之为根的子树。
2020/7/20 北京化工大学信息学院 数据结构 3
BC
D
E F GH I J
1层
height
2层 = 3
KL
M
3层
2020/7/20 北京化工大学信息学院 数据结构 5
二叉树 (Binary Tree)
二叉树的定义
一棵二叉树是结点的一个有限集合， 该集合或者为空，或者是由一个根结点加 上两棵分别称为左子树和右子树的、互不 相交的二叉树组成。
L
R
LR
数据结构
北京化工大学 信息科学与技术学院计算机系
史晟辉 shishenghui@ shish@
树和森林的概念 二叉树 二叉树遍历 二叉树的计数 树与森林 哈夫曼树
2020/7/20 北京化工大学信息学院 数据结构 2
树和森林的概念
树的定义 树是由 n (n 0) 个结点组成的有限集合。
2020/7/20 北京化工大学信息学院 数据结构 9
性质4 具有 n (n 0) 个结点的完全二叉树 的高度为 log2(n+1) -1 证明：设完全二叉树的高度为 h，则有
2h - 1 < n 2h+1 - 1
上面h层结点数 包括第h层的最大结点数
变形 2h < n+1 2h+1 取对数 h < log2(n+1) h+1 因此有 log2(n+1) = h+1
h = log2(n+1) -1
2020/7/20 北京化工大学信息学院 数据结构 10
性质5 如将一棵有n个结点的完全二叉树自顶向
下，同一层自左向右连续给结点编号0, 1, 2, …,
n-1，则有以下关系：
若i = 0, 则 i 无双亲
若i > 0, 则 i 的双亲为(i -1)/2
若2*i+1 < n, 则 i 的左子女为 2*i+1，若2*i+2
二叉树的五种不同形态
2020/7/20 北京化工大学信息学院 数据结构 6
二叉树的性质
性质1 若二叉树的层次从0开始, 则在二叉 树的第 i 层最多有 2i 个结点。(i 0)
[证明用数学归纳法] 性质2 高度为 h 的二叉树最多有 2h+1-1个 结点。(h -1)
[证明用求等比级数前k项和的公式] 20 + 21 + 22 + … + 2h = 2h+1-1
parent
data
leftChild
rightChild
三叉链表
2020/7/20 北京化工大学信息学院 数据结构 14
root A
root A
root A
B
B
B
C D C D C D
E F E F E F
二叉树 二叉链表 三叉链表
二叉树链表表示的示例
2020/7/20 北京化工大学信息学院 数据结构 15
2020/7/20 北京化工大学信息学院 数据结构 7
性质3 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点
有 n0 个, 度为2的非叶结点有 n2 个, 则有 n0＝n2＋1
证明：若设度为1的结点有 n1 个，总结点 个数为 n，总边数为 e，则根据二叉树的
定义,
总结点个数
n = n0 + n1 + n2
总边数