(完整版)不等式与不等式组(知识总结,试题和答案)
不等式与不等式组篇(解析版)-2023年中考数学必考考点总结
知识回顾微专题不等式与不等式组--中考数学必考考点总结+题型专训考点一：不等式与不等式组之定义1.不等式的定义：用不等号“＞”“＜”“≥”“≤”“≠”连接的式子叫做不等式。
必须满足不等关系。
2.一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式不等式叫做一元一次不等式。
3.一元一次不等式组的定义：把含有同一个未知数的几个一元一次不等式组合起来得到不等式组，这样的不等式组叫做一元一次不等式组。
1．（2022•六盘水）如图是某桥洞的限高标志，则能通过此桥洞的车辆高度是（）A ．6.5mB ．6mC ．5.5mD ．4.5m【分析】根据标志内容为限高5m 可得，能通过此桥洞的车辆高度必须不能超过5m ，【解答】解：由标志内容可得，能通过此桥洞的车辆高度必须不能超过5m ，故选：D ．2．（2022•吉林）y 与2的差不大于0，用不等式表示为（）A ．y ﹣2＞0B ．y ﹣2＜0C ．y ﹣2≥0D ．y ﹣2≤0【分析】不大于就是小于等于的意思，根据y 与2的差不大于0，可列出不等式．【解答】解：根据题意得：y ﹣2≤0．故选：D ．知识回顾微专题考点二：不等式与不等式组之不等式的性质1.不等式的性质：①不等式的性质1：不等号的左右两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号方向不变。
即若()b a b a ≤≥，则()c b c a c b c a ±≤±±≥±。
②不等式的性质②：不等号左右两边同时乘上（或除以）同一个正数，不等号方向不变。
即：()0＞，c b a b a ≤≥，则⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤≥≥c b c a bc ac c b c abc ac ，，。
③不等式的性质③：不等式左右两边同时乘上（或除以）同一个负数，不等号方向改变。
即：()0＜，c b a b a ≤≥，则⎪⎭⎫ ⎝⎛≥≥≤≤c b c a bc ac c b c a bc ac ，，。
不等式与不等式组知识点与练习
不等式与不等式组一、知识结构图二、知识要点（一、）不等式的概念1、不等式：一般地，用不等符号（“＜”“＞”“≤”“≥”）表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。
不等号主要包括： ＞ 、 ＜ 、 ≥ 、 ≤ 、 ≠ 。
2、不等式的解：使不等式左右两边成立的未知数的值，叫做不等式的解。
3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集（即未知数的取值范围）。
4、解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧与实际问题组一元一次不等式法一元一次不等式组的解不等式组一元一次不等式组性质性质性质不等式的性质一元一次不等式不等式的解集不等式的解不等式不等式相关概念不等式与不等式组)(3215、不等式的解集可以在数轴上表示，分三步进行：①画数轴②定界点③定方向。
规律：用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画，小于向左画，等于用实心圆点，不等于用空心圆圈。
（二、）不等式的基本性质不等式性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向 不变 。
用字母表示为：如果b a >，那么c b c a ±>±；如果b a <，那么c b c a ±<± ； 不等式的性质2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 正数 ，不等号的方向 不变 。
用字母表示为： 如果0,>>c b a ，那么bc ac >(或cb c a >)；如果0,><c b a ，不等号那么bc ac <(或cb c a <)； 不等式的性质3：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 负数 ，的方向 改变 。
用字母表示为： 如果0,<>c b a ，那么bc ac <(或cb c a <)；如果0,<<c b a ，那么bc ac >(或cb c a >)； 解不等式思想——就是要将不等式逐步转化为xa 或x ＜a 的形式。
高中不等式基本知识点和练习题(含答案)
不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性： (2)传递性：a b b a <⇔>ca cb b a >⇒>>,(3)加法法则：；(同向可加)c b c a b a +>+⇒>d b c a d c b a +>+⇒>>,(4)乘法法则：； bc ac c b a >⇒>>0,bcac c b a <⇒<>0,(同向同正可乘)bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(5)倒数法则： (6)乘方法则：b a ab b a 110,<⇒>>)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且(7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式（二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式的解集：()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情()002≠=++a c bx ax 2121x x x x ≤且、ac b 42-=∆况如下表：2、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿偶不穿；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。
()()()如：x x x +--<1120233、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。
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第九章 不等式与不等式组测试1 不等式及其解集学习要求：知道不等式的意义；知道不等式的解集的含义；会在数轴上表示解集．(一)课堂学习检测一、填空题：1．用“＜”或“＞”填空：⑴4______－6； (2)－3______0；(3)－5______－1； (4)6＋2______5＋2；(5)6＋(－2)______5＋(－2)； (6)6×(－2)______5×(－2)． 2．用不等式表示：(1)m －3是正数______； (2)y ＋5是负数______； (3)x 不大于2______； (4)a 是非负数______；(5)a 的2倍比10大______； (6)y 的一半与6的和是负数______；(7)x 的3倍与5的和大于x 的31______；(8)m 的相反数是非正数______．3．画出数轴，在数轴上表示出下列不等式的解集： (1)⋅>213x(2)x ≥－4．(3)⋅≤51x(4)⋅-<312x二、选择题：4．下列不等式中，正确的是( )．(A)4385-<-(B)5172< (C)(－6.4)2＜(－6.4)3 (D)－｜－27｜＜－（－3)3 5．“a 的2倍减去b 的差不大于－3”用不等式可表示为( )． (A)2a －b ＜－3 (B)2(a －b )＜－3 (C)2a －b ≤－3 (D)2(a －b )≤－3三、解答题：6．利用数轴求出不等式－2＜x ≤4的整数解．(二)综合运用诊断一、填空题：7．用“＜”或“＞”填空： ⑴－2.5______－5.2； (2);125______114--(3)｜－3｜______－(－2.3)； (4)a 2＋1______0； (5)0______｜x ｜＋4； (6)a ＋2______a ．8．“x 的23与5的差不小于－4的相反数”，用不等式表示为______． 二、选择题：9．如果a 、b 表示两个负数，且a ＜b ，则( )．(A)1>b a(B)1<b a (C)ba 11< (D)ab ＜110．如图在数轴上表示的解集对应的是( )．(A)－2＜x ＜4 (B)－2＜x ≤4 (C)－2≤x ＜4 (D)－2≤x ≤4 11．a 、b 是有理数，下列各式中成立的是( )．(A)若a ＞b ，则a 2＞b 2 (B)若a 2＞b 2，则a ＞b (C)若a ≠b ，则｜a ｜≠｜b ｜ (D)若｜a ｜≠｜b ｜，则a ≠b 12．｜a ｜＋a 的值一定是( )．(A)大于零 (B)小于零 (C)不大于零 (D)不小于零三、判断题：13．不等式5－x ＞2的解集有无数多个． ( )．14．不等式x ＞－1的整数解有无数多个． ( )．15．不等式32421<<-x 的整数解有0、1、2、3、4．( )．16．若a ＞b ＞0＞c ，则.0>cab( )．四、解答题：17．若a 是有理数，比较2a 和3a 的大小．(三)拓广、探究、思考18．若不等式3x －a ≤0只有三个正整数解，求a 的取值范围．19．对于整数a 、b 、c 、d ，定义bd ac c d b a -=，已知3411<<d b，则b ＋d 的值为______．测试2 不等式的性质学习要求：知道不等式的三条基本性质，并会用它们解简单的一元一次不等式．(一)课堂学习检测一、填空题：1．已知a ＜b ，用“＜”或“＞”填空：⑴a ＋3______b ＋3； (2)a －3______b －3； (3)3a ______3b ；(4);2______2b a(5);7______7ba --(6)5a ＋2______5b＋2；(7)－2a －1______－2b －1； (8)4－3b ______6－3a ． 2．用“＜”或“＞”填空： (1)若a －2＞b －2，则a ______b ； (2)若,33ba <则a ______b ； (3)若－4a ＞－4b ，则a ______b ；(4),22ba -<-则a ______b ． 3．不等式3x ＜2x －3变形成3x －2x ＜－3，是根据______． 4．如果a 2x ＞a 2y (a ≠0)．那么x ______y ． 二、选择题：5．若a ＞2，则下列各式中错误的是( )． (A)a －2＞0 (B)a ＋5＞7 (C)－a ＞－2 (D)a －2＞－4 6．已知a ＞b ，则下列结论中错误的是( )． (A)a －5＞b －5 (B)2a ＞2b (C)ac ＞bc (D)a －b ＞0 7．若a ＞b ，且c 为有理数，则( )． (A)ac ＞bc (B)ac ＜bc (C)ac 2＞bc 2 (D)ac 2≥bc 2 8．若由x ＜y 可得到ax ＞ay ，应满足的条件是( )． (A)a ≥0 (B)a ≤0 (C)a ＞0 (D)a ＜0三、解答题：9．根据不等式的基本性质解下列不等式，并将解集表示在数轴上．(1)x －10＜0． (2).62121+->x x(3)2x ≥5.(4).131-≥-x10．用不等式表示下列语句并写出解集： ⑴8与y 的2倍的和是正数；(2)a 的3倍与7的差是负数．(二)综合运用诊断一、填空题：11．(1)若x ＜a ＜0，则把x 2；a 2，ax 从小到大排列是______．(2)关于x 的不等式mx －n ＞0，当m ______时，解集是;mnx <当m ______时，解集是⋅>mn x 12．已知b ＜a ＜2，用“＜”或“＞”填空：(1)(a －2)(b －2)______0； (2)(2－a )(2－b )______0； (3)(a －2)(a －b )______0．13．不等式4x －3＜4的解集中，最大的整数x ＝______． 14．如果ax ＞b 的解集为,abx >则a ______0． 二、选择题：15．已知方程7x －2m ＋1＝3x －4的根是负数，则m 的取值范围是( )．(A)25=m (B)25>m (C)25<m (D)25≤m 16．已知二元一次方程2x ＋y ＝8，当y ＜0时，x 的取值范围是( )．(A)x ＞4 (B)x ＜4 (C)x ＞－4 (D)x ＜－4 17．已知(x －2)2＋｜2x －3y －a ｜＝0，y 是正数，则a 的取值范围是( )．(A)a ＜2 (B)a ＜3 (C)a ＜4 (D)a ＜5三、解答题：18．当x 取什么值时，式子563-x 的值为(1)零；(2)正数；(3)小于1的数．(三)拓广、探究、思考19．若m 、n 为有理数，解关于x 的不等式(－m 2－1)x ＞n .20．解关于x 的不等式ax ＞b (a ≠0)．测试3 解一元一次不等式学习要求：会解一元一次不等式．(一)课堂学习检测一、填空题：1．用“＞”或“＜”填空：(1)若x ______0，y ＜0，则xy ＞0； (2)若ab ＞0，则b a ______0；若ab ＜0，则ab______0； (3)若a －b ＜0，则a ______b ；(4)当x ＞x ＋y ，则y ______0．2．当a ______时，式子152-a 的值不大于－3．3．不等式2x －3≤4x ＋5的负整数解为______． 二、选择题：4．下列各式中，是一元一次不等式的是( )．(A)x 2＋3x ＞1(B)03<-yx (C)5511≤-x(D)31312->+x x 5．关于x 的不等式2x －a ≤－1的解集如图所示，则a 的取值是( )．(A)0 (B)－3 (C)－2 (D)－1三、解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：6．2(2x －3)＜5(x －1)． 7．10－3(x ＋6)≤1．8．⋅-->+22531x x 9．⋅-≥--+612131y y y10．求不等式361633->---x x 的非负整数解．11．求不等式6)125(53)34(2+<-x x 的所有负整数解．(二)综合运用诊断一、填空题：12．已知a ＜b ＜0，用“＞”或“＜”填空：⑴2a ______2b ；(2)a 2______b 2；(3)a 3______b 3；(4)a 2______b 3；(5)｜a ｜______｜b ｜(6)m 2a ______m 2b (m ≠0).13．⑴已知x ＜a 的解集中的最大整数为3，则a 的取值范围是______；(2)已知x ＞a 的解集中最小整数为－2，则a 的取值范围是______．二、选择题：14．下列各对不等式中，解集不相同的一对是( )．(A)72423xx +<-与－7(x －3)＜2(4＋2x ) (B)3921+<-x x 与3(x －1)＜－2(x ＋9) (C)31222-≥+x x 与3(2十x )≥2(2x －1) (D)x x ->+414321与3x ＞－1 15．如果关于x 的方程5432bx a x +=+的解不是负值，那么a 与b 的关系是( ) (A)b a 53>(B)a b 53≥(C)5a ＝3b(D)5a ≥3b三、解下列不等式：16．(1)3[x －2(x －7)]≤4x ． (2).17)10(2383+-≤--y y y(3).151)13(21+<--y y y (4)⋅-+≤--+15)2(22537313x x x(5)).1(32)]1(21[21-<---x x x x (6)⋅->+-+2503.002.003.05.09.04.0x x x四、解答题：17．已知方程组⎩⎨⎧-=++=+②①m y x m y x 12,312的解满足x ＋y ＜0．求m 的取值范围．18．x 取什么值时，代数式413--x 的值不小于8)1(32++x 的值．19．已知关于x 的方程3232xm x x -=--的解是非负数，m 是正整数，求m 的值．*20．当310)3(2k k -<-时，求关于x 的不等式k x x k ->-4)5(的解集．(三)拓广、探究、思考21．适当选择a 的取值范围，使1.7＜x ＜a 的整数解：(1)x 只有一个整数解； (2)x 一个整数解也没有．22．解关于x 的不等式2x ＋1≥m (x －1)．(m ≠2)23．已知A ＝2x 2＋3x ＋2，B ＝2x 2－4x －5，试比较A 与B 的大小．测试4 实际问题与一元一次不等式学习要求：会从实际问题中抽象出不等的数量关系，会用一元一次不等式解决实际问题．(一)课堂学习检测一、填空题：1．若x 是非负数，则5231x-≤-的解集是______． 2．使不等式x －2≤3x ＋5成立的负整数有______． 3．代数式231x-与代数式x －2的差是负数，则x 的取值范围为______ 4．6月1日起，某超市开始有偿．．提供可重复使用的三种环保购物袋，每只售价分别为1元、2元和3元，这三种环保购物袋每只最多分别能装大M 3公斤、5公斤和8公斤．6月7日，小星和爸爸在该超市选购了3只环保购物袋用来装刚买的20公斤散装大M ，他们选购的3只环保购物袋至少．．应付给超市______元． 二、选择题：5．三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是( )． (A)13cm (B)6cm (C)5cm (D)4cm6．一商场进了一批商品，进价为每件800元，如果要保持销售利润不低于15％，则售价应不低于( )． (A)900元 (B)920元 (C)960元 (D)980元三、解答题：7．某种商品进价为150元，出售时标价为225元，由于销售情况不好，商品准备降价出售，但要保证利润不低于10％，那么商店最多降价多少元出售商品?8．某次数学竞赛活动，共有16道选择题，评分办法是：答对一题给6分，答错一题倒扣2分，不答题不得分也不扣分．某同学有一道题未答，那么这个学生至少答对多少题，成绩才能在60分以上?(二)综合运用诊断一、填空题：9．直接写出解集：(1)4x －3＜6x ＋4的解集是______； (2)(2x －1)＋x ＞2x 的解集是______；(3)5231052--≤-x x x 的解集是______． 10．若m ＞5，试用m 表示出不等式(5－m )x ＞1－m 的解集______． 二、选择题：11．初三⑴班的几个同学，毕业前合影留念，每人交0.70元，一张彩色底片0.68元，扩印一张相片0.50元，每人分一张，将收来的钱尽量用掉的前提下，这张相片上的同学最少有( )． (A)2人 (B)3人 (C)4人 (D)5人12．某出租车的收费标准是：起步价7元，超过3km 时，每增加1km 加收2.4元(不足1km 按1km 计)．某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x km ，那么x 的最大值是( )． (A)11 (B)8 (C)7 (D)5三、解答题：13．已知：关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧-=++=+134,123p y x p y x 的解满足x ＞y ，求p 的取值范围．14．某工人加工300个零件，若每小时加工50个可按时完成；但他加工2小时后，因事停工40分钟．那么这个工人为了按时或提前完成任务，后面的时间每小时他至少要加工多少个零件?(三)拓广、探究、思考15．某商场出售A 型冰箱，每台售价2290元，每日耗电1度；而B 型节能冰箱，每台售价比A 高出10％，但每日耗电0.55度．现将A 型冰箱打折出售(打九折后的售价为原价的十分之九)，问商场最多打几折时，消费者购买A 型冰箱才比购买B 型冰箱更合算?(按使用期10年，每年365天，每度电0.4元计算)16．某零件制造车间有20名工人，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元，在这20名工人中，车间每天安排x 名工人制造甲零件，其余工人制造乙种零件．⑴若此车间每天所获利润为y (元)，用x 的代数式表示y ；(2)若要使每天所获利润不低于24000元，至少要派多少名工人去制造乙种零件?测试5 一元一次不等式组(一)学习要求：会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集．(一)课堂学习检测一、填空题：1．解不等式组⎩⎨⎧>--<+)2(223)1(,423x x 时，解⑴式，得______，解(2)式，得______．于是得到不等式组的解集是______．2．解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥--≥-)2(21)1(,3212x x 时，解⑴式，得______，解(2)式，得______，于是得到不等式组的解集是______．3．用字母x 的范围表示下列数轴上所表示的公共部分： (1)________________________； (2)_______________________； (3)________________________.二、选择题：4．不等式组⎩⎨⎧+<+>-5312,243x x x 的解集为( )．(A)x ＜－4 (B)x ＞2 (C)－4＜x ＜2 (D)无解5．不等式组⎩⎨⎧>+<-023,01x x 的解集为( )．(A)x ＞1(B)132<<-x(C)32-<x (D)无解三、解下列不等式组，利用数轴确定不等式组的解集．6．⎩⎨⎧≥-≥-.04,012x x 7．⎩⎨⎧>+≤-.074,03x x8．⎪⎩⎪⎨⎧+>-≤-.3342,121x x x x 9．－5＜6－2x ＜3．四、解答题：10．解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧⋅<-+≤+321),2(352x x x x 并写出不等式组的整数解．(二)综合运用诊断一、填空题：11．当x 满足______时，235x-的值大于－5而小于7. 12．不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅≤-+<2512,912x x x x 的整数解为______．二、选择题：13．如果a ＞b ，那么不等式组⎩⎨⎧<<.,b x a x 的解集是( )．(A)x ＜a(B)x ＜b(C)b ＜x ＜a(D)无解14．不等式组⎩⎨⎧+>+≤+1,159m x x x 的解集是x ＞2，则m 的取值范围是( )．(A)m ≤2(B)m ≥2 (C)m ＜1 (D)m ＞1三、解答题：15．求不等式组73123<--≤x 的整数解． 16．解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-<-->-->+.3273,4536,7342x x x x x x17．当k 取何值时，方程组⎩⎨⎧-=+=-52,53y x k y x 的解x 、y 都是负数?18．已知⎩⎨⎧+=+=+122,42k y x k y x 中的x 、y 满足且0＜y －x ＜1，求k 的取值范围．(三)拓广、探究、思考19．已知a 是自然数，关于x 的不等式组⎩⎨⎧>-≥-.02,43x a x 的解集是x ＞2，求a 的值．20．关于x 的不等式组⎩⎨⎧->-≥-.123,0x a x 的整数解共有5个．求a 的取值范围．测试6 一元一次不等式组(二)学习要求：进一步掌握一元一次不等式组．(一)课堂学习检测一、填空题：1．直接写出解集：(1)⎩⎨⎧->>3,2x x 的解集是______；(2)⎩⎨⎧-<<3,2x x 的解集是______；(3)⎩⎨⎧-><32x x 的解集是______；(4)⎩⎨⎧-<>3,2x x 的解集是______．2．一个两位数，它的十位数字比个位数字小2，如果这个数大于20且小于40，那么此数为______．二、选择题：3．如果式子7x －5与－3x ＋2的值都小于1，那么x 的取值范围是( )．(A)76<x (B)31>x (C)7631<<x (D)无解4．已知不等式组⎩⎨⎧->--+-≤-).23(2)1(53,1)1(3)3(2x x x x x 它的整数解一共有( )．(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个5．若不等式组⎩⎨⎧>≤<k x x 21有解，则k 的取值范围是( )．(A)k ＜2 (B)k ≥2 (C)k ＜1(D)1≤k ＜2三、解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来：6．⎪⎩⎪⎨⎧⋅>-<-322,352x x x x 7．⎪⎩⎪⎨⎧->---->-.6)2(3)3(2,132x x x x8．⎪⎩⎪⎨⎧+>-≤+).2(28,142x x x9．.234512x x x -≤-≤-(二)综合运用诊断一、填空题：10．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧⋅<->+233,152x x 的所有整数解的和是______，积是______．11．k 满足______时，方程组⎩⎨⎧=-=+.4,2y x k y x 中的x 大于1，y 小于1．二、解下列不等式组：12．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+->+--.1)]3(2[21,312233x x x x x 13．⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⋅>-->-->-24,255,13x x x x x x三、解答题：14．k 取哪些整数时，关于x 的方程5x ＋4＝16k －x 的根大于2且小于10?15．已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧-=-+=+3472m y x m y x ，的解为正数．(1)求m 的取值范围；(2)化简｜3m ＋2｜－｜m －5｜．(三)拓广、探究、思考16．若关于x 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+->+a x x x x 322,3215只有4个整数解，求a 的取值范围．测试7 利用不等关系分析实际问题学习要求：利用不等式(组)解决较为复杂的实际问题；感受不等式(组)在实际生活中的作用．(一)课堂学习检测列不等式(组)解应用题：1．一个工程队原定在10天内至少要挖掘600m 3的土方．在前两天共完成了120m 3后，接到要求要提前2天完成掘土任务．问以后几天内，平均每天至少要挖掘多少土方?2．某城市平均每天产生垃圾700吨，由甲、乙两个垃圾厂处理．如果甲厂每小时可处理垃圾55吨，需花费550元；乙厂每小时处理45吨，需花费495元，如果规定该城市每天用于处理垃圾的费用的和不能超过7150元，问甲厂每天至少要处理多少吨垃圾?3．若干名学生，若干间宿舍，若每间住4人将有20人无法安排住处；若每间住8人，则有一间宿舍的人不空也不满，问学生有多少人?宿舍有几间?4．今年5月12日，汶川发生了里氏8.0级大地震，给当地人民造成了巨大的损失．某中学全体师生积极捐款，其中九年级的3个班学生的捐款金额如下表：老师统计时不小心把墨水滴到了其中两个班级的捐款金额上，但他知道下面三条信息：信息一：这三个班的捐款总金额是7700元；信息二：(2)班的捐款金额比(3)班的捐款金额多300元；信息三：(1)班学生平均每人捐款的金额大于．．51元．．．48元，小于请根据以上信息，帮助老师解决：①(2)班与(3)班的捐款金额各是多元；②(1)班的学生人数．(二)综合运用诊断5．某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道出租公司有42座和60座客车，42座客车的租金为每辆320元，60座客车的租金为每辆460元．(1)若学校单独租用这两种客车各需多少钱?(2)若学校同时租用这两种客车8辆(可以坐不满)，而且比单独租用一种车辆节省租金，请选择最节省的租车方案．(三)拓广、探究、思考6．在“5·12大地震”灾民安置工作中，某企业接到一批生产甲种板材24000m2和乙种板材12000m2的任务．(1)已知该企业安排140人生产这两种板材，每人每天能生产甲种板材30m2或乙种板材20m2．问：应分别安排多少人生产甲种板材和乙种板材，才能确保他们用相同的时间完成各自的生产任务?(2)某灾民安置点计划用该企业生产的这批板材搭建A，B两种型号的板房共400间，在搭建过程中，按实际需要调运这两种板材．已知建一间A型板房和一间B型板房所需板材及能问：这400间板房最多能安置多少灾民?全章测试(一)一、填空题：1．用“＞”或“＜”填空：(1)m ＋3______m －3；(2)4－2x ______5－2x ；(3);23______13--yy (4)a ＜b ＜0，则a 2______b 2；(5)若23yx -<-，则2x ______3y ． 2．若使3233->-yy 成立，则y ______． 3．不等式x ＞－4．8的负整数解是______． 二、选择题：4．x 的一半与y 的平方的和大于2，用不等式表示为( )．(A)2212>+y x (B)2212>++y x (C)222>+y x(D)221>+y x 5．因为－5＜－2，所以( )． (A)－5x ＜－2x (B)－5x ＞－2x (C)－5x ＝－2x (D)三种情况都可能 6．若a ≠0，则下列不等式成立的是( )． (A)－2a ＜2a (B)－2a ＜2(－a )(C)－2－a ＜2－a(D)aa 22<-7．下列不等式中，对任何有理数都成立的是( )． (A)x －3＞0 (B)｜x ＋1｜＞0 (C)(x ＋5)2＞0 (D)－(x －5)2≤0 8．若a ＜0，则关于x 的不等式｜a ｜x ＜a 的解集是( )． (A)x ＜1 (B)x ＞1 (C)x ＜－1(D)x ＞－1三、解不等式(组)，并把解集在数轴上表示出来：9．.11252476312-+≥---x x x 10．⎪⎩⎪⎨⎧<+-+--≤+.121331),3(410)8(2x x x x四、解答题：11．x 取何整数时，式子729+x 与2143-x 的差大于6但不大于8．12．当k 为何值时，方程1)(5332+-=-k x k x 的解是(1)正数；(2)负数；(3)零．13．已知方程组⎩⎨⎧-=+=-k y x k y x 513,2的解x 与y 的和为负数．求k 的取值范围．14．不等式m m x ->-2)(31的解集为x ＞2．求m 的值．15．某车间经过技术改造，每天生产的汽车零件比原来多10个，因而8天生产的配件超过200个．第二次技术改造后，每天又比第一次技术改造后多做配件27个，这样只做了4天，所做配件个数就超过了第一次改造后8天所做配件的个数．求这个车间原来每天生产配件多少个?16．仔细观察下图，认真阅读对话：根据对话的内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少?全章测试(二)一、填空题1．当m ______时，方程5(x －m )＝－2有小于－2的根． 2．满足5(x －1)≤4x ＋8＜5x 的整数x 为______．3．若11|1|=--xx ，则x 的取值范围是______． 4．已知b ＜0＜a ，且a ＋b ＜0，则按从小到大的顺序排列a 、－b 、－｜a ｜、－｜－b ｜四个数为______．二、选择题5．若0＜a ＜b ＜1，则下列不等式中，正确的是( )．,11;11;1;1ba b a b a b a <><>④③②①(A)①、③ (B)②、③ (C)①、④ (D)②、④ 6．下列命题结论正确的是( )．(1)若a ＞b ，则－a ＞－b ；(2)若a ＞b ，则3－2a ＞3－2b ；(3)8｜a ｜＞5｜a ｜． (A)(1)、(2)、(3) (B)(2)、(3) (C)(3) (D)没有一个正确 7．若不等式(a ＋1)x ＞a ＋1的解集是x ＜1，则a 必满足( )． (A)a ＜0 (B)a ＞－1 (C)a ＜－1 (D)a ＜1 8．已知x ＜－3，那么｜2＋｜3＋x ｜｜的值是( )． (A)－x －1 (B)－x ＋1 (C)x ＋1 (D)x －1 9．如下图，对a 、b 、c 三种物体的重量判断正确的是( )．(A)a ＜c(B)a ＜b (C)a ＞c(D)b ＜c三、解不等式(组)：10．3(x ＋2)－9≥－2(x －1)． 11．.57321<+<-x12．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--+<-.0415221131x x x x 13．求⎪⎩⎪⎨⎧≤-->032,134x x x 的整数解．14．如果关于x 的方程3(x ＋4)－4＝2a ＋1的解大于方程3)43(414-=+x a x a 的解， 求a 的取值范围．15．某单位要印刷一批北京奥运会宣传资料，在需要支付制版费600元和每份资料0.3元印刷费的前提下，甲、乙两个印刷厂分别提出了不同的优惠条件，甲印刷厂提出：凡印刷数量超过2000份的，超过部分的印刷费可按9折收费，乙印刷厂提出：凡印刷数量超过3000份的，超过部分印刷费可按8折收费。
(完整版)不等式与不等式组小结与解含参数问题题型归纳
第九章不等式与不等式知识点归纳-不等式及其解隼和不等式的性质用不等号表示大小关系的式子叫做不等式。
常见不等号有：“<”“>” y”“ H J含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集，解不等式就是求不等式的注：①在数轴上表示不等式解集时，有等号用实心点，无等号用空心圈。
©方向：大于向右画，小于向左画。
不等式的三个性质：①不等式两边同时加（或减）同一数或式子，不等号不变：②不等式两边同时乘（或除）同…正数，不等号不变：③不等式两边同时乘（或除）同一负数，不等号改变。
作差法比较a与b的大小:若a-b > 0则a>b;若a-b < 0 ;则Xb;若a-b=O,则a=b©例1、卜•列式子中哪些是不等式？①Oa+b=b+a; @a<b —5：③一3>—5;④xHl :⑤2x・3。
例2、若avbvo, mVO.用不等号填空。
a h a + i h + i 2 7① a—b __ 0：②a—5 b—5; ③一_ — _ :④___ = : ⑤G”_________ /?/«"— 1 2 3 2bnio⑥ab 0；⑦a+m b+m：⑧a? ____ b?；⑨am例3.①由ax < a ,可得X > 1可得a ______ :②由ax < a .可得*1可得《③ 由加x-2<2;v-w可得x>-l,那么"I 例取不等式5（»・+ 2）<28-2工的非负整数解是二、一元一次不等式及其实际问题一元一次不等式的探念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1,且不等式的两边都是整式（即分母中不含未知数），这样的不等式叫做一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（两边每一项同乘分母的最小公倍数）（2）去括号（括号里每一项都棘括号前面的系数）（3〉移项（变号后移项）（4）合并同类项（5）将X项系数化为1 （系数为员数要变号）。
第九章 不等式与不等式组 全章知识点归纳及典型题目练习(含答案)
第九章 不等式与不等式组1. 用“＜”或“＞”号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式.2. 把能使不等式成立的未知数的值叫做________________ . 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做________________________.3. 不等式的解集的表示方法：①用最简的不等式表示：如26x -<的解集为8x <.②用数轴表示：如x a > 在表示 a 的点上用空心圆圈表示不包括这一点，x a ≥在表示a 的点上用__________表示包括这一点.4. 一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集.求不等式的解集的过程叫做解不等式. 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式叫做_____________________.5. 一般地，不等式有以下性质：⑴不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向_________；⑵不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向_________； ⑶不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向_________.6. 解一元一次不等式的一般步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.注意点：不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变.7. 一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的______.解不等式组就是求它的解集.8. 解一元一次不等式组的一般步骤是⑴分别求出这个不等式组中各个不等式的解集；⑵利用数轴求这些不等式的解集的公共部分，即求出这个不等式组的解集. 不等式组的解集的四种情况（设a b >）：⑴,.x a x b >⎧⎨>⎩在数轴上表示为： ，解集为x a >.⑵,.x a x b <⎧⎨<⎩在数轴上表示为： ，解集为____________.⑶,.x a x b <⎧⎨>⎩在数轴上表示为： ，解集为___________________.⑷,.x a x b >⎧⎨<⎩在数轴上表示为： ，解集为_______________.熟悉以下各题：9. 无论x 取什么数时，下列不等式总能成立的是（ ）A ．20x +>B ．20x -<C ．20x +>D ．()220x +≥ 10. 若01,a <<则21,,a a a三者的大小关系是（ ） A ．21a a a >> B ．21a a a >> C ．21a a a >> D ．21a a a>>11. 下列命题中，错误的是（ ）A ．若2a >，则20a ->；B ．若2a >，则20a -<；C ．若22ac bc >，则a b >； D ．若a b >，则22ac bc >. 12. 不等式ax b >的解集是bx a<，那么a 的取值范围是…………………（ ） A ．0a ≤ B ．0a < C ．0a ≥ D ．0a > 13. 若不等式组3x x a >⎧⎨>⎩的解集是x a >，则a 的取值范围是…………………（ ） A ．3a < B ．3a = C ．3a > D ．3a ≥ 14. 若2x x a≤⎧⎨≤⎩的解集是2x ≤，则a 的取值范围是_________．15. 设,m n >用“＞”或“＜”填空：⑴5__5m n --； ⑵4___4m n ++； ⑶6___6m n ； ⑷11__33m n --； ⑸2__m m n +； ⑹___0m n -；⑺32___32m n ----. 16. 解下列一元一次不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：⑴()()325243x x +>+ ⑵()()104421x x --≤-17. 解下列一元一次不等式组⑴()324,12 1.3x x x x --≥⎧⎪⎨+>-⎪⎩ ⑵253(2)123x x x x +≤+⎧⎪-⎨<⎪⎩18. 已知不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩的解集为-1<x <1,则(a ＋1)(b －1)的值等于多少?19.长跑比赛中，张华跑在前面，在离终点100m时他以4m/s的速度向终点冲刺，在他身后10m的李明需以多快的速度同时开始冲刺，才能够在张华之前到达终点？20.甲乙两家商店出售同样的茶壶和茶杯，茶壶每只定价都是20元，茶杯每只定价都是5元.两家商店的优惠办法不同：甲商店是购买1只茶壶赠送1只茶杯；乙商店是按售价的92%收款.某顾客需购买4只茶壶、若干只（超过4只）茶杯.去哪家商店购买更合算？21.用每分钟时间可抽1.1吨水的A型抽水机来抽池水，半小时可以抽完；如果用B型抽水机，估计20分到22分钟可以抽完.B型抽水机比A型抽水机每分约多抽多少吨水？22.七（２）班共有50名学生，老师安排每人制作一件A型或B型的陶艺品，学校现有甲种制作材料36kg，乙种制作材料29kg，制作A、B两种型号的陶艺品用料情况如下表：（1）设制作B型陶艺品x件，求x的取值范围；（2）请你根据学校现有材料，分别写出七（2）班制作A型和B型陶艺品的件数．参考答案2.不等式的解 不等式的解集3.实心点4.一元一次不等式5.不变 不变 改变 7.解集 8.x b < b x a << 无解 图略 9.D 10.B 11.D 12.B 13.D 14.2a ≥ 15.＞ ＞ ＞ ＜ ＞ ＞ ＜ 16. 4.5x < 143x ≥数轴略 17.1x ≤ 13x -≤< 18. －6 19.速度不低于4.4m/s. 20. 设购买x 只茶坏.去甲商店购买需要[4205(4)x ⨯+-]元；去乙商店购买需要92%(4205)x ⨯+元. 若4205(4)92%(4205)x x ⨯+-=⨯+，解得34x =；4205(4)92%(4205)x x ⨯+->⨯+，解得34x >；若4205(4)92%(4205)x x ⨯+-<⨯+，解得34x <.即当购买34只茶杯时甲乙两家商店费用相同；当购买超过34只茶杯时，去乙商店购买更合算；当购买不足34只茶杯时，去甲商店购买更合算. 21. 设B 型抽水机每分钟抽x 吨水 20 1.13022 1.130x x ≤⨯⎧⎨≥⨯⎩解得1.5 1.65x ≤≤ 比而比A 型抽水机每分钟多抽0.4～0.55吨水. 22. ⑴1820x ≤≤且为整数 ⑵A 为32件，B 为18件；或A 为31件，B 为19个；或A 为30件，B 为20件.。
不等式与不等式组知识点(知识点填空题形式答案详细)
《不等式与不等式组》考点与典型习题训练一、不等式及其解集1．不等式：用“_____”或“_____”连接的表示大小关系的式子叫不等式。
2．用不等式表示： (1)m －3是正数______； (2)y ＋5是负数______； (3)x 不大于2______； (4)a 是非负数______；(5)a 的2倍比10大______； (6)y 的一半与6的和是负数______；(7)x 的3倍与5的和大于x 的31______；(8)m 的相反数是非正数______． 3．用“＜”或“＞”填空： (1)－2.5______5.2；(2)114-______125-；(3)｜－3｜______－(－2.3)； (4)a 2＋1______0； (5)0______｜x ｜＋4； (6)a ＋2______a ．4．“x 的23与5的差不小于－4的相反数”，用不等式表示为______． 二、不等式的解和解集：5．把使不等式成立的未知数的_____叫不等式的解。
一般地，一个含有未知数的不等式的_____，组成这个不等式的解集6．判断题(1）不等式5－x ＞2的解集有无数个． .................................................( )(2）不等式x ＞－1的整数解有无数个．( ) (3）不等式32421<<-x 的整数解有0，1，2，3，4．( )7．“a 的2倍减去b 的差不大于－3”用不等式可表示为( )． A ．)2a －b ＜－3 B ．)2(a －b )＜－3 C ．)2a －b ≤－3D ．)2(a －b )≤－38．：如图，在数轴上表示的解集对应的是( )．A ．)－2＜x ＜4B ．)－2＜x ≤4C ．)－2≤x ＜4D ．)－2≤x ≤4三、不等式性质9．不等式的性质①：不等式的两边加（或减）同一个数(或式子)，不等号的方向不变.不等式的性质②不等式的两边乘（或除以）同一个_____，不等号的方向不变.，可以用式子表示为若 不等式的性质③不等式的两边乘（或除以）同一个_____，不等号的方向 改变，可以用式子表示为若10．设a>b ，用不等号填空：①1a -_____1b - ②3a _____3b ③5a -_____5b - ④28a +_____28b+ 11．用“＜”或“＞”填空：(1)若a －2＞b －2，则a ______b ；(2)若33ba <，则a ______b ；2 / 6 《不等式与不等式组》考点与典型习题训练(3)若－4a ＞－4b ，则a ______b ；(4)22ba -<-，则a ______b ． 12．（2014山东滨州 6，3分）a b 、都是实数，且a b <，则下列不等式的变形正确的是（）A. a x b x +>+B. 11a b -+<-+C. 33a b < D 22a b>13．如果a 2x ＞a 2y (a ≠0)．那么x ______y14．若不等式(a ＋1)x ＞a ＋1的解集是x ＜1，则a 必满足( )．A ．)a ＜0B ．)a ＞－1C ．)a ＜－1D ．)a ＜1四、一元一次不等式及其解集15．定义：含______未知数且未知项的最高次数是______的不等式叫一元一次不等式解和解集：使一元一次不等式成立的未知数的值叫一元一次不等式的解；所有的解组成一元一次不等式的解集。
不等式(组) 知识归纳+真题解析
不等式（组）知识归纳＋真题解析【知识归纳】1．不等式的有关概念：用 连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的的值叫做不等式的解；一个含有的不等式的解的叫做不等式的解集.求一个不等式的的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式.2．不等式的基本性质：（1）若a ＜b ，则a +c c b +；（2）若a ＞b ，c ＞0则ac bc （或c ac b ）； （3）若a ＞b ，c ＜0则ac bc （或c a cb ）. 3．一元一次不等式：只含有未知数，且未知数的次数是，且不等式的两边都是，称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为或ax b <；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、、移项、、系数化为1.4．一元一次不等式组：几个合在一起就组成一个一元一次不等式组.一般地，几个不等式的解集的，叫做由它们组成的不等式组的解集.5．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知a b <） x a x b <⎧⎨<⎩的解集是，即“小小取小”；x a x b >⎧⎨>⎩的解集是，即“大大取大”； x a x b >⎧⎨<⎩的解集是，即“大小小大中间找”；x a x b <⎧⎨>⎩的解集是，即“大大小小取不了”. 6．列不等式（组）解应用题的一般步骤：①审： ；②找：；③设：；④列：；⑤解：；⑥答：.【知识归纳答案】1．不等式的有关概念：不等号、未知数、未知数、集合、解集、2．不等式的基本性质：（1）、＜（2）＞、＞；（3）＜、＜3．一元一次不等式：一个、1，、整式，、ax b >、去括号、合并同类项4．一元一次不等式组：一元一次不等式、公共部分5．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：<，、x bx a<<；空集.>；a x b6．列不等式（组）解应用题的一般步骤：①审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；②找：找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系；③设：设未知数（一般求什么，就设什么为x；④列：根据这个不等关系列出需要的代数式，从而列出不等式（组）；⑤解：解所列出的不等式（组），写出未知数的值或范围；⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位）.真题解析1．若3x＞﹣3y，则下列不等式中一定成立的是（）A．x+y＞0 B．x﹣y＞0 C．x+y＜0 D．x﹣y＜0【考点】C2：不等式的性质．【分析】根据不等式的性质，可得答案．【解答】解：两边都除以3，得x＞﹣y，两边都加y，得x+y＞0，故选：A．2．已知实数a，b满足a+1＞b+1，则下列选项错误的为（）A．a＞b B．a+2＞b+2 C．﹣a＜﹣b D．2a＞3b【考点】C2：不等式的性质．【分析】根据不等式的性质即可得到a＞b，a+2＞b+2，﹣a＜﹣b．【解答】解：由不等式的性质得a＞b，a+2＞b+2，﹣a＜﹣b．故选D．3．关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，则m的值为（）A．14 B．7 C．﹣2 D．2【考点】C3：不等式的解集．【分析】本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，求得x的解集，再根据x≥4，求得m的值．【解答】解：≤﹣2，m﹣2x≤﹣6，﹣2x≤﹣m﹣6，x≥m+3，∵关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，∴m+3=4，解得m=2．故选：D．学科网4．不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集．【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法进行解答即可．【解答】解：∵x＞﹣1，∴在﹣1处是空心圆点且折线向右，∵x＜2，∴在2处是空心圆点且折现向左，不等式组的解集在数轴上表示在数轴上表示为：故选B．5．不等式4﹣2x＞0的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．【考点】C6：解一元一次不等式；C4：在数轴上表示不等式的解集．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、系数化为1可得．【解答】解：移项，得：﹣2x＞﹣4，系数化为1，得：x＜2，故选：D．二．填空题（共5小题）6．商家花费760元购进某种水果80千克，销售中有5%的水果正常损耗，为了避免亏本，售价至少应定为10元/千克．【考点】C9：一元一次不等式的应用．【分析】设商家把售价应该定为每千克x元，因为销售中有5%的水果正常损耗，故每千克水果损耗后的价格为x（1﹣5%），根据题意列出不等式即可．【解答】解：设商家把售价应该定为每千克x元，根据题意得：x（1﹣5%）≥，解得，x≥10，故为避免亏本，商家把售价应该至少定为每千克10元．故答案为：10．学科网7．不等式组的解集是4＜x≤5．【考点】CB：解一元一次不等式组．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：∵解不等式①得：x≤5，解不等式②得：x＞4，∴不等式组的解集为4＜x≤5，故答案为：4＜x≤5．8．学完一元一次不等式的解法后，老师布置了如下练习：解不等式：≥7﹣x，并把它的解集在数轴上表示出来．以下是小明的解答过程：第一步：去分母，得15﹣3x≥2（7﹣x），第二步：去括号，得15﹣3x≥14﹣2x，第三步：移项，得﹣3x+2x≥14﹣15，第四步：合并同类项，得﹣x≥﹣1，第五步：系数化为1，得x≥1．第六步：把它的解集在数轴上表示为：请指出从第几步开始出现了错误第五步，你判断的依据是不等式基本性质3（不等式的两边同时乘以或除以一个负数不等号的方向要改变）．【考点】C6：解一元一次不等式；C4：在数轴上表示不等式的解集．【分析】根据不等式的基本性质逐个判断即可．【解答】解：15﹣3x≥2（7﹣x），去括号，得15﹣3x≥14﹣2x，移项，得﹣3x+2x≥14﹣15，合并同类项，得﹣x≥﹣1，系数化为1，得x≤1（不等式的两边同时乘以或除以一个负数，不等号的方向要改变）．故答案为：第五步，不等式的基本性质3（不等式的两边同时乘以或除以一个负数，不等号的方向要改变）9．不等式1﹣2x≥3的解是x≤﹣1．【考点】C6：解一元一次不等式．【分析】移项，合并菱形，系数化成1即可．【解答】解：1﹣2x≥3，﹣2x≥2，x≤﹣1，故答案为：x≤﹣110．2016年在东安县举办了永州市首届中学生足球比赛，比赛规则是：胜一场积3分，平一场积1分；负一场积0分．某校足球队共比赛11场，以负1场的成绩夺得了冠军，已知该校足球队最后的积分不少于25分，则该校足球队获胜的场次最少是8场．【考点】C9：一元一次不等式的应用．【分析】设该校足球队获胜的场次是x场，根据比赛规则和比赛结果列出不等式并解答．【解答】解：设该校足球队获胜的场次是x场，依题意得：3x+（11﹣x﹣1）≥25，3x+10﹣x≥25，2x≥15，x≥7.5．因为x是正整数，所以x最小值是8，即该校足球队获胜的场次最少是8场．故答案是：8．学科网三．解答题（共10小题）11．已知关于x的不等式＞x﹣1．（1）当m=1时，求该不等式的解集；（2）m取何值时，该不等式有解，并求出解集．【考点】C3：不等式的解集．【分析】（1）把m=1代入不等式，求出解集即可；学科网（2）不等式去分母，移项合并整理后，根据有解确定出m的范围，进而求出解集即可．【解答】解：（1）当m=1时，不等式为＞﹣1，去分母得：2﹣x＞x﹣2，解得：x＜2；学科网（2）不等式去分母得：2m﹣mx＞x﹣2，移项合并得：（m+1）x＜2（m+1），当m≠﹣1时，不等式有解，当m＞﹣1时，不等式解集为x＜2；当x＜﹣1时，不等式的解集为x＞2．12．小明解不等式﹣≤1的过程如图．请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．【考点】C6：解一元一次不等式．【分析】根据一元一次不等式的解法，找出错误的步骤，并写出正确的解答过程即可．【解答】解：错误的是①②⑤，正确解答过程如下：去分母，得3（1+x）﹣2（2x+1）≤6，去括号，得3+3x﹣4x﹣2≤6，移项，得3x﹣4x≤6﹣3+2，合并同类项，得﹣x≤5，两边都除以﹣1，得x≥﹣5．学科网13．对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b=2a﹣b．例如：5⊗2=2×5﹣2=8，（﹣3）⊗4=2×（﹣3）﹣4=﹣10．（1）若3⊗x=﹣2011，求x的值；（2）若x⊗3＜5，求x的取值范围．【考点】C6：解一元一次不等式；2C：实数的运算；86：解一元一次方程．【分析】（1）根据新定义列出关于x的方程，解之可得；（2）根据新定义列出关于x的一元一次不等式，解之可得．【解答】解：（1）根据题意，得：2×3﹣x=﹣2011，解得：x=2017；（2）根据题意，得：2x﹣3＜5，解得：x＜4．14．威丽商场销售A，B两种商品，售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元，售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元．（1）求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元；（2）由于需求量大，A、B两种商品很快售完，威丽商场决定再一次购进A、B 两种商品共34件．如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元，那么威丽商场至少需购进多少件A种商品？【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用．【分析】（1）设A种商品售出后所得利润为x元，B种商品售出后所得利润为y 元．由售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元，售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元建立两个方程，构成方程组求出其解就可以；（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（34﹣a）件．根据获得的利润不低于4000元，建立不等式求出其解就可以了．【解答】解：（1）设每件A种商品售出后所得利润为x元，每件B种商品售出后所得利润为y元．由题意，得，解得：答：每件A种商品售出后所得利润为200元，每件B种商品售出后所得利润为100元．（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（34﹣a）件．由题意，得200a+100（34﹣a）≥4000，解得：a≥6答：威丽商场至少需购进6件A种商品．15．某新建成学校举行美化绿化校园活动，九年级计划购买A，B两种花木共100棵绿化操场，其中A花木每棵50元，B花木每棵100元．（1）若购进A，B两种花木刚好用去8000元，则购买了A，B两种花木各多少棵？（2）如果购买B花木的数量不少于A花木的数量，请设计一种购买方案使所需总费用最低，并求出该购买方案所需总费用．【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用．【分析】（1）设购买A种花木x棵，B种花木y棵，根据“A，B两种花木共100棵、购进A，B两种花木刚好用去8000元”列方程组求解可得；（2）设购买A种花木a棵，则购买B种花木棵，根据“B花木的数量不少于A花木的数量”求得a的范围，再设购买总费用为W，列出W关于a的解析式，利用一次函数的性质求解可得．【解答】解：（1）设购买A种花木x棵，B种花木y棵，根据题意，得：，解得：，答：购买A种花木40棵，B种花木60棵；（2）设购买A种花木a棵，则购买B种花木棵，根据题意，得：100﹣a≥a，解得：a≤50，设购买总费用为W，则W=50a+100=﹣50a+10000，∵W随a的增大而减小，∴当a=50时，W取得最小值，最小值为7500元，答：当购买A种花木50棵、B种花木50棵时，所需总费用最低，最低费用为7500元．学科网16．小黄准备给长8m，宽6m的长方形客厅铺设瓷砖，现将其划分成一个长方形ABCD区域Ⅰ（阴影部分）和一个环形区域Ⅱ（空白部分），其中区域Ⅰ用甲、乙、丙三种瓷砖铺设，且满足PQ∥AD，如图所示．（1）若区域Ⅰ的三种瓷砖均价为300元/m2，面积为S（m2），区域Ⅱ的瓷砖均价为200元/m2，且两区域的瓷砖总价为不超过12000元，求S的最大值；（2）若区域Ⅰ满足AB：BC=2：3，区域Ⅱ四周宽度相等①求AB，BC的长；②若甲、丙两瓷砖单价之和为300元/m2，乙、丙瓷砖单价之比为5：3，且区域Ⅰ的三种瓷砖总价为4800元，求丙瓷砖单价的取值范围．【考点】C9：一元一次不等式的应用；HE：二次函数的应用；LB：矩形的性质．【分析】（1）根据题意可得300S+（48﹣S）200≤12000，解不等式即可；（2）①设区域Ⅱ四周宽度为a，则由题意（6﹣2a）：（8﹣2a）=2：3，解得a=1，由此即可解决问题；②设乙、丙瓷砖单价分别为5x元/m2和3x元/m2，则甲的单价为元/m2，由PQ ∥AD，可得甲的面积=矩形ABCD的面积的一半=12，设乙的面积为s，则丙的面积为（12﹣s），由题意12+5x•s+3x•（12﹣s）=4800，解得s=，由0＜s＜12，可得0＜＜12，解不等式即可；【解答】解：（1）由题意300S+（48﹣S）200≤12000，解得S≤24．∴S的最大值为24．（2）①设区域Ⅱ四周宽度为a，则由题意（6﹣2a）：（8﹣2a）=2：3，解得a=1，∴AB=6﹣2a=4，CB=8﹣2a=6．②设乙、丙瓷砖单价分别为5x元/m2和3x元/m2，则甲的单价为元/m2，∵PQ∥AD，∴甲的面积=矩形ABCD的面积的一半=12，设乙的面积为s，则丙的面积为（12﹣s），由题意12+5x•s+3x•（12﹣s）=4800，解得s=，∵0＜s＜12，∴0＜＜12，又∵300﹣3x＞0，综上所述，50＜x＜100，150＜3x＜300，∴丙瓷砖单价3x的范围为150＜3x＜300元/m2．17．“春种一粒粟，秋收万颗子”，唐代诗人李绅这句诗中的“粟”即谷子（去皮后则称为“小米”），被誉为中华民族的哺育作物．我省有着“小杂粮王国”的美誉，谷子作为我省杂粮谷物中的大类，其种植面积已连续三年全国第一．2016年全国谷子种植面积为2000万亩，年总产量为150万吨，我省谷子平均亩产量为160kg，国内其他地区谷子的平均亩产量为60kg，请解答下列问题：（1）求我省2016年谷子的种植面积是多少万亩．（2）2017年，若我省谷子的平均亩产量仍保持160kg不变，要使我省谷子的年总产量不低于52万吨，那么，今年我省至少应再多种植多少万亩的谷子？【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用．【分析】（1）可设我省2016年谷子的种植面积是x万亩，其他地区谷子的种植面积是y万亩，根据2016年全国谷子年总产量为150万吨列出方程组求解即可；（2）可设我省应种植z万亩的谷子，根据我省谷子的年总产量不低于52万吨列出不等式求解即可．【解答】解：（1）设我省2016年谷子的种植面积是x万亩，其他地区谷子的种植面积是y万亩，依题意有，解得．答：我省2016年谷子的种植面积是300万亩．（2）设我省应种植z万亩的谷子，依题意有，解得z≥325，325﹣300=25（万亩）．答：今年我省至少应再多种植25万亩的谷子．18．某校计划组织师生共300人参加一次大型公益活动，如果租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满，已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个．（1）求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数；（2）由于最后参加活动的人数增加了30人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为将所有参加活动的师生装载完成，求租用小客车数量的最大值．【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用．【分析】（1）根据题意结合每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个以及师生共300人参加一次大型公益活动，分别得出等式求出答案；（2）根据（1）中所求，进而利用总人数为300+30，进而得出不等式求出答案．【解答】解：（1）设每辆小客车的乘客座位数是x个，大客车的乘客座位数是y 个，根据题意可得：，解得：，答：每辆小客车的乘客座位数是18个，大客车的乘客座位数是35个；（2）设租用a辆小客车才能将所有参加活动的师生装载完成，则18a+35（11﹣a）≥300+30，解得：a≤3，符合条件的a最大整数为3，答：租用小客车数量的最大值为3．19．（1）计算：|﹣1|﹣+2sin45°+（）﹣2；（2）解不等式组：．【考点】CB：解一元一次不等式组；2C：实数的运算；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【分析】（1）原式利用二次根式性质，特殊角的三角函数值，以及负整数指数幂法则计算即可得到结果．（2）分别求得两个不等式的解集，然后取其公共部分即可．【解答】解：（1）原式=﹣1﹣2+2×+4=﹣1﹣2++4 =3；20．解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（1）解不等式①，得 x ≥1 ；（2）解不等式②，得 x ≤3 ；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（4）原不等式组的解集为 1≤x ≤3 ．【考点】CB ：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据各不等式解集在数轴上的表示，由公共部分即可确定不等式组的解集．【解答】解：（1）解不等式①，得：x ≥1；（2）解不等式②，得：x ≤3；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（4）原不等式组的解集为1≤x ≤3，故答案为：x ≥1，x ≤3，1≤x ≤3．。
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初中精品数学精选精讲学科：数学任课教师：授课时间：年月姓名年级课时教学课题不等式与不等式组教学目标（知识点、考点、能力、方法）知识点：不等式及性质，一元一次不等式，一元一次不等式组。
考点：不等式的解集，一元一次不等式及一元一次不等式组的解法，列一元一次不等式组解实际问题。
能力：能判断及解不等式组及不等式组，通过具体实例建立不等式，探索不等式的基本性质。
方法：了解一般不等式的解、解集以及解不等式的概念；然后具体研究一元一次不等式、一元一次不等式组的解、解集、难点重点一元一次不等式及一元一次不等式组的解法.实际问题与一元一次不等式（组）课堂教学过程课前检查作业完成情况：优□良□中□差□建议______________________________________________ 一、知识点大集锦不等式与不等式组１.熟悉知识体系２．不等式与不等式组的概念不等式：用“大于号”、“小于号”、“不等号”、“大于等于”或“小于等于”连接并具有大小关系的式子，叫做不等式。
不等式组：几个不等式联立起来，叫做不等式组．（注意：当有A<B<V类形式的不等式也算不等式组，叫做“连不等式”。
解连不等式可把它拆成不等式组来求解。
３．一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是一次，这样的不等式，叫做一元一次不等式．４.不等式的基本性质：性质l:不等式的两边都加上(或减去)同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；性质3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变２．５.解不等式组解不等式组，可以先把其中的不等式逐条算出各自的解集，然后分别在数轴上表示出来。
（1） 求出不等式组中每个不等式的解集（2） 借助数轴找出各解集的公共部分（3） 写出不等式组的解集求公共部分的规律:大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无解.以两条不等式组成的不等式组为例，①若两个未知数的解集在数轴上表示同向左，就取在左边的未知数的解集为不等式组的解集，此乃“同小取小”②若两个未知数的解集在数轴上表示同向右，就取在右边的未知数的解集为不等式组的解集，此乃“同大取大”③若两个未知数的解集在数轴上相交，就取它们之间的值为不等式组的解集。
若x 表示不等式的解集，此时一般表示为a<x<b ，或a≤x≤b。
此乃“相交取中”④若两个未知数的解集在数轴上向背，那么不等式组的解集就是空集，不等式组无解。
此乃“向背取空 ６．类比一元一次方程解一元一次不等式例如：解下列方程和不等式：131222+-=+x x ;131222+-≥+x x 解： 3(2＋x)＝2(2x －1)＋6 1、去分母： 解：3(2＋x)≥2(2x－1)＋66＋3x ＝4x －2＋6 2、去括号： 6＋3x≥4x－2＋63x －4x ＝－2＋6－6 3、移项： 3x －4x≥－2＋6－6－x ＝－2 4、合并同类项： －x≥－2x ＝2 5、系数化为1： x≤2∴x ＝2是原方程的解 ∴x≤2是原不等式的解集。
注意：解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤虽然完全相同，但是要注意步骤1和5，如果乘数或除数是负数时，解不等式时要改变不等号的方向。
７.一元一次不等式组的解集一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集.８．列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤：（1） 审题；（2）设未知数；（3）根据不等关系列不等组；（4）解不等式组；（5）检验并作答。
二、经典例题讲解【例1】（1）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（ ）• A. ⎩⎨⎧-<>32x x B. ⎩⎨⎧<->+0201y x• C. ⎩⎨⎧>+->-0)3)(2(023x x x D. ⎩⎨⎧>+>-x x x /11023 （2）下列说法正确的是（ ）• A. x=4不是不等式2x ＞7的一个解• B. x=4是不等式2x ＞7的解集• C. 不等式2x ＞7的解是x ＞4• D. 不等式2x ＞7的解集是x ＞3【例2】（1）如果b a >，你能很快说出下面各式的解集吗？⎩⎨⎧<<b x a x ⎩⎨⎧<>b x a x ⎩⎨⎧<>b x a x ⎩⎨⎧><b x a x （2）把不等式x≥-1的解集在数轴上表示出来，则正确的是（ ）•A. B. • C.D. 【例３】(1)不等式组⎩⎨⎧<-<-03321x x 的解集是 。
(2)不等式3253<-≤-x 的正整数解是 。
【例４】解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来（１）2x －1≥0 （2）4＜1－3x ＜13【例５】解下列不等式组(1)21241x x x x >-⎧⎨+<-⎩ （2)253(2)123x x x x +≤+⎧⎪-⎨<⎪⎩ 【例６】(广东茂名)某养鸡场计划购买甲、乙两种小鸡苗共2 000只进行饲养，已知甲种小鸡苗每只2元，乙种小鸡苗每只3元．(1)若购买这批小鸡苗共用了4 500元，求甲、乙两种小鸡苗各购买了多少只？(2)若购买这批小鸡苗的钱不超过4 700元，问：应选购甲种小鸡苗至少多少只？(3)相关资料表明：甲、乙两种小鸡苗的成活率分别为94%和99%，若要使这批小鸡苗的成活率不低于96%且买小鸡苗的总费用最小，问：应选购甲、乙两种小鸡苗各多少只？总费用最小是多少元？三、 课堂练习（一）不等式与不等式组概念1、若y 同时满足y+1>１0与y-2<0，则y 的取值范围是________在平面直角坐标系中，点P(2x-6，x-5)在第四象限，则x 的取值范围是________不等式23>7+5x 的正整数解的个数是_________２.如果a ＞b ，那么下列结论中，错误的是 （ ）A.a-3＞b-3B.3a ＞3bC.a ÷３＞b ÷３D.－a ＞－b３．下列各式中不是一元一次不等式组的是（ ）A.⎩⎨⎧->-<53/1y y B .⎩⎨⎧<+>-024053x x C. ⎩⎨⎧>+<-0201b a D .⎩⎨⎧≤+>-0205x x （二）不等式组的解法１.不等式组 ⎩⎨⎧+≤-+<24722x x x x 的解集是（ ）A. x ＜2B. x ＞-3C. -3≤x＜2D. x≤-32.(2012年湖南益阳)如图2－2－2，数轴上表示的是下列哪个不等式组的解集( )图2－2－2 A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥－5，x ＞－3 B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞－5，x ≥－3 C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜5，x ＜－3 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＜5，x ＞－3 3.解不等式组，并把解集在如图2－2－3所示的数轴上表示出来．⎩⎪⎨⎪⎧ x －3x －2≤4， ①1＋2x 3＞x －1. ②（三）用不等式组解实际问题（１）课外阅读课上，老师将43本书分给各个小组，每组8本，还有剩余；每组9本，却又不够，这个课外阅读小组共有（ ）。
A.4组B.5组C.6组D.7组（２）已知三个连续整数的和小于10，且最小的整数大于1，则三个连续整数中，最大的整数为 。
（３）排污公司用每小时可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水在1200吨到1500吨之间，那么大约需要x 小时才能把污水抽空，则x 满足（ ）。
A.5040<<xB.5040≤≤xC.5040≤<xD.5040<≤x1.不等式组⎩⎨⎧的解集是2.将下列数轴上的x 的范围用不等式表示出来______________3.−1<543+x ≤2的非正整数解为 4.a>b ，则－2a －2b5.3x ≤12的自然数解有 个6.不等式0.5x ＞－3的解集是7.用代数式表示，比x 的5倍大1的数不小于x 的0.5与4的差8.若(m −3)x<3−m 解集为x>−1，则m9.三角形三边长分别为4，a ，7，则a 的取值范围是10.某次数学测验中有16道选择题，评分办法：答对一道得6分，答错一道扣2分，不答得0分；某学生有一道题未答，那么这个同学至少要答对_____道题，成绩才能在60分以上．二、选择题（每小题３分，共１０小题，总３０分）11.在数轴上表示不等式x ≥－2的解集，正确的是（ ）A B C D12.下列叙述不正确的是( )A.若x<0，则x 2>x B.如果a<−1，则a>−a C.若43-<-a a ,则a>0 D.如果b>a>0，则ba 11-<- 13.设“○”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“○”、“□”、“△”这样的物体，按质量从大到小的顺序排列为（ ）A.○□△B.○△□C.□○△D.△□○14.天平右盘中的每个砝码的质量都是1g ，则物体A 的质量m(g)的取值范围，在数轴上可表示为（ ）A BC D15.代数式1−m 的值大于−1，又不大于3，则m 的取值范围是( )A.−1<m ≤3B.−3≤m<1C.−2≤m<2D.−2<m ≤216.不等式的正整数解为( )A.1个B.3个C.4个D.5个17.不等式组⎩⎨⎧->>>>1102x x 的解集是( ) A.x>−1 B.x>0 C.0<x<1 D.−2<x<118.如果关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧-=-==223a y x y x 的解是负数，则a 的取值范围是( ) A.−4<a<5 B.a>5 C.a<−4 D.无解19.若关于x 的不等式组⎩⎨⎧->+>-xx a x 14)1(202的解集是x>2a ，则a 的取值范围是( )A.a>4B.a>2C.a = 2D.a ≥220.若方程组⎩⎨⎧=++=+3212y x m y x 中，若未知数x 、y 满足x+y>0，则m 的取值范围是( )A.m>−4B.m ≥−4C.m<−4D.m ≤−4三、解答题（共４小题，总４０分）1（１２分）.解下列不等式(或不等式组)．（1）2x －3<6x ＋13； （2）2(5x －9)≤x+3(4－2x)（3）⎩⎨⎧>-+->-01243273x x x （4）⎩⎨⎧->-+<-x o x x x 5.515.1)12(3342（８分）.某城市一种出租汽车起步价是10元行驶路程在5km 以内都需10元车费)，达到或超过5km 后，每增加1km ，1.2元(不足1km ，加价1.2元；不足1km 部分按1km 计)；现在某人乘这种出租车从甲地到乙地，支付17.2元，则从甲地到乙地路程大约是多少？3（８分）.若不等式组⎩⎨⎧>-<-3212b x a x 的解集为−1<x<1，求(a+1)(b −1)的值．4（１２分）.为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备；现有A 、B 两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表：经预算,该企业购买设备的资金不高于105万元．(1)请你设计该企业有几种购买方案；(2)若该企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金,应选择哪种购买方案；(3)在第(2)问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元？（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）。