七年级数学：相交线与平行线-培优复习(附详细答案)(最新整理)

七年级数学：相交线与平行线培优复习

例题精讲

例1．如图(1)，直线a 与b 平行，∠1＝(3x+70)°,∠2=(5x+22)°,

求∠3 的度数。

解：∵a∥b，l

∴∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等） 3

∵∠1+∠3＝∠2+∠4＝180°(平角的定义)

4

∴∠1＝∠2 (等式性质) 2 b

则3x+70＝5x+22 解得x=24

即∠1＝142°

∴∠3＝180°-∠1＝38°图(1)

评注：建立角度之间的关系，即建立方程（组），是几何计算常用的方法。

例2．已知：如图(2)，AB∥EF∥CD，EG 平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D =192°，∠B-∠D=24°，求∠GEF 的度数。

A B

解：∵AB∥EF∥CD

∴∠B=∠BEF，∠DEF=∠D（两直线平行，内错角相等）

∵∠B+∠BED+∠D =192°（已知） E F

即∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=192° C

D ∴2（∠B+∠D）=192°（等量代换）

则∠B+∠D=96°（等式性质）

∵∠B-∠D=24°（已知）图

(2)

∴∠B=60°（等式性质）

即∠BEF=60°（等量代换）

∵EG 平分∠BEF（已知）

1

∴∠GEF= 2 ∠BEF=30°（角平分线定义）

例3．如图（3），已知AB∥CD，且∠B=40°，∠D=70°，求∠DEB 的度数。

C D 解：过E 作EF∥AB

∵AB∥CD（已知）

∴EF∥CD（平行公理）

B ∴∠BEF=∠B=40° ∠DEF=∠D=70°（两直线平行，内错角相等）

∵∠DEB=∠DEF-∠BEF E

∴∠DEB =∠D-∠B=30°

评注：证明或解有关直线平行的问题时，如果不构成“三线八角”，则应添出辅助线。

图（3）

例 4．平面上 n 条直线两两相交且无 3 条或 3 条以上直线共点，有多少个不同交点？

解：2 条直线产生 1 个交点，

第 3 条直线与前面 2 条均相交，增加 2 个交点，这时平面上 3 条直线共有 1+2=3 个交点；

第 4 条直线与前面 3 条均相交，增加 3 个交点，这时平面上 4 条直线共有 1+2+3=6 个 交点； …

1

则 n 条直线共有交点个数：1+2+3+…+ (n-1)= n(n-1)

2

评注：此题是平面上 n 条直线交点个数最多的情形，需要仔细观察，由简及繁，深入思考， 从中发现规律。

例 5．6 个不同的点，其中只有 3 点在同一条直线上，2 点确定一条直线，问能确定多少条直线？

解：6 条不同的直线最多确定：5+4+3+2+1=15 条直线，除去共线的 3 点中重合多算的 2 条

直线，即能确定的直线为 15-2=13 条。 另法：3 点所在的直线外的 3 点间最多能确定 3 条直线，这 3 点与直线上的 3 点最多有 3×3=9

条直线，加上 3 点所在的直线共有：3+9+1=13 条 1

评注：一般地，平面上 n 个点最多可确定直线的条数为：1+2+3+…+(n-1)= n(n-1)

2

例 6．10 条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？

解：2 条直线最多将平面分成 2+2=4 个不同区域；

3 条直线中的第 3 条直线与另两条直线相交，最多有两个交点，此直线被这两点分成 3 段， 每一段将它所在的区域一分为二，则区域增加 3 个，即最多分成 2+2+3=7 个不同区域； 同理：

4 条直线最多分成 2+2+3+4=11 个不同区域；

…

∴ 10 条直线最多分成 2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56 个不同区域

推广：n 条直线两两相交，最多将平面分成 2+2+3+4+…+n=1+ 1 n(n+1)= 1

(n 2+n+2)块不同

2

2

的区域

思考：平面内 n 个圆两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？

巩固练习

1．平面上有 5 个点，其中仅有3 点在同一直线上，过每2 点作一条直线，一共可以作直线（）条

A．6 B．7 C．8 D．9

2．平面上三条直线相互间的交点个数是（）

A．3 B．1 或3 C．1 或2 或3 D．不一定是1，2，3

3.平面上6 条直线两两相交，其中仅有3 条直线过一点，则截得不重叠线段共有（）A．36 条B．33 条C．24 条D．21 条

4.已知平面中有n 个点A, B, C 三个点在一条直线上，A, D, F , E 四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这n 个点作一条直线，那么一共可以画出 38 条不同的直线，这时n 等于（）

（A）9 （B）10 （C）11 （D）12

5.若平行直线AB、CD 与相交直线EF、GH 相交成如图示的图形，则共得同旁内角（）A．4 对B．8 对C．12 对D．16 对

6．如图，已知FD∥BE，则∠1+∠2-∠3=()

A．90°B．135°C．150°D．180°

A

E G 3 A 1

A B 1

C

F G C D B

C D

2 F 2 D

H F

第 5 题第 6 题

第7 题

7.如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，则∠E 与∠F 的大小关系；

8.平面上有5 个点，每两点都连一条直线，问除了原有的5 点之外这些直线最多还

有交点

A 9.平面上3 条直线最多可分平面为个部分。

C 10.如图，已知AB∥CD∥EF，PS GH 于P，∠FRG=110

E °，则∠PSQ＝。

11.已知A、B 是直线L 外的两点，则线段AB 的垂直平分

线与直线的交点个数是。

G

P B

Q D S

l F

R

第10题H