2017年山西省太原市高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2017年山西省太原市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．已知集合A={x|y=lg（x+1）}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）A．（﹣2，0）B．（0，2） C．（﹣1，2）D．（﹣2，﹣1）2．已知zi=2﹣i，则复数z在复平面对应点的坐标是（）A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（1，2）3．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则S11=（）A．66 B．55 C．44 D．334．已知=（1，cosα），=（sinα，1），0＜α＜π，若，则α=（）A． B． C．D．5．函数的图象大致为（）A．B．C．D．6．已知圆C：x2+y2=1，直线l：y=k（x+2），在[﹣1，1]上随机选取一个数k，则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为（）A．B．C．D．7．执行如图框图，已知输出的s∈[0，4]，若输入的t∈[m，n]，则实数n﹣m的最大值为（A．1 B．2 C．3 D．48．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．6π+1 B．C．D．9．已知D=，给出下列四个命题：P1：∀（x，y）∈D，x+y+1≥0；P2：∀（x，y）∈D，2x﹣y+2≤0；P3：∃（x，y）∈D，≤﹣4；P4：∃（x，y）∈D，x2+y2≤2．其中真命题的是（）A．P1，P2B．P2，P3C．P2，P4D．P3，P410．已知抛物线y2=4x的焦点为点F，过焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则|AB|=（）A．6 B．8 C．12 D．1611．已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0），若方程f（x）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（）A．（，]B．（，]C．（，]D．（，]12．设函数f（x）=与g（x）=a2lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．已知，若，则实数t=．14．已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为y=2x，则该双曲线的标准方程为．15．已知三棱锥A﹣BCD中，BC⊥CD，AB=AD=，BC=1，CD=，则该三棱锥外接球的体积为．16．已知数列{a n}中，，则其前n项和S n=．三、解答题17．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，a=2bcosB，b≠c．（1）证明：A=2B；（2）若a2+c2=b2+2acsinC，求A．18．某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵．某汽车经销商推出A、B、C 三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期100位采用上述分期付款的客户进行统计分析，得到如下的柱状图．已知从A、B、C三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车1俩所获得的利润分别是1万元，2万元，3万元．现甲乙两人从该汽车经销商处，采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆．以这100位客户所采用的分期付款方式的频率代替1位客户采用相应分期付款方式的概率．（1）求甲乙两人采用不同分期付款方式的概率；（2）记X（单位：万元）为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润，求X 的分布列与期望．19．如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF=2BE=2，EF=3．（1）证明：平面ACF⊥平面BEFD（2）若二面角A﹣EF﹣C是二面角，求直线AE与平面ABCD所成角的正切值．20．已知椭圆C：的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D在椭圆C上，直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、P 两点，与x轴、y轴分别相交于点N和M，且PM=MN，点Q是点P关于x轴的对称点，QM的延长线交椭圆于点B，过点A、B分别作x轴的垂涎，垂足分别为A1、B1（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线l，使得点N平分线段A1B1？若存在，求求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=2lnx+ax﹣（a∈R）在x=2处的切线经过点（﹣4，2ln2）（1）讨论函数f（x）的单调性（2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围．四、解答题（共1小题，满分10分）22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（其中φ为参数），曲线，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ=α（ρ≥0）与曲线C1，C2分别交于点A，B（均异于原点O）（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）当时，求|OA|2+|OB|2的取值范围．五、解答题（共1小题，满分0分）23．已知函数（1）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求实数m的最大值；（2）当a＜时，函数g（x）=f（x）+|2x﹣1|有零点，求实数a的取值范围．2017年山西省太原市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．已知集合A={x|y=lg（x+1）}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）A．（﹣2，0）B．（0，2） C．（﹣1，2）D．（﹣2，﹣1）【考点】交集及其运算．【分析】求解对数型函数的定义域化简集合A，然后直接利用交集运算求解．【解答】解：由x+1＞0，得x＞﹣1∴A=（﹣1，+∞），B={x||x|＜2}=（﹣2，2）∴A∩B=（﹣1，2）．故选：C2．已知zi=2﹣i，则复数z在复平面对应点的坐标是（）A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（1，2）【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由题意可得z=，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为a+bi 的形式，从而求得z对应的点的坐标．【解答】解：zi=2﹣i，∴z===﹣1﹣2i，∴复数z在复平面对应点的坐标是（﹣1，﹣2），故选：A．3．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则S11=（）A．66 B．55 C．44 D．33【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列等差数列通项公式求出a1+5d=3．即a6=3，由此能求出S11的值．【解答】解：∵S n是等差数列{a n}的前n项和，2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，∴2（a1+a1+2d+a1+4d）+3（a1+7d+a1+9d）=36，解得a1+5d=3．∴a6=3，∴S11===11a6=33．故选：D．4．已知=（1，cosα），=（sinα，1），0＜α＜π，若，则α=（）A． B． C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由向量垂直的条件：数量积为0，结合同角的商数关系，以及特殊角的三角函数值，即可得到所求值．【解答】解：=（1，cosα），=（sinα，1），若，可得•=sinα+cosα=0，即有tanα==﹣1，由0＜α＜π，可得α=．故选：B．5．函数的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数值的变化趋势．【解答】解：f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，则图象关于原点对称，故排A，B，当x=时，f（）==故选：D6．已知圆C：x2+y2=1，直线l：y=k（x+2），在[﹣1，1]上随机选取一个数k，则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据圆心到直线l的距离d＞r，列出不等式求出k的取值范围，利用几何概型的概率计算即可．【解答】解：圆C：x2+y2=1的圆心为（0，0），半径为r=1；且圆心到直线l：y=k（x+2）的距离为d==，直线l与圆C相离时d＞r，∴＞1，解得k＜﹣或k＞，故所求的概率为P==．故选：C．7．执行如图框图，已知输出的s∈[0，4]，若输入的t∈[m，n]，则实数n﹣m的最大值为（A．1 B．2 C．3 D．4【考点】程序框图．【分析】根据流程图所示的顺序知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件t的取值范围得分段函数的分类标准，由已知分类讨论即可得解．【解答】解：模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出分段函数S=的值，做出函数的图象，由题意可得：输出的s∈[0，4]，当m=0时，n∈[2，4]，n﹣m∈[2，4]，当n=4时，m∈[0，2]，n﹣m∈[2，4]，所以实数n﹣m的最大值为4．故选：D．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．6π+1 B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，几何体为圆柱与圆锥的组合体，即可求出该几何体的表面积．【解答】解：由题意，几何体为圆柱与圆锥的组合体，该几何体的表面积为2π•1•2+π•12+++1=，故选D．9．已知D=，给出下列四个命题：P1：∀（x，y）∈D，x+y+1≥0；P2：∀（x，y）∈D，2x﹣y+2≤0；P3：∃（x，y）∈D，≤﹣4；P4：∃（x，y）∈D，x2+y2≤2．其中真命题的是（）A．P1，P2B．P2，P3C．P2，P4D．P3，P4【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】画出约束条件不是的可行域，利用目标函数的几何意义，求出范围，判断选项的正误即可．【解答】解：不等式组的可行域如图，p1：A（﹣2，0）点，﹣2+0+1=﹣1，故∀（x，y）∈D，x+y≥0为假命题；p2：A（﹣1，3）点，﹣2﹣3+2=﹣3，故∀（x，y）∈D，2x﹣y+2≤0为真命题；p3：C（0，2）点，=﹣3，故∃（x，y）∈D，≤﹣4为假命题；p4：（﹣1，1）点，x2+y2=2故∃（x，y）∈D，x2+y2≤2为真命题．可得选项p2，p4正确．故选：C．10．已知抛物线y2=4x的焦点为点F，过焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则|AB|=（）A．6 B．8 C．12 D．16【考点】抛物线的简单性质．【分析】设出直线方程，求出A，B两点的纵坐标的差，利用△AOB的面积．求出直线的斜率，然后求解|AB|，【解答】解：抛物线y2=4x焦点为F（1，0），设过焦点F的直线为：y=k（x﹣1），由⇒可得y2﹣y﹣4=0，y A+y B=，y A y B=﹣4，|y A﹣y B|=△AOB的面积为，可得： |y A﹣y B|=，，解得k=|AB|=•，|y A﹣y B|=．故选：A．11．已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0），若方程f（x）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（）A．（，]B．（，]C．（，]D．（，]【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】化简f（x）的解析式，作出f（x）的函数图象，利用三角函数的性质求出直线y=﹣1与y=f（x）在（0，+∞）上的交点坐标，则π介于第4和第5个交点横坐标之间．【解答】解：f（x）=2sin（ωx﹣），作出f（x）的函数图象如图所示：令2sin（ωx﹣）=﹣1得ωx﹣=﹣+2kπ，或ωx﹣=+2kπ，∴x=+，或x=+，k∉Z，设直线y=﹣1与y=f（x）在（0，+∞）上从左到右的第4个交点为A，第5个交点为B，则x A=，x B=，∵方程f（x）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，∴x A＜π≤x B，即＜π≤，解得．故选B．12．设函数f（x）=与g（x）=a2lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x0，y0）处的切线相同，先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后利用两直线重合列出等式即可求得b值，然后利用导数来研究b的最大值，研究此函数的最值问题，先求出函数的极值，结合函数的单调性，最后确定出最大值与最小值即得．【解答】解：设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点P（x0，y0）处的切线相同、f′（x）=3x﹣2a，g′（x）=，由题意f（x0）=g（x0），f′（x0）=g′（x0），即x02﹣2ax0=a2lnx0+b，3x0﹣2a=由3x0﹣2a=得x0=a或x0=﹣a（舍去），即有b=a2﹣2a2﹣a2lna=﹣a2﹣a2lna．令h（t）=﹣t2﹣t2lnt（t＞0），则h′（t）=2t（1+lnt），于是当2t（1+lnt）＞0，即0＜t＜时，h′（t）＞0；当2t（1+lnt）＜0，即t＞时，h′（t）＜0．故h（t）在（0，）为增函数，在（，+∞）为减函数，于是h（t）在（0，+∞）的最大值为h（）=，故b的最大值为．故选A．二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．已知，若，则实数t=﹣1．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据题意，由向量、的坐标，计算可得+与﹣的坐标，又由，则有（1+t）×（﹣2）=（1﹣t）×0=0，即可得t的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，，则+=（1+t，0），﹣=（1﹣t，﹣2），若，则有（1+t）×（﹣2）=（1﹣t）×0=0，解可得t=﹣1；故答案为：﹣1．14．已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为y=2x，则该双曲线的标准方程为﹣x2=1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的渐近线方程，可以设其方程为x2﹣=m，又由其过点，将点的坐标代入方程计算可得m的值，即可得其方程，最后将求得的方程化为标准方程即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则可以设其方程为x2﹣=m，（m≠0），又由其经过点，则有1﹣=m，解可得m=﹣1，则其方程为：x2﹣=﹣1，其标准方程为：﹣x2=1，故答案为：﹣x2=1．15．已知三棱锥A﹣BCD中，BC⊥CD，AB=AD=，BC=1，CD=，则该三棱锥外接球的体积为π．【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】证明△ABD是直角三角形．取DB中点O，则OA=OB=OC=OD=1，即O 为三棱锥外接球的球心，外接圆的半径为R=1，可得球的体积．【解答】解：BC⊥CD，BC=1，CD=，∴DB=2又因为AB=AD=，∴△ABD是直角三角形．取DB中点O，则OA=OB=OC=OD=1∴O为三棱锥外接球的球心，外接圆的半径为R=1，∴该三棱锥外接球的体积为π，故答案为：π．16．已知数列{a n}中，，则其前n项和S n=2n+2﹣4﹣．【考点】数列的求和．【分析】数列{a n}中，，可得：a2=0，n≥2时，a n=2a n﹣1+3n﹣4，作差可得a n+1﹣a n=2a n﹣2a n﹣1+3，化为a n+1﹣a n+3=2（a n﹣a n﹣1+3），利用等比数列的通项公式可得a n﹣a n﹣1+3，利用“累加求和”方法可得a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1．再利用等比数列与等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：∵数列{a n}中，，∴a2=0，n≥2时，a n=2a n﹣1+3n﹣4，∴a n+1﹣a n=2a n﹣2a n﹣1+3，化为a n+1﹣a n+3=2（a n﹣a n﹣1+3），a2﹣a1+3=2．∴数列{a n﹣a n﹣1+3}是等比数列，首项为2，公比为2．∴a n﹣a n﹣1+3=2n，即a n﹣a n﹣1=2n﹣3．∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2n﹣3+2n﹣1﹣3+…+22﹣3﹣1=﹣3（n﹣1）﹣1=2n+1﹣3n﹣2．∴S n=﹣3×﹣2n=2n+2﹣4﹣．故答案为：2n+2﹣4﹣．三、解答题17．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，a=2bcosB，b≠c．（1）证明：A=2B；（2）若a2+c2=b2+2acsinC，求A．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由正弦定理和正弦函数的性质，即可证明A=2B成立；（2）由余弦定理和正弦、余弦函数的性质，化简求值即可．【解答】解：（1）证明：△ABC中，a=2bcosB，由，得sinA=2sinBcosB=sin2B，∵0＜A，B＜π，∴sinA=sin2B＞0，∴0＜2B＜π，∴A=2B或A+2B=π，若A+2B=π，则B=C，b=c这与“b≠c”矛盾，∴A+2B≠π；∴A=2B；（2）∵a2+c2=b2+2acsinC，∴，由余弦定理得cosB=sinC，∵0＜B，C＜π，∴或，①当时，则，这与“b≠c”矛盾，∴；②当时，由（1）得A=2B，∴，∴．18．某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵．某汽车经销商推出A、B、C 三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期100位采用上述分期付款的客户进行统计分析，得到如下的柱状图．已知从A、B、C三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车1俩所获得的利润分别是1万元，2万元，3万元．现甲乙两人从该汽车经销商处，采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆．以这100位客户所采用的分期付款方式的频率代替1位客户采用相应分期付款方式的概率．（1）求甲乙两人采用不同分期付款方式的概率；（2）记X（单位：万元）为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润，求X 的分布列与期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题意得：P（A）==0.35，P（B）==0.45，P（C）==0.2，利用对立事件概率计算公式能求出甲乙两人采用不同分期付款方式的概率．（2）记X（单位：万元）为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润，则X 的可能取值为2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（1）由题意得：P（A）==0.35，P（B）==0.45，P（C）==0.2，∴甲乙两人采用不同分期付款方式的概率：p=1﹣[P（A）•P（A）+P（B）•P（B）+P（C）•P（C）]=0.635．（2）记X（单位：万元）为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润，则X的可能取值为2，3，4，5，6，P（X=2）=P（A）P（A）=0.35×0.35=0.1225，P（X=3）=P（A）P（B）+P（B）P（A）=0.35×0.45+0.45×0.35=0.315，P（X=4）=P（A）P（C）+P（B）P（B）+P（C）P（A）=0.35×0.2+0.45×0.45+0.2×0.35=0.3425，P（X=5）=P（B）P（C）+P（C）P（B）=0.45×0.2+0.2×0.45=0.18，P（X=6）=P（C）P（C）=0.2×0.2=0.04．∴X的分布列为：E（X）=0.1225×2+0.315×3+0.3425×4+0.18×5+0.04×6=3.7．19．如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF=2BE=2，EF=3．（1）证明：平面ACF⊥平面BEFD（2）若二面角A﹣EF﹣C是二面角，求直线AE与平面ABCD所成角的正切值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出AC⊥BD，BE⊥AC，从而AC⊥平面BEFD，由此能证明平面ACF⊥平面BEFD．（2）设AC与BD的交点为O，分别以OA，OB为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AE与平面ABCD所成角的正切值．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC，∴AC⊥平面BEFD，∵AC⊂平面ACF，∴平面ACF⊥平面BEFD．解：（2）设AC与BD的交点为O，由（1）得AC⊥BD，分别以OA，OB为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥BD，∵DF∥BE，∴DF⊥BD，∴BD2=EF2﹣（DF﹣BE）2=8，∴BD=2．设OA=a，（a＞0），由题设得A（a，0，0），C（﹣a，0，0），E（0，），F（0，﹣，2），设m=（x，y，z）是平面AEF的法向量，则，取z=2，得=（），设是平面CEF的一个法向量，则，取，得=（﹣，1，2），∵二面角A﹣EF﹣C是直二面角，∴=﹣+9=0，解得a=，∵BE⊥平面ABCD，∴∠BAE是直线AE与平面ABCD所成的角，∴AB==2，∴tan．∴直线AE与平面ABCD所成角的正切值为．20．已知椭圆C：的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D在椭圆C上，直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、P 两点，与x轴、y轴分别相交于点N和M，且PM=MN，点Q是点P关于x轴的对称点，QM的延长线交椭圆于点B，过点A、B分别作x轴的垂涎，垂足分别为A1、B1（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线l，使得点N平分线段A1B1？若存在，求求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D在椭圆C上，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）假设存在这样的直线l：y=kx+m，则直线QM的方程为y=﹣3kx+m，由，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，由，得（3+36k2）x2﹣24kmx+4（m2﹣3）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件，能求出直线l的方程．【解答】解：（1）∵椭圆C：的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D在椭圆C上，∴由题意得，解得a2=4，b2=3，∴椭圆C的方程为．（2）假设存在这样的直线l：y=kx+m，∴M（0，m），N（﹣，0），∵PM=MN，∴P（，2m），Q（），∴直线QM的方程为y=﹣3kx+m，设A（x1，y1），由，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，∴，∴，设B（x2，y2），由，得（3+36k2）x2﹣24kmx+4（m2﹣3）=0，∴x2+=，∴x2=﹣，∵点N平分线段A1B1，∴，∴﹣=﹣，∴k=，∴P（±2m，2m），∴，解得m=，∵|m|=＜b=，∴△＞0，符合题意，∴直线l的方程为y=．21．已知函数f（x）=2lnx+ax﹣（a∈R）在x=2处的切线经过点（﹣4，2ln2）（1）讨论函数f（x）的单调性（2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求导，当x=2时，代入f′（x），即可求得a=﹣1，求得点斜式方程，将（﹣4，2ln2）代入点斜式方程，即可求得f′（2），即可求得函数f（x）的单调区间；（2）由题意可知（2lnx+）＞m，构造辅助函数，求导，根据函数的单调性及零点性质，求得（2lnx+）最小值，即可求得实数m的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=2lnx+ax﹣（a∈R），求导f′（x）=+a+，当x=2时，f′（2）=1+a+f′（2），∴a=﹣1，设切点为（2，2ln2+2a﹣2f′（2）），则切线方程y﹣（2ln2+2a﹣2f′（2））=f′（2）（x﹣2），将（﹣4，2ln2）代入切线方程，2ln2﹣2ln2﹣2a+2f′（2））=﹣6f′（2），则f′（2）=﹣，∴f′（x）=﹣1﹣=≤0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减；（2）由不等式恒成立，则（2lnx+）＞m，令φ（x）=2lnx+，（x＞0）求导φ′（x）=﹣﹣1=﹣（﹣1）2≤0，∴φ（x）在（0，+∞）单调递减，由φ（1）=0，则当0＜x＜1时，φ（x）＞0，当x＞1时，φ（x）＜0，∴（2lnx+）在（0，+∞）恒大于0，∴m≤0，实数m的取值范围（﹣∞，0]．四、解答题（共1小题，满分10分）22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（其中φ为参数），曲线，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ=α（ρ≥0）与曲线C1，C2分别交于点A，B（均异于原点O）（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）当时，求|OA|2+|OB|2的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）求出普通方程，再求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）当时，由（1）得，|OB|2=ρ2=4sin2α，即可求|OA|2+|OB|2的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴，由得曲线C1的极坐标方程为，∵x2+y2﹣2y=0，∴曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ；（2）由（1）得，|OB|2=ρ2=4sin2α，∴∵，∴1＜1+sin2α＜2，∴，∴|OA|2+|OB|2的取值范围为（2，5）．五、解答题（共1小题，满分0分）23．已知函数（1）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求实数m的最大值；（2）当a＜时，函数g（x）=f（x）+|2x﹣1|有零点，求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；函数零点的判定定理．【分析】（1）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，利用f（x）﹣f（x+m）=|x ﹣a|﹣|x+m﹣a|≤|m|，求实数m的最大值；（2）当a＜时，函数g（x）=f（x）+|2x﹣1|有零点，，可得或，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴，∴f（x）﹣f（x+m）=|x﹣a|﹣|x+m﹣a|≤|m|，∴|m|≤1，∴﹣1≤m≤1，∴实数m的最大值为1；（2）当时，=∴，∴或，∴，∴实数a的取值范围是．2017年4月15日。
2017届山西省太原市高三数学(理)一模试题和答案详细解析
2017届山西省太原市高三数学（理）一模试题一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．已知集合A={x|y=lg（x+1）}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）A．（﹣2，0）B．（0，2）C．（﹣1，2）D．（﹣2，﹣1）2．已知zi=2﹣i，则复数z在复平面对应点的坐标是（）A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（1，2）3．已知Sn 是等差数列{an}的前n项和，2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则S11=（）A．66 B．55 C．44 D．334．已知=（1，cosα），=（sinα，1），0＜α＜π，若，则α=（）A．B．C．D．5．函数的图象大致为（）A． B． C．D．6．已知圆C：x2+y2=1，直线l：y=k（x+2），在[﹣1，1]上随机选取一个数k，则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为（）A．B．C．D．7．执行如图框图，已知输出的s∈[0，4]，若输入的t∈[m，n]，则实数n﹣m的最大值为（A．1 B．2 C．3 D．48．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．6π+1 B．C．D．9．已知D=，给出下列四个命题：P1：∀（x，y）∈D，x+y+1≥0；P2：∀（x，y）∈D，2x﹣y+2≤0；P3：∃（x，y）∈D，≤﹣4；P4：∃（x，y）∈D，x2+y2≤2．其中真命题的是（）A．P1，P2B．P2，P3C．P2，P4D．P3，P410．已知抛物线y2=4x的焦点为点F，过焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则|AB|=（）A．6 B．8 C．12 D．1611．已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0），若方程f（x）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（）A．（，] B．（，] C．（，] D．（，]12．设函数f（x）=与g（x）=a2lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．已知，若，则实数t= ．14．已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为y=2x，则该双曲线的标准方程为．15．已知三棱锥A﹣BCD中，BC⊥CD，AB=AD=，BC=1，CD=，则该三棱锥外接球的体积为．16．已知数列{an }中，，则其前n项和Sn= ．三、解答题17．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，a=2bcosB，b≠c．（1）证明：A=2B；（2）若a2+c2=b2+2acsinC，求A．18．某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵．某汽车经销商推出A、B、C 三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期100位采用上述分期付款的客户进行统计分析，得到如下的柱状图．已知从A、B、C三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车1俩所获得的利润分别是1万元，2万元，3万元．现甲乙两人从该汽车经销商处，采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆．以这100位客户所采用的分期付款方式的频率代替1位客户采用相应分期付款方式的概率．（1）求甲乙两人采用不同分期付款方式的概率；（2）记X（单位：万元）为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润，求X 的分布列与期望．19．如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，BE ⊥平面ABCD ，DF ∥BE ，且DF=2BE=2，EF=3．（1）证明：平面ACF ⊥平面BEFD（2）若二面角A ﹣EF ﹣C 是二面角，求直线AE 与平面ABCD 所成角的正切值．20．已知椭圆C ：的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D在椭圆C 上，直线l ：y=kx+m 与椭圆C 相交于A 、P两点，与x 轴、y 轴分别相交于点N 和M ，且PM=MN ，点Q 是点P 关于x 轴的对称点，QM 的延长线交椭圆于点B ，过点A 、B 分别作x 轴的垂涎，垂足分别为A 1、B 1（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在直线l ，使得点N 平分线段A 1B 1？若存在，求求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由． 21．已知函数f （x ）=2lnx+ax ﹣（a ∈R ）在x=2处的切线经过点（﹣4，2ln2）（1）讨论函数f （x ）的单调性 （2）若不等式恒成立，求实数m 的取值范围．四、解答题（共1小题，满分10分）22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（其中φ为参数），曲线，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ=α（ρ≥0）与曲线C1，C2分别交于点A，B（均异于原点O）（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）当时，求|OA|2+|OB|2的取值范围．五、解答题（共1小题，满分0分）23．已知函数（1）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求实数m的最大值；（2）当a＜时，函数g（x）=f（x）+|2x﹣1|有零点，求实数a的取值范围．2017届山西省太原市高三数学（理）一模试题答案一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．已知集合A={x|y=lg（x+1）}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）A．（﹣2，0）B．（0，2）C．（﹣1，2）D．（﹣2，﹣1）【解答】解：由x+1＞0，得x＞﹣1∴A=（﹣1，+∞），B={x||x|＜2}=（﹣2，2）∴A∩B=（﹣1，2）．故选：C2．已知zi=2﹣i，则复数z在复平面对应点的坐标是（）A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（1，2）【解答】解：zi=2﹣i，∴z===﹣1﹣2i，∴复数z在复平面对应点的坐标是（﹣1，﹣2），故选：A．3．已知Sn 是等差数列{an}的前n项和，2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则S11=（）A．66 B．55 C．44 D．33【解答】解：∵Sn 是等差数列{an}的前n项和，2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，∴2（a1+a1+2d+a1+4d）+3（a1+7d+a1+9d）=36，解得a1+5d=3．∴a6=3，∴S11===11a6=33．故选：D．4．已知=（1，cosα），=（sinα，1），0＜α＜π，若，则α=（）A．B．C．D．【解答】解： =（1，cosα），=（sinα，1），若，可得•=sinα+cosα=0，即有tanα==﹣1，由0＜α＜π，可得α=．故选：B．5．函数的图象大致为（）A． B． C．D．【解答】解：f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，则图象关于原点对称，故排A，B，当x=时，f（）==故选：D6．已知圆C：x2+y2=1，直线l：y=k（x+2），在[﹣1，1]上随机选取一个数k，则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：圆C：x2+y2=1的圆心为（0，0），半径为r=1；且圆心到直线l：y=k（x+2）的距离为d==，直线l与圆C相离时d＞r，∴＞1，解得k＜﹣或k＞，故所求的概率为P==．故选：C．7．执行如图框图，已知输出的s∈[0，4]，若输入的t∈[m，n]，则实数n﹣m的最大值为（A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出分段函数S=的值，做出函数的图象，由题意可得：输出的s∈[0，4]，当m=0时，n∈[2，4]，n﹣m∈[2，4]，当n=4时，m∈[0，2]，n﹣m∈[2，4]，所以实数n﹣m的最大值为4．故选：D．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．6π+1 B．C．D．【解答】解：由题意，几何体为圆柱与圆锥的组合体，该几何体的表面积为2π•1•2+π•12+++1=，故选D．9．已知D=，给出下列四个命题：P1：∀（x，y）∈D，x+y+1≥0；P2：∀（x，y）∈D，2x﹣y+2≤0；P3：∃（x，y）∈D，≤﹣4；P4：∃（x，y）∈D，x2+y2≤2．其中真命题的是（）A．P1，P2B．P2，P3C．P2，P4D．P3，P4【解答】解：不等式组的可行域如图，p1：A（﹣2，0）点，﹣2+0+1=﹣1，故∀（x，y）∈D，x+y≥0为假命题；p2：A（﹣1，3）点，﹣2﹣3+2=﹣3，故∀（x，y）∈D，2x﹣y+2≤0为真命题；p3：C（0，2）点， =﹣3，故∃（x，y）∈D，≤﹣4为假命题；p4：（﹣1，1）点，x2+y2=2故∃（x，y）∈D，x2+y2≤2为真命题．可得选项p2，p4正确．故选：C．10．已知抛物线y2=4x的焦点为点F，过焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则|AB|=（）A．6 B．8 C．12 D．16【解答】解：抛物线y2=4x焦点为F（1，0），设过焦点F的直线为：y=k（x﹣1），由⇒可得y2﹣y﹣4=0，y A +yB=，yAyB=﹣4，|yA﹣yB|=△AOB的面积为，可得： |yA ﹣yB|=，，解得k=|AB|=•，|yA ﹣yB|=．故选：A．11．已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0），若方程f（x）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（）A．（，] B．（，] C．（，] D．（，]【解答】解：f（x）=2sin（ωx﹣），作出f（x）的函数图象如图所示：令2sin（ωx﹣）=﹣1得ωx﹣=﹣+2kπ，或ωx﹣=+2kπ，∴x=+，或x=+，k∉Z，设直线y=﹣1与y=f（x）在（0，+∞）上从左到右的第4个交点为A，第5个交点为B，则xA =，xB=，∵方程f（x）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，∴xA ＜π≤xB，即＜π≤，解得．故选B．12．设函数f（x）=与g（x）=a2lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点P（x0，y）处的切线相同、f′（x）=3x﹣2a，g′（x）=，由题意f（x0）=g（x），f′（x）=g′（x），即x02﹣2ax=a2lnx+b，3x﹣2a=由3x0﹣2a=得x=a或x=﹣a（舍去），即有b=a2﹣2a2﹣a2lna=﹣a2﹣a2lna．令h（t）=﹣t2﹣t2lnt（t＞0），则h′（t）=2t（1+lnt），于是当2t（1+lnt）＞0，即0＜t＜时，h′（t）＞0；当2t（1+lnt）＜0，即t＞时，h′（t）＜0．故h（t）在（0，）为增函数，在（，+∞）为减函数，于是h（t）在（0，+∞）的最大值为h（）=，故b的最大值为．故选A．二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．已知，若，则实数t= ﹣1 ．【解答】解：根据题意，，则+=（1+t，0），﹣=（1﹣t，﹣2），若，则有（1+t）×（﹣2）=（1﹣t）×0=0，解可得t=﹣1；故答案为：﹣1．14．已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为y=2x，则该双曲线的标准方程为﹣x2=1 ．【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则可以设其方程为x2﹣=m，（m≠0），又由其经过点，则有1﹣=m，解可得m=﹣1，则其方程为：x2﹣=﹣1，其标准方程为：﹣x2=1，故答案为：﹣x2=1．15．已知三棱锥A﹣BCD中，BC⊥CD，AB=AD=，BC=1，CD=，则该三棱锥外接球的体积为π．【解答】解：BC⊥CD，BC=1，CD=，∴DB=2又因为AB=AD=，∴△ABD是直角三角形．取DB中点O，则OA=OB=OC=OD=1∴O为三棱锥外接球的球心，外接圆的半径为R=1，∴该三棱锥外接球的体积为π，故答案为：π．16．已知数列{an }中，，则其前n项和Sn= 2n+2﹣4﹣．【解答】解：∵数列{an}中，，∴a2=0，n≥2时，an=2an﹣1+3n﹣4，∴an+1﹣an=2an﹣2an﹣1+3，化为an+1﹣an+3=2（an﹣an﹣1+3），a2﹣a1+3=2．∴数列{an ﹣an﹣1+3}是等比数列，首项为2，公比为2．∴an ﹣an﹣1+3=2n，即an﹣an﹣1=2n﹣3．∴an =（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2n﹣3+2n﹣1﹣3+…+22﹣3﹣1=﹣3（n﹣1）﹣1=2n+1﹣3n﹣2．∴Sn=﹣3×﹣2n=2n+2﹣4﹣．故答案为：2n+2﹣4﹣．三、解答题17．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，a=2bcosB，b≠c．（1）证明：A=2B；（2）若a2+c2=b2+2acsinC，求A．【解答】解：（1）证明：△ABC中，a=2bcosB，由，得sinA=2sinBcosB=sin2B，∵0＜A，B＜π，∴sinA=sin2B＞0，∴0＜2B＜π，∴A=2B或A+2B=π，若A+2B=π，则B=C，b=c这与“b≠c”矛盾，∴A+2B≠π；∴A=2B；（2）∵a2+c2=b2+2acsinC，∴，由余弦定理得cosB=sinC，∵0＜B，C＜π，∴或，①当时，则，这与“b≠c”矛盾，∴；②当时，由（1）得A=2B，∴，∴．18．某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵．某汽车经销商推出A、B、C 三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期100位采用上述分期付款的客户进行统计分析，得到如下的柱状图．已知从A、B、C三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车1俩所获得的利润分别是1万元，2万元，3万元．现甲乙两人从该汽车经销商处，采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆．以这100位客户所采用的分期付款方式的频率代替1位客户采用相应分期付款方式的概率．（1）求甲乙两人采用不同分期付款方式的概率；（2）记X（单位：万元）为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润，求X 的分布列与期望．分布列．【解答】解：（1）由题意得：P（A）==0.35，P（B）==0.45，P（C）==0.2，∴甲乙两人采用不同分期付款方式的概率：p=1﹣[P（A）•P（A）+P（B）•P（B）+P（C）•P（C）]=0.635．（2）记X（单位：万元）为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润，则X的可能取值为2，3，4，5，6，P（X=2）=P（A）P（A）=0.35×0.35=0.1225，P（X=3）=P（A）P（B）+P（B）P（A）=0.35×0.45+0.45×0.35=0.315，P（X=4）=P（A）P（C）+P（B）P（B）+P（C）P（A）=0.35×0.2+0.45×0.45+0.2×0.35=0.3425，P（X=5）=P（B）P（C）+P（C）P（B）=0.45×0.2+0.2×0.45=0.18，P（X=6）=P（C）P（C）=0.2×0.2=0.04．∴X的分布列为：X 2 3 4 5 6P 0.1225 0.315 0.3425 0.18 0.04E（X）=0.1225×2+0.315×3+0.3425×4+0.18×5+0.04×6=3.7．19．如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF=2BE=2，EF=3．（1）证明：平面ACF⊥平面BEFD（2）若二面角A﹣EF﹣C是二面角，求直线AE与平面ABCD所成角的正切值．标系，利用向量法能求出直线AE与平面ABCD所成角的正切值．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC，∴AC⊥平面BEFD，∵AC⊂平面ACF，∴平面ACF⊥平面BEFD．解：（2）设AC与BD的交点为O，由（1）得AC⊥BD，分别以OA，OB为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥BD，∵DF∥BE，∴DF⊥BD，∴BD2=EF2﹣（DF﹣BE）2=8，∴BD=2．设OA=a，（a＞0），由题设得A（a，0，0），C（﹣a，0，0），E（0，），F（0，﹣，2），设m=（x，y，z）是平面AEF的法向量，则，取z=2，得=（），设是平面CEF的一个法向量，则，取，得=（﹣，1，2），∵二面角A﹣EF﹣C是直二面角，∴=﹣+9=0，解得a=，∵BE ⊥平面ABCD ，∴∠BAE 是直线AE 与平面ABCD 所成的角， ∴AB==2，∴tan．∴直线AE 与平面ABCD 所成角的正切值为．20．已知椭圆C ：的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D在椭圆C 上，直线l ：y=kx+m 与椭圆C 相交于A 、P两点，与x 轴、y 轴分别相交于点N 和M ，且PM=MN ，点Q 是点P 关于x 轴的对称点，QM 的延长线交椭圆于点B ，过点A 、B 分别作x 轴的垂涎，垂足分别为A 1、B 1（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在直线l ，使得点N 平分线段A 1B 1？若存在，求求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵椭圆C ：的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D在椭圆C 上，∴由题意得，解得a 2=4，b 2=3，∴椭圆C的方程为．（2）假设存在这样的直线l：y=kx+m，∴M（0，m），N（﹣，0），∵PM=MN，∴P（，2m），Q（），∴直线QM的方程为y=﹣3kx+m，设A（x1，y1），由，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，∴，∴，设B（x2，y2），由，得（3+36k2）x2﹣24kmx+4（m2﹣3）=0，∴x2+=，∴x2=﹣，∵点N平分线段A1B1，∴，∴﹣=﹣，∴k=，∴P（±2m，2m），∴，解得m=，∵|m|=＜b=，∴△＞0，符合题意，∴直线l的方程为y=．21．已知函数f（x）=2lnx+ax﹣（a∈R）在x=2处的切线经过点（﹣4，2ln2）（1）讨论函数f（x）的单调性（2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=2lnx+ax﹣（a∈R），求导f′（x）=+a+，当x=2时，f′（2）=1+a+f′（2），∴a=﹣1，设切点为（2，2ln2+2a﹣2f′（2）），则切线方程y﹣（2ln2+2a﹣2f′（2））=f′（2）（x﹣2），将（﹣4，2ln2）代入切线方程，2ln2﹣2ln2﹣2a+2f′（2））=﹣6f′（2），则f′（2）=﹣，∴f′（x）=﹣1﹣=≤0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减；（2）由不等式恒成立，则（2lnx+）＞m，令φ（x）=2lnx+，（x＞0）求导φ′（x）=﹣﹣1=﹣（﹣1）2≤0，∴φ（x）在（0，+∞）单调递减，由φ（1）=0，则当0＜x＜1时，φ（x）＞0，当x＞1时，φ（x）＜0，∴（2lnx+）在（0，+∞）恒大于0，∴m≤0，实数m的取值范围（﹣∞，0]．四、解答题（共1小题，满分10分）的参数方程为，（其中φ为参22．在直角坐标系xOy中，曲线C1数），曲线，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ=α（ρ≥0）与曲线C1，C2分别交于点A，B（均异于原点O）（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）当时，求|OA|2+|OB|2的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴，由得曲线C1的极坐标方程为，∵x2+y2﹣2y=0，∴曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ；（2）由（1）得，|OB|2=ρ2=4sin2α，∴∵，∴1＜1+sin2α＜2，∴，∴|OA|2+|OB|2的取值范围为（2，5）．五、解答题（共1小题，满分0分）23．已知函数（1）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求实数m的最大值；（2）当a＜时，函数g（x）=f（x）+|2x﹣1|有零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴，∴f（x）﹣f（x+m）=|x﹣a|﹣|x+m﹣a|≤|m|，∴|m|≤1，∴﹣1≤m≤1，∴实数m的最大值为1；（2）当时， =∴，∴或，∴，∴实数a的取值范围是．。
山西太原市2017届高三年级模拟试题(二)数学理试题(含答案)word版
太原市2017年高三年级模拟试题（二）数学试题（理科）第I 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的．1．若复数3()1x i z x i +=∈-R 是实数，则x 的值为 A ．-3 B ．3 C ．0 D2．函数y =M ，N=2{|log (1)1}x x -<，全集U=R ，则图中阴影部分所表示的集合是A ．{|21}x x -≤<B ．{|22}x x -≤≤C ．{|12}x x <≤D ．{|2}x x <3．若函数43cos(2)(,0),||3y x πϕϕ=+的图象关于点对称则的最小值为 A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 4．下列判断错误．．的是A ．“22am bm <”是“a b <”的充分不必要条件B ．命题“32,10x x x ∀∈--≤R ”的否定是“32000,10x x x ∃∈-->R ”C ．若p ，q 均为假命题，则p q ∧为假命题D ．若~(4,0.25),1B D ξξ=则5．如图，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为A．B．C．D ．126．已知等差数列12011201220112012{},0,0,0n a a a a a a >+>⋅<首项，则使数列{}n a n 的前项和0n S >成立的最大正整数n ，是A ．2011B ．2012C ．4023D ．40227．如图，是一个算法程序框图，在集合{|1010,}A x x x =-≤≤∈R 中随机抽取一个数值做为x 输入，则输出的y 值落在区间（-5，3）内的概率为A ．0.4B ．0.5C ．0.6D ．0.8 8．已知点F 1，F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的 左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是A． B． C．(1)++∞ D．(1,1+9．设12,,,n a a a 是1，2，…，n 的一个排列，把排在i a 的左边．．且比i a 小的数的个数称为i a 的顺序数(1,2,,)i n = 如：在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0。
2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（ ）A．A∩B={x|x＜0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A．B．C．D．3．（5分）设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（ ）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4 4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（ ）A．1B．2C．4D．85．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ）A．15B．20C．30D．357．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A．10B．12C．14D．168．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+29．（5分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（ ）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C210．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）A．16B．14C．12D．1011．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（ ）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A．440B．330C．220D．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= ．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为 ．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为 ．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC ，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．[选修4-4，坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（ ）A．A∩B={x|x＜0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】先分别求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．【解答】解：∵集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}={x|x＜0}，∴A∩B={x|x＜0}，故A正确，D错误；A∪B={x|x＜1}，故B和C都错误．故选：A．【点评】本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用．2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S=，则对应概率P==，故选：B．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．3．（5分）设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（ ）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4【考点】2K：命题的真假判断与应用；A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．【专题】2A：探究型；5L：简易逻辑；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．【解答】解：若复数z满足∈R，则z∈R，故命题p1为真命题；p2：复数z=i满足z2=﹣1∈R，则z∉R，故命题p2为假命题；p 3：若复数z1=i，z2=2i满足z1z2∈R，但z1≠，故命题p3为假命题；p4：若复数z∈R，则=z∈R，故命题p4为真命题．故选：B．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复数的运算，复数的分类，复数的运算性质，难度不大，属于基础题．4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（ ）A．1B．2C．4D．8【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选：C．【点评】本题考查等差数列公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]【考点】3P：抽象函数及其应用．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化为﹣1≤x﹣2≤1，解得答案．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．若f（1）=﹣1，则f（﹣1）=1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选：D．【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ）A．15B．20C．30D．35【考点】DA：二项式定理．【专题】35：转化思想；4R：转化法．【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：（1+）（1+x）6展开式中：若（1+）=（1+x﹣2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：若（1+）提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：由（1+x）6通项公式可得．可知r=2时，可得展开式中x2的系数为．可知r=4时，可得展开式中x2的系数为．（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15=30．故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的知识点，通项公式的灵活运用．属于基础题．7．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A．10B．12C．14D．16【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．【分析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面，根据梯形的面积公式计算即可【解答】解：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S梯形=×2×（2+4）=6，∴这些梯形的面积之和为6×2=12，故选：B．【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+2【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；38：对应思想；49：综合法；5K：算法和程序框图．【分析】通过要求A＞1000时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“A＞1000”，进而通过偶数的特征确定n=n+2．【解答】解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”内不能输入“A＞1000”，又要求n为偶数，且n的初始值为0，所以“”中n依次加2可保证其为偶数，所以D选项满足要求，故选：D．【点评】本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分．9．（5分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（ ）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11：计算题；35：转化思想；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力．10．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）A．16B．14C．12D．10【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】方法一：根据题意可判断当A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可．方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|DE|，整理求得答案【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y=x﹣1，联立方程组，则y2﹣4y﹣4=0，∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，∴|DE|=•|y1﹣y2|=×=8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，根据焦点弦长公式可得|AB|==|DE|===∴|AB|+|DE|=+==，∵0＜sin22θ≤1，∴当θ=45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，故选：A．【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍属于中档题． 11．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（ ）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z【考点】72：不等式比较大小．【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．【分析】x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．可得3y=，2x=，5z=．根据==，＞=．即可得出大小关系．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．==＞1，可得2x＞3y，同理可得5z＞2x．【解答】解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴3y=，2x=，5z=．∵==，＞=．∴＞lg＞＞0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴==＞1，可得2x＞3y，==＞1．可得5z＞2x．综上可得：5z＞2x＞3y．解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D．【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A．440B．330C．220D．110【考点】8E：数列的求和．【专题】35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{b n}的通项公式及前n项和，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和S n=2n+1﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别即可求得N的值．【解答】解：设该数列为{a n}，设b n=+…+=2n+1﹣1，（n∈N+），则=a i，由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n=21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1=2n+1﹣n﹣2，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A 项符合题意．B项，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，…，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N=1+2+3+…+n=，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有+2=3，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有+3=18，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N＞100，∴该款软件的激活码440．故选：A．【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= 2 ．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】31：数形结合；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，∴=+4•+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴|+2|=2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形=+=+2；在△OAC中，由余弦定理得||==2，即|+2|=2．故答案为：2．【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为 ﹣5 ．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式．【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（﹣1，1）．∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为 ．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°=，可得：=，即，可得离心率为：e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC ，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 4cm3 ．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】法一：由题，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h=，求出S△ABC=3，V==，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，f（x）≤f（2）=80，由此能求出体积最大值．法二：设正三角形的边长为x，则OG=，FG=SG=5﹣，SO=h===，由此能示出三棱锥的体积的最大值．【解答】解法一：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，即OG的长度与BC的长度成正比，设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h===，=3，则V===，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，令f′（x）≥0，即x4﹣2x3≤0，解得x≤2，则f（x）≤f（2）=80，∴V≤=4cm3，∴体积最大值为4cm3．故答案为：4cm3．解法二：如图，设正三角形的边长为x，则OG=，∴FG=SG=5﹣，SO=h===，∴三棱锥的体积V===，令b（x）=5x4﹣，则，令b'（x）=0，则4x3﹣=0，解得x=4，∴（cm3）．故答案为：4cm3．【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值；58：解三角形．【分析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，（2）根据两角余弦公式可得cosA=，即可求出A=，再根据正弦定理可得bc=8，根据余弦定理即可求出b+c，问题得以解决．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC=acsinB=，∴3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC=；（2）∵6cosBcosC=1，∴cosBcosC=，∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣，∴cos（B+C）=﹣，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=，∵===2R==2，∴sinBsinC=•===，∴bc=8，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc=9，∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33，∴b+c=∴周长a+b+c=3+．【点评】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】15：综合题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．【分析】（1）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，进一步得到平面PAB⊥平面PAD；（2）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到AB ⊥AD，则四边形ABCD为矩形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明PD⊥平面PAB，得为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D（），B（），P（0，0，），C（）．，，．设平面PBC的一个法向量为，由，得，取y=1，得．∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，．∴cos＜＞==．由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计．【分析】（1）通过P（X=0）可求出P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；（2）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；（ⅱ）通过样本平均数、样本标准差s估计、可知（﹣3+3）=（9.334，10.606），进而需剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026，因为P（X=0）=×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，又因为X～B（16，0.0026），所以E（X）=16×0.0026=0.0416；（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（﹣3+3）之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（﹣3+3）之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．（ⅱ）由=9.97，s≈0.212，得μ的估计值为=9.97，σ的估计值为=0.212，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在（﹣3+3）之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为（16×9.97﹣9.22）=10.02，因此μ的估计值为10.02．2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134，剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008，因此σ的估计值为≈0.09．【点评】本题考查正态分布，考查二项分布，考查方差、标准差，考查概率的计算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．【考点】K3：椭圆的标准方程；KI：圆锥曲线的综合．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，求出a2=4，b2=1，由此能求出椭圆C的方程．（2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），联立，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点（2，﹣1）．【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P3（﹣1，），P4（1，）两点必在椭圆C上，又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），∴P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，得：，解得a2=4，b2=1，∴椭圆C的方程为=1．证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，y A），B（m，﹣y A），∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，∴===﹣1，解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，，x1x2=，则=====﹣1，又t≠1，∴t=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，当x=2时，y=﹣1，∴l过定点（2，﹣1）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【考点】52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．【分析】（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2）由（1）可知：当a＞0时才有两个零点，根据函数的单调性求得f（x）最小值，由f（x）min＜0，g（a）=alna+a﹣1，a＞0，求导，由g（a）min=g（e﹣2）=e﹣2lne﹣2+e﹣2﹣1=﹣﹣1，g（1）=0，即可求得a的取值范围．（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2）分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x﹣1。
【山西省太原市】2017届高三模拟考试(一)数学(理科)试卷
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三、解答题.共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 17.已知 a,b,c 分别是 ABC 的内角 A, B,C 所对的边, a 2bcos B,b c . (1)证明： A 2B ； (2)若 a2 c2 b2 2asinC ,求 A . 18.某知名品牌汽车深受消费者喜爱,但价格昂贵.某汽车经销商退出 A, B,C 三种分期付款方式销售该品牌 汽车,并对近期 100 位采用上述分期付款的客户进行统计分析,得到如下的柱状图.已知从 A, B,C 三种分期 付款销售中,该经销商每销售此品牌汽车 1 辆所获得的利润分别是1 万元, 2 万元, 3 万元.现甲乙两人从该汽 车经销商处,采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆.以这100 位客户所采用的分期付款方式的频率 代替 1 位客户采用相应分期付款方式的概率.
(Ⅰ)求甲乙两人采用不同分期付款方式的概率； (Ⅱ)记 X (单位：万元)为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润,求 X 的分布列和期望. 19.如图,在几何体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是菱形, BE 平面 ABCD , DF∥BE , DF 2BE 2, EF 3.
B. 1 e2 2
1 C.
e
二、填空题.共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
D. 3 2e2
13.已知 a (1, 1),b (t,1) ,若 (a b)∥(a b) ,则实数 t
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14.已知双曲线经过点 (1, 2 2) ,其一条渐近线方程为 y 2x ,则该双曲线的标准方程为
21.已知函数 f (x) 2ln x ax 4 f (2) (a R) 在 x 2 处的切线经过点 (4,ln 2) . x
2017年山西省太原市育英中学高考数学模拟试卷与解析word(理科)
2017年山西省太原市育英中学高考数学模拟试卷（理科）一、单项选择题：共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的．请将正确选项的字母填入答题卡相应表格中．1．（5分）若集合A={x|y=+lg（x+1）}，B={x|≤0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x＜2}B．{x|0＜x≤2}C．{x|0≤x≤2}D．{x|0＜x＜3}2．（5分）已知复数z=（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．D．3．（5分）从区间[﹣1，1]上随机抽取实数x，y，则|x|+2|y|≤1的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）已知点M在直线x+y+a=0上，过点M引圆x2+y2=2的切线，若切线长的最小值为2，则实数a的值为（）A．±2B．±3 C．±4 D．±25．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体中最长的棱长是（）A．4 B．4 C．4 D．86．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣2）=﹣f（x），则下列结论正确的是（）A．f（﹣2012）＞f（2014）B．f（﹣2012）＜f（2014）C．f（﹣2012）=f（2014）D．不确定7．（5分）在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n），则f （3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（）A．45 B．60 C．120 D．2108．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．9．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象与的图象的对称轴相同，则f（x）的一个递增区间为（）A．B．C．D．10．（5分）已知抛物线Ω：x2=2py（p＞0），过点（0，2p）的直线与抛物线Ω交于A、B两点，AB的中点为M，若点M到直线y=2x的最小距离为，则p=（）A．B．1 C．D．211．（5分）已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x2+（2﹣a）x﹣a（a∈R）若存在唯一的正整数x0，使得f（x0）＞0，则实数a的取值范围是（）A．[，]B．（，）C．（，]D．（ln3，ln2+1）12．（5分）已知数列{a n}满足a2=1，|a n+1﹣a n|=，若a2n+1＞a2n﹣1，a2n+2＜a2n（n∈N+）则数列{（﹣1）n a n}的前40项的和为（）A．B． C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，满足=（4，﹣3），||=3，若向量，的夹角为，则|2+3|=．14．（5分）若x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为．15．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，AB=2，△ACD和△BCD均是边长为4的等边三角形，则三棱锥外接球的表面积为．16．（5分）当x∈（0，+∞）时，不等式c2x2﹣（cx+1）lnx+cx≥0恒成立，则实数c的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAcosC+csinAcosA=c，D是AC的中点，且cosB=，BD=．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的最短边的边长．18．（12分）已知公差不为0的等差数列{a n}中，a1，a3，a7成等比数列，且a2n=2a n=．﹣1，等比数列{b n}满足b n+b n+1（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．19．（12分）随着雾霾日益严重，很多地区都实行了“限行”政策，现从某地区居民中，随机抽取了300名居民了解他们对这一政策的态度，绘成如图所示的2×2列联表：（1）试问有没有99%的把握认为对“限行”政策的态度与性别有关？（2）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的居民（人数很多）中随机抽取3人，用ξ表示所选3人中反对的人数，试写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期望．K2=，其中n=a+b+c+d独立性检验临界表：20．（12分）如图：在四棱锥E﹣ABCD中，CB=CD=CE=1，AB=AD=AE=，EC⊥BD，底面四边形是个圆内接四边形，且AC是圆的直径．（1）求证：平面BED⊥平面ABCD；（2）点P是平面ABE内一点，满足DP∥平面BEC，求直线DP与平面ABE所成角的正弦值的最大值．21．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0），F（﹣c，0）为其左焦点，点P （﹣，0），A1，A2分别为椭圆的左、右顶点，且|A1A2|=4，|PA1|=|A1F|．（1）求椭圆C的方程；（2）过点A1作两条射线分别与椭圆交于M、N两点（均异于点A1），且A1M⊥A1N，证明：直线MN恒过x轴上的一个定点．22．（12分）函数f（x）=ln（x+m）﹣nlnx．（1）当m=1，n＞0时，求函数f（x）的单调减区间；（2）n=1时，函数g（x）=（m+2x）•f（x）﹣am，若存在m＞0，使得g（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．2017年山西省太原市育英中学高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、单项选择题：共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的．请将正确选项的字母填入答题卡相应表格中．1．（5分）若集合A={x|y=+lg（x+1）}，B={x|≤0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x＜2}B．{x|0＜x≤2}C．{x|0≤x≤2}D．{x|0＜x＜3}【解答】解：由集合A={x|y=+lg（x+1）}，则，解得x＞﹣1且x≠3，即A={x|x＞﹣1且x≠3}，由≤0，即x（x﹣2）≤0，且x≠0，解得0＜x≤2，即B={x|0＜x≤2}，则A∩B={x|0＜x≤2}，故选：B．2．（5分）已知复数z=（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．D．【解答】解：数z=，化为：z（1+3i）=2z+i，∴（1﹣3i）z=﹣i，可得z==i．∴|z|==．故选：A．3．（5分）从区间[﹣1，1]上随机抽取实数x，y，则|x|+2|y|≤1的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示；区间[﹣1，1]上随机抽取实数x，y，则|x|+2|y|≤1的概率为：P===．故选：B．4．（5分）已知点M在直线x+y+a=0上，过点M引圆x2+y2=2的切线，若切线长的最小值为2，则实数a的值为（）A．±2B．±3 C．±4 D．±2【解答】解：设点O到直线x+y+a=0的距离为d，则d=；又过点M引圆x2+y2=2的切线，切线长的最小值为|MT|=2，则r2+|MT|2=d2，即2+=，解得a=±2．故选：D．5．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体中最长的棱长是（）A．4 B．4 C．4 D．8【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，其直观图如图所示：则该几何体的各棱长为AE=BF=8，AB=EF=BC=CD=4，AC=DF=4，DF==4；所以最长的棱长为AE、BF，等于8．故选：D．6．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣2）=﹣f（x），则下列结论正确的是（）A．f（﹣2012）＞f（2014）B．f（﹣2012）＜f（2014）C．f（﹣2012）=f（2014）D．不确定【解答】解：函数是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），又f（x﹣2）=﹣f（x）=f（﹣x），据此可得：f（x）=﹣f（﹣x）=﹣f（x﹣2），f（x﹣2）=﹣f（x﹣4），则f（x）=f （x﹣4），即函数f（x）是周期为4的函数，f（﹣2012）=f（﹣2014+4×1006）=f（0）=0，而f（2014）=f（2014﹣4×503）=f（2），在f（x﹣2）=﹣f（x）中，令x=2可得：f（2）=﹣f（0）=0，据此可得：f（﹣2012）=f（2014）．故选：C．7．（5分）在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n），则f （3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（）A．45 B．60 C．120 D．210【解答】解：（1+x）6（1+y）4的展开式中，含x3y0的系数是：=20．f（3，0）=20；含x2y1的系数是=60，f（2，1）=60；含x1y2的系数是=36，f（1，2）=36；含x0y3的系数是=4，f（0，3）=4；∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120．故选：C．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．【解答】解：输入n的值为10，框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，判断2≤10成立，执行，i=2+2=4；判断4≤10成立，执行=，i=4+2=6；判断6≤10成立，执行，i=6+2=8；判断8≤10成立，执行，i=8+2=10；判断10≤10成立，执行，i=10+2=12；判断12≤10不成立，跳出循环，算法结束，输出S的值为．故选：A．9．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象与的图象的对称轴相同，则f（x）的一个递增区间为（）A．B．C．D．【解答】解：函数，化简可得：g（x）=cos2（x﹣）+2=cos（2x﹣）+2=sin（2x﹣）+2=sin （2x+）+2．∵f（x）与g（x）的对称轴相同，0＜φ＜π．∴ω=2，φ=．那么f（x）=sin（2x+），令，k∈Z．得：≤x≤，当k=0时，可得f（x）的一个递增区间为[，]．故选：B．10．（5分）已知抛物线Ω：x2=2py（p＞0），过点（0，2p）的直线与抛物线Ω交于A、B两点，AB的中点为M，若点M到直线y=2x的最小距离为，则p=（）A．B．1 C．D．2【解答】解：由题意可知，设过点（0，2p）的直线方程为y=kx+2p，且与抛物线的交点A（x1，y1），（x2，y2），由，消去y得x2﹣2pkx﹣4p2=0，∴x1+x2=2pk，∴（x1+x2）=pk，∴y1+y2=k（x1+x2）+4p=2pk2+4p，∴（y1+y2）=pk2+2p，∴A，B的中点坐标为（pk，pk2+2p），∴点M到直线y=2x的距离为：=，∴即k=0时，点M到直线的距离最小，此时p=，故选：A．11．（5分）已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x2+（2﹣a）x﹣a（a∈R）若存在唯一的正整数x0，使得f（x0）＞0，则实数a的取值范围是（）A．[，]B．（，）C．（，]D．（ln3，ln2+1）【解答】解：由题意，a＜=﹣（x+1）+4﹣=﹣x+3﹣，设h（x）=﹣x+3﹣，则h′（x）=，设g（x）=﹣x2﹣2x﹣ln（x+1）+3，∴g′（x）=﹣2x﹣2﹣=﹣，∵2x2+4x+3＞0恒成立，∴g′（x）＜0恒成立，∴g（x）单调递减，∵g（0）=3＞0，g（1）=﹣ln2＜0，∴g（x）在（0，1）上存在唯一的零点，即h（x）在（0，1）上有唯一的极值点，且为极大值点，∵h（1）=，h（2）=，∴要使不等式有唯一的正整数解，需≤a≤，故选：A．12．（5分）已知数列{a n}满足a2=1，|a n+1﹣a n|=，若a2n+1＞a2n﹣1，a2n+2＜a2n（n∈N+）则数列{（﹣1）n a n}的前40项的和为（）A．B． C．D．【解答】解：∵数列{a n}满足a2=1，|a n+1﹣a n|=，则a n+1﹣a n=±，a n+2﹣a n+1=．∴a n+2﹣a n=±±，∵＞，n为偶数时，a2n+2＜a2n（n∈N+），∴a2n+2﹣a2n=﹣±，n为奇数时，a2n+1＞a2n﹣1，∴a2n+1﹣a2n﹣1=±，综上可得：n为偶数时，a n﹣a n=﹣，+1n为奇数时，a n+1﹣a n=．∴数列{（﹣1）n a n}的前40项=（a2﹣a1）+（a4﹣a3）+…+（a40﹣a39）=+…+=+…+==．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，满足=（4，﹣3），||=3，若向量，的夹角为，则|2+3|=．【解答】解：||=5，∴=||||cos=5×3×（﹣）=﹣．∴（2+3）2=4+12+9=91，∴|2+3|=．故答案为：．14．（5分）若x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为．【解答】解：作出x，y满足约束条件，对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由解得A（1，）代入目标函数z=x+y得z=1+=．即目标函数z=x+y的最大值为．故答案为：．15．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，AB=2，△ACD和△BCD均是边长为4的等边三角形，则三棱锥外接球的表面积为．【解答】解：取AB，CD中点分别为E，F，连接EF，AF，BF，由题意知AF⊥BF，AF=BF，如图所示；EF=AB=，易知三棱锥的外接球球心O在线段EF上，连接OA，OC，有R2=AE2+OE2，R2=CF2+OF2，∴OF2﹣OE2=﹣22=2，∴（OE+OF）（OF﹣OE）=2，∴OF﹣OE=；又OF+OE=，解得OF=，∴R2=22+=，所以外接球的表面积为S=4πR2=．故答案为：．16．（5分）当x∈（0，+∞）时，不等式c2x2﹣（cx+1）lnx+cx≥0恒成立，则实数c的取值范围是[，+∞）．【解答】解：当x∈（0，+∞）时，不等式c2x2﹣（cx+1）lnx+cx≥0恒成立，即x∈（0，+∞）时，（xc﹣lnx）（xc+1）≥0恒成立，即x∈（0，+∞）时，或，令f（x）=，f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜e，令f′（x）＜0，解得：x＞e，∴f（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，∴f（x）max=f（e）=，而y=﹣＜0，故c≥，故答案为：[，+∞）．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAcosC+csinAcosA=c，D是AC的中点，且cosB=，BD=．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的最短边的边长．【解答】解：（1）∵cosB=，∴sinB=，又∵asinAcosC+csinAcosA=c，∴正弦定理化简可得：sinAcosCsinA+sinAsinCcosA=sinC．即sinA（cosCsinA+sinCcosA）=sinC∴sinAsinB=sinC，∵A+B+C=π，∴C=π﹣（A+B）∴sinAsinB=sin（A+B）sinA=sinAcosB+cosAsinB，∴sinA=cosA．即tanA=1，∵0＜A＜π，∴A=．（2）D是AC的中点，且cosB=，BD=，根据余弦定理得c2+b2﹣bc=26∵sinA=sinC，且sinB×=sinC∴解得：a=2．b=2，c=6∴△ABC的最短边的边长2．18．（12分）已知公差不为0的等差数列{a n}中，a1，a3，a7成等比数列，且a2n=2a n=．﹣1，等比数列{b n}满足b n+b n+1（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵公差d不为0的等差数列{a n}中，a1，a3，a7成等比数列，且a2n=2a n﹣1，∴=a1（a1+6d），a2=2a1﹣1=a1+d，联立解得：a1=2，d=1．∴a n=2+（n﹣1）=n+1．=．等比数列{b n}满足b n+b n+1∴b1+b1q=，=，联立解得q==b1，∴b n=．（2）c n=a n•b n=（n+1）．∴数列{c n}的前n项和T n=++…+（n+1）．∴=2×+…+n+（n+1），∴T n=+…+﹣（n+1）=﹣（n+1），可得：T n=﹣．19．（12分）随着雾霾日益严重，很多地区都实行了“限行”政策，现从某地区居民中，随机抽取了300名居民了解他们对这一政策的态度，绘成如图所示的2×2列联表：（1）试问有没有99%的把握认为对“限行”政策的态度与性别有关？（2）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的居民（人数很多）中随机抽取3人，用ξ表示所选3人中反对的人数，试写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期望．K2=，其中n=a+b+c+d独立性检验临界表：【解答】解：（1）作出2×2列联表：由列联表数据代入公式得K2=≈18.326．因为18.326＞10.828，故有99%的把握认为对“限行”政策的态度与性别有关．…（6分）（2）由题知，抽取的300名居民中有120名居民持反对态度，抽取1名居民持反对态度的概率为=，那么从所有的居民中抽取1名居民持反对态度的概率是，又因为所取总体数量较多，抽取3名居民可以看出3次独立重复实验，于是ξ服从二项分布．显然ξ的取值为0，1，2，3，且P（ξ=k）=，k=0，1，2，3．所以得分布列为：数学期望Eξ=3×=．20．（12分）如图：在四棱锥E﹣ABCD中，CB=CD=CE=1，AB=AD=AE=，EC⊥BD，底面四边形是个圆内接四边形，且AC是圆的直径．（1）求证：平面BED⊥平面ABCD；（2）点P是平面ABE内一点，满足DP∥平面BEC，求直线DP与平面ABE所成角的正弦值的最大值．【解答】解：（1）证明：连接AC，BD，交于点O，连接EO，∵AD=AB，CD=CB∴AC⊥BD，又∵EC⊥DB，EC∩AC=C，故DB⊥面AEC，从而BD⊥OE，又AC是直径∴∠ADC=∠ABC=90°，由AD=，CD=1可解得，AO=，则，故EO⊥AC；故EO⊥平面ABCD，平面BED⊥平面ABCD．…（5分）（2）取AE的中点M，AB的中点N，连接MN，ND，则MN∥BE，且MN⊄平面EBC，∴MN∥平面EBC；而DN⊥AB，BC⊥AB，∴DN∥BC，且DN⊄平面EBC，∴DN∥平面EBC．综上所述，平面DMN∥平面EBC，∴点P在线段MN上．如图建立空间直角坐标系，则A（，0，0），B（0，，0），E（0，0，），=（﹣，，0），=（﹣，0，），设平面ABE法向量为=（x，y，z），则取=（1，，），设=λ，可得=+=（，，），设直线DP与平面ABE所成角为θ，则sinθ=．∵0≤λ≤1∴当λ=0时，sinθ的最大值为．21．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0），F（﹣c，0）为其左焦点，点P（﹣，0），A1，A2分别为椭圆的左、右顶点，且|A1A2|=4，|PA1|=|A1F|．（1）求椭圆C的方程；（2）过点A1作两条射线分别与椭圆交于M、N两点（均异于点A1），且A1M⊥A1N，证明：直线MN恒过x轴上的一个定点．【解答】（1）解：∵|A 1A2|=4，∴a=2，又∵|PA1|=|A1F|，∴，整理得，∴c=，则b2=a2﹣c2=1．∴椭圆C的方程为；（2）证明：由已知直线MN与y轴不垂直，假设其过定点T（n，0），设其方程为x=my+n，联立，得（m2+4）y2+2mny+n2﹣4=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．∴x1+x2=m（y1+y2）+2n，．∵A1M⊥A1N，∴．∴x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2=0，∴．即．化简得：（n+2）（5n+6）=0，若n=﹣2，则T与A重合，不合题意，∴n+2≠0，整理得n=﹣．综上，直线MN过定点T（）．22．（12分）函数f（x）=ln（x+m）﹣nlnx．（1）当m=1，n＞0时，求函数f（x）的单调减区间；（2）n=1时，函数g（x）=（m+2x）•f（x）﹣am，若存在m＞0，使得g（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=ln（x+1）﹣nlnx．（x∈（0，+∞））．f′（x）=﹣=．①当n=1时，f′（x）=，此时函数f（x）的单调递减区间为（0，+∞）．②当0＜n＜1时，由f′（x）＜0，解得，∴函数f（x）的单调递减区间为．③当1＜n时，由f′（x）＜0，解得x＞0，∴函数f（x）的单调递减区间为（0，+∞）．（2）n=1时，函数g（x）=（m+2x）•f（x）﹣am=（m+2x）[ln（x+m）﹣lnx]﹣am，（x＞0）．由g（x）＞0可得：＞0，即﹣a＞0，设=t＞1．∴（t+1）lnt﹣a（t﹣1）＞0，lnt﹣＞0．令h（t）=lnt﹣，（t＞1）．h′（t）=，h（1）=0．①a≤2时，t2+2（1﹣a）t+1≥t2﹣2t+1＞0．∴h′（t）＞0，可得函数h（t）在（1，+∞）上单调递增．可得h（t）＞h（1）=0．②a＞2时，h′（t）=0，即t2+2（1﹣a）t+1=0，解得t1=a﹣1﹣，t2=a﹣1+，由t2＞1，t1t2=1，可得t1＜1．∴函数h（t）在（1，t2）上单调递减，∴h（t）＜h（1）=0．舍去．综上可得：实数a的取值范围是a≤2．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
山西省太原市2017届高三第一次模拟考试(4月) 数学(理) Word版含答案
太原五中2016-2017学年度第二学期阶段性检测高 三 数 学(理)出题人、校对人：廉海栋 史天保 李小丽（2017年4月5日）一、选择题（每小题5分,共60分,每小题只有一个正确答案）1. 设集合A},1,x -2y |{y B 2},x |{x x ∈==<=A ，则A ∩B=A ．（﹣∞，3）B ．[2，3）C ．（﹣∞，2）D ．（﹣1，2） 2.已知复数i -1z =（i 是虚数单位），则2z -z2的共轭复数是 A ．1-3i B ．1+3i C ．-1+3i D ．-1-3i7. 大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在，某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个小孩共8人，准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有( )种A. 18B. 24C. 36D. 48A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（每小题5分,共20分）截面14. 已知,0c 5b 4a 3→→→→=++且,1|c ||b ||a |===→→→则)(→→→+⋅c b a =___________.15. 在平面直角坐标系xOy 中，将直线y=x 与直线x=1及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V 圆锥=3|3103102πππ==⎰x dx x ．据此类比：将曲线y=2lnx 与直线y=1及x 轴、y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V= .三．解答题17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，12n n S a +=，其中n S 为{}n a 的前n 项和*()n N ∈.（Ⅰ）求1S ，2S 及数列{}n S 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足(1)nn nb S -=，且{}n b 的前n 项和为n T ，求证：当2n ≥时，17||39n T ≤≤. 18. （本小题满分12分）微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）.为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户为“A 组”，否则为“B 组”，调查结果如下：（Ⅰ）根据以上数据，能否有60%的把握认为“A 组”用户与“性别”有关？ （Ⅱ）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取5人中“A 组”和“B 组”的人数；（Ⅲ）从（Ⅱ）中抽取的5人中再随机抽取3人赠送200元的护肤品套装，记这3人中在“A 组”的人数为X ，试求X 的分布列与数学期望.参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中n a b c d =+++为样本容量.参考数据：19. （本小题满分12分）如图所示的几何体中，四边形BB 1C 1C 是矩形，BB 1⊥平面ABC ，A 1B 1∥AB ，AB=2A 1B 1，E 是AC 的中点． （1）求证：A 1E ∥平面BB 1C 1C ；（2）若AC=BC ，AB=2BB 1，求二面角A ﹣BA 1﹣E 的余弦值．20. （本小题满分12分）已知椭圆E 的方程是22143x y +=，左、右焦点分别是1F 、2F ，在椭圆E 上有一动点A ，过A 、1F 作一个平行四边形，使顶点A 、B 、C 、D 都在椭圆E 上，如图所示. (Ⅰ) 判断四边形ABCD 能否为菱形，并说明理由.(Ⅱ) 当四边形ABCD 的面积取到最大值时，判断四边形ABCD 的形状，并求出其最大值.21. （本小题满分12分）设函数()()()12ln 0f x k x x k =--＞．（1）若函数()f x 有且只有一个零点，求实数k 的值；（2）设函数()1x g x xe -=（其中e 为自然对数的底数），若对任意给定的()0,s e ∈，均存在两个不同的()21,1,2i t e i e ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，使得()()i f t g s =成立，求实数k 的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线）为参数，：40(sin rcos x 1<<⎩⎨⎧==r r y C θθθ,曲线，为参数：)(sin 222cos 222x 2θθθ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=y C 以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线）20（πααθ<<=与曲线C 1交于N 点，与曲线C 2交于O,P 两点，且|PN|最大值为22.（1）将曲线C 1与曲线C 2化成极坐标方程，并求r 的值；（2）射线4παθ+=与曲线C 1交于Q 点，与曲线C 2交于O,M 两点，求四边形MPNQ 面积的最大值.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数f(x)=|x-a|，a<0.（1）若a= -2，求不等式f(x)+f(2x)>2的解集；（2）若不等式f(x)+f(2x)<21的解集非空，求a 的取值范围． 4.5高三校一模（理）答案选择题 DACDB ABCAA BA 填空题：13.-5315. 1)-(e π 16. 445π 17.解：（Ⅰ）数列{}n a 满足12n n S a +=，则1122()n n n n S a S S ++==-，即132n n S S +=，132n n S S +∴=，即数列{}n S 为以1为首项，以32为公比的等比数列，所以13()2n n S +=*()n N ∈.（Ⅱ）在数列{}n b 中，11(1)(1)13()2n n n n nb S ----==-⨯，{}n b 的前n 项和，||n T 24|1{1()39=-⨯+-+1312(1)[()]}|33()2n n ---+-++= 24|1()39+-++1312(1)[()]|33()2n n ----++ .而当2n ≥时，221|1()33-≤+-342[()]93++-++ 11(1)||13()2n n ---≤+247()|399-+=， 即17||39n T ≤≤. 18． 解：（1）由22⨯列联表可得()()()()()()222100262030240.6490.70856445050n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯-----2分没有60%的把握认为“A组”用户与“性别”有关------------------4分（2）由题意得所抽取的5位女性中，“A组”3人，“B组”2人。
2020届山西省太原市2017级高三下学期一模考试数学(理)试卷及答案
2020届山西省太原市2017级高三下学期一模考试数学（理）试卷★祝考试顺利★注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第I 卷1至4页,第Ⅱ卷5至8页。
2．回答第I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3．回答第I 卷时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效。
4．回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡相应位置上,写在本试卷上无效。
5．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}26,3x x y x N x x M -+==<=,则M∩N =（ ） A ．{}32<<-x x B ．{}32<≤-x x C ．{}32≤<-x x D ．{}33≤<-x x2．设复数z 满足5)2(=+⋅i z ,则i z -=（ ）A ．22B ．2C ．2D ．43．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具,它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图,其式五,其数七,其变化之式多至千余,体物肖形,随手变幻,盖游戏之具,足以排闷破寂,故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任取一点,则此点取自阴影部分的概率为（ ）A.165B.3211C.167D.3213 4．已知等比数列{n a }中,1a >0,则“41a a <”是“53a a <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数xx x f 1)(2-=的图象大致为（ ）6某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是59,则（ ）A.3=aB.4=aC.5=aD.6=a 7.73)13(xx +展开式中的常数项是（ ）。
山西省太原市2017届高三数学一模试卷Word版含解斩
山西省太原市2017届高三一模试卷理科数学一、填空题（每空5分，共20分）1．已知函数f （x ）=x 2﹣m 是定义在区间[﹣3﹣m ，m 2﹣m]上的奇函数，则f （m ）= ．2．已知变量x 、y 满足条件，求z=2x+y 的最大值 ．3．已知双曲线﹣=1与﹣=1有相同的离心率，则m= ．4．已知点P 在单位圆x 2+y 2=1上运动，P 到直线3x ﹣4y ﹣10=0与x=3的距离分为d 1、d 2，则d 1+d 2的最小值是 ．二、选择题（每空5分，共60分）5．集合M={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，N={x|x ＞a}，若M ⊆N ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[3，+∞） B ．（3，+∞） C ．（﹣∞，﹣1]D ．（﹣∞，﹣1）6．若函数y=x 3+x 2+mx+1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（，+∞）B ．（﹣∞，]C ．[，+∞）D ．（﹣∞，）7．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x ）=f （2﹣x ），且f （﹣1）=2，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f A ．1B ．0C ．﹣2D ．28．已知log 7[log 3（log 2x ）]=0，那么x 等于（ ）A ．B ．C ．D ．9．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（ ）A ． +πB ． +πC ． +πD ．1+π10．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AD=2AB ．若E ，F 分别为线段A 1D 1，CC 1的中点，则直线EF 与平面ABB 1A 1所成角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．11．《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（ ）A ．尺 B ．尺 C ．尺 D ．尺12．现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．13．cos15°•cos105°﹣cos75°•sin105°的值为（ ）A ．﹣B ．C ．D ．﹣14．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 3=，S 3=，则公比q=（ ）A ．B ．C ．1或﹣D ．1或15．已知抛物线C 1：y=x 2（p ＞0）的焦点与双曲线C 2：﹣y 2=1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M ，若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p=（ ）A． B． C．D．16．函数y=f（x）导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（）A．（﹣1，3）为函数y=f（x）的递增区间B．（3，5）为函数y=f（x）的递减区间C．函数y=f（x）在x=0处取得极大值D．函数y=f（x）在x=5处取得极小值三、简答题（本题分为必考题和选考题，共70分）17．已知函数（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间．18．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷“与性别有关？19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，若ABCD 是平行四边形． （1）求证：MN ∥平面PAD ．（2）若PA=AD=2a ，MN 与PA 所成的角为30°．求MN 的长．20．已知两定点F 1（﹣，0），F 2（，0），满足条件|PF 2|﹣|PF 1|=2的点P 的轨迹是曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）设过点（0，﹣1）的直线与曲线E 交于A ，B 两点．如果|AB|=6，求直线AB 的方程．21．已知函数f （x ）=a x +x 2﹣xlna （a ＞0，a ≠1）．（Ⅰ）当a ＞1时，求证：函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增； （Ⅱ）若函数y=|f （x ）﹣t|﹣1有三个零点，求t 的值；（Ⅲ）若存在x 1，x 2∈[﹣1，1]，使得|f （x 1）﹣f （x 2）|≥e ﹣1，试求a 的取值范围．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（θ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos θ=﹣2． （Ⅰ）求C 1和C 2在直角坐标系下的普通方程；（Ⅱ）已知直线l ：y=x 和曲线C 1交于M ，N 两点，求弦MN 中点的极坐标．[选修4-1：几何证明题选讲]23．如图（1）所示，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片如图（2）所示，量得三角形纸片的斜边长为10cm ，较小锐角为30°，再将这两张三角形纸片摆成如图（3）所示的形状．最后将图（3）中的△ABF 绕直线AF 翻转180°得到△AB1F ，AB1交DE 于点H ，如图（4）所示，请你帮小明证明：AH=DH ．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|，其中a＞1（1）当a=2时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集；（2）已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值．2017年山西省重点中学协作体高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（每空5分，共20分）1．已知函数f（x）=x2﹣m是定义在区间[﹣3﹣m，m2﹣m]上的奇函数，则f（m）= ﹣1 ．【考点】函数奇偶性的判断．【分析】由于奇函数的定义域必然关于原点对称，可得m2﹣m=3+m，求出m的值，代入条件检验可得结论．【解答】解：由已知必有m2﹣m=3+m，即m2﹣2m﹣3=0，∴m=3，或m=﹣1；当m=3时，函数即f（x）=x﹣1，而x∈[﹣6，6]，∴f（x）在x=0处无意义，故舍去．当m=﹣1时，函数即f（x）=x3，此时x∈[﹣2，2]，∴f（m）=f（﹣1）=（﹣1）3=﹣1．综上可得，f（m）=﹣1，故答案为﹣1．2．已知变量x、y满足条件，求z=2x+y的最大值 3 ．【考点】简单线性规划．【分析】先画出满足约束条件的平面区域，然后求出目标函数z=2x+y取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：作直线l：2x+y=0把直线向上平移可得过点A（2，﹣1）时2x+y最大当x=2，y=﹣1时，z=2x+y取最大值 3，故答案为 3．3．已知双曲线﹣=1与﹣=1有相同的离心率，则m= 6 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线离心率公式变形可得e 2=1+，对于题目所给的两个双曲线可得：e 12=1+=3和e 22=1+，两者离心率相等，可得1+=3，解可得m 的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，对于双曲线﹣=1，其离心率e=，则e 2===1+，对于双曲线﹣=1，其离心率为e 1，则e 12=1+=3，对于双曲线﹣=1，其离心率为e 2，则e 22=1+，而两个双曲线有相同的离心率，则有1+=3， 解可得m=6； 故答案为：6．4．已知点P 在单位圆x 2+y 2=1上运动，P 到直线3x ﹣4y ﹣10=0与x=3的距离分为d 1、d 2，则d 1+d 2的最小值是 5﹣ ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设点P （cosu ，sinu ），求出P 到直线3x ﹣4y ﹣10=0与x=3的距离分为d 1、d 2，即可求出d 1+d 2的最小值．【解答】解：设点P （cosu ，sinu ），P 到直线3x ﹣4y ﹣l0=0的距离为d 1=|3cosu ﹣4sinu ﹣10|=（10﹣3cosu+4sinu ），d 2=3﹣cosu ，∴d 1+d 2=（10﹣3cosu+4sinu ）+3﹣cosu=5+（4sinu ﹣8cosu ）=5+sin （u﹣t ），∴它的最小值=5﹣．故答案为：5﹣．二、选择题（每空5分，共60分）5．集合M={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，N={x|x ＞a}，若M ⊆N ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[3，+∞） B ．（3，+∞） C ．（﹣∞，﹣1] D ．（﹣∞，﹣1）【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】解一元二次不等式可得集合M ，进而根据集合包含的定义，可构造关于a 的不等式，解不等式可得实数a 的取值范围．【解答】解：∵集合M={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}=（﹣1，3） N={x|x ＞a}，若N={x|x ＞a}，则﹣1≥a 即a ≤﹣1即实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣1] 故选C6．若函数y=x 3+x 2+mx+1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（，+∞）B ．（﹣∞，]C ．[，+∞）D ．（﹣∞，） 【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】对函数进行求导，令导函数大于等于0在R 上恒成立即可．【解答】解：若函数y=x 3+x 2+mx+1是R 上的单调函数，只需y′=3x 2+2x+m ≥0恒成立，即△=4﹣12m ≤0，∴m ≥． 故选C ．7．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x ）=f （2﹣x ），且f （﹣1）=2，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f A ．1B ．0C ．﹣2D ．2【考点】函数奇偶性的性质．【分析】本题通过赋值法对f （2﹣x ）=f （x ）中的x 进行赋值为2+x ，可得﹣f （x ）=f （2+x ），可得到函数f （x ）的周期为4，根据奇函数的性质得到f （0）=0，再通过赋值法得到f （1），f （2），f （3），f （4）的值，即可求解．【解答】解：∵f （2﹣x ）=f （x ），∴f[2﹣（2+x ）]=f （2+x ），即f （﹣x ）=f （2+x ），即﹣f （x ）=f （2+x ），∴f （x+4）=f （4+x ），故函数f （x ）的周期为4．∵定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （2﹣x ）﹣f （x ）=0，且f （﹣1）=2，∴f （0）=0，f （1）=﹣f （﹣1）=﹣2，f （2）=f （0）=0，f （3）=f （﹣1）=2，f （4）=f （0）=0，∴f （1）+f （2）+f （3）+…+f+f （2）+f （3）+f （4）]+f+f （1）=0+（﹣2）=﹣2， 故选：C ．8．已知log 7[log 3（log 2x ）]=0，那么x 等于（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】对数的运算性质．【分析】从外向里一层一层的求出对数的真数，求出x 的值，求出值． 【解答】解：由条件知，log 3（log 2x ）=1， ∴log 2x=3， ∴x=8，∴x =故选：D ．9．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（ ）A ． +πB ． +πC ． +πD ．1+π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，进而可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥， 半球的直径为棱锥的底面对角线，由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=．故R=，故半球的体积为：=π，棱锥的底面面积为：1，高为1，故棱锥的体积V=，故组合体的体积为： +π，故选：C10．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AD=2AB ．若E ，F 分别为线段A 1D 1，CC 1的中点，则直线EF 与平面ABB 1A 1所成角的余弦值为（ ）【考点】直线与平面所成的角．【分析】取BB 1中点为N ，连接FN ，取FN 中点为M ，连接A 1M ，A 1F ，易得∠MA 1N 为直线EF 与平面ABB 1A 1所成角，解△MA 1N 即可求出直线EF 与平面ABB 1A 1所成角的余弦值．【解答】解：取BB 1中点为N ，连接FN ，取FN 中点为M ，连接A 1M ，A 1F 易得EF ∥A 1M ，EF=A 1M ∵A 1F 是EF 在面A 1ABB 1上的投影∴∠MA 1N 为所求的角令AB=1，在△MA 1N 中，A 1N=，所以A 1M=，则cos ∠MA 1N=故选A11．《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（ ）A ．尺 B ．尺 C ．尺 D ．尺【考点】等差数列的通项公式．【分析】由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列，其公差为d ，由等差数列的前n 项和公式能求出公差．【解答】解：由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列， 记为：a 1，a 2，a 3，…，a n ， 其公差为d ， 则a 1=5，S 30=390，∴=390，∴d=．故选：B ．12．现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（ ）【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】列举基本事件，利用古典概型概率公式求解即可．【解答】解：设两道题分别为A ，B 题，所以抽取情况共有：AAA ，AAB ，ABA ，ABB ，BAA ，BAB ，BBA ，BBB ，其中第1个，第2个分别是两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目，一共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一题目的事件有：ABA ，ABB ，BAA ，BAB ，共4种；故所求事件的概率为． 故选：C ．13．cos15°•cos105°﹣cos75°•sin105°的值为（ ）A ．﹣B ．C ．D ．﹣【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数．【分析】利用诱导公式和两角和的余弦函数公式化简，根据特殊角的三角函数值即可得解． 【解答】解：cos15°•cos105°﹣cos75°•sin105° =cos15°•cos105°﹣sin15°•sin105° =cos （15°+105°） =cos120°=﹣． 故选：A ．14．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 3=，S 3=，则公比q=（ ）A ．B ．C ．1或﹣D ．1或【考点】等比数列的通项公式．【分析】根据题意和等比数列的通项公式列出方程组，化简方程组并求出q 的值．【解答】解：因为a 3=，S 3=，所以，两式相比得2q 2﹣q ﹣1=0，解得q=1或，故选：C ．15．已知抛物线C 1：y=x 2（p ＞0）的焦点与双曲线C 2：﹣y 2=1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M ，若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数y=x 2（p ＞0）在x 取直线与抛物线交点M 的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p 的关系，把M 点的坐标代入直线方程即可求得p 的值．【解答】解：由抛物线C 1：y=x 2（p ＞0）得x 2=2py （p ＞0），所以抛物线的焦点坐标为F （0，）．由﹣y 2=1得a=，b=1，c=2．所以双曲线的右焦点为（2，0）．则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，即①．设该直线交抛物线于M （），则C 1在点M 处的切线的斜率为．由题意可知=，得x 0=，代入M 点得M （，）把M 点代入①得：．解得p=．故选：D ．16．函数y=f （x ）导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）A．（﹣1，3）为函数y=f（x）的递增区间B．（3，5）为函数y=f（x）的递减区间C．函数y=f（x）在x=0处取得极大值D．函数y=f（x）在x=5处取得极小值【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】利用导数与函数单调性的关系以及函数在某点取得极值的条件即可判断．【解答】解：由函数y=f（x）导函数的图象可知：当x＜﹣1及3＜x＜5时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当﹣1＜x＜3及x＞5时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣1），（3，5）；单调增区间为（﹣1，3），（5，+∞），f（x）在x=﹣1，5取得极小值，在x=3处取得极大值，故选项C错误；故选：C．三、简答题（本题分为必考题和选考题，共70分）17．已知函数（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间．【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性．【分析】（Ⅰ）通过二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后求的值；（Ⅱ）直接利用正弦函数的周期的求法，以及三角函数的单调性直接求函数f（x）的单调递减区间．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为=2cos2x+sin2x…=1+cos2x+sin2x…=…所以…（Ⅱ）因为所以…又y=sinx的单调递减区间为，（k∈Z）…所以令…解得…所以函数f（x）的单调减区间为，（k∈Z）…18．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷“与性别有关？【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图可知，“体育迷”有25人，可完成图表，进而可得得k2的近似值，比对表格可得结论．【解答】解：由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，故可得列联表如下：故可得k2=≈3.03＞2.706，故有90%以上的把握说明“体育迷“与性别有关．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别是AB，PC的中点，若ABCD是平行四边形．（1）求证：MN∥平面PAD．（2）若PA=AD=2a，MN与PA所成的角为30°．求MN的长．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取PD的中点E，连接EN、EA，推导出四边形ENMA为平行四边形，从而MN∥AE，由此能证明MN∥平面PAD．（2）推导出△PAD是等边三角形，MN=PE，由此能求出结果．【解答】证明：（1）取PD的中点E，连接EN、EA，∵M，N分别是AB，PC的中点，ABCD是平行四边形，∴EN AM，∴四边形ENMA为平行四边形∴MN∥AE，∵MN⊄平面PAD，AE⊂平面PAD，∴MN∥平面PAD．（2）∵E是PD中点，PA=AD=2a，∴AE是∠PAD的平分线，∵MN 与PA 所成的角为30°，MN ∥AE ，∴∠PAE=30°， ∴△PAD 是等边三角形，∴MN=PE==a ．20．已知两定点F 1（﹣，0），F 2（，0），满足条件|PF 2|﹣|PF 1|=2的点P 的轨迹是曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）设过点（0，﹣1）的直线与曲线E 交于A ，B 两点．如果|AB|=6，求直线AB 的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的应用．【分析】（1）根据条件|PF 2|﹣|PF 1|=2，利用双曲线的定义，可求曲线E 的方程；（2）直线方程代入双曲线方程，利用直线与双曲线左支交于两点A ，B ，求出k 的范围，再利用|AB|=6，求出k 的值，从而可求直线AB 的方程．【解答】解：（1）由双曲线的定义可知，曲线E 是以F 1（﹣，0），F 2（，0）为焦点的双曲线的左支，且c=，a=1，∴b==1，故曲线E 的方程为x 2﹣y 2=1（x ＜0）．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由题意建立方程组，消去y ，得（1﹣k 2）x 2+2kx﹣2=0，又已知直线与双曲线左支交于两点A ，B ，有，解得﹣＜k ＜﹣1．∵|AB|===2=，∴28k4﹣55k2+25=0，∴或，∵﹣＜k＜﹣1，∴，∴直线AB的方程为．21．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；（Ⅲ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围．【考点】函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）证明a＞1时函数的导数大于0．（Ⅱ）先判断函数f（x）的极小值，再由y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以方程f（x）=t ±1有三个根，根据t﹣1应是f（x）的极小值，解出t．（Ⅲ）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=a x+x2﹣xlna，∴f′（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna，由于a＞1，故当x∈（0，+∞）时，lna＞0，a x﹣1＞0，所以f′（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．（Ⅱ）当a＞0，a≠1时，因为f′（0）=0，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，故f′（x）=0有唯一解x=0．所以x，f′（x），f（x）的变化情况如下表所示：又函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，即y=f（x）的图象与两条平行于x轴的两条直线y=t±1共有三个交点．不妨取a＞1，y=f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，极小值f（0）=1也是最小值，当x→±∞时，f（x）→+∞．∵t﹣1＜t+1，∴f（x）=t+1有两个根，f（x）=t﹣1只有一个根．∴t﹣1=fmin（x）=f（0）=1，∴t=2．（Ⅲ）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max ﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，由（Ⅱ）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而，记，因为（当t=1时取等号），所以在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1），当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）．综合可得，①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1，可得a﹣lna≥e﹣1，求得a≥e．②当0＜a＜1时，由，综上知，所求a的取值范围为（0，]∪[e，+∞）．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ=﹣2．（Ⅰ）求C1和C2在直角坐标系下的普通方程；（Ⅱ）已知直线l：y=x和曲线C1交于M，N两点，求弦MN中点的极坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）消调参数θ，即可得到普通方程，由极坐标方程即可直接得到普通方程；（Ⅱ）根据韦达定理，即可求出弦MN中点的坐标，再化为极坐标即可．【解答】解：（Ⅰ）由得，得（x﹣1）2+（y﹣2）2=cos2θ+sin2θ=1，所以C1的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=1．因为x=ρcosθ，所以C2的普通方程为x=﹣2．（Ⅱ）由，得x2﹣3x+2=0，，弦MN中点的横坐标为，代入y=x得纵坐标为，弦MN中点的极坐标为：[选修4-1：几何证明题选讲]23．如图（1）所示，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片如图（2）所示，量得三角形纸片的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角形纸片摆成如图（3）所示的形状．最后将图（3）中的△ABF绕直线AF翻转180°得到△AB1F，AB1交DE于点H，如图（4）所示，请你帮小明证明：AH=DH．【考点】相似三角形的性质．【分析】证明△AHE≌△DHB1，即可证明结论．【解答】证明：△AHE与△DHB1中，∵∠FAB1=∠EDF=30°，∴FD=FA，EF=FB=FB1，∴FD﹣FB1=FA﹣FE，即AE=DB1，又∵∠AHE=∠DHB1，∴△AHE≌△DHB1（AAS），∴AH=DH．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|，其中a＞1（1）当a=2时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集；（2）已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值．【考点】带绝对值的函数；绝对值不等式的解法．【分析】（1）当a=2时，f（x）≥4﹣|x﹣4|可化为|x﹣2|+|x﹣4|≥4，直接求出不等式|x﹣2|+|x﹣4|≥4的解集即可．（2）设h（x）=f（2x+a）﹣2f（x），则h（x）=．由|h（x）|≤2解得，它与1≤x≤2等价，然后求出a的值．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）≥4﹣|x﹣4|可化为|x﹣2|+|x﹣4|≥4，当x≤2时，得﹣2x+6≥4，解得x≤1；当2＜x＜4时，得2≥4，无解；当x≥4时，得2x﹣6≥4，解得x≥5；故不等式的解集为{x|x≥5或x≤1}．（2）设h（x）=f（2x+a）﹣2f（x），则h（x）=由|h（x）|≤2得，又已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，所以，故a=3．。
山西省太原市2017届高三年级模拟试题(三)(理数)
山西省太原市2017届高三年级模拟试题（三）数学（理科）（考试时间：下午3:00——5:00）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非择题）两部分。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题与答题卡相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知i 是虚数单位，复数z 满足2zi z=+，则复数z 在复平面内对应的点的坐标是 A ．11(,)22- B ．(1,1)- C ．11(,)22- D ．(1,1)-2．已知全集U R =，集合{|(2)0}A x x x =+<，{|||1}B x x =≤，则下图阴影部分表示的集合是A ．(2,1)-B ．[1,0][1,2)-C ．(2,1)[0,1]--D ．[0,1]3．已知随机变量X 服从正态分布(3,1)N ，且(4)0.1587P X ≥=，则(24)P X <<= A ．0.6826 B ．0.3413 C ．0.4603 D ．0.9207 4．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11111+++中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x +=求得x ==A ．3 BC ．6 D．5．执行下面的程序框图，如果输入的3a =，则输出的n = A ．2 B ．3 C ．4 D ．56．在ABC ∆中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点P 是ABC ∆内一点（含边界），若23AP AB AC λ=+， 则||AP 的取值范围为A． B ．8[2,]3C． D． 7．已知某产品的广告费用x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）具有线性关系关系，其统计数据如下表：由上表可得线性回归方程^^^y b x a =+，据此模型预报广告费用为8万元时的销售额是 A ．59.5 B ．52.5 C ．56 D ．63.5附：121^1221()())=()(n niii nii iii nii x y nx yb xx x y yn x x x ====-⋅---=-∑∑∑∑；^^a yb x =-8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为 A ．B ．CD ．9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,3)n n S +*()n N ∈在函数32xy =⨯的图象上，等比数列{}n b 满足1n n n b b a ++=*()n N ∈，其前n 项和为n T ，则下列结论正确的是 A ．2n n S T = B ．21n n T b =+ C ．n n T a > D ．1n n T b +< 10．已知函数()f x 是偶函数，(1)f x +是奇函数，且对于任意1x ，2[0,1]x ∈，且12x x ≠，都有1212()[()()]0x x f x f x --<，设82()11a f =，50()9b f =-，24()7c f =，则下列结论正确的是A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c a b >>11．已知实数x ，y 满足条件480,2360,20,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩若222x y m +≥恒成立，则实数m 的最大值为A ．5B ．43 CD ．8312．已知点P 在抛物线2y x =上，点Q 在圆221()(4)12x y ++-=上，则||PQ 的最小值为 A．12- B．12- C．1 D1 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率.先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：7327 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为 ． 14．21sin )x dx -⎰= ．15．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，90BAC ∠=︒，点D 在AB 上，点E 在CD 上，且ACB DE DEB ∠=∠=∠，则DC = ． 16．已知过点(2,0)A -的直线与2x =相交于点C ，过点(2,0)B 的直线与2x =-相交于点D ，若直线CD 与圆224x y +=相切，则直线AC 与BD 的交点M 的轨迹方程为 .三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知,cos )33x x m =，(cos ,cos )33x xn =()f x m n =⋅. （1）若函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）若a ，b ，c 分别是ABC ∆分内角A ，B ，C 所对的边，且2a =，(2)cos cos a b C c B -=，3()2f A =，求c .网购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均网购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图.这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人将所抽样本中周平均网购次数不小于4次的市民称为网购迷，且已知其中有5名市民的年龄超过40岁.（1） 根据已知条件完成下面的22⨯列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下（2）若从网购迷中任意选取2名，求其中年龄丑啊过40岁的市民人数ξ的分布列与期望.附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++；19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A ⊥底面ABC ，160A AC ∠=︒，124AC AA ==，点D ，E 分别是1AA ，BC 的中点.（1）证明：//DE 平面11A B C ；（2）若2AB =，60BAC ∠=︒，求直线DE 与平面11ABB A 所成角的正弦值. 20．（本小题满分12分）已知动点C 到点(1,0)F 的距离比到直线2x =-的距离小1，动点C 的轨迹为E . （1）求曲线E 的方程；（2）若直线:(0)l y kx m km =+<与曲线E 相交于A ，B 两个不同点，且5OA OB ⋅=，证明：直线l 经过一个定点.已知函数2()21f x x x =-+，()2ln(1)g x a x =-()a R ∈. （1）求函数()()()h x f x g x =-的极值；（2）当0a >时，若存在实数k ，m 使得不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请在答题卡上把所选题目对应题号后的方框涂黑. 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （1）求曲线1C 普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线3C 的极坐标方程为(0,)R θααπρ=<<∈，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是曲线3C 与2C 的交点，且A ，B 均异于原点O ，且||AB =α的值.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲. 已知函数1()2||||f x x a x a=++-(0)a ≠. （1）当1a =时，解不等式()4f x <； （2）求函数()()()g x f x f x =+-的最小值.数学（理科）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1-5:BCAAC 6-10:DABDB 11、12：DA二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.0.4 14.2π 15.134 16.221(0)4x y y +=≠ 三、解答题（本大题共70分）17.解：（1）2()cos cos 333x x x f x m n =⋅=+，212(cos 1)323x x=++=21sin()362x π++，∴()f x 的最小正周期为3π，令2222362x k k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，则332k x k ππππ-+≤≤+， ∴()f x 的单调递增区间为[3,3]2k k ππππ-++()k Z ∈；（2）(2)cos cos a b C c B -=，∴2sin cos A C =sin cos cos sin sin B C B C A +=，0A π<<，∴sin 0A >，∴1cos 2C =，∴3C π=， ∴213()sin()3622A f A π=++=，∴2sin()136A π+=， ∴22362A k πππ+=+，k Z ∈，∴2A π=，∴sin 2sin3c a C π===18.解：（1）由题意可得列联表如下：假设网购迷与年龄不超过40岁没有关系，则2100(2030455)65352575k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 3.297 2.706>. 所以可以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关； （2）由频率分布直方图可知，网购迷共有25名，由题意得年龄超过40的市民人数ξ的所有取值为0，1，2，22022519(0)30C P C ξ===，112052251(1)3C C P C ξ===，252251(2)30C P C ξ===，∴ξ的分布列为∴012303305E ξ=⨯+⨯+⨯=.19.解：（1）证明：取AC 的中点F ，连接DF ，EF ， E 是BC 的中点，∴//EF AB ，111ABC A B C -是三棱柱，∴11//AB A B ，∴11//EF A B ，∴//EF 平面11A B C ，D 是1AA 的中点，∴1//DF AC ，∴//DF 平面11A B C ， ∴平面//DEF 平面11A B C ， ∴//DE 平面11A B C ；（2）过点1A 作1AO AC⊥，垂足为O ，连接OB ， 侧面1ACC A ⊥底面ABC ，∴1AO ⊥平面ABC ， ∴1AO OB ⊥，1AO OC ⊥， 160A AC ∠=︒，12AA =，∴1OA =，1OA =2AB =，60OAB ∠=︒，由余弦定理得，2222cos 3OB OA AB OA AB BAC =+-⋅∠=，∴OB =90AOB ∠=︒，∴OB AC ⊥，分别以OB ，OC ，1OA 为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系O xyz -， 由题设可得(0,1,0)A -，(0,3,0)C ，B ，1A ，1(0,2D -，3(,0)22E ，设111(,,)m x y z =是平面11ABB A 的一个法向量，则10,0,m AB n AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴11110,0,y y +==⎪⎩令11z =，∴(1,m =，3(DE =，∴cos ,m DE <>=55||||m DE m DE ⋅-=， ∴直线DE 与平面11ABB A 所成角的正弦值为5520.解：（1）由题意可得动点C 到点(1,0)F 的距离等于到直线1x =-的距离，∴曲线E 是以点(1,0)为焦点，直线1x =-为准线的抛物线，设其方程为22(0)y px p =>，∴12p=，∴2p =， ∴动点C 的轨迹E 的方程为24y x =；（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，由2,4y kx m y x=+⎧⎨=⎩得222(24)0k x km x m +-+=，∴12242km x x k -+=，2122m x x k⋅=. 5OA OB ⋅=，∴1212x x y y +=221212(1)()=k x x km x x m ++++2245m kmk+=， ∴22450m km k +-=，∴m k =或5m k =-.0km <，m k =舍去，∴5m k =-，满足16(1)0km ∆=->，∴直线l 的方程为(5)y k x =-， ∴直线l 必经过定点(5,0).21. 解：（1）由题意得2()(1)2ln(1)h x x a x =---，1x >，∴22[(1)]'()1x a h x x --=-， ①当0a ≤时，则'()0h x >，此时()h x 无极值；②当0a >时，令'()0h x <，则11x <<'()0h x >，则1x >∴()h x 在(1,1上递减，在(1)+∞上递增；∴()h x 有极小值(1(1ln )h a a =-，无极大值；（2）当0a >时，有（1）知，()h x 在(1,1上递减，在(1)+∞上递增，且有极小值(1(1ln )h a a =-，①当a e >时，(1(1ln )0h a a =-<，∴(1(1f g <， 此时，不存在实数k ，m ，使得不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立；②当0a e <≤时，(1(1ln )0h a a =-≥，2()21f x x x =-+在1x =)y a =-，令()())]u x f x a =--，1x >，则2()[(10u x x =-≥，∴)()a f x -≤，令())()v x a g x =--=)2ln(1)a a x ---，1x >，则'()v x =，令'()0v x <，则11x <<'()0v x >，则1x >∴()(1v x v ≥=(1ln )0a a -≥，∴())g x a ≤-，∴())()g x a f x ≤-≤，当k =m a =-时，不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立，∴0a e <≤符合题意；由①，②得实数a 的取值范围为(0,]e .22.解：（1）由22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩消去参数ϕ可得1C 普通方程为22(2)4x y -+=，.4sin ρθ=，∴24sin ρρθ=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得曲线2C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=； （2）由（1）得曲线1C ：22(2)4x y -+=，其极坐标方程为4cos ρθ=， 由题意设1(,)A a ρ，2(,)B a ρ，则12||||4|sin cos |AB ρραα=-=-sin()|4πα=-=∴sin()14πα-=±，∴42k ππαπ-=+()k Z ∈，0απ<<，∴34πα=.23. 解：（1）1a =，∴原不等式为2|1||1|4x x ++-<，∴12214x x x <-⎧⎨---+<⎩，或11,2214,x x x -≤≤⎧⎨+-+<⎩或1,2214,x x x >⎧⎨++-<⎩ ∴513x -<<-或11x -≤<或∅，∴原不等式的解集为5(,1)3-.（2）由题意得()()()g x f x f x =+-=112(||||)(||||)x a x a x x a a++-+++- 222|2|4||||||a a a a ≥+=+≥当且仅当12||||a a =，计2a =±，且22x -≤≤时，()g x 取最小值。
山西省太原市育英中学2017届高三摸底考试数学(理)试卷含答案
育英中学2017高三摸底考试（理科数学）试卷说明：本试卷满分150分，答题时间120分钟。
第Ⅰ卷（12题 共60分)一、单项选择题：共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的。
请将正确选项的字母填入答题卡相应表格中。
1。
若集合1{|lg(1)}3A x y x x ==++-,}02|{≤-=xx x B ，则=B A （ ）A ．{|12}x x -≤<B ．{|02}x x <≤C ．}20|{≤≤x xD ．{|03}x x <<2.已知复数213z iz i+=+(i 为虚数单位），则z = （ )A ．10 B ．13C ．110D ．10 3．从区间[]1,1-上随机抽取实数,x y ，则21x y +≤的概率为( ）A 。
16 B. 14 C 。
13 D. 124。
已知点M 在直线0x y a ++=上，过点M 引圆222x y +=的切线，若切线长的最小值为22a 的值为( ) A 。
22± B 。
3± C ．4± D ．25±5。
已知某几何体的三视图如下图所示,其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形,则该几何体中最长的棱长是A 。
4B 。
42C 。
43 D 。
86．定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x -=-,则下列结论正确的是（ )A ．(2012)(2014)f f ->B ．(2012)(2014)f f -<C ．(2012)(2014)f f -=D ．不确定 7。
在46)1()1(y x ++的展开式中，记nm y x 项的系数为),(n m f ,则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ）（）A 。
45B 。
60C 。
120D. 2108. 执行如图所示的程序框图，若输入10,n =则输出的S =（ ）A ．511B ．1011C ．3655D ．72559。