桁架内力计算的截面法
截面法截面法可以快速求出某一内力，通常取结构 的一部分为隔离体，其上力系为平面一般力 系。
每个隔离体上有3个独立平衡方程。
一般 表示为： ∑FX = 0 投影法 ∑FY = 0 力矩法 ∑M = 0 计算要点： 尽量使一个方程解一个未知数，避免求解 联立方程。
1一. 力矩法例：求图示桁架1、2、3杆的轴力。
2VAVB解：由整体平衡条件求得支座反力 VA=VB HA=0作Ⅰ--Ⅰ截面,截开1、2、3杆的轴力 取截面以左为隔离体。
Ⅰ3Ⅰ（1）求1杆轴力N1K14选取未知力N2和N3 延长线的交点K1作 为取矩点。
N1 对K1点取矩，由 ∑MK1 = 0 从而求出所求未知 力N1。
VA（2）求2杆轴力N2N2Y25K2X22VA由∑MK2 = 0 ,比例关系从而求出所求未知力Y2。
2杆轴力N2（3）求3杆轴力N3Y3 N3 X3K3 VA6由 ∑MK3 = 0比例关系从而求出所求未知力X3。
3杆轴力N3力矩法要点：欲求某指定杆内力，则作一截面，截开待求 杆； 隔离体上除所求未知力外，其余未知力的延 长线均交于某一点K。
对K点取矩，从而求出所求未知力 。
（1）选择其余未知力延长线的交点K作为取矩 点，从而用∑MK=0，求出指定杆内力。
（2）将斜杆的内力放在某一个合适的点上分 解，使其一个分力通过取矩点K。
解，7例1. 求图示桁架杆件a、b、c的轴力890kN30kN作Ⅰ—Ⅰ截面Ⅰ9Ⅰ求NaNa 求Na时，对另 外两个未知力的 交点C取矩， C10由 ΣMc＝0，得 Na×4＋30×8＝030kN解得： Na =－ 60kN求NbD Xb E Yb Nb30kN11求Nb时，对点D取 矩。
将Nb 其在E点处分解 为水平和竖向分量。
由ΣMD＝0，得 Yb×12＋40×4 － 30×12＝0 解得 Yb＝16.67 kN由比例关系得到：N b = 2Yb = 2 × 16.67 = 23.57kN求NcYc XcD Nc12E求Nc时，对点E取 矩。
将Nc 其在D点处分解 为水平和竖向分量。
由ΣME＝0，得 Yc×12 － 40×8 ＝0 解得 Yc＝ 26.67kN30kN由比例关系得到：N c = 2Yc = 2 × 26.67 = 37.71kN二. 投影法例：求图示桁架a杆的轴力.P P13mmNa作m-m截面，截开a 杆，取截面以上为隔离 体。
其上共有四个未知力。
投影法P14当隔离体上除所求 未知力Na外，其余未知 力均相互平行且都在竖 直方向上。
将Na 分解为水平和竖 向分量Xa 、Ya。
建立水平投影方程 ∑FX=0，可求出 Xa=－ P 由比例关系得到 Na 。
Xa Ya Na投影法要点：欲求某指定杆内力，则作一截面，截开待求 杆； 当隔离体上除待求未知力外，其余未知力均相 互平行。
建立投影方程，求出待求未知力。
15例2. 试求图示桁架a、b杆的内力Ⅰ Ⅰ2l163l作Ⅰ-Ⅰ截面，截开a 杆，取截面以上为隔 离体。
其上共有三个未知力。
a杆的内力17Xa建立水平投影方程 ∑FX=0，可求出 由比例关系得到Xa = PNa = 2Pb杆的内力18ⅡⅡ作Ⅱ-Ⅱ截面，截开b杆，取截面以上为隔 离体。
其上共有五个未知力。
b杆的内力19Xb建立水平投影方程 ∑FX=0，可求出 由比例关系得到Xb=2P Nb = 2 2P联合桁架先求出联系杆件的内力，即先求出刚片间的约束 力，然后将约束力作为已知的荷载加在刚片上（简 单桁架上）。
20CSS∑MC = 0S∑Y = 0S=0例3 试求图示桁架杆a、b的内力。
213lVA=PVB=P联合桁架3l求1杆的内力Ⅰ221建立竖直投影方程 ∑Fy=0，可求出 y1 = 0N1 = 0VA=P Ⅰ VB=P求a杆内力作Ⅱ-Ⅱ截面，截开 b杆，取出隔离体.0 0Na Xa Ya O23P 对0点取矩，有∑M0= 0，即： Ya = − 3 1 Na = − 2P 3ⅡⅡ求b杆内力作Ⅱ-Ⅱ截面，截开 b杆，取出隔离体.0 0Nb24ⅡⅡA YbXb2 对A点取矩，有∑MA=0，即：Yb = − P 3 1 Nb = − 5P 3试求图示桁架杆a、b的轴力25联合桁架求a杆的轴力26联合桁架切断联合杆AC、EF及BD∑x = 0Na=P求b杆的轴力27∑MA=0Xb例4 试求图示桁架指定杆的内力。
287 P 28d7 P 22求5杆内力Ⅰ 5297 P 2Ⅰ7 P 2作Ⅰ-Ⅰ截面，截开5杆，取截面以左(或以右) 为隔离体。
求1杆内力N530C7 P 2对C点取矩，有∑MC=0，即： 7 × 4 − 3 − 2 −1 N 5 = N1 = − 2 P = −4 P 2求3杆内力5317 P 2ⅡⅡ7 P 2作Ⅱ-Ⅱ截面，截开3杆，取出隔离体。
求3杆内力N3 X3 Y3 C32对C点取矩，有∑MC= 0，即：1 Y3 = − P 2 1 N3 = − 2P 2求2杆内力Ⅲ3357 P 2Ⅲ7 P 2作Ⅲ-Ⅲ截面，截开2杆，取截面以左(或以右) 为隔离体。
求2杆内力Y21 P 234建立竖直投影方程 ∑Fy= 0，可求出Y2 = PN 2 = 2P7 P 2求4杆内力D35取D结点隔离体,由结点法分析。
建立竖直投影方程 ∑Fy= 0，可求出 N 4 = −PN4DP讨论：P78 例3-1636，b0 c0 0aIdI例3-16b、d杆内力∑Fx＝0，得G37∑MG＝0bc，aFNd = 0IId0FNd例3-16 a 杆内力38Fb0 caId0， 0I FNaFNa∑MF＝010 × 2 + 10 × 4 =− = −30kN 2例D 1试求图示桁架a杆的内力D点为K式结点， 其上无外荷载，由 ∑Fy= 0，可求出： Y1＝－Y2 由对称性，有： Y1＝Y2 其解为： N1=N2 =039002DY1Y2作I-I截面，取右半为隔离体，对O点取矩。
I Na O40000I∑MO=06×Na-20×3=0Na=10kN例5. 求图示桁架1、2杆的轴力4115kN15kN解：先根据整体平衡条件求出桁架支座反力.求杆件1的轴力Ⅰ42N1ⅠM0 C10kN15kNC 对C点取矩，有∑MC＝0，即： 15kN 15×4＋N1×3－10×2＝00 MC 10 × 2 − 15 × 4 N1 = =− h 3平弦桁架上下弦杆承 受梁中的弯矩。
N1＝－13.3kN求杆件2的轴力Ⅰ43Y2ⅠD10kN15kNQ0 CDC15kN有∑Y ＝0， 15＋Y2－10＝0Y2 = 10 − 15 = −50 = −QCD平弦桁架的斜杆承受 梁中的剪力。
32 + 2 2 5 5=− N2 = − 13 kN 3 3。
桁架内力计算
21
一、节点法 （1）一般先研究整体，求支座约束力； （2）逐个取各节点为研究对象； （3）求杆件内力； （4）所选节点的未知力数目不大于2，由此 开始计算。
练习1
判断结构中的零杆
F F
F
FP
2015-3-5
15
结点法
基本概念 结点法 截面法 联合法 小结
۞
练习2
计算桁架各杆件内力
2F a
4×a
第一步：求支座反力 第二步：判断零杆和单杆，简化问题 第三步：逐次去结点，列平衡方程 第四步：自我检查
16
2015-3-5
结点法
基本概念 结点法 截面法 联合法 小结
目 ≤ 独立方程数（即2个）；
小结
基本思路：尽可能简化问题，一般先求支座反力，
然后逐次列结点平衡方程。
2015-3-5 10
结点法
۞
例题1
如图所示为一施工托架计算简图，求图示 荷载作用下各杆轴力(单位：kN)。
基本概念 结点法 截面法 联合法 小结
8 A
1.5m
8
C 6 E8 G F
8
B
截面法
基本概念
۞ 例题2
求图示桁架25、34、35三杆内力（单位：kN)。 10 20
I 4
7 2m 8
结点法
10
3
a
截面法 联合法 小结
1
2
5 I8 m
6
解： 1）求支座反力。2）截面法，取分离体受力 分析，求内力。
工程力学32 静定平面桁架结构的内力计算
定
12kN
12kN
结 构
3m 3
6kN D
F
J
6kN
L
的 内 力
FxA
AC E G
IK
B
4m 6
FyA
FyB
计 算 1.求支座反力
FxA 0 FyA 36kN FyB 36kN
2020/10/4
重庆工程职业技术学院
11
静定桁架
结 构
12kN 12kN
12kN H 12kN
12kN
力 学
3m 3
静 定
3、注意：
结
（1）一般结点上的未知力不能多余两个。
构 的
（2）可利用比例关系求解各轴力的铅直、水平分量。
内
力
计
算
2020/10/4
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10
静定桁架
结 三、静定平面桁架的内力计算
构 （一）结点法
力
以一个结点为隔离体，用汇交力系的平衡方程求解
学
各杆的内力的方法。
静
12kN
12kN H 12kN
结 构 力 学
静 定 结 构 的 内 力 计 算
结 一、概述 构 力 学
静定桁架
静
定
结
构
的
主桁架
内
力
计
算
2020/10/4
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2
结 一、概述 构
力 学
静定桁架
静 理想桁架的三点假设：
定
结
（1）所有的结点都是无摩擦的理想铰结点；
构
（2）各杆的轴线都是直线，并通过铰的中心；
的
（3）荷载和支座反力都作用在结点上。
例题-桁架-截面法
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5
钟艳玲 张强
1m 1m
例
jm-3
图示桁架，
r F铅直向下，求杆Fra bibliotek1,2,
3
的内力。
解 (1) 取 I-I 截面左半部分
I L H EB
工 程 力 学
r
ME (Fi ) 0
F 6 F1 2 0
K M
rJ F
G 3 D2
F
C I1A
第
130
F1 3F
2m 2m 2m 2m
章
r
动量原理平面力系 的
例 jm-1 图示桁架尺寸为 AB=BC=BD=a；AD DC DE 2a。
集中力 F1 F2 F3 F。试计算 1, 3, 6 杆的内力。 r
工 解 (1) 用截面 I-I 将桁架截开
程 力
(2) 以右半部分为研究对象
学
MD (Fi ) 0
A 1 I F1 2
3
B
4 5
C r F2
L
K M
rJ
H FHE E
rr
G
F FGE 2
r
F
C
F1
平
F
衡
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6
钟艳玲 张强
1m 1m
例
jm-3
图示桁架，
r F
铅直向下，求杆
1,
2,
3
的内力。
解 (2) 取 II-II 截面左半部分
II LH
EB
工 程 力 学
r
MH (Fi ) 0
K M
F 4 FFC 2 0
rJ F
G 3 D2 F II C 1 A
r
的 平
桁架的内力计算
图1 屋架节点荷载的计算桁架的内力计算当桁架只受节点荷载时，其杆件内力一般按节点荷载作用下的铰接桁架计算。
这样，所有杆件都是轴心受压或轴心受拉杆件，不承受弯矩。
具体计算可用数解法（节点法或截面法）、图解法（主要是节点法）、图解法（主要是节点法）、计算机法（常用有限元位移法）等。
实际桁架节点为焊缝、铆钉或螺栓连接，具有很大的刚性，接近于刚接。
按刚接节点分析桁架时，各杆件将既受力又受弯矩。
但是，通常钢桁架中各杆件截面的高度都较小，仅为其长度的1/15（腹杆）和1/10（弦杆）以下，抗弯刚度较小；因而按刚接桁架算得的杆件弯矩M 常较小，且杆件轴心力N 也与桁架计算结果相差很小。
故一般情况都按铰接桁架计算。
对少数荷载较大的重型桁架，例如铁路桥梁等，当杆件截面高度超过其长度的1/10时，次应力份额逐渐增大，可达10～30%或以上，必要时应作计算。
目前用计算机计算刚接桁架已无困难。
据上所述，檩条或大型屋面板等集中荷载只作用在屋架节点处时，可按铰接桁架承受节点荷载计算杆件内力，例如图1。
这时节点荷载值即为檩条或边肋处的集中荷载值，按式上一小节公式，即：100011122F qA qbd d F qA qb d d d F qA qb == ==++== 来计算。
该图中檐口檩条集中荷载F 0在桁架计算时可归并入F 1内（或端节间按伸臂梁而将F 0（1＋d 1/ d ）并入F 1，－F 0 d 1/d 并入第二节点F ）；另外在计算上弦杆的支座截面时，除考虑轴心压力外还考虑偏心弯矩M e ＝F 0 d 1。
当檩条或屋面板等布置未与屋架节点相配合，屋面板没有边肋而是全宽度支图2 承受节间荷载的屋架 承于屋架上弦（上弦均布荷载）、或其它特殊情况时，桁架将受节间荷载，例如图1。
这时桁架内力计算可按下列近似方法：(1)把所有节间内荷载按该段节间为简支的支座反力关系分配到相邻两个节点上作为节点荷载，据此按铰接桁架计算杆件的轴心力。
静定结构的内力—静定平面桁架(建筑力学)
截断的五根杆件中，除杆ED外，其余 四杆均汇交于结点C，由力矩方程 ΣMC=0即可求得FNED。
静定平面桁架的内力计算
（2）欲求图复杂桁架中杆CB的轴力 可用Ⅰ-Ⅰ截面将桁架截开，在
被截断的四根杆件中，除杆CB外，
其余三杆互相平行，选取y轴与此三
静定平面桁架的工程实例和计算简图
1 静定平面桁架的工程实例
桁架是由直杆组成，全部由铰结点连接而成的结构。
屋架
桥梁
静定平面桁架的工程实例和计算简图
纵梁
横梁 主桁架
工业厂房
静定平面桁架的工程实例和计算简图
2 静定平面桁架的计算简图
（1）桁架各部分名称
斜杆 Diagonal chard
弦杆
上弦杆 Top chard
静定平面桁架的内力计算
MD 0 Fx 0
FNc 4 FAy 3 20 3 0 FNc 52.5kN FNbx FNa FNc 0
FNbx FNa FNc 15kN
由比例关系可得
FNb
lb lbxy
FNbx
3.61m 3m
15kN
18.05kN
静定平面桁架的内力计算
主内力：按理想桁架算出的内力，各杆只有轴力。 次内力：实际桁架与理想桁架之间的差异引起的杆件弯曲，由此引起的内力。
实际桁架不完全符合上述假定, 但次内力的影响是次要的。
静定平面桁架的工程实例和计算简图
3 静定平面桁架的分类
（1）按几何组成规律分类 简单桁架 由基础或一个铰接三角形开始，依
次增加二元体而组成的桁架 联合桁架 由几个简单桁架按照几何不变体系
第5章桁架内力计算(第11周)(截面法)
3×8－SDE×2=0 SED=12kN(拉） 再考虑结点D、E的平 衡可求出各链杆的内力。
-6
19 返回
3. 分析受弯杆件
取AC杆为隔离体， 考虑其平衡可求得：
A
12kN
F
8kN C 6kN V=3kN C
HC =12kN
HC=12kN←
5kN
6kN
VC=3kN↑
B
6kN 12 3kN
8kN
A
1kN 6kN 4 0 6
18 返回
例 5－2 分析此组合结构的内力。 解：
HA=0
6
-6
Ⅰ
13· 4
51
+12 2
12
VA=5kN
Ⅰ
RB=3kN
1. 由整体平衡 条件求出支反力。 2. 求各链杆的内 力：作Ⅰ－Ⅰ截面
HC SDE
VC +12
12
4 13· 6 12
拆开C铰和截断DE 杆，取右部为隔离体。 由∑MC=0 有
2 .截面法据所选方程类型的不同 又分为力矩法、投影法。
返7回
（1）力矩法 以例说明
Ⅰ
设支反力已求出。 求EF、ED、CD三杆的 内力。作截面Ⅰ-Ⅰ，取左 部分为隔离体。
由∑ME=0 有 RAd－P1d－P2×0－SCDh=0 R d − P1d − P2 × 0 SCD = A （拉） h RA×2d－P1×2d－P2d+XEFH=0
YEF SEF
∽
XEF
பைடு நூலகம்
∽
SED
SCD a RA d d YED
XED
9
（2）投影法
Ⅱ
求DG杆内力 作Ⅱ—Ⅱ截面， 取左部分为隔离体。 由∑Y=0 有
桁架求解的几种方法
FA=40kN
a A G III 20kN II H III 20kN I 20kN
6x3m =18m F B= 20kN
C
隔离体，由ΣMF=0，得： F ×4-20×3-40×3 = 0，
图5-12
4m
B
(2) 取结点H为隔离体，由ΣFx = 0， 得：FNGH =FNHC = 45 kN (3) 作截面Ⅱ-Ⅱ，仍取左部分为隔离体，由ΣMF = 0，得 FNa×3/ 13 ×4+45×4-40×3 = 0， FNa = -513 = -18.0 kN 在该题中，若取截面Ⅲ-Ⅲ所截取的一部分为隔离体(图 5-12)，由于ED杆为零，FNED = 0。 由平衡方程ΣMC = 0，可得 FNa×2/ 13 ×3+FNa×3/ ×2+20×3 = 0， 13 FNa = -513 = -18.0 kN 可见，按后一种方法计算更简单。
E
G
(a)
2m
A
D
2kN
C
4kN
F
2kN
B
解：该桁架为简单桁架， 由
于桁架及荷载都对称，故可计 算其中的一半杆件的内力，最 后由结点C的平衡条件进行校 核。 1.计算支座反力。 ΣFx = 0, FAx = 0
(d) (b)
4X 2m =8 m
F A Y = 4kN F B Y = 4kN
FNDE F NAE
60×3-10×3-FNa×3 = 0， FNa = 50 kN
(2) 求上弦杆c的内力时，以a、b两杆的交点D为矩心， 此时要计算FNc的力臂不太方便，为此将FNc分解为水平和
竖直方向的两个分力。则各分力的力臂均为已知。 10 10
7.2桁架内力的计算
FGC
P 2
P 2
P 2
P 2
C
FGC
G
P
FGD
FGB
E
FAx FAy A
D
GP
FBy
B
例题
例题8
§7 力系的平衡
4.取节点A
Fiy 0 FAE sin 60 FAy 0
3 FAx P, FAy 4 P
FAE
3 P 4
2 P 32
P
FEC FAE 2 C
Fix 0 FAD FAE cos 60 FAx 0
ED=DG=DB=a ，求CD
杆的内力。
例题
例 题 10
§7 力系的平衡
C
解：1.判断零杆
ED杆为零杆。
m
2.以m-m截面切开，取右半部分：
A
E
0
D
GP
B
MiB 0
FCD a P
3a0 2
FCD
3P 2
FGC
FCD
m
GP
பைடு நூலகம்FAD
B
D
例题
例 题 11
§7 力系的平衡
图示桁架各杆长均为1m，P1=10kN , P2=7kN , 求杆 EG的内力。
1.15
kN
(受拉)
例题
例 题 12
P3 P2 P1
3a
§7 力系的平衡
P4
P5
4a ①
桁架结构受力 如图，试求其 中①杆的内力。
例题
例 题 12
P3 P2 P1
m 3a
§7 力系的平衡
P4
解： 1.受力分析：
P5
此桁架S= 27 ,n=15 ,
结构力学桁架截面法例题
结构力学桁架截面法例题
结构力学桁架截面法例题
一、题目：
一根钢桁架有两种不同截面，桁架长度为3m，端部修里夹具为α=60°，桁架的两个截面信息如下：
截面1：
a1=20mm，b1=10mm，I1=40×104mm4
截面2：
a2=50mm，b2=20mm，I2=500×104mm4
请用桁架截面法计算其承载力。
二、解答：
1、计算桁架的顶点角度θ和抗弯矩Mx：
利用转矩定理，可以得到桁架承载力P的表达式：
P=Mx/l*cosθ
用已知量计算得θ=30°，Mx=12.33×104N·m
2、求解桁架的承载力P：
将计算得的θ和Mx代入表达式：
P=12.33×104N·m/3m*cos30° = 4.11×104N
3、计算桁架的屈曲应力σbb：
利用屈曲应力的表达式：
σbb=Mx/S
用已知量计算得S=12.5×104mm2，σbb=0.99MPa。
以上便是本题的答案。
桁架承载力P=4.11×104N，屈曲应力σbb=0.99MPa。
结构力学 静定桁架的内力计算
F Ay= 2 F P
(b)
参照图(b)计算如下：
见图(b),未知杆力在隔离体上的一 般表示。
MD 0
F NG 1 h C(F P bF 2 P2 b2 F P2 b )
由几何关系得：h 2 b 代入上式，
5
FNGC 5FP
MG 0
FNE Db 2(2FPF 2P)b3FP
图(d)：
在反对称荷载下，桁架应具有反对称 的内力分布，即在桁架的对称轴两侧 的对称位置上的杆件，应有大小相等、 性质相反的轴力。
考查结点E：见图(f) EJ为零杆，继而JA、 JB为零杆。
(f )
§6.3 桁架内力计算的截面法
➢截面法：用一个假想的截面，将桁架 截成两部分，取其任一部分为隔离体 ，建立该隔离体的平衡方程，求解杆 轴力的方法。
利用该结点的对称性，且由水平方 向的投影方程得：
FNa
2 2 FP
(a)
§6.4 组合结构的内力分析
❖既有梁式杆又有桁架杆的结构称作 组合结构。见图6-4-1所示。
图6-4-1
组合结构内力计算的一般途径是： 先计算桁架杆，再计算梁式杆。
例6-4-1
计算图(a)所示组合结构，求出二力 杆中的轴力，并作梁式杆的弯矩图。
D
F NDC
F NGE
G
A
K
F NKH
FP FP
(c)
由图(c)所示截面左侧隔离体求出截面
截断的三根杆的轴力后，即可依次按
结点法求出所有杆的轴力。
❖ 方法1：
见图(d) ，由结点H的结点单杆 EH上的轴力，再由结点E（当 杆EH轴力已知时，杆a既是结 点E上的结点单杆）可求出杆a 的轴力。