行列式计算及应用
行列式的计算及应用
1.行列式的定义及性质1
1.1行列式的定义1
1.1.1排列1
1.1.2定义1
1.2行列式的相关性质1
2.行列式的计算方法5
2.1几种特殊行列式的结果5
2.1.1三角行列式5
2.1.2对角行列式5
2.2定义法5
2.3利用行列式的性质计算5
2.4降阶法6
2.5归纳法7
2.6递推法8
2.7拆项法9
2.8用范德蒙德行列式计算10
2.9化三角形法10
2.10加边法11
2.11拉普拉斯定理的运用12
2.12行列式计算的Mat lab实验13
This paper first describes the basic theory of determinants, based on this study describes the reduction me什induction techniques and a certain common determinant of several methods of solution method, the method of the triangle, and cited relevant examples, more intuitive understanding of the essence of the solution determinant method・In addition, this paper describes the determinant in analytic geometry, algebra and other courses which further deepened the understanding of the determinants. Finally, they provide examples described determinant application in practice to achieve a theoretical and practical determinant combined・Research determinant calculation method and its application can improve the understanding of the determinant, is conducive to deepen什study of determinants. You can further enhance the understanding of the determinants through this series of methods, laid the foundation for future learning・
行列式的计算技巧及其应用毕业论文【范本模板】
本科生毕业论文(设计)题目: 行列式的计算技巧及应用学生姓名：谢芳学号: 201210010133专业班级：数学与应用数学12101班指导教师：颜亮完成时间： 2016 年 5 月目录摘要.。
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1 关键词.。
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1 0、前言。
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1 1、基础知识及预备引理.。
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2 1.1行列式的由来及定义。
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..2 1.2行列式的性质。
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3 1。
3拉普拉斯定理及范德蒙德行列式的定义....。
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4 2、行列式的计算方法。
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.4 2。
1定义法。
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..4 2.2利用行列式的性质（化三角型）计算.。
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5 2.3拆行(列）法...。
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6 2。
4加边法（升阶法）。
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.6 2。
5范德蒙德行列式的应用。
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.7 3、n阶行列式的计算。
行列式的计算方法及应用
行列式的计算方法及应用行列式是线性代数中一个重要的概念，它是一个正方形矩阵的特殊的函数，用于描述线性方程组的解的唯一性、可解性以及一些几何性质。
本文将介绍行列式的计算方法及其应用。
一、行列式的计算方法1.二阶行列式的计算方法对于一个二阶的矩阵A=[[a,b],[c,d]]，其行列式的计算方法为：det(A) = ad - bc。
2.三阶行列式的计算方法对于一个三阶的矩阵A=[[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]]，其行列式的计算方法为：det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi。
3.一般的行列式计算方法对于一个n阶的矩阵A，其行列式的计算方法可以通过展开定理进行计算。
展开定理的思想是通过将行列式展开为更小规模的行列式的和来计算。
假设A为n阶矩阵，其元素为a[i][j]，行列式记为det(A)，则行列式的计算方法为：det(A) = a[1][1] * A[1][1] + (-1)^(1+2) * a[1][2] * A[1][2] + ... + (-1)^(1+n) * a[1][n] * A[1][n]其中，A[1][k]为将矩阵A的第1行和第k列删去后的(n-1)阶矩阵，det(A)为其中的行列式。
二、行列式的应用1.线性方程组的解的唯一性和可解性判断对于一个线性方程组Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b 为常数向量。
若A的行列式不为0，则方程组有唯一解；若A的行列式为0，则方程组可能有无穷多个解或无解。
2.矩阵的可逆性判断一个矩阵A为可逆矩阵的充分必要条件是其行列式不为0。
可逆矩阵在数值计算和理论推导中有着重要的应用，例如求解线性方程组的解、求逆矩阵以及解线性变换等。
3.几何性质的判断行列式可以用来判断空间中向量的线性相关性和共面性。
对于一个n 维空间中的n个向量，若这些向量的行列式为0，则说明这些向量线性相关，存在一些向量可以由其他向量线性表示；若行列式不为0，则说明这些向量线性无关，对应n维空间中的一个n维平行体。
行列式计算与应用
行列式的计算方法方法1 化三角形法化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。
这是计算行列式的基本方法重要方法之一。
因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。
原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。
但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。
因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。
例1：浙江大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第2小题（重庆大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第1小题）的解答中需要计算如下行列式的值：12312341345121221n n n n D n n n -=--[分析]显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。
注意到从第1列开始；每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第n-1列开始乘以－1加到第n 列，第n-2列乘以－1加到第n-1列，一直到第一列乘以－1加到第2列。
然后把第1行乘以－1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。
解：11(2,,)(2,,)1111111111121111100031111201111100010000001000020011(1)20002000011(1)()2i in n i n r r i n r r n n n D n n n n n n nn n n n n n nn nn n n nn n n n ===+--=-----++----+=⋅-----+=⋅⋅-()(1)(2)12(1)12(1)(1)12n n n n n n n -----⋅-+=⋅⋅-[问题推广]例1中，显然是1,2，…，n-1,n 这n 个数在循环，那么如果是a 0,a 1,…,a n-2,a n-1这n 个无规律的数在循环，行列式该怎么计算呢？把这种行列式称为“循环行列式”。
行列式的几种计算方法7篇
行列式的几种计算方法7篇第1篇示例：行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个方阵中的一个数值，可以帮助我们判断矩阵的性质，计算行列式的值是线性代数中的基础技能之一。
下面我们将介绍几种行列式的计算方法以及其应用。
一、直接展开法计算行列式最基本的方法就是直接展开法。
以3阶行列式为例，一个3阶方阵的行列式可以表示为：\[\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix}\]通过公式展开，可以得到：\[\begin{aligned}\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix} & = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh \\& = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)\end{aligned}\]这样就可以直接计算出行列式的值。
但是这种方法比较繁琐，不适用于高阶行列式的计算。
二、拉普拉斯展开法\[\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\end{vmatrix}\]以第一行为例，可以按照以下公式展开：\[ \text{det}(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + \cdots +a_{1n}C_{1n} \]C_{ij}表示元素a_{ij}的代数余子式，通过递归计算代数余子式，最终可以得到行列式的值。
行列式的计算方法及其应用
行列式的计算方法及其应用行列式是线性代数中一种非常重要的概念，出现在许多领域中，如数学、物理、工程等。
它是一个方阵中各个元素的代数和，具有非常重要的几何和代数特征，因此也是线性代数学习的基础之一。
一、行列式的定义设有n阶行列式，写成如下形式：$$\Delta_n = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\\vdots &\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &\cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$其中，$a_{ij}$代表矩阵中第i行第j列的元素。
行列式的定义是这样的：设$A$为$n$阶方阵，$a_{i,j}$是$A$的元素，那么行列式$\Delta(A)$定义为：$$\Delta(A) =\sum_{\sigma}{(-1)^\sigma\cdot{a_{1,{\sigma(1)}}}\cdot{a_{2,{\sigma(2)}}}\cdots{a_ {n,{\sigma(n)}}}}$$其中，$\sum_{\sigma}$代表对所有$n$个元素的所有排列求和，$\sigma$是一个排列，并且$\sigma(k)$表示k在$\sigma$中的位置。
二、行列式的计算方法计算行列式有三种方法：直接定义法、代数余子式法和高斯消元法。
直接定义法随着矩阵维度的增加，计算量呈指数级增长，因此较少使用。
代数余子式法和高斯消元法可以将计算行列式的时间复杂度降低到$O(n^3)$，被广泛应用于实际问题中。
1. 直接定义法直接定义法是按照定义计算行列式的方法。
行列式展开与应用例题和知识点总结
行列式展开与应用例题和知识点总结一、行列式的定义对于一个\（n\）阶方阵\（A ＝（a_{ij}）＼），其行列式\（｜A|＼）定义为：＼｜A| ＝＼sum_{＼sigma\in S_n}（－1)＾｛＼tau(＼sigma)｝a_{1\sigma(1)｝a_{2\sigma(2)｝＼cdots a_{n\sigma(n)｝＼其中\（S_n\）是\（n\）个元素的全排列集合，＼（＼tau(＼sigma)＼）是排列\（＼sigma\）的逆序数。
对于二阶行列式，有\（＼begin{vmatrix}a_{11} ＆ a_{12} ＼＼a_{21} ＆ a_{22}＼end{vmatrix} ＝ a_{11}a_{22} a_{12}a_{21}＼）对于三阶行列式，有\（＼begin{vmatrix}a_{11} ＆ a_{12} ＆ a_{13} ＼＼ a_{21} ＆ a_{22} ＆ a_{23} ＼＼ a_{31} ＆ a_{32} ＆ a_{33}＼end{vmatrix} ＝ a_{11}a_{22}a_{33} ＋ a_{12}a_{23}a_{31} ＋a_{13}a_{21}a_{32} a_{13}a_{22}a_{31} a_{12}a_{21}a_{33}a_{11}a_{23}a_{32}＼）二、行列式的性质1、行列式与它的转置行列式相等。
2、对换行列式的两行（列），行列式变号。
3、行列式中某行（列）的公因子可以提到行列式外面。
4、若行列式中有两行（列）元素成比例，则行列式为零。
5、若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，则行列式可以拆分成两个行列式之和。
6、把行列式的某行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变。
三、行列式的展开1、按行展开设\（A ＝（a_{ij}）＼）是\（n\）阶方阵，＼（A_{ij}＼）是\（a_{ij}＼）的代数余子式，则\（｜A| ＝ a_{i1}A_{i1} ＋ a_{i2}A_{i2} ＋＼cdots ＋ a_{in}A_{in}＼）（＼（i\）为任意行）2、按列展开类似地，＼（｜A| ＝ a_{1j}A_{1j} ＋ a_{2j}A_{2j} ＋＼cdots ＋a_{nj}A_{nj}＼）（＼（j\）为任意列）四、应用例题例 1：计算行列式\（＼begin{vmatrix}2 ＆－1 ＆ 3 ＼＼ 1 ＆ 2 ＆ 0＼＼ 4 ＆ 1 ＆ 5\end{vmatrix}＼）解：按照三阶行列式的展开公式计算：＼＼begin{align}＆＼begin{vmatrix}2 ＆－1 ＆ 3 ＼＼ 1 ＆ 2 ＆ 0 ＼＼ 4 ＆ 1 ＆5\end{vmatrix}＼＼＝＆2\times\begin{vmatrix}2 ＆ 0 ＼＼ 1 ＆ 5\end{vmatrix} （－1)＼times\begin{vmatrix}1 ＆ 0 ＼＼ 4 ＆ 5\end{vmatrix} ＋3\times\begin{vmatrix}1 ＆ 2 ＼＼ 4 ＆ 1\end{vmatrix}＼＼＝＆2\times(2\times5 0\times1) ＋ 1\times(1\times5 0\times4) ＋3\times(1\times1 2\times4)＼＼＝＆2\times10 ＋ 5 ＋ 3\times(－7)＼＼＝＆20 ＋ 5 21\＼＝＆4＼end{align}＼例 2：已知\（＼begin{vmatrix}1 ＆ 2 ＆ 3 ＼＼ 2 ＆ 3 ＆ x ＼＼ 3 ＆x ＆ 1\end{vmatrix} ＝ 0\），求\（x\）的值。
行列式四则运算
行列式四则运算行列式四则运算是指行列式之间的加法、减法、乘法和除法运算。
行列式是线性代数中的一个重要概念，用于描述线性方程组的性质和解的情况。
在实际应用中，行列式的四则运算常常用于求解方程组、计算矩阵的逆以及求解线性方程组的行列式条件等。
一、行列式的加法行列式的加法是指两个行列式相加的运算。
设A和B分别是两个n阶矩阵，记为|A|和|B|，则它们的和为|A+B|。
行列式的加法运算有以下性质：1. 加法满足交换律和结合律，即A+B=B+A和(A+B)+C=A+(B+C)。
2. 行列式的和的行列数等于原来行列数的阶数。
二、行列式的减法行列式的减法是指两个行列式相减的运算。
设A和B分别是两个n阶矩阵，记为|A|和|B|，则它们的差为|A-B|。
行列式的减法运算有以下性质：1. 减法不满足交换律，即A-B≠B-A。
2. 行列式的差的行列数等于原来行列数的阶数。
三、行列式的乘法行列式的乘法是指两个行列式相乘的运算。
设A和B分别是两个n阶矩阵，记为|A|和|B|，则它们的乘积为|AB|。
行列式的乘法运算有以下性质：1. 乘法满足结合律，即(A*B)*C=A*(B*C)。
2. 行列式的乘积的行列数等于原来行列数的阶数。
四、行列式的除法行列式的除法是指两个行列式相除的运算。
设A和B分别是两个n阶矩阵，记为|A|和|B|，则它们的商为|A/B|。
行列式的除法运算可以转化为乘法运算：|A/B| = |A|/|B|以上是行列式的四则运算的基本概念和性质。
行列式的四则运算在实际应用中有广泛的应用，如矩阵的逆的计算、线性方程组的求解、矩阵的正交性判断等。
行列式的四则运算可以通过行列式的定义和行列式的性质进行推导和计算，理解行列式的四则运算对于理解线性代数的基本概念和解决实际问题具有重要意义。
最后，需要注意的是，在实际计算行列式的四则运算时，可以使用行列式的定义直接计算，也可以利用行列式的性质和运算规则进行化简和简化，以提高计算的效率和准确性。
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行列式的计算及应用
毕晟 100220120 数字印刷一班
【摘要】通过了一年的线性代数学习，行列式是学习的重点，因而我对行列式的计算和应用进行总结性的说明，并借此对行列式进行复习。
【关键字】行列式
引言：行列式在本册书中极为重要，并且与其他的章节知识点比如矩阵求逆、向量组、方程等有紧密的联系,所以学好行列式是很重要的，通过这次论文，也可以对期末考试中的行列式问题进行必要的复习。
一． 行列式的计算
1. 定义法
根据定义公式解行列式。
例如：
二阶行列式中
2
521 = 85221-=⨯-⨯ 三阶行列式中
4
213212
51=215644158531132221221135421=---++=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯
2.化成三角形行列式法
例求D ＝3 1 1 1的值
1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 1 3
解D ＝3 1 1 1＝6 1 1 1
1 3 1 1 6 3 1 1
1 1 3 1 6 1 3 1
1 1 1 3 6 1 1 3
=1 1 1 1
1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 1 3
=1 1 1 1=48
0 2 0 0
0 0 2 0
0 0 0 2
3. 分解行列法
若行列式的某行（列）是两行（列）的和，则可将行列
式分解成两个行列式的和．
4.分离线性因子法
此法是把行列式看成含于其中的一个或一些字母的多项式，变换
它，若发现：它可被一些线性因子所整除，如果这些因子互素，它也可被 这些因子的积所整除，然后将行列式个别项与线性因子积的项比较，求 用这乘积除行列式的商，从而求得行列式的表达式。
5. 递推关系式法
此法是变换已知行列式，并按行或按列把它展开成较低阶的同类型 的行列式的表示式。
所得到的等式为递推关系式。
在递推关系是右端出 现几个低阶的行列式，然后就按行列式的一般形式计算几个低阶的行列 式。
更高阶的行列式逐次由递推关系式算出，在表达n 阶行列式的递推 关系中，把在递推关系式中的n-1 换n 所得到的关于n-1 阶行列式的表 达式代入；其次，把n-2 阶行列式的类似表达式代入，依此类推，直到所 求n 阶行列式的一般表达式为止，递推关系式法是所研究的方法中最常 用的方法，它适用与较复杂的行列式。
6.拆分法
可以将行列式化简后，拆分为余子式进行计算。
但计算量较大。
二． 行列式的应用
2.1 应用行列式解线性方程组（主要应用克莱姆法则，这里要注意应
用的条件）
2.2 雅可比行列式在隐函数组中的应用
2．3 非奇异矩阵的判别
2．4 计算矩阵的秩。
求行列式的值
下面就我们学过的2.1和2.4进行解释说明：
用行列式解方程分为线性齐次方程和线性非齐次方程
例如2.1： 5
26421
43321321321=++=++=++x x x x x x x x x
于是可以用行列式表示：
D=111642143 2156421411=D 1516221132=D 5
112421
433=D
所以 D D x 11= D D x 22= D
D x 33=
2.4 A=0
141114
21
我们将其化简为最简阶梯型的行列式如：0
002102
01
则 R （A ）=2
三． 总结
行列式在线性代数中很重要，而它的应用也很广泛，对此，我们深入学习，就可以开拓思维、拓宽视野。
参考文献
【1】同济版高等数学4
【2】韩宝燕行列式计算方法和应用。