经济增长理论一
经济增长理论
经济增长理论经济增长是一个国家或地区经济总量在一段时间内不断扩大的过程，也是国民经济持续稳定发展的关键。
经济增长理论旨在解释经济增长的原因、机制和影响因素，为经济政策制定者提供指导。
一、古典经济学理论古典经济学理论是经济增长理论的起源。
亚当·斯密（Adam Smith）提出了劳动分工和市场竞争的理论，认为自由市场经济下的私人利益追求可以促进经济增长。
大卫·李嘉图（David Ricardo）提出了比较优势理论，认为国际贸易可以促进经济增长。
这些理论为后来的经济学家提供了思路和基础。
二、新古典经济学理论新古典经济学理论在古典经济学的基础上进行了发展和完善。
新古典经济学主张以市场为中心，通过提高劳动生产力和技术进步来推动经济增长。
对于资源配置及其效率问题，新古典经济学提出了边际主义原则，即在有限的资源下，通过比较边际效益来决定资源配置，以实现最大化的经济增长。
三、凯恩斯主义经济学理论凯恩斯主义是20世纪30年代在大萧条时期兴起的一个经济学学派，由约翰·梅纳德·凯恩斯（John Maynard Keynes）主导。
凯恩斯主义认为，市场经济会出现失业和经济波动，应通过增加政府支出和调整货币政策来刺激需求，恢复经济增长。
凯恩斯主义经济学对国家干预经济的思想和政策提供了一种新的解决方案。
四、内生增长理论内生增长理论是20世纪80年代以来发展起来的一种新兴的经济增长理论。
该理论认为，经济增长是由产出和知识的内生增长驱动的。
技术进步、人力资本投资和创新是内生增长的重要动力，而非经济政策的外生干预。
内生增长理论的核心观点是要加强人力资本建设和创新能力，以促进经济增长。
五、新制度经济学理论新制度经济学理论强调制度对经济增长的影响。
制度包括法律、规则、组织和约束等。
新制度经济学认为，良好的制度安排可以促进资源有效配置和创新，从而推动经济增长。
该理论强调了政府在经济增长中的角色，提出了改善制度环境和加强市场监管的政策建议。
宏观经济学第八章_经济增长理论
Yt Yt 1 gt Yt 1
• 如果是人均水平的，也可以把Y折算成 当年的人均平均数。
6、经济增长的源泉
• 以柯布－道格拉斯（Cobb-Douglas）函数为例说明技术进步 与经济增长的关系。柯道函数描述了在规模收益不变的情况 下，技术、劳动和资本对于产出的贡献情况。 • Q=ALαKβ （A>0，0<α,β<1） • 对柯道函数两边取自然对数，得到： • lnQ = lnA +αlnL +βlnK • 全微分后 • dQ/Q = dA/A +αdL/L +βdK/K • 产出增长率 = 技术增长率 +α劳动供给的增长率 + β资 本供给的增长率 • 这里， α、 β分别是劳动和资本对于产出的弹性。
gA = g -αgN -βgK
4.经济增长理论研究的主要问题
• 1）存在性问题，即一个国家的经济是 否存在着一种长期增长的可能性？ • 2）稳定性问题，即一个国家的经济是 否存在着一种稳定增长的可能性？ • 3）恢复性问题，即一个国家的经济如 果偏离正常的增长轨道，怎样才能使其 恢复？
5、经济增长的衡量
• Yt表示 t 时期的总产量，Yt-1表示 (t-1) 时期的总产量。增长率为：
• 实际增长率gA = s/kA
• 如果实际增长率＝有保证的增长率，那么， 实际资本-产出比率 ＝企业家意愿资本-产出 比率 ，即： kA ＝kw
6.自然增长方程
• 考虑到就业问题，要实现劳动力的充分就业，国民收 入的增长率应该等于劳动力增长率。
gN= s/ kn = n
式中：gN为充分就业时的均衡收入增长率， n为人口增 长率，kn为充分就业时的资本－产出比。 经济含义：要实现充分就业，一个国家的经济增长率 必须等于该国人口增长率。 • 与人口增长率相同的均衡国民收入增长率叫做自然增 长率。
经济增长理论(一)
（ 二 ） 哈 罗 德 -多 马 模 型 的 基 本 公 式
一个经济社会的资本存量 K 和总产出 Y 之间存在一定的比例，即： K=V Y 从而 Y= V
其中,V 被称为资本-产出比。 定义经济的储蓄率为 s =I=S= sY= Y/V 则 G=Y/Y=s/V
（四） 均衡增长率、实际增长率与自然增长率
1. 均 衡 增 长 率 。 均 衡 增 长 率 (warranted rate of growth) ， 也 称 为 合 意 的 ( 满 意 的 、有 保 证 的 ) 增 长 率 ，是 指 保 证 总 需 求 与 总 供 给 相 等 的 增 长 率 。 其 公 式 为 Gw=s d /v r 。 其 中 ,Gw 表 示 均 衡 增 长 率 ； s d 表 示 意 愿 的 (desired) 储 蓄 率 ， 即 人 们 当 前 意 愿 储 蓄 的 金 额 占 其 收 入 的 比 例 ；v r 表 示 意 愿 的 资 本 - 产 量 比 率 ，即 理 性 的 企 业 家 认 为 理 想 的 资 本 产量率。 哈 罗 德 指 出 ， 假 设 sd 和 vr 既 定 ， 则 在 经 济 增 长 过 程 中 ， 要 实 现 每一年的总需求与总供给均相等或平衡的均衡增长， 必须有足够的有 效 需 求 ， 保 证 由 需 求 带 动 的 国 民 收 入 ( 产 量 ) 增 长 率 Gw 所 引 致 的 投 资 I(=Gw·v r ) 恰 好 能 够 完 全 吸 纳 既 定 的 储 蓄 。
f (k ) F (
K K ,1) ( ) k AL AL
思考：试证明 C-D 生产函数满足 3 个特性假设。
6
3．生产投入品的变动 假设时间 t 是连续的（非离散的） （1）劳动力的增长： L(t ) / L(t ) [dL(t ) / dt ] / L(t ) n （2）知识的增长： A(t ) / A(t ) [dA(t ) / dt ] / A(t ) g 其中 n 为人口增长率，g 为技术进步率，均为外生参数，表示不 变增长速度 思考：L，A 为何种形式的增长方式？（指数形式增长，证明） （3）资本的增长： K (t ) [dK (t ) / dt] sY (t ) K (t ) 其中 s 为储蓄率， 为资本折旧率，均为外生变量 （三）平衡增长路径 1．k 的动态学 （1）k(t)的动态方程 已知 k (t )
经济增长理论
2、经济增长的 基本特征
第一，按人口计算的产量的高增 第四，社会结构与意
长率。这一特征在经济增长过程 识形态的迅速改变。
中表现得非常明显，可以用统计
资料加以证明。
例如城市化以及教育
第二，生产率本身的增长也是迅 速的，这包括所有投入的生产要
与宗教的分离就是整 第五，经济增长在世界范围 内迅速扩大。发达国家凭借 个社会现代化的一个 其技术力量，尤其是运输和 组成部分，也是经济
第十六讲 经济增长理论
一、经济增长概述 二、经济增长的模型和理论 三、经济增长的前途 四、促进经济增长的政策
一、经济增长概述
经济增长： 一个国家、一个地区生产商品和劳务能力的增长
S.库兹涅茨定义： 一个国家的经济增长，可以定义为给居民提供种
类日益繁多的经济产品的能力长期上升，这种不 断增长的能力是建立在先进技术以及所需要的制 度和思想意识之相应的调整基础上的。
经济处于完全竞争条件下，劳动力和资本都按照 各自的边际生产力而分得相应的产量。
2、新古典增长理论
（1）模型的假设
社会储蓄函数S=sY ，s是储蓄率。 规模报酬不变。 劳动力按照一个不变的比率n增长。
资本存量
产出和收入
资本、产出和储蓄 之间的关系
资本增量
储蓄和投资
（2）人均生产函数曲线
不考虑技术进步：Y=F（N,K）
有保证增长率、实际增长率与经济周期 要实现稳定均衡增长，必须使G=Gw.一旦G偏离了 GW，在这以后的时期里，就将出现经济周期中所 表现出来的那种“累积性”的经济扩张或经济紧缩。
如果G＞GW
1、假定s=sd ∵G v = s
GW vr = sd ∴ G v = GW vr G>GW,则必然有v<vr ，这时，资本家就感到 资本短缺，从而进一步追加投资，而投资的增加， 通过乘数作用，使实际增长率更高，更加偏离有 保证增长率。资本短缺更为严重，从而形成累积 性的扩张。
第十一章 经济增长理论
例：肯德里克分析资料
美国1948年～1981年 的经济增长率是 其中 3.2％
y=f(k)
k
二、基本方程式
（一）前提：两部门经济均衡I=S
大写字母——总量；小写字母——均量
（二）过程
当资本存量为K时，假定折旧是资本存量K的一个固定比率δK（0＜δ ＜1），则资本存量的变化△K为：
△K＝Ｉ- δK
根据I=S= sY，上式可以写成
△K＝ sY –δK，两边同时除以劳动数量N,有：
经济发展的目标是稳态人均消费最大化。达到此 目标的条件是：稳态人均资本量固定在资本边际产 品等于人口增长率的水平。 （四）黄金规则引言 1、y是用来做什么的？ 2、积累和消费是此消彼长的关系。 3、过去，中国强调积累，导致消费不足。生产成为 “无本之木”。 4、但是，过度消费、奢侈型消费而忽视积累，同样 是一种病态。
辛集的污染
四、现代经济增长理论的发展 （一）20世纪40～50年代，建立模型 1、背景：各国经济高速增长。需探索经济长期稳定增长的途径 2、代表：哈罗得、多马、索洛、斯旺、卡尔多 （二）60年代，分析影响因素 1、背景：50年代以来，各国增长了，美国落后了 2、代表：丹尼森、库兹涅次 （三）70年代，研究经济增长极限 1、背景：环境污染问题日益突出，社会问题也开始出现 2、代表：麦多斯（毁灭论）、米香（代价论） （四）80年代，知识外溢长期增长模式 1、技术是经济增长模型的内生变量 2、代表：罗默 （五）90年代，新制度经济学 1、制度也是内生变量 2、代表：科斯、诺斯、斯蒂格勒
▪ 美国经济学家多玛：1946年，《计量经济学杂志》， “资本扩张、增长率和就业”；1947年，《美国经济 评论》，“扩张与就业” 。
▪ 二者具有异曲同工之妙。合称为哈罗德－多马模型。
经济增长理论
经济增长理论经济增长是一个国家或地区经济总体规模扩大的过程，通过提高生产力和资源利用效率，促进国内生产总值（GDP）的增加。
经济增长理论是解释经济增长产生原因以及推动经济增长的各种因素的理论体系。
一、经济增长的起因经济增长的起因可以从供给和需求两个方面进行解释。
在供给方面，经济增长源于技术进步和生产要素的积累。
技术进步可以提高生产效率，进而推动经济增长。
而生产要素的积累如资本和劳动力的增加，也可以促进生产规模的扩大，导致经济增长。
在需求方面，经济增长得益于消费需求和投资需求的增加。
消费需求的提升可以刺激企业扩大生产，从而推动经济增长。
而投资需求的增加可以增加资本积累，进而促进经济增长。
二、经济增长的影响因素1. 生产要素的积累：经济增长需要足够的资本和劳动力的积累。
资本积累可以通过投资扩大来实现，而劳动力的增加通常需要人口增长或者提高就业率。
这些生产要素的积累可以提高生产效率，促进经济增长。
2. 技术进步：技术进步是经济增长的重要因素之一。
技术的进步可以使得生产过程更加高效，提高生产率和产出水平。
通过技术进步，企业可以降低生产成本，提高产品质量，从而实现经济增长。
3. 制度环境：良好的制度环境对经济增长至关重要。
包括市场机制的有效运行、产权保护、法治环境等方面。
正当的制度环境可以激发市场活力，促进资源配置优化，推动经济增长。
4. 外部环境：外部环境包括国际贸易、国际投资和外汇等方面。
开放的贸易体制可以使得经济受益于全球市场，促进产业升级和技术迁移。
国际投资和外汇则可以为经济提供资金和技术支持，推动经济增长。
三、经济增长的模型1. 扩展性经济增长模型：这一模型将经济增长视为资本积累、技术进步和人口增长的函数。
该模型强调了生产要素的积累和技术进步对经济增长的重要性，认为经济增长是持续的过程，并且存在边际效应递减的特点。
2. 内生增长模型：内生增长模型强调了技术进步和创新对经济增长的驱动作用。
该模型认为技术进步可以通过增加投资和创新来实现，鼓励企业进行技术创新和研发，进而推动经济增长。
经济增长理论
熊彼特在1912年出版的《经济发展的理论》 中提出了“创新”理论。
凯恩斯在《通论》一书中认为，一般情况 下，资本主义经济活动所能达到的均衡总 是小于充分就业的均衡，因此经常出现失 业和经济危机。只要政府调节总需求，就 可以缓和经济危机并使整个经济活动达到 充分就业的均衡状态。
二、哈罗德—多马模型
（１）知识进步是累积性的过程，人力资本存 量是一个国家长期重视教育、发展教育和培养 人才的结果，技术水平的提高也是累积性的。 为此，一国的经济要得到快迅发展就必须重视 知识的积累和进步。 （２）加强对知识产权、专利的保护同样是经 济增长过程中急需解决的问题。知识的积累与 进步、科学技术的创新都需要有相应的激励机 制。
（4）心理预期理论：
用心理上的乐观预期与悲观预期相交替来 说明繁荣和萧条的交替。 经济循环周期取决于投资，而投资的大小 主要取决于业主对未来的预期，而预期是 一种心理现象，心理现象又具有不确定性。 因此，经济波动的最终原因取决于人们对 未来的预期。 当预期乐观时，增加投资，经济步入复苏、 繁荣；当预期悲观时，减少投资，经济则 陷入衰退与萧条。
第十章 经济增长理论
一、经济增长理论概述
二、哈罗德—多马模型
三、新古典增长模型
四、人力资本与经济增长 五、罗默新经济增长理论
六、经济周期理论概述
一、经济增长概述
(一)经济增长的含义
西蒙· 库兹涅茨(Simon Kuznets)：
一个国家的经济增长，可以定义为给居 民提供种类日益繁多的经济产品的能力 长期上升，这种不断增长的能力是建立 在先进技术以及所需要的制度和思想意 识之相应的调整的基础上的。 包含三层含义：
（2）消费不足论
该理论以西斯蒙弟、马尔萨斯和霍布森为代表
第十二章 经济增长理论(复旦大学,高鸿业等教材)
索洛模型的图形表达
y=f(k) y B E C D k0 k* k sf(k) G nk
纵轴表示人均产出，横轴表示人均资本，sf(k)表示人均储蓄曲 线，它表示与每一人均资本k相应的人均产出扣除人均消费后的人 均储蓄。设s和n为给定，可以找到一个k以保证sf(k)=nk。 在上图中，与E点对应的k*即是实现均衡增长所要求的人均资 本，也就是说，人均资本k*提供的人均储蓄Ek*恰好等于劳动力增长 n，按每人配备资本k*所需的资本nk*。
4、自然增长率： Gn=So/Vr
该等式为在劳动力按照固定不变的增长率增长的条件下的均衡 增长条件。 Gn称为自然增长率。 如果假定技术条件不变，Gn则即为劳动力增长率；如果假设劳 动力增长率为1%，技术进步导致生产率增长2%，则Gn=3%。Gn也 是一个国家能够实现的最大增长率。这是因为任一年度的最大国民 收入是充分就业时会有的国民收入，所以国民收入最大的增长率取 决于劳动力及其效率的增长率。除非就业不足的情况下，实际增长 率才可以暂时大于自然增长率以外； So被定义为实现Gn所需要的储蓄率； 这样，在引进自然增长率后，充分就业稳定状态均衡增长所需 的条件是：G=Gw=Gn。
在哈罗德模型中表现为通过乘数效应与加速数效应的相互作用， 出现生产、收入、消费与投资等累积性扩张的经济繁荣。
在索洛模型中，储蓄过多将导致利率降低，厂商采取更加资本 集约化的生产方法更为有利，也就是从原来每人配备3元资本的生产 方法改变为每人配备3.6元资本的生产方法，这样，到调整的过程趋 向于完成时，厂商的投资需求=给定的储蓄，5%=18%/3.6。
n=S/V
n=Gn，假定n=劳动力增长率(如果引进技术进步，并假定技术进 步纯粹提高劳动的效率，从而把n视为按劳动效率计的劳动力增长率， n和哈罗德的Gn完全一样)。S=储蓄率，V=K/Y； B、哈罗德模型与索洛模型的区别： 第一、哈罗德强调投资作为需求因素对经济增长的决定作用，正是 人们意愿的储蓄与厂商意愿进行的投资的不一致导致紧缩和扩张。 而索洛则沿袭古典理论，认为通过利率的变动有使储蓄与投资趋于 一致和充分就业的必然趋势； 第二、哈罗德假定K/Y固定不变，也就是假定生产技术固定不变，那 么索洛模型中则假定在n和s给定的条件下，通过K/L从而Y/L和K/Y的 调整变化，以保证宏观经济动态均衡n=S/V；
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CH 11 经济增长理论（一）一、哈罗德一多马模型（一）哈罗德-多马模型的基本假设条件① 假定储蓄S 与国民收入Y 呈一种简单的比例函数：S=sY ，这里s 为平均和边际储蓄倾向。
② 假定劳动力以不变的外生比率n 增长，且L L n ∙= ③ 假定没有技术进步，并对资本存量K 不进行折旧。
上述假定对哈罗德模式并不是必要，其目的仅仅是为了简单化。
④ 在哈罗德模式中，假定生产函数具有固定系数的性质，生产一单位的产出Y 需要劳动L 和资本K 惟一给定，即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=u L v K Y ,min（二）哈罗德-多马模型的基本公式一个经济社会的资本存量K 和总产出Y 之间存在一定的比例，即： K=V Y 从而 ∆Y= V ∆K 其中,V 被称为资本-产出比。
定义经济的储蓄率为s ∆K =I=S= sY= ∆Y/V 则G=∆Y/Y=s/V即为哈罗德-多马模型的基本公式。
它表明，当经济处于均衡时，国民收入增长率等于该社会的储蓄率除以资本产出比。
（三）哈罗德-多马模型的含义1.哈罗德—多马模型从凯恩斯的S=I这一公式出发，认为要使经济均衡增长，一个国家每一时刻的储蓄应当全部转化为投资。
2.由于储蓄比例和资本生产率共同决定经济增长率，因而即可以在资本生产率既定的条件下，用改变储蓄比例或投资比例的办法来改变经济增长率，也可以在储蓄比例不变的前提下，用改变资本生产率的办法来使经济增长率发生变动。
3.哈罗德—多马模型的经济增长模型认为，凯恩斯用短期分析法，从有效需求不足出发，只注意投资在增加总需求方面的作用，未注意到投资在总供给方面的作用。
由于投资能形成新的生产能力，所以投资具有两重性，一方面可以增加总需求，另一方面具有生产能力效应,可以增加总供给。
（四）均衡增长率、实际增长率与自然增长率1.均衡增长率。
均衡增长率(warranted rate of growth) ，也称为合意的(满意的、有保证的)增长率，是指保证总需求与总供给相等的增长率。
其公式为Gw=sd /vr。
其中,Gw表示均衡增长率；sd表示意愿的(desired)储蓄率，即人们当前意愿储蓄的金额占其收入的比例；vr表示意愿的资本-产量比率，即理性的企业家认为理想的资本-产量率。
哈罗德指出，假设sd 和vr既定，则在经济增长过程中，要实现每一年的总需求与总供给均相等或平衡的均衡增长，必须有足够的有效需求，保证由需求带动的国民收入(产量)增长率Gw所引致的投资I(=Gw·vr)恰好能够完全吸纳既定的储蓄。
2.均衡增长率、实际增长率与经济周期在实际生活中，由于储蓄不一定全部转化为投资，或总需求与总供给不一定相等，Gw与GA 也不可能完全一致。
如果GA＞Gw，则社会总需求超过扩大了的生产能力。
为了弥补生产能力的不足，下一年的投资必定超过储蓄，增加的投资通过乘数效应和加速效应的相互作用，对以后各年的收入、消费、投资变动产生连锁影响，即投资越来越大于储蓄，实际增长率与均衡增长率的差距必然越来越大，出现了生产、收入、消费与投资等累积性扩张的经济繁荣。
如果此时已达充分就业或某些关键性产品出现“瓶颈”，就会产生需求拉上的通货膨胀。
如果GA＜Gw，则社会总需求小于社会总供给，市场疲软产品滞销，厂商的生产能力闲置，开工不足；存货超过了正常周转必需的正常存货量。
于是厂商减少投资，通过乘数效应和加速效应的相互作用，对以后各年的收入、消费、投资变动产生连锁影响，即投资越来越小于储蓄，实际增长率与均衡增长率的差距必然越来越大，出现了生产、收入、消费与投资等累积性减缩的经济衰退和萧条。
因此，均衡增长途径被说成是“剃刀的锋口”，即均衡增长过程不易保持，只要实际增长率稍稍偏离了均衡增长率，两者的差距将越来越大，出现累积性经济增长或经济紧缩。
从政策意义上说，要维持长期的均衡增长，政府有必要采取适当的措施，使实际增长率与均衡增长率保持一致。
自然增长率是考虑到长期中人口增长和技术变化的因素(主要是人口变化)时的经济增长率，是指在人口(劳动力)按固定增长率增长（n）和技术水平变动条件下(a)社会可能实现的经济增长率。
用Gn代表自然增长率，则Gn=n+a。
如果s代表为实现Gn所需要的储蓄率，则：Gn＝s0/vr或s＝Gn·vr。
哈罗德认为，自然增长率与均衡增长率之间的关系会有三种情况：①Gw＞Gn，即sd ＞s，过度储蓄导致社会在长期内处于就业不足的经济长期停滞趋势或叫慢性经济萧条。
这就要求政府实施补偿性财政赤字政策，用政府赤字支出来弥补私人部门的投资不足。
②Gw＜Gn，即sd ＜s，表明私人部门意愿的储蓄不足以支持按自然增长率增长所需要的储蓄。
这就要求政府实施必要的财政盈余政策,以紧缩私人部门的有效需求，遏制经济过热，防止通货膨胀。
总之，①、②两种情况下都不能做到既没有通货膨胀又没有失业。
③只有Gw＝Gn这种情况，才是合乎理想的长期增长状态。
把均衡增长率、实际增长率、自然增长率三者结合起来考察，从长期看，充分就业稳定状态均衡增长的条件应当是：G A＝Gw＝Gn二、索洛和斯旺的经济增长模型（一）问题的提出1.什么因素决定了经济增长？生产函数的分解2.经济增长的一般趋势是什么？3.为什么国家或地区之间存在着收入差异？4.穷国能否赶上富国？ （二）生产函数1.投入与产出的函数形式))()(),(()(t L t A t K F t Y =其中，Y 为产量，K 为资本，L 为劳动力，A 为知识或劳动的有效性，t 表示时间注意：AL 为有效劳动，此种形式的技术进步为“劳动增进型”或“哈罗德中性”思考：如果知识进入的形式不是Y=F(K,AL)（哈罗德中性），而是Y=F(AK,L)（索洛中性）或Y=AF(K,L)（希克斯中性），结果会有何不同？ [只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在相一致]2.生产函数的特性假设 （1）规模报酬不变：F(cK,cAL)=cF(K,AL)，对于c ≥0含义：经济足够大，专业化收益被穷尽；其他投入品（如自然资源）相对不重要令c=1/AL,则),(1)1,(AL K F ALAL K F = 令有效劳动的人均资本k=K/AL ，有效劳动人均产量y=Y/AL ，则y=f(k),总产量Y=ALf(k)（2）边际产品递减：f(k)满足f(0)=0,f ’(k)>0,f ”(k)<0，f ’(k)是资本的边际产品 【证明】Y=ALf(k)两边分别对K 、L 求导数： 资本的边际产品为：)('1)('k f ALk ALf K Y ==∂∂ 有效劳动的边际产品为：)(')(])()[(')()(2k kf k f AL Kk ALf k f AL Y -=-+=∂∂ （3）稻田条件（Inada Conditions ）：∞=→)('lim k f o k ,0)('lim =∞→k f k一个满足上述条件假设的新古典生产函数图示f(k)k一个特殊的生产函数：C-D 生产函数)(),(1AL K AL K F αα-=，10<<αααk ALK AL K F k f ===)()1,()(思考：试证明C-D 生产函数满足3个特性假设。
3．生产投入品的变动假设时间t 是连续的（非离散的）（1）劳动力的增长：n t L dt t dL t L t L ==∙)(/]/)([)(/)( （2）知识的增长：g t A dt t dA t A t A ==∙)(/]/)([)(/)(其中n 为人口增长率，g 为技术进步率，均为外生参数，表示不变增长速度思考：L ，A 为何种形式的增长方式？（指数形式增长，证明） （3）资本的增长：)()(]/)([)(t K t sY dt t dK t K δ-==∙其中s 为储蓄率，δ为资本折旧率，均为外生变量 （三）平衡增长路径 1．k 的动态学 （1）k(t)的动态方程 已知 )()()()(t L t A t K t k =, 先做变换，两边取自然对数)(ln )(ln )(ln )(ln t L t A t K t k --= 对t 求导数，得：)()()()()()()()(t L t L t A t A t K t K t k t k ∙∙∙∙--= )()()()()()()()()()()()(t k t L t L t k t A t A t L t A t K t K t K t k ∙∙∙∙--=代入，有：g t k n t k t L t A t K t sY t k )()()()()()()(---=∙δ )()()()()()(t gk t nk t k t L t A t Y s---=δ)()()())((t gk t nk t k t k sf ---=δ )()())((t k g n t k sf δ++-=)()())(()(t k g n t k sf t k δ++-=∙是索洛模型的基本微分方程，它表明)(t k ∙是k 的方程。
含义说明：人均实际投资))((t k sf 用于两方面：一是“资本的深化”，即)(t k ∙，二是“资本的广化”（“持平投资”），即)()(t k g n δ++。
（2）稳态均衡定义“稳态”：一种其中各种数量都以不变速度增长的状况，即)(t k ∙=0。
当))((t k sf >)()(t k g n δ++时，)(t k ∙>0（储蓄大于投资） 当))((t k sf <)()(t k g n δ++时，)(t k ∙<0（储蓄小于投资） 当))((*t k sf =)()(*t k g n δ++时，)(t k ∙=0（储蓄等于投资），即实际投资与持平投资相等。
无论k 从何处开始，它都收敛于k*。
（3）图示： 稳态均衡图示1)()(t k g n δ++))((t k f))((t k sfk* k稳态均衡图示2)(δ++g nk k sf /)(k* k 证明：0')(')(]/)([]/)([22<-=--==k F sk k kf k f s dk k k f d s dk k k sf d AL稳态均衡图示3（k 的相图） 2.平衡增长路径当k=k*时，模型中的各个变量将如何变动？注意：区分各变量（X ）与时间（t ）之间的变化关系，即X(t)、lnX(t)、 [dX(t)/dt]/X(t)。
结论：在索洛模型中，无论从任何一点出发，经济向平衡增长路径收敛，在平衡增长路径上，每个变量的增长率都是常数，且是外生决定的。
特别是，在该路径上，人均产出的增长率仅取决于技术进步率。
（四）非均衡动态与收敛 考察两个非均衡问题：（1）当经济增长处在非稳态时（k ≠k*时）各变量如何向稳态调整？（如何收敛？）（2）向稳态调整有多快？（收敛的速度和时间？） 1．非均衡动态定义k 的增长率)(/)(/δγ++-==∙g n k k sf k k k ， 当))((t k sf >)()(t k g n δ++时，)(t k ∙>0； 当))((t k sf <)()(t k g n δ++时，)(t k ∙<0。