人教版2021中考数学总复习 专题17 几何的证明与计算(3)——圆
∴cos∠ADB=
解得BD=
∴DE=BD= ∵DB=DE,且∠BAD=90°. ∴AE=AB=BD·sin∠ADB= ∴BE=2AE= ∵在Rt△BCE中，sin∠EBC= ∴CE= ∴CD=CE-DE=
4. （2020·赤峰）如图ZT17-4，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的一 条弦，点P是⊙O上一点，且PA=PC，PD∥AC，与BA的延长线交于 点D． （1）求证：PD是⊙O的切线； （2）若tan∠PAC= AC=12， 求直径AB的长．
∵D是AC的中点， ∴AD=CD=2.
则cos ∠OAD=cos 30°=
∴OA=
∴阴影部分面积S=
3. 如图ZT17-3，⊙O是四边形ABCD的外接圆，且BD为⊙O的直径 ，延长BA,CD交于点E，BD=DE，过A作AF⊥CE于点F． （1）求证：AF是⊙O的切线； （2）若AD=5，sin∠ABC= 求CD的长．
专题训练
专题17 几何的证明与计算（3）——圆
1. 如图ZT17-1，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点， ∠BAC=∠DAC，过点C做直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接 BC． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若∠BAC=∠DAC=30°，BC=2，求BC的长．
（1）证明：如答图ZT17-1,连接OC. ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA. 又∵∠OAC=∠DAC, ∴∠DAC=∠OCA. ∴AD∥OC. ∴∠OCF=∠AEC=90°. ∴EF是⊙O的切线.
（2）解：∵DP∥AC， ∴∠AHO=∠DPO=90°. 又∵PA=PC，∴AH=HC=
AC=6.
∵tan∠PAC=
∴PH= AH=4.
在Rt△AHO中，AO2=AH2+OH2，
即AO2=62+（OA-4）2.
解得OA=
∴AB=2OA=13．
谢谢
（1）证明：如答图ZT17-3,连接OA. ∵BD=DE， ∴∠ABO=∠E. ∵OA=OB， ∴∠ABO=∠BAO. ∴∠BAO=∠E. ∴OA∥DE. 又∵AF⊥DE， ∴OA⊥AF. ∴AF是⊙O的切线.
（2）解：∵BD为⊙O的直径， ∴∠BCD=∠BAD=90°. ∴∠ADB+∠ABD=90°，∠ABC+∠E=90°. ∵DB=DE, ∴∠E=∠ABD. ∴∠ADB=∠ABC. 又∵AD=5,sin∠ABC=
（2）解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°. ∵∠BAC=30°，BC=2， ∴∠BOC=60°，AB=2BC=4. ∴OB= AB=2. ∴BC的长为
2.如图ZT17-2，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，DE⊥BC于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）当DE=1，∠C=30°时，求图中阴影部分的面积.
解：（1）如答图ZT17-2，连接OD. ∵AB是⊙O的直径，D是AC的中点， ∴OD是△ABC的中位线. ∴OD∥BC. 又∵DE⊥BC， ∴OD⊥DE. ∵点D在圆上， ∴DE为⊙O的切线.
（2）∵∠C=30°，DE=1，∠DEC=90°， ∴DC=2DE=2.
∵OD∥BC， ∴∠ODA=∠C=30°. ∵OD=OA， ∴∠OAD=∠ODA=30°. ∴∠AOD=120°.
（1）证明：如答图ZT17-4,连接PO，交AC于点H.
∵PA=PC，∴∠PAC=∠PCA. ∵∠PCA=∠PBA， ∴∠PAC=∠PCA=∠PBA.
∵DP∥AC， ∴∠DPA=∠PAC=∠PBA. ∵OA=OP，∴∠PAO=∠OPA. ∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=90°. ∴∠PAB+∠ABP=90°. ∴∠OPA+∠DPA=90°. ∴∠DPO=90°. 又∵OP是半径，∴PD是⊙O的切线.
圆的相关证明与计算(复习讲义)(原卷版)-中考数学重难点题型专题汇总
题型五--圆的相关证明与计算（复习讲义）【考点总结|典例分析】考点01圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．（6）弦心距：圆心到弦的距离．考点02垂径定理及其推论1．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．考点03圆心角、弧、弦的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．考点04圆周角定理及其推论1．定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．（2）直径所对的圆周角是直角．考点05与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r ⇔点在⊙O 外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系d>r d=r d<r考点06切线的性质与判定1．切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点．（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．（3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．考点07三角形与圆1.三角形外接圆外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．1.如图，点,,,,A B C D E 在O 上，,42AB CD AOB =∠=︒，则CED ∠=（）A．48︒B．24︒C．22︒D．21︒2.如图，A，B，C 是半径为1的⊙O 上的三个点，若，∠CAB＝30°，则∠ABC 的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°3.如图，AB 是⊙O 的直径，AC，BC 是⊙O 的弦，若20A ∠=︒，则B Ð的度数为（）A．70°B．90°C．40°D．60°4.如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC =3BC =．点P 为ABC ∆内一点，且满足22PA PC +2AC =．当PB 的长度最小时，ACP ∆的面积是（）A．3B．C．4D．25.如图，已知在⊙O 中， AB BCCD ＝＝，OC 与AD 相交于点E．求证：（1）AD∥BC（2）四边形BCDE 为菱形．6.如图，A，B 是O 上两点，且AB OA =，连接OB 并延长到点C，使BC OB =，连接AC．（1）求证：AC 是O 的切线．（2）点D，E 分别是AC，OA 的中点，DE 所在直线交O 于点F，G，4OA =，求GF 的长．7.如图，Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，以点C 为圆心，CB 为半径作C ，D 为C 上一点，连接AD 、CD ，AB AD =，AC 平分BAD ∠．（1）求证：AD 是C 的切线；（2）延长AD 、BC 相交于点E，若2EDC ABC S S = ，求tan BAC ∠的值．8.如图，在O 中，AB 是直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ，E 为 BC上一点，F 为弦DC 延长线上一点，连接FE 并延长交直径AB 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点P ，若FE FP =．（1）求证：FE 是O 的切线；（2）若O 的半径为8，3sin 5F =，求BG 的长．9.如图，ABC 是O 的内接三角形，AC 是O 的直径，点D 是 BC的中点，//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：直线DE 与O 相切；（2）若O 的直径是10，45A ∠=︒，求CE 的长．10.如图，已知点C 是以AB 为直径的圆上一点，D 是AB 延长线上一点，过点D 作BD 的垂线交AC 的延长线于点E ，连结CD ，且CD ED =．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若tan 2DCE ∠=，1BD =，求O 的半径．11.如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，连接AC，CE⊥AB 于点E，D 是直径AB 延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD＝8，BE CE=12，求CD的长．12.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．13.如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O 交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．（1）求证：DC∥AP；（2）求AC的长．=CD =DB ，连接AD，过点D作14.如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，ACDE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若直径AB＝6，求AD的长．15.如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（1）求证：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．16.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC 平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线．（2）若AD＝3，DC=3，求⊙O的半径．17.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．。
2021年数学人教版九年级中考复习专题之圆：考察证明、长度与面积、动点问题等(二)
2021年数学人教版九年级中考复习专题之圆：考察证明、长度与面积、动点问题等（二）1．如图，四边形ABCD是矩形，连接AC，E是AC上一点，⊙O经过点C、D、E，分别与AD、BC相交于点F、G，连接ED、EF、EG，延长GE交AD于点H．（1）求证△HEF∽△DEC；（2）若AB＝6，BC＝9，①当△HEF是等腰三角形时，求CE的长；②当⊙O与AB相切时，则CE的长为．2．如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AB＝10，tan B＝，求⊙O的半径；（3）若F是AB的中点，试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上一点，连接AB，过点A作AC⊥AB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连接BD，以AD 为直径作⊙Q交BD于点E，连接并延长AE交x轴于点F，连接DF．（1）求线段AE的长；（2）若AB﹣BO＝2，求tan∠AFC的值；（3）若△DEF与△AEB相似，求EF的值．4．如图，在△ACE中，以AC为直径的⊙O交CE于点D，连接AD，且∠DAE＝∠ACE，连接OD并延长交AE的延长线于点P，PB与⊙O相切于点B．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）连接AB交OP于点F，求证：△FAD∽△DAE；（3）若tan∠OAF＝，求的值．5．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 为直径，AC 和BD 交于点E ，AB ＝BC ．（1）求∠ADB 的度数；（2）过B 作AD 的平行线，交AC 于F ，试判断线段EA ，CF ，EF 之间满足的等量关系，并说明理由；（3）在（2）条件下过E ，F 分别作AB ，BC 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接GH ，交BO 于M ，若AG ＝3，S 四边形AGMO ：S 四边形CHMO ＝8：9，求⊙O 的半径．6．如图，在Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，以AB 为直径的圆交AC 于点D ，E 是BC 的中点，连接DE ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）设⊙O 的半径为r ，证明r 2＝AD •OE ； （3）若DE ＝4，sin C ＝，求AD 之长．7．如图，在∠DAM 内部做Rt △ABC ，AB 平分∠DAM ，∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，点N 为BC 的中点，动点E 由A 点出发，沿AB 运动，速度为每秒5个单位，动点F 由A 点出发，沿AM运动，速度为每秒8个单位，当点E到达点B时，两点同时停止运动，过A、E、F 作⊙O．（1）判断△AEF的形状为，并判断AD与⊙O的位置关系为；（2）求t为何值时，EN与⊙O相切？求出此时⊙O的半径，并比较半径与劣弧长度的大小；（3）直接写出△AEF的内心运动的路径长为；（注：当A、E、F重合时，内心就是A点）（4）直接写出线段EN与⊙O有两个公共点时，t的取值范围为．（参考数据：sin37°＝，tan37°＝，tan74°≈，sin74°≈，cos74°≈）8．如图，在△ABC中，∠B＝60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于点M，CM交⊙O于点D．（1）求证：AM＝AC；（2）填空：①若AC＝3，MC＝；②连接BM，当∠AMB的度数为时，四边形AMBC是菱形．9．如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直线为x轴、y 轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）．若⊙P过A、B、E三点（圆心在x轴上），抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：ME是⊙P的切线；（3）设N（x，y）是抛物线上的一个动点（不与C、G重合）．当∠CNG≤30°时，请求出点N的横坐标的取值范围．10．问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+ BP的最小值（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将BP转化为某一条线段长，具体方法如下：（请把下面的过程填写完整）如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有又∵∠PCD＝∠△∽△∴∴PD＝BP∴AP+BP＝AP+PD∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为．（2）自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则AP+PC的最小值为．（请在图3中添加相应的辅助线）（3）拓展延伸：如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．参考答案1．（1）证明：如图1，∵四边形CDFE是⊙O的内接四边形，∴∠DFE+∠DCE＝180°，∵∠DFE+∠EFH＝180°，∴∠EFH＝∠DCE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DHE＝∠BGE，∵四边形DEGC是⊙O的内接四边形，∴∠BGE＝∠CDE，∴∠CDE＝∠DHE，∴△HEF∽△DEC；（2）解：①由（1）知：△HEF∽△DEC，∴，i）当HF＝EF时，∵，∴EC＝DC，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，∴CE＝DC＝6；ii）当HE＝EF时，∵，∴DE＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴∠ADE+∠CDE＝∠ECD+∠CAD＝90°，∴∠ADE＝∠EAD，∴AE＝ED＝EC，Rt△ADC中，AD＝BC＝9，DC＝6，∴AC＝＝3，∴CE＝AC＝；iii）当HE＝HF时，∵，∴DE＝DC＝6，如图2，连接DG，交AC于M，∵∠DCG＝90°，∴DG是⊙O的直径，∵DE＝DC，∴DG是EC的垂直平分线，即EC⊥DM，EC＝2CM，cos∠DCM＝，即，∴CM＝，∴CE＝2CM＝，综上，CE的长为6或或；②如图3，设AB与⊙O相切的切点为N，连接NO并延长交CD于P，连接OC，过O作OK ⊥AC于K，。
最新2021年数学人教版九年级中考复习专题之圆：考察证明、长度与面积、动点问题等(一)
2021年数学人教版九年级中考复习专题之圆：考察证明、长度与面积、动点问题等（一）1．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC 的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是线段BC上一点，以O为圆心，OC为半径作⊙O，AB与⊙O相切于点F，直线AO交⊙O于点E，D．（1）求证：AO是△CAB的角平分线；（2）若tan∠D＝，求的值；（3）如图2，在（2）条件下，连接CF交AD于点G，⊙O的半径为3，求CF的长．3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：△PBD∽△DCA；（3）当AB＝2，AC＝4时，直接写出线段PB的长．4．如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D 是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且AD•AO＝AM•AP．（1）连接OP，证明：△ADM∽△APO；（2）证明：PD是⊙O的切线；（3）若AD＝12，AM＝MC，求PB和DM的值．5．如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，交y轴于点A，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，连接BD分别交y轴和AC于E、F两点，连接AB．（1）求证：AB＝AD；（2）若BF＝4，DF＝6，求线段CD的长；（3）当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．6．如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF．（1）设⊙O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长．（2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P，①求证：PE＝PF．②若DF＝EF，求∠BAC的度数．7．如图，AB是半圆O的直径，AC是半圆内一条弦，点D是的中点，DB交AC于点G，过点A作半圆的切线与BD的延长线交于点M，连接AD．点E是AB上的一动点，DE与AC相交于点F．（1）求证：MD＝GD；（2）填空：①当∠DEA＝时，AF＝FG；②若∠ABD＝30°，当∠DEA＝时，四边形DEBC是菱形．8．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；（2）求证：AB•AC＝2R•h；（3）设∠BAC＝2α，求的值（用含α的代数式表示）．9．如图示，AB是⊙O的直径，点F是半圆上的一动点（F不与A，B重合），弦AD平分∠BAF，过点D作DE⊥AF交射线AF于点AF．（1）求证：DE与⊙O相切：（2）若AE＝8，AB＝10，求DE长；（3）若AB＝10，AF长记为x，EF长记为y，求y与x之间的函数关系式，并求出AF •EF的最大值．10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD相交于点F，AC是⊙O的直径，延长CB到点E，连接AE，∠BAE＝∠ADB，AN⊥BD，CM⊥BD，垂足分别为点N、M．（1）证明：AE是⊙O的切线；（2）试探究DM与BN的数量关系并证明；（3）若BD＝BC，MN＝2DM，当AE＝时，求OF的长．参考答案1．解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝α，（2）如图1，延长BC到点T，∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC＝180°，又∵∠FDE+∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，∵＝，∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）①如图2，连接CF，∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，∴∠BAC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BAC，∴∠BFC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，∴∠BEC＝∠FCE，∵∠FCE＝∠FAD，∴∠BEC＝∠FAD，又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，∴△FDE≌△FDA（AAS），∴DE＝DA，∴∠AED＝∠DAE，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠AED+∠DAE＝90°，∴∠AED＝∠DAE＝45°，②如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠FAC＝∠EBC＝∠ABC＝45°，∵∠AED＝45°，∴∠AED＝∠FAC，∵∠FED＝∠FAD，∴∠AED﹣∠FED＝∠FAC﹣∠FAD，∴∠AEG＝∠CAD，∵∠EGA＝∠ADC＝90°，∴△EGA∽△ADC，∴，∵在Rt△ABG中，AB＝8，∠ABG＝45°，∴AG＝，在Rt△ADE中，AE＝AD，∴，∴，在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，∴设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）2+52＝（5x）2，∴x＝，∴ED＝AD＝，∴CE＝CD+DE＝，∵∠BEC＝∠FCE，∴FC＝FE，∵FM⊥CE，∴EM＝CE＝，∴DM＝DE﹣EM＝，∵∠FDM＝45°，∴FM＝DM＝，∴S△DEF＝DE•FM＝．2．（1）证明：连接OF，∵AB与⊙O相切于点F，∴OF⊥AB，∵∠ACB＝90°，OC＝OF，∴∠OAF＝∠OAC，即AO是△ABC的角平分线；（2）如图2，连接CE，∵ED是⊙O的直径，∴∠ECD＝90°，∴∠ECO+∠OCD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠ECO＝90°，∴∠ACE＝∠OCD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠ACE＝∠ODC，∵∠CAE＝∠CAE，∴△ACE∽△ADC，∴，∵tan∠D＝，∴，∴；（3）由（2）可知：＝，∴设AE＝x，AC＝2x，∵△ACE∽△ADC，∴，∴AC2＝AE•AD，∴（2x）2＝x（x+6），解得：x＝2或x＝0（不合题意，舍去），∴AE＝2，AC＝4，∴AO＝AE+OE＝2+3＝5，如图3，连接CF交AD于点G，∵AC，AF是⊙O的切线，∴AC＝AF，∠CAO＝∠OAF，∴CF⊥AO，∴∠ACO＝∠CGO＝90°，∵∠COG＝∠AOC，∴△CGO∽△ACO，∴，∴OC2＝OG•OA，∴OG＝，∴CG＝＝＝，∴CF＝2CG＝．3．解：（1）连接OD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠BAC＝45°∵∠DOC＝2∠DAC，∴∠DOC＝2×45°＝90°，∵PD∥BC，∴∠DOC＝∠PDO＝90°∴OD⊥PD，∵OD为⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线；（2）∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠P＝∠ADC，∵∠PBD+∠ABD＝180°，∠ACD+∠ABD＝180°，∴∠PBD＝∠ACD，∴△PBD∽△DCA；（3）∵△ABC为直角三角形，∴BC2＝AB2+AC2＝22+42＝20，∵OD垂直平分BC，∴DB＝DC，∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，在Rt△DBC中，DB2+DC2＝BC2，即2DC2＝BC2＝20，∴DC＝DB＝，∵△PBD∽△DCA，∴，则PB＝＝＝．4．（1）证明：连接OD、OP、CD．∵AD•AO＝AM•AP，∴，∠A＝∠A，∴△ADM∽△APO．（2）证明：∵△ADM∽△APO，∴∠ADM＝∠APO，∴MD∥PO，∴∠DOP＝∠MDO，∠POC＝∠DMO，∵OD＝OM，∴∠DMO＝∠MDO，∴∠DOP＝∠POC，∵OP＝OP，OD＝OC，∴△ODP≌△OCP（SAS），∴∠ODP＝∠OCP，∵BC⊥AC，∴∠OCP＝90°，∴OD⊥AP，∴PD是⊙O的切线．（3）解：连接CD．由（1）可知：PC＝PD，∵AM＝MC，∴AM＝2MO＝2R，在Rt△AOD中，OD2+AD2＝OA2，∴R2+122＝9R2，∴R＝3，∴OD＝3，MC＝6，∵，∴，∴AP＝18，∴DP＝AP﹣AD＝18﹣12＝6，∵O是MC的中点，∴，∴点P是BC的中点，∴PB＝CP＝DP＝6，∵MC是⊙O的直径，∴∠BDC＝∠CDM＝90°，在Rt△BCM中，∵BC＝2DP＝12，MC＝6，∴BM＝＝＝6，∵△BCM∽△CDM，∴，即，∴DM＝2．5．（1）证明：∵OA⊥BC，且OA过圆心点P，∴OB＝OC，在△AOB和△AOC中，，∴△AOB≌△AOC（SAS），∴AB＝AC，∵以AC为直角边作等腰Rt△ACD，∴AD＝AC，∴AB＝AD；（2）如图1，过点A作AM⊥BD于M，由（1）知，AB＝AD，∴DM＝BD，∵BF＝4，DF＝6，∴BD＝10，∴DM＝5，∵∠AMD＝90°＝∠DAF，∠ADM＝∠FDA，∴△ADM∽△FDA，∴，∴，∴AD＝，在等腰直角三角形ADC中，CD＝AD＝2；（3）的值是不发生变化，理由：如图2，过点D作DH⊥y轴于H，作DQ⊥x轴于Q，∴∠AHD＝90°＝∠COA，∴∠ADH+∠DAH＝90°，∵∠CAD＝90°，∴∠CAO+∠DAH＝90°，∴∠ADH＝∠CAO，∵AD＝AC，∴△ADH≌△ACO（AAS），∴DH＝AO，AH＝OC，∵∠OHD＝∠QOH＝∠OQD＝90°，∴四边形OQDH是矩形，DH＝OQ，DQ＝OH，又∵HO＝AH+AO＝OC+DH＝OB+DH＝OB+OQ＝BQ，∴DQ＝BQ，∴△DBQ为等腰直角三角形，∴∠DEH＝∠BEO＝45°，∴sin∠DEH＝，∴＝，∴，∴．6．（1）解：∵OE⊥AB，∠BAC＝30°，OA＝1，∴∠AOE＝60°，OE＝OA＝，AE＝EB＝OE＝，∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴∠C＝60°，∵OC＝OB，∴△OCB是等边三角形，∵OF＝FC，∴BF⊥AC，∵AE＝EB，∴EF＝AB＝．（2）①证明：过点F作FG⊥AB于G，交OB于H，连接EH．∵∠FGA＝∠ABC＝90°，∴FG∥BC，∴△OFH∽△OCB，∴＝＝，同理＝，∴FH＝OE，∵OE⊥AB．FH⊥AB，∴OE∥FH，∴四边形OEHF是平行四边形，∴PE＝PF．②∵OE∥FG∥BC，∴＝＝1，∴EG＝GB，∴EF＝FB，∵DF＝EF，∴DF＝BF，∵DO＝OB，∴FO⊥BD，∴∠AOB＝90°，∵OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°．7．证明：（1）如图，连接BC．∵D是的中点，∴∠DAC＝∠ABD，∵MA是半圆O的切线，∴MA⊥AB，∵AB是半圆O的直径，∴AD⊥DB，∴∠ADM＝90°，∴∠M+∠MAD＝∠MAD+∠BAD＝90°，∴∠M＝∠BAD＝∠DAC+∠BAG＝∠ABD+∠BAG＝∠AGD，∴AG＝AM，∵AD⊥MG，∴MD＝GD；（2）①若AF＝FG，∵∠ADG＝90°，∴AF＝FG＝DF，∴∠DAF＝∠ADF，∴∠ADF＝∠ABD，∵∠ADF+∠EDB＝90°，∴∠ABD+∠EDB＝90°，∴∠DEA＝90°，故答案为：90°；②若四边形DEBC是菱形，∴∠DBA＝∠DBC＝30°，DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC＝30°+30°＝60°，故答案为：60°．8．解：（1）如图1，连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，又∵OD是半径，∴OD⊥BC，∵MN∥BC，∴OD⊥MN，∴MN是⊙O的切线；（2）如图2，连接AO并延长交⊙O于H，连接BH，∵AH是直径，∴∠ABH＝90°＝∠AFC，又∵∠AHB＝∠ACF，∴△ACF∽△AHB，∴，∴AB•AC＝AF•AH＝2R•h；（3）如图3，过点D作DQ⊥AB于Q，DP⊥AC，交AC延长线于P，连接CD，∵∠BAC＝2α，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝α，∴＝，∴BD＝CD，∵∠BAD＝∠CAD，DQ⊥AB，DP⊥AC，∴DQ＝DP，∴Rt△DQB≌Rt△DPC（HL），∴BQ＝CP，∵DQ＝DP，AD＝AD，∴Rt△DQA≌Rt△DPA（HL），∴AQ＝AP，∴AB+AC＝AQ+BQ+AC＝2AQ，∵cos∠BAD＝，∴AD＝，∴＝＝2cosα．9．（1）证明：连接OD，如图1所示：∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAF，∴∠OAD＝∠FAD，∴∠ODA＝∠FAD，∴OD∥AF，∵DE⊥AF，∴DE⊥OD，又∵OD是⊙O的半径，∴DE与⊙O相切：（2）解：连接BD，如图2所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵DE⊥AF，∴∠AED＝90°＝∠ADB，又∵∠EAD＝∠DAB，∴△AED∽△ADB，∴AD：AB＝AE：AD，∴AD2＝AB×AE＝10×8＝80，在Rt△AED中，由勾股定理得：DE＝＝＝4；（3）连接DF，过点D作DG⊥AB于G，如图3所示：在△AED和△AGD中，，∴△AED≌△AGD（AAS），∴AE＝AG，DE＝DG，∵∠FAD＝∠DAB，∴＝，∴DF＝DB，在Rt△DEF和Rt△DGB中，，∴Rt△DEF≌Rt△DGB（HL），∴EF＝BG，∴AB＝AG+BG＝AF+EF＝AF+EF+EF＝AF+2EF，即：x+2y＝10，∴y＝﹣x+5，∴AF•EF＝﹣x2+5x＝﹣（x﹣5）2+，∴AF•EF有最大值，当x＝5时，AF•EF的最大值为．10．（1）证明：∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠ADB+∠BDC＝90°，∵∠BAC＝∠BDC，∠BAE＝∠ADB，∴∠BAE+∠BAC＝90°，即∠CAE＝90°，∴AE⊥AC，AE是⊙O的切线；（2）解：DM＝BN，理由如下：∵AN⊥BD，CM⊥BD，∠ADC＝90°，∴∠AND＝∠ANB＝∠DMC＝∠ADC＝90°，∴∠ADN+∠MDC＝∠MCD+∠MDC＝90°，∴∠ADN＝∠MCD，∴△DMC∽△AND，∴＝，∵∠ABN＝∠ACD，∠ANB＝∠ADC＝90°，∴△ADC∽△ANB，∴＝，即＝，∴＝，∴DM＝BN；（3）解：由（2）知DM＝BN，则BM＝DN，设DM＝BN＝a，∵MN＝2DM，BD＝BC，∴MN＝2a，BM＝DN＝3a，BD＝BC＝4a，∵∠BMC＝90°，∴CM＝＝＝a，∵AC是⊙O的直径，AN⊥BD，∴∠ABC＝∠AND＝90°，∵∠ADB＝∠ACB，∴△ADN∽△ACB，∴＝＝＝，设AN＝3b，AB＝4b（b＞0），∵∠ANB＝∠ABC＝90°，BN＝a，∴AN 2+BN 2＝AB 2，即（3b ）2+a 2＝（4b ）2，解得：b ＝a ， ∴AN ＝a ，AB ＝a ， ∵BC ＝4a ，∴AC ＝＝＝a ， ∴cos ∠ACB ＝cos ∠ADB ＝cos ∠EAB ＝＝＝， ∵AE ＝，∴AB ＝AE ×cos ∠EAB ＝×＝＝a ， ∴a ＝， ∴AC ＝， ∴OC ＝AC ＝，∵∠ANF ＝∠CMF ＝90°，∠AFM ＝∠MFC ，∴△ANF ∽△CMF ，∴＝＝＝， ∴CF ＝AC ＝，∴OF ＝CF ﹣OC ＝﹣＝．1、最困难的事就是认识自己。
2021年数学人教版九年级中考复习专题之圆：考察证明、长度与面积、动点问题等【含答案】
2021年数学人教版九年级中考复习专题之圆：考察证明、长度与面积、动点问题等1．如图，四边形ABCD是矩形，连接AC，E是AC上一点，⊙O经过点C、D、E，分别与AD、BC相交于点F、G，连接ED、EF、EG，延长GE交AD于点H．（1）求证△HEF∽△DEC；（2）若AB＝6，BC＝9，①当△HEF是等腰三角形时，求CE的长；②当⊙O与AB相切时，则CE的长为 ．2．如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB 相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AB＝10，tan B＝，求⊙O的半径；（3）若F是AB的中点，试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上一点，连接AB，过点A作AC⊥AB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连接BD，以AD为直径作⊙Q交BD于点E，连接并延长AE交x轴于点F，连接DF．（1）求线段AE的长；（2）若AB﹣BO＝2，求tan∠AFC的值；（3）若△DEF与△AEB相似，求EF的值．4．如图，在△ACE中，以AC为直径的⊙O交CE于点D，连接AD，且∠DAE＝∠ACE，连接OD并延长交AE的延长线于点P，PB与⊙O相切于点B．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）连接AB交OP于点F，求证：△FAD∽△DAE；（3）若tan∠OAF＝，求的值．5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．（1）求∠ADB的度数；（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由；（3）在（2）条件下过E，F分别作AB，BC的垂线，垂足分别为G，H，连接GH，交BO于M，若AG＝3，S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，求⊙O的半径．6．如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，以AB为直径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，证明r2＝AD•OE；（3）若DE＝4，sin C＝，求AD之长．7．如图，在∠DAM内部做Rt△ABC，AB平分∠DAM，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点N为BC的中点，动点E由A点出发，沿AB运动，速度为每秒5个单位，动点F 由A点出发，沿AM运动，速度为每秒8个单位，当点E到达点B时，两点同时停止运动，过A、E、F作⊙O．（1）判断△AEF的形状为 ，并判断AD与⊙O的位置关系为 ；（2）求t为何值时，EN与⊙O相切？求出此时⊙O的半径，并比较半径与劣弧长度的大小；（3）直接写出△AEF的内心运动的路径长为 ；（注：当A、E、F重合时，内心就是A点）（4）直接写出线段EN与⊙O有两个公共点时，t的取值范围为 ．（参考数据：sin37°＝，tan37°＝，tan74°≈，sin74°≈，cos74°≈）8．如图，在△ABC中，∠B＝60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO 的延长线于点M，CM交⊙O于点D．（1）求证：AM＝AC；（2）填空：①若AC＝3，MC＝ ；②连接BM，当∠AMB的度数为 时，四边形AMBC是菱形．9．如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA 所在直线为x 轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）．若⊙P过A、B、E三点（圆心在x轴上），抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：ME是⊙P的切线；（3）设N（x，y）是抛物线上的一个动点（不与C、G重合）．当∠CNG≤30°时，请求出点N的横坐标的取值范围．10．问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将BP转化为某一条线段长，具体方法如下：（请把下面的过程填写完整）如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有又∵∠PCD＝∠ △ ∽△ ∴∴PD＝BP∴AP+BP＝AP+PD∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为 ．（2）自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则AP+PC的最小值为 ．（请在图3中添加相应的辅助线）（3）拓展延伸：如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P 是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．答案1．（1）证明：如图1，∵四边形CDFE是⊙O的内接四边形，∴∠DFE+∠DCE＝180°，∵∠DFE+∠EFH＝180°，∴∠EFH＝∠DCE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DHE＝∠BGE，∵四边形DEGC是⊙O的内接四边形，∴∠BGE＝∠CDE，∴∠CDE＝∠DHE，∴△HEF∽△DEC；（2）解：①由（1）知：△HEF∽△DEC，∴，i）当HF＝EF时，∵，∴EC＝DC，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，∴CE＝DC＝6；ii）当HE＝EF时，∵，∴DE＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴∠ADE+∠CDE＝∠ECD+∠CAD＝90°，∴∠ADE＝∠EAD，∴AE＝ED＝EC，Rt△ADC中，AD＝BC＝9，DC＝6，∴AC＝＝3，∴CE＝AC＝；iii）当HE＝HF时，∵，∴DE＝DC＝6，如图2，连接DG，交AC于M，∵∠DCG＝90°，∴DG是⊙O的直径，∵DE＝DC，∴DG是EC的垂直平分线，即EC⊥DM，EC＝2CM，cos∠DCM＝，即，∴CM＝，∴CE＝2CM＝，综上，CE的长为6或或；②如图3，设AB与⊙O相切的切点为N，连接NO并延长交CD于P，连接OC，过O作OK⊥AC于K，∴PN⊥AB，∴PN⊥CD，∴PD＝CP＝CD＝3，设⊙O的半径为r，则OC＝ON＝r，OP＝9﹣r，Rt△COP中，由勾股定理得：OC2＝OP2+CP2，∴r2＝32+（9﹣r）2，解得：r＝5，∴OP＝4，ON＝OC＝5，∵PN＝9，NL＝PL＝4.5，∴OL＝4.5﹣4＝0.5，∵AD∥PN∥BC，DP＝PC，∴AN＝BN＝3，AL＝CL＝，∵∠ALN＝∠OLK，∴sin∠ALN＝sin∠OLK＝，即，OK＝，由勾股定理得：CK＝＝＝，∴CE＝2CK＝．故答案为：．2．解：（1）如图，连接OD，∵⊙O与边AB相切于点D，∴OD⊥AB，即∠ADO＝90°，∵AO＝AO，AC＝AD，OC＝OD，∴△ACO≌△ADO（SSS），∴∠ADO＝∠ACO＝90°，又∵OC是半径，∴AC是⊙O的切线；（2）∵tan B＝＝，∴设AC＝4x，BC＝3x，∵AC2+BC2＝AB2，∴16x2+9x2＝100，∴x＝2，∴BC＝6，∵AC＝AD＝8，AB＝10，∴BD＝2，∵OB2＝OD2+BD2，∴（6﹣OC）2＝OC2+4，∴OC＝，故⊙O的半径为；（3）AF＝CE+BD，理由如下：连接OD，DE，由（1）可知：△ACO≌△ADO，∴∠ACO＝∠ADO＝90°，∠AOC＝∠AOD，又∵CO＝DO，OE＝OE，∴△COE≌△DOE（SAS），∴∠OCE＝∠ODE，∵OC＝OE＝OD，∴∠OCE＝∠OEC＝∠OED＝∠ODE，∴∠DEF＝180°﹣∠OEC﹣∠OED＝180°﹣2∠OCE，∵点F是AB中点，∠ACB＝90°，∴CF＝BF＝AF，∴∠FCB＝∠FBC，∴∠DFE＝180°﹣∠BCF﹣∠CBF＝180°﹣2∠OCE，∴∠DEF＝∠DFE，∴DE＝DF＝CE，∴AF＝BF＝DF+BD＝CE+BD．3．解：（1）∵点A（0，4），∴AO＝4，∵AD是⊙Q的直径，∴∠AEB＝∠AED＝90°，∴∠AEB＝∠AOB＝90°，∵BA垂直平分CD，∴BC＝BD∴∠ABO＝∠ABE在△ABE和△ABO中，，∴△ABE≌△ABO（AAS）∴AE＝AO＝4；（2）设BO＝x，则AB＝x+2，在Rt△ABO中，由AO2+OB2＝AB2得：42+x2＝（x+2）2，解得：x＝3，∴OB＝BE＝3，AB＝5，∵∠EAB+∠ABE＝90°，∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠EAB＝∠ACB，∵∠BFA＝∠AFC，∴△BFA∽△AFC∴＝＝，设EF＝x，则AF＝4+x，BF＝（4+x），∵在Rt△BEF中，BE2+EF2＝BF2，∴32+x2＝[（4+x）]2，解得：x＝，即EF＝，∴tan∠AFC＝＝＝；（3）①当△DEF∽△AEB时，∠BAE＝∠FDE，∴∠ADE＝∠FDE，∴BD垂直平分AF，∴EF＝AE＝4；②当△DEF∽△BEA时，∠ABE＝∠FDE，∴AB∥DF，∴∠ADF＝∠CAB＝90°，∴DF相切⊙Q，∴∠DAE＝∠FDE，设⊙Q交y轴于点G，连接DG，作FH⊥DG于H，如图所示：则∠FDH＝∠DAG，四边形OGHF是矩形，∴OG＝FH，∵△ABE≌△ABO，∴∠OAB＝∠EAB，∵AB⊥AD，∴∠DAE＝∠CAO，∵∠CAO＝∠DAE，∴∠DAE＝∠DAE，∴∠DAE＝∠DAG＝∠FDE＝∠FDH，∴AG＝AE＝4，∴EF＝FH＝OG＝AO+AG＝4+4＝8，综上所述，若△DEF与△AEB相似，EF的值为4或8．4．解：（1）∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∵∠DAE＝∠ACE，∴∠DAC+∠DAE＝90°，即∠CAE＝90°，∴AP是⊙O的切线；（2）连接DB，如图1，∵PA和PB都是切线，∴PA＝PB，∠OPA＝∠OPB，PO⊥AB，∵PD＝PD，∴△DPA≌△DPB（SAS），∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠BAD，∵∠ACD＝∠ABD，又∠DAE＝∠ACE，∴∠DAF＝∠DAE，∵AC是直径，∴∠ADE＝∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠AFD＝90°，∴△FAD∽△DAE；（3）∵∠AFO＝∠OAP＝90°，∠AOF＝∠POA，∴△AOF∽△POA，∴，∴，∴PA＝2AO＝AC，∵∠AFD＝∠CAE＝90°，∠DAF＝∠ABD＝∠ACE，∴△AFD∽△CAE，∴，∴，∵，不妨设OF＝x，则AF＝2x，∴，∴，∴，∴．5．解：（1）如图1，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°；（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，∵AD∥BF，∴∠EBF＝∠ADB＝45°，又∠ABC＝90°，∴α+β＝45°，过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，∴△AEB≌△CNB（SAS），∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，∴∠FCN＝90°．∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN（SAS），∴EF＝FN，∵在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，∴EA2+CF2＝EF2；（3）如图3，延长GE，HF交于K，由（2）知EA2+CF2＝EF2，∴EA2+CF2＝EF2，∴S△AGE+S△CFH＝S△EFK，∴S△AGE+S△CFH+S五边形BGEFH＝S△EFK+S五边形BGEFH，即S△ABC＝S矩形BGKH，∴S△ABC＝S矩形BGKH，∴S△GBH＝S△ABO＝S△CBO，∴S△BGM＝S四边形COMH，S△BMH＝S四边形AGMO，∵S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，∴S△BMH：S△BGM＝8：9，∵BM平分∠GBH，∴BG：BH＝9：8，设BG＝9k，BH＝8k，∴CH＝3+k，∵AG＝3，∴AE＝3，∴CF＝（k+3），EF＝（8k﹣3），∵EA2+CF2＝EF2，∴+＝，整理得：7k2﹣6k﹣1＝0，解得：k1＝﹣（舍去），k2＝1．∴AB＝12，∴AO＝AB＝6，∴⊙O的半径为6．6．（1）证明：连接OD、BD，∵AB为圆O的直径，∴∠BDA＝90°，∴∠BDC＝180°﹣90°＝90°，∵E为BC的中点，∴DE＝BC＝BE，∴∠EBD＝∠EDB，∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB，∵∠EBD+∠DBO＝90°，∴∠EDB+∠ODB＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE是圆O的切线．（2）证明：如图，连接BD．由（1）知，∠ODE＝∠ADB＝90°，BD⊥AC．∵E是BC的中点，O是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，∴OE⊥BD．∴OE∥AC，又∵∠1＝∠A，∴∠A＝∠2．即在△ADB与△ODE中，∠ADB＝∠ODE，∠A＝∠2，∴△ADB∽△ODE．∴＝，即＝．∴r2＝AD•OE；（3）∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∵点E为BC的中点，∴BC＝2DE＝8，∵sin C＝，∴设AB＝3x，AC＝5x，根据勾股定理得：（3x）2+82＝（5x）2，解得x＝2．由切割线定理可知：82＝（10﹣AD）×10，解得，AD＝3.6．7．解：（1）过点E作EH⊥AF于H，连接OA、OE、OH，如图1所示：∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝＝6，设运动时间为t，则AE＝5t，AF＝8t，∵∠AHE＝∠ACB＝90°，∠EAH＝∠BAC，∴△EAH∽△BAC，∴＝，即：＝，∴AH＝4t，∴FH＝AF﹣AH＝8t﹣4t＝4t，∴AH＝FH，∵EH⊥AF，∴△AEF是等腰三角形，∴E为的中点，∠EAF＝∠EFA，∵AH＝FH，∴OH⊥AC，∴E、H、O三点共线，∴∠OAF+∠AOE＝90°，∵AB平分∠DAM，∴∠DAE＝∠EAF＝∠EFA，∵∠AOE＝2∠EFA，∴∠AOE＝∠DAE+∠EAF＝∠DAF，∴∠DAF+∠OAF＝90°＝∠DAO，即OA⊥AD，∵OA为⊙O的半径，∴AD与⊙O相切；故答案为：等腰三角形，相切；（2）连接OA、OF、OE，OE于AC交于H，如图2所示：由（1）知：EH⊥AC，∵EN与⊙O相切，∴∠OEN＝90°，∵∠ACB＝90°，∴四边形EHCN为矩形，∴EH＝NC，在Rt△AHE中，EH＝＝＝3t，∴NC＝3t，∵点N为BC的中点，∴BC＝2NC＝6t，∵BC＝6，∴6t＝6，∴t＝1，∴AH＝4，EH＝3，设⊙O的半径为x，则OH＝x﹣3，在Rt△AOH中，由勾股定理得：OA2＝OH2+AH2，即x2＝（x﹣3）2+42，解得：x＝，∴⊙O的半径为，∴OH＝，∴tan∠AOH＝＝，∴∠AOH＝74°，∵∠AOH＝60°时，△AOE是等边三角形，AE＝OA，74°＞60°，∴AE＞OA，∴劣弧长度的大于半径；（3）当点E运动到B点时，t＝10÷5＝2，∴AF＝2×8＝16，AE＝EF＝AB＝10，此时△AEF的内心记为G，当A、E、F重合时，内心为A点，∴△AEF的内心运动的路径长为AG，作GP⊥AE于P，GQ⊥EF于Q，连接AG、GF，则CG＝PG＝NQ，如图3所示：S△AEF＝AF•BC＝×16×6＝48，设CG＝PG＝NQ＝a，则S△AEF＝S△AGF+S△AEB+S△FEG＝AF•CG+AE•PG+EF•NQ＝×（16+10+10）a＝48，解得：a＝，在Rt△AGC中，AC2+CG2＝AG2，即82+（）2＝AG，∴AG＝，故答案为：；（4）分别讨论两种极限位置，①当EN与⊙O相切时，由（2）知，t＝1；②当N在⊙O上，即ON为⊙O的半径，连接OA、ON、OE，OE交AC于H，过点O作OK⊥BC于K，如图4所示：则四边形OKCH为矩形，OA＝OE＝ON，∴OH＝CK，AH＝4t，EH＝3t，设⊙O的半径为x，则在Rt△AOH中，AH2+OH2＝OA2，即（4t）2+（x﹣3t）2＝x2，解得：x＝t，∴OH＝CK＝t﹣3t＝t，在Rt△OKN中，OK2+KN2＝ON2，即（8﹣4t）2+（3+t）2＝（t）2，解得：t＝，∴线段EN与⊙O有两个公共点时，t的取值范围为：1＜t≤，故答案为：1＜t≤．8．（1）证明：连接OA，如图1：∵AM是⊙O的切线，∴∠OAM＝90°，∵∠B＝60°，∴∠AOC＝120°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴∠AOM＝60°，∴∠M＝30°，∴∠OCA＝∠M，∴AM＝AC；（2）解：①作AG⊥CM于G，如图2：∵∠OCA＝30°，AC＝3，∴AG＝AC＝，∴CG＝AG＝，则MC＝2CG＝3；故答案为：3．②当∠AMB的度数为60°时，四边形AMBC是菱形；理由如下：连接OA，作OB'⊥BM于B'，如图3：则∠OB'M＝∠OAM＝90°，由（1）得：AM＝AC，∠OCA＝∠AMO＝30°，∠MAC＝180°﹣∠AMC﹣∠OCA＝120°，∵∠AMB＝60°，∴∠MAC+∠AMB＝180°，∴AC∥BM，∴∠BMO＝∠OCA＝30°，∴∠AMO＝∠BMO，在△OB'M和△OAM中，∴△OB'M≌△OAM（AAS），∴OB'＝OA＝OB，B'M＝AM，∴B'与B重合，∴BM＝AM＝AC，又∵AC∥BM，∴四边形AMBC是平行四边形，∵AM＝AC，∴四边形AMBC是菱形．故答案为：60°．9．解：（1）解：如图甲，连接PE、PB，设PC＝n，∵正方形CDEF的面积为1，∴CD＝CF＝1，根据圆和正方形的轴对称性知：OP＝PC＝n，∴BC＝2PC＝2n，∵而PB＝PE，∴PB2＝BC2+PC2＝4n2+n2＝5n2，PE2＝PF2+EF2＝（n+1）2+1，∴5n2＝（n+1）2+1，解得：n＝1或n＝﹣（舍去），∴BC＝OC＝2，∴B点坐标为（2，2）；∴A（0，2），C（2，0），∵A，C在抛物线上，∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x+2；（2）∵正方形CDEF的面积为1，∴CF＝1，∵抛物线的解析式为：y＝x2﹣x+2与x轴交于点C，点G，∴x1＝2，x2＝4，∴点G（4，0）∵抛物线的解析式为：y＝x2﹣x+2＝（x﹣3）2﹣，∴抛物线的对称轴为x＝3，即EF所在直线，∵C与G关于直线x＝3对称，∴CF＝FG＝1，∴MF＝FG＝，在Rt△PEF与Rt△EMF中，∵＝，∴，且∠EFM＝∠EFP，∴△PEF∽△EMF，∴∠EPF＝∠FEM，∴∠PEM＝∠PEF+∠FEM＝∠PEF+∠EPF＝90°，∴ME是⊙P的切线（3）如图，以CG为边在x轴上方作等边三角形ICG，以I为圆心，IC为半径作圆，当点N是抛物线点C左侧一点，连接NG，交⊙I于点H，连接CH，CN，∵∠CHG＝∠CIG＝30°，∠CHG＝∠CNG+∠NCH，∴∠CNG＜30°，同理当点N在抛物线点G左侧一点，可得∠CNG＜30°，∴当∠CNG≤30°时，则x＜2或x＞4．10．解：（1）如图1，连结AD，过点A作AF⊥CB于点F，∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD，∵AC＝9，AF⊥BC，∠ACB＝60°∴CF＝，AF＝，∴DF＝CF﹣CD＝3﹣＝2，∴AD＝＝∴AP+BP的最小值为；故答案为：；（2）如图2，在AB上截取BF＝2，连接PF，PC，∵AB＝8，PB＝4，BF＝2，∴＝＝，且∠ABP＝∠ABP，∴△ABP∽△PBF，∴＝＝，∴PF＝AP∴AP+PC＝PF+PC，∴当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，∴CF＝＝＝2，∴，AP+PC的值最小值为2，故答案为：2；（3）如图3，延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，∵OC＝4，FC＝4，∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2，∴＝＝，且∠AOP＝∠AOP∴△AOP∽△POF∴＝＝，∴PF＝2AP∴2PA+PB＝PF+PB，∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，∵∠COD＝120°，∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM∴OM＝4，FM＝4∴MB＝OM+OB＝4+3＝7∴FB＝＝∴2PA+PB的最小值为．。
中考复习(圆与证明)课件
利用四边形的性质，通过证明四边形是正方形或矩形来 证明线段垂直。
详细描述
当要证明线段垂直时，可以通过构造一个正方形或矩形 ，利用四边形的性质和判定定理来证明线段垂直。
总结词
利用圆的性质，通过证明圆周角等于90度来证明线段 垂直。
详细描述
当要证明线段垂直时，可以通过构造一个圆，利用圆的 性质和判定定理来证明圆周角等于90度，从而证明线 段垂直。
提高解题能力。
归纳总结
对每个知识点进行归纳总结， 形成知识体系，有助于加深理
解和记忆。
举一反三
在复习过程中，应注重举一反 三，对典型例题进行深入剖析
，掌握解题方法和思路。
模拟测试
定期进行模拟测试，模拟真实 考试环境和压力，提高应试能
力。
05
模拟试题与解析
中考模拟试题一
总结词：基础题目
详细描述：此题考察了圆的性质和基本定理，适合作为第一题来热身，帮助考生 进入考试状态。
总结词
利用勾股定理，通过证明直角三角形的三边关系来证明 线段相等。
详细描述
当要证明两条线段相等时，可以通过构造一个直角三角 形，利用勾股定理和三角形的性质来证明两条线段相等 。
总结词
利用平行四边形的性质，通过证明平行四边形的对角线 相等来证明线段相等。
详细描述
当要证明两条线段相等时，可以通过构造一个平行四边 形，利用平行四边形的性质和判定定理来证明两条线段 相等。
中考模拟试题二
总结词：中等难度
详细描述：此题涉及到了圆的证明和与圆相关的其他几何图形的性质，需要考生灵活运用所学知识进 行解答。
中考模拟试题三
总结词：高难度
详细描述：此题综合考察了圆的性质、定理以及与其他几何图形的关联，需要考生具备较高的逻辑思维和推理能力。
初中考数学专题总复习《圆》与圆性质有关证明及计算的方法
第3题图
第4题图
微专题 与圆性质有关证明及计算的方法
方法3 构造相似三角形
方法解读
如图①，由同弧所对的圆周角相等，易得△PAC∽△PDB. 如图②，∠A为公共角，由圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角， 易得△ABD∽△AEC.
微专题 与圆性质有关证明及计算的方法
如图③，A为圆外一点，B、C分别为圆上两点，易得△AEC∽△ADB； 如图④，AB为圆O的直径，CD⊥AB，易得△ACD∽△CBD∽△ABC.
第1题图
第2题图
微专题 与圆性质有关证明及计算的方法
方法2 构造直角三角形
方法解读 (1)当题图中含有直径时，构造直径所对的圆周角. 如图①，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC，则有∠ACB＝90°.
微专题 与圆性质有关证明及计算的方法
(2)在圆中常过圆心作弦的垂线或连接半径作为辅助线，利用弦心距、半径和弦的 一半组成一个直角三角形，再利用勾股定理或者三角函数进行计算． 如图②，已知AB是⊙O的一条弦，过点O作OE⊥AB于点E，则有OE2＋AE2＝ OA2(或OE2＋BE2＝OB2)．
微专题 与圆性质有关证明及计算的方法
方法应用
3. (2020龙东地区改编)如图，AD是△ABC的外接圆O的直径，若∠BAD＝40°，则 ∠ACB＝___5_0____°. 4. (2020甘孜州)如图，AB为 O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则 OH的长度为___3_____．
2021 北部湾 经济区
数学
课件说明
软件使用
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学科特色
数学公式由公式编辑器制作，可双 击公式跳转到编辑页面进行修改
数学人教版九年级上册与圆有关的证明与计算中考综合复习
圆的证明与计算中考专题复习圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，对部分学生是难点，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。
一、圆的切线证明1、判断一条直线是圆的切线的方法有三种：①直线与圆只有一个交点；②圆心到直线的距离等于半径；（即证d=r）③切线的判定定理，即：经过圆心的线段，并且的直线是圆的切线。
（即证垂直）2、证切线常见的辅助线添法即证法：①若切不点明确，则作②若切点明确，则连例1、如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E．(1) 求证：AC平分∠DAB；例2、如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；二、圆的证明与计算的几大几何理论依据：1、圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用半径相等.(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系 以及中点等等. 用来计算弦长和半径。
(3)弧、弦、圆心角之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. 用来计算圆心角或者圆周角。
(4)圆周角性质定理及其推论: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. 其中一个重要应用就是圆的直径所对的圆周角等于90度，90度圆周角所对应的的弦是直径。
(5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.(6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等及全等。
2、圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.基础训练：一、垂径定理的应用，圆心角和弧以及圆周角的转换例1、如图，在⊙O 中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=cm 32，（1）求∠BAC 的度数； （2）求⊙O 的周长例2、已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，∠AEC=30°，求CD的长．三、解题思想与方法计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理、三角形全等、三角形相似等知识相结合，形式复杂，无规律性。
2021年九年级数学中考复习专题：圆的综合(考查切线证明、长度计算等)(三)
中考复习专题：圆的综合（考察切线证明、长度计算等）1．如图所示，AB是⊙O的直径，∠B＝30°，弦BC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D，连AD．（1）求直径AB的长．（2）求阴影部分的面积（结果保留π）．2．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，CD切⊙O于点C，AE⊥CD于点E （1）求证：AC平分∠DAE；（2）若AB＝6，BD＝2，求CE的长．3．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，且DE＝CE，⊙O的切线BF与弦AD的延长线交于点F．（1）求证：CD∥BF；（2）若⊙O的半径为6，∠A＝35°，求的长．4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是边AC上一点，以O为圆心，以OA为半径的圆分别交AB、AC于点E、D，在BC的延长线上取点F，使得BF＝EF．（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠A＝30°，求证：DG＝DA；（3）若∠A＝30°，且图中阴影部分的面积等于2，求⊙O的半径的长．5．如图所示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC，过点D作DE⊥AC于E．（1）求证：AB＝AC；（2）求证：DE为⊙O的切线．6．如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D 作DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求DE的长．7．如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD＝CB，延长CD 交BA的延长线于点E．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若BD的弦心距OF＝1，∠ABD＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）8．已知，如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于D，过D作DE⊥BD 交AB于E，经过B，D，E三点作⊙O．（1）求证：AC与⊙O相切．（2）若AD＝15，AE＝9，求⊙O的半径．9．如图，⊙O是△ABC外接圆，AC是直径，OF∥AB，过点B⊙O的切线相交于点D，与OF的延长线交点E．（1）求证：△ABD∽△BCD；（2）若∠C＝30°，求证：△OED是等腰三角形；（3）若⊙O的半径为3，cos D＝，求OF的长．10．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，AD⊥CD 于点D．（1）求证：AE平分∠DAC，（2）若AB＝6，∠ABE＝60°，求①AD的长，②图中阴影部分的面积．11．△ABC内接于⊙O，点D在BC上，连接AD、BO，AD＝AC．（1）如图1，求证：∠DAC＝2∠ABO；（2）如图2，点E在弧BC上，连接AE交BC于点F，∠CAE＝3∠DAE，连接BE，DE，若∠EDC＝∠EBC+60°，求∠DEA的度数：（3）如图3，在（2）的条件下，若tan∠ACB＝2，AE＝2+1，求半径BO的长．12．如图1，△ABC内接于⊙O，连接AO，延长AO交BC于点D，AD⊥BC．（1）求证：AB＝AC；（2）如图2，在⊙O上取一点E，连接BE、CE，过点A作AF⊥BE于点F，求证：EF+CE ＝BF；（3）如图3在（2）的条件下，在BE上取一点G，连接AG、CG，若∠AGB+∠ABC ＝90°，∠AGC＝∠BGC，AG＝6，BG＝5，求EF的长．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O为BC边上一点，以OC为半径的圆O，交AB于D点，且AD＝AC．延长DO交圆O于E点，连接AE．（1）求证：DE⊥AB；（2）若DB＝4、BC＝8，求AE的长．14．如图，AB是⊙C的直径，M、D两点在AB的延长线上，E是⊙C的点，且DE2＝DB •DA，延长AE至F，使得AE＝EF，设BF＝5，cos∠BED＝．（1）求证：△DEB∽△DAE；（2）求DA，DE的长；（3）若点F在B、E、M三点确定的圆上，求MD的长．15．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点P是半径OB上一动点（不与O，B 重合），过点P作射线l⊥AB，分别交弦BC，于D、E两点，在射线l上取点F，使FC＝FD．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）当点E是的中点时，①若∠BAC＝60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；②若＝，且AB＝20，求OP的长．参考答案1．解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠B＝30°，∴AB＝2AC，∵AB2＝AC2+BC2，∴AB2＝AB2+62，∴AB＝4．（2）连接OD．∵AB＝4，∴OA＝OD＝2，∵CD平分∠ACB，∠ACB＝90°，∴∠ACD＝45°，∴∠AOD＝2∠ACD＝90°，∴S△AOD＝OA•OD＝•2•2＝6，∴S扇形△AOD＝•π•OD2＝•π•（2）2＝3π，∴阴影部分的面积＝S扇形△AOD﹣S△AOD＝3π﹣6．2．（1）证明：连接OC．∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，∵∠AEC＝90°，∴∠OCD＝∠AEC，∴AE∥OC，∴∠EAC＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠EAC＝∠OAC，∴AC平分∠DAE．（2）作CF⊥AB于F．在Rt△OCD中，∵OC＝3，OD＝5，∴CD＝4，∵•OC•CD＝•OD•CF，∴CF＝，∵AC平分∠DAE，CE⊥AE，CF⊥AD，∴CE＝CF＝．3．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，DE＝CE，∴AB⊥CD，∵BF是⊙O的切线，∴AB⊥BF，∴CD∥BF；（2）解：连接OD、OC，∵∠A＝35°，∴∠BOD＝2∠A＝70°，∴∠COD＝2∠BOD＝140°，∴的长＝＝．4．解：（1）连接OE，∵OA＝OE，∴∠A＝∠AEO，∵BF＝EF，∴∠B＝∠BEF，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠AEO+∠BEF＝90°，∴∠OEG＝90°，∴EF是⊙O的切线；（2）∵∠AED＝90°，∠A＝30°，∴ED＝AD，∵∠A+∠B＝90°，∴∠B＝∠BEF＝60°，∵∠BEF+∠DEG＝90°，∴∠DEG＝30°，∵∠ADE+∠A＝90°，∴∠ADE＝60°，∵∠ADE＝∠EGD+∠DEG，∴∠DGE＝30°，∴∠DEG＝∠DGE，∴DG＝DE，∴DG＝DA；（3）∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，∵∠A＝30°，∴∠EOD＝60°，∴∠EGO＝30°，∵阴影部分的面积＝×r×r﹣＝2﹣π．解得：r2＝4，即r＝2，即⊙O的半径的长为2．5．证明：（1）连接AD；∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．又∵DC＝BD，∴AD是BC的中垂线．∴AB＝AC．（2）连接OD；∵OA＝OB，CD＝BD，∴OD∥AC．∴∠0DE＝∠CED．又∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°．∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．6．证明：（1）连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAO，∴∠ODA＝∠DAE，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O切线．（2）过点O作OF⊥AC于点F，∴AF＝CF＝3，∴OF＝＝4．∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，∴四边形OFED是矩形，∴DE＝OF＝4．7．（1）证明：连接OD，∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°，∵CD＝CB，∴∠CBD＝∠CDB，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODC＝∠ABC＝90°，即OD⊥CD，∵点D在⊙O上，∴CD为⊙O的切线；（2）在Rt△OBF中，∵∠ABD＝30°，OF＝1，∴∠BOF＝60°，OB＝2，BF＝，∵OF⊥BD，∴BD＝2BF＝2，∠BOD＝2∠BOF＝120°，∴S阴影＝S扇形OBD﹣S△BOD＝＝．8．（1）证明：连接OD，如图所示：∵OD＝OB，∴∠1＝∠2，又∵BD平分∠ABC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴OD∥BC，而∠C＝90°，∴OD⊥AD，∴AC与⊙O相切于D点；（2）解：∵OD⊥AD，∴在RT△OAD中，OA2＝OD2+AD2，又∵AD＝15，AE＝9，设半径为r，∴（r+9）2＝152+r2，解方程得，r＝8，即⊙O的半径为8．9．解：（1）如图1，连接BO，∵BD是⊙O的切线，∴∠OBD＝90°，∴∠OBA+∠ABD＝90°，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠CBO+∠OBA＝90°，∴∠ABD＝∠CBO，∵OB＝OC，∴∠CBO＝∠C，∴∠ABD＝∠C，又∵∠D＝∠D，∴△ABD∽△BCD；（2）证明：∵∠C＝30°，OE∥AB，∠ABC＝90°，∴∠BAO＝60°＝∠BOA＝∠BOE，由（1）知OB⊥DE，∠EBO＝∠DBO＝90°，又∵OB＝OB，∴△BOE≌△BOD（ASA），∴OE＝OD，∴△OED是等腰三角形；（3）∵OE∥AB，CO＝AO，∴CF＝BF，∴OF是△ABC中位线，∴OF＝AB，又∵在Rt△OBD中，cos∠D＝＝，设BD＝4x，则OD＝5x，由勾股定理（5x）2＝（4x）2+32，解得，x＝1（取正值），∴DB＝4，OD＝5，如图2，过点B作BM⊥OA于M，则∠OMB＝∠OBD＝90°，又∵∠BOM＝∠DOB，∴△OBM∽△ODB，∴＝＝，∴＝＝，∴BM＝，OM＝，∴AM＝，∴AB＝＝，∴OF＝AB＝．10．证明：（1）如图，连接OE，∵DC为切线，∴OE⊥CD，且AD⊥CD，∴OE∥AD，∴∠DAE＝∠AEO，∵OE＝OA，∴∠AEO＝∠EAO，∴∠DAE＝∠EAO，即AE平分∠DAC；（2）①∵∠ABE＝60°，∠AEB＝90°，∴∠EAB＝30°，∠AOE＝120°∴BE＝AB＝3，AE＝BE＝3∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠BAE＝30°，且∠D＝90°∴DE＝AE＝，AD＝DE＝，②∵OA＝OB＝BE＝3，∴S扇形AOE＝π•OA2＝3π，S△AOE＝S△ABE＝×AE•BE＝，∴S阴影＝S扇形AOE﹣S△AOE＝3π﹣11．解：（1）连接OA，∵OA＝OB，∴∠ABO＝（180°﹣∠AOB），∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠C，∴∠DAC＝180°﹣2∠C，∵∠AOB＝2∠C，∴∠DAC＝180°﹣∠AOB，∴∠AOB＝180°﹣∠DAC，∴∠ABO＝（180°﹣∠AOB）＝[180°﹣（180°﹣∠DAC）]＝，即∠DAC＝2∠ABO；（2）如图2，过点A作AH⊥BC于H，∵∠CAE＝3∠DAE，∴∠CAD＝4∠DAE，∵AD＝AC，AH⊥BC，∴∠DAH＝∠CAH＝2∠DAE，∠ADH+∠DAH＝90°，∴∠ADH+2∠DAE＝90°，∵∠EDC＝∠EBC+60°，∠EBC＝∠EAC，∴∠EDC＝∠EAC+60°＝∠DAE+60°，∵∠AED+∠DAE+∠ADH+∠EDC＝180°，∴∠DEA+∠DAE+∠DAE+60°+∠ADH＝180°，∴∠DEA+90°+60°＝180°，∴∠DEA＝30°，（3）如图3，过点D作DG⊥AE交AH的延长线于点G，连接GC，OE，CE，过点B 作BN⊥AE于N，∵∠CAD＝4∠DAE，AD＝AC，AH⊥DC，∴∠DAH＝∠CAH＝2∠DAE，AH是CD的中垂线，∴∠DAE＝∠FAH，∵DG⊥AE，∠DAE＝∠FAH，∴∠ADG＝∠AGD，∴AD＝AG，且∠DAE＝∠FAH，AE＝AE，∴△ADE≌△AGE（SAS）∴∠AED＝∠AEG＝30°，DE＝EG，∴∠DEG＝60°，∴△DEG是等边三角形，∴DG＝EG＝DE，∠DGE＝60°，∵AH是CD的中垂线，∴DG＝GC，∴DG＝GC＝EG，∴点D，点G，点E在以点G为圆心，DG为半径的圆上，∴∠DCE＝∠DCE＝30°，∴∠BAE＝∠BCE＝30°，∴∠BOE＝60°，且BO＝OE，∴△BOE是等边三角形，∴BE＝BO，∵∠BAE＝30°，BN⊥AE，∴AN＝BN∵∠ACB＝∠AEB，∴tan∠ACB＝tan∠AEB＝2＝，∴EN＝BN，∵AE＝EN+AN，∴2+1＝BN+BN，∴BN＝2，∴EN＝1，∴BE＝＝＝，∴BO＝．12．证明：（1）∵AD⊥BC，AD过圆心O，∴BD＝CD，且AD⊥BC，∴AB＝AC；（2）如图2，在BF上截取FH＝EF，连接AE，AH，∵AF⊥EH，EF＝FH，∴AH＝AE，∴∠AHE＝∠AEH，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，且∠ACB＝∠AEH，∴∠AEH＝∠AHE＝∠ABC＝∠ACB，∴∠BAC＝∠HAE，∴∠BAH＝∠CAE，且AH＝AE，AB＝AC，∴△ABH≌△ACE（SAS）∴BH＝CE，∴BF＝EF+CE；（3）如图3，延长CG交⊙O于M，交AB于K，过点A作AP⊥CM于P，过点B作BN⊥CM于N，连接AE，AM，MB，∵∠AGB+∠ABC＝90°，∴∠AGB＝90°﹣∠ABC，∴∠AGB＝2∠BAC，∵∠AGC＝∠BGC，∴∠BGM＝∠AGM＝∠AGB，∴∠BGM＝∠AGM＝∠BAC，且∠BAC＝∠BMC，∴∠BMG＝∠BGM，∴BM＝BG＝5，∵∠AMC＝∠ABC，∠AGM＝∠BAC，∴∠GAM＝∠ACB，∴∠AMG＝∠MAG，∴MG＝AG＝6，∵BM＝BG，BN⊥MG，∴MN＝NG＝3，∴BN＝＝＝4，∵∠BMG＝∠AGM，∴BM∥AG，∴＝，∵AP∥BN，∴＝，∴AP＝，∴PG＝＝，∴PN＝PG﹣NG＝，且∴PK＝，KN＝，∴AK＝＝，BK＝＝，∴AB＝AK+BK＝，∵AF2＝AG2﹣GF2，AF2＝AB2﹣BF2，∴AG2﹣GF2＝AB2﹣（5+GF）2，∴GF＝，∴BF＝，∵MP＝MG﹣PG＝，∴MK＝，∵∠AMC＝∠ABC，∠MAB＝∠BCM，∴△MAK∽△BCK，∴，∴CK＝，∴GC﹣KC﹣KG＝，∵∠BMC＝∠BEC，∠BGM＝∠CGE，∠BGM＝∠BMG，∴∠CGE＝∠CEG，∴CG＝CE＝，∵EF+CE＝BF，∴EF＝BF﹣CE＝＝．13．（1）证明：连接AO．∵AD＝AC，AO＝AO，OD＝OC，∴△AOD≌△AOC（SSS），∴∠ADO＝∠ACO＝90°，∴DE⊥AB．（2）解：设OD＝OC＝x，在Rt△OBD中，∵OB2＝BD2+OD2，∴（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3，设AD＝AC＝y，在Rt△ACB中，∵AB2＝AC2+BC2，∴（y+4）2＝y2+82，∴y＝6，在Rt△ADE中，AE＝＝＝6．14．解：（1）∵DE2＝DB•DA，∴＝，又∵∠D＝∠D，∴△DEB∽△DAE．（2）∵△DEB∽△DAE，∴∠DEB＝∠DAE＝α，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，又AE＝EF，∴AB＝BF＝5，∴∠BFE＝∠BAE＝α，则BF⊥ED交于点H，∵cos∠BED＝，则BE＝3，AE＝4∴＝＝，即：＝＝，解得：BD＝，DE＝，则AD＝AB+BD＝，ED＝．（3）由点F在B、E、M三点确定的圆上，则BF是该圆的直径，连接MF，∵BF⊥ED，∠BMF＝90°，∴∠MFB＝∠D＝β，在△BED中，过点B作HB⊥ED于点H，设HD＝x，则EH＝﹣x，则9﹣（﹣x）2＝（）2﹣x2，解得：x＝，则cosβ＝＝，则sinβ＝，MB＝BF sinβ＝5×＝，DM＝BD﹣MB＝．15．证明：（1）连接OC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵PF⊥AB，∴∠BPD＝90°，∴∠OBC+∠BDP＝90°，∵FC＝FD∴∠FCD＝∠FDC∵∠FDC＝∠BDP∴∠OCB+∠FCD＝90°∴OC⊥FC∴FC是⊙O的切线；（2）如图2，连接OC，OE，BE，CE，①以O，B，E，C为顶点的四边形是菱形．理由如下：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∵点E是的中点，∴∠BOE＝∠COE＝60°，∵OB＝OE＝OC∴△BOE，△OCE均为等边三角形，∴OB＝BE＝CE＝OC∴四边形BOCE是菱形；②∵，∴设AC＝3k，BC＝4k（k＞0），由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，即（3k）2+（4k）2＝202，解得k＝4，∴AC＝12，BC＝16，∵点E是的中点，∴OE⊥BC，BH＝CH＝8，∴S△OBE＝OE×BH＝OB×PE，即10×8＝10PE，解得：PE＝8，由勾股定理得OP＝＝＝6．。
中考数学圆知识点总结5篇
中考数学圆知识点总结5篇篇1一、圆的定义圆是由所有到定点距离等于定长的点组成的封闭曲线，这个定点称为圆心，定长称为半径。
圆有无数条对称轴，对称轴经过圆心。
圆具有旋转对称性，任意绕圆心旋转一定的角度都可能与原来的圆重合。
二、圆的性质1. 圆心距性质：任意两个圆的圆心距离等于两圆半径之和的，两圆外离；任意两个圆的圆心距离等于两圆半径之差的，两圆内含；任意两个圆的圆心距离小于两圆半径之和但大于两圆半径之差的，两圆相交。
2. 切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
3. 圆的幂性质：如果两条弦与同一条直径垂直，那么这两条弦所对的直径段相等。
4. 圆锥曲线性质：以圆锥的底面直径为长轴，以圆锥的高为短轴的椭圆，叫做圆锥椭圆。
圆锥椭圆的两焦点是圆锥的底面圆心和顶点。
双曲线类似。
三、圆的应用1. 在建筑设计中，可以利用圆的旋转对称性，设计出美观大方的建筑外观。
如圆形广场、圆形剧场等。
2. 在机械制造中，许多零部件都是圆形或环形的设计，如轴承、齿轮等。
这些零部件的精确制造和安装对于整个机械的性能和稳定性至关重要。
3. 在电子科技领域，许多电子元件和电路板都是基于圆形或环形的布局设计，如电容、电感等。
这些元件的形状和布局对于电子设备的功能和性能有着重要影响。
4. 在生物学和医学领域，许多生物体的结构和器官都是圆形或近似的圆形设计，如人体的大脑、心脏等。
对于这些结构和器官的研究和理解，有助于我们更好地认识生命的奥秘。
四、圆的解题技巧1. 圆的题目中，常常会出现一些隐含的条件，如切线的性质、圆的幂性质等。
我们需要认真分析题目中的条件，找出这些隐含的条件，并加以利用。
2. 对于一些复杂的题目，我们可以利用几何软件进行辅助分析，如使用CAD软件进行绘图分析，可以帮助我们更好地理解题意和解题思路。
3. 在解题过程中，我们需要注重几何语言的准确性和规范性，避免出现混淆概念、计算错误等问题。
中考数学一轮复习专题解析—圆的证明与计算
中考数学一轮复习专题解析—圆的证明与计算复习目标1.了解圆的定义及点与圆的位置关系。
2.掌握圆的基本性质。
3.掌握圆中复杂证明及两圆位置关系中证明。
考点梳理一、圆的有关概念1. 圆的定义如图所示，有两种定义方式：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作①O，线段OA叫做半径；①圆是到定点的距离等于定长的点的集合．2.与圆有关的概念①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB，BC，AC都是弦．①直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC是①O的直径，直径是圆中最长的弦．①弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC、BAC都是①O中的弧，分别记作BC，BAC．①半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如AC是半圆．①劣弧：像BC这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧．①优弧：像BAC这样大于半圆周的圆弧叫做优弧．①同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆．①弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．①等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．①等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．⑪圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中①AOB，①BOC是圆心角．⑫圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中①BAC、①ACB都是圆周角．例1．已知：如图所示，在①O中，弦AB的中点为C，过点C的半径为OD．(1)若AB＝23，OC＝1，求CD的长；(2)若半径OD＝R，①AOB＝120°，求CD的长.【答案】解：①半径OD经过弦AB的中点C，①半径OD①AB．(1)①AB＝3AC＝BC3①OC＝1，由勾股定理得OA＝2．①CD＝OD－OC＝OA－OC＝1，即CD ＝1.(2)①OD①AB ，OA ＝OB ， ①①AOD ＝①BOD ．①①AOB ＝120°，①①AOC ＝60°． ①OC ＝OA·cos①AOC ＝OA·cos60°＝12R ， ①1122CD OD OC R R R =-=-=．二、圆的有关性质 1.圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条．圆是中心对称图形，圆心是对称中心，又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合． 2.垂径定理①垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧．①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图所示：在图中(1)直径CD ，(2)CD①AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径． 3.弧、弦、圆心角之间的关系①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；①在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4.圆周角定理及推论①圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．①圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．例2．如图所示，AB＝AC，O是BC的中点，①O与AB相切于点D，求证：AC与①O相切．【答案】证明：连接OD，作OE①AC，垂足为E，连结OA．①AB与①O相切于点D，①OD①AB．①AB＝AC，OB＝OC，①①1＝①2，①OE＝OD．①OD为①O半径，①AC与①O相切．三、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系如图所示．d表示点到圆心的距离，r为圆的半径．点和圆的位置关系如下表：点与圆的位置关系d与r的大小关系点在圆内d＜r点在圆上d＝r点在圆外d＞r(1)圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．①过两点A、B的圆有无数个，如图所示．①经过在同一直线上的三点不能作圆．①不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．(2)三角形的外接圆经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线交点．它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径．如图所示．2.直线与圆的位置关系①设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表．①圆的切线．切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线．这个公共点叫切点．切线的判定定理：经过半径的外端．且垂直于这条半径的直线是圆的切线．友情提示：直线l是①O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过①O上的一点A；①OA①l．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．①三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点．3.三角形外心、内心有关知识比较4.圆与圆的位置关系在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5种位置关系，其中R、r为两圆半径(R≥r)．d为圆心距．①相切包括内切和外切，相离包括外离和内舍．其中相切和相交是重点．①同心圆是内含的特殊情况．①圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．①“r1－r2”时，要特别注意，r1＞r2．四、正多边形和圆1.正多边形的有关概念正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心．外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个角叫正多边形的中心角，正多边形的每一个中心角都等于360 n °．要点诠释：通过中心角的度数将圆等分，进而画出内接正多边形，正六边形边长等于半径．2.正多边形的性质任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆．正多边形都是轴对称图形，偶数条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长(半径或边心距)之比． 3.正多边形的有关计算定理：正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形． 正n 边形的边长a 、边心距r 、周长P 和面积S 的计算归结为直角三角形的计算．360n a n =°，1802sin n a R n =°，180cos n r R n=°， 2222n n a R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，n n P n a =，1122n nnn n S a r n P r ==．五、圆中的计算问题 1.弧长公式：180n Rl π=，其中l 为n°的圆心角所对弧的长，R 为圆的半径． 2.扇形面积公式：2360n R S π=扇，其中12S lR =扇．圆心角所对的扇形的面积，另外12S lR =扇．3.圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长．圆锥的全面积是它的侧面积与它的底面积的和．1．（2022·四川省宜宾市第二中学校九年级）如图，CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，1CE =，6AB =，则O 的半径为（ ）A．3B．4C．5D．无法确定【答案】C【分析】连接OA，由垂径定理得AE=3，设OA=OC=x，根据勾股定理列出方程，进而即可求解．【详解】连接OA，①CD为O的直径，弦AB CD⊥，AB=3，①AE=12设OA=OC=x，则OE=x-1，①()222x x-+=，解得：x=5，13①O的半径为5．故选C．2．（2022·河南九年级期末）如图，AD为①O的直径，6cmAD=，DAC ABC∠=∠，则AC的长度为（）A．2B．22C．32D．33【答案】C【分析】连接CD，由圆周角定理可知90∠=∠可知AC CD=，由∠=︒，再根据DAC ABCACD勾股定理即可得出AC的长．【详解】解：连接CD，AD是O的直径，∴∠=︒，ACD90∠=∠，DAC ABC∠=∠，ABC ADC∴∠=∠，DAC ADC∴CD AC=，∴=，AC CD又222AC CD AD+=，22∴=，2AC ADAD=，6∴=AC故选：C．3．（2022·全国九年级课时练习）O的半径为10cm，弦//AB CD．若==，则AB和CD的距离为（）AB CD12cm,16cmA．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．2cm或10cm 【答案】C【分析】分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况求得AB与CD的距离．构造直角三角形利用勾股定理求出即可．【详解】当弦AB和CD在圆心异侧时，如图1，过点O作OE①AB于点E，反向延长OE交CD于点F，连接OA，OC，①AB①CD，①OF①CD，①AB=12cm，CD=16cm，①AE=6cm，CF=8cm，①OA=OC=10cm，①在Rt①AOE中，由勾股定理可得；8EO cm，在Rt①COF中，由勾股定理可得：6OF===cm，①EF=OF+OE=8+6=14cm．当弦AB和CD在圆心同侧时，如图2，过点O作OF①CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，①AB①CD，①OE①AB，①AB=12cm，CD=16cm，①AE=6cm，CF=8cm，①OA=OC=5cm，在Rt①AOE中，由勾股定理可得：2222=-=-=cm，1068EO OA AE在Rt①COF中，由勾股定理可得：2222=-=-=cm，OF OC CF1086①EF=OE﹣OF=8﹣6=2cm；故选C．4．（2022·全国九年级课时练习）如图，在ABC中，10,8,6===，经过AB AC BC点C且与边AB相切的动圆与,CB CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是（）A．42B．4.75C．5D．4.8【答案】D【分析】设EF的中点为O，①O与AB的切点为D，连接OD，连接CO，CD，则有OD①AB，由勾股定理逆定理知，ABC是直角三角形，OC+OD=EF，而OC+OD≥CD，只有当点O在CD上时，OC+OD=EF有最小值为CD的长，即当点O在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，EF=CD有最小值，由直角三角形的面积公式知求出CD的长即可．【详解】解：设EF的中点为O，①O与AB的切点为D，连接OD，连接CO，CD，①10,8,6===，AB AC BC①AC2+BC2=AB2，①ABC 是直角三角形，①ACB =90°， ①EF 是①O 的直径， ①OC +OD =EF ， ①①O 与边AB 相切， ①OD ①AB ， ①OC +OD ≥CD ，即当点O 在直角三角形ABC 的斜边AB 的高上时，OC +OD =EF 有最小值， 此时最小值为CD 的长， ①CD =864.810AC BC AB ⋅⨯==， ①EF 的最小值为4.8． 故选D ．5．（2020·沭阳县怀文中学九年级月考）有下列说法：①直径是圆中最长的弦；①等弧所对的弦相等；①圆中90°的角所对的弦是直径；①相等的圆心角对的弧相等；①平分弦的直径垂直于弦；①任意三角形一定有一个外接圆．其中正确的有（ ） A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B 【分析】根据直径的定义对①进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对①①进行判断；根据圆周角定理对①进行判断；根据垂径定理对①进行判断；根据三角形外接圆的定义对①进行判断． 【详解】解：①直径是圆中最长的弦；故①正确，符合题意；①能够重合的弧叫做等弧，等弧所对的弦相等；故①正确，符合题意； ①圆中90°的圆周角所对的弦是直径；故①错误，不符合题意；①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故①错误，不符合题意； ①平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦；故①错误，不符合题意； ①任意三角形一定有一个外接圆；故①正确，符合题意； 其中正确的有①①①， 故选：B ．6．（2022·厦门海沧实验中学九年级开学考试）四边形ABCD 中，ACD △是边长为6的等边三角形，ABC 是以AC 为斜边的直角三角形，则对角线BD 的长的取值范围是（ ） A ．33BD <≤+B ．36BD << C ．63BD <≤+D ．3BD <≤【答案】C 【分析】由①ABC 是以AC 为斜边的直角三角形可知点B 在以AC 为直径的圆上，然后结合点到圆上点的距离求出对角线BD 长度的取值范围． 【详解】①①ABC 是以AC 为斜边的直角三角形， ①点B 在以AC 为直径的圆上，如图中①O ，连接OD 并延长，交①O 于点E 和点B ，①等边①ACD的边长为6，①AC=BE=6，OB=OE=OA=OC=3，OD①AC，①①COD=90°，①OD=2222CD OC-=-=，6333①BD=OD+OB=333+，△是边长为6的等边三角形，ACD当B与,A C重合时，BD最小6=①对角线BD的长度的取值范围为6＜BD≤333+．故选：C．7．（2022·河南九年级期末）如图，在ABC∠=︒，30Rt△中，90ACB∠=︒，3ABCAB=，将ABCRt△绕直角顶点C顺时针旋转，当点A的对应点A'落在AB边上时，停止转动，则点B经过的路径长为__．3【分析】首先根据勾股定理计算出BC 长，再根据等边三角形的判定和性质计算出60ACA ∠'=，进而可得60BCB ∠'=，然后再根据弧长公式可得答案．【详解】解：30B ∠=，3AB =，①ACB=90° ①1322AC AB ==，60A ∠=，①22332BC AB AC =-=AC A C ='，AA C ∴'是等边三角形， 60ACA ∴∠'=，60BCB ∴∠'=，∴弧长3360321802l ππ⋅⋅==， 故答案为：32π． 8．（2022·河南九年级期末）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，以AC 为直径做半圆交AB 于点D ，若1BC =，则图中阴影部分的面积为__．3π+【分析】连接OD ，CD ，根据圆周角定理得到90ADC ∠=︒，解直角三角形求得AC =CD OC OD =，32AD =，60COD ∠=︒，然后根据扇形的面积和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接OD ，CD ，在ABC 中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒， ①9030A B ∠=︒-∠=︒， 又①1BC =， ①22BA BC ==，①AC =AC 为O 的直径，90ADC ∴∠=︒，12OA AC =，又①30A ∠=︒，12CD AC ∴==①32AD ， ①30A ∠=︒，260COD A ︒∴∠=∠=，∴阴影部分的面积()()ABC AOD AOD COD COD S S S S S S ∆∆=++--+△半圆扇形扇形 122ABC ACD COD S S S S ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭△△半圆扇形22601111321222360222ππ⎛⋅ =⨯⋅-+⨯⨯⎪⎝⎭38π+=， 故答案为：38π+．9．（2022·河南九年级期末）如图，在ABC 中，AB BC =，以AB 为直径的①O 交BC 于点D ，交AC 于点F ，过点C 作//CE AB ，且CAD CAE ∠=∠． （1）求证：AE 是①O 的切线； （2）若5AB =，4=AD ，求CE 的长．【答案】（1）见解析；（2）2 【分析】（1）利用平行线的性质，圆的性质和等腰三角形的性质，证明AEC △和ADC 全等即可得到结论；（2）由勾股定理求出2CD =，根据全等三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）证明：AB BC =，BAC BCA ∴∠=∠，//CE AB ，BAC ACE ∴∠=∠，ACB ACE ∴∠=∠，在AEC △和ADC 中，CAD CAE AC ACACB ACE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ADC AEC ASA ∴≅△△，ADC E ∴∠=∠， AB 是O 的直径，90ADB ADC ∴∠=∠=︒，90E ∴∠=︒，//AB CE ，180BAE E ∴∠+∠=︒，90BAE ∴∠=︒，AE ∴是O 的切线；（2）解：90ADB ∠=︒，5AB =，4=AD ，3BD ∴==，532CD BC BD ∴=-=-=，①ADC AEC ≅△△，2CE CD ∴==．10．（2022·安庆市第四中学九年级）如图，①O 是①ABC 的外接圆，FH 是①O 的切线，切点为F ，FH ①BC ，连结AF 交BC 于E ，①ABC 的平分线BD 交AF 于D ，连结BF ．（1）求证：AF平分①BAC；（2）若EF＝4，DE＝3，求AD的长．【答案】（1）证明见详解；（2）AD =214．【分析】（1）连结OF，由FH是①O的切线，可得OF①FH，由FH∥BC，可得OF垂直平分BC，根据垂径定理可得BF FC=，根据圆周角性质可得①1=①2即可；（2）根据①ABC的平分线BD，可得①4=①3，可证①FDB=①FBD，可得BF=FD，再证①BFE①①AFB，根据性质可得BF AFFE BF=，再求BF=DF= 7，可求494FA=，即可求AD．【详解】（1）证明：连结OF，①FH是①O的切线，①OF①FH，①FH∥BC，①OF垂直平分BC，①BF FC=，①①1=①2，①AF平分①BAC，（2）解①①ABC 的平分线BD 交AF 于D ， ①①4=①3，①1=①2，①①1+①4=①2+①3，①①5=①2，①①1+①4=①5+①3 ，①①FDB =①FBD ，①BF =FD ，在①BFE 和①AFB 中，①①5=①2=①1，①AFB =①EFB ， ①①BFE ①①AFB ， ①BF AF FE BF=， ①2BF FE FA =⋅， ①2BF FA FE= ， ①BF =DF =EF +DE =7，①274944FA ==， ①AD=AF -DF =4974-=214．。