定义域和值域

定义域、解析式、值域方法总结（一）定义域：1. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域） 相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)2. 求函数的定义域有哪些常见类型？()()例：函数的定义域是y x x x =--432lg ()()()（答：，，，）022334函数定义域求法：● 分式中的分母不为零；● 偶次方根下的数（或式）大于或等于零；● 指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。

●正切函数x y tan = ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠∈Z ππk k x R x ,2,且 ●反三角函数的定义域 ● 函数y ＝arcsinx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是，函数y ＝arccosx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ，函数y ＝arctgx 的定义域是 R ，值域是.，函数y ＝arcctgx 的定义域是R ，值域是 (0, π) .当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。

3. 如何求复合函数的定义域？[]的定，则函数，，的定义域是如：函数)()()(0)(x f x f x F a b b a x f -+=>-> 义域是_____________。

[]（答：，）a a -复合函数定义域的求法：已知)(x f y =的定义域为[]n m ,，求[])(x g f y =的定义域，可由n x g m ≤≤)(解出x 的范围，即为[])(x g f y =的定义域。

例 若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域为 。

分析：由函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21可知：221≤≤x ；所以)(log 2x f y =中有2log 212≤≤x 。

解：依题意知： 2log 212≤≤x 解之，得 42≤≤x∴ )(log 2x f 的定义域为{}42|≤≤x x 二．函数解析式求法一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。

但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。

例2 已知221)1(x x xx f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x 2)(2-=∴x x f )2(≥x三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。

与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t xxxxf2)1(+=+∴,1)1(2)1()(22-=-+-=ttttf1)(2-=∴xxf)1(≥xxxxxf21)1()1(22+=-+=+∴)0(≥x四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。

例4已知：函数)(2xgyxxy=+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(xg的解析式解：设),(yxM为)(xgy=上任一点，且),(yxM'''为),(yxM关于点)3,2(-的对称点则⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'3222yyxx，解得：⎩⎨⎧-='--='yyxx64，点),(yxM'''在)(xgy=上xxy'+'='∴2把⎩⎨⎧-='--='yyxx64代入得：)4()4(62--+--=-xxy整理得672---=xxy∴67)(2---=xxxg五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

例5设,)1(2)()(xxfxfxf=-满足求)(xf解 xxfxf=-)1(2)(①显然,0≠x将x换成x1，得：xxfxf1)(2)1(=-②解①②联立的方程组，得：xxxf323)(--=例6 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式解 )(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数， )()(),()(x g x g x f x f -=-=-∴又11)()(-=+x x g x f ① ， 用x -替换x 得：11)()(+-=-+-x x g x f 即11)()(+-=-x x g x f ② 解① ②联立的方程组，得11)(2-=x x f ， xx x g -=21)( 六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

例7 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f 解对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，不妨令0x =，则有1)1(1)1()0()(2+-=-+=+--=-y y y y y y f y f再令 x y =- 得函数解析式为：1)(2++=x x x f 七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。

例8 设)(x f 是定义在+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f解 +∈-+=+N b a ab b a f b f a f ,)()()(，，∴不妨令1,==b x a ，得：x x f f x f -+=+)1()1()(，又1)()1(,1)1(+=-+=x x f x f f 故 ①分别令①式中的1,21x n =- 得：(2)(1)2,(3)(2)3,()(1),f f f f f n f n n -=-=--=将上述各式相加得：n f n f ++=-32)1()(，2)1(321)(+=+++=∴n n n n f +∈+=∴N x x x x f ,2121)(2 （二）：函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例 求函数y=x1的值域 y=3+√(2－3x) 的值域 2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例、求函数y=2x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。

求函数y=√(－2x +x+2)的值域3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域下面，我把这一类型的详细写出来，希望你能够看懂.112..22222222b a y 型：直接用不等式性质k+x bx b. y 型,先化简，再用均值不等式x mx nx 1 例：y 1+x x+xx m x n c y 型 通常用判别式x mx nx mx n d. y 型 x n法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉x x 1（x+1）（x+1）+1 1 例：y （x+1）1211x 1x 1x 1==++==≤''++=++++=+++-===+-≥-=+++4、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例 求函数y=6543++x x 值域。

5、函数单调性法通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容例求函数y=+-25x log 31-x （2≤x ≤10）的值域 求函数y=4x －√1-3x(x≤1/3)的值域6、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 。

以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。

函数公式模型。

换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数值域中同样发挥作用。

例 求函数y=x+1-x 的值域。

y=x-3+√2x+17 、不等式法利用基本不等式a+b ≥2ab ，a+b+c ≥3abc 3（a ，b ，c ∈R +），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例：33()13()32x (3-2x)(0<x<1.5)x x+3-2x =x x (3-2x) (应用公式abc 时，应注意使3者之和变成常数）a b c +⋅⋅≤=++≤ 多种方法综合运用 总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

2(0)113322x =x (应用公式a+b+c 者的乘积变成常数）x x x x +>++≥=≥。