2012届高三数学复习课件(广东文)第7章第2节__平面向量的数量积
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平面向量的数量积PPT课件
运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
2012届高三数学复习课件(广东文)第7章第2节平面向量的数量积
解析：1因为agb agc，所以 a b cos a c cos
(其中、分别为a与b、a与c的夹角).因为 a 0， 所以 b cos c cos.因为cos与cos不一定相等，
所以 b 与 c 不一定相等，所以b与c也不一定相等．
所以1 不正确．
2若agb agc，则 a b cos a c cos (a、b分别
2 .
1
uuur uuur uuur uuur 因为BC//DA，AC BD，
则四边形ABCD为对角线互相垂直的梯形．
当
x
y
6时，uAuCur 3
0,
uuur
4，BD
8,
0．
此时，S四边形 ABCD
1| 2
uuur AC
uuur |g| BD
| 16；
当时
x y
2
uuur ，AC
1
8,
uuur
uuuur
uuur
则a 2, 0, b 0,1, AN 1,1, MC 1,1, BN 1,1，
uuur
AC 2,1, a 3b (2， 3), a 2b 2, 2, a b (2, )．
uuur uuuur
1 证明：因为AN MC 1,1，所以与共线．
uuur uuur
uuur
0，BD
(0，
4)．
此时，S四边形 ABCD
1 g| 2
uuur AC
|g|
uuur BD
| 16.
1.两向量的夹角:如图,AOB (0 180)叫做
向量a与b的夹角．
当 0时,a与b同向;当 180时,a与b反向； 当 90时,a与b垂直,记作a b.
由PA和PB不共线，得1 a (3 2a) (1 2a) 3 a，
高三一轮复习课件平面向量的数量积15页PPT
|a|2＝x21+y21，|a|＝√x21+y21，a⊥b <=>x1x2+y1y2＝0
(2) coθs
x1x2y1y2 x12y12 x22y22
(3)设a起点(x1，y1)，终点(x2，y2)则
ax1-x22y1-y22
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课前热身
1.若向量a、b的坐标满足a+b=(-2,-1),a-b=(4,-3)，则
3. 如 图 ， P 是 正 方 形 ABCD 的 对 角 线 BD 上 一 点 ， PECF是矩形，用向量法证明：
(1)PA＝EF；(2)PA⊥EF.
【解题回顾】本题中，通过建
立恰当的坐标系，赋予几何图
形有关点与向量具体的坐标，将有关几何问题转化
为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解 决.应深刻领悟到其中的形数结合思想.此外，题中 坐标系建立的恰当与否很重要，它关系到运算的繁
的面积
1 SΔ2
ab2ab2
(2)若CA＝(a1，a2 )，CB＝(b1，b2 )，求证：△ABC
的面积
SΔ
1 2a1b2a2b1
【解题回顾】(1)是用数量积给出的三角形面积公式， (2)则是用向量坐标给出的三角形面积公式.
返回
误解分析
1．数量积作为向量的一种特殊运算，其运算律中
结 合 律 及 消 去 律 不 成 立 ， 即 a·(b·c)≠(a·b)·c ， a·b ＝ a·c不能推出b＝c，除非是零向量.
2．a⊥b的充要条件不能与a∥b的充要条件混淆， 夹角的范围是[0，π]，不能记错.求模时不要忘了开 方，以上是造成不全对的主要原因.
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36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
高三复习课平面向量的数量积课件
忽视向量夹角
总结词
在计算平面向量的数量积时，学生常常会忽视向量夹角的影响。
详细描述
向量夹角是计算数量积的重要因素之一，夹角余弦值直接影响着数量积的结果。 如果学生忽视了夹角，就会导致计算结果不准确。因此，在计算数量积时，学生 需要特别注意夹角的取值范围和符号。
忽视向量模长的影响
总结词
在计算平面向量的数量积时，学生常常会忽视向量模长的影响。
公式
数量积的公式为 $|vec{a} cdot vec{b}| = |vec{a}| times |vec{b}| times |cos theta|$，其中 $theta$ 是向量 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 之间的夹角。
几何意义
几何意义
平面向量的数量积表示向量 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 在垂直方向上 的投影的模长之积。
02
平面向量的数量积运算
线性运算
线性运算包括加法、 数乘和向量的线性组 合等基本运算。
线性运算的性质包括 向量共线定理、向量 模的性质等。
向量加法满足交换律 和结合律，数乘满足 分配律。
数量积的坐标表示
数量积的坐标表示是通过向量的坐标来计算两个向量的数量积。
设向量$overset{longrightarrow}{a} = (x_{1},y_{1})$，$overset{longrightarrow}{b} = (x_{2},y_{2})$，则$overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}$。
高三复习课平面向量的数量积课 件
contents
目录
高三数学课件：平面向量的数量积
平面向量的数量积• (1) d 与b 的夹角： 共同的起点• (3)向量垂直:A O B知识梳理:• 1、平面向量的数量积• (2) 向量夹角的范围: [0° , 180°]tBO A —►4 ・(4)两个非零向量的数量积：a •b = \a\ \b\ cos0•规定：零向量与任一向量的数量积为o 几何意义：数量积―方等于Q的长度1创与〃在a的方向上的投影161 cos0的乘积。
o2、平面向量数量积的重要性质日方为非零向量，e为单位向量•(1) e・ a = a • e = \ a / cosO•(2)日丄〃的充要条件是a - b=0•(3)当日与〃同向时，曰・b = \a / I b I ；•当a与b反向时，a • b = - \a I lb 特别地：a・a=! a ] 2或(4) cosO= (5) \ \< \ a / / b 3、平面向量的数量积满足的运算率（1）（交换律）a・b = b・a（2）（实数与向量结合律）（入 a ）• b =2 （a ・b ） =a ・（lb ）（3）（分配律）Ca + b丿・c =a・c + b・二、基础练习1、判断下列命题的真假・(1)平面向量的数量积可以比较大小・(2)因为直线的夹角范围为[0。
，90°],所以向量的夹角范围也为[0。
，90°]o(3)已知方为非零向量因为0Xa =0,。
•方=0,所以a = 0 •(4)对于任意向量a、b、c,者B有。
力・c = a・Cb・c) 2已知丨曰/ =12,丨方/=9, a • b =-54~2,求曰和b 的^SftnAABC中，a =5, b =8, 060。
，求PC • G44、已知\ a I =8, e是单位向量，当它们之间的夹角为典型例题例1、已知（曰-方）丄（a+ 3b）,求证：解：•・•（/力巾上冠2 §由）I(a - /?) - (a + 3 b) =0即a ' a + 3 a' b _ b • a- 3 b ' b =0即a - a + 2a' b- 3 b • b =0•I (a + b)2 = 4 b2即/ a + b I2 = 4 I b I2*./ a + b I = 2 I b I例2、已知/脚是非零向量，Ma + 3 b 与7日一5方垂直，a-4b与7a-2確直，求日与方的夹角。
【把握高考】高三数学最新专题课件 第七章 7.3《平面向量的数量积》人教版必修
所以 cos θ＝ |aa·|b·|b|＝12|bb|22＝12，所以 θ＝60°.
第七章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
【即时巩固3】 设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，
|a＋b|＝|c|，则〈a，b〉＝
()
A．150° B．120° C．60° D．30°
解析：由|a＋b|＝|c|，两边平方得： a2＋2a·b＋b2＝c2，
→→ D.P1P2·P1P6
第七章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
解析：利用向量数量积P→1P2·P→1Pi(i＝1,2,3,4,5,6)的几何意 义：数量积P→1P2·P→1Pi等于P→1P2的长度|P→1P2|与P→1Pi在P→1P2的方向 上的投影|P1Pi|cos〈P→1P2，P→1Pi〉的乘积，显然由图可知P→1P3在 P→1P2方向上的投影最大，故选 A.
第七章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第七章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
1．已知两个非零向量 a 与 b，过 O 点作O→A＝a，O→B＝b.设 ∠AOB＝θ，则 θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．其中 θ 的取值范 围为_0_°___≤_θ_≤__1_8_0_°_. 当θ＝90°时，a与b垂直，记作_a_⊥__b_；当θ＝0°时，a与 b_同__向__；当θ＝180°时，a与b_反__向__． 2．已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则把数量 |a|·|b|·cos θ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b＝ _|a_|_|b_|_co_s__θ_. 3．规定：0·a＝_0_.
第七章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
解析：
→ AB →
＋
→ AC →
·B→C＝0，说明∠BAC
2025年高考数学一轮复习 第七章 -第三节 平面向量的数量积【课件】
2.平行四边形模式:
如图，在平行四边形中, ⋅ =
1
(
4
2
2
− ).
1
2 .
4
自测诊断
1.已知向量 = 2,1 ， = 1,2 ，则 ⋅ =( B )
A.2
B.4
C.−2
D.−4
[解析] 因为 = , ， = , ，所以 ⋅ = × + × = .故选B.
知识拓展
一、数量积的有关结论
1. ±
2
= 2 ± 2 ⋅ + 2 .
2. + ⋅ − = 2 − 2 .
3.2 + 2 = 0 ⇔ = 且 = .
二、极化恒等式
1.极化恒等式的三角形模式:
2
如图，在△ 中，为的中点，则有 ⋅ = −
= π 时，与______；如
同向
反向
π
⊥
果与的夹角是 ，那么我们说与垂直，记作______.
2
（3）向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为 ，我们把数量
cos
cos 叫作向量与的数量积（或内积），记作 ⋅ ，即 ⋅ =___________.规
A. 2
C.2 3
B.2
D.4
[解析] 因为 = ， = ， ⋅ = ，
所以 − =
−
=
+ − ⋅ = + − = .故选B.
4.已知 = 6， = 3，向量在方向上的投影向量是4，则 ⋅ 为( A )
A.12
2.在△ 中， = 5， = 2，∠ = 60∘ ，则 ⋅ 的值为(
【把握高考】高三数学最新专题课件 第七章7.3《平面向量的数量积》(文数)人教版必修
1．因为向量以下三点要特别注意：
(1)当a≠0时，a·b＝0不能推出b一定是零向量．这是 因为任一与a垂直的非零向量b，都满足a·b＝0.
(2)由a·b＝b·c不能推出a＝c，即等式两边都是数量 积时，其公因式不能约去．这是因为原等式左右两边均 是实数，是一个实数等式，而a＝c是一个向量等式，所 以两者不等价．
第七章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
(即时巩固详解为教师用书独有)
考点一 平面向量的数量积及运算律
【案例1】 设a、b、c是任意的非零向量，且互不
共线．已知下列命题：①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；②|a|－
|b|<|a－b|；③(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a
答案：C
第七章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
3．已知a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝(2,3)，则a·( b·c) ＝________，(a·b)·c＝________.
解析：a·(b·c)＝a·(4×2＋6×3)＝26a＝26(1，－3)＝ (26，－78)，(a·b)·c＝(1×4－3×6)·(2,3)＝(－14)×(2,3)＝ (－28，－42)．
答案：(26，－78) (－28，－42) 4．若b＝(1,1)，a·b＝2，(a－b)2＝3，则|a|＝_______. 解析：因为(a－b)2＝3，展开得|a|2－2a·b＋|b|2＝3， 又|b|＝ 12＋12＝ 2，所以|a|2－2×2＋2＝3， 所以|a|＝ 5. 答案： 5
第七章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
＝2cos
x－122－32，
又因为 cos x∈12，1，
所以当 cos x＝12时，f(x)min＝－32；
(1)当a≠0时，a·b＝0不能推出b一定是零向量．这是 因为任一与a垂直的非零向量b，都满足a·b＝0.
(2)由a·b＝b·c不能推出a＝c，即等式两边都是数量 积时，其公因式不能约去．这是因为原等式左右两边均 是实数，是一个实数等式，而a＝c是一个向量等式，所 以两者不等价．
第七章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
(即时巩固详解为教师用书独有)
考点一 平面向量的数量积及运算律
【案例1】 设a、b、c是任意的非零向量，且互不
共线．已知下列命题：①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；②|a|－
|b|<|a－b|；③(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a
答案：C
第七章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
3．已知a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝(2,3)，则a·( b·c) ＝________，(a·b)·c＝________.
解析：a·(b·c)＝a·(4×2＋6×3)＝26a＝26(1，－3)＝ (26，－78)，(a·b)·c＝(1×4－3×6)·(2,3)＝(－14)×(2,3)＝ (－28，－42)．
答案：(26，－78) (－28，－42) 4．若b＝(1,1)，a·b＝2，(a－b)2＝3，则|a|＝_______. 解析：因为(a－b)2＝3，展开得|a|2－2a·b＋|b|2＝3， 又|b|＝ 12＋12＝ 2，所以|a|2－2×2＋2＝3， 所以|a|＝ 5. 答案： 5
第七章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
＝2cos
x－122－32，
又因为 cos x∈12，1，
所以当 cos x＝12时，f(x)min＝－32；
人教B版高考总复习一轮数学精品课件 第7章平面向量、复数 第3节平面向量的数量积
解 由 a·
b=|a||b|cos θ,得 cos
·
θ=
||||
=
-54 2
2
=- .因为
12×9
2
θ∈[0,π],所以
3π
θ= .
4
7.(人教A版必修第二册6.2.4节例12)已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,求
(a+2b)·(a-3b).
解 (a+2b)·
(a-3b)=a·
交换律
(a+b)·c=a·c+b·c
分配律
数乘结合律
(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数)
微点拨向量的数量积运算不满足结合律和消去律,即:(1)(a·b)c不一定等于
a(b·c);(2)a·b=a·c(a≠0)不能推出b=c.
1
+ 2 - 2
2
2
9.极化恒等式:a·b=4[(a+b) -(a-b) ]=( 2 ) -( 2 ) .特别地,在△ABC 中,若
=| || |cos∠DEC= 5 × 5 ×
=
5+5-4
2× 5× 5
=
3
,所以
5
·
3
=3.
5
(方法三)以点 A 为原点建立如图所示平面直角坐标系,则 D(0,2),C(2,2), E(1,0),
则 =(1,2), =(-1,2),所以 · =1×(-1)+2×2=3.故选 B.
(2)向量在向量上的投影
给定平面上的一个 非零
向量b,设b所在的直线为l,则a在 直线l
上的
投影称为a在向量b上的投影.
(3)投影的数量
一般地,如果a,b都是非零向量,则称
b=|a||b|cos θ,得 cos
·
θ=
||||
=
-54 2
2
=- .因为
12×9
2
θ∈[0,π],所以
3π
θ= .
4
7.(人教A版必修第二册6.2.4节例12)已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,求
(a+2b)·(a-3b).
解 (a+2b)·
(a-3b)=a·
交换律
(a+b)·c=a·c+b·c
分配律
数乘结合律
(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数)
微点拨向量的数量积运算不满足结合律和消去律,即:(1)(a·b)c不一定等于
a(b·c);(2)a·b=a·c(a≠0)不能推出b=c.
1
+ 2 - 2
2
2
9.极化恒等式:a·b=4[(a+b) -(a-b) ]=( 2 ) -( 2 ) .特别地,在△ABC 中,若
=| || |cos∠DEC= 5 × 5 ×
=
5+5-4
2× 5× 5
=
3
,所以
5
·
3
=3.
5
(方法三)以点 A 为原点建立如图所示平面直角坐标系,则 D(0,2),C(2,2), E(1,0),
则 =(1,2), =(-1,2),所以 · =1×(-1)+2×2=3.故选 B.
(2)向量在向量上的投影
给定平面上的一个 非零
向量b,设b所在的直线为l,则a在 直线l
上的
投影称为a在向量b上的投影.
(3)投影的数量
一般地,如果a,b都是非零向量,则称
高考数学(文)一轮复习课件：4.3 平面向量的数量积(广东专版)
高 考 体 验 · 明 考 情
课 时 知 能 训 练
新课标 ·数学（文）(广东专用)
思想方法之七 数形结合在向量数量积计算中的应用
自 主
(2011·大纲全国卷)设向量 a，b，c 满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－12，
高 考
落
体
实
验
· 〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值等于( )
·
固
明
考 体 验
·
·
固
基 围是________．
明 考
础
情
【解析】 由题意知 S＝|α||β|sin θ＝12≤sin θ，
典 例 探
∵θ∈[0，π]，∴θ∈[π6，56π]．
课 时
究
知
· 提 知
【答案】 [π6，56π]
能 训
练
能
菜单
新课标 ·数学（文）(广东专用)
自
高
主
考
落 实
(1)若 a＝(3，－4)，b＝(2,1)，则(a－2b)·(2a＋3b)＝________.
高 考
落
体
实 ·
＝ 3A→D＋(1－ 3)A→B.
验 ·
固
基 础
又 AD⊥AB，|A→D|＝1.
明 考 情
∴A→C·A→D＝ 3A→D2＋(1－ 3)A→B·A→D＝ 3.
(2)∵b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，
典 例
则 b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e21－2e1·e2－8e22，
例 探 究
又|A→B|＝|A→C|＝1，且〈A→B，A→C〉＝π3.
课 时 知
· 提 知
∴A→D·B→E＝13－12－16|A→B||A→C|cos π3＝－14.
课 时 知 能 训 练
新课标 ·数学（文）(广东专用)
思想方法之七 数形结合在向量数量积计算中的应用
自 主
(2011·大纲全国卷)设向量 a，b，c 满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－12，
高 考
落
体
实
验
· 〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值等于( )
·
固
明
考 体 验
·
·
固
基 围是________．
明 考
础
情
【解析】 由题意知 S＝|α||β|sin θ＝12≤sin θ，
典 例 探
∵θ∈[0，π]，∴θ∈[π6，56π]．
课 时
究
知
· 提 知
【答案】 [π6，56π]
能 训
练
能
菜单
新课标 ·数学（文）(广东专用)
自
高
主
考
落 实
(1)若 a＝(3，－4)，b＝(2,1)，则(a－2b)·(2a＋3b)＝________.
高 考
落
体
实 ·
＝ 3A→D＋(1－ 3)A→B.
验 ·
固
基 础
又 AD⊥AB，|A→D|＝1.
明 考 情
∴A→C·A→D＝ 3A→D2＋(1－ 3)A→B·A→D＝ 3.
(2)∵b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，
典 例
则 b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e21－2e1·e2－8e22，
例 探 究
又|A→B|＝|A→C|＝1，且〈A→B，A→C〉＝π3.
课 时 知
· 提 知
∴A→D·B→E＝13－12－16|A→B||A→C|cos π3＝－14.
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解析： 因为a b a c，所以 a b cos a c cos 1 (其中、 分别为a与b、a与c的夹角).因为 a 0， 所以 b cos c cos .因为cos 与cos 不一定相等， 所以 b 与 c 不一定相等，所以b与c也不一定相等． 所以 1 不正确．
2 若a b a c，则 a
b cos a c cos (a、b分别
为a与b、a与c的夹角).所以 a ( b cos c cos ) 0， 所以 a 0或 b cos c cos . 当b c时， cos 与 c cos 可能相等.所以 2 不正确． b
向量的平行与垂直
例3：如图,在矩形ABCD中, a AB, b AD, M 、N 分 别是AB、CD的中点，AB | 2，AD | 1. | | AN 1 求证： 与MC共线； AN 2 求证： BN；
3
1 3 3 3由 2 知k f t t t， 4 4 3 2 3 3 则k f t t t 1 t 1 . 4 4 4 令k ＜0，得 1＜t＜;令k ＞0,得t＜ 1或t＞1. 1 故k f t 的单调递减区间是 1,1 ,单调递增区间 是(， 1)和(1， )．
解析：因为 a 6， 4，且a与b的夹角 为60， b 1 所以a a b cos 6 4 12， b 2 所以 a b a 2a b b 36 24 16 76，
2 2 2
a 3b a 2 6a b 9b 2 36 72 144 108，
又 PAPB 1 a 3 a (1 2a )(3 2a ) 5a 2 10a， 故由5a 2 10a 0，得0 a 2； 由PA和PB不共线，得 1 a (3 2a ) (1 2a ) 3 a ， 解得a 1.即PA与PB的夹角为钝角的充要条件是 "0 a 1或1 a 2"．
2.设向量a 2, 0 ,b 1,1 ,则下列结论中正确的是 D A． b a B.a b 2 C.a //b D.a b与b垂直
解析：因为a b (1， 1)，则 a b b 1 1 0， 故 a b b.
拓展练习3： a、b、c是同一个平面内的三个向量，其 已知 中a 1, 2 ．
1 若 c
2 5，且c //a，求c的坐标；
5 2 若 b ，且a 2b与2a b垂直，求a与b的夹角 . 2
解析： 设c ( x，y )．因为 c 2 5， 1 所以 x 2 y 2 2 5，所以x 2 y 2 20. 因为c //a，a 1, 2 ，所以2x y 0，即y 2x.
5 5 得2 5 3a b 2 0，所以a b . 4 2 5 因为 a 5， b ， 2 5 a b 2 1. 所以 cos | a | b | | 5 5 2 因为 [0， ]，所以 .
综合应用
2 若存在实数k和t，使x a t 2 3 b，y ka tb， 且x y，试求函数关系式k f t ； 3 根据 2 的结论，确定k f t 的单调区间．
1 3 方法2：因为a ( 3， 1),b ( ， )， 2 2 所以 a 2， 1且a b. b 因为x y，所以x y 0，即 k a t t 3 b 0，
2 2 2
1 3 3 所以t 3t 4k 0，即k t t. 4 4
3 (a b)c ( a
b cos )c，a (bc ) a b c cos (其中
a、 分别为a与b、b与c的夹角)． b)c是与c共线的向量， (a a (bc )是与a共线的向量.所以 3 不正确．4 正确．
反思小结：判断上述问题的关键是掌握向量的 数量积的含义．向量的数量积的运算律不同于 实数乘法的运算律．例如，由a b 0并不能得 出a 0或b 0.特别是向量的数量积不满足结合 律，即(a b) c a (b c )．
3 3 解析： 证明：因为a b 0，所以a b. 1 2 2
1 3 例4：已知平面向量a ( 3， 1),b ( ， )． 2 2 1 证明：a b；
t 2 2 3 3 3t 2 3 3 2 ， )， 2 方法1：由题意知x ( 2 2 1 3 y ( t 3k， t k )．又x y， 2 2 t2 2 3 3 1 3t 2 3 3 2 3 故xy ( t 3k ) ( t k ) 2 2 2 2 1 3 3 3 0，整理得t 3t 4k 0，即k t t. 4 4
拓展练习2：已知直线y 2x上一点P的横坐标为a,有两 个点A 1,1 ,B 3,3 ,求使向量 PA与PB的夹角为钝角的 充分必要的条件．
解析：因为点P在直线y 2 x上, 所以点P的坐标为(a, 2a)， 则PA (1 a,1 2a), (3 a,3 2a).向量 PA与PB的 PB 夹角为钝角的充要条件是 PAPB 0，并且P,A,B三点不 共线．
1 2 1.已知向量a (sin， )的模为 ，则cos2 等于 D 2 2 1 1 1 1 A. B． C． D. 4 4 2 2
2
1 1 1 2 解析：由条件知，sin ，所以sin ， 4 2 4 1 1 2 所以cos2 1 2sin 1 . 2 2
反思小结：用向量处理角通常有两大题型： 一是求角的值，此时要注意角的取值范围； 二是利用向量处理ABC的内角． 角A是直角的充要条件是 ABAC 0； 角A是锐角的充要条件是 ABAC 0； 角A是钝角的充要条件是 ABAC 0.
反思小结：向量的平行与垂直 R，且 0)，a b a b 0要牢记．另外，有关向量的问题能建立坐标 系求解的，往往优先考虑用坐标运算，会使题目变 得思路清晰易懂，但计算量有时会较大．本题也可 不用建系法，直接用几何法求解．而对于函数的最 值问题，要用函数的思想和数形结合法来解决．
向量的夹角
例2：已知ABC的三个内角分别为A,B, C ,向量 1 m sinB,1 cosB 与向量n 2, 0 的夹角的余弦值为 . 2 求角B的大小． 解析：因为m sinB,1 cosB ，n 2, 0 ，
m n 1 2sin B 1 所以cos m,n ，即 ， | m | n | 2 | 2 2 2 cos B 2 1 2 所以2cos B cosB 1 0，解得cosB 或cosB 1(舍)． 2 2 因为0 B ，所以B .
拓展练习1：如图,在边长为1的正六边形ABCDEF中,下 列向量的数量积中最大的是 A A. ABAC B. ABAD C. ABAE D. ABAF
3 解析： AC 1 3 cos30 , AB 2 ABAD 1 2 cos60 1， ABAE 0， AF 0. AB
2
所以 a b 2 19， 3b 6 3. a
向量数量积的概念
例1:判断下列各命题正确与否．
1 若a 0，a b a c，则b c； 2 若a b a c,则b c当且仅当a 0时成立； 3 (a b)c a (bc)对任意向量a、b、c都成立； 2 2 4 对任一向量a,有a a .
3 4
.若a b，则tan
4 3
.
3 解析：a //b 3cos 4sin tan ； 4 4 a b 3sin 4cos 0 tan . 3
5.已知向量a,b满足 a 6， 4,且a与b的夹角为60， b
2 则 a b 19 ； 3b 6 a 3 .
当2 x 3时,AP (2,x 2)；
当3 x 5时， 5 x,1； AP 当5 x 6时， 0, 6 x ． AP x [0, 2] 2 x 4 x (2,3] 所以 APAB . 10 - 2 x x (3,5] 0 x (5, 6] 故当APAB最大时， x 3,即P点在线段BC上． 2
3因为a 3b (2， 3)， 所以 | a 3b | 22 (3) 2 13.
4 因为向量a 2b与a b垂直， 所以 a 2b (a b) 2, 2 (2, ) 4 2 0，
得 2.
5 设P点从A点出发运动的路程为x,则： 当0 x 2时,AP x, 0 ；
3 求 | a 3b | 的值； 4 若向量a 2b与a b垂直, 求的值； 5 若点P从点A出发按逆时针方向沿矩形运动一周回到
A点, 试求当APAB取得最大值时点P的位置．
建立如图所示的直角坐标系． 则a 2, 0 , b 0,1 , AN 1,1 , MC 1,1 , BN 1,1， AC 2,1 , a 3b (2， 3), a 2b 2, 2 , a b (2, )． 1 证明：因为 AN MC 1,1，所以与共线． 2 证明：因为 AN BN 1,1 1,1 1 1 0， 所以 AN BN .
3.若 a 2sin 值为 A 3 A. 2
12
， 2cos b
,a与b的夹角为 ,则a 的 b 12 6 1 D. 2