《向量的分解和向量的坐标运算》习题

《向量的正交分解和向量的坐标运算》习题一、选择题1．(08·广东理)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝( )A.14a ＋12bB.23a ＋13bC.12a ＋14b D.13a ＋23b 2．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 是( )A ．梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形3．(08·湖南)设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直4．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AM →＝4MC →，P 为AD 的中点，则MP →＝( )A.45a ＋310b B.45a ＋1310b 5．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为( )A ．2B ．－2C ．2或－2D.6或－ 66．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是( ) A.23 B.43 C ．－3D ．07．(09·全国Ⅰ文)设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉＝( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°8．设a 、b 是不共线的两个非零向量，已知AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b .若A 、B 、D 三点共线，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－19．(2010·全国卷Ⅱ文，10)△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若C B →＝a ，C A →＝b ，|a|＝1，|b|＝2，则C D →＝( )A.13 a ＋23 bB.23 a ＋13b C.35 a ＋45b D.45 a ＋35b 10．(2010·合肥市)如图，△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则(x ，y )为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，12 二、填空题11．已知e 1、e 2是两个不共线的向量，而a ＝k 2e 1＋(1－52k )e 2与b ＝2e 1＋3e 2是两个共线向量，则实数k ＝________.12．如图所示，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为______．13．如图，E 是平行四边形ABCD 的边AD 上一点，且AE →＝14AD →，F 为BE 与AC 的交点．设AB →＝a ，BC →＝b ，若BF →＝kBE →，AF →＝hAC →，则k ＝________，h ＝________.三、解答题14．如图，已知△ABC 中，M 、N 、P 顺次是AB 的四等分点，CB →＝e 1，CA →＝e 2，试用e 1，e 2表示CM →、CN →、CP →.15．在▱ABCD 中，设边AB 、BC 、CD 的中点分别为E 、F 、G ，设DF 与AG 、EG 的交点分别为H 、K ，设AB →＝a ，BC →＝b ，试用a 、b 表示GK →、AH →.16．如图，在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC ＝BA ，在OB 上取点D ，使DB ＝13OB ，DC 与OA交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，DC →.17．已知OA →＝a ，OB →＝b ，且|a |＝|b |＝4，∠AOB ＝60°.(1)求|a ＋b |，|a －b |.(2)求a ＋b 与a 的夹角及a －b 与a 的夹角．18．在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b ，以a 、b 为基底表示OM →.参考答案:一、选择题 1．[答案] B[解析] 由E 是线段OD 的中点，∴BE →＝3ED →，由平行四边形ABCD ， ∴|AB ||DF |＝|EB ||ED |，∴|DF |＝13|AB | ∴AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋23CD →＝a ＋23(OD →－OC →)＝a ＋23(12b －12a )＝23a ＋13b .故选B. 2．[答案] A[解析] ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝a ＋2b －4a －b －5a －3b ＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →， ∴AD →∥BC →且|AD →|＝2|BC →|， 故四边形是梯形． 3．[答案] A[解析] AD →＋BE →＋CF →＝AB →＋BD →＋BC →＋CE →＋BF →－BC →＝AB →＋13BC →＋BC →－23AC →－13AB →－BC →＝23(AB→－AC →)＋13BC →＝23CB →＋13BC →＝－13BC →，故选A.4．[答案] C[解析] 如图，MP →＝AP →－AM →＝12AD →－45AC →＝12AD →－45(AB →＋BC →)＝12b －45(a ＋b ) ＝－45a －310b .5．[答案] C[解析] 以OA 、OB 为边作平行四边形OACB ，则由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|得，平行四边形OACB 为矩形，OA →⊥OB →.由图形易知直线y ＝－x ＋a 在y 轴上的截距为±2，所以选C.6．[答案] D[解析] ∵CD →＝AD →－AC →，DB →＝AB →－AD →.∴CD →＝AB →－DB →－AC →＝AB →－12CD →－AC →.∴32CD →＝AB →－AC →， ∴CD →＝23AB →－23AC →.又CD →＝rAB →＋sAC →，∴r ＝23，s ＝－23，∴r ＋s ＝0. 7．[答案] B[解析] ∵|a |＝|b |＝|c |≠0，且a ＋b ＝c∴如图所示就是符合题设条件的向量，易知OACB 是菱形，△OBC 和△OAC 都是等边三角形．∴〈a ，b 〉＝120°.8．[答案] D[解析] BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，AB →＝2a ＋p b ，由A 、B 、D 三点共线知，存在实数λ，使2a ＋p b ＝2λa －λb ，∵a 、b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝2p ＝－λ，∴p ＝－1.9．[答案] B[解析] 如图所示，由题设条件知∠1＝∠2，∴|BD ||DA |＝|CB ||CA |＝12， ∴BD →＝13BA →＝13(CA →－CB →)＝13b －13a ，∴CD →＝CB →＋BD →＝a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13b －13a ＝23a ＋13b .10．[答案] C[解析] 设CF →＝λCD →，∵E 、D 分别为AC 、AB 的中点，∴BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋12b ，BF →＝BC →＋CF →＝(b －a )＋λ(12a －b )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ－1a ＋(1－λ)b ， ∵BE →与BF →共线，∴12λ－1－1＝1－λ12，∴λ＝23，∴AF →＝AC →＋CF →＝b ＋23CD →＝b ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －b ＝13a ＋13b ，故x ＝13，y ＝13. 二、填空题11． [答案] －2或13[解析] 由题设知k 22＝1－52k 3，∴3k 2＋5k －2＝0.解得k ＝－2或13.12．[答案] 6[解析] 以OC 为对角线，OA 、OB 方向为边作平行四边形ODCE ，由已知∠COD ＝30°，∠COE ＝∠OCD ＝90°.在Rt△OCD 中，∵|OC →|＝2 3∴|OD →|＝|OC →|cos30°＝4，在Rt△OCE 中，|OE →|＝|OC →|·tan30°＝2， ∴OD →＝4OA →，OE →＝2OB →， 又OC →＝OD →＋OE →＝4OA →＋2OB →， 故λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6. 13．[答案] 45 15[解析] ∵AC →＝AB →＋BC →＝a ＋b ，∴AF →＝hAC →＝h a ＋h b ，BF →＝BA →＋AF →＝－a ＋h a ＋h b ＝(h －1)a ＋h b ，又BF →＝kBE →＝k (BA →＋AE →)＝k (－a ＋14b )＝－k a ＋k4b ，显然a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧h －1＝－kh ＝k 4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝45h ＝15.三、解答题14．[解析] CM →＝14e 1＋34e 2；CN →＝12e 1＋12e 2； CP →＝34e 1＋14e 2.15． [解析] 如图所示，GF →＝CF →－CG →＝－12b ＋12a ，因为K 为DF 的中点，所以GK →＝12(GD→＋GF →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a －12b ＋12a ＝－14b . DF →＝CF →－CD →＝－12b ＋a .因为A 、H 、G 三点共线，所以存在实数m ，使AH →＝mAG →＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ；又D 、H 、F 三点共线，所以存在实数n ，使DH →＝nDF →＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b因为AD →＋DH →＝AH →，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 2b ＋n a ＝m b ＋m 2a 因为a 、b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－n2＝m n ＝m2，解得m ＝45，即AH →＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ＝25(a ＋2b )．16．[分析] 将待求向量用已知向量、或与已知向量共线的向量、或能用已知向量表示的向量线性表示，逐步化去过渡的中间向量．如待求OC →，已知OA →、OB →，即知BA →，因为BC →可用BA →线性表示，故可用OB →和BC →来表示OC →. [解析] 因为A 是BC 的中点，所以OA →＝12(OB →＋OC →)，即OC →＝2OA →－OB →＝2a －b .DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b .17[解析] 如图，以OA →、OB →为邻边作平行四边形OACB ，∵|OA →|＝|OB →|＝4，∠AOB ＝60°， ∴四边形OACB 为菱形．(1)a ＋b ＝OA →＋OB →＝OC →，a －b ＝OA →－OB →＝BA →， ∴|a ＋b |＝|OC →|＝2|OD →|＝2×32×4＝43，|a －b |＝|BA →|＝4.(2)在△OAC 中，∠OAC ＝120°， ∴∠COA ＝∠OCA ＝30°，a ＋b 与a 所成的角，即∠COA ＝30°，a －b 与a 所成的角，即BA →与OA →所成的角，等于∠CBA＝60°.18．[分析] 显然a 、b 不共线，故可设OM →＝m a ＋n b ，由A 、M 、D 三点共线及B 、M 、C 三点共线利用向量共线条件求解．[解析] 设OM →＝m a ＋n b (m ，n ∈R )， 则AM →＝OM →－OA →＝(m －1)a ＋n b ， AD →＝OD →－OA →＝12b －a因为A 、M 、D 三点共线，所以m －1－1＝n12，即m ＋2n ＝1 又CM →＝OM →－OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝－14a ＋b ，因为C 、M 、B 三点共线，所以m －14－14＝n1，即4m ＋n ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n ＝14m ＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝17n ＝37，所以OM →＝17a ＋37b .。