第八章.ppt2000

x 0 x 0
( x x ) x ( x x ) x
dx dx dx dx x x x x x x
x 0 x 0
x 0 x 0
x x 0 x
dx dx dx dx x x x x x x x 0 x 0
y
x
1
2 k1 a2
a 1
k1
例题1
x1
y
x1
0 k2=1 0 1
x
1
k1=0.7 1
y
x1
x
x
0
y
例题2
已知系统微分方程为 2 c c sign ( c c ) 0 c 要求：1. 绘制系统结构图 2. 用描述函数法研究系统稳 定性及自振情况。
即 G ( j ) 1 / N ( A ) , G ( j ) 1 / N ( A )
z p - R 中的 R 这样求得：
作 G ( j ) 1 / N ( A )的射线，
R 为 G ( j ) 穿越该射线 1 / N ( A ) 以远的次数。
G1
y (t )
c(t )
G2 N
x(t )
G3
特征方程： 1+G1G2+G2G3N=0
x( t )
1
G 2G 3 1 G 1G 2
N 0
N
y(t )
G 2G 3 1 G 1G 2
c ( t ) 在哪里？
提醒：两个方块位置可随意放
等效变换1
等效变换2 y (t)
x ( t ) A sin t
h A
2
M
2
A h
-h h
N (h ) 0
N ( ) 0
起于–
终于–
在 h 2M
j
0
处回头
三位置继电特性
滞环继电特性
N(A )
4M A
1
h A
2
M
2
j
4 Mh A
2
2
-h h

1 N(A )

4M
A h j
2
h 4M
j
0
实从0 – , 虚部为常数
2
4
2

k ( A sin t ) sin td t
1 2


[ A sin
1 2
t sin t ] d t
1 2
sin td t (1 cos 2 t ) d t t sin t cos t
sin td t cos t

h 4 M
例题3
(16分)如图所示的非线性系统，
A2 3A 1
K ( s 1 )( s 4 )
C(s )
R( s ) 0
1
s
1．分析参数K对系统自由运动的影响； 2．若能产生自激振荡，试求使输出c处振幅为1时的振荡频率 和参数K的值。
10 不稳定(3分)，k 10 稳定(3分)， 振荡(3分)， 2 (3分)， k 20 (4分)
2 kA B1 [ arcsin 2 A A
sin / A, cos
A
1 ( / A)
2
1(
) ]
2
N(A )
B1 A
死区饱和非线性环节的描述函数
y k
△
y(t) ωt
y(t)
ψ 1ψ2
2
a
x
A x(t)
ψ1 2 ψ
2
ωt
ψ1 ψ2
A1 1

2 0
y ( t ) con td t
B1
1

2 0
y ( t ) sin td t
A1 B1
Y1
A
2 1
B
2 1
1 arctg
A 1 sin t
非线性环节
Y 1 sin ( t 1 )
描述函数的定义
X(t) = Asin ωt y(t) ≈ Y1sin(ωt+φ1)
y(t) x(t)
ψ πψ
y(t)
ωt
ωt
ψ π-ψ
A
y(t)=
x(t)
π
｛
k(x- △) x>△
0
k(x+△)
A0
B0
x <△ x<-△


1
1
2
y ( t ) cos 0 d t 0
y ( t ) sin 0 d t 0
0
2
2π ωt
0
x(t)=Asinωt
A1
k 60
k 60 自激
P不为0的情况
当 1 N(A )
当 1 N(A ) 不在实轴上时，
在实轴上时，
可由z=P-2N判断出稳定区； 要由z=P-R判断出稳定区。
N为ω从0～+∞变化时绘制的G(jω)曲线
R为ω从-∞～+∞变化时绘制的G(jω)曲线
求N或者R,可以用“包围”的概念，也可用“穿越”的 概念 下面举例说明
k 2 ( x1 2 )
k2( a2 2 )
0 x 1
a 2 x1
0 k1 ( x 1 ) 2 2 k1 ( x 1 ) a 2
x1 k1 ( x 1 )
a 2 k1 ( x 1 )
等效变换3
y ( t ) sin td t

0
4 k (Asin t) sin tdt + 4 2 k(a )sin tdt B1
2
sin td t (1 cos 2 t ) d t t sin t cos t
j

1 N(A )

A 4
-1/N(A)
-0.5
0
1
有自振存在

3
A
2
N(A )
3A 2 A 4

1 N(A )

A4 3A 2

1 N (0)
2
-2
-1/3
jIm Re
0

1 N ( )

1 3
几种-1/N(A)的绘制
N(A )
4M A
1
作 G ( j ) 1的射线，
N 为 G ( j ) 穿越 － 1 以远射线的次数。
用“穿越”求R
非线性系统中奈氏曲线与负倒描述函数曲线的交 点不一定在实轴上，所以应绘制 的开环幅相曲线，然后用z=p-R判断出稳定区域。
交点处 G ( j ) 1 / N ( A )
用“穿越”求R的例 题
Im G(jω) Re
1 N( A )
连接0-b并延长之， R为G(jω)穿越0b 以远的次数
c
M2
0
图中G(jω)逆时针 穿越0b以远一次， 所以R=+1
b
+
M1
a

h 4 M
Z=P-R=1-1=0
G(jω)包围的区域 为稳定区域
交点M1：-1/N(A)由不稳定区域穿入稳定区域，该点为稳定的周期运动 交点M2：-1/N(A)由稳定区域穿入不稳定区域，该点为不稳定的周期运动

1
2
y ( t ) cos td t 0
0
求B1
ψ π 2
π -Ψ
y(t)=
｛
2
k(x- △) x>△
0
k(x+△)
x <△ x<-△
B1


1
2
y ( t ) sin td t
0

4k
4
2

y ( t ) sin td t
2

[
a a 2 2 1 ( A) A 1 ( ) A A
A1=0
]
B1+jA1 B1 N(A)= A = A
22K KA a arcsin N(B1) arcsin A A A
[
a a 2 2 1 ( A) A 1 ( ) A A
]
r (t ) 0
解:1
c c 0时， sign ( c c ) 1 c c 0时， sign ( c c ) 1
2 c c c
2 c c c
1 0
1 0
1 1
cc 0
cc 0
cc 0 cc 0
2 1 2 1 2 1 2
sin td t cos t
sin 1 / A, cos 1 1 ( / A)
2
sin 2 a / A, cos 2
1 (a / A )
2
求N(A)
2KA a arcsin B1 arcsin A A
描述函数的定义
正弦输入时，非线性环节的输出为非正弦的周期函数，它可展成富氏级数： ∞ ∞
y(t)= A0+∑(Ancosnωt+Bnsin nωt) n=1
A0 1
= A0+∑Ynsin ( nωt+φn) n=1
2 n