医用高等数学3.1
医学高等数学课件 第3-1不定积分的第一类换元积分法
——第一类换元积分法
第一类换元法
定理. 公式
设 f (u) 有原函数 , u g(x)可导, 则有换元
f (u)du u g(x)
即
f [g(x)] g(x)dx f (g(x))d g(x)
(也称换元法 , 凑微分法)
例1.求 cos 5xdx
解:
cos 5xdx
)
ln(1 ex ) C
ln(1 ex ) ln[ex (ex 1)] 两法结果一样
例8. 求 sin2 xdx
解:
sin2
xdx
1
cos 2
2xdx
1dx 2
1 4
cos
2xd
(2x)
1 x 1 sin 2x C 24
sin3 xdx sin2 x sin xdx (1 cos2 x)d cos x
cos x 1 cos3 x C 3
例9.求 sec6xdx.
解: 原式 = (tan2 x 1)2dsetacn2 xdx
(tan4 x 2 tan2 x 1) dtan x
1 tan5 x 2 tan3 x tan x C
5
3
例10. 求
解: 原式 = sin 4 x cos2 x cos x dx sin 4 x(1 sin 2 x) d sin x
1. 真分式 P(x) (即n m) Q(x)
(1) Q(x)的因式(x a)n,
P(x) 可拆分为 A1
Q( x)
xa
(x
A2 a)2
(x
An a)n
;
(2) Q(x)的因式(x2 px q)n, ( p2 4q 0)
可拆分为 A1x B1 x2 px q
高等数学一习题3.1答案
习题3-11. 验证罗尔定理对函数y=ln sin x 在区间上的正确性.解因为y=ln sin x 在区间上连续, 在内可导, 且, 所以由罗尔定理知, 至少存在一点, 使得y(x)=cot x=0.由y(x)=cot x=0得.因此确有, 使y(x)=cot x=0.2. 验证拉格朗日中值定理对函数y=4x3-5x2x-2在区间[0, 1]上的正确性.解因为y=4x3-5x2x-2在区间[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 由拉格朗日中值定理知, 至少存在一点x(0, 1), 使.由y(x)=12x2-10x1=0得.因此确有, 使.3. 对函数f(x)=sin x及F(x)=x +cos x在区间上验证柯西中值定理的正确性.解因为f(x)=sin x及F(x)=x +cos x在区间上连续, 在可导, 且F(x)=1-sin x在内不为0, 所以由柯西中值定理知至少存在一点, 使得.令, 即.化简得. 易证, 所以在内有解, 即确实存在, 使得.4. 试证明对函数y=px2qxr应用拉格朗日中值定理时所求得的点总是位于区间的正中间.证明因为函数y=px2qxr在闭区间[a, b]上连续, 在开区间(a, b)内可导, 由拉格朗日中值定理, 至少存在一点x(a, b), 使得y(b)-y(a)=y(x)(b-a), 即(pb2qbr)-(pa2qar)=(2pxq)(b-a).化间上式得p(b-a)(ba)=2px (b-a),故.5. 不用求出函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)的导数,说明方程f (x)=0有几个实根, 并指出它们所在的区间.解由于f(x)在[1, 2]上连续, 在(1, 2)内可导, 且f(1)=f(2)=0, 所以由罗尔定理可知, 存在x1(1, 2), 使f (x1)=0. 同理存在x2(2, 3), 使f (x2)=0; 存在x 3(3, 4), 使f (x 3)=0. 显然x1,x2,x 3都是方程f (x)=0的根. 注意到方程f (x)=0是三次方程, 它至多能有三个实根, 现已发现它的三个实根, 故它们也就是方程f (x)=0的全部根.6. 证明恒等式: (-1x1).证明设f(x) arcsin xarccos x. 因为,所以f (x)C, 其中C是一常数.因此, 即.7. 若方程a0xn+a1xn-1+ + an-1x=0有一个正根x0, 证明方程a0nxn-1+a1(n-1)xn-2 + +an-1 =0必有一个小于x0的正根.证明设F(x)=a0xn+a1xn-1+ + an-1x, 由于F(x)在[0, x0]上连续, 在(0, x0)内可导, 且F(0)=F(x0)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点x(0, x0), 使F (x)=0, 即方程a0nxn-1+a1(n-1)xn-2 + +an-1 =0必有一个小于x0的正根.8. 若函数f(x)在(a, b)内具有二阶导数, 且f(x1)=f(x2)=f(x3), 其中ax1x2x3b, 证明:在(x1, x3)内至少有一点x, 使得f (x)=0.证明由于f(x)在[x1, x2]上连续, 在(x1, x2)内可导, 且f(x1)=f(x2), 根据罗尔定理, 至少存在一点x1(x1, x2), 使f (x1)=0. 同理存在一点x2(x2, x3), 使f (x2)=0.又由于f (x)在[x1, x2]上连续, 在(x1, x2)内可导, 且f (x1)=f (x2)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点x (x1, x2)(x1, x3), 使f (x )=0.9. 设ab0, n>1, 证明:nbn-1(a-b)<an-bn<nan-1(a-b) .证明设f(x)=xn, 则f(x)在[b, a]上连续, 在(b, a)内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在x(b, a ), 使f(a)f(b)f (x)(ab), 即an-bn=nx n-1(a-b).因为nbn-1(a-b)<nx n-1(a-b)< nan-1(a-b),所以nbn-1(a-b)<an-bn< nan-1(a-b) .10. 设ab0, 证明:.证明设f(x)ln x, 则f(x)在区间[b, a]上连续, 在区间(b, a )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在x(b, a ), 使f(a)f(b)f (x)(ab), 即.因为be(x1), 即ex >ex.12. 证明方程x5x-1=0只有一个正根.证明设f(x)x5x1, 则f(x)是[0, )内的连续函数因为f(0)1, f(1)1, f(0)f(1)<0, 所以函数在(0, 1)内至少有一个零点即x5x10至少有一个正根.假如方程至少有两个正根则由罗尔定理 f (x)存在零点但f (x)5x410, 矛盾这说明方程只能有一个正根13. 设f(x),g(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 证明在(a, b)内有一点x, 使.解设, 则j(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在x(a, b), 使j(b)-j(a)=j(x)(b-a),即.因此.14. 证明: 若函数.f(x)在(-, +)内满足关系式f (x)=f(x), 且f(0)=1则f(x)=ex .证明令, 则在(-, +)内有,所以在(-, +)内j(x)为常数.因此j(x)=j(0)=1, 从而f(x)=ex .15. 设函数y=f(x)在x=0的某邻域内具有n 阶导数, 且f(0)=f (0)= =f (n-1)(0)=0, 试用柯西中值定理证明:(0q1).证明根据柯西中值定理(x1介于0与x之间),(x2介于0与x1之间),(x3介于0与x2之间),依次下去可得(xn介于0与xn-1之间),所以.由于xn可以表示为xn =q x (0q1), 所以(0q1).（资料素材和资料部分来自网络，供参考。
医科高等数学 教材答案
医科高等数学教材答案1. 引言医科高等数学是医学生必修的一门数学课程，主要涵盖了微积分、概率统计等数学内容，是医学生综合素质培养的重要组成部分。
本文将为大家提供医科高等数学教材的一些答案，希望对学生们在学习中有所帮助。
2. 微积分部分2.1 极限与连续性2.1.1 极限的基本概念与性质- 问题1: 计算极限 $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$。
- 解答: 根据已知极限 $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x} = 1$。
2.1.2 函数的连续性- 问题2: 判断函数 $f(x) = \begin{cases}x^2, & x\neq1 \\ 2, &x=1\end{cases}$ 的连续性。
- 解答: 函数在 $x=1$ 处连续，其他点处连续。
2.2 导数与微分2.2.1 导数的概念与性质- 问题3: 计算函数 $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$ 的导数。
- 解答: $f'(x) = 6x - 4$。
2.2.2 高阶导数与高阶微分- 问题4: 计算函数 $f(x) = e^x \sin x$ 的二阶导数。
- 解答: $f''(x) = e^x(\sin x + 2\cos x)$。
3. 概率统计部分3.1 随机事件和概率3.1.1 随机试验与事件- 问题5: 已知一枚硬币被抛掷，求出现正面的概率。
- 解答: 假设硬币均匀，正面出现的概率为 $\frac{1}{2}$。
3.1.2 概率的性质与公式- 问题6: 已知事件 $A$ 的概率为 $P(A) = \frac{1}{3}$，求事件$\overline{A}$ 的概率。
- 解答: $P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$。
3.2 随机变量与概率分布3.2.1 随机变量的概念与分类- 问题7: 将一枚骰子投掷一次，定义随机变量 $X$ 表示出现的点数，求随机变量 $X$ 的概率分布。
医科高等数学教材
医科高等数学教材高等数学是一门重要的学科，对于医科学生来说尤为重要。
本教材旨在为医科学生提供一套全面、系统的高等数学知识体系，以帮助他们建立扎实的数学基础，为今后的医学学习和临床实践打下坚实的基础。
第一章：函数与极限1.1 函数的概念1.2 函数的性质与分类1.3 极限的概念与性质1.4 极限的计算方法1.5 极限存在准则第二章：导数与微分2.1 导数的概念与几何意义2.2 导数的基本运算法则2.3 高阶导数与导数的应用2.4 微分的概念与性质2.5 隐函数与参数方程的微分第三章：积分与定积分3.1 不定积分与积分的概念3.2 不定积分的基本方法3.3 定积分的概念与性质3.4 定积分的计算方法3.5 积分中值定理与应用第四章：微分方程与应用4.1 微分方程的概念与分类4.2 一阶微分方程的解法4.3 高阶微分方程的解法4.4 微分方程的应用第五章：级数与函数项级数5.1 数列的极限与收敛性5.2 级数的概念与性质5.3 收敛级数的判别法5.4 函数项级数的收敛性5.5 幂级数与泰勒级数第六章：多元函数与偏导数6.1 多元函数的概念与性质6.2 偏导数与全微分6.3 隐函数求导与参数方程的导数6.4 多元函数的极值与条件极值6.5 多元函数的泰勒公式与应用第七章：多重积分与曲线积分7.1 二重积分与三重积分的概念7.2 二重积分的计算与应用7.3 三重积分的计算与应用7.4 广义积分的概念与性质7.5 曲线积分与曲面积分第八章：向量与空间解析几何8.1 向量的基本运算法则8.2 空间直线与平面的方程8.3 空间曲线与曲面的方程8.4 空间直线与平面之间的位置关系8.5 空间几何问题的解析第九章：常微分方程与拉普拉斯变换9.1 常微分方程的基本概念与性质9.2 一阶常微分方程的解法9.3 高阶常微分方程的解法9.4 拉普拉斯变换的定义与性质9.5 拉普拉斯变换的应用本教材同时附有大量的习题和解析，以帮助学生巩固所学知识，并提供实际应用的例题，让学生了解数学在医学上的实际运用。
高等数学医学类教材
高等数学医学类教材高等数学是医学类学生必修的一门重要课程。
作为医学专业的基础数学学科，它不仅具有理论性质，更与医学实践紧密结合。
本教材将介绍高等数学在医学领域中的应用，为医学生提供全面而深入的数学知识，以便在日常的医学实践中能更加灵活和熟练地运用数学工具。
第一章导数与微分在医学中，很多问题都可以通过导数和微分来进行分析和解决。
导数是函数在某一点的切线斜率，而微分则是函数在某一点的局部线性逼近。
这一章将介绍导数和微分的基本概念，并以医学中常见的问题为例，讲解如何求解导数和应用微分。
1.1 导数的定义与性质医学中的很多问题都涉及到速度、加速度、血液流速等与变化有关的概念。
导数的定义与性质的掌握对理解这些概念的变化规律具有重要意义。
1.2 导数的计算方法通过导数的计算方法，可以求解医学中的相关问题。
本节将介绍常见函数的导数计算方法，并以医学中的物理学问题为例进行演示与讲解。
1.3 微分的概念与应用微分是导数的一个重要应用，它在医学中的应用非常广泛。
本节将详细介绍微分的概念及其在医学中的应用，并结合实际案例进行分析和讨论。
第二章积分与医学应用积分是高等数学中的重要概念，它在医学中有着广泛的应用。
本章将介绍积分的基本概念及其与医学领域的关系，并以医学中常见的问题为例讲解积分的求解和应用。
2.1 积分的定义与性质积分是导数的逆运算，它可以用于计算面积、体积、质量等与医学相关的物理量。
本节将介绍积分的定义与性质，并解释积分在医学中的意义和应用。
2.2 不定积分与定积分的计算不定积分和定积分是积分中常见的两种形式。
通过不定积分的计算，可以求出函数的原函数。
定积分则用于计算函数在某一区间上的累积量。
本节将介绍不定积分和定积分的计算方法，并以医学中的相关问题进行实例分析。
2.3 积分的应用积分在医学中有着广泛的应用，如计算曲线下的面积、求解医学中的统计问题等。
本节将以医学中的问题和案例为例，讲解积分的应用方法，并探讨其在医学研究中的重要性。
医学高等数学(第3版)(张世强)PPT模板
医学高等数学（第3 版）(张世强)
演讲人
2 0 2 x - 11 - 11
1
第
章 函 数 与 极 限
第1章函数与极限
1.1函数 1.2极限 1.3无穷小量与无穷大量 1.4函数的连续性
2
第
章 分一 学元
函 数 微
第2章一元函数微 分学
2.1导数的概念 2.2求导法则 2.3函数的微分 2.4中值定理与导数的应用
8
第
章 线 础性 代 数 基
第8章线性代数基 础
8.1行列式 8.2矩阵 8.3矩阵的初等变换 8.4n维向量 8.5矩阵的特征值与特征向量
附 录
附录
附录1不定积分表 附录2标准正态分布函数数值表 附录3泊松分布数值表
202x
感谢聆听
01
5.1多元函 数
05
5.5二重积 分
02
5.2偏导数 与全微分
04
5.4多元函 数的极值
03
5.3复合函 数的微分法
第5章多元函数 微积分
6
第
章 无 穷 级 数
第6章无穷级数
6.1常数项级数 6.2幂级
章 概 率 论 基 础
第7章概率论基础
7.1随机事件 7.2随机事件的概率与计算 7.3随机变量及其概率分布 7.4随机变量的数字特征
3
第
章 分一 学元
函 数 积
第3章一 元函数积 分学
3.1不定积分 3.2定积分 3.3广义积分 3.4积分的应用
4
第
章 微 础分 方 程 基
第4章微分方程基 础
4.1微分方程的基本概念 4.2一阶微分方程 4.3二阶微分方程 4.4微分方程在医药学中的应用
高教社2024高等数学第五版教学课件-3.1 微分中值定理与洛必达法则
二
洛必达法则
1.未定式
当 → 0 （→ ∞ ） 若两个函数()与()都趋于零或者
()
都趋于无穷大，则极限
可能存在，也可能不存在.
()
→0
这种极限叫做未定式
通常把
0
∞
并简记为“ ”型或“ ”型．例如，
0
−
′ − ′()
显然 如果取() = 那么() − () = − ′ () = 1 从而柯西中值公
式就可以写成
() − () = ′ ()( − )
( < < ) .
这样就变成拉格朗日中值公式了，因此拉格朗日中值定理是柯西中值定理在取
′ () ≡ 0.
若 ≠ 由于() = ()，则最大值和最小值至少有一个在区间内部取
得，不妨设有一点 ∈ (, )使() = (如图3—1)．从而有
−
−
→
≥0
−
+
−
→
≤0
−′ = −
+′
=
故 ′ = 0.
→0
1
2
∞
这是1 型未定式,( )
1
2
+ ( ) =
→0
1
2
2
→0+
=
=
(
−
→0+ 2
1
)2
1
2
−
=
= .
2
,
0
0
∞
∞
本节的定理只能用于 或 型的函数的极限,对其他未定型必须先化为两种类
大学医科高等数学学习方法
大学医科高等数学学习方法1、医科《高等数学》的教学现状《高等数学》是医学类院校所有课程中最基础也是举足轻重的一门课，学生能否深刻领会和掌握本课程的思想与方法，不仅关系到能否学好相关后续课程，对学生未来的发展也将产生重大影响。
我们数学教研组的任课教师在平时与学生的交流过程中，感觉到学生在学习高等数学中经常遇到的问题对其学习进程有很大的影响。
作为医科高等数学课程的教师，我们按“问题-理论-应用”或“问题-数学模型-问题的解决”组织教学内容,即由实践到理论，再由理论指导实践，从具体到抽象再从抽象到具体，把知识的“学术形态”变为“教育形态”，以便让学生掌握本学科的基本概念、基本理论和基本方法，具有用本学科知识分析和解决问题的能力。
教学过程中，我们让学生记住尽可能少的、易于记住的核心公式与定理，避免学生因机械地记忆过多的不易记住的公式与定理而造成的厌学情绪。
2、医科《高等数学》的学习特点高等数学课程的特点是重要但枯燥。
重要是显而易见的，高等数学作为医学生核心课程，对其它相关后继课程的学习至关重要；同时它又是枯燥乏味的，大部分与数学相关课程的共性，这似乎是一对矛盾，要处理这对矛盾，就要解决一个高等数学学习当中的技巧性问题和心理问题。
当然不可能人人都能把高等数学学好，一个学生不愿学数学，他也许也是对的，可能他既不懒也不笨，只不过对别的东西更感兴趣一些——我们周围的事物中有趣的东西太多了，再者由于各人的性向不同，有的人倾向于人文学科，有的人倾向于逻辑思维，有的人倾向于空间思维，有的人则倾向于动手能力。
各人的倾向性不一样，擅长的方面也各不相同，对高等数学能达到的层次也会参差不齐，但有一点，高等数学的一些基本要求一定要掌握，例如高等数学中的一些基本概念、基本原理不能有半点马虎。
因为无论将来我们从事什么行业，高等数学作为一种基本的处理事物的方法都非常重要。
一般的学生只要通过正确的方法，正确的引导都能够达到[1]。
微分与积分是高等数学这门课的核心内容，也是一对主要矛盾。
医用高等数学第三版教材
医用高等数学第三版教材医用高等数学是医学生必须学习的一门重要课程，旨在帮助医学生掌握数学在医学领域中的应用。
本教材旨在全面系统地介绍医用高等数学的基本内容，并以临床医学实例和案例分析为基础，帮助学生深入理解数学原理与医学实践之间的联系。
一、导论医用高等数学课程的导论部分为学生提供了对课程目标和结构的整体认识，以及相关数学概念的介绍。
在导论的框架下，本教材将包含以下内容：1. 高等数学在医学中的应用意义- 数学在医学研究和临床实践中的重要性- 数学思维对医学问题分析的帮助- 数学工具在医学模型和计算中的应用2. 医用高等数学的学习方法- 如何有效学习高等数学知识- 如何将数学知识与医学实践相结合- 如何应用数学思维解决医学问题二、微积分微积分是医学生学习医用数学的基础，本教材将深入讲解微积分在医学中的应用，包括以下内容：1. 极限与连续- 极限的概念与计算方法- 函数的连续性与可导性2. 导数与微分- 导数的定义与计算- 函数的微分与应用- 医学曲线的切线与切面3. 积分与定积分- 不定积分与积分公式- 定积分与曲线下面积计算- 函数积分与医学领域中的应用三、线性代数线性代数在医学影像处理、遗传学等领域中有着广泛的应用。
本教材将讲解线性代数的基本概念和相关应用，包括以下内容：1. 矩阵与向量- 矩阵的基本概念与运算- 向量的定义与计算- 矩阵与向量在医学中的应用2. 线性方程组- 线性方程组的解法与解集- 方程组的几何解释- 方程组在医学中的应用四、概率论与数理统计概率论与数理统计在医学研究中具有重要意义，能够帮助医学生进行临床试验的设计与分析。
本教材将详细讲解以下内容：1. 随机变量与概率分布- 随机变量的概念与分类- 常见概率分布的特点与密度函数2. 统计推断- 参数估计与假设检验- 统计推断的基本原理与方法- 实验设计与数据处理的统计分析五、常微分方程常微分方程在生物医学工程、生物动力学领域中有广泛的应用。
医用高等数学》考点归纳
医用高等数学》考点归纳医用高等数学》第1章介绍了函数与极限的基本概念。
其中，1.1节介绍了基本初等函数的图像和性质，而1.2节则重点讲解了极限的定义和四则运算。
该节还介绍了两种重要的极限形式，即sinx/x和(1+x)^(1/x)，以及无穷大与无穷小量的定义和基本性质。
最后，1.3节讲解了函数的连续性的定义和判定方法。
在第2章中，§2.1介绍了导数的概念。
导数的定义是指函数在某一点处的变化率，其计算方法是求函数在该点处的斜率。
该节还介绍了导数的几何意义和物理意义，以及导数的基本性质。
除了以上内容之外，本章还包括了§2.2导数的计算方法、§2.3高阶导数和§2.4微分的概念和计算方法等内容。
这些知识点对于医学专业的学生来说，具有重要的理论和实际意义。
因此，学生在研究本章内容时，应该认真对待，多做练，掌握好基本概念和计算方法。
如果在区间I上每一点都存在导数，那么我们称该函数在该区间上可导，导函数简称为导数，通常表示为y'、dy/dx或f'(x)。
判断函数在x点是否可导的方法是从导数定义出发，判断lim(Δy/Δx)是否存在，若存在，则可导；否则不可导。
函数y=f(x)在x点的导数值实际上就是曲线y=f(x)在x点处的切线斜率。
函数在某点可导和该点存在切线的关系为：可导必有切线，有切线未必可导。
函数连续与可导的关系为：函数在某点可导必连续，连续未必可导。
函数四则运算和基本初等函数的求导法则如下：u±v)'=u'±v'ku)'=ku'（k为常数）uv)'=u'v+v'u复合函数的求导法则为：设y=f(u),u=φ(x)，则(dy/dx)=(dy/du)(du/dx)。
隐函数求导法则的基本方法是等号两侧分别对x求导，且将y视为x的函数，利用复合函数求导法则求导。
对数求导法的基本方法是等式两侧分别取自然对数，化简后再求导。
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sin x cos xdx sin xd (sin x)
1 2 sin x C 2 sin x cos xdx cos xd (cos x) 1 2 cos x C 2
解法2
1 解法3 sin x cos xdx sin 2 xdx 2
1 cos 2 x C 4
第三章
一元函数积分学
第一节 不定积分 一、不定积分的概念 二、不定积分的性质基本积分公式
三、换元积分法
四、分部积分法 五、有理函数的积分
一、不定积分的概念
定义3-1 若在某区间上 F ( x) f ( x) ,则称 F (x)为 f (x) 在该区间上的一个原函数． 例
sin x
cos x x (,)
u 2 x
定理3-1 设f (u)具有原函数F (u), u ( x)可导 则有换元公式
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u )du]u ( x ) F [ ( x)] C
证明
dF[ ( x)] F (u) ( x)dx
f (u) ( x)dx f [ ( x)] ( x)dx
f ( x ) dx 被 被 积 积 积 分 函 表 号 数 达 式
F ( x) C
积 分 变 量 任 意 常 数
由此可知,求 f (x)不定积分只需求出 f (x) 一个原函数, 再加上任意常数 C .
例3-1 求
解 因为(sin x) cos x, 所以sin x是 cos x的一个原
5. f (sin x) cos xdx f (sin x)d (sin x)
6. f (e )e dx f (e )de
x x x
x
7. f (tan x) sec2 xdx f (tan x)d tan x
f (arctan x) 8. dx f (arctan x)d (arctan x) 2 1 x
1 ln xd ln x (ln x) 2 C 2
1 dx. 例3-14 求 2 2 a x 1 1 解 2 dx dx 2 a x (a x )( a x ) 1 1 1 ( a x a x )dx 2a 1 d (a x ) d (a x ) [ ] 2a a x ax 1 (ln a x ln a x ) C 2a
例3-6 求
解
5 2
x ( x 2 5) dx
பைடு நூலகம்
x ( x 2 5) dx
1 2
( x 5x )dx
1 2 10 2 x x C 7 3
tan2 xdx 例3-7 求
解
7
3
tan2 xdx (sec2 x 1) dx
tan x x C
(4)
e
dx e C
x
(5)
cos xdx sin x C
(6)
sin xdx cos x C
sec2 x tan x C
(7 )
(8)
csc2 x cot x C
1 (9) dx arctan x C arc cot x C 2 1 x
2．第二类换元法
第一类换元法是通过变量替换 u (x) 将积分
f [ ( x)] ( x)dx化为积分 f (u )du
下面介绍的第二类换元法是通过变量换 x (t ) 将积分 f ( x)dx化为积分 f [ (t )] (t )dt 定理3-2 设 x (t ) 单调、可导，且 (t ) 0 ，若 具有原函数 f [ (t )] (t ) ，则有 G (t )
（k 是常数，k 0)
性质3-4
[ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx
基本积分公式
(1)
x
dx
x
1
1
C ( 1);
dx (2) ln x C x
(3)
ax x a dx C ln a
x
1 2
x a dx ( x a) d ( x a)
3
2 ( x a) 2 C 3
例3-12 求
解
2 xe
x2
x2
dx
x2 2
2 xe
x2
dx e d ( x )
e C
ln x dx 例3-13 求 x ln x 1 解 dx ln x dx ln x (ln x)dx x x
e
2x
dx e C
2x
(e C ) e
2x
2x
2x
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
1 2x 1 2x e dx 2 e (2 x)dx 2 e d 2 x
1 u 1 u 1 2x e du e C e C. 2 2 2
(10 ) 1 1 x
2
dx arcsin x C arccos x C
例3-3 求 (2 x
2
1 2 x
1)dx.
解
(2 x
3
2
1 2 x
1)dx
1 2
1 3 x dx x dx dx 2
2
x x xC
例3-4 求 解
例3-17 求 sin xdx
3
解
sin3 xdx sin2 x sin xdx (1 cos 2 x )d cos x
1 1 3 (cos x cos x ) C cos3 x cos x C 3 3
例3-18 求 解法1
sin x cos xdx
凑微分常见的类型
1. f ( x
n 1
) x dx
n
f (x
n 1
)d ( x n 1
n 1
)
f ( x) 2. dx 2 f ( x )d ( x ) x
f (ln x) 3. dx f (ln x)d (ln x) x 1 f( ) x dx f ( 1 )d ( 1 ) 4. 2 x x x
例3-10 求 解
tan xdx
sin x d cos x tan xdx cos xdx cos x
du u ln u C ln cos x C
u cos x
对换元积分比较熟练以后,不必写出中间变量 例3-11 求 解
u
x a dx
f (x ) 的原函数,
则G( x) F ( x) C（C 为任意常数） （3）F ( x) C 为 f (x) 原函数的全体
定义3-2
若函数F (x)是 f (x)一个原函数,则 f (x) 原函
数的全体F ( x) C 称为 f (x) 的不定积分.记为 f ( x)dx .
cos xdx
函数, 于是
cos xdx sin x C
1 1 解 x 0时, (ln x) , 所以ln x是 在(0,)上的 x x 1 (1), 所以ln( x)是 一个原函数. x 0时, [ln( x)] x 1 在(,0)上的 一个原函数.所以 x
y F (x)
o
x
x
二、不定积分的性质和基本积分公式
性质3-1 性质3-2
f ( x)dx f (x)或 d f ( x)dx f ( x)dx
f ( x)dx f ( x) C 或 df ( x) f ( x) C
性质3-3
k f ( x)dx k f ( x)dx
dt 2 dt 2 1 t
2t 2 ln(1 t ) C
2[ x 2 ln(1 x )] C
对被积函数中含有无理根式的积分，通过适当的变 换去掉根式后再积分，也称根式代换. 例3-20 求
sin x是 cos x在区间(,)上的一个原函数
1 (ln x) x
x (0,)
1 ln x是 在区间(0,)上的一个原函数 x
问题 (1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ (3) 原函数的全体如何表示? sin x cos x 分析 sin x c cos x （C 为任意常数） 结论 （1）若 F ( x ) f ( x ) ，则对于任意常数C ， 都有 ( F ( x) C ) f ( x) （2）若 F (x ) 和 G (x ) 都是
注意 使用此公式的关键在于通过变量替换 x (t ) 将 f ( x)dx 换成一个容易求得的积分 f [ (t )] (t )dt 来计 算．
1 dx. 例3-19 求 1 x
解 令x
t dx 2tdt
2
1 t dx 2 dt 2 (1 t ) 1 dt 1 x 1 t 1 t
1 ax ln C 2a a x
例3-15 求
解
sec xdx.
cos x 1 dx dx sec xdx 2 cos cos x
d sin x 2 1 sin x
1 (1 sin x) 2 1 1 sin x C ln C ln 2 2 1 sin x 2 1 sin x
f [ ( x)] ( x)dx F [ ( x)] C [ f (u )du]u ( x )