正弦量基本概念
正弦量的基本概念
已知
u 220 2 sin(t 235)V , i 10 2 sin(t 45) A
求u和i的初相及两者间的相位关系。
一正弦电压的初相为60°, 有效值为100V, 试 求它的解析式。
因为U=100V, 所以其最大值为 100 2V 则电压的解析式为
u 100 2 sin(t 60)V
镇安职中
掌握最大值和有效值、 掌握角频率，周期和频率。 掌握初相和相位。 知道三要素。
重点：三要素 难点：波形图的画法
正弦交流电：电压、电流均随时间按正弦函 数规律变化
1. 正弦量瞬时值中的最大值, 叫振幅值, 也叫峰 值。 用大写字母带下标“m”表示, 如Um、Im等。
交流电的有效值是根据它的热效应确定
正弦量零值：负值向正值变化之间的零点 若零点在坐标原点左侧， θ>0 若零点在坐标原点右侧， θ<0
i i1＝Imsint
i i2＝Imsin(t＋ 2)
i i3＝Imsin(t＋ 6)
i
i4＝Imsin(t－
6)
0
t
0
t
0
t 0
t
2
6
6
(a)
(b)
(c)
(d)
图4.3 几种不同计时起点的正弦电流波形
的。交流电流i通过电阻R在一个周期内所产 生的热量和直流电流I通过同一电阻R在相同 时间内所产生的热量相等, 则这个直流电流I 的数值叫做交流电流i的有效值, 用大写字母 表示, 如I、 U等。
1、测量交流电压，交流电流的仪表所指示的 数字，电气设备铭牌上的额定值都指的有效值。
2、定义交流电流I通过电阻R在一个周期内所 产生的热量和 直流I通过同一电阻R在相同 时间内所产生的热量相等，则这个直流电流I 的数值叫做交流I的有效值
正弦量基本概念
图3-1相位与计时起点的关系
1.2同频率正弦量的相位差
两个同频率正弦量的相位之差，称为相位差，用θ表示。
例如：电压u1 =Um1 sin(ωt+φ1), u2 = Um2 sin(ωt+φ2)。那 么u1 、u2的相位差θ12=（ωt+φ1）-(ωt+φ2)= φ1-φ2，即
c os 2(t
i
)dt
I
I U U 2
1
U
0.707
mt 2T
T 0
2m
m
I2
I
m
2
I I m = 0.707
2
同理，正弦电压的有效值为
U
1 2
U
m
0.707 U
m
可见，正弦量有效值等于它的最大值除以，或者说成是最 大值乘以0.707。这就是说，最大值为1A的正弦电流在电 路转换能量的实际效果，和0.707A的直流电流相当。
即
ω= d(ωt+φ)= =22π （3-3）
dt
T
角频率是反映正弦量变化快慢的一个物理量。
当一个正弦量角频率ω=314 rad/s时，这个正弦量的周期为T=。若
ω=3140rad/s，则这个正弦量的周期为T=说明角频率增大，周期减小，
正弦量变化加快。
3．初相 初相是指正弦量在t=0时对应的相位，也叫初相位或初相角，用φ表示，
1.3正弦电流、电压的有效值
1．有效值。电路的作用主要在于能量的转换。周期量的瞬时值、平均值、 最大值都不能确切反映它们在转换能量方面的效果，必须用有效值来
正弦量的基本概念
4.2.1 有效值的定义（二）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1、测量交流电压，交流电流的仪表所指示的 数字，电气设备铭牌上的额定值都指的有效值。
2、定义交流电流I通过电阻R在一个周期内所 产生的热量和 直流I通过同一电阻R在相同 时间内所产生的热量相等，则这个直流电流I 的数值叫做交流I的有效值
例 4.7
电容器的耐压值为 250V, 问能否用在220V
i
i2＝Im sin(t＋ 2)
i
i3＝Im sin(t＋ 6)
i
i4＝Im sin(t－ 6)
0
t 0
t 0
t 0
t
2
6
6
(a)
(b)
(c)
(d)
图4.3 几种不同计时起点的正弦电流波形
例 4.2（一）
在选定的参考方向下, 已知两正弦量的解 析式为u=200sin (1000t+200°) V, i=-5sin (314t+30°) A, 试求两个正弦量的三要素。
A X
e
Em
0
t
S
(a)
(b)
图 4.2 初相不为零的正弦波形
4.1.1 正弦交流电的三要素（六）
相位： ωt+θ
初相θ： t=0时的相位
正弦量零值：负值向正值变化之间的零点 若零点在坐标原点左侧， θ>0 若零点在坐标原点右侧， θ<0
4.1.1 正弦交流电的三要素（七）
i
i1＝Im sint
求u和i的初相及两者间的相位关系。
例 4.8
一正弦电压的初相为60°, 有效值为100V, 试 求它的解析式。
因为U=100V, 所以其最大值为 100 2V 则电压的解析式为
正弦量与相量法的基本概念
目
CONTENCT
录
• 正弦量定义与性质 • 相量法基础 • 正弦量与相量法的转换 • 交流电路中的相量法应用 • 相量法在电机控制中的应用 • 正弦量与相量法的实验验证
01
正弦量定义与性质
定义
总结词
正弦量是随时间按正弦规律变化的量 ，通常用复数表示。
详细描述
正弦量是随时间变化的物理量，如交 流电电压、电流等。在数学上，正弦 量通常用复数表示，其实部表示幅值 大小，虚部表示相位。
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相量法在电机控制中的应用
利用相量法可以简化电机控制中的数学模型，方便分析和 设计控制策略。通过将交流电机等效为直流电机，可以使 用成熟的直流电机控制方法进行控制。
控制算法
利用相量法，可以设计出各种控制算法，如PI控制器、模 糊控制器等，实现对电机的精确控制。
案例分析：无刷直流电机控制
无刷直流电机
无刷直流电机是一种采用电子换向器的直流电机，具有高效、调速范围宽、维护方便等优 点。
乘法运算
两个正弦量的乘法运算可以通 过复数乘法实现，即对应相量 直接相乘。
除法运算
两个正弦量的除法运算可以通 过复数除法实现，即对应相量 直接相除。
运算规则
在进行相量运算时，应遵循复 数的运算法则和运算顺序。
03
正弦量与相量法的转换
转换公式
正弦量与相量法转换公式
$I = I_m angle theta$，其中 $I$ 是 正弦量，$I_m$ 是相量，$theta$ 是 初相角。
信号处理
在信号处理领域，相量法可用 于分析信号的频谱和滤波器的 设计。
04
交流电路中的相量法应用
正弦量与相量法的基本概念
L
di dt
+
Ri
=
us
当激励uS为正弦量时,方程的特解是与uS同频率的正弦量。
设 i(t) = Im cos(t + i ) = Re( Ime jt ) uS (t) = U Sm cost = Re(U Sme jt )
代入微分方程得：
L
d
•
[Re(I m
e jt )]+
•
R Re(I m
e jt )
N
线性
1
2
N
线性
非
线性
不适用 ③ 相量法可以用来求强迫响应是正弦量的任意常系数线
性微分方程的特解，即可用来分析正弦稳态电路。
18
例 1 如有两个同频率的正弦电压分别为
u1(t) = 2220cos t (V) u2(t) = 2220cos(t 120 ) (V)
求 u1+u2 和 u1u2。
•
T=2π
=2π／T
频率：f
f =1／T
=2πf
频率的单位：HZ，赫兹
其它常用单位：
1KHZ=103HZ
1MHZ=106HZ
1GHZ=109HZ
我国工业用电的频率为50HZ。在工程实际中，常以频率的大小 作为区分电路的标志，如高频电路，低频电路等。
2
正弦电压与电流
3
初相角的单位为弧度(rad)或度(°)。通常在-π≤ φu或φi)≤π的 主值范围内取值。
F1·F2=Fej ej
F逆时针旋转一个角度 ，模不变
ej 称为旋转因子。
j
e2
= cos
+
j sin
=+j
正弦量的三要素
4.1正弦交流电的基本概念正弦量：按正弦规律变化的物理量的统称。
正弦电流、正弦电压、正弦电动势：随时间按正弦规律变化的电流、电压、电动势。
正弦交流电路：电路中所有电压、电流、电动势都是正弦量的电路。
在一定的参考方向下，正弦电流可表示为sin()m i i I t ω=+ψ正弦电流的波形图正弦量的主要特征：大小、变化的快慢及变化的进程一、周期、频率与角频率周期：正弦量完成一个循环的变化所需要的时间。
用T 表示，单位为秒（s ）。
频率：正弦量在单位时间内变化所完成的循环数。
用f 表示，单位为赫兹（Hz ）。
角频率：正弦量在单位时间内变化的角度，即每秒变化的弧度数。
用ω表示，单位为弧度/秒（rad/s ）。
三者之间的关系：周期、频率和角频率都是表示正弦量变化快慢的量，周期愈大，正弦量变化愈慢；角频率愈大，频率愈高，正弦量变化愈快。
【例3－1】 已知电流，试求该电流的周期T 和频率。
1f T=22f Tπωπ==解：100100 5022110.0250Z Zrad sf H H T s s f ωπωπππ=======二、瞬时值、幅值与有效值瞬时值：随时间变化的电压或电流在某一时刻的数值。
幅值：正弦量在变化过程中出现的最大瞬时值，又称最大值。
大写字母加下标m 来表示，如Im 、Um 、Em 。
有效值：如果一个周期性电流i 通过某一电阻R ，在一个周期内产生的热量与另一个直流电流I 通过电阻R 在相等的时间内产生的热量相等，则将此直流电流的数值I 称为该周期性电流的有效值。
大写字母表示，如I 、U 、E 。
由此可得到周期电流的有效值设i = Imsin(ωt +ψi )时mI ===周期量的有效值等于它的瞬时值的平方在一个周期内的平均值的平方根，因此有效值又称均方根值。
mI == 220I RTTi Rdt =⎰I =U m==E m ==【例3－2】 已知电压u = 311sin(100πt +6π) V ，试求电压的有效值U 及t=0.01s 时电压的瞬时值。
正弦量的三要素
正弦量的三要素正弦量是一种数学概念，一般指正弦曲线，是三角函数的单调变化曲线。
它可以用来描述物理过程中各种规律性变化，在物理、数学、天文等领域有很广泛的应用。
它的性质和作用有三个要素：频率，振幅和相位。
首先，正弦量的频率是它的基本性质，也是它单调变化的核心原因。
它表示每个正弦波形之间代表的值的间隔，也就是把一个完整的正弦周期分成几等份。
一般情况下，正弦波形的频率是按时间测量的，表示每秒钟多少次变化，常用赫兹（Hz）作为单位。
比如，电压信号的频率可以是50 Hz，表示每秒钟交流电压变化50次，也就是说，每个正弦周期同样大小的电压波形间隔时间为1/50秒。
其次，振幅是正弦量的重要特征，指正弦周期的最大值，也就是顶部的高度。
对于电压，振幅就是电压的最大值（峰值），一般用伏特（V）作为单位。
振幅的大小决定了正弦波形的峰值，也就是最大的变化值，它的大小可以作为一个参数来调整正弦波形。
最后，相位是正弦量的第三个特征，表示准确的位置。
它指的是参照点，即以此为基准，正弦波形开始变化。
例如，电压信号的相位可以是180°，表示此时正弦波形峰值出现在负极，此时正弦波形从0开始进入负值。
所以，正弦量的相位并非所有人都会了解，更不是每个人都知道的概念。
但是，对于电气设计师、传感器制造商以及电工工程师来说，它们是很重要的参数，需要精确的掌握。
通过上述介绍，我们可以了解到，正弦量包括三个要素：频率、振幅和相位。
它们可以作为参量来用，表示物理过程中各种规律性变化。
另外，这三个要素在不同的领域也有不同的应用，以此来调节正弦波形的特性，解决工程中遇到的问题。
正弦量的三要素是相对独立的，它们之间是互相联系的，在实际操作时要正确理解及掌握它们的特点，根据实际需求选择合适的参数，以此实现物理过程的规律性变化。
例如，在家庭电路设计中，可以通过配置相应的参数，使用正弦量连接电器，实现电路的调节效果；又如，在波形处理中，可以使用正弦量来表示信号，用正弦量的三要素来描述信号的变化特性。
03-正弦量的相量表示法知识点
正弦量相量表示1、基本概念（1）正弦电路相量表示方法。
正弦量的相量表示实质上就是用复数表示正弦量。
为与一般的复数相区别，将表示正弦量的复数称为相量。
正弦量的相量表示如表1所示。
表1正弦量的相量式三角函数式相量的极坐标式相量的直角坐标式电压tU u ωsin 2=o 0∠=U U ）（o o 0sin j 0cos +=U U 电流)30sin(2o +=t I i ωo 30∠=I I ）（o o 30sin j 0cos3+=I I电动势)30sin(2o -=t I e ωo 30-∠=E E）（o o 30sin j 0cos3-=E E （2）相量的实质与目的。
相量表示的实质上就是用复数表示正弦量。
正弦量可用三角函数式、波形图等表示，但以此方法分析正弦交流电路比较困难，引入相量的目的是为了简化正弦交流电路的分析方法，即将正弦交流电路的计算变成复数式的代数运算。
2、正弦交流电路的相量分析方法正弦交流电路引入相量后，正弦交流电路就有相量式法和相量图法两种分析方法。
（1）相量式法1）将电路中已知的正弦量电压、电流、电动势用相量表示；2）将电路中无源元件用阻抗表示，如R 、jX L 、-jX C ；3）用各种电路分析方法求解，所有方程均为相量方程。
一般加减运算用代数式；乘除运算用指数式或极坐标式。
（2）相量图法1）选取参考相量，一般并联电路选电压U 、串联电路选电流I ，复联电路要视具体情况而定；2）以参考相量为基础，根据元件上电压与电流的相位关系画出电路的相量图；3）根据相量的几何关系（平行四边形法则）求解待求物理量。
2、注意事项（1）正弦量与相量间为对应关系，不是“相等”或“等效”关系。
（2）相量法是分析计算正弦交流电路的一种辅助数学工具，可使正弦量的数学运算更为简便，且只适应于同频率的正弦量的分析计算。
（3）分析和计算正弦交流电路时，必要时可借助相量图的几何关系，同一相量图中各正弦量必须频率相同。
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第六章 正弦电流电路基础
§6-1 正弦量
一．正弦量：随时间t 按照正弦规律变化的物理量，都称为正弦量，它们在某时刻的值称
为该时刻的瞬时值，则正弦电压和电流分别用小写字母i 、u 表示。
周期量：时变电压和电流的波形周期性的重复出现。
周期T ：每一个瞬时值重复出现的最小时间间隔，单位：秒（S ）； 频率f ： 是每秒中周期量变化的周期数，单位：赫兹（Hz ）。
显然，周期和频率互为倒数，即f =1/T 。
交变量：一个周期量在一个周期内的平均值为零。
可见，正弦量不仅是周期量，而且还是交变量。
二．正弦量的表达式
1. 函数表示法：m ()cos()f t F t ωψ=+
m F —最大值，反映正弦量在整个变化过程中所能达到的最大值；
t ωψ+—相位，反映正弦量变动的进程；
ω—角频率（rad /s ），反映正弦量变化的快慢。
22,2T f T
π
ωπωπ==
= ()ψπψπ-≤≤—初相位，反映正弦量初值的大小、正负。
m F ，ω，ψ—正弦量的三要素。
已知m 10A,50Hz,15o I f ψ===-， 则()10cos(31415)A o
i t t =-。
2. 波形表示法
0t ωψ+=， t ωψ=-。
当0>ψ时，最大值点由坐标原点左移ψ。
如下图。
三．两个同频率正弦量的相位差ϕ
设 m u ()cos()u t U t ωψ=+ )cos()(i m t I t i ψω+= 则u (t )与i (t )的相位差
i u i u t t ψψψωψωϕ-=+-+=)()(
可见，对两个同频率的正弦量来说，相位差在任何瞬时都是一个常数，即等于它们的初相之差，而与时间无关。
φ的单位为rad(弧度)或˚ (度)。
主值范围为|φ|≤π。
如果φ＝Ψu −Ψi >0 (如下图所示)，则称电压u 的相位超前电流i 的相位一个角度度φ，简称电压u 超前电流i 角度φ，意指在波形图中，由坐标原点向右看，电压u 先到达其第一个正的最大值，经过φ，电流i 到达其第一个正的最大值。
反过来也可以说电流i 滞后电压u 角度φ。
如果φ＝Ψu −Ψi ＜0，则结论刚好与上述情况相反，即电压u 滞后电流i 一个角度|φ|，或电流i 超前电压u 一个角度|φ|。
又设 m ()cos()u t U t ωψ=+
（1）1m11()cos()u t U t ωψ=+ 当1ψψ=，则10ϕψψ=-=，1u 与u 同相。
如下
t
图φ＝Ψu −Ψi =0 。
（2）2m22()cos()u t U t ωψ=+ 当22
π
ψψ=±，22
π
ϕψψ=-=
，2u 与u 正交。
如下图（这里φ=Ψ－Ψ2＝+π/2）
（3）3m33()cos()u t U t ωψ=+ 当3ψψπ=±,3ϕψψπ=-=,3u 与u 反相。
注意：1. 函数表达形式应相同，均采用cos 或sin 形式表示。
如 ()100cos(15)V u t t ω=+
()10sin(30)10cos(60)A i t t t ωω=+=-
t
2t
φ=Ψ－Ψ2＝π
15(60)75ϕ=--=
2. 函数表达式前的正、负号要一致。
当0,""0,""ψπψπ>-<-取取+－，。
3. 当两个同频率正弦量的计时起点(即波形图中的坐标原点)改变时，它们的初相也跟着改变，但它们的相位差却保持不变。
所以两个同频率正弦量的相位差与计时起点的选择无关。
§6-2正弦量的有效值
()f t —任意周期函数
⎰
=
T
dt t f T
F 0
2)(1 —方均根值
可见，周期量的有效值等于它的瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值取平方根。
因此，有效值又称为方均根值。
当周期量为正弦量时，将m ()cos()f t F t ωψ=+代人上式得
F =
=
其中
⎰
⎰=+
+=+
T
i
i T
T
dt t dt t 0
2
2
2
)(2cos 1)(cos
ϕϕωω
所以
0.707
m
F F =
==
只适用于正弦量
这样正弦量的数学表达式写为 ()cos()f t t ωψ=
+。
因此，正弦量的有效值可以代替最大值作为它的一个要素。
对于正弦电流i ＝I m cos(ωt+φi ) 的有效值为
I =I m /2=0.707I m
同理，正弦电压u ＝U m cos(ωt+φu )的有效值为
U ＝U m /2＝0.707U m
在工程上，一般所说的正弦电压、电流的大小都是指有效值。
例如交流测量仪表所指示的读数、交流电气设备铭牌上的额定值都是指有效值。
我国所使用的单相正弦电源的电压
U=220V，就是正弦电压的有效值，它的最大值U m＝2U＝1.414×220＝311V。
应当指出，并非在一切场合都用有效值来表征正弦量的大小。
例如，在确定各种交流电气设备的耐压值时，就应按电压的最大值来考虑。