4.随机过程--均方积分.ppt
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随机过程-均方导数
2
存在
存在
= lim E[
h1 0 h2 0
RX (t h1 , t h2 ) RX (t h1 , t ) RX (t , t h2 ) RX (t , t ) ] h1h2
3、推论
推论1 二阶矩过程 X (t ), t T 在T上均方可微的充要条件为相关 函数 RX (t1 , t2 ) 在 (t , t ), t T 在每一点广义二阶可微。 推论2 若 RX (t1 , t2 ) 在 (t , t ), t T 上每一点广义二阶可微，则
0
拓展 中值定理
一、罗尔( Rolle )定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理
一、罗尔( Rolle )定理
费马(fermat)引理
且 证: 设 则
存在
(或 )
y
o
x0
x
0 0
证毕
罗尔（ Rolle ）定理 满足:
(1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b )
（2）
（3）
（4）
2 RX (t1 , t2 ) 2 RX (t1 , t2 ) = =E X (t1 ) X (t2 ) t1t2 t2 t1
3、推论
证明
（1）由推论1知
X (t ) 存在，又由定理2之（5），有
du x (t ) dE X (t ) E[ X (t h)] E[ X (t )] lim h 0 dt dt h X (t h) X (t ) X (t h) X (t ) lim E[ ] E[l.i.m ] E X (t ) h 0 h 0 h h
存在
存在
= lim E[
h1 0 h2 0
RX (t h1 , t h2 ) RX (t h1 , t ) RX (t , t h2 ) RX (t , t ) ] h1h2
3、推论
推论1 二阶矩过程 X (t ), t T 在T上均方可微的充要条件为相关 函数 RX (t1 , t2 ) 在 (t , t ), t T 在每一点广义二阶可微。 推论2 若 RX (t1 , t2 ) 在 (t , t ), t T 上每一点广义二阶可微，则
0
拓展 中值定理
一、罗尔( Rolle )定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理
一、罗尔( Rolle )定理
费马(fermat)引理
且 证: 设 则
存在
(或 )
y
o
x0
x
0 0
证毕
罗尔（ Rolle ）定理 满足:
(1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b )
（2）
（3）
（4）
2 RX (t1 , t2 ) 2 RX (t1 , t2 ) = =E X (t1 ) X (t2 ) t1t2 t2 t1
3、推论
证明
（1）由推论1知
X (t ) 存在，又由定理2之（5），有
du x (t ) dE X (t ) E[ X (t h)] E[ X (t )] lim h 0 dt dt h X (t h) X (t ) X (t h) X (t ) lim E[ ] E[l.i.m ] E X (t ) h 0 h 0 h h
随机分析1--均方极限
aX bY H ,
证明
E aX bY
2
E ( a X b Y )( a X b Y )
E ( a X b Y )( a X b Y ) E ( aX
2
bY
2
aX bY aX bY )
aX bY aX bY 2 Re( aX bY )
E a
二阶矩过程的均方微积分
研究对象 一类具有二阶矩的随机过程 研究内容 连续性、可导性与可积性等. 是均方极限意义下的随机微积分
重点
均方极限,均方连续,均方可导
以及均方可积的概念和准则．
要求 掌握均方极限,均方连续,均方可导 以及均方可积的的概念以及相应准则. 熟悉一阶线性随机微分方程及其解. 熟悉正态过程的随机分析的一些结果.
a
k
a l R X ( k , l )收 敛 .
二阶矩过程均方极限定义
设 { X ( t ), t T }是 二 阶 矩 过 程 ， X H , t 0 T ,
如 果 lim E X ( t ) X
t t0 2
0,
则 称 当 t t 0时 ，X ( t ), t T }收 敛 于 X . {
定理（均方大数定理）
设 { X n , n 1, 2, } H
是相互独立同分布的随机变量序列,且
E X n , n 1, 2, , 则
l.i.m
n
1
X n
k 1
n
k
,
证明：E
n
1
n i 1
n
1
n
2
Xi
E
2
i 1
(X n
证明
E aX bY
2
E ( a X b Y )( a X b Y )
E ( a X b Y )( a X b Y ) E ( aX
2
bY
2
aX bY aX bY )
aX bY aX bY 2 Re( aX bY )
E a
二阶矩过程的均方微积分
研究对象 一类具有二阶矩的随机过程 研究内容 连续性、可导性与可积性等. 是均方极限意义下的随机微积分
重点
均方极限,均方连续,均方可导
以及均方可积的概念和准则．
要求 掌握均方极限,均方连续,均方可导 以及均方可积的的概念以及相应准则. 熟悉一阶线性随机微分方程及其解. 熟悉正态过程的随机分析的一些结果.
a
k
a l R X ( k , l )收 敛 .
二阶矩过程均方极限定义
设 { X ( t ), t T }是 二 阶 矩 过 程 ， X H , t 0 T ,
如 果 lim E X ( t ) X
t t0 2
0,
则 称 当 t t 0时 ，X ( t ), t T }收 敛 于 X . {
定理（均方大数定理）
设 { X n , n 1, 2, } H
是相互独立同分布的随机变量序列,且
E X n , n 1, 2, , 则
l.i.m
n
1
X n
k 1
n
k
,
证明：E
n
1
n i 1
n
1
n
2
Xi
E
2
i 1
(X n
概率论与数理统计经典课件随机过程
3
一维、二维或一般的多维随机变量的研究是概率论的研究内容，而 随机序列、随机过程则是随机过程学科的研究内容。从前面的描述中看 到，它的每一样本点所对应的，是一个数列或是一个关于t的函数。
定义：设T是一无限实数集，X (e,t), e S,t T是对应于e和t的实数，
即为定义在S 和T 上的二元函数。
DX
(t)
E
[ X (t) X (t)]2
---方差函数
X (t)
2 X
(t
)
---标准差函数
又设任意t1,t2 T RXX (t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )] (自)相关函数
CXX (t1,t2 ) Cov[ X (t1), X (t2 )]
E [ X (t1) X (t1)][ X (t2 ) X (t2 )] (自)协方差函数
定义： X (t),t T是一随机过程，若它的每一个有限维分布
都是正态分布，即对任意整数n 1及任意t1,t2,
X (t1), X (t2 ), X (tn )服从n维正态分布， 则称X (t),t T是正态过程
tn T ,
正态过程的全部统计特性完全由它的均值函数和自协方差函数所确定。
16
例3：设A, B是两个随机变量，试求随机过程:
当A
N 1,4, B
U 0, 2时，E(A) 1, E( A2 ) 5, E(B) 1, E(B2)
4 3
又因为A, B独立， 故E(AB) E(A)E(B) 1
X (t) t 3, RX (t1, t2 ) 5t1t2 3(t1 t2 ) 12 t1, t2 T
17
例4：求随机相位正弦波X (t) acos(t ) t ,
一维、二维或一般的多维随机变量的研究是概率论的研究内容，而 随机序列、随机过程则是随机过程学科的研究内容。从前面的描述中看 到，它的每一样本点所对应的，是一个数列或是一个关于t的函数。
定义：设T是一无限实数集，X (e,t), e S,t T是对应于e和t的实数，
即为定义在S 和T 上的二元函数。
DX
(t)
E
[ X (t) X (t)]2
---方差函数
X (t)
2 X
(t
)
---标准差函数
又设任意t1,t2 T RXX (t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )] (自)相关函数
CXX (t1,t2 ) Cov[ X (t1), X (t2 )]
E [ X (t1) X (t1)][ X (t2 ) X (t2 )] (自)协方差函数
定义： X (t),t T是一随机过程，若它的每一个有限维分布
都是正态分布，即对任意整数n 1及任意t1,t2,
X (t1), X (t2 ), X (tn )服从n维正态分布， 则称X (t),t T是正态过程
tn T ,
正态过程的全部统计特性完全由它的均值函数和自协方差函数所确定。
16
例3：设A, B是两个随机变量，试求随机过程:
当A
N 1,4, B
U 0, 2时，E(A) 1, E( A2 ) 5, E(B) 1, E(B2)
4 3
又因为A, B独立， 故E(AB) E(A)E(B) 1
X (t) t 3, RX (t1, t2 ) 5t1t2 3(t1 t2 ) 12 t1, t2 T
17
例4：求随机相位正弦波X (t) acos(t ) t ,
07 随机过程的均方微积分
令Y 1 2T
T T
X
(t )dt , 则均值和方差E[Y
]
mX
2 Y
1 4T 2
T T
T T
CX
(t1
t2 )dt1dt2
1 2T
2T 2T
(1
2T
)CX
(
)d
1 T
2T 0
(1
2T
)[RX
(
)
mX2
]d
本节课小结
若 X (t) 为平稳过程，均值为常数c，
则输出过程均值函数为c(t-a)
5、随机过程的积分变换
2）输出过程的自相关函数
RY (t1,t2 ) E[
t1 a
t2 X (s)X ()dsd]
a
t1 a
t2 E[ X (s) X ()]dsd
a
t1 a
t2 a
bd
a c R(t1, t2 )dt1dt2
5、随机过程的积分变换
若随机过程 {X (t),t T} 在域[a,b]上 均方可积，且输出过程为
t
Y (t) a X (s)ds, a t b
1）输出过程的均值
t
X(t) ()ds Y(t) a
t
mY (t) a mX (s)ds, a t b
如果随机过程 X (t)
是平稳的，且 d 2n RX ( ) 存在，则其n
阶微分也
d 2n 是平稳的，且
R ( X ( n ) )
(1)n
d 2n RX ( ) d 2n
随机过程获奖示范课课件
2 4 9)( 2
1)
d
1
2
2
j[Res( ( 2
2 4 9)( 2 1)
e j
,
j)
Res(
(
2
2 4 9)( 2
1)
e
j
,
3
j)]
j( 3 e 5 e3 ) 3 e 5 e3
16 j 48 j
16 48
Res( ( 2
2 4 9)( 2 1)
e
j
,
j)
lim(
j
j)
阐明信号旳总能量等于能谱密度在全频域上旳积分. 右式也是总能量旳谱体现式.
因为实际中诸多信号(函数)旳总能量是无限旳, 不满足绝对可积旳条件,所以一般研究x(t)在 (-∞,+ ∞)上旳平均功率,即
lim 1 T x2 (t)dt
T 2T T
为了能利用Fouier变换给出平均功率旳谱体现式, 构造一种截尾函数:
x(t)[
1
2
Fx ()e jtd]dt
1
2
[Fx ()
x(t)e jtdt]d
1
2
2
Fx () d
即
x2 (t)dt 1
2
2
Fx () d
( Parseval等式)
即
x2(t)dt 1
2
2
Fx () d
左边为x(t)在(-,+)上的总能量
右边的被积式 Fx () 2 称为信号x(t)的能谱密度.
T x2 (t)dt lim 1
T
T 4T
2
Fx (,T ) d
1
2
1
lim
T 2T
4.随机过程--均方积分
E
b
2
X (t )dt
b
a
( [E X (t ) ] dt )
a
b
2
1 2
2
(b a) E X (t ) dt (b a) max E X (t )
2 a
2
2
证明 E
b
b
2
a t b
X (t )dt
a
b
a
b
E[X(s)X(t )]dsdt
a
a
b
E [X ( s )X ( t )] dsdt
定理 设二阶矩过程{X(t),t∈[a,b]}在[a,b]上 均方连续.则其均方不定积分
{Y (t ), t [a, b]}
在[a,b]上均方可导,且
(1)
(2)
(3)
P(Y (t ) X (t )) 1
mY (t ) mX ( s)ds, t [a, b]
a t
RY ( s, t )
lim
s 0 t 0 k 1 l 1
m n
m
n
f ( s k , u ) f ( t , u ) R X ( s , t ) s k （ 存 在 ） tl
l
k
l
Hale Waihona Puke lims 0 t 0 k 1 l 1
E[ f ( s
k
, u ) X s ） ( t , u ) X ( t )] s k t l （ f
均方积分过程． 特别 当f(t,u)=1时， { X (t ), t [ a , b ]} 在[a,b]上的
b
2
X (t )dt
b
a
( [E X (t ) ] dt )
a
b
2
1 2
2
(b a) E X (t ) dt (b a) max E X (t )
2 a
2
2
证明 E
b
b
2
a t b
X (t )dt
a
b
a
b
E[X(s)X(t )]dsdt
a
a
b
E [X ( s )X ( t )] dsdt
定理 设二阶矩过程{X(t),t∈[a,b]}在[a,b]上 均方连续.则其均方不定积分
{Y (t ), t [a, b]}
在[a,b]上均方可导,且
(1)
(2)
(3)
P(Y (t ) X (t )) 1
mY (t ) mX ( s)ds, t [a, b]
a t
RY ( s, t )
lim
s 0 t 0 k 1 l 1
m n
m
n
f ( s k , u ) f ( t , u ) R X ( s , t ) s k （ 存 在 ） tl
l
k
l
Hale Waihona Puke lims 0 t 0 k 1 l 1
E[ f ( s
k
, u ) X s ） ( t , u ) X ( t )] s k t l （ f
均方积分过程． 特别 当f(t,u)=1时， { X (t ), t [ a , b ]} 在[a,b]上的
随机过程在金融中的应用4随机分析及均方微分方程
随机过程在金融中的应用4随机分析及均方微分方程随机过程是描述随时间变化的随机现象的数学工具。
在金融领域，随机过程被广泛应用于分析和模拟金融市场中的价格和利率等变量的随机行为。
随机分析和均方微分方程是常用的随机过程建模和分析方法。
随机分析是一种基于概率论和微积分的数学理论，用于研究随机过程的性质和行为。
它的核心是随机演化过程的微积分学，包括随机积分和随机微分等概念。
通过随机分析，我们可以将随机过程建模为随机微分方程，以描述其随机变化的规律。
均方微分方程是随机微分方程的特殊形式，其中随机项满足均方意义下的积分常微分方程。
均方微分方程是一类重要的随机微分方程，其解具有良好的数学性质，易于分析和计算。
在金融领域，均方微分方程常用于研究金融市场中的价格和利率等随机变量的行为。
随机分析和均方微分方程在金融中的应用可以追溯到20世纪60年代。
当时，人们开始研究金融市场中的随机现象，并尝试建立数学模型来解释股票价格的随机波动。
随机分析和均方微分方程为这些模型提供了有效的工具和方法。
通过随机分析和均方微分方程，可以对金融市场中的价格和利率等变量进行定量分析和预测。
例如，通过建立随机微分方程模型，可以模拟股票价格的随机行为，并计算出股票期权的定价和风险。
另外，均方微分方程还可以用于研究利率的随机演化和债券价格的随机波动，从而提供利率衍生产品的定价和风险管理方法。
随机分析和均方微分方程在金融中的应用还包括风险管理和投资组合优化等领域。
通过建立随机模型，可以对投资组合的风险进行评估和管理，以及优化投资组合的配置和调整策略。
总之，随机分析和均方微分方程是金融领域中常用的数学建模和分析方法，可以用来描述和预测金融市场中的价格和利率等随机变量的行为。
这些方法不仅提供了对金融风险的定量评估和管理，还为投资者和金融机构提供了优化投资决策和配置资产的工具。
通过不断发展和创新，随机分析和均方微分方程将继续推动金融领域的理论和实践的发展。
随机过程在金融中的应用4随机分析及均方微分方程
| E[ X (Ym Y )] | | E[( X n X )Y ] | | E[( X n X )(Ym Y )] |
1
1
{E( X
2 )E(Ym
Y )2 ]}2
{E[( 1
X
n
X
)2 ]E(Y )}2
{E[( X n X )2 ]E[(Ym Y )2 ]}2
首页
性质
二阶矩过程的协方差函数一定存在
证 K (t1,t2 ) cov[X (t1), X (t2 )] E{[ X (t1) m(t1)][ X (t2 ) m(t2 )]}
由许瓦兹不等式得
首页
| K (t1,t2 ) |2 | E{[ X (t1) m(t1)][ X (t2 ) m(t2 )]} |2
一、均方导数的定义
定义1 设随机变量{ X (t) ，t (,) }为二阶矩过程
对于确定的t (,) ， 如果均方极限
l.i.m X (t h) X (t) 存在
h0
h
则称X (t)在t处均方可微， 并将此极限记作X (t)
称为 X (t) 在 t 处的均方导数
即有 X (t) l.i.m X (t h) X (t)
h0 k 0
即 R(s,t) 在(, ) 连续。
如果 R(s,t) 在{(t,t) ，t (,) }处连续，
则 R(s,t) 在{(s,t) ， s,t (,) }处连续。 证 因 R(s,t) 在{(t,t) ，t (,) }处连续，
由定理1知， X (t) 在 t (,) 点均方连续，
R(s,t) 为其相关函数， 则
X (t) 在t 处均方连续R(s,t) 在(, ) 连续