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随机过程的基本概念ppt课件
求X(t)的均值、均方值和方差。
.
2.3 平稳随机过程
三、相关系数及相关时间
也称为归一化协方差函 数或标准协方差函数。
相关系数： rX()KXX 2 ()RX()X 2mX 2
相关时间：
0
0 rX()d
rX ( )
1
rX(0) 0.05
0
0
相关时间示意图
.
2.3 平稳随机过程
三、相关系数及相关时间
为随机过程X(t)的二维概率分布。定义
fX(x1,x2,t1,t2)2FX(xx11,xx22,t1,t2)
为随机过程X(t)的二维概率密度。 注意：X(t1)及X(t2)为同一随机过程上的随机变量。
.
2.2 随机过程的统计描述
2、二维概率分布
例2、设随机相位信号
X (n )co s( n/1 0 )
.
2.2 随机过程的统计描述
二、随机过程的数字特征（连续）
• 协方差函数
K X ( t 1 , t 2 ) E { [ X ( t 1 ) m X ( t 1 ) ] [ X ( t 2 ) m X ( t 2 ) ] } （1）如果 KX(t1,t2)0，则称 X (t1 )和 X (t2 )是不相关的。
.
2.3 平稳随机过程
一、定义
(1)严格平稳随机过程
f X ( x 1 , ,x n ,t 1 , ,t n ) f X ( x 1 , ,x n ,t 1 , ,t n )
一维概率密度： fX(x,t)fX(x)
二维概率密度： fX (x 1 ,x 2 ,t1 ,t2 ) fX (x 1 ,x 2 ,) t1 t2
接收机噪声
5
x1(t) 0
.
2.3 平稳随机过程
三、相关系数及相关时间
也称为归一化协方差函 数或标准协方差函数。
相关系数： rX()KXX 2 ()RX()X 2mX 2
相关时间：
0
0 rX()d
rX ( )
1
rX(0) 0.05
0
0
相关时间示意图
.
2.3 平稳随机过程
三、相关系数及相关时间
为随机过程X(t)的二维概率分布。定义
fX(x1,x2,t1,t2)2FX(xx11,xx22,t1,t2)
为随机过程X(t)的二维概率密度。 注意：X(t1)及X(t2)为同一随机过程上的随机变量。
.
2.2 随机过程的统计描述
2、二维概率分布
例2、设随机相位信号
X (n )co s( n/1 0 )
.
2.2 随机过程的统计描述
二、随机过程的数字特征（连续）
• 协方差函数
K X ( t 1 , t 2 ) E { [ X ( t 1 ) m X ( t 1 ) ] [ X ( t 2 ) m X ( t 2 ) ] } （1）如果 KX(t1,t2)0，则称 X (t1 )和 X (t2 )是不相关的。
.
2.3 平稳随机过程
一、定义
(1)严格平稳随机过程
f X ( x 1 , ,x n ,t 1 , ,t n ) f X ( x 1 , ,x n ,t 1 , ,t n )
一维概率密度： fX(x,t)fX(x)
二维概率密度： fX (x 1 ,x 2 ,t1 ,t2 ) fX (x 1 ,x 2 ,) t1 t2
接收机噪声
5
x1(t) 0
通信原理课件第3章 随机过程
可见，（1）其均值与t无关，为常数a；
（2）自相关函数只与时间间隔有关。
14
第3章 随机过程
数字特征：
E (t) x1 f1 (x1 )dx1 a R(t1,t2 ) E[ (t1) (t1 )]
x1x2 f2 (x1, x2 ; )dx1dx2 R( )
可见，（1）其均值与t 无关，为常数a ；
随机过程 (t)的二维概率密度函数：
f2 (x1,
x2 ; t1, t2
)
2F2 (x1, x2;t1,t2 x1 x2
)
若上式中的偏导存在的话。
随机过程 (t) 的n维分布函数：
Fn (x1, x2 , , xn ;t1, t2 , tn )
P (t1 ) x1, (t2 ) x2 , , (tn ) xn
f1 (x1,t1 ) f1 (x1 )
而二维分布函数只与时间间隔 = t2 – t1有关：
f2 (x1, x2 ;t1,t2 ) f2 (x1, x2 ; )
数字特征：
E (t) x1 f1 (x1 )dx1 a R(t1,t2 ) E[ (t1) (t1 )]
x1x2 f2 (x1, x2 ; )dx1dx2 R( )
换句话说，随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。 因此，我们又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同
时刻的随机变量的集合。 这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。
5
第3章 随机过程
3.1.1随机过程的分布函数
设 (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值 (t1)
是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密 度函数来描述。
【解】(1)先求(t)的统计平均值：
（2）自相关函数只与时间间隔有关。
14
第3章 随机过程
数字特征：
E (t) x1 f1 (x1 )dx1 a R(t1,t2 ) E[ (t1) (t1 )]
x1x2 f2 (x1, x2 ; )dx1dx2 R( )
可见，（1）其均值与t 无关，为常数a ；
随机过程 (t)的二维概率密度函数：
f2 (x1,
x2 ; t1, t2
)
2F2 (x1, x2;t1,t2 x1 x2
)
若上式中的偏导存在的话。
随机过程 (t) 的n维分布函数：
Fn (x1, x2 , , xn ;t1, t2 , tn )
P (t1 ) x1, (t2 ) x2 , , (tn ) xn
f1 (x1,t1 ) f1 (x1 )
而二维分布函数只与时间间隔 = t2 – t1有关：
f2 (x1, x2 ;t1,t2 ) f2 (x1, x2 ; )
数字特征：
E (t) x1 f1 (x1 )dx1 a R(t1,t2 ) E[ (t1) (t1 )]
x1x2 f2 (x1, x2 ; )dx1dx2 R( )
换句话说，随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。 因此，我们又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同
时刻的随机变量的集合。 这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。
5
第3章 随机过程
3.1.1随机过程的分布函数
设 (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值 (t1)
是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密 度函数来描述。
【解】(1)先求(t)的统计平均值：
概率论与数理统计经典课件随机过程
3
一维、二维或一般的多维随机变量的研究是概率论的研究内容，而 随机序列、随机过程则是随机过程学科的研究内容。从前面的描述中看 到，它的每一样本点所对应的，是一个数列或是一个关于t的函数。
定义：设T是一无限实数集，X (e,t), e S,t T是对应于e和t的实数，
即为定义在S 和T 上的二元函数。
DX
(t)
E
[ X (t) X (t)]2
---方差函数
X (t)
2 X
(t
)
---标准差函数
又设任意t1,t2 T RXX (t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )] (自)相关函数
CXX (t1,t2 ) Cov[ X (t1), X (t2 )]
E [ X (t1) X (t1)][ X (t2 ) X (t2 )] (自)协方差函数
定义： X (t),t T是一随机过程，若它的每一个有限维分布
都是正态分布，即对任意整数n 1及任意t1,t2,
X (t1), X (t2 ), X (tn )服从n维正态分布， 则称X (t),t T是正态过程
tn T ,
正态过程的全部统计特性完全由它的均值函数和自协方差函数所确定。
16
例3：设A, B是两个随机变量，试求随机过程:
当A
N 1,4, B
U 0, 2时，E(A) 1, E( A2 ) 5, E(B) 1, E(B2)
4 3
又因为A, B独立， 故E(AB) E(A)E(B) 1
X (t) t 3, RX (t1, t2 ) 5t1t2 3(t1 t2 ) 12 t1, t2 T
17
例4：求随机相位正弦波X (t) acos(t ) t ,
一维、二维或一般的多维随机变量的研究是概率论的研究内容，而 随机序列、随机过程则是随机过程学科的研究内容。从前面的描述中看 到，它的每一样本点所对应的，是一个数列或是一个关于t的函数。
定义：设T是一无限实数集，X (e,t), e S,t T是对应于e和t的实数，
即为定义在S 和T 上的二元函数。
DX
(t)
E
[ X (t) X (t)]2
---方差函数
X (t)
2 X
(t
)
---标准差函数
又设任意t1,t2 T RXX (t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )] (自)相关函数
CXX (t1,t2 ) Cov[ X (t1), X (t2 )]
E [ X (t1) X (t1)][ X (t2 ) X (t2 )] (自)协方差函数
定义： X (t),t T是一随机过程，若它的每一个有限维分布
都是正态分布，即对任意整数n 1及任意t1,t2,
X (t1), X (t2 ), X (tn )服从n维正态分布， 则称X (t),t T是正态过程
tn T ,
正态过程的全部统计特性完全由它的均值函数和自协方差函数所确定。
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例3：设A, B是两个随机变量，试求随机过程:
当A
N 1,4, B
U 0, 2时，E(A) 1, E( A2 ) 5, E(B) 1, E(B2)
4 3
又因为A, B独立， 故E(AB) E(A)E(B) 1
X (t) t 3, RX (t1, t2 ) 5t1t2 3(t1 t2 ) 12 t1, t2 T
17
例4：求随机相位正弦波X (t) acos(t ) t ,
随机过程的总复习
称这个特性为马尔可夫性，简称马氏性 称这个特性为马尔可夫性，简称马氏性。
马氏性实质上是无后效性， 所以也称马氏过程 马氏性实质上是无后效性 ， 无后效过程。 为无后效过程。
（4）平稳随机过程 ）
平稳过程的统计特性与马氏过程不同， 平稳过程的统计特性与马氏过程不同，它不 随时间的推移而变化，过程的“过去” 随时间的推移而变化，过程的“过去”可以对 未来”有不可忽视的影响。 “未来”有不可忽视的影响。
是相互独立的， 是相互独立的，
则 X(t) 为 有 立 量 随 过 。 称 具 独 增 的 机 程
（3）马尔可夫过程 ）
设 { X (t ) ， t ∈ T } 对任意 n 个不同的 t1 ， t 2 ，…， t n ∈ T
且 t1 < t 2 < L < t n −1 < t n
P( X (t n ) ≤ x n | X (t n −1 ) = x n −1 ，…， X (t1 ) = x1 )
E ( Z ) = E ( X ) + iE (Y )
为随机变量， 设X为随机变量，称复随机变量 为随机变量 的数学期望
e
itX
ϕX (t) = E[e itX ]
的特征函数， 是实数。 为X的特征函数，其中 是实数。 的特征函数 其中t是实数 还可写成
ϕ X (t ) = E[costX ] + iE[sintX ]
一维 概率 密度
若 存 在 二 元 非 负 函 数 f ( t 1； x 1 ) ， 使
F ( t1； x1 ) =
∫
x1
−∞
f ( t1； y 1 ) dy 1
则 称 f ( t 1； x 1 ) 为 随 机 过 程 X (t ) 的 一 维 概 率 密 度
《数学随机过程》PPT课件
所以X与Y不相关。 故 (X,Y )=0 X与Y不相关
几何直观意义
3.3 随机分析初步
附注C—关于赋范线性空间概念的回顾
设V是一个线性空间，若 V，存在一个实数|| ||与
之对应，且具有下列性质：
(1) || ||0 , 且|| ||=0 =0 ； (2) ||c· ||= |c|·|| || , 特别 ||- ||= || ||； c R (3) || + || || ||+ || ||； V 则称|| || 为V中元素 的范数(norm)(模、长度)，此时线
CXX (t1, t2 ) cov{ X (t1), X (t2 )} E{[ X (t1) mX (t1)][ X (t2 ) mX (t2 )]} | CXX (t1, t2 ) |2 | cov{ X (t1), X (t2 )} |2 | E{[ X (t1) mX (t1)][ X (t2 ) mX (t2 )]} |2 {E | [ X (t1) mX (t1)][ X (t2 ) mX (t2 )] |}2 E | X (t1) mX (t1) |2 E | X (t2 ) mX (t2 ) |2 D[ X (t1)]D[ X (t2 )]
3.3 随机分析初步
附注A—关于线性空间概念的回顾
设V是一个非空的集合，K是一个数域，又设
(a)在V中定义加法： , V : + V ; (b)在V中定义数乘： V, k K: k · V ; 且 , , V , k,l K , 满足 (1) k ,l K, , V : (2) +( +)= ( + )+ ; (3) + = + ; (4)0V, V: +0= ; (5) V, V: +=0 (6) 1 K: 1· = ; (7) k ,l K, V: (kl)· =k·(l) ; (8)k ,l K, V: (k+l) = k +l ; (9) k K, , V : k( + )= k + k .
几何直观意义
3.3 随机分析初步
附注C—关于赋范线性空间概念的回顾
设V是一个线性空间，若 V，存在一个实数|| ||与
之对应，且具有下列性质：
(1) || ||0 , 且|| ||=0 =0 ； (2) ||c· ||= |c|·|| || , 特别 ||- ||= || ||； c R (3) || + || || ||+ || ||； V 则称|| || 为V中元素 的范数(norm)(模、长度)，此时线
CXX (t1, t2 ) cov{ X (t1), X (t2 )} E{[ X (t1) mX (t1)][ X (t2 ) mX (t2 )]} | CXX (t1, t2 ) |2 | cov{ X (t1), X (t2 )} |2 | E{[ X (t1) mX (t1)][ X (t2 ) mX (t2 )]} |2 {E | [ X (t1) mX (t1)][ X (t2 ) mX (t2 )] |}2 E | X (t1) mX (t1) |2 E | X (t2 ) mX (t2 ) |2 D[ X (t1)]D[ X (t2 )]
3.3 随机分析初步
附注A—关于线性空间概念的回顾
设V是一个非空的集合，K是一个数域，又设
(a)在V中定义加法： , V : + V ; (b)在V中定义数乘： V, k K: k · V ; 且 , , V , k,l K , 满足 (1) k ,l K, , V : (2) +( +)= ( + )+ ; (3) + = + ; (4)0V, V: +0= ; (5) V, V: +=0 (6) 1 K: 1· = ; (7) k ,l K, V: (kl)· =k·(l) ; (8)k ,l K, V: (k+l) = k +l ; (9) k K, , V : k( + )= k + k .
《随机过程与排队论》知识点复习.ppt
2020/6/10
140－29
2、样本函数与状态空间
❖ 随机过程X(t,)是定义在TΩ上的二元函数：一 方面，当tT固定时，X(t,)是定义在Ω上的随 机变量；另一方面，当Ω固定时，X(t,)是 定义在T上的函数，称为随机过程的样本函数。
❖ 随机过程在时刻t所取的值X(t)=x称为时刻t时随 机 过 程 {X(t),tT} 处 于 状 态 x ， 随 机 过 程 {X(t),tT}所有状态构成的集合称为状态空间， 记为E，即：
140－17
边缘分布律、条件分布律
称 pi P{X xi } pij，i 1,2, j1
为r.v.X的边缘分布律。称
pj P{Y y j} pij，j 1,2, i1
为r.v.Y的边缘分布律。称
pi|j pij pj ，i, j 1,2,
为在已知Y=yj的条件下，r.v.X的条件分布律。称 为在已知X=pxj|ii的 条pij件pi下，，i, jr.v1.Y,2的,条件分布律。
随机过程与排队论
教学内容
1) 概率论的基本知识 2) 随机过程的基本概念
随机过程的定义及分类 随机过程的分布及数字特征 3) 独立过程与独立增量过程 4) 泊松过程 5) 更新过程
2020/6/10
140－2
教学内容
1) 马尔可夫过程 马尔可夫过程的概念 离散参数马氏链 齐次马氏链状态的分类 连续参数马氏链 生灭过程
2020/6/10
140－25
4）协方差
若E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}，称 cov(X,Y)＝E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} ＝E(XY)-E(X)E(Y)
为随机变量X和Y的协方差，称
XY
cov(X, Y) D(X) D(Y)
随机过程总复习.ppt
练习: 设二维随机向量（X，Y）的联合概率密度为
e x 0 y x 1
f (x, y) 0
其它
求1) f X ( x), fY ( y); 2) fY X ( y x);
3)E[Y X ];
4)讨论X ,Y的独立性.
解： fX (x)
f ( x, y)dy
x exdy
0
xex , 0 x 1
注意：分母不等于0
2、条件期望的定义
离散型 连续型
E( X |Y y j ) xi P( X xi | Y y j ) i1
其中
P(X
xi
|Y
yj
)
P(X xi ,Y P(Y yj )
yj
)
E(X |Y y)
x f ( x | y)dx
其中 f ( x | y) 条件概率密度
t 3
x1
et
x1 et
随机过程的数字特征
1．均值函数 X (t ) E[ X (t )]
2．方差函数
D[ X (t)] E[( X (t) X (t))2 ]
3．协方差函数
E[ X 2 (t )] X 2 (t )
(t1, t2 ) E[( X (t1 ) X (t1 ))( X (t2 ) X (t2 ))]
当X为连续型随机变量，
则
E(Y ) E[g(X)]
g(x) f (x)dx
2.方差
称随机变量 [X E(X )]2 的期望 为X的方差，即
var(X ) D( X ) E[( X E( X ))2]
计算方差时通常用下列关系式：
var(X ) D(X ) E[X 2][E(X )]2
随机过程的分类
随机过程总复习
t 0
X ( t)W (s )ds , t 0 ，求 { X ( t), t 0 } 的均值 函数与相关函数 .
第三章 随机分析
2. 均方随机微分方程的求解
X () t at () Xt () Yt () ,t t 0 (0) X 0 Xt
t 0 X ( t ) X e 0
2)
对 0st,N ( t)N (s ) 服从参数为
( t s ) 的 poisson 分布
定理 (到达时间间隔分布) 设{N(t),t≥0} 是参数为λ 的Poisson过程， 是其到达时间间隔序列，则 Tn , 1 ,2 , n 是相互独立同服从参数为λ 的指数分布．
第三章 随机分析
1. 均方连续、均方可导、均分积分的判别准 则以及三者之间的关系
均方连续准则
{X(t), t∈T}在t0处均方连续的充要条件是其相关函数 RX(s, t)在(t0, t0)处连续.
均方可导准则
{X(t),t∈T}均方可导的充要条件是 对任意的t∈T, RX(s, t)在（t, t)处一阶偏导数存在，二阶偏导数存在且 连续． m t m () t () X X
x
2 x x 3 2
（ 2 ） F ( 0 ,; x , x ) P (( X 0 ) x , X () x )
3
12
3 A P (A x 2) x 1 2
1
2
P ( A x1 ) x 1 2 x 2 P ( A 2 x2 ) x 1 2 x 2
称 {X(t),t≥0}为复合Poisson过程.
2 2 E Y , 则 m ( t ) t E Y , D ( t ) t E Y n X n X n
X ( t)W (s )ds , t 0 ，求 { X ( t), t 0 } 的均值 函数与相关函数 .
第三章 随机分析
2. 均方随机微分方程的求解
X () t at () Xt () Yt () ,t t 0 (0) X 0 Xt
t 0 X ( t ) X e 0
2)
对 0st,N ( t)N (s ) 服从参数为
( t s ) 的 poisson 分布
定理 (到达时间间隔分布) 设{N(t),t≥0} 是参数为λ 的Poisson过程， 是其到达时间间隔序列，则 Tn , 1 ,2 , n 是相互独立同服从参数为λ 的指数分布．
第三章 随机分析
1. 均方连续、均方可导、均分积分的判别准 则以及三者之间的关系
均方连续准则
{X(t), t∈T}在t0处均方连续的充要条件是其相关函数 RX(s, t)在(t0, t0)处连续.
均方可导准则
{X(t),t∈T}均方可导的充要条件是 对任意的t∈T, RX(s, t)在（t, t)处一阶偏导数存在，二阶偏导数存在且 连续． m t m () t () X X
x
2 x x 3 2
（ 2 ） F ( 0 ,; x , x ) P (( X 0 ) x , X () x )
3
12
3 A P (A x 2) x 1 2
1
2
P ( A x1 ) x 1 2 x 2 P ( A 2 x2 ) x 1 2 x 2
称 {X(t),t≥0}为复合Poisson过程.
2 2 E Y , 则 m ( t ) t E Y , D ( t ) t E Y n X n X n