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由概率非负性即得
2. P( A) 1 P( A)
3. 有限可加性
由P() 0及完全（可列）可加性 即得
若A1, A2 ,...An , 且AA＝(i j),则
n
n
P( Ak ) P( Ak )
k 1
k 1
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4. A, B P( A \ B) P( A) P( AB) 若B A P( A B) P( A) P(B)
事件的关系与运算
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事 件 序 列{A, n 1}
若An An1, 称之为单调不减序列。
n 1
An
lim
n
An
若An1 An , 称之为单调不增序列。
n 1
An
lim
n
An
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(
n1 k n
Ak )
lim
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公理化定义
集类 粗略地说，由的子集作为元素构成的的集合 称为集类。 {, }是最简单的集类。
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概率
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概 率 空 间(,,P)
：集合，样本空间
：集类， 代数
P：完全可加的集函数，概率 A：的元素，事件 P( A)：事件的概率
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1.古典概型
A
P(
A)
( A) ()
A中的样本点数目 中的样本点数目
隐含了等可能条件
2.几何概型
P(
A)
A点集的面积 点集的面积
隐含了等可能条件
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用示性函数的关系及运算来 表示相关事件的关系及运算
min(a, b) a b, 取 下 端 max(a, b) a b, 取 上 端
I AB () I A () I B () I AB () I A () I B () 若A B, 则I A－B () I A ()－I B () A B I A () I B () A B I A () I B ()，
应用随机过程
清华大学数学科学系
林元烈 主讲
教材：《应用随机过程》（第三次印刷）
林元烈，清华大学出版社
学习要求
• 不仅是掌握知识，更重要的是掌握思想 • 学会把抽象的概率和实际模型结合起来
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学习重点
1. 用随机变量表示事件及其分解——基本理 论
2. 全概率公式——基本技巧
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概率是满足 1) 非负性； 2) 归一性； 3) 可列可加性； 的集函数。
可测集 粗略地说，可以定义长度（面积、体积）的 点集即为可测集；反之称为不可测集。
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概率的性质
1. P() 0
显然有＝ ..， . P() P(), k 1
林元烈，清华大学出版社
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• Buffon试验：最早用随机试验的方法求 某个未知的数。
• 测度：满足非负性、可列可加性的集函 数。
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设集类 {[a,b],a,b R, a b}
则由 生成的代数 ( ) 称为 一维Borel 代数.
，称为一维Borel可测集.
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实际上，设集类
1＝{[a, b),a, b R, a b}, 2＝{(a, b],a, b R, a b}, 3＝{(a, b),a, b R, a b}, ＝{(r1, r2 ),r1, r2为有理数}, 5＝{G : G为R中开集}
1i jn
... (1)n1 P( A1A2...An )
8. 可列次可加性
P( Ak ) P( Ak )
k 1
k 19. 概率连续性若{An , n 1}为单调事件序列，则
P(lim n
An
)
lim
n
P(
An
)
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这部分的详细讨论可以参见
《随机数学引论》
5. P(A B) P(A) P(B) P(AB)
6. 若A B,则P( A) P(B)
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7. Ak ,1 k n, n 2,
n
n
P( Ak ) P( Ak )
P( Ai Aj )
P( Ai Aj Ak )
k 1
k 1
1i jn
以上集类和A生成相同的σ-代数,都是上面提到的一 维Borelσ-代数，即 ( ) ( k ), (1 k 5)
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• 直观地说， ( ) 中包含一切开区间，闭区间， 半开半闭区间，半闭半开区间，单个实数，以及 由它们经可列次并交运算而得出的集类。
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样本点 对于随机试验E，以ω表示它的一个可能 出现的试验结果，称ω为E的一个样本点。
样本空间 样本点的全体称为样本空间，用Ω表示。 Ω ＝{ω}
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随机事件 粗略地说，样本空间Ω的子集就是随机事件，
用大写英文字母A、B、C等来表示。
3. 数学期望和条件数学期望——基本概念
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第一讲
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随机事件与概率
随机试验
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要点：
• 在相同条件下，试验可重复进行；
• 试验的一切结果是预先可以明确的，但每 次试验前无法预先断言究竟会出现哪个结 果。
n
An
lim n
sup An
(
n1 k n
Ak
)
lim
n
An
lim inf n
An
如果 lim n
An
lim
n
An，
则定义 lim n
An
lim
n
An
lim n
An .
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示性函数
I
A
(
)
1, A 0, A
是最简单的随机变量
事件{ : I A () 1} A 用随机变量来表示事件 事件{ : I A () 0} A