应用随机过程 离散鞅
鞅
周生笛
• • • •
鞅的概念 多布—迈耶分解 随机积分 测度变换和鞅表示
概念
• 简单地讲，一个随机变量的时间序列没有表现出 任何的趋势，就可以称之为 鞅。他是一种用条件 数学期望定义的随机运动形式。 • 如果对于任意的n≥0， Sn 的值包含在 f n 中，就称 Sn f为 适应的。 n • 离散鞅：假定 Sn 是滤波空间｛ ，f , , F ｝的 一个适应过程，若： E(Sn ) , n Z 1. E(Sn1 f n ) Sn , n Z 2. Sn 为离散鞅 则称
0
鞅变换
• 鞅的数学期望形式是基于相应的概率测度的，通过这个， 我们可以通过适当的改变概率测度，把任意的一个随机过 程变换为鞅。
X n M n An , n Z
• 2.多布迈耶定理： (t )t(0,) 是一个 f n 适应的右连续的下 如果 鞅，E(St ) , t, 则对于任何0≤t≤ , (St ) 都 可分解为下列形式： St M t At At Mt 是右连续鞅 是一个可料增量过 程。
t 1 t
• 由定义可知，上式
X t 是一个鞅，并称( M )n 为对M的鞅变换
• 鞅变换提供了一个简单但很有用的判断鞅的方法： 当且仅当对于任意可料随机过程θ，有：
E ( M ) n 0
则,M是一个鞅。
• 简单过程随机积分
0 t0 t1 ,..., tn T
E(Sn f n ) 0
• 由上式知对 Sn 在下一时间内变化的最好预 测就是 0。换句话说，该随机变量的未来运 动方向和大小是不可预测的，这就是所谓 鞅性
多布迈耶分解
• 问题：当市场上不存在套利机会时，所有资产价 格都是均衡价格测度下的鞅。那怎样把原本是上 下鞅的资产价格运动过程变成鞅？ • 1.多布分解定理： • 令 ( X n )nz 为一个 f n 的适应下鞅，则它可以唯一 的分解为一个鞅和可料递增随机序列的和：
随机过程-第六章 鞅与停时
E (Yn ) 0 E , Y (n ) ； X 0 0, X n Yi ，则 { X n , n 0} 关于 {Yn , n 0} 是鞅。
i 1
n
-1-
例 6.2 （ 独 立 同 分 布 变 量 之 积 ） 设 Y0 1 ， {Yn , n 1} 服 从 独 立 同 分 布 ， 且
3、若 { X n , n 0} 关于 {Yn , n 0} 是（上）鞅， g 是关于 Y0 , Y1 ,, Yn 的（非负）函数， 则
6.1 离散鞅的定义
定义 6.1 鞅：随机过程 { X n , n 0} 是鞅，如果 n 0 有
（1） E ( X n ) ； （2） E ( X n1 X 0 , X1 ,, X n ) X n , a.s. 鞅是公平赌博的一种推广。 假设我们把 X n 解释为第 n 次赌博后的赌资， 则根据定义 6.1, 第 n 1 次赌博后的平均赌资恰好等于 X n ，无论之前发生怎样的情况，即每次赌博胜负机会 均等。 对（2）式两边取期望得
f ( y) f ( z )dF ( z y)
则称 { X n n f (Yn ), n 0} 是一个鞅。 例 6.4 和例 6.5 将马尔可夫链与鞅这两个重要的随机过程有机地联系起来，在今后的实 际研究中应用广泛。 例 6.6 波利亚（Polya）坛子抽样模型：考虑一个装有红、黄两色球的坛子。假设最初 坛子中装有红黄两色各一个球，每次都按如下规则有放回地随机抽取：如果拿出的是红球， 则放回的同时再加一个同色的球；如果拿出的是黄色的球也采取同样的做法。以 Yn 第 n 次 抽取后坛子中的红球数，则 Y0 1 ， Yn 是一个非时齐的马尔可夫链，转移概率为
a0 (Y1 ) a0 , E[ f (Z0 ) Y1 ] E[ f (Z0 )] ，令
马尔可夫过程与鞅
马尔可夫过程与鞅马尔可夫过程和鞅是概率论和随机过程中常见且重要的概念。
它们在各个领域都有广泛的应用，例如金融、生物学、物理学等。
本文将介绍马尔可夫过程和鞅的基本概念和特性，并探讨它们的应用。
一、马尔可夫过程马尔可夫过程是指具有马尔可夫性质的随机过程。
马尔可夫性质是指在已知当前状态下，未来发展的过程与过去的发展无关。
换句话说，未来的状态只与当前状态有关，与过去的状态无关。
马尔可夫过程可以用一个状态空间和状态转移概率矩阵来描述。
状态空间是指所有可能的状态组成的集合，状态转移概率矩阵描述了从一个状态转移到另一个状态的概率。
马尔可夫过程可以分为离散时间和连续时间两种。
离散时间马尔可夫过程是指时间以离散的方式前进，状态也是离散的。
连续时间马尔可夫过程是指时间是连续的，状态可以是离散的或连续的。
马尔可夫过程有很多重要的性质，例如马尔可夫链的平稳分布、不可约性、遍历性等。
这些性质对于理解和分析马尔可夫过程的行为具有重要意义。
马尔可夫过程在实际应用中有广泛的应用。
例如，在金融领域中，马尔可夫过程可以用来建模股票价格的变动。
在生物学领域中，马尔可夫过程可以用来描述基因的突变和演化。
在物理学领域中，马尔可夫过程可以用来描述粒子在空间中的运动。
二、鞅鞅是一种具有平衡性质的随机过程。
简单来说，鞅是指在给定过去的信息下，未来的期望与当前的值相等。
换句话说，鞅是一种没有偏差的随机过程。
鞅可以用来描述随机过程的平衡性质和无偏性质。
它在金融、统计学、信息论等领域中有广泛的应用。
鞅的性质使得它成为一种重要的工具，在金融领域中可以用来建模和分析股票价格、期权价格等。
在统计学中，鞅可以用来估计未知参数和预测未来值。
在信息论中，鞅可以用来描述信息的平衡性质和无偏性质。
三、马尔可夫过程与鞅的应用马尔可夫过程和鞅在各个领域都有广泛的应用。
它们可以用来建模和分析各种随机过程，并提供了一种有效的工具和方法。
在金融领域中，马尔可夫过程和鞅可以用来建模和分析股票价格的变动。
随机过程第3章离散鞅论
3.12 Azuma不等式的推广
3.12 Azuma不等式的推广
推广应用 注意不等式的特点
3.13 鞅论的应用(2)
Sn n
拖尾概率 的估计
3.13 鞅论的应用(2)
请注意 ?
鞅的应用要点
几个特定的例题 古典概率的拖尾估计 鞅的构造特点以及注意事项
3.14 连续鞅论介绍
3.14 连续鞅论介绍
3.10 鞅论的应用(1)
关于随机移动 几个基本问题
与结论
仔细研究, 能否利用 古典概率 方法计算讨论?
征集答案
3.10 鞅论的应用(1)
思考?
注意停时 的定义与应
用
3.10 鞅论的应用(1)
理论结果 与直观判定
说明 理由
3.10 鞅论的应用(1)
为什么 上升一步
3.10 鞅论的应用(1)
3.8 上穿不等式及应用
问题简化技巧
3.8 上穿不等式及应用
3.8 上穿不等式及应用
用上 穿的 几何 特征
3.8 上穿不等式及应用
推广
3.8 上穿不等式及应用
收敛性分析
3.8 上穿不等式及应用
3.9 极大值不等式与Doob定理
一些重要的不等式
转化技巧
类似推导
S<0
认真思 考
3.9 极大值不等式与Doob定理
3.14 连续鞅论介绍
关于连续鞅的例子
利用泊松过程构造的鞅 （第4章内容）
利用Brown运动构造的鞅 （第5章内容）
本章重点
鞅的定义与不变量 上鞅,下鞅的定义与分解定理 上鞅,下鞅 与鞅的基本构造方法 几个重要的不等式 停时定义与停时定理的应用例题
随机过程中的条件分布与鞅的计算与应用
实例3：随机游 走模型
实例4：蒙提霍 尔问题
鞅的计算实例
添加标题
定义：鞅是一种特殊的随机过程，其条件分布与非条件分布相等
添加标题 添加标题 添加标题
计算方法：利用条件概率和期望公式进行计算
实例：假设有一个随机过程，其条件分布与非条件分布相等，可以通过 计算条件概率和期望值来得出该随机过程的鞅性质
应用：鞅在金融、统计学等领域有广泛应用，可以用于风险评估和投资 组合优化等
鞅在信息论中的应用
应用：在信息论中，鞅被用 于描述随机信号的统计特性， 如随机游走、布朗运动等
定义：鞅是一种特殊的随机 过程，其未来期望值等于当 前值
优势：鞅具有平稳性和遍历 性，能够提供对随机信号的
深入理解
实例：在通信系统中，利用 鞅理论分析信号的传输质量
和可靠性
鞅在物理中的应用
随机过程在物理学中的应用
条件分布的性质：条件分布具有独立性、对称性、可加性等性质。
条件分布的应用：在统计学、概率论、金融等领域中，条件分布被广泛应 用于各种场景，如回归分析、贝叶斯推断等。
条件分布的计算方法
定义：在给定某 些随机事件或随 机变量的条件下， 另一随机事件的 概率分布。
计算步骤：首先 确定条件，然后 使用概率公式计 算条件概率，最 后得出条件分布。
用。
研究方法不同： 条件分布主要 通过概率论的 方法进行研究， 而鞅主要通过 分析的方法进
行研究。
条件分布与鞅的转换关系
条件分布与鞅的 关系：在随机过 程中，条件分布 与鞅之间存在一 定的转换关系， 即条件分布可以 转换为鞅，鞅也 可以转换为条件
分布。
转换方法：通过 特定的数学公式 和技巧，可以将 条件分布转换为 鞅，或者将鞅转 换为条件分布。
鞅的二次变差概念
鞅的二次变差概念引言鞅是概率论中重要的概念之一，其二次变差是对鞅性质的量化度量。
鞅的二次变差概念在金融学、统计学等领域有广泛的应用。
本文将全面深入地探讨鞅的二次变差概念，包括其定义、性质、应用等方面。
鞅的定义鞅是一类随机过程，具有一种性质，即在给定过去的信息下，其未来的表现是无偏的。
对于一个离散的随机过程{X n }n=1∞，如果对于任意的正整数n ，均有E [X n |X 1,X 2,...,X n−1]=X n−1，则称其为鞅。
二次变差的定义二次变差是对随机过程波动性的度量。
对于一个离散的鞅{X n }n=1∞，其二次变差可以定义为：[X ]n =∑(X i −X i−1)2ni=1二次变差的性质二次变差具有以下几个重要的性质：鞅的二次变差是逐步增加的对于一个鞅{X n }n=1∞，其二次变差[X ]n 是逐步增加的，即对于任意的正整数n ，均有[X ]n ≥0。
这表明了随机过程的波动性不会减少。
鞅的二次变差是增量的平方和对于一个鞅{X n }n=1∞，其二次变差可以表示为增量的平方和的形式，即[X ]n =∑(X i −X i−1)2n i=1。
这表明二次变差可以通过增量进行计算。
鞅的二次变差是有界的对于一个鞅{X n }n=1∞，如果存在常数C ，使得对于任意的正整数n ，均有[X ]n ≤C ，则称该鞅具有有界的二次变差。
有界的二次变差在金融学中具有重要的应用。
鞅的二次变差与停时的关系对于一个鞅{X n }n=1∞和一个停时τ，则有[X τ]τ=[X ]τ。
这表明鞅的二次变差可以通过停时来进行计算。
鞅的二次变差在金融领域的应用金融市场的波动性衡量鞅的二次变差可以用来衡量金融市场的波动性。
通过计算股票价格序列的二次变差，可以得到该股票的波动性指标，从而为投资者提供参考。
期权定价模型鞅的二次变差在期权定价模型中有广泛的应用。
例如，布朗运动是一种满足鞅性质的随机过程，而利用布朗运动的二次变差，可以构建出著名的布莱克-舒尔斯期权定价模型，为期权定价提供了重要的理论基础。
随机过程的鞅不等式应用
随机过程的鞅不等式应用在概率论和随机过程中，鞅是一类特殊的随机过程，具有许多重要的性质和应用。
其中，鞅不等式是鞅理论中的一个重要结论，它在概率论和统计学中有着广泛的应用和意义。
本文将介绍随机过程的鞅不等式及其应用。
什么是鞅在概率论中，鞅是一类特殊的随机过程，通常用来描述随机过程中的平稳性质。
具体来说，一个离散时间的鞅是一个随机过程，对于每个固定的时刻，其数学期望都是已知的，而且在未来的任意时刻，这个数学期望仍然是已知的。
鞅的名称来自法语“鞅”，意为系在工作畜身上防止其逃跑的绳索，表示鞅在一定程度上控制了过程的行为。
鞅不等式随机过程的鞅不等式是鞅理论中的一个重要结果，它给出了随机过程中随机变量的上界和下界的概率估计。
具体来说，设M t是一个鞅，T是一个停时，那么对于任意$t \\geq 0$，下面的不等式成立：$P(\\max_{0 \\leq s \\leq t}M_s \\geq x) \\leq \\frac{E[M_t]}{x}$这个不等式说明了M t的取值超过给定阈值x的概率受到了E[M t]的控制，即鞅的数学期望。
随机过程的鞅不等式在概率论和统计学中有着广泛的应用，特别是在随机过程的极限理论、随机分析和风险管理等领域中。
鞅不等式的应用在金融领域中的应用在金融领域中，随机过程的鞅不等式被广泛应用于风险管理和金融工程中。
例如，通过对金融资产价格的鞅不等式估计，可以对金融市场的波动性和收益率进行预测和控制，从而有效地降低投资组合的风险。
在统计学中的应用在统计学中，随机过程的鞅不等式被用来推导统计量的渐近性质，比如极限定理和大数定律等。
通过鞅不等式的应用，可以更好地理解和分析随机过程中的波动性和收敛性，为统计推断和模型选择提供理论基础。
在信号处理中的应用在信号处理领域中，随机过程的鞅不等式常常用于分析和处理信号的随机性和稳定性。
通过鞅不等式的应用，可以设计出更有效和稳定的信号处理算法，提高信号处理的准确性和性能。
随机过程--鞅
并且由于可以借助现代数值计算技术，它还提供了更为强大的运算能力，而这对于实际工 作又是至关重要的。
在本章中，我们首先在离散时间下，使用在概率基础一章中接触到的分割、条件数学 期望等概念来严格地给出鞅的定义。然后澄清一些性技术要求并给出连续时间鞅的概念。 介绍一些常见的鞅的例子。在讨论了鞅的两个重要子类之后，
F a = {{uu},{ud},{du},{dd}} F b = {uu, ud , du, dd}
F c = {{uu,ud},{du},{dd}} F d = {{uu},{uu,ud},{du},{dd}}
F e = {{uu},{ud},{du}} 根据我们在概率论一章中学习过的知识，我们知道 F a ， F b 和 F c 都是对样本空间 Ω 的一种分割。这是因为按照分割的定义，它们各自包含的所有元素的并集构成了整个状 态空间，而它们所包含的元素两两相交的结果是空集。 F d 和 F e 则不是分割，因为 F d 中前两个元素的交集不是空集，而是{uu} ；而 fe 的所有元素的并也没有构成整个状态空 间，缺少了{dd} 。
10．3．2 多布-迈耶定理 10．3．3 二次变差过程 10．4 再论随机积分 10．4．1 鞅变换和随机积分 10．4．2 简单过程随机积分 10．4．3 再论伊藤积分 10．5 测度变换 10．5．1 直观理解 10．5．2 拉登-尼科迪姆导数 10．5．3 哥萨诺夫定理 10．5．4 鞅表示定理
如果不做什么手脚他的运气应当是同他以前的赌博经历无关的用表示他在赌完第n次后拥有的赌本数如果对于任何n都有成立即赌博的期望收获为0仅能维持原有财富水平不变就可以认为这种赌博在统计上是公平的ex就是对这种价格运动的预测而恰好鞅就是用条件数学期望来定义的这种相似性就激发了使用鞅和与之相关的数学概念来描述金融资产价格运动过程特征的热情鞅在20世纪80年代以后迅速成为主流金融经济学研究中标准的时髦
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一个重要的不等式：条件Jenson不等式
设是R上的凸函数，随机变量M满足：(1) E | M | ; (2) E | (M) | . 则
E[ (M) | Fn ] [ E((M) | Fn )].
如果{Mn , Fn ,n 0}是的鞅(下鞅),是R上的凸函数，且 定理： E (Mn ) , n 0, 则{ (Mn ), Fn ,n 0}是下鞅. 特别地， {| Mn |, Fn ,n 0}是下鞅；
代数流. “Xn是(Y0，Y1，...,Yn )的函数”是指{Xn }是{Fn}适 应的.
设{Fn，n 0}是F上的上升的 子代数列. 随机过程{Xn， 定义： n 0}称为关于{Fn，n 0}的鞅， 如果{Xn }是{Fn }适应的， E(|Xn |)
并且对任意的n 0，有 <，
E(Xn+1 | Y0，Y1，...,Yn ) Xn .
注：随机过程{Xn，n 0}是关于{Yn，n 0}的鞅，需满足：
(1)对n 0，Xn是(Y0，Y1，...,Yn )的函数； (2) E( | Xn | )<;
(3) E(Xn+1 | Y0，Y1，...,Yn ) Xn .
当E(Mn 2 ) , n 0时， {Mn 2 , Fn ,n 0}也是下鞅.
证明作为作业
证明一个随机过程{Xn，n 0}是关于{Yn，n 0}的鞅，分别
验证上述三个条件即可.
“鞅”概念提出的背景：鞅描述的是“公平”赌博，下鞅 和上鞅分别描述“有利”赌博和“不利”赌博.
接下来我们学习关于 代数的鞅.
首先引入一些概念：设(,F , P)是一个概率空间.
称之为 {Fn , n 0}是F上的一列 子代数， 且Fn Fn1，n 0， 子代数流.
X n是 随机过程{Xn，n 0}称为 {Fn }适应的，如果对任意的n 0，
关于Fn可测的，即对任意的x R， {Xn x} Fn . {Xn，Fn，n 0}称为适应列.
注：解释上述定义中的条件“Xn是(Y0，Y1，...,Yn )的函数”. 令Fn (Y0，Y1，...,Yn )，n 0. 易证{Fn，n 0}是一个
定义知，就平均而言，他在下一次赌博结束时的赌资=现在所 有的赌资，与他过去的输赢无关. 这正表达了鞅所具有的一种
“无后效性”,体现了博弈的公平.
例题： 设{Xi，i 0}是一列零均值独立同分布的r.v.列，且
E | X k | , 令S0 0，Sn k =1 X k . 证明： {Sn }是鞅.
证明一个随机过程{Xn，n 0}是关于{Fn，n 0}的鞅，分别
验证上述三个条件即可.
命题：
(1)适应列 {Xn , Fn ,n 0}是下鞅 适应列 {Xn ,Fn ,n 0}是上鞅. 则 {aXn bYn , Fn ,n 0}是下鞅. (3)如果{Xn , Fn ,n 0},{Yn , Fn ,n 0}是两个下鞅,则 {max{Xn ,Yn }, Fn ,n 0}是下鞅.
n
若Xi，i 0，的均值 0，证明： {Sn }是下鞅. 若Xi，i 0，的均值 0，证明： {Sn }是上鞅. 若Xi，i 0，的均值 0，证明： {Mn =Sn n}是鞅.
我们证明： {Sn }是鞅. 实际上是证明 {Sn }是关于{Fn }的鞅, 注： 这里的Fn ( X1, X 2 ,...X n ). 证明见黑板.
(2)如果{Xn , Fn ,n 0},{Yn , Fn ,n 0}是两个下鞅,a,b是两个常数，
(3， )如果{Xn , Fn ,n 0},{Yn , Fn ,n 0}是两个上鞅,则
{min{Xn ,Yn }, Fn ,n 0}是上鞅.
注：用Xn 表示一个赌徒在第n此赌博后所拥有的赌资. 由鞅的
(Y0，Y1，...,Yn )的函数， EXn ，并且
E(Xn+1 | Y0，Y1，...,Yn ) Xn，
其中Xn =max{0，Xn }，Xn =max{0，-Xn }.
如果随机过程{Xn，n 0}关于{Yn，n 0}，既是下鞅又是下鞅， 则称之为关于{Yn，n 0}的鞅. 此时
E(Xn+1 | Fn ) Xn .
并且对任意的n 0，有 适应列{Xn，Fn，n 0}称为下鞅，
EXn 且 E(Xn+1 | Fn ) Xn．
下鞅的定义类似，见黑板．
注：随机过程{Xn，n 0}是关于{Fn，n 0}的鞅，需满足： (1)Xn是Fn适应的； (2) E( | Xn | )<; (3) E(Xn+1 | Fn ) Xn .
离散鞅
引入：特殊的随机过程—鞅， 起源于“公平博弈”，近来在金
融、保险和医学应用很大. 离散鞅—离散时间的鞅.
定义： 随机过程{Xn，n 0}称为关于{Yn，n 0}的下鞅，
如果对n 0，Xn是(Y0，Y1，...,Yn )的函数， EXn ，并且
E(Xn+1 | Y0，Y1，...,Yn ) Xn， 称{Xn，n 0}为关于{Yn，n 0}的上鞅， 如果对n 0，Xn是