应用随机过程答案1
清华大学随机过程答案1
3. 质点在直线上做随机运动，即在 t = 1, 2, 3, · · · 时质点可以在 x 轴上往右或往左做一个 单位距离的随机游动。若往右移动一个单位距离的概率为 p，往左移动一个单位距离的 概率为 q，即 P {ξ (i) = +1} = p，P {ξ (i) = −1} = q，p + q = 1，且各次游动是相互统 ∑n 计独立的。经过 n 次游走，质点所处的位置为 ηn = η (n) = ξi。
参考答案：
(1) V = a 时，一条样本轨道为典型的正弦曲线。 2
(2) ξ (0) = 0，fξ(0)(x) = δ(x)；ξ (π/2ω) = V ，其概率密度同 V 一样。
(π) ξ
4ω
=
V
√ 2
,
fξ(
π 4ω
)
(x)
=
√ 2 a
,
0
<
0, 其他
xHale Waihona Puke <√a 2() 5π
ξ 4ω
=
V
−
√ 2
n
pmqn−m = pn − qn。
m=0
m
∑n
解法二：因各次游走是相互统计独立的，则 E [η (n)] = E[ξi] = (p − q)n。
i=1
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3
(2) 假设 n1 < n2,
Rηη (n1, n2) = E [η (n1) η (n2)] = E {η (n1) [η (n1) + η (n2) − η (n1)]} = E[η (n1)]2 + E [η (n1)] E [η (n2) − η (n1)] = {E [η (n1)]}2 + V ar [η (n1)] + (p − q)2n1 (n2 − n1) = (p − q)2n21 + n1V ar [ξi] + (p − q)2n1 (n2 − n1) = (p − q)2n1n2 + n1[1 − (p − q)2]
随机过程作业和答案第一二章
随机过程作业第一章 P9例题6：随机过程X(t)=A+Bt, t ≥0, 其中A 和B 是独立随机变量，分布服从正态分布N(0, 1)。
求X(t)的一维和二维分布。
解 先求一维分布。
当t 固定，X(t)是随机变量，因为 EX(t)=EA+tEB=0, DX(t)=DA+2t DB=1+2t故X(t)具有正态分布N(0, 1+2t )。
这亦是随机过程X(t)的一维分布。
再求二维分布。
当1t , 2t 固定， X(1t )=A+B 1t , X(2t )=A+B 2t因A 、B 独立同正态分布，故(A, B)T 亦为二维正态分布。
则其线性变换也服从正态分布。
且所以二维分布是数学期望为(0, 0)T,协方差矩阵 的二维正态分布。
P10例题7：随机过程X(t)=Acost, -∞<t<∞,其中A 是随机变量,且有分布列 A 1 2 3 P 1/3 1/3 1/3 求 (1) 一维分布函数(2) 二维分布函数解 (1) 先求所以222211211)DX(t ,1)DX(t , 0)EX(t ,0)(t t t EX +=+===212121211))(())()X(t ())X(t ),(cov(t t Bt A Bt A E t X E t X +=++==⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++222121211111t t t t t t )3π,0x x F )2πF(x;x F ;,( ),4;(21π( ;) 4F x π。
X()cos ,442A A ππ==显然，三值，，易知它仅取2232 22{()42P X π=={cos 42P A π==1P{A 1},3==31}223)4({ ,31 }2)4({====ππX P X P 同理，⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<= 2 23 x 1,2 23x 2 ,32 2 x 22 ,3122 x 0 )4; ( ，πx F进而有P18例题1：具有随机初相位的简谐波 其中a 与 是正常数，而 服从在区间[0，2 ]上的均匀分布， 求X(t)的数学期望方差和相关函数。
随机过程习题和答案
一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为： 试求:在时,求。
解：当时， ＝ ＝1.2 设离散型随机变量X 服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。
解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。
解：（1）与无关 （2），所以 （3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。
2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。
试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。
以小时为单位。
则((1))30E N =。
40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。
3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。
随机过程习题和答案
一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。
解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。
解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。
解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。
2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。
试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。
以小时为单位。
则((1))30E N =。
40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。
3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。
随机过程及其应用_习题答案(陆大金)
ζ (t ) = V sin(ωt + φ ) = V sin φ cos ωt + V cos φ sin ωt = ξ cos ωt + η sin ωt
⎧V = ξ 2 + η 2 (0 < V < +∞) ⎪ ⎨ −1 ξ (0 < φ < 2π ) ⎪φ = tan η ⎩
⎧ξ = V sin φ ⎨ ⎩η = V cos φ
解（1） ： ξ (t ) 取值在 0，A 之间，且均匀分布
⎧1 (0 ≤ x ≤ A) ⎪ fξ ( t ) ( x ) = ⎨ A ⎪ ⎩0 (其它值）
解（2） ： 令 ξ (t ) ＝x，则 x=k(t- τ 0 )， (0 ≤ x ≤ A) ，t= t − ⎢ ⎥T , k 为斜率。所以 τ 0 =t'
η 是随机变量，且相互统计独立，它们的概率密度为
fξ ( x) = fη ( x ) = 1 x2 exp{− } ( −∞ < x < ∞ ) 2 2π 1 y2 exp{− } ( −∞ < y < ∞) 2 2π
即 ξ 和η 是正态分布 N（0，1）随机变量。若把 ζ (t ) 写成 ζ (t ) = V sin(ωt + φ ) 的形式， （1）求 f v ( v ), f ϕ (ϕ ), f vϕ ( v, ϕ ), 问 V 和 φ 是否统计独立。 （2）画出 ζ (t ) 的典型样本函数； （3）求 ζ (t ) 的一维概率密度 f ξt ( z ) ； （4）设有事件 A， AΔ{ 解（1） ：
第6题 并设 x 是一实数， 定义另一个随机过程 η (t ) ⎨ 设有随机过程 ξ (t ) ，
⎧η (t ) = 1 (ξ (t ) < x ) ⎩η (t ) = 0 (ξ (t ) ≥ x )
应用随机过程课后习题解答 毛用才 胡奇英
第一章习题解答1． 设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k ===。
求X 的特征函数，EX 及DX 。
其中01,1p q p <<=-是已知参数。
解()()jtxjtkk X k f t E eepq ∞===∑()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑222()()[()]q D X E X E X P =-=（其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑）令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰202201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰）2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2） 其期望和方差；（3） 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。
解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 10(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰ （2）'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b +== 222()()()PD XE X E X b∴===（4） 若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+同理可得：()()iiP X b f t b jt∑=∑-3、设X 是一随机变量，()F x 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。
随机过程习题答案
1 X ( )与 X (1)的联合分布律为 2 1 X( ) 0 1 2 X (1) −1 +2 1 2 0 0 1 2
0, 0, 1 1 , ⇒ F ( x1 , x2 ; ,1) = 2 2 1 , 2 1,
x1 < 0, −∞ < x2 < +∞ x1 ≥ 0, x2 < −1 0 ≤ x1 < 1, x2 ≥ −1 x1 ≥ 1, −1 ≤ x2 < 2 x1 ≥ 1, x2 ≥ 2
假定 Z (t ) = X + Yt , t ∈ R.若已知二维随机变量 例3 σ 12 ( X , Y )的协方差矩阵为 ρσ 1σ 2 的协方差函数.
ρσ 1σ 2 ,试求 Z (t ) 2 σ2
解 CZ (t1 , t2 ) = E[( X + Yt1 − ( µ X + µY t1 ))( X + Yt2 − ( µ X + µY t2 ))] = E[(( X − µ X ) + (Yt1 − µY t1 ))(( X − µ X ) + (Yt2 − µY t2 ))] = E[( X − µ X )( X − µ X )] + t2 E[( X − µ X )(Y − µY )] +t1 E[(Y − µY )( X − µ X )] + t1t2 E[(Y − µY )(Y − µY )]
(3)、令 Z (t ) = aW ( t a 2 ) ⇒ µ Z (t ) = aE[W ( t a 2 )] = 0 C Z (t1 , t 2 ) = E[ aW ( t1 a 2 ) aW ( t2 a 2 )] = a 2 E[W ( t1 a 2 )W ( t2 a 2 )] = a 2σ 2 min{ t1 a 2 , t2 a 2 } = σ 2 min{t1 , t 2 }, t1 , t 2 ≥ 0
李晓峰应用随机过程课后习题_随机过程答案CH1
习 题一、习题编号本次作业：1，2， 7，9，12，17，18，19，23，25 二、习题解答1.1 设随机试验E 是将一枚硬币抛两次，观察H -正面，T -反面出现的情况，试分析它的概率空间(),,P Ω。
解1.1： 样本空间：Ω = {HH, HT, TH, TT}集类：F = { Ø, Ω, {HH}, {HT}, {TH}, {TT},{HH,HT}, {HH, TH}, {HH,TT}, {HT, TH}, {HT, TT}, {TH, TT}, {HH, HT, TH}, {HH, HT, TT}, {HT, TH, TT}, {TH, TT, HH}, }概率：P: P{HH} = P{HT} = P{TH} = P{TT} = 1/41.2 设,A B ∈Ω，集类{},A B =。
试求：()σ的所有元素。
解1.2：因为：{},A B =所以：(){},,,σ=∅Ω1.3 设四个黑球与两个白球随机地等分为A 与B 两组，记A 组中白球的数目为X ；然后随机交换A 与B 中一个球，再记交换后A 组中白球的数目为Y 。
试求：（1）X 的分布律；（2）Y|X 的分布律；（3）Y 的分布律。
解1.3：（1）总计有2个白球，因此，X 的取值为0，1，2。
等分共有36C 种分法，等分后，X 取值分别为0，1，2的概率为：3211244242333666012012131()()555XX C C C C C P X P X C C C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）交换一个球后，1）如果X 中没有白球，则交换后Y 可能取值为0、1 2）如果X 中有一个白球，则交换后Y 可能取值为0、1、2 3）如果X 中有两个白球，则交换后Y 可能取值为1、2|0|01|00|11|12|11|22|21225221(|)3399933Y XP Y X ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（3）20()(|)()i P Y P Y X i P X i ====∑2(0)(0|)()1123359515i P Y P Y X i P X i =======⨯+⨯=∑2(1)(1|)()21532135953535i P Y P Y X i P X i =======⨯+⨯+⨯=∑2(2)(2|)()23110953515i P Y P Y X i P X i =======+⨯+⨯=∑故Y 的分布律为：012131()555YP Y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭1.4 设A 与B 是概率空间(),,P Ω上的事件，且()01P B <<，试证明：A 与B独立的充要条件为：()()|=|P A B P A B 。
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2. （1） 求参数为的()b p ,分布的特征函数，其概率密度为Γ()()是正整数p b x x e x p b x p bx p p ,0 000,1>⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=−−（2）求其期望和方差。
（3）证明对具有相同参数的b Γ分布，关于参数具有可加性。
p 函数有下面的性质：解 （1） 首先，我们知道Γ()()! 1−=Γp p根据特征函数的定义，有()[]()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()pp p x jt b p p xjt b p p x jt b p p xjt b p p xjt b p p bxp p jtxjtxjtXX jt b b jt b p p b dxe x jt b p p b dx e x jt b p p b dx e x jt b p p b e x jt b p b dx e x p b dx e x p b edx x p e e E t f ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−−Γ=−−Γ==−−Γ=−−Γ+−−Γ=Γ=Γ===∫∫∫∫∫∫∞−−−∞−−−∞−−−∞−−−∞−−−−−∞∞∞−!1!11110010202010110L所以()pX jt b b t f ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=（2）根据期望的定义，有[]()()()()()()()bpdx x p b p dx e x p b b p dx e x bp p b e x bp b dx e x p b dx e x p b x dx x xp X E m bx p p bx p p bxp p bx p p bx p p X ==Γ=Γ+−Γ=Γ=Γ===∫∫∫∫∫∫∞∞−∞−−∞−−∞−∞−∞−−∞∞−010100011类似的，有[]()()()()()()()()()()()()()2201200010101222111111b p p dx x p b p p dx e x p b b p p dx e x b p p b dx e x bp p b e x bp b dx e x p b dx e x p b x dx x p x XE bxp p bxp p bxp p bxp p bx p p bx p p +=+=Γ+==+Γ=+Γ+−Γ=Γ=Γ==∫∫∫∫∫∫∫∞∞−∞−−∞−∞−∞−+∞−+∞−−∞∞−L的方差为X 所以，[]()222221b pb p b p p mXE D XX =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=−=（3）()()()jt jnt jt e n e e t f −−=115. 试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。
()t f 解. 根据定理 1.3.2（第10页）, 我们只需证明是连续非负定，且。
()10=f 注意到()()()()∑∑=−===−−=−−=n k jkt n k jktjt jt njtjt jtjnt jt e n ene e e n e en e e t f 111111所以连续且. 下面我们证明()t f ()10=f ()t f 是非负定的（性质1.3.3，第8页）。
对任意给定的自然数M ，实数以及复数，由于M t t t ,,,21L M a a a ,,,21L ()()()()()()∑∑∑∑==−−−==−−=−=Mi Mk k i t t j t t jn t t j Mi Mk k i k i a a e n e e a a t t f A k i k i k i 111111 ()()()()()()()()()()()Aa a e n e e a a e n e e a a t t f A Mk M i i k t t j t t jn t t j Mi Mk ki t t j t t jn t t j M i Mk k i k i i k i k ii k k i k i k i =−−=−−=−=∑∑∑∑∑∑==−−−−==−−−−−−==1111111111ne jltA ,,2,1n l L =所以是实数。
其次，容易证明对任意函数是非负定的。
因此，函数是非负定的。
()t f ()t f 是特征函数。
()t f 下面我们求对应的随机变量的概率密度函数。
根据定理1.3.1（第10页），()()()()∑∑∑∫∫===∞∞−−∞∞−−−=−===nk n k n k jktjtx jtxk x n k x n dte e n dt et f x p 11112212121δπδπππ()211t t f +=5. 试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。
解. 容易证明连续且()t f ()10=f ()t f ，下面我们证明是非负定的。
对任意给定的自然数M ，实数以及复数，首先，由于M t t t ,,,21L M a a a ,,,21L ()()∑∑∑∑====−+=−=Mi Mk k i ki Mi Mk k i k i a a t t a a t t f A 1121111， 是实数。
其次，A 显然()()(){}(){}max 11max 11112212,112,11211≥+++−+=−+≥−+=−=∑∑∑∑∑∑======M k i ki M i Mk kik i ki Mi Mk k i k i Mi Mk k i k i a a a t t aa t t a a t t a a t t f A L所以是非负定的。
()t f 最后，根据定理1.3.1（第10页），()()x jtxjtxedt e t dt t f ex p 211121212=+==∫∫∞∞−−∞∞−−ππ()∞∞−∈,x()2,σa N 7. 设相互独立服从正态分布n X X X ,,,21L 。
试求维向量的分布，并求其均值向量和协方差矩阵，再求n ∑==ni iX n X 11(n X X X ,,,21L )的概率密度函数。
()2,σa N 解. 由于相互独立服从正态分布n X X X ,,,21L ，维向量的均值向量为n ()a a a ,,,L =μ(n X X X ,,,21L )，协方差矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=222σσσOB ，()的分布为()B N ,μ。
nX X X ,,,21L ()1,,1,11L nl =∑==ni i X n X 11，则，a l ='μ根据题意，。
令()n n n lBl 2222'11111,,1,11σσσσ=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=M OL根据性质1.4.4（第14页），()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=na N lBl l N X 2'',,~σμ()1,0N 11. 设相互独立，且都服从211X X Y +=321,X X X 和。
试求随机变量和组成的随机向量()21,Y Y Y =的特征函数。
312X X Y +=解. 令，则 ()321,,X X X X =⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111,0~N X ()()()XA X X X X X X X Y Y Y =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=++==:100111,,,,321312121 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2112100111101011111'A A根据性质1.4.5（第15页），()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2112,0,~N B N Y Y Y μ 根据定理1.4.1（第13页），()()222121''exp 211221exp 21exp t t t t t t t tB t j t f Y Y Y −−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=μ()1,0N 。
试求 12. 设相互独立，且都服从321,X X X 和()321,,X X X 的特征函数（1）随机向量（2）设,,,321321211X X X S X X S X S ++=+==求随机向量()的特征函数。
321,,S S S ()21,Y Y （3）和的特征函数。
121X X Y −=232X X Y −=组成的随机向量跟上题的解法完全一样。
()1,0N 15. 设是相互独立同服从正态分布Y X ,的随机变量，讨论和YXV =的独立性。
22Y X U +=解. 我们知道，随机向量的概率密度函数为(Y X ,)()2,2221,y x Y X e y x f +−=πYXV =根据，有 。
由0>U YV X =22Y X U +=知，代入，可得，所以Y 由两个解，即：22Y X U +=()()22221Y V Y YV U +=+=,1 ,12221VU Y VU Y +−=+=类似的，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=212111V U Y V V U X ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+−=+−=212111V U Y V VU X 下面我们求Jacobi 行列式。
容易验证：()2/3211V U V X +=∂∂2112V U VU X +=∂∂， ，()2/3211V VU V Y +−=∂∂21121VU U Y +=∂∂， ， 所以，()()()21111111121,,VVY UY V X U X V U Y X J +−=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂= 类似地，()()()2222121,,VV U Y X J +−=∂∂=因此，随机向量的概率密度函数为(V U ,)()()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−×=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−+−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=2exp 11211211121exp 2121,11,1,222222222,122,,u v v vu v v u J v u v v u f J v uv v u f v u g Y X Y X V U ππ由上式可得U 和V 的概率密度函数：()()()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+==∫∫∫∞∞−∞∞−∞∞−2exp 21112exp 212exp 1121,22,u dv v u dv u v dv v u g u g V U U ππ()()()()()()202022,112exp 21111212exp 11212exp 1121,v u v du u v du u v du v u g v g V U V +=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+==∞∞∞∞−∞∞−∫∫∫ππππ 所以，()()()v g u g v u g V U V U =,,即是独立的。