随机过程 (张卓奎 著) 习题答案 西电出版社
(完整word版)随机过程试题及答案(word文档良心出品)
一．填空题（每空2分，共20分）1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为it (e -1)eλ。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为1(sin(t+1)-sin t)2ωω。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为1λ的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从Γ分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e t t X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间212t,t,;e,e 33⎧⎫⎨⎬⎩⎭。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ij P (p )=，二者之间的关系为(n)n P P =。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为(n)ji ij i Ip (n)p p ∈=⋅∑。
8．在马氏链{}n X ,n 0≥中，记 {}(n)ij v n 0f P X j,1v n-1,X j X i ,n 1,=≠≤≤==≥(n)ij ij n=1f f ∞=∑，若ii f 1<，称状态i 为非常返的。
9．非周期的正常返状态称为遍历态。
10．状态i 常返的充要条件为(n)iin=0p∞=∑∞。
二．证明题（每题6分，共24分）1.设A,B,C 为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式：P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
证明：左边=P(ABC)P(ABC)P(AB)P(C AB)P(B A )P(A)P(AB)P(A)===右边2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。
随机过程1(1.1) (2)
离散型随机变量：
Geometric Random Variable
Poisson Random Variable
当二项随机变量中参数n很大，p很小时， 二项随机变量可以近似看作是Poisson随 机变量。
连续型随机变form Random Variable
T=[0,24,……)
4.根据参数集与状态空间离散与否,随机过程可分为
●离散参数,离散状态的随机过程 (例3)
● 离散参数,连续状态的随机过程 (例4)
● 连续参数,离散状态的随机过程 (例1)
● 连续参数,连续状态的随机过程 (例2)
参数集为离散的随机过程也称为随机序列， 或时间序列．
§2 随机过程的有限维分布函数族
随机过程基本概念 随机分析 平稳过程 马尔科夫过程（链）
教材
《随机过程》张卓奎 陈慧婵 西安电子科技大学出版社 2003 《随机过程 同步学习指导》 张卓奎 陈慧婵
西安电子科技大学出版社 2004
参考教材
1.《随机过程》毛用才 胡奇英 西安电子科技大学出版社 1998 2.《随机过程理论》 周荫清 电子工业出版社 第二版 2006 3.《 An introduction to stochastic processes 》 Edward P.C. kao Thomson 2003
n 1 n 1
则称P为E的概率。
概率的性质：
(1) P( ) 0 ; (2) Monotonicity: 若E F, P( E ) P( F ) (3) P(E c ) 1 P(E) P( En ) P( En ) (4) Subadditivity: 布尔不等式： n 1 n 1 n n (5) P( Ei ) P( Ei ) P( Ei E j )
随机过程答案(张卓奎)
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1 故 ( X ( ), X (1)) 的联合分布率为 2
X (1)
1 X( ) 2
－1 1 2 0
2 0 1 2
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1 1 1 4 4 2 1 1 1 P (Y2 2) P ( X 1 1 ， X 2 1) P( X 1 1) P( X 2 1) 2 2 4
课 后
P(Y2 2) P( X 1 1 ， X 2 1) ＝ P( X 1 1) P ( X 2 1)
4．先证明 Z (t ), t 是正态过程，由 X ，Y 相互独立同服从正态分布 N (0, 2 ) ，因此
案
再求 Z (t ), t 的相关函数。
RZ (s , t ) E[Z ( s ) Z (t )] E[( X Ys)( X Yt )]
－1，出现正面 ， 由于 X (1) 2，出现反面
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0，出现正面 1 ， 由于 X ( ) 2 1，出现反面
1 所以 X( ) 的分布率为 2
） 的分布率为 所以 X(1
1 令 H 出现正面 （2） 由 （1） 知，( X ( ), X (1)) 可被取值为：(0,1) ，(0, 2) ，(1,1) ，(1,2) 。 2
X
j 1
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n n n RY (m, n) EYm Yn E X i X i E i 1 i 1 i 1
随机过程习题答案及知识点
协方差矩阵及n 维正态分布1、设n 维随机变量）（n X X ,,,X 21⋯的二阶混合中心距：[][];,,2,1,},)()({),(,n j i j X E j X X E X E X X Cov c i i j i j i ⋯=--==都存在，则称矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=∑nn c c c c c c c c c n2n12n 22211n 1211为n 维随机变量）（n X X ,,,X 21⋯的协方差矩阵，它是一对称矩阵。
2、n 维正态分布定义：若n 维随机变量）（n X X ,,,X 21⋯的概率密度可以表示成以下的形式：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∑--∑==⋯-)()(21ex p )(det )2(1)(),,,(f 12/12/21U X U X X f x x x T n n π其中，Tn T T n X E X E X E U x x x X ))(,),(),((),,,(,),,,(21n 2121⋯=⋯=⋯=μμμ∑是）（n X X ,,,X 21⋯的协方差矩阵，则称n 维随机变量）（n X X ,,,X 21⋯为n 维正态随机变量，记为),(~),,,X (21∑⋯=μN X X X n ，),,,(f 21n x x x ⋯为n 维正态概率密度函数。
N 维正态随机变量的性质（1） n 维正态随机变量）（n X X ,,,X 21⋯的每一个分量都是正态变量；反之，若nX X ,,,X 21⋯都是正态随机变量，且相互独立，则）（n X X ,,,X 21⋯是n 维正态随机变量。
（2） n 维随机变量）（n X X ,,,X 21⋯服从n 维正态分布的充要条件是n X X ,,,X 21⋯的任意的线性组合n n X l X l X l +⋯++2211服从一维正态分布；（3） 若）（n X X ,,,X 21⋯服从n 维正态分布，设n Y Y ,,,Y 21⋯是),,3,2,1(X n j j ⋯=的线性函数，则n Y Y ,,,Y 21⋯也服从正态分布。
随机过程习题解析
其中 k 是 Boltzman 常数, T 为绝对温度, 给定分子的总动能为 e. 试求 x 方 向的动量的绝对值的期望值. 解：由题中所给分布律知分子质量为单位质量, 即有 e = 则所求为 ] [ ) 1( E |Vx | Vx2 + Vy2 + Vz2 = e 2
1 2
( 2 ) Vx + Vy2 + Vz2 .
4 解： EY (t ) = EX (t + 1) − EX (t ) = λ RX (s, t ) = Cov(X (s + 1) − X (s), X (t + 1) − X (t )) = Cov(X (s + 1), X (t + 1)) + Cov(X (s), X (t )) − Cov(X (s), X (t + 1)) − Cov(X (s + 1), X (t )) = λ [min(s + 1, t + 1) + min(s, t ) − min(s, t + 1) − min(s + 1, t )] 令 β = s − t , 当 β > 1 或 β < −1 时, RY (s, t ) = 0 当 0<β 当 −1 1 时, RY (s, t ) = λ (t + 1 + t − s − t ) = λ (t − s + 1)
这说明了 (Xn1 , · · · , Xnk ) 的分布函数与 n1 , · · · , nk 无关, 故 {X1 , X2 , · · · } 严平稳. 9. 令 X 和 Y 是从单位圆内的均匀分布中随机选取一点所得的横坐标 和纵坐标. 试计算条件概率 (
2 2
（完整版）随机过程习题答案
（完整版）随机过程习题答案随机过程部分习题答案习题22.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的⼀维概率密度、均值和相关函数。
解因)1,0(~N V，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ，)(t X 的⼀维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π，),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数)])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==][22b btV bsV stV E +++=2b st +=2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的⼀维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。
解对于任意0>t，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-)ln (1}ln {1}ln {tx F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-≥= 对x 求导得)(t X 的⼀维概率密度xtt x f t x f Y 1)ln ();(-=，0>t)(][)]([)(dy y f e eE t X E t m yt tY X相关函数+∞+-+---====0)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X 2.3 若从0=t 开始每隔21秒抛掷⼀枚均匀的硬币做实验，定义随机过程=时刻抛得反⾯时刻抛得正⾯t t t t t X ,2),cos()(π试求：（1）)(t X 的⼀维分布函数),1(),21(x F x F 和；（2）)(t X 的⼆维分布函数),;1,21(21x x F ；（3）)(t X 的均值)1(),(X X m t m ，⽅差 )1(),(22X Xt σσ。
随机过程1(1)
4.根据参数集与状态空间离散与否,随机过程可分为
●离散参数,离散状态的随机过程 (例3)
● 离散参数,连续状态的随机过程 (例4)
● 连续参数,离散状态的随机过程 (例1)
● 连续参数,连续状态的随机过程 (例2)
参数集为离散的随机过程也称为随机序列， 或时间序列．
二
随机过程的有限维分布函数族
设X={X(t),t∈T}是S.P.
2 0 2 0
0 h( x ) 1 其它
0 2x 1 其它
2
x0
2 其它
(3)
t
2
时，X (t ) V cos
2
0,
此时X （
2
）是单点分布, 则
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2
( x ) P{ X (
)
2
) x}
1 x 0 0 x 0
特别注意： 一族随机变量Ｘ(t) 的两个特点：随机性与函数性
随机过程定义
设(Ω,F,P)为一概率空间,T为一参数集,T R,
若对每一 t ∈T,均有定义在(Ω,F,P)上的一个 随机变量X(ω,t),(ω∈Ω)与之对应, 则称X(ω,t)为(Ω,F,P)上的一个随机过程(S.P.) 记X={X(ω,t), ω∈Ω,t∈T},
注意： 设{X(ω,t), ω∈Ω, t∈T}为一S.P.
1. X(ω ,t),实质上为定义在T×Ω上的二元单值函数. 2.对每一个固定的t, X(t)为一随机变量. 随机变量X(t) (t∈T)所有可能取值的集合,称为随机过 程X(ω,t),的状态空间.记为S. S中的元素称为状态. 3.对每一个ω0∈Ω,X(ω0,t)是定义在T上的普通函数. 记为 x(ω0,t), 称为为随机过程的一个样本函数.也称轨 道或实现. 样本函数的图形称为样本曲线．
随机过程习题和答案.doc
一、设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。
解：当时，＝＝设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。
解：所以：袋中有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球后放回，对每一个确定的t对应随机变量X(t)t3te如果对如果对t时取得红球t时取得白球试求这个随机过程的一维分布函数族.设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。
解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。
设随机过程X(t)U cos2t U E(U)5，D(U)5.求：，其中是随机变量，且（1）均值函数；（2）协方差函数；（3）方差函数.设有两个随机过程X(t)Ut2Y(t)Ut3,U随机变量，且D(U)5.，其中是试求它们的互协方差函数。
设A,B,X(t)At3B t T(,)的均值是两个随机变量试求随机过程，函数和自相关函数.A,B,~(1,4),~(0,2),()(,)若相互独立且A N B U则m X t及R X t1t2为多少？一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令N(t)表示(0,t)时间内的体检人数，则N(t)为参数为30的poisson过程。
以小时为单位。
则E(N(1))30。
40k(30) P(N(1)40)ek!k030。
在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1，2，当1路公共汽车有N人乘坐后出发；2路公共汽车1在有N2人乘坐后出发。
设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当N1=N，1=22时，计算上述概率。