应用随机过程习题

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[应用随机过程][习题][02]

[应用随机过程][习题][02]

上海理工大学
2010-7-30
第四章习题
G X (ω ) = ∫ 2e e
∞ ∞ ∞ ∞ τ j (ω +π )τ
dτ + ∫ 2e e j (ω π )τ dτ


τ
+ ∫ (cos 2πτ )e jωτ dτ 4 4 = + + π [δ (ω 2π ) + δ (ω + 2π )] 2 2 1 + (ω + π ) 1 + (ω π )
2 Aα ( Ae 2 ) 2 α +ω ( cos ω 0 t π [δ (ω + ω 0 ) + δ (ω ω 0 )] )
α t
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第四章习题
补充:设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳,其
互相关函数为
9e 3τ , τ ≥ 0 R XY (τ ) = τ <0 0, 求互谱密度 GXY (ω ) 和 GYX (ω )
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第五章习题
5.10设表5.1中系统一栏的第二行所示的线性电
路,输入X(t)为白噪声,其功率谱密为 N 0 2 求输出Y(t)的功率谱密度及自相关函数 解: H (ω ) = jωRC
1 + jωRC
功率谱密度
N 0ω 2 R 2 C 2 GY (ω ) = G X (ω ) H (ω ) = 2(1 + ω 2 R 2 C 2 )
t3 t 2 RC
t t
t 3 > t1
t 2 t1 RC
RY (t3 t 2 ) RY (t 2 t1 ) N = 0 e 4 RC RY (0)

应用随机过程期末复习题

应用随机过程期末复习题

1、设在底层乘电梯的人数服从均值5λ=的泊松分布,又设此楼共有N+1层。

每一个乘客在每一层楼要求停下来离开是等可能的,而且与其余乘客是否在这层停下是相互独立的。

求在所有乘客都走出电梯之前,该电梯停止次数的期望值。

2、设齐次马氏链{(),0,1,2,}X n n = 的状态空间{1,2,3}E =,状态转移矩阵1102211124412033P=(1)画出状态转移图;(2)讨论其遍历性;(3)求平稳分布;(4)计算下列概率: i ){(4)3|(1)1,(2)1};P X X X === ii ){(2)1,(3)2|(1)1}P X X X ===.3、设顾客以泊松分布抵达银行,其到达率为λ,若已知在第一小时内有两个顾客抵达银行,问:(1)此两个顾客均在最初20分钟内抵达银行的概率是多少? (2)至少有一个顾客在最初20分钟抵达银行的概率又是多少?4、设2()X t At Bt C ++,其中A , B , C 是相互独立的标准正态随机变量,讨论随机过程{(),}X t t −∞<<+∞的均方连续、均方可积和均方可导性.5、设有实随机过程{(),}X t t −∞<<+∞,加上到一短时间的时间平均器上作它的输入,如下图所示,它的输出为1(),()()d tt TY t Y t X u u T −=∫,其中t 为输出信号的观测时刻,T 为平均器采用的积分时间间隔。

若()cos X t A t =,A 是(0, 1)内均匀分布的随机变量。

(1)求输入过程的均值和相关函数,问输入过程是否平稳? (2)证明输出过程()Y t 的表示式为sin 2()cos()22T T Y t A t T=⋅−.(3)证明输出的均值为sin 12[()]cos()222T T E Y t t T =−,输出相关函数为12(,)R t t = 2sin 1232T T12cos()cos()22T Tt t −−,问输出是否为平稳过程?6、甲、乙两人进行比赛,设每局比赛甲胜的概率为p ,乙胜的概率为q ,和局的概率为R ,1p q r ++=,设每局比赛后胜者记“1”,分负者记“-1”分,和局记“0”分。

随机过程及应用习题课三

随机过程及应用习题课三

随机过程及应用习题课三11. 设()cos ,X t A B t t =+-∞<<+∞,其中A 和B 为相互独立均服从(0,1)N 的随机变量.(1)证明{(),}X t t -∞<<+∞为正态过程;(2)求其一维、二维概率密度和一维、二维特征函数.2. 设{(),(,)}X t t ∈-∞+∞是均值函数为0,自相关函数()(,)/2X R s t s t s t =+-- 的正态过程,证明1()()Y t X t =,0t >,2()(),0Y t X t t =-≥是相互独立的正态过程。

3. 设0{()}W t +∞是参数为2σ的维纳过程,试证明1()0()0tW t W t tt ?>?'=??=?是参数为2σ的维纳过程。

4. 设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的维纳过程,证明12()()0t W t c W t c=?≥是参数为2σ的维纳过程。

5. 设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的维纳过程,证明2()()W t W t =-是参数为2σ的维纳过程。

6. 设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的维纳过程,证明3,0()()()0t W t W t a W a a ≥=+->是参数为2σ的维纳过程7. 设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的维纳过程,令231()0()00t W t W t tt ?>?'=??=? (1)(){},0W t t '≥是否为正态过程;(2)(){},0W t t '≥是否为维纳过程。

8. 设{(),0}X t t ≥是具有零均值和协方差(,)C s t 的正态过程,则对于任意的非负数,s t 和τ,证明:(1)2[()](,)()E X t C t t D t ==;(2)222[()]2(,)2()D X t C t t D t ==;2(3)222cov((),())2(,)X s X t C s t =;(4)[()()](,)E X t X t C t t ττ+=+;(5)2[()()](,)(,)(,)D X t X t C t t C t t C t t ττττ+=++++;(6)cov[()(),()()](,)(,)(,)(,)X s X s X t X t C s t C s t C s t C s t ττττττ++=+++++ 9. 设{(),0}W t t ≥是参数24σ=的维纳过程,令(3)(1),(4)(2).X W W Y W W =-=-求:()D X Y +和cov(,).X Y10. 设0{()}W t +∞是为参数为2σ的Wiener 过程,求下列过程的均值函数和自相关函数。

应用随机过程课后习题解答 毛用才 胡奇英

应用随机过程课后习题解答 毛用才 胡奇英

第一章习题解答1. 设随机变量X 服从几何分布,即:(),0,1,2,k P X k pq k ===。

求X 的特征函数,EX 及DX 。

其中01,1p q p <<=-是已知参数。

解()()jtxjtkk X k f t E eepq ∞===∑()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑222()()[()]q D X E X E X P =-=(其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑)令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰202201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰)2、(1) 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数,其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩(2) 其期望和方差;(3) 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布,关于参数p 具有可加性。

解 (1)设X 服从(,)p b Γ分布,则10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 10(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰ (2)'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b +== 222()()()PD XE X E X b∴===(4) 若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+同理可得:()()iiP X b f t b jt∑=∑-3、设X 是一随机变量,()F x 是其分布函数,且是严格单调的,求以下随机变量的特征函数。

李晓峰应用随机过程课后习题_随机过程答案CH1

李晓峰应用随机过程课后习题_随机过程答案CH1

习 题一、习题编号本次作业:1,2, 7,9,12,17,18,19,23,25 二、习题解答1.1 设随机试验E 是将一枚硬币抛两次,观察H -正面,T -反面出现的情况,试分析它的概率空间(),,P Ω。

解1.1: 样本空间:Ω = {HH, HT, TH, TT}集类:F = { Ø, Ω, {HH}, {HT}, {TH}, {TT},{HH,HT}, {HH, TH}, {HH,TT}, {HT, TH}, {HT, TT}, {TH, TT}, {HH, HT, TH}, {HH, HT, TT}, {HT, TH, TT}, {TH, TT, HH}, }概率:P: P{HH} = P{HT} = P{TH} = P{TT} = 1/41.2 设,A B ∈Ω,集类{},A B =。

试求:()σ的所有元素。

解1.2:因为:{},A B =所以:(){},,,σ=∅Ω1.3 设四个黑球与两个白球随机地等分为A 与B 两组,记A 组中白球的数目为X ;然后随机交换A 与B 中一个球,再记交换后A 组中白球的数目为Y 。

试求:(1)X 的分布律;(2)Y|X 的分布律;(3)Y 的分布律。

解1.3:(1)总计有2个白球,因此,X 的取值为0,1,2。

等分共有36C 种分法,等分后,X 取值分别为0,1,2的概率为:3211244242333666012012131()()555XX C C C C C P X P X C C C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (2)交换一个球后,1)如果X 中没有白球,则交换后Y 可能取值为0、1 2)如果X 中有一个白球,则交换后Y 可能取值为0、1、2 3)如果X 中有两个白球,则交换后Y 可能取值为1、2|0|01|00|11|12|11|22|21225221(|)3399933Y XP Y X ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(3)20()(|)()i P Y P Y X i P X i ====∑2(0)(0|)()1123359515i P Y P Y X i P X i =======⨯+⨯=∑2(1)(1|)()21532135953535i P Y P Y X i P X i =======⨯+⨯+⨯=∑2(2)(2|)()23110953515i P Y P Y X i P X i =======+⨯+⨯=∑故Y 的分布律为:012131()555YP Y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭1.4 设A 与B 是概率空间(),,P Ω上的事件,且()01P B <<,试证明:A 与B独立的充要条件为:()()|=|P A B P A B 。

应用随机过程试题及答案

应用随机过程试题及答案

应用随机过程试题及答案一.概念简答题(每题5 分,共40 分)1. 写出卡尔曼滤波的算法公式2. 写出ARMA(p,q)模型的定义3. 简述Poisson 过程的随机分流定理4. 简述Markov 链与Markov 性质的概念5. 简述Markov 状态分解定理6.简述HMM 要解决的三个主要问题得分B 卷(共9 页)第2 页7. 什么是随机过程,随机序列?8.什么是时齐的独立增量过程?二.综合题(每题10 分,共60 分)1 .一维对称流动随机过程n Y , 0 1 0, , n n k k Y Y X ? ? ? ? 1 ( 1) ( 1) ,2 k kk X p x p x ? ? ? ? ? 具有的概率分布为且1 2 , , ... X X是相互独立的。

试求1 Y 与2 Y 的概率分布及其联合概率分布。

2. 已知随机变量Y 的密度函数为其他而且,在给定Y=y 条件下,随机变量X 的条件密度函数为? ? 其他试求随机变量X 和Y 的联合分布密度函数( , ) f x y . 得分B 卷(共9 页)第3 页3. 设二维随机变量( , ) X Y 的概率密度为( ,其他试求p{x<3y}4.设随机过程( ) c o s 2 , ( , ) , X t X t t ? ? ? ? ? ? X 是标准正态分布的随机变量。

试求数学期望( ) t E X ,方差( ) t D X ,相关函数1 2 ( , ) X R t t,协方差1 2 ( , ) X C t t。

B 卷(共9 页)第4 页5 .设马尔科夫链的状态空间为I={0,1}, 一步转移概率矩阵为P= 0 ,求其相应的极限分布。

6.设I={1,2,3,4},其一步转移概率矩阵P= 1 1 0 0 2 2 10 0 0 1 ,试画出状态传递图,对其状态进行分类,确定哪些状态是常返态,并确定其周期。

B 卷(共9 页)第5 页河北科技大学2010——2011 学年第一学期《应用随机过程》试卷(B)答案一.概念简答题(每题5 分,共40 分)1. 写出卡尔曼滤波的算法公式答:X(k|k-1)=AX(k-1|k-1)+BU(k) (1)P(k|k-1)=AP(k-1|k-1)A’+Q…(2) X(k|k)=X(k|k-1)+Kg(k)(Z(k)-HX(k|k-1))…(3) Kg(k)=P(k|k-1)H’/(HP(k|k-1)H’+R)…(4) P(k|k)=(I-Kg(k)H) P(k|k-1)…(5) 2.写出ARMA(p,q)模型的定义答: 自回归移动平均ARMA(p,q) 模型为1 1 2 2 1 1 2 2 t tt p t p t t q t q X XXX ?其中,p 和q 是模型的自回归阶数和移动平均阶数;, ? ? 是不为0 的待定系数;t ?是独立的误差项;t X 是平稳、正态、零均值的时间序列。

[应用随机过程][习题][01]

[应用随机过程][习题][01]

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第三章习题
(2)在宽平稳的基础上讨论各态历经性 时间均值:
1 T 1 X (t ) = lim ∫T X (t )dt = Tlim 2T T →∞ 2T →∞ 1 T 1 +T = ∫ s (t + )dt = ∫ s (θ )dθ T 0 T = E[ X (t )]

T
T
s (t + )dt
X(t)的均值具有各态历经性
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第三章习题
时间相关性:
1 T X (t ) X (t + τ ) = lim X (t ) X (t + τ )dt T → ∞ 2T ∫T 1 T = lim s (t + ) s (t + τ + )dt T →∞ 2T ∫T 1 T = ∫ s (t + ) s (t + τ + )dt T 0 1 +T = ∫ s (θ ) s (θ + τ )dθ = RX (t ) T
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第二章习题
R X (t1 , t 2 ) = E[ X (t1 ) X (t 2 )] = E{[ A cos(ω 0 t1 ) + B sin(ω 0 t1 )][ A cos(ω 0 t 2 ) + B sin(ω 0 t 2 )]} = E[ A 2 cos(ω 0 t1 ) cos(ω 0 t 2 ) + B 2 sin(ω 0 t1 ) sin(ω 0 t 2 )] = E[ A 2 ] cos(ω 0 t1 ) cos(ω 0 t 2 ) + E[ B 2 ] sin(ω 0 t1 ) sin(ω 0 t 2 ) = σ 2 [cos(ω 0 t1 ) cos(ω 0 t 2 ) + sin(ω 0 t1 ) sin(ω 0 t 2 )] = σ 2 cos[ω 0 (t1 t 2 )]

《应用随机过程》习题课二

《应用随机过程》习题课二

习题1. 设随机过程{(,),}X t t ω-∞<<+∞只有两条样本函数12(,)2cos ,(,)2cos ,X t t X t t x ωω==--∞<<+∞且1221(),()33P P ωω==,分别求:(1)一维分布函数(0,)F x 和(,)4F x π;(2)二维分布函数(0,;,)4F x y π;(3)均值函数()X m t ; (4)协方差函数(,)X C s t .2. 利用抛掷一枚硬币一次的随机试验,定义随机过程12cos ()2t X t πωω⎧=⎨⎩出现正面出现反面且“出现正面”与“出现反面”的概率相等,各为12,求 1)画出{()}X t 的样本函数2){()}X t 的一维概率分布,1(;)2F x 和(1;)F x3){()}X t 的二维概率分布121(,1;,)2F x x3. 通过连续重复抛掷一枚硬币确定随机过程{()}X tcos ()2t t X t t π⎧=⎨⎩在时刻抛掷硬币出现正面在时刻抛掷硬币出现反面求:(1)1(,),(1,)2F x F x ; (2)121(,1;,)2F x x4. 考虑正弦波过程{(),0}X t t ≥,()cos X t t ξω=,其中ω为正常数,~(0,1)U ξ.(1)分别求3,,,424t ππππωωωω=时()X t 的概率密度(,)f t x . (2)求均值函数()m t ,方差函数()D t ,相关函数(,)R s t ,协方差函数(,)C s t . 5. 给定随机过程:()X t t ξη=+ ()t -∞<<+∞其中r. v. (,)ξη的协方差矩阵为1334C ⎛⎫= ⎪⎝⎭,求随机过程{(),}X t t -∞<<+∞的协方差函数.6. 考虑随机游动{(),0,1,2,}Y n n =1()(),1,2,,(0)0nk Y n X k n Y ====∑其中()(0,1,2,)X k k =是相互独立同服从2(0,)N σ的正态随机变量. 试求: (1)()Y n 的概率密度;(2)((),())Y n Y m 的联合概率密度(m n ≥).7. 给定随机过程{(),}X t t T ∈,定义另一个随机过程:1,(),()0,().X t x Y t X t x <⎧=⎨≥⎩试证:{(),}Y t t T ∈的均值和自相关函数分别为{(),}X t t T ∈的一维分布函数和二维分布函数. 8. 设随机过程()cos()β=+ΘX t A t其中β为正常数,r. v. ~(0,1),~(0,2)A N U πΘ二者相互独立. 试求随机过程{(),}X t t -∞<<+∞的均值函数()m t 、方差函数()D t 和相关函数(,)R s t .9. 已知随机变量,ξη相互独立都服从正态分布2(0,)N σ,分别设:(1)()X t t ξη=+; (2)()cos X t t ξ=,令01max ()t Z X t ≤≤=,分别两种情形求()E Z .10. 一个通讯系统,以每T 秒为一周期输出一个幅度为A 的信号,A 为常数,信号输出时间~(0,)i X U T ,且持续到周期结束,设每个信号的输出时间i X 相互独立,设()Y t 为t 时刻接收到的信号幅度,求{()}Y t 的一维概率分布。

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或者下面的方法,这种方法更好理解,把需要汇总的生成一个视图e。 select e.*,d.dname from
(select deptno, count(ename) ,avg(sal),avg(months_between(sysdate,hiredate)/12) from emp group by deptno) e, dept d where e.deptno =d.deptno;
• eno emp.empno%type;
• begin
• eno:=&no;
• for v_emp in c_emp(eno) loop
• if v_emp.job='MANAGER' and v_emp.loc='DALLAS' then

update emp set sal = sal *1.15 where empno=eno;
13.列出在每个部门工作的员工数量、平均 工资和平均服务期限。
14.列出所有员工的姓名、部门名称和工资。
15.列出从事同一种工作但属于不同部门的 员工的一种组合。
13.select d.deptno,d.dname, count(e.ename), avg(e.sal), avg(months_between(sysdate,e.hiredate)) from emp e, dept d where e.deptno(+)= d.deptno group by d.deptno,dname;
• begin
• for v_mycur in mycur loop
• if v_mycur.job='MANAGER' and v_mycur.loc='DALLAS' then

update emp set sal = sal *1.15 where empno=v_mycur.empno;
• end if;
使用PL/SQL块编程实现,注意必要的异常处理 1.输入一个员工号,输出该员工的姓名、薪金和大
概的服务年限(按年月日显示)
2.接收一个员工号,输出该员工所在部门的名称 3.接收一个员工号,如果该员工职位是MANAGER,
并且在DALLAS工作那么就给他薪金加15%; 如果该员工职位是CLERK,并且在NEW YORK工
9.列出薪金高于公司平均薪金的所有员工。
7.select job, min(sal) from emp group by job having min(sal)>1500;
8.select e.ename,d.dname from emp e,dept d where e.deptno=d.deptno and d.dname=upper('sales'); 或者: select ename from emp where deptno = (select deptno from dept where dname=upper('SALES'));
2.select ename,job,mgr,hiredate,sal from emp where sal> (select sal from emp where ename='SMITH');
3.select e.ename, e.mgr , w.ename from emp e, emp w where e.mgr=w.empno;
22 SELECT * FROM
(SELECT a.*,rownum AS rn FROM emp a ORDER BY sal DESC )
WHERE rn=5;
1、创建表myemp和emp表具有相同的结构和 记录。(若只是结构而没有数据呢?只复 制部分数据呢?)
2、给myemp的empno列添加主建约束。
或者create table mydept1 as select * from dept where deptno>20;
2.alter table myemp add constraint myemp_empno_pk primary key (empno);
创建以下表teacher create table teacher(
作那么就给他薪金扣除5%;其他情况不作处理。 4.接收一个员工号,输出这个员工所在部门的平均
工资
5.以交互的方式给部门表插入一条记录,如果出现 主键冲突的异常,请显示“部门号已被占用”的 字样
• declare
• CURSOR c_emp(p_empno emp.empno%TYPE) IS
• SELECT emp.job,emp.empno,dept.loc,emp.deptno FROM emp,dept WHERE emp.deptno=dept.deptno and emp.empno=p_empno;
9.select ename, job, sal from emp where sal> (select avg(sal) from emp );
10.列出与“SCOTT”从事相同工作的所有 员工。
11.列出薪金等于部门30中员工的薪金的所 有员工的姓名和薪金。
12.列出薪金高于在部门30工作的所有员工 的薪金的员工姓名和薪金。
16.列出所有部门的详细信息和部门人数。
17.列出各种工作的最低工资。
18.列出各个部门的MANAGER(经理)的 最低薪金。
19.列出所有员工的年工资,按年薪从低到高 排序。
16.select count(e.ename),d.dname from emp e, dept d where e.deptno(+)= d.deptno group by e.deptno,d.dname;
14.select d.dname, e.ename, sal+nvl(comm,0) from emp e, dept d where d.deptno=e.deptno;
15. select e.ename,e.job, e.deptno ,d.job, d.deptno from emp e, emp d where e.job=d.job and e.deptno<>d.deptno;
6.select e.ename,e.hiredate,e.job, d.dname,d.deptno from emp e, dept d where e.deptno =d.deptno and e.job=upper('clerk');
7.列出最低薪金大于1500的各种工作。
8.列出在部门“SALES”(销售部)工作的 员工的姓名,假定不知道销售部的部门编 号。
• end if;
• if v_emp.job='CLERK' and v_emp.loc='NEW YORK' then

update emp set sal = sal *0.95 where empno=eno;
• end if;
• end loop;
• end;
3
• declare
• cursor mycur is select emp.empno,emp.job,dept.loc from emp ,dept where emp.deptno=dept.deptno;
teacherxh varchar2(10) primary key, teachername varchar2(20) ); 插入记录,要求:教师的编号的格式是 TH00001,TH00002…….
建立序列 create sequence teacher_seq maxvalue 99999;
insert into teacher values ('TH'|| ltrim(to_char(teacher_seq.nextval,'00000')), '张三'); insert into teacher values ('TH'|| ltrim(to_char(teacher_seq.nextval,'00000')), '李');
4.列出受雇日期早于其直接上级的所有员工。
5.列出部门名称和这些部门的员工信息,同 时列出那些没有员工的部门。
6.列出所有“CLERK”(办事员)的姓名 及其部门名称。
4.select e.ename, e.mgr , e.hiredate,w.ename,w.hiredate from emp e, emp w where e.mgr=w.empno and e.hiredate< w.hiredate;
5.select e.ename,e.hiredate, d.dname,d.deptno from emp e, dept d where e.deptno (+)=d.deptno;
本例子使用的是外连接, 也可以用右连接。 select e.ename,e.hiredate, d.dname,d.deptno from emp e right join dept d on e.deptno=d.deptno;
使用scott/tiger用户下的emp表和 dept表完成下列练习
1.列出至少有一个员工的所有部门。
2.列出薪金比“SMITH”多的所有员工。
3.列出所有员工的姓名及其直接上级的姓名。
1.select distinct dname from dept where deptno in (select distinct deptno from emp);
20.查找EMP表中前5条记录 21查找EMP表中10条以后的记录 22查找EMP表中薪水第5高的员工
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