离散数学逻辑推理条件
离散数学第1章 命题逻辑
TT F
T
TF T
F
F P、Q真值相同时为F，否则为T
T 原命题与 (P Q)真值相同
FT T
F
T
(P Q)
FF F
T
F
总结：命题公式翻译的原则（即本质的东西）：
• 列出在各种指派下的原命题的取值。
• 翻译出来的公式如果与原命题的值一致，则翻译正确，否则， 翻译的公式则是错误的。
(4) 只有有限次地应用（1）、（2）、（3）所得的结果才是公式。
其中（1）为基础，（2），（3）为归纳，（4）为界限，这是一 个递归的定义。
例如：判别下列式子是否是公式？
(P Q) (PQ (P (P Q)) (P Q) (((P Q) R) (P Q)) (PQ R) (P Q)R)
(1)以离散量为研究对象，以讨论离散量的结构和相互之间的关 系为主要目标，这些对象一般是有限个或可数个元素，充分描述了 计算机科学离散性的特点，与我们以前学过的连续数学如高等数学、 数学分析、函数论形成了鲜明对比。
(2)它是数学中的一个分支，因而它有数学的味道，比如用一 些符号、引进一些 定义、运用定理推导等等。因而学习离散数学， 对提高我们的抽象能力，归纳能力、逻辑推理能力将有很大帮助。
（5）：我正在说谎。 若它是命题，则应有确定的真值。 若为T，则我确定说谎，我讲的是真话，与说谎矛盾。 若为F，则我不在说谎，我说的是真话，原命题成立，则“我 确实是在说谎” ，与“不在说谎”矛盾。 所以它不是命题，不能确定真假，是悖论。
1-1 命题及其表示法
（6）：X=3 不是命题 不能判断真假。
应用
Image segmentation
离散数学(命题逻辑)
一个重要的说明
因为在数理逻辑中,我们并不去纠缠各种具体命 题的真假问题,而是将命题视为一种形式或一个数学 概念. 从语义上讲,命题是具有真假之一值的一个个 陈述句而已。 也就是,我们所关心的并不侧重在陈述句究竟是 真还是假,我们所关心的只是对表示命题的符号怎样
赋予真或假,并且被赋予真假后如何确定,包含这些 形式符号的复合命题公式的真与假。
1.1 命题逻辑基本概念
1. 命题与逻辑联结词 • 命题(Proposition)是指具有真假之一值的陈述句. 也就是说命题是能够分辨真假的陈述句且取真值真 或假二者有且仅有之一.命题的真值,是作为命题的 陈述句所表达判断的结果. 例1 ① 几点钟了？ ② 真开心！ ③ 仔细读这页！ ④ 北京是中国的首都(P)。 ⑤ 6不是自然数(并非6是自然数:¬P)。 ⑥ x+2≥5.
基本逻辑
• 逻辑学: 研究人的思维形式和规律的科学。由于研 究的对象和方法各有侧重，而分为形式逻辑、辩证 逻辑和数理逻辑。 • 数理逻辑: 是用数学方法研究推理, 是研究推理中 前题和结论之间的形式关系的科学。所谓推理就是 由一个或几个判断推出一个新判断的思维形式。这 里所说的数学方法就是建立一套表意符号体系，对 具体的事物进行抽象而形式研究的方法。因此数理 逻辑又称符号逻辑。比较形式逻辑和辩证逻辑的研 究方法，更显得表达简洁、推理方便、概括性好且 易于分析。
爱因斯坦的帽子故事
• R∧Q1→P2：如果商人和另一个人都戴红色帽子,那 么猜对的人戴的就是黑色帽子. • ¬ P1→P2：如果猜对的人戴的不是红色帽子,那么他 戴的就是黑色帽子； • ¬ Q1→Q2：如果另一个人戴的不是红色帽子,那么他 戴的就是黑色帽子； 于是,可以形成如下推理过程： • 设有P1 (猜对的人戴红色帽子),则 (1)P1 (推理假设) (3)R∧P1 (构成合取式) (2)R (根据题设) (4)R∧P1→Q2 (根据题设)
离散数学第一章命题逻辑知识点总结
数理逻辑部分第1章命题逻辑命题符号化及联结词命题: 判断结果惟一的陈述句命题的真值: 判断的结果真值的取值: 真与假真命题: 真值为真的命题假命题: 真值为假的命题注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。
简单命题(原子命题)：简单陈述句构成的命题复合命题：由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题简单命题符号化用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1）表示简单命题用“1”表示真，用“0”表示假例如，令p：是有理数，则p 的真值为 0q：2 + 5 = 7，则q 的真值为 1联结词与复合命题1.否定式与否定联结词“”定义设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称为p的否定式，记作p. 符号称作否定联结词，并规定p为真当且仅当p为假.2.合取式与合取联结词“∧”定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q 的合取式，记作p∧q. ∧称作合取联结词，并规定 p∧q为真当且仅当p 与q同时为真注意：描述合取式的灵活性与多样性分清简单命题与复合命题例将下列命题符号化.(1) 王晓既用功又聪明.(2) 王晓不仅聪明，而且用功.(3) 王晓虽然聪明，但不用功.(4) 张辉与王丽都是三好生.(5) 张辉与王丽是同学.解令p：王晓用功，q：王晓聪明，则(1) p∧q(2) p∧q(3) p∧q.令r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生(4) r∧s.(5) 令t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .说明:(1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性.(5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是一个简单命题.3.析取式与析取联结词“∨”定义设p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.例将下列命题符号化(1) 2或4是素数.(2) 2或3是素数.(3) 4或6是素数.(4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨.(5) 王晓红生于1975年或1976年.解令p:2是素数, q:3是素数, r:4是素数, s:6是素数,则 (1), (2), (3) 均为相容或.分别符号化为: p∨r , p∨q, r∨s,它们的真值分别为 1, 1, 0.而 (4), (5) 为排斥或.令t :小元元拿一个苹果，u:小元元拿一个梨，则 (4) 符号化为 (t∧u) ∨(t∧u).令v :王晓红生于1975年,w:王晓红生于1976年,则 (5) 既可符号化为 (v∧w)∨(v∧w), 又可符号化为v∨w , 为什么?4.蕴涵式与蕴涵联结词“”定义设p,q为二命题，复合命题“如果p,则q” 称作p与q的蕴涵式，记作p q，并称p是蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并规定，p q为假当且仅当p 为真q 为假.p q 的逻辑关系：q 为p 的必要条件“如果p，则q ” 的不同表述法很多：若p，就q只要p，就qp 仅当q只有q 才p除非q, 才p 或除非q, 否则非p.当p 为假时，p q 为真常出现的错误：不分充分与必要条件5.等价式与等价联结词“”定义设p，q为二命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式，记作p q. 称作等价联结词.并规定p q为真当且仅当p与q同时为真或同时为假.说明:(1) p q 的逻辑关系:p与q互为充分必要条件(2) p q为真当且仅当p与q同真或同假联结词优先级:( ),, , , ,同级按从左到右的顺序进行以上给出了5个联结词：, , , , ，组成一个联结词集合{, , , , }，联结词的优先顺序为：, , , , ; 如果出现的联结词同级，又无括号时，则按从左到右的顺序运算; 若遇有括号时，应该先进行括号中的运算.注意: 本书中使用的括号全为园括号.命题常项命题变项命题公式及分类命题变项与合式公式命题常项：简单命题命题变项：真值不确定的陈述句定义合式公式 (命题公式, 公式) 递归定义如下：(1) 单个命题常项或变项p,q,r,…,p i ,q i ,r i ,…,0,1是合式公式(2) 若A是合式公式，则 (A)也是合式公式(3) 若A, B是合式公式，则(A B), (A B), (A B), (A B)也是合式公式(4) 只有有限次地应用(1)~(3)形成的符号串才是合式公式说明: 元语言与对象语言, 外层括号可以省去合式公式的层次定义(1) 若公式A是单个的命题变项, 则称A为0层公式.(2) 称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一：(a) A=B, B是n层公式；(b) A=B C, 其中B,C分别为i层和j层公式，且n=max(i, j)；(c) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b)；(d) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b)；(e) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b).例如公式p 0层p 1层p q 2层(p q)r 3层((p q) r)(r s) 4层公式的赋值定义给公式A中的命题变项p1, p2, … , p n指定一组真值称为对A的一个赋值或解释成真赋值: 使公式为真的赋值成假赋值: 使公式为假的赋值说明：赋值=12…n之间不加标点符号，i=0或1.A中仅出现p1, p2, …, p n，给A赋值12…n是指p1=1, p2=2, …, p n=nA中仅出现p,q, r, …, 给A赋值123…是指p=1,q=2 , r= 3 …含n个变项的公式有2n个赋值.真值表真值表: 公式A在所有赋值下的取值情况列成的表例给出公式的真值表A= (q p) q p的真值表例 B = (p q) q的真值表例C= (p q) r的真值表命题的分类重言式矛盾式可满足式定义设A为一个命题公式(1) 若A无成假赋值，则称A为重言式(也称永真式)(2) 若A无成真赋值，则称A为矛盾式(也称永假式)(3) 若A不是矛盾式，则称A为可满足式注意：重言式是可满足式，但反之不真.上例中A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式A= (q p)q p，B =(p q)q，C= (p q)r等值演算等值式定义若等价式A B是重言式，则称A与B等值，记作A B，并称A B是等值式说明：定义中，A,B,均为元语言符号, A或B中可能有哑元出现.例如，在 (p q) ((p q) (r r))中，r为左边公式的哑元.用真值表可验证两个公式是否等值请验证：p(q r) (p q) rp(q r) (p q) r基本等值式双重否定律 : A A等幂律：A A A, A A A交换律: A B B A, A B B A结合律: (A B)C A(B C)(A B)C A(B C)分配律: A(B C)(A B)(A C)A(B C) (A B)(A C)德·摩根律: (A B)A B(A B)A B吸收律: A(A B)A, A(A B)A零律: A11, A00同一律: A0A, A1A排中律: A A1矛盾律: A A0等值演算:由已知的等值式推演出新的等值式的过程置换规则：若A B, 则(B)(A)等值演算的基础：(1) 等值关系的性质：自反、对称、传递(2) 基本的等值式(3) 置换规则应用举例——证明两个公式等值例1 证明p(q r) (p q)r证p(q r)p(q r) （蕴涵等值式，置换规则）(p q)r（结合律，置换规则）(p q)r（德摩根律，置换规则）(p q) r（蕴涵等值式，置换规则）说明:也可以从右边开始演算（请做一遍）因为每一步都用置换规则，故可不写出熟练后，基本等值式也可以不写出应用举例——证明两个公式不等值例2 证明: p(q r) (p q) r用等值演算不能直接证明两个公式不等值,证明两个公式不等值的基本思想是找到一个赋值使一个成真,另一个成假.方法一真值表法（自己证）方法二观察赋值法. 容易看出000, 010等是左边的的成真赋值，是右边的成假赋值.方法三用等值演算先化简两个公式，再观察.应用举例——判断公式类型例3 用等值演算法判断下列公式的类型(1) q(p q)解q(p q)q(p q) （蕴涵等值式）q(p q) （德摩根律）p(q q) （交换律，结合律）p0 （矛盾律）0 （零律）由最后一步可知，该式为矛盾式.(2) (p q)(q p)解 (p q)(q p)(p q)(q p) （蕴涵等值式）(p q)(p q) （交换律）1由最后一步可知，该式为重言式.问：最后一步为什么等值于1？(3) ((p q)(p q))r)解 ((p q)(p q))r)(p(q q))r（分配律）p1r（排中律）p r（同一律）这不是矛盾式，也不是重言式，而是非重言式的可满足式.如101是它的成真赋值,000是它的成假赋值.总结：A为矛盾式当且仅当A0A为重言式当且仅当A1说明：演算步骤不惟一,应尽量使演算短些对偶与范式对偶式与对偶原理定义在仅含有联结词, ∧,∨的命题公式A中，将∨换成∧, ∧换成∨，若A中含有0或1，就将0换成1，1换成0，所得命题公式称为A的对偶式，记为A*.从定义不难看出，(A*)* 还原成A定理设A和A*互为对偶式，p1,p2,…,p n是出现在A和A*中的全部命题变项，将A和A*写成n元函数形式，则 (1) A(p1,p2,…,p n) A* (p1, p2,…, p n) (2) A(p1, p2,…, p n) A* (p1,p2,…,p n) 定理（对偶原理）设A，B为两个命题公式，若A B，则A* B*.析取范式与合取范式文字:命题变项及其否定的总称简单析取式:有限个文字构成的析取式如p, q, p q, p q r, …简单合取式:有限个文字构成的合取式如p, q, p q, p q r, …析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式A 1A2Ar, 其中A1,A2,,A r是简单合取式合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式A 1A2Ar, 其中A1,A2,,A r是简单析取式范式:析取范式与合取范式的总称公式A的析取范式: 与A等值的析取范式公式A的合取范式: 与A等值的合取范式说明：单个文字既是简单析取式，又是简单合取式p q r, p q r既是析取范式，又是合取范式(为什么?)命题公式的范式定理任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式.求公式A的范式的步骤：(1) 消去A中的, （若存在）(2) 否定联结词的内移或消去(3) 使用分配律对分配（析取范式）对分配（合取范式）公式的范式存在，但不惟一求公式的范式举例例求下列公式的析取范式与合取范式(1) A=(p q)r解 (p q)r(p q)r（消去）p q r（结合律）这既是A的析取范式（由3个简单合取式组成的析取式），又是A的合取范式（由一个简单析取式组成的合取式）(2) B=(p q)r解 (p q)r(p q)r（消去第一个）(p q)r（消去第二个）(p q)r（否定号内移——德摩根律）这一步已为析取范式（两个简单合取式构成）继续： (p q)r(p r)(q r) （对分配律）这一步得到合取范式（由两个简单析取式构成）极小项与极大项定义在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中，若每个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现一次，而且第i（1i n）个文字出现在左起第i位上，称这样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）.说明：n个命题变项产生2n个极小项和2n个极大项2n个极小项（极大项）均互不等值用m i表示第i个极小项，其中i是该极小项成真赋值的十进制表示. 用M i 表示第i个极大项，其中i是该极大项成假赋值的十进制表示, m i(M i)称为极小项(极大项)的名称.m与M i的关系: m i M i , M i m ii主析取范式与主合取范式主析取范式: 由极小项构成的析取范式主合取范式: 由极大项构成的合取范式例如，n=3, 命题变项为p, q, r时，(p q r)(p q r) m1m3是主析取范式(p q r)(p q r) M1M5 是主合取范式A的主析取范式: 与A等值的主析取范式A的主合取范式: 与A等值的主合取范式.定理任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和主合取范式, 并且是惟一的.用等值演算法求公式的主范式的步骤：(1) 先求析取范式（合取范式）(2) 将不是极小项（极大项）的简单合取式（简单析取式）化成与之等值的若干个极小项的析取（极大项的合取），需要利用同一律（零律）、排中律（矛盾律）、分配律、幂等律等.(3) 极小项（极大项）用名称m i（M i）表示，并按角标从小到大顺序排序.求公式的主范式例求公式A=(p q)r的主析取范式与主合取范式.(1) 求主析取范式(p q)r(p q)r , （析取范式）①(p q)(p q)(r r)(p q r)(p q r)m 6m7,r(p p)(q q)r(p q r)(p q r)(p q r)(p q r)m 1m3m5m7③②, ③代入①并排序，得(p q)r m1m3m5m6m7（主析取范式）(2) 求A的主合取范式(p q)r(p r)(q r) , （合取范式）①p rp(q q)r(p q r)(p q r)M 0M2,②q r(p p)q r(p q r)(p q r)M 0M4③②, ③代入①并排序，得(p q)r M0M2M4 （主合取范式）主范式的用途——与真值表相同(1) 求公式的成真赋值和成假赋值例如 (p q)r m1m3m5m6m7，其成真赋值为001, 011, 101, 110, 111，其余的赋值 000, 010, 100为成假赋值.类似地，由主合取范式也可立即求出成假赋值和成真赋值.(2) 判断公式的类型设A含n个命题变项，则A为重言式A的主析取范式含2n个极小项A的主合取范式为1.A为矛盾式A的主析取范式为0A的主合取范式含2n个极大项A为非重言式的可满足式A的主析取范式中至少含一个且不含全部极小项A的主合取范式中至少含一个且不含全部极大项例某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕业的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须满足以下条件：(1)若赵去，钱也去；(2)李、周两人中至少有一人去；(3)钱、孙两人中有一人去且仅去一人；(4)孙、李两人同去或同不去；(5)若周去，则赵、钱也去.试用主析取范式法分析该公司如何选派他们出国？解此类问题的步骤为：①将简单命题符号化②写出各复合命题③写出由②中复合命题组成的合取式④求③中所得公式的主析取范式解①设p：派赵去，q：派钱去，r：派孙去，s：派李去，u：派周去.② (1) (p q)(2) (s u)(3) ((q r)(q r))(4) ((r s)(r s))(5) (u(p q))③ (1) ~ (5)构成的合取式为A=(p q)(s u)((q r)(q r))((r s)(r s))(u(p q))④ A (p q r s u)(p q r s u)结论：由④可知，A的成真赋值为00110与11001，因而派孙、李去（赵、钱、周不去）或派赵、钱、周去（孙、李不去）.A的演算过程如下:A (p q)((q r)(q r))(s u)(u(p q)) ((r s)(r s)) （交换律) B1= (p q)((q r)(q r))((p q r)(p q r)(q r)) （分配律）B2= (s u)(u(p q))((s u)(p q s)(p q u)) （分配律）B 1B2(p q r s u)(p q r s u) (q r s u)(p q r s)(p q r u)再令B3 = ((r s)(r s))得A B1B2B3(p q r s u)(p q r s u)注意：在以上演算中多次用矛盾律要求：自己演算一遍推理理论推理的形式结构推理的形式结构—问题的引入推理举例:(1) 正项级数收敛当且仅当部分和有上界.(2) 若推理: 从前提出发推出结论的思维过程上面(1)是正确的推理，而(2)是错误的推理.证明: 描述推理正确的过程.判断推理是否正确的方法•真值表法•等值演算法判断推理是否正确•主析取范式法•构造证明法证明推理正确说明：当命题变项比较少时，用前3个方法比较方便, 此时采用形式结构“” . 而在构造证明时，采用“前提: , 结论: B”.推理定律与推理规则推理定律——重言蕴涵式构造证明——直接证明法例构造下面推理的证明：若明天是星期一或星期三，我就有课. 若有课，今天必备课. 我今天下午没备课. 所以，明天不是星期一和星期三.解设p：明天是星期一，q：明天是星期三，r：我有课，s：我备课推理的形式结构为例构造下面推理的证明:2是素数或合数. 若2是素数，则是无理数.若是无理数，则4不是素数. 所以，如果4是素数，则2是合数.用附加前提证明法构造证明解设p：2是素数，q：2是合数，r：是无理数，s：4是素数推理的形式结构前提：p∨q, p r, r s结论：s q证明① s附加前提引入②p r前提引入③r s前提引入④p s②③假言三段论⑤p①④拒取式⑥p∨q前提引入⑦q⑤⑥析取三段论请用直接证明法证明之。
《离散数学》谓词逻辑
§3.5 前束范式
§3.6 谓词逻辑的推理
4
谓词与量词
个体词（individual）是一个命题里表示思维
对象的词，表示独立存在的具体或抽象的客体
具体的、确定的个体词称为个体常项，一般用
a, b, c 表示
抽象的、不确定的个体词称为个体变项，一般
用 x, y, z 表示
个体变项的取值范围称作个体域或论域
那么在解释2下该命题是真命题。
24
谓词公式及分类
类似于命题逻辑，也可以对谓词逻辑
公式进行分类：
设 A 为一个谓词公式，若 A 在任何解
释下真值均为真，则称 A 为普遍有效
的公式或逻辑有效式（logically valid
formula）
例
(x)
(P(x)∨P(x))
(x) P(x) P(y)
第三章 谓词逻辑
《离散数学及应用》
第三章 谓词逻辑
苏格拉底三段论：
凡是人都是要死的。
苏格拉底是人。
所以苏格拉底是要死的。
p∧q r
重言式？正确的推理？
2
第三章 谓词逻辑
为了克服命题逻辑的局限性，引入了
3
谓词和量词对原子命题和命题间的相
互关系做进一步的剖析，从而产生了
为谓词。这是一元（目）谓词，以
P(x), Q(x), …表示。
例
Human
(Socrates)
Mortal (Socrates)
7
谓词与量词
如果在命题里的个体词多于一个，那
么表示这几个个体词间的关系的词称
作谓词。这是多元（目）谓词，有 n
个个体的谓词 P(x1, …, xn) 称 n 元（目）
离散数学的谓词逻辑详解
全称量词:
1.全称量词 ： （任意，所有） x: “对一切x”，“对所有的x”， “对任一x”
如： x P(x) ┐ x P(x) x ┐ P(x)
“对一切x，P(x)是真” “并非对一切x，P(x)是真” “对一切x， ┐ P(x) 是真”
如: “ 所有人都是要死的”
于是令 M（x）：x是人。 （1） x（M(x)→D(x)) （2） x (M（x）∧ ┐G（x））
命题符号化(翻译)：
将汉语(或其他自然语言)语句翻译成逻辑表 达式，这在数学、逻辑编程、人工智能、软 件工程以及许多其他学科中都是一项重要的 任务。翻译的目的是生成简单而有用的逻辑 表达式。
命题符号化：
1.谓词与个体词
将简单命题分解成个体与谓词这样两个组成部分。谓词，通 常是用来描述个体的性质或特征，或者个体之间的关系。谓 词逻辑，是命题逻辑的扩充与发展 。
例1：下面两个命题 1. 张华是学生 2. 李明是学生
a: 张华 b:李明 H：是学生 ，则 H（x）:x是学生
1，2可分别表示成 H(a) ，H(b). 这样表示就揭示了两命题间有相同的谓语这一特征。
变元的约束
例1 ： 令 P（x， y）：“ x<y ”， Q（x）：x是有理数； F（x）：x可以表示为分数。
判断下列式子那些是命题函数，那些是命题？
P(x， y)
P(x， y)∧Q(x)
Q(x) → F(x) x（Q(x)→ F(x)) x Q(x)→ F(x)
自由变元与约束变元
[定义] 紧接于量词之后最小的子公式称为量词的辖 域．(量词的辖域是紧接其后的公式，除非辖域是个 原子公式，否则应在公式的两侧插入圆括号。)
离散数学第2章 谓词逻辑
在命题函数前加上量词(x)和(x)分别叫做个体变元x 被全称量化和存在量化。一般地说，命题函数不是命题， 如果对命题函数中所有命题变元进行全称量化或存在量化， 该函数就变成了命题。这一结论在例2.3中得到验证。
为假。 ⑵ 如果5大于3，则2大于6。 解：设G(x,y)： x大于y a：5，b：3，c：2，d：6 该命题符号化为：G(a,b)→G(c,d) G(a,b)表示5大于3，它是真命题。G(c,d)表示2大于6，
ห้องสมุดไป่ตู้这是个假命题。所以G(a,b)→G(c,d)为假。
(3) 2 是无理数, 而 3 是有理数 解 ：设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为 F( 2) G( 3) 真值为 0 (4) 如果2>3，则3<4 解：设 F(x,y): x>y, G(x,y): x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4) 真值为1
谓词：刻划个体性质或个体之间相互关系的模式叫做谓词。谓 词常用大写英文字母表示，叫做谓词标识符。
例如可以用F，G，H表示上面三个命题中谓词： F：„是优秀共产党员。 G：„比„高。 H：„坐在„和„的中间。
第2章 谓词逻辑
一元谓词：与一个个体相关联的谓词。如上例中的F。 二元谓词：与两个个体相关联的谓词。如上例中的G。 三元谓词：与三个个体相关联的谓词。如上例中的H。
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第2章 谓词逻辑
课外作业
• 教材P59-60页: 练习题（需要做在练习本上） （1） （2） a)、c) 、d)、e)、 f)、i)、k)、l)
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离散数学第二章(第3讲)
2、规则使用说明
（1）用US,ES在推导中去掉量词，用UG,EG使结论量化 （加上量词）。 （2）在使用ES,US时,要求谓词公式必须是前束范式
（3）推导中既用ES，又用US， 则必须先用ES ，后 用US方可取相同变元，反之不行。
xP(x) P(c) xQ(x) Q(c)
（4）推导中连续使用US规则可用相同变元 xP(x) P(c) xQ(x) Q(c)
（x）(M(x)D(x))，M(s) D(s)
(1) x(M(x)D(x))
P
(2) M(s) D(s)
US(1)
(3) M(s)
P
(4) D(s)
T(2)(3)I
（2）CP 规则证明
例 证明: x (P(x)Q(x)) x P(x) xQ(x)
(1) x P(x)
附加前提
(2) x (P(x)Q(x))
x(P(x)(Q(x)S(x))),x(P(x)T(x))，Q(c)T(c)P(c)S(c)
推理形式如下：
(1) P(c)
附加前提
(2) x(P(x)(Q(x)S(x)))
P
(3) P(c)(Q(c)S(c))
US (2)
(4) Q(c)S(c)
T(1)(3) I
(5) Q(c)T(c)
P
(6) Q(c)
T (6)(10) I
T(1) E
(3) xP(x)
T (2) I
(4) P(a)
ES (3)
(5) xQ(x)
T(2) I
(6) Q(a)
US (5)
(7) x( P(x) Q(x) )
P
(8) P(a) Q(a)
US(7)
《离散数学》命题逻辑
例如：
和 e 都是无理数。 6和8至少有一个是合数。 说刘老师讲课不好是不正确的。 不下雨我就去买书。
7
命题与命题联结词
将命题连接起来的方式叫做命题联结词
（ proposition connective ） 或 命 题 运 算 符
3
命题与命题联结词
逻辑
如何表示？ 如何“操作”？
非真即假的陈述句称为命题（proposition）。 一个命题如果是对的或正确的，则称为真命
题，其真值为“真”（true），常用T或1表示； 一个命题如果是错的或不正确的，则称为假
命题，其真值为“假”（false），常用F或0表示。
4
命题与命题联结词
32
命题公式及其分类
为简化公式的形式，作如下规定：
(1) 优先级 , (∧, ∨), (, ) (2) 公式 (~p) 的括号可以省略，写成 ~p (3) 整个公式最外层的括号可以省略
例1
(((p)∧q)(q∨p)) p∧q q∨p
例2
p∧q∨r 不是 命题公式 应写作 (p∧q)∨r 或 p∧(q∨r)
例 判断下列句子哪些是命题，哪些不是
这门课程题为“离散数学”。 这门“离散数学”讲得好吗？ X 这门“离散数学”讲得真好！ X 请学习“离散数学” 。 X 5是素数。 太阳从西方升起。 如果明天晴，而且我有空，我就去踢球。 天王星上没有生命。 x + 3 > 5。 X 5 本命题是假的。X
俞伯牙和钟子期是好朋友。 俞伯牙是好朋友 ∧ 钟子期是好朋友 俞伯牙 ∧ 钟子期是好朋友 Friend (俞伯牙,钟子期)
23
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离散数学逻辑推理条件
离散数学逻辑推理条件
离散数学是计算机科学中的一门核心课程，其中逻辑推理是其中关键
领域之一。
逻辑推理是一种基于规则和条件的推导过程，它将给定的
假设和已知条件进行比较，形成结论。
在逻辑推理中，条件是至关重
要的，下面将分为三类讨论条件在逻辑推理中的重要性。
1.逆否命题
逆否命题是逻辑推理中最常用的一个条件。
它的定义是，如果命题P
成立，则其逆否命题也成立，即“非Q不成立，P不成立。
”举个例子，对于命题“如果今天下雨，那么地面湿润”，它的逆否命题可以表述为“如果地面没有湿润，那么今天没有下雨”。
也就是说，在逻辑推理中，当我们知道一个命题成立时，我们可以通过其逆否命题来确定其他命
题是否成立。
2.充分必要条件
充分必要条件是指，在一个条件语句中，如果只满足一个条件，那么
另一个条件就不满足。
例如，如果期望获得汉堡，充分必要条件是付款。
也就是说，如果你没有付款，那么你就无法获得汉堡。
在逻辑推
理中，充分必要条件可以帮助我们确定命题之间的关系。
3.假设条件
假设条件是指对命题进行前提假设，这个假设可以根据实际和已知信
息进行结果计算和推理。
例如，“如果这本书可以下载，我就会去下载它。
”假设条件是“这本书可以下载”。
然后，我们可以推断出结果，也
就是“我会去下载它”。
在逻辑推理中，假设条件是非常重要的，因为
它们帮助我们确定关键因素，并帮助我们了解到达结论的正确路径。
结论
以上所述，考虑到逻辑推理的要求，包括逆否命题、充分必要条件和
假设条件是其中最核心的条件。
这些条件帮助我们根据已知条件推断
出未知情况，并帮助我们验证我们的结论是否正确。
在计算机科学中，这些条件对于算法的正确性检验、软件测试和系统设计都非常重要。
有了这些条件，我们可以进行高效的决策和判断，从而进一步发展计
算机科学和其他领域。