2015-2016年江西省吉安市高一上学期期末数学试卷带答案
2015-2016学年江西省吉安市高一(下)期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年江西省吉安市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若a、b、c∈R，且a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（）A．a﹣c＜b﹣c B．＞C．＞D．ac2＞bc22．“二孩政策”的出台，给很多单位安排带来新的挑战，某单位为了更好安排下半年的工作，该单位领导想对本单位女职工做一个调研，已知该单位有女职工300人，其中年龄在40岁以上的有50人，年龄在[30，40]之间的有150人，30岁以下的有100人，现按照分层抽样取30人，则各年龄段抽取的人数分别为（）A．5，15，10 B．5，10，15 C．10，10，10 D．5，5，203．已知△ABC的三边比为3：5：7，则这个三角形的最大角的正切值是（）A．B．C．﹣D．﹣4．在某海洋军事演习编队中，指挥舰00号与驱逐舰01号、02号的距离一直保持100海里的距离，当驱逐舰01号在指挥舰00号的北偏东15°，02号在00号南偏东45°时，则驱逐舰01号与02号相距（）A．100海里B．100海里C．100海里D．200海里5．下列四个命题一定正确的是（）A．算法的三种基本结构是顺序结构、条件结构，循环结构B．用样本频率分布估计总体频率分布的过程中，总体容量越大，估计越精确C．一组数据的方差为3，将这组数据中的每一个数据都扩大到原来的3倍，所得的新数据组的方差还是3D．有50件产品编号从1到50，现在从中抽取5件检验，用系统抽样确定所抽取的编号为5，15，20，35，406．已知a=30.5，b=（）1.1，c=log2，则a、b、c大小关系正确的是（）A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a7．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a5＞0，a1+a10＜0，则当S n最大时正整数n为（）A．4 B．5 C．6 D．108．执行如图所示的程序框图，若输入S的值为﹣1，则输出S的值为（）A．﹣1 B．C．2 D．39．已知函数f（x）=x2﹣ax+4满足a∈[﹣1，7]，那么对于a，使得f（x）≥0在x∈[1，4]上恒成立的概率为（）A．B．C．D．10．下列命题一定正确的是（）A．在等差数列{a n}中，若a p+a q=a r+aδ，则p+q=r+δB．已知数列{a n}的前n项和为S n，若{a n}是等比数列，则S k，S2k﹣S k，S3k﹣S2k也是等比数列C．在数列{a n}中，若a p+a q=2a r，则a p，a r，a q成等差数列D．在数列{a n}中，若a p•a q=a，则a p，a r，a q成等比数列11．已知函数f（x）=1﹣2lgx，若f（x2﹣1）＞1，则实数x的取值范围为（）A．（﹣，）B．（1，）C．（﹣2，﹣1）∪（1，2）D．（﹣，﹣1）∪（1，）12．已知f（x）是偶函数，且f（x+）=f（﹣x），当﹣≤x≤0时，f（x）=（）x﹣1，记a n=f（），n∈N+，则a2046的值为（）A．1﹣B．1﹣C．﹣1 D．﹣1二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．某厂有一个新工人生产5件产品中有3件合格品，其余为次品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件合格品的概率为．14．若正数a、b满足a+2b=1，则+的最小值是．15．观察下列图，并阅读图形下面的文字，依此推断n条直线的交点个数最多是．16．已知数列{a n}当n≥2时满足=+，且a3a5a7=， ++=9，S n是数列{}的前n项和，则S4=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．一个盒子中装有5张编号依次为1，2，3，4，5的卡片，这5张卡片除号码外完全相同，现进行有放回的连续抽取两次，每次任意地取出一张卡片．（1）求出所有可能结果数，并列出所有可能结果；（2）求条件“取出卡片的号码之和不小于7或小于5”的概率．18．已知公差为0的等差数列{a n}满足a1=1，且a1，a3﹣2，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列{}的前n项和为S n，并求使得S n＞+成立的最小正整数n．19．在锐角△ABC中，=．（1）求角A；（2）若a=2，且sinB+cos（C+2B﹣）取得最大值时，求△ABC的面积．20．从吉安市某校高一的1000名学生随机抽取50名分析期中考试数学成绩，被抽取学生成绩全部介于95分和135分之间，将抽取的成绩分成八组：第一组[95，100]，第二组[100，105]，…，第八组[130，135]，如图是按上述分组得到的频率分布直方图的一部分，已知前三组的人数成等差数列，第六组的人数为4人，第一组的人数是第七组、第八组人数之和．（1）在图上补全频率分布直方图，并估计该校1000名学生中成绩在120分以上（含120分）的人数；（2）若从成绩属于第六组，第八组的所有学生中随机抽取两名学生，记他们的成绩分别为x，y，事件G=||x﹣y|≤5|，求P（G）．21．某集团公司为了获得更大的收益，决定以后每年投入一笔资金用于广告促销．经过市场调查，每年投入广告费t百万元，可增加销售额约（2t+﹣）百万元（t≥0）．（1）若公司当年新增收益不少于1.5百万元，求每年投放广告费至少多少百万元？（2）现公司准备投入6百万元分别用于当年广告费和新产品开发，经预测，每投入新产品开发费x百万元，可增加销售额约（+3x+）百万元，问如何分配这笔资金，使该公司获得新增收益最大？（新增收益=新增销售额﹣投入）22．已知数列{a n}的前n项和S n=2n+1，（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项a n；（2）设b n=n•a n+1，求数列{b n}的前n项和T n；（3）设c n=，求证：c1+c2+…+c n＜．（n∈N*）2015-2016学年江西省吉安市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若a、b、c∈R，且a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（）A．a﹣c＜b﹣c B．＞C．＞D．ac2＞bc2【考点】不等式的基本性质．【分析】根据不等式的基本性质，分别判断四个答案中的不等式是否恒成立，可得结论．【解答】解：∵a＞b＞0，∴a﹣c＞b﹣c，故A错误；＞，故B正确；当c＜0时，＜，故C错误；当c=0时，ac2=bc2，故D错误；故选：B．2．“二孩政策”的出台，给很多单位安排带来新的挑战，某单位为了更好安排下半年的工作，该单位领导想对本单位女职工做一个调研，已知该单位有女职工300人，其中年龄在40岁以上的有50人，年龄在[30，40]之间的有150人，30岁以下的有100人，现按照分层抽样取30人，则各年龄段抽取的人数分别为（）A．5，15，10 B．5，10，15 C．10，10，10 D．5，5，20【考点】分层抽样方法．【分析】本题是一个分层抽样，根据该单位有女职工300人，要取一个容量为30的样本，得到本单位每个女职工被抽到的概率，即可得到答案．【解答】解：抽取人数与女职工总数的比是30：300=1：10∵年龄在40岁以上的有50人，年龄在[30，40]之间的有150人，30岁以下的有100人，∴在分层抽样时，各年龄段抽取的人数分别为5人、15人和10人．故选：A．3．已知△ABC的三边比为3：5：7，则这个三角形的最大角的正切值是（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】余弦定理．【分析】设三边长依次为3t，5t，7t，其中t＞0，设最大角是C，由余弦定理求得cosC的值，可得C的正切．【解答】解：△ABC的三边比为3：5：7，设三边长依次为3t，5t，7t，其中t＞0，设最大角是C，由余弦定理知，49t2=9t2+25t2﹣2×3t×5tcosC，∴cosC=﹣，所以C=120°．则由余弦定理可得∴tanC=tan120°=﹣tan60°=﹣，故选：D．4．在某海洋军事演习编队中，指挥舰00号与驱逐舰01号、02号的距离一直保持100海里的距离，当驱逐舰01号在指挥舰00号的北偏东15°，02号在00号南偏东45°时，则驱逐舰01号与02号相距（）A．100海里B．100海里C．100海里D．200海里【考点】解三角形的实际应用．【分析】首先由题意画出示意图，然后解三角形可得．【解答】解：由题意，示意图如图：已知驱逐舰01号在A处的指挥舰00号的北偏东15°的C处，02号在00号南偏东45°的B处，由已知得到∠BAC=120°，AB=AC=100m，所以BC2=AC2+AB2﹣2AC×ABcos120°=30000，所以BC=100；所以驱逐舰01号与02号相距100海里；故选C．5．下列四个命题一定正确的是（）A．算法的三种基本结构是顺序结构、条件结构，循环结构B．用样本频率分布估计总体频率分布的过程中，总体容量越大，估计越精确C．一组数据的方差为3，将这组数据中的每一个数据都扩大到原来的3倍，所得的新数据组的方差还是3D．有50件产品编号从1到50，现在从中抽取5件检验，用系统抽样确定所抽取的编号为5，15，20，35，40【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．根据算法的结构进行判断，B．样本容量越大，估计越精确，C．样本方差满足平方关系，D．系统抽样要求样本间隔相同．【解答】解：A．根据算法的内容可知算法的三种基本结构是顺序结构、条件结果、循环结构．正确，B．样本的频率分布估计总体分布的过程中，样本容量越大，估计越准确，故B错误，C．一组数据的方差为3，将这组数据中的每一个数据都扩大到原来的3倍，所得的新数据组的方差9，故C错误，D．有50件产品编号从1到50，现在从中抽取5件检验，用系统抽样则样本间隔为50÷5=10，则编号为5，15，20，35，40的样本间隔不是10，故D错误，故选：A6．已知a=30.5，b=（）1.1，c=log2，则a、b、c大小关系正确的是（）A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=30.5＞1，b=（）1.1＜=，c=log2=，∴b＜c＜a，故选：D．7．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a5＞0，a1+a10＜0，则当S n最大时正整数n为（）A．4 B．5 C．6 D．10【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列通项公式得到d＜0，4＜﹣＜，由此能求出当S n最大时正整数n的值．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a5＞0，a1+a10＜0，∴，∴，d＜0，∴4＜﹣＜S n=na1+=+（a1﹣）n=，∴n==﹣∈（，5），∴当S n最大时正整数n为5．故选：B．8．执行如图所示的程序框图，若输入S的值为﹣1，则输出S的值为（）A．﹣1 B．C．2 D．3【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行输出的结果．【解答】解：模拟执行程序，可得S=﹣1，i=1S=满足条件i≤2016，执行循环体，i=2，S=2满足条件i≤2016，执行循环体，i=3，S=﹣1满足条件i≤2016，执行循环体，i=4，S=…观察规律可知S的取值周期为3，由于2016=672×3，可得满足条件i≤2016，执行循环体，i=2016，S=﹣1满足条件i≤2016，执行循环体，i=2017，S=不满足条件i≤2016，退出循环，输出S的值为．故选：B．9．已知函数f（x）=x2﹣ax+4满足a∈[﹣1，7]，那么对于a，使得f（x）≥0在x∈[1，4]上恒成立的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由f（x）≥0在x∈[1，4]上恒成立，可得a≤x+在x∈[1，4]上恒成立，可得a∈[﹣1，4]求出区间[﹣1，4]上构成的区域长度，再求出在区间[[﹣1，7]上任取一个数构成的区域长度，再求两长度的比值．【解答】解：由f （x ）≥0在x ∈[1，4]上恒成立，可得a ≤x +在x ∈[1，4]上恒成立，∴a ≤4又a ∈[﹣1，7]，∴a ∈[﹣1，4]，∴使得f （x ）≥0在x ∈[1，4]上恒成立的概率为=，故选：C ．10．下列命题一定正确的是（ ）A ．在等差数列{a n }中，若a p +a q =a r +a δ，则p +q=r +δB ．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若{a n }是等比数列，则S k ，S 2k ﹣S k ，S 3k ﹣S 2k 也是等比数列C ．在数列{a n }中，若a p +a q =2a r ，则a p ，a r ，a q 成等差数列D ．在数列{a n }中，若a p •a q =a ，则a p ，a r ，a q 成等比数列【考点】等差关系的确定；等比关系的确定．【分析】A ．在等差数列{a n }中，公差d=0，p +q=r +δ不一定正确；B ．若{a n }是等比数列，必须S k ，S 2k ﹣S k ，S 3k ﹣S 2k 是不等于0时，S k ，S 2k ﹣S k ，S 3k ﹣S 2k 也是等比数列，即可判断出正误；C ．利用等差数列的性质即可判断出结论．；D ．在数列{a n }中，a p •a q =a ，则a n =0，a p ，a r ，a q 不一定成等比数列．【解答】解：A ．在等差数列{a n }中，若a p +a q =a r +a δ，公差d=0，则p +q=r +δ不一定正确； B ．在数列{a n }的前n 项和为S n ，若{a n }是等比数列，必须S k ，S 2k ﹣S k ，S 3k ﹣S 2k 是不等于0时，成S k ，S 2k ﹣S k ，S 3k ﹣S 2k 也是等比数列，因此不正确；C ．在数列{a n }中，若a p +a q =2a r ，则a p ，a r ，a q 成等差数列，正确；D ．在数列{a n }中，若a p •a q =a ，则a p ，a r ，a q 不一定成等比数列，没有条件a n ≠0． 故选：C ．11．已知函数f （x ）=1﹣2lgx ，若f （x 2﹣1）＞1，则实数x 的取值范围为（ ）A ．（﹣，）B ．（1，）C ．（﹣2，﹣1）∪（1，2）D ．（﹣，﹣1）∪（1，）【考点】指、对数不等式的解法．【分析】由函数的性质得到lg （x 2﹣1）＜0，再根据对数函数的性质即可求出．【解答】解：∵函数f （x ）=1﹣2lgx ，f （x 2﹣1）＞1，∴1﹣2lg （x 2﹣1）＞1，即lg （x 2﹣1）＜0=lg1，∴0＜x 2﹣1＜1，解得﹣＜x ＜﹣1，或1＜x ＜，故不等式的解集为（﹣，﹣1）∪（1，），故选：D ．12．已知f（x）是偶函数，且f（x+）=f（﹣x），当﹣≤x≤0时，f（x）=（）x﹣1，记a n=f（），n∈N+，则a2046的值为（）A．1﹣B．1﹣C．﹣1 D．﹣1【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性和对称性求出函数是周期为1的周期函数，根据数列和函数的关系，结合函数的周期性进行转化求解即可．【解答】解：∵f（x）是偶函数，且f（x+）=f（﹣x），∴f（x+）=f（﹣x）=f（x﹣），即f（x+1）=f（x），即函数f（x）是周期为1的周期函数，则a2046=f（）=f=f（）=f（﹣），∵当﹣≤x≤0时，f（x）=（）x﹣1，∴f（﹣）=（）﹣1=﹣1=﹣1，故a2046=f（﹣）=﹣1，故选：C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．某厂有一个新工人生产5件产品中有3件合格品，其余为次品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件合格品的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再求出恰有一件合格品包含的基本事件个数，由此能求出恰有一件合格品的概率．【解答】解：某厂有一个新工人生产5件产品中有3件合格品，其余为次品，现从这5件产品中任取2件，基本事件总数n=，恰有一件合格品包含的基本事件个数m==6，∴恰有一件合格品的概率p==．故答案为：．14．若正数a、b满足a+2b=1，则+的最小值是8．【考点】基本不等式．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正数a、b满足a+2b=1，则+=（a+2b）=4+≥4+2=8，当且仅当a=2b=时取等号．∴+的最小值是8．故答案为：8．15．观察下列图，并阅读图形下面的文字，依此推断n条直线的交点个数最多是n（n﹣1）．【考点】归纳推理．【分析】根据2条、3条、4条直线相交交点个数最多的数目，归纳总结得到一般性规律确定出n条直线交点个数最多的即可．【解答】解：2条直线相交，最多有×2×（2﹣1）=1个交点；3条直线相交，最多有×3×（3﹣1）=3个交点；4条直线相交，最多有×4×（4﹣1）=6个交点，…，依此类推，n条直线相交，最多有n（n﹣1）个交点，故答案为：n（n﹣1）16．已知数列{a n}当n≥2时满足=+，且a3a5a7=， ++=9，S n是数列{}的前n项和，则S4=7．【考点】数列的求和．【分析】数列{a n}当n≥2时满足=+，可得数列是等差数列，设公差为d．由++=9，可得=9，解得=3．由a3a5a7=，可得=24，因此（3﹣2d）×3×（3+2d）=24，解出d，进而得出．【解答】解：∵数列{a n}当n≥2时满足=+，∴数列是等差数列，设公差为d．∵++=9，∴=9，解得=3．∵a3a5a7=，∴=24，∴（3﹣2d）×3×（3+2d）=24，解得d=．d=时，=+（n﹣5）d=3+=．∴S4==7．d=﹣时，=+（n﹣5）d=3﹣=．（舍去，n=11时不存在）．综上可得：S4=7．故答案为：7．三、解答题（共6小题，满分70分）17．一个盒子中装有5张编号依次为1，2，3，4，5的卡片，这5张卡片除号码外完全相同，现进行有放回的连续抽取两次，每次任意地取出一张卡片．（1）求出所有可能结果数，并列出所有可能结果；（2）求条件“取出卡片的号码之和不小于7或小于5”的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）先求出基本事件总数n=5×5=25，再利用列举法列出所有可能结果．（2）利用列举法求出“取出卡片的号码之和不小于7或小于5”包含的基本事件个数，由此能求出“取出卡片的号码之和不小于7或小于5”的概率．【解答】解：（1）盒子中装有5张编号依次为1，2，3，4，5的卡片，这5张卡片除号码外完全相同，现进行有放回的连续抽取两次，每次任意地取出一张卡片，基本事件总数n=5×5=25，所有可能结果为：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5）．（2）“取出卡片的号码之和不小于7或小于5”包含的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，5），（3，1），（3，4），（3，5），（4，3），（4，4），（4，5），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共有m=16个，∴“取出卡片的号码之和不小于7或小于5”的概率p==．18．已知公差为0的等差数列{a n}满足a1=1，且a1，a3﹣2，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列{}的前n项和为S n，并求使得S n＞+成立的最小正整数n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）设数列{a n}的公差为d，根据等比中项的性质、等差数列的通项公式列出方程，求出d的值，代入等差数列的通项公式求出a n；（2）由（1）化简，利用裂项相消法求出S n，化简S n＞+求出n的范围，即可求出最小正整数n．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，由a1，a3﹣2，a9成等比数列得，（2d﹣1）2=1×（1+8d），则d2﹣3d=0，解得d=3或d=0（舍去），所以a n=1+（n﹣1）d=3n﹣2；（2）由（1）得，==（），则S n= [（1﹣）+（）+…+（）]=（）=，所以S n＞+为＞+，化简得，n2﹣25n﹣8＞0，又n是正整数，解得n≥26，所以S n=，使得S n＞+成立的最小正整数n为26．19．在锐角△ABC中，=．（1）求角A；（2）若a=2，且sinB+cos（C+2B﹣）取得最大值时，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用余弦定理、诱导公式化简所给的式子，求得sinA 的值，可得A的值．（2）由（1）可得B+C=，故有C+2B﹣=B﹣，再利用两角和差的三角公式、正弦函数的值域求得sinB+cos（C+2B﹣）取得最大值，此时，△ABC为等边三角形，从而求得它的面积．【解答】解：（1）锐角△ABC 中，∵=，∴=，∴sinA=，A=．（2）由（1）可得B +C=，∴C +2B ﹣=B ﹣，∴sinB +cos （C +2B ﹣）=sinB +cos （B ﹣）=sinB +cosB=sin （B +），故当B +=时，即B=时，sinB +cos （C +2B ﹣）取得最大值，此时，A=B=C=，△ABC 为等边三角形，∴△ABC 的面积为•bc •sinA=•2•2•=．20．从吉安市某校高一的1000名学生随机抽取50名分析期中考试数学成绩，被抽取学生成绩全部介于95分和135分之间，将抽取的成绩分成八组：第一组[95，100]，第二组[100，105]，…，第八组[130，135]，如图是按上述分组得到的频率分布直方图的一部分，已知前三组的人数成等差数列，第六组的人数为4人，第一组的人数是第七组、第八组人数之和．（1）在图上补全频率分布直方图，并估计该校1000名学生中成绩在120分以上（含120分）的人数；（2）若从成绩属于第六组，第八组的所有学生中随机抽取两名学生，记他们的成绩分别为x ，y ，事件G=||x ﹣y |≤5|，求P （G ）．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图． 【分析】（1）由题意得：第四组有10名，第五组有6名，第七组有4名，第八组有2名，从而前三组共有24名，进而第一组有6名，第二组8名，第三组10名，由此作出频率分布直方图，估计该校1000名学生中成绩在120分以上（含120分）的人数．（2）记第四组4名学生为a ，b ，c ，d ，第八组2名学生为E ，F ，由此利用列举法能求出事件G=||x ﹣y |≤5|的概率P （G ）． 【解答】解：（1）由题意得：第四组有10名，第五组有6名，第七组有4名，第八组有2名，则前三组共有24名，前三组的人数成等差数列，第一组有6名， ∴第二组8名，第三组10名，由此作出频率分布直方图，如右图．由频率分布直方图得成绩在120分以上（含120分）的频率为：（0.016+0.016+0.008）×5=0.2，估计该校1000名学生中成绩在120分以上（含120分）的人数为：1000×0.2=200人．（2）记第四组4名学生为a，b，c，d，第八组2名学生为E，F，所有学生中随机抽取两名学生有ab，ac，ad，aE，aF，bc，bd，bE，bF，cd，cE，cF，dE，dF，EF，共15种情况，而事件G含有ab，ac，ad，bc，bd，cd，EF共7种情况，∴事件G=||x﹣y|≤5|的概率P（G）=．21．某集团公司为了获得更大的收益，决定以后每年投入一笔资金用于广告促销．经过市场调查，每年投入广告费t百万元，可增加销售额约（2t+﹣）百万元（t≥0）．（1）若公司当年新增收益不少于1.5百万元，求每年投放广告费至少多少百万元？（2）现公司准备投入6百万元分别用于当年广告费和新产品开发，经预测，每投入新产品开发费x百万元，可增加销售额约（+3x+）百万元，问如何分配这笔资金，使该公司获得新增收益最大？（新增收益=新增销售额﹣投入）【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）设投入t（t百万元）的广告费后增加的收益为f（t）（百万元），则有f（t）=（﹣t2+5t）﹣t=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4（0＜t≤3），由二次函数法求得最大值．（2）根据题意，投入新产品开发费x百万元（0≤x≤6），则用于当年广告费为（6﹣x）（百万元），则获得新增收益为g（x）=+3x++2（6﹣x）+﹣﹣6=+x+，利用基本不等式，即可得出结论．【解答】解：（1）设投入t（t百万元）的广告费后增加的收益为f（t）（百万元），则有f（t）=（﹣t2+5t）﹣t=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4（0＜t≤3），所以当t=2百万元时，f（t）取得最大值4百万元．即投入2百万元时的广告费时，该公司由此获得的收益最大．（2）设投入新产品开发费x百万元（0≤x≤6），则用于当年广告费为（6﹣x）（百万元），则获得新增收益为g（x）=+3x++2（6﹣x）+﹣﹣6=+x+=﹣[+（8﹣x）]+ +=，当且仅当=8﹣x，即x﹣4时，g（x）有最大值．即将4百万元用于新产品开发，2百万元用于广告费，该公司由此获得的收益最大．22．已知数列{a n}的前n项和S n=2n+1，（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项a n；（2）设b n=n•a n+1，求数列{b n}的前n项和T n；（3）设c n=，求证：c1+c2+…+c n＜．（n∈N*）【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．【分析】（1）当n≥2时利用a n=S n﹣S n计算，进而可得通项公式；﹣1（2）通过（1）可知b n=n•2n，进而利用错位相减法计算即得结论；（3）通过（1）可知数列{c n}的通项公式，分n=1与n≥2两种情况讨论即可，当n≥2时通过放缩c n=＜即得结论．【解答】（1）解：当n=1时，a1=S1=3，=2n﹣1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1∴数列{a n}的通项a n=；（2）解：由（1）可知b n=n•a n+1=n•2n，则T n=1•21+2•22+3•23+…+n•2n，2T n=1•22+2•23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，两式相减，得：﹣T n=21+22+23+…+2n﹣n•2n+1=（1﹣n）•2n+1﹣2，∴T n=2+（n﹣1）•2n+1；（3）证明：由（1）可知c n==，当n=1时，c1=＜，当n≥2时，c1+c2+…+c n=+++…+＜+++…+=+++…+=﹣＜，综上所述，c1+c2+…+c n＜（n∈N*）．2016年8月5日。
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案XXX2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设全集 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，集合 $M=\{1,4\}$，$N=\{1,3,5\}$，则 $N\cap (U-M)=()$A。
$\{1\}$ B。
$\{3,5\}$ C。
$\{1,3,4,5\}$ D。
$\{1,2,3,5,6\}$2.已知平面直角坐标系内的点 $A(1,1)$，$B(2,4)$，$C(-1,3)$，则 $AB-AC=()$A。
$22$ B。
$10$ C。
$8$ D。
$4$3.已知 $\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\alpha\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，则 $\tan\alpha$ 的值是（）A。
$-\frac{3}{4}$ B。
$-\frac{4}{3}$ C。
$\frac{3}{4}$ D。
$\frac{4}{3}$4.已知函数 $f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})$（$x\inR,\omega>0$）的最小正周期为 $\pi$，为了得到函数$g(x)=\cos\omega x$ 的图象，只要将 $y=f(x)$ 的图象（）：A.向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度B.向右平移$\frac{\pi}{4}$ 个单位长度C.向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度D.向右平移$\frac{\pi}{2}$ 个单位长度5.已知 $a$ 与 $b$ 是非零向量且满足 $3a-b\perp a$，$4a-b\perp b$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{4}$ B。
$\frac{\pi}{3}$ C。
2014-2015学年江西省吉安市新干中学高一(上)期末数学试卷(解析版)
2014-2015学年江西省吉安市新干中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：（每题5分，满分60分）1．（5.00分）集合M={x|x=+，k∈Z}，N={x|x=，k∈Z}，则（）A．M=N B．M⊇N C．M⊆N D．M∩N=∅2．（5.00分）已知角α是第二象限角，则π﹣α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角3．（5.00分）函数y=log2（2cosx﹣1）的定义域为（）A．（﹣，）B．{x|﹣+2kπ＜x＜+2kπ，k∈Z}C．[﹣，]D．{x|﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z}4．（5.00分）函数y=|lg（x﹣1）|的图象是（）A．B．C．D．5．（5.00分）函数y=﹣xcosx的部分图象是（）A． B．C．D．6．（5.00分）方程2x﹣1+x=5的解所在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）7．（5.00分）已知a=log20.3，b=20.3，c=0.20.3，则a，b，c三者的大小关系是（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a8．（5.00分）把函数y=sinx的图象上所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），所得解析式为y=sin（ωx+φ），则（）A．B．C．D．9．（5.00分）设，则使y=x a为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的a值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．410．（5.00分）已知sinx+cosx=，且x∈（0，π），则tanx=（）A．B．﹣ C．D．11．（5.00分）下列6个命题中正确命题个数是（）（1）第一象限角是锐角（2）y=sin（﹣2x）的单调增区间是（kπ+π，kπ+π），k∈Z（3）角α终边经过点（a，a）（a≠0）时，sinα+cosα=（4）若y=sin（ωx）的最小正周期为4π，则ω=（5）若cos（α+β）=﹣1，则sin（2α+β）+sinβ=0（6）若定义在R上函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），则y=f（x）是周期函数．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12．（5.00分）函数f（x）=log a（ax2﹣x）在[2，4]上是增函数，则a的取值范围是（）A．＜a＜1或a＞1 B．a＞1 C．＜a＜1 D．0＜a＜二、填空题：（每题6分，满分24分）13．（6.00分）已知A，B是圆O上两点，∠AOB=2弧度，AB=2，则劣弧AB长度是．14．（6.00分）函数f（x）=log（x2﹣2x）的单调递减区间是．15．（6.00分）已知tanx=2，则=．16．（6.00分）关于函数f（x）=lg（x≠0，x∈R）有下列命题：①函数y=f（x）的图象关于y轴对称；②在区间（﹣∞，0）上，函数y=f（x）是减函数；③函数f（x）的最小值为lg2；④在区间（1，+∞）上，函数f（x）是增函数．其中正确命题序号为．三、解答题：（本题满分76分，要求写出必要的步骤和过程）17．（12.00分）已知函数．（1）求证：不论a为何实数f（x）总是为增函数；（2）确定a的值，使f（x）为奇函数．18．（12.00分）已知，求下列各式的值（1）（2）．19．（12.00分）若二次函数满足f（x+1）﹣f（x）=2x且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）若在区间[﹣1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围．20．（12.00分）已知函数f（x）=5sin（x+）﹣acos2（x+）的图象经过点（﹣，﹣2）（1）求a的值（2）若函数定义域是R，求函数的最大值及此时x的取值集合（3）若函数定义域是[﹣，]，求函数的值域．21．（14.00分）一半径为4米的水轮如图，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时．（1）将点P距离水面的高度h（米）表示为时间t（秒）的函数；（2）点P第一次到达最高点要多长时间？（3）在点P每转动一圈过程中，有多少时间点P距水面的高度不小于米．22．（14.00分）函数f（x）=2x﹣的定义域为（0，1]（a为实数）．（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数y=f（x）的值域；（Ⅱ）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，求a的取值范围；（Ⅲ）求函数y=f（x）在x∈（0，1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值．2014-2015学年江西省吉安市新干中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每题5分，满分60分）1．（5.00分）集合M={x|x=+，k∈Z}，N={x|x=，k∈Z}，则（）A．M=N B．M⊇N C．M⊆N D．M∩N=∅【解答】解：若a∈M={x|x=+，k∈Z}，则a=k+=（2k﹣1）+∈N，则M⊆N，又∵∈N，∉M，∴M⊊N，故选：C．2．（5.00分）已知角α是第二象限角，则π﹣α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【解答】解：不妨令α=，则=，为第一象限角，故选：A．3．（5.00分）函数y=log2（2cosx﹣1）的定义域为（）A．（﹣，）B．{x|﹣+2kπ＜x＜+2kπ，k∈Z}C．[﹣，]D．{x|﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z}【解答】解：要使函数有意义，则2cosx﹣1＞0，即cosx＞，则﹣+2kπ＜x＜+2kπ，k∈Z，即函数的定义域为{x|﹣+2kπ＜x＜+2kπ，k∈Z}，故选：B．4．（5.00分）函数y=|lg（x﹣1）|的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由x﹣1＞0解得，x＞1，故函数的定义域是（1，+∞），由选项中的图象知，故C正确．故选：C．5．（5.00分）函数y=﹣xcosx的部分图象是（）A． B．C．D．【解答】解：设y=f（x），则f（﹣x）=xcosx=﹣f（x），f（x）为奇函数；又时f（x）＜0，此时图象应在x轴的下方故选：D．6．（5.00分）方程2x﹣1+x=5的解所在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：令f（x）=2x﹣1+x﹣5，则方程2x﹣1+x=5的解所在的区间就是函数f （x）=2x﹣1+x﹣5的零点所在的区间．由于f（2）=4﹣5=﹣1，f（3）=4+3﹣5=2＞0，根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=2x﹣1+x﹣5的零点所在的区间为（2，3），故选：C．7．（5.00分）已知a=log20.3，b=20.3，c=0.20.3，则a，b，c三者的大小关系是（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a【解答】解：log20.3＜0，20.3＞1，c=0.20.3∈（0，1），∴b＞c＞a，故选：A．8．（5.00分）把函数y=sinx的图象上所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），所得解析式为y=sin（ωx+φ），则（）A．B．C．D．【解答】解：把函数y=sinx的图象上所有点向右平移个单位，得到y=sin（x ﹣）再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的，得到y=sin（2x﹣）∵解析式为y=sin（ωx+φ），∴ω=2，φ=﹣，故选：B．9．（5.00分）设，则使y=x a为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的a值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵y=x a在（0，+∞）上单调递减∴a＜0∴a的可能取值为﹣3，﹣2，﹣1，又∵y=x a为奇函数当a=﹣2时，是偶函数；当a=﹣时，是非奇非偶函数不合题意∴a=﹣3或a=﹣1∴满足题意的a的值有2个故选：B．10．（5.00分）已知sinx+cosx=，且x∈（0，π），则tanx=（）A．B．﹣ C．D．【解答】解：∵sinx+cosx=，且x∈（0，π），∴1+2sinxcosx=，∴2sinxcosx=﹣＜0，∴x为钝角．∴sinx﹣cosx===，∴sinx=，cosx=﹣，tanx==﹣，故选：B．11．（5.00分）下列6个命题中正确命题个数是（）（1）第一象限角是锐角（2）y=sin（﹣2x）的单调增区间是（kπ+π，kπ+π），k∈Z（3）角α终边经过点（a，a）（a≠0）时，sinα+cosα=（4）若y=sin（ωx）的最小正周期为4π，则ω=（5）若cos （α+β）=﹣1，则sin （2α+β）+sinβ=0（6）若定义在R 上函数f （x ）满足f （x +1）=﹣f （x ），则y=f （x ）是周期函数． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【解答】解：361°是第一象限角但不是锐角，故（1）不正确；（2）y=sin （﹣2x ）的单调增区间是（kπ+π，kπ+π），k ∈Z ，正确；角α终边经过点（a ，a ）（a ≠0）时，sinα+cosα=或﹣，故（3）不正确；若y=sin （ωx ）的最小正周期为4π，则ω=±，故（4）错误；若cos （α+β）=﹣1，则sin （2α+β）+sinβ=sin （2π﹣β）+sinβ=0，成立，故（5）正确；若定义在R 上函数f （x ）满足f （x +1）=﹣f （x ），则可得f （x +2）=f （x ），则y=f （x ）是周期函数，故（6）正确． 故选：C ．12．（5.00分）函数f （x ）=log a （ax 2﹣x ）在[2，4]上是增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．＜a ＜1或a ＞1B ．a ＞1C ．＜a ＜1D ．0＜a ＜【解答】解：令t （x ）=ax 2﹣x ，则y=log a ta ＞0且a ≠1，t （x ）=ax 2﹣x 的对称轴为x=当a ＞1时，t （x ）在[2，4]上单调递增， ∴t （2）=4a ﹣2＞0，t （4）=16a ﹣4＞0，∴a ＞1当0＜a ＜1时，t （x ）在[2，4]上单调递减， ∴t （2）＞0，t （4）＞0，≥4，此时a 不存在综上所述：a ＞1 故选：B ．二、填空题：（每题6分，满分24分）13．（6.00分）已知A，B是圆O上两点，∠AOB=2弧度，AB=2，则劣弧AB长度是．【解答】解：圆的半径r=∴劣弧AB长度是l=故答案为：14．（6.00分）函数f（x）=log（x2﹣2x）的单调递减区间是（2，+∞）．【解答】解：由题意可得函数的定义域为：（2，+∞）∪（﹣∞，0）令t=x2﹣2x，则y=因为函数y=在定义域上单调递减t=x2﹣2x在（2，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减根据复合函数的单调性可知函数的单调递减区间为：（2，+∞）故答案为：（2，+∞）15．（6.00分）已知tanx=2，则=．【解答】解：∵tanx=2，∴===，故答案为：．16．（6.00分）关于函数f（x）=lg（x≠0，x∈R）有下列命题：①函数y=f（x）的图象关于y轴对称；②在区间（﹣∞，0）上，函数y=f（x）是减函数；③函数f（x）的最小值为lg2；④在区间（1，+∞）上，函数f（x）是增函数．其中正确命题序号为①③④．【解答】解：∵函数，显然f（﹣x）=f（x），即函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，故①正确；当x＞0时，，令t（x）=，则t′（x）=1﹣可知当x∈（0，1）时，t′（x）＜0，t（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，t′（x）＞0，t（x）单调递增，即在x=1处取到最小值为2．由偶函数的图象关于y轴对称及复合函数的单调性可知②错误，③正确，④正确．故答案为：①③④．三、解答题：（本题满分76分，要求写出必要的步骤和过程）17．（12.00分）已知函数．（1）求证：不论a为何实数f（x）总是为增函数；（2）确定a的值，使f（x）为奇函数．【解答】解：（1）∵f（x）的定义域为R，设x1＜x2，则=（4分）∵x1＜x2，∴，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，（6分）即f（x1）＜f（x2），所以不论a为何实数f（x）总为增函数．（7分）（2）∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即，解得：．∴．（12分）18．（12.00分）已知，求下列各式的值（1）（2）．【解答】解：（1）∵，∴=﹣=﹣，∴sinx﹣cosx=，∴1﹣2sinxcisx=，∴sinxcosx=，∴cos（）=cos cosx+sin sinx=（sinx+cosx），∴cos2（）=[]2==，∴=±．（2）sin（）=sin cosx+cos sinx==﹣．19．（12.00分）若二次函数满足f（x+1）﹣f（x）=2x且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）若在区间[﹣1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由f（0）=1，∴c=1，∴f（x）=ax2+bx+1∵f（x+1）﹣f（x）=2x，∴2ax+a+b=2x，∴∴f（x）=x2﹣x+1（5分）（2）由题意：x2﹣x+1＞2x+m在[﹣1，1]上恒成立，即x2﹣3x+1﹣m＞0在[﹣1，1]上恒成立其对称轴为，∴g（x）在区间[﹣1，1]上是减函数，∴g（x）min=g（1）=1﹣3+1﹣m＞0，∴m＜﹣1（10分）．20．（12.00分）已知函数f（x）=5sin（x+）﹣acos2（x+）的图象经过点（﹣，﹣2）（1）求a的值（2）若函数定义域是R，求函数的最大值及此时x的取值集合（3）若函数定义域是[﹣，]，求函数的值域．【解答】解：（1）∵函数f（x）=5sin（x+）﹣acos2（x+）的图象经过点（﹣，﹣2），∴点（﹣，﹣2）代入函数式得：f（﹣）=5sin0﹣acos20=﹣a=﹣2解得a=2（2）f（x）=5sin （x+）﹣2cos2（x+）=5sin （x+）﹣2+2sin2（x+）=2[sin（x+）+]2﹣，故当sin（x+）=1时，f（x）最大值为5，此时x+=+2kπ，即x的取值集合为{x|x=+2kπ，k属于Z}．（3）定义域是[﹣，]时，x+的范围是[﹣，]，sin（x+）的范围是[﹣，1]∴函数f（x）的值域为[﹣4，5]．21．（14.00分）一半径为4米的水轮如图，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时．（1）将点P距离水面的高度h（米）表示为时间t（秒）的函数；（2）点P第一次到达最高点要多长时间？（3）在点P每转动一圈过程中，有多少时间点P距水面的高度不小于米．【解答】解：（1）依题意可知h的最大值为6，最小为﹣2，∴有，求得，，ω=，t=0时，h=0，∴sinφ=，∴φ=，∴函数的表达式为；（2），即，解得t=5s；（3），即，解得，即在点P每转动一圈过程中，有2.5s点P距水面的高度不小于米．22．（14.00分）函数f（x）=2x﹣的定义域为（0，1]（a为实数）．（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数y=f（x）的值域；（Ⅱ）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，求a的取值范围；（Ⅲ）求函数y=f（x）在x∈（0，1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值．【解答】解：（Ⅰ）显然函数y=f（x）的值域为；（Ⅱ）∵在定义域上恒成立而﹣2x2∈（﹣2，0）∴a≤﹣2（II）当a≥0时，函数y=f（x）在（0.1]上单调增，无最小值，当x=1时取得最大值2﹣a；由（2）得当a≤﹣2时，函数y=f（x）在（0.1]上单调减，无最大值，当x=1时取得最小值2﹣a；当﹣2＜a＜0时，函数y=f（x）在上单调减，在上单调增，无最大值，当时取得最小值．。
2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)
高一上学期期末考试数学试题一、选择题1．如果集合=A {}0242=+-x mx x 中只有一个元素，则实数m 的值为（ ）A ．0 错误！未找到引用源。
B ．1 错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
2D ．0或2 【答案】D【解析】试题分析：集合A 只有一个元素，即方程2420mx x -+=只有一个根．0m =时， 方程变形为420x -+=，必有一个根；0m ≠时，要使方程2420mx x -+=只有一个根，则16420m ∆=-⨯⨯=，解得2m =．综上可得0m =或2m =．故D 正确． 【考点】1集合的元素；2方程的根．【易错点睛】本题重点考查方程根的个数问题，属容易题．但在做题时极容易将方程2420mx x -+=误看做一元二次方程，只注意到使其判别式等于0时此方程只有一个根，而忽视二次项系数m 是否为0．当0m =时此方程为一次方程，一次方程必有一个根．注意当二次项系数含参数时一定要讨论其是否为0，否则极易出错．2．已知全集{}4,3,2,1,0,1-=M ，且{}4321，，，=B A ，{}32，=A ，则=)(A C B U （ ）A ．{}41， B ．{}1 C ．{}4 D ．φ 【答案】A【解析】试题分析：由题意分析可得1，4必在集合B 内，2，3可能在集合B 内．由已知可得{}1,0,1,4U C A =-，所以(){}1,4U B C A = ．故A 正确． 【考点】集合的运算．3．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学不在同一个兴趣小组的概率为（ ）A ．31B ．21C ．32D ．43【答案】C【解析】试题分析：甲乙同学各自在一个小组时共有6种可能，甲乙同学在同一组时共有3种可能，则这两位同学不在同一个兴趣小组的概率为62633P ==+．故C 正确．试卷第2页，总14页【考点】古典概型概率．4．已知函数1)2)(2+++=mx x m x f （为偶函数，则)(x f 在区间()∞+，1上是（ ）A ．先增后减B ．先减后增C ．减函数D ．增函数 【答案】D【解析】试题分析：因为函数()f x 为偶函数，所以()200022m m m m +≠⎧⎪⇒=⎨-=⎪+⎩．所以()221f x x =+．所以函数()221f x x =+的图像是开口向上以y 轴为对称轴的抛物线，所以函数()f x 在()1,+∞上单调递增．故D 正确．【考点】1偶函数的性质；2二次函数的单调性．【方法点睛】本题主要考查偶函数的性质和二次函数单调性问题，难度一般．偶函数的图像关于y 轴轴对称，在本题中由此可求得m 的值．二次函数的单调性由开口方向和对称轴同时决定．5．若以下程序框图的输出结果为120，则判断框中应填写的判断条件为（ ）A ．?5<iB ．?5>iC ．?6>iD ．?5≥i 【答案】B【解析】试题分析：根据框图的循环结构依次可得: 122,213T i =⨯==+=；236,314T i =⨯==+=；6424,415T i =⨯==+=；246120,516T i =⨯==+=，此时应跳出循环输出120T =．所以判断框中应填入5?i >．故B 正确． 【考点】程序框图．【易错点晴】本题主要考查的是程序框图，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件输出“120T =”，否则很容易出现错误．在给出程序框图有输出结果而需要填判断框时只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件，此时即可得出判断框中所填内容．6．已知函数⎩⎨⎧<+≥-=4)),2((4,1)(x x f f x x x f ，则=)3(f （ ）A ．5B ．4C ．3D ．2 【答案】C【解析】试题分析：()()()()()35514413f f f f f ==-==-=．故C 正确． 【考点】分段函数求值．7．若a 是从区间[]2,0中任取的一个实数， b 是从区间[]3,0中任取的一个实数，则概率是（ ）A ．32B ．65C ．31D ．61【答案】A【解析】试题分析：试验的全部结果构成的区域（如图）为边长分别为2和3的矩形，面积为236⨯=．其中满足a b <的结果构成的区域为图中阴影部分，其面积为162242-⨯⨯=．则所求概率为4263P ==．故A 正确． 【考点】几何概型．【思路点睛】本题主要考查几何概型概率，难度一般．几何概型的概率为长度比或面积比或体积比．所以应先根据已知条件作出满足初始条件的点所构成的可行域，再在其中标注出其中满足b a <的点构成的可行域．分别计算出其面积．即可求得所求概率．8．甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示，1x ，2x 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，21S ，22S 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的方差，则有（ ）试卷第4页，总14页A ．1x >2x ，21S ＜22S B ．1x ＝2x ，21S >22S C ．1x ＝2x ，21S ＝22S D ．1x ＝2x ，21S <22S【答案】B【解析】试题分析：181315151722156x +++++==；291415151621156x +++++==；()()()()()()222222211538151315151515151715221563S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-=⎣⎦，()()()()()()222222221379151415151515151615211563S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-=⎣⎦．故B 正确．【考点】平均数，方差．9．函数54ln )(2++-=x x x x f 的零点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C【解析】试题分析：函数()2ln 45f x x x x =-++的零点个数等价于函数ln y x =图像与函数245y x x =--图像的交点个数问题．由数形结合可知函数ln y x =图像与函数245y x x =--图像有2个交点．所以函数()f x 有2个零点．故C 正确．【考点】1函数零点；2转化思想．10．向顶角为0120的等腰三角形ABC （其中BC AC =）内任意投一点M ，则AM 小于AC 的概率为（ ） A ．33π B ．93πC ．21D ．3π【答案】B【解析】试题分析：令1AC BC ==，则111sin1202ABC S ∆=⨯⨯⨯= ．满足AC AM <的点M 所在区域的面积为230136012ππ⨯⨯=．所以所求概率为9Pπ==．【考点】几何概型．【思路点睛】本题主要考查几何概型概率，难度一般．因为几何概率的值为比值所以边长的取值对结果没有影响，为计算方便不妨令等腰三角形两腰长为1，从而可得此三角形的面积．AM小于AC时点M所在区域为以A为圆心以AC为半径的圆且在三角形内部的扇形部分，可得此扇形面积．扇形面积与三角形面积的比值即为所求．11．如果奇函数)0)((≠=xxfy在()0,∞-∈x时，1)(+=xxf，那么使0)2(<-xf成立的x的取值范围是（）A．()()∞+∞-31,B．()1,-∞-()1,0C．()()3,00,∞-D．()1,∞-()32，【答案】D【解析】试题分析：因为()y f x=为奇函数，所以()()f x f x-=-，即()()f x f x=--．x>时0x-<，()()()11f x f x x x=--=--+=-．()()()1,01,0x xf xx x+<⎧⎪∴=⎨->⎪⎩．()2020210xf xx-<⎧∴-<⇔⎨-+<⎩或20210xx->⎧⎨--<⎩1x⇒<或23x<<．故D正确．【考点】1奇函数；2不等式．12．若函数)2(log)(2xxxfa-=）且1,0(≠>aa在区间⎪⎭⎫⎝⎛1,21内恒有0)(>xf，则函数)(xf的单调递增区间是（）A．()0，∞- B．⎪⎭⎫⎝⎛∞-41， C．⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21D．⎪⎭⎫⎝⎛∞+，41【答案】A【解析】试题分析：2200x x x->⇒<或12x>．函数()f x的定义域为试卷第6页，总14页()1,0,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭．要使区间⎪⎭⎫⎝⎛1,21内恒有0)(>x f ，只需()min 0f x >当1a >时，此时存在33log log 1048a a f ⎛⎫=<= ⎪⎝⎭．故舍．当01a <<时，又函数22y x x =-在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以函数()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减． 此时()()1log 10a f x f >==恒成立，符合题意． 综上可得01a <<．因为函数22y x x =-在(),0-∞上单调递减；在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，又01a <<所以函数)(x f 的单调递增区间(),0-∞．故A 正确． 【考点】对数函数单调性；二次函数单调性；复合函数单调性．二、填空题13．若六进制数)6(510k （k 为正整数）化为十进制数为239，则=k ． 【答案】3 【解析】试题分析：()321061051606656216652216239k k k k =⨯+⨯+⨯+⨯=++=+=， 解得3k =．【考点】进位制．14．幂函数1222)33)(+-+-=m mx m m x f （在区间()+∞,0上是增函数，则=m ．【答案】2【解析】试题分析：由题意可知2331m m -+=，即2320m m -+=，解得1m =或2m =．当1m =时，()0f x x =，在区间()0,+∞上为常数1，不具有单调性，故舍； 当2m =时，()f x x =，在区间()0,+∞上单调递增，符合题意． 综上可得2m =．【考点】1幂函数的概念；2函数的单调性．【思路点睛】本题主要考查幂函数的概念和函数的单调性，难度一般．根据幂函数的定义: a y x =叫做幂函数，可知2331m m -+=，从而可得m 的值．将其分别代入()f x 验证是否满足()f x 在区间()0,+∞上单调递增．15．函数)(x g 是函数)2(log )(-=x x f a )1,0(≠>a a 且的反函数，则函数)(x g 的图象过定点 ． 【答案】()3,0【解析】试题分析：()3log 10a f == ，∴函数()()log 2a f x x =-的图像过定点()3,0．所以函数()g x 的图像过定点()0,3．【考点】互为反函数的性质．【思路点睛】本题重点考查对数函数过定点和互为反函数的性质问题，属容易题．根据对数公式log 10a =可求得()f x 所过的定点．因为互为反函数的两个函数图像关于y 轴对称，所以函数()f x 图像过的定点()00,x y 关于y 轴的对称点()00,y x 即为函数()g x 的图像过的定点．16．0x 是x 的方程x a a x log =)10(≠>a a ，且的解，则0,1,x a 这三个数的大小关系是 ． 【答案】10<<x a【解析】试题分析：当1a >时，由数形结合可知函数x y a =的图像与函数log a y x =的图像无交点，所以此时方程log x a a x =无解，不合题意故舍； 当01a <<时，由数形结合可知函数x y a =的图像与函数log a y x =的图像只有一个交点，即此时方程log x a a x =只有一个解0x ．由数形结合分析可知00001,0log 1x x a x a <<<=<，又01a <<，0000log 1log 1log log 1x a a a a x a x a ∴<<⇔<<⇒>>． 综上可得10<<x a ．【考点】1指数函数，对数函数图像；2对数不等式；3数形结合思想．三、解答题17．一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时试卷第8页，总14页生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，具有线性相关关系，下表为抽样试验的结果：（1）如果y 对x 有线性相关关系，求回归方程；（2）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？参考公式：x b y aˆˆ-=，∑∑==---=ni ini i ix xy y x xb 121)())((ˆ∑∑==--=ni ini ii x n xyx n yx 1221【答案】（1）52107ˆ-=x y；（2）机器的运转速度应控制在7614转/秒内． 【解析】试题分析：（1）根据已给公式求,x y ，再求ˆb，ˆa 从而可求得回归方程．（2）根据题意解不等式ˆ10y≤即可求得所求． 试题解析：解：（1）设所求回归方程为a x b yˆˆˆ+=，则由上表可得 12=x ，8=y ，107ˆ=b， 52107128ˆˆ-=⨯-=-=x b y a ∴回归方程为52107ˆ-=x y ．（2）由y ≤10得1052107ˆ≤-=x y，解得7614≤x ， 所以机器的运转速度应控制在7614转/秒内．【考点】线性回归方程．18．（1）计算20325.0)43()2(2)27102(2)1615(--÷+⨯-⨯-π（2）计算3log 28log 318log 3log 4913662742log --+⋅-【答案】（1）0；（2）3． 【解析】试题分析：（1）根据指数的性质及运算法则即可求得其值； （2）根据对数的性质及运算法则即可求得其值．试题解析：解：（1）20325.0)43()2(2)27102(2)1615(--÷+⨯-⨯-π232)34(2)2764(21681÷-⨯-=- 22)43(2)43(249⨯-⨯-=0=（2）3log 28log 318log 3log 4913662742log --+⋅-3log 2log 23664log 3++-=6log 246+-=12+=3=【考点】1指数的性质及运算法则；2对数的性质及运算法则．19．已知集合A 是函数][))(2(log )(a x a x x g a ---=)1,0(≠>a a 且的定义域，集合B 和集合C 分别是函数x x f 39)(-=的定义域和值域。
2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学试题及参考答案
2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学试题一、选择题（该大题共12小题，每小题5分，共计60分） 1.下列图形中，表示⊆M N 的是 （ ▲ ）2.120cos ︒= （ ▲ ） A.12-B.12C.32-D.223.下列命题正确的是 （ ▲ ）A ．向量AB 与BA 是两平行向量；B ．若,a b 都是单位向量,则a b =；C ．若AB =DC ,则A B CD 、、、四点构成平行四边形； D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同. 4.45154515cos cos sin sin ︒︒-︒︒= （ ▲ ）A.22 B.32C.12D.12-5.如图，在ABC ∆中，D 是AC 的中点，向量AB a =，AC b =，那么向量BD 可表示为 （ ▲ ） A.b a 1122- B.a b 12-C.b a 12-D.a b 12-6.函数2212()()=+-+f x x a x 在区间(],4-∞上是递减的，则实数a 的取值范 （ ▲ ） A.3≤-a B.3≥-a C.5≤a D.5≥a 7.已知指数函数()xf x a =和函数2()g x ax =+，下列图象正确的是 （ ▲ ）A. B. C. D.8.已知平面向量,a b ，8a =||，4||=b ，且,a b 的夹角是150︒，则a 在b 方向上的射影是 （ ▲ ）A.4-B.43-C.4D.439.要得到函数2sin 2=y x 的图像，只需将2sin(2)6π=-y x 的图像 （ ▲ ）A.向右平移6π个单位 B.向右平移12π个单位 C.向左平移6π个单位D.向左平移12π个单位10.若平面向量(3,4)b =与向量(4,3)a =，则向量,a b 夹角余弦值为 （ ▲ ）A.1225 B. 1225- C. 2425- D.2425 11.设()338x f x x =+-,用二分法求方程(),338012xx x +-=∈在内近似解的过程中得()()(),.,.,101501250f f f <><则方程的根落在区间 （ ▲ ）A ．(,.)1125B ．(.,.)12515C ．(.,)152D ．不能确定12.若函数tan ,0(2)lg(),0x x f x x x ≥⎧+=⎨-<⎩，则(2)(98)4f f π+⋅-= （ ▲ ）A.12B.12- C.2 D.2-二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分） 13.函数212()log ()=-f x x 的定义域是 ▲ ．14.有一半径为4的扇形，其圆心角是3π弧度，则该扇形的面积是 ▲ ． 15.已知平面向量(4,3)a =-和单位向量b ，且b a ⊥，那么向量b 为 ▲ ． 16.关于函数sin (()42)3f x x ＝＋π，(R)x ∈有下列命题： ①()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数；②()y f x =可改写为cos (6)42y x ＝-π； ③()y f x =的图象关于(0)6-，π对称； ④()y f x =的图象关于直线6x =-π对称； 其中正确的序号为 ▲ ．M N D.N M C. M N B. MN A. o 2 1 y x2 1 oy x2 1 oyx2 1 oy xD C AB 第5小题三、解答题（共6小题，共计70分） 17.化简或求值：(1)log lg lg 223212732548--⨯++ (2)已知3sin ,054x x =<<π,求cos 2cos()4xx +π. 18.已知全集U R =，集合{}A x x =<<17，集合{}B x a x a 125=+<<+，若满足A B B =，求 （1）集合U C A ；（2）实数a 的取值范围．19.若平面向量(1,2)a =，(3,2)b =-， k 为何值时: （1）()(3)ka b a b +⊥-；（2）//()(3)ka b a b +-？20.设函数()2sin(2)(0)f x x =+<<ϕϕπ，()y f x =图象的一个对称中心是(,0)3π.（1）求ϕ；（2）在给定的平面直角坐标系中作出该函数在(0,)2x ∈π的图象；（3）求函数()1()f x x R ≥∈的解集21.已知函数2()3sin 22cos f x x x =+.(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)将()f x 的图象向右平移12π个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数()g x 的图象，求()g x 的解析式．22.已知定义域为R 的函数2()21x x af x -+=+是奇函数（1）求a 值；（2）判断并证明该函数在定义域R 上的单调性；（3）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学试题参考答案一、选择题（该大题共12小题，每小题5分，共计60分）CAACC ADBDD BC二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分） 13. 2{|>x x ,且3}≠x 或者填(2,3)(3,)+∞ ．14.83π. 15.34(,)55和 34(,)55--.16. ② ③ .三、解答题（共6小题，共计70分） 17.（本小题满分8分） 解：（1）原式=()lg lg 2193549-⨯-++=()lg 1931009-⨯-+=()19329-⨯-+=1113（2）3sin ,054x x π=<<2cos 1sin xx ∴=-=45227cos 2cos sin cos sin 72552222cos()cos sin 42222x x x x x x x x π-+∴====+-18.（本小题满分10分）解；（1）(,][,)U C A =-∞+∞17（2）A B B =B A ∴⊆（i ）当B φ=时，由a a 251+≤+得a 4≤-（ii ）当B φ≠时，由a a a a 11257125+≥⎧⎪+≤⎨⎪+<+⎩解得a 01≤≤a ∴的取值范围是(,][,]401-∞-.19.（本小题满分12分） 解：（1）a b (1,2),(3,2)==- ka b k k (3,22)∴+=-+ a b 3(10,4)-=-()(3)ka b a b +⊥-(k 3)10(2k 2)(4)0∴-⨯++⨯-=解得 k 19=（2）由（1）及//()(3)ka b a b +-得(k 3)(4)(2k 2)100-⨯--+⨯=解得 1k 3=-20.（本小题满分14分） 解： （1）(,)π03是函数()y f x = 的图像的对称中心sin()πϕ∴⨯+=2203()k k Z πϕπ∴+=∈23()k k Z πϕπ∴=-∈23(,)πϕπϕ∈∴=03()sin()f x x π∴=+223（2）列表：（3）()f x ≥1即sin()x π+≥2213sin()x π+≥1232解得,k x k k Z πππππ+≤+≤+∈5222636亦即,k x k k Z ππππ-+≤≤+∈124所以，()f x ≥1的解集是[,],k k k Z ππππ-++∈12421.（本小题满分12分）解：（1）依题意，得f x x x =++()3sin 2cos 21x x =++312(sin 2cos 2)122x π=++2sin(2)16将()y f x =的图像向右平移12π个单位长度，得到函数f x x x ππ=-++=+1()2sin[2()]12sin 21126的图像，该函数的周期为π，若将其周期变为π2，则得g x x =+()2sin 1 （2）函数f x ()的最小正周期为T π=，（3）当,k x k k Z πππππ-≤+≤-∈222262时，函数单调递增，解得,k x k k Zππππ-≤≤+∈36∴函数的单调递增区间为 [,],k k k Z ππππ-+∈36. 22.（本小题满分14分） 解：（1）由题设，需(),,()xxa f a f x +-==∴=∴=+112001212经验证，()f x 为奇函数，a ∴=1xπ12π3 π712 π56πx π+23 π3π2 ππ32π2π73 ()f x32-23（2）减函数.证明：任意,,,x x R x x x x ∈<∴->1212210由（1）得()()()()()x x x x x x x x f x f x --⨯--=-=++++2112212121121222212121212 ,x x x x x x <∴<<∴-<121212022220，()()x x ++>2112120()()f x f x ∴-<210所以，该函数在定义域R 上是减函数（3）由22(2)(2)0f t t f t k -+-<得f t t f t k -<--22(2)(2)()f x 是奇函数∴f t t f k t -<-22(2)(2)，由（2），()f x 是减函数. ∴原问题转化为t t k t ->-2222，即t t k -->2320对任意t R ∈恒成立.∴k ∆=+<4120，解得k <-13即为所求.。
江西省吉安市新干中学2015-2016学年高一上学期期中数学试卷 含解析
2015-2016学年江西省吉安市新干中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在客观题答题卡上。
1．全集为实数集R，M=｛x|﹣2≤x≤2｝，N=｛x｜x＜1}，则(∁R M）∩N=(）A．｛x｜x＜﹣2} B．{x｜﹣2＜x＜1} C．｛x|x＜1} D．{x｜﹣2≤x＜1}2．设f：x→｜x｜是集合A到集合B的映射，若A=｛﹣1，0,1｝，则A∩B只可能是（）A．｛0} B．｛1｝C．｛0，1｝ D．{﹣1，0，1｝3．将函数y=2x2向左平移一个单位，再向上平移3个单位后可以得到(）A．y=2（x+1）2+3 B．y=2(x﹣1)2+3 C．y=2（x﹣1）2﹣3 D．y=2(x+1）2﹣34．如f（x）=则f（﹣3)=(）A．2 B．C．8 D．5．已知，则f（x+1）的解析式为（)A．x+4（x≥0) B．x2+3(x≥0) C．x2﹣2x+4（x≥1) D．x2+3（x≥1）6．已知函数y=f(2x）的定义域为[﹣1，1］,则函数y=f（log2x)的定义域为（）A．［﹣1,1］B．［,2］C．[1，2]D．[,4］7．函数f（x)=2x﹣x2（0≤x≤3）的值域是（）A．R B．(﹣∞，1］C．［﹣3，1]D．［﹣3,0]8．函数f(x)=x3﹣64x的零点个数是（）A．3个B．2个C．1个D．0个9．函数f(x）=的单调递增区间是（）A．（1,+∞）B．（2，+∞）C．(﹣∞，1）D．（﹣∞，0)10．已知函数f(x）=lg,若f（a）=b，则f（﹣a）等于（)A．b B．﹣b C．D．11．若函数在区间（﹣∞，1］上为减函数，则a的取值范围是（) A．（0，1） B．[2，+∞）C．[2，3）D．（1，3）12．若奇函数f（x)=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1)在R上是增函数，那么的g(x）=log a(x+k)大致图象是（）A． B．C．D．二、填空题：本题共4小题,每小题5分，共20分，请将答案写在答题纸指定的位置上. 13．已知集合A={﹣1，3,2m﹣1}，集合B={3，m2｝．若B⊆A，则实数m=．14．设集合P=｛x｜x2﹣4x﹣5＜0}，Q=｛x|x﹣a＜0｝，若P⊊Q,则实数a的范围是．15．函数的定义域为．16．已知实数a,b满足等式，下列五个关系式:①0＜b＜a，②a＜b＜0，③0＜a＜b，④b＜a＜0，⑤a=b其中不可能成立的关系式有．三、解答题：本题共6小题,满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
江西省吉安市高一数学上学期期末试卷(含解析)
2014-2015学年江西省吉安市新干中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：（每题5分，满分60分）1．集合M={x|x=+，k∈Z}，N={x|x=，k∈Z}，则（）A．M=N B．M⊇N C．M⊆N D．M∩N=∅2．已知角α是第二象限角，则π﹣α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角3．函数y=log2（2cosx﹣1）的定义域为（）A．（﹣，） B．{x|﹣+2kπ＜x＜+2kπ，k∈Z}C．[﹣，] D．{x|﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z}4．函数y=|lg（x﹣1）|的图象是（）A．B．C．D．5．函数y=﹣xcosx的部分图象是（）A．B．C．D．6．方程2x﹣1+x=5的解所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）7．已知a=log20.3，b=20.3，c=0.20.3，则a，b，c三者的大小关系是（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a8．把函数y=sinx的图象上所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），所得解析式为y=sin（ωx+φ），则（）A．B．C．D．9．设，则使y=x a为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的a值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．410．已知sinx+cosx=，且x∈（0，π），则tanx=（）A．B．﹣C．D．11．下列6个命题中正确命题个数是（）（1）第一象限角是锐角（2）y=sin（﹣2x）的单调增区间是（kπ+π，kπ+π），k∈Z（3）角α终边经过点（a，a）（a≠0）时，sinα+cosα=（4）若y=sin（ωx）的最小正周期为4π，则ω=（5）若cos（α+β）=﹣1，则sin（2α+β）+sinβ=0（6）若定义在R上函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），则y=f（x）是周期函数．A．1个B．2个C．3个D．4个12．函数f（x）=log a（ax2﹣x）在[2，4]上是增函数，则a的取值范围是（）A．＜a＜1或a＞1 B．a＞1 C．＜a＜1 D．0＜a＜二、填空题：（每题6分，满分24分）13．已知A，B是圆O上两点，∠AOB=2弧度，AB=2，则劣弧AB长度是．14．函数的单调递减区间是．15．已知tanx=2，则= ．16．关于函数有下列命题：①函数y=f（x）的图象关于y轴对称；②在区间（﹣∞，0）上，函数y=f（x）是减函数；③函数f（x）的最小值为lg2；④在区间（1，+∞）上，函数f（x）是增函数．其中正确命题序号为．三、解答题：（本题满分76分，要求写出必要的步骤和过程）17．已知函数．（1）求证：不论a为何实数f（x）总是为增函数；（2）确定a的值，使f（x）为奇函数．18．已知，求下列各式的值（1）（2）．19．若二次函数满足f（x+1）﹣f（x）=2x且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）若在区间[﹣1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围．20．已知函数f（x）=5sin（x+）﹣acos2（x+）的图象经过点（﹣，﹣2）（1）求a的值（2）若函数定义域是R，求函数的最大值及此时x的取值集合（3）若函数定义域是[﹣，]，求函数的值域．21．一半径为4米的水轮如图，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时．（1）将点P距离水面的高度h（米）表示为时间t（秒）的函数；（2）点P第一次到达最高点要多长时间？（3）在点P每转动一圈过程中，有多少时间点P距水面的高度不小于米．22．函数的定义域为（0，1]（a为实数）．（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数y=f（x）的值域；（Ⅱ）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，求a的取值范围；（Ⅲ）求函数y=f（x）在x∈（0，1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值．2014-2015学年江西省吉安市新干中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每题5分，满分60分）1．集合M={x|x=+，k∈Z}，N={x|x=，k∈Z}，则（）A．M=N B．M⊇N C．M⊆N D．M∩N=∅【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合．【分析】由集合子集的定义去判断集合间的关系即可．【解答】解：若a∈M={x|x=+，k∈Z}，则a=k+=（2k﹣1）+∈N，则M⊆N，又∵∈N，∉M，∴M⊊N，故选：C．【点评】本题考查了集合的包含关系的判断，属于基础题．2．已知角α是第二象限角，则π﹣α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【考点】象限角、轴线角．【专题】计算题．【分析】利用特殊值判断，令α=，则=，得出结论．【解答】解：不妨令α=，则=，为第一象限角，故选 A．【点评】本题考查象限角的定义，采用了特殊值代入检验的方法．3．函数y=log2（2cosx﹣1）的定义域为（）A．（﹣，） B．{x|﹣+2kπ＜x＜+2kπ，k∈Z}C．[﹣，] D．{x|﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z}【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件，建立不等式即可得到结论．【解答】解：要使函数有意义，则2cosx﹣1＞0，即cosx＞，则﹣+2kπ＜x＜+2kπ，k∈Z，即函数的定义域为{x|﹣+2kπ＜x＜+2kπ，k∈Z}，故选：B【点评】本题主要考查函数定义域的求解，根据函数成立的条件是解决本题的关键，比较基础．4．函数y=|lg（x﹣1）|的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】数形结合．【分析】由x﹣1＞0求出函数的定义域，在对照选项中的图象的定义域，就可以选出正确答案．【解答】解：由x﹣1＞0解得，x＞1，故函数的定义域是（1，+∞），由选项中的图象知，故C正确．故选C．【点评】本题考查了对数函数的图象，先求函数的定义域即定义域优先，考查了作图和读图能力．5．函数y=﹣xcosx的部分图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象；奇偶函数图象的对称性；余弦函数的图象．【专题】数形结合．【分析】由函数的表达式可以看出，函数是一个奇函数，因只用这一个特征不能确定那一个选项，故可以再引入特殊值来进行鉴别．【解答】解：设y=f（x），则f（﹣x）=xcosx=﹣f（x），f（x）为奇函数；又时f（x）＜0，此时图象应在x轴的下方故应选D．【点评】本题考查函数的图象，选择图象的依据是根据函数的性质与函数本身的局部特征．6．方程2x﹣1+x=5的解所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】方程2x﹣1+x=5的解所在的区间就是函数f（x）=2x﹣1+x﹣5的零点所在的区间，根据函数零点的判定定理可得函数f（x）的零点所在的区间，由此可得结论．【解答】解：令f（x）=2x﹣1+x﹣5，则方程2x﹣1+x=5的解所在的区间就是函数f（x）=2x﹣1+x﹣5的零点所在的区间．由于f（2）=4﹣5=﹣1，f（3）=4+3﹣5=2＞0，根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=2x ﹣1+x﹣5的零点所在的区间为（2，3），故选 C．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．7．已知a=log20.3，b=20.3，c=0.20.3，则a，b，c三者的大小关系是（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据指数函数，对数函数的性质，分别判断a，b，c的大小即可得到结论．【解答】解：log20.3＜0，20.3＞1，c=0.20.3∈（0，1），∴b＞c＞a，故选：A【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用指数函数，对数函数的性质是解决本题的关键，比较基础．8．把函数y=sinx的图象上所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），所得解析式为y=sin（ωx+φ），则（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题．【分析】把函数y=sinx的图象上所有点向右平移个单位，得到y=sin（x﹣），再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的，得到y=sin（2x﹣），写出要求的结果．【解答】解：把函数y=sinx的图象上所有点向右平移个单位，得到y=sin（x﹣）再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的，得到y=sin（2x﹣）∵解析式为y=sin（ωx+φ），∴ω=2，φ=﹣，故选B．【点评】本题考查三角函数图形的变换，注意在图象平移时，要看清楚函数的解析式中x的系数是不是1，若只考查图象变换，则一般先平移后伸缩．9．设，则使y=x a为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的a值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】幂函数的性质．【专题】试验法．【分析】由幂函数在（0，+∞）的单调性缩小a的范围，再由幂函数的奇偶性即可确定a的值【解答】解：∵y=x a在（0，+∞）上单调递减∴a＜0∴a的可能取值为﹣3，﹣2，﹣1，又∵y=x a为奇函数当a=﹣2时，是偶函数；当a=﹣时，是非奇非偶函数不合题意∴a=﹣3或a=﹣1∴满足题意的a的值有2个故选B【点评】本题考查幂函数的性质，要注意幂函数的指数a与第一象限内的图象的单调性之间的关系，a＜0是单调递减，a＞0时单调递增；同时要求会判断幂函数的奇偶性．属简单题10．已知sinx+cosx=，且x∈（0，π），则tanx=（）A．B．﹣C．D．【考点】同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题．【分析】把sinx+cosx=平方求出，可得2sinxcosx=﹣＜0，根据x的范围进一步判断x 为钝角，可得 sinx﹣cosx=的值，解方程组求得 sinx 和cosx，即可得到tanx．【解答】解：∵sinx+cosx=，且x∈（0，π），∴1+2sinxcosx=，∴2sinxcosx=﹣＜0，∴x为钝角．∴sinx﹣cosx===，∴sinx=，cosx=﹣，tanx==﹣，故选B．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，求出sinx﹣cosx==，是解题的关键，属于基础题．11．下列6个命题中正确命题个数是（）（1）第一象限角是锐角（2）y=sin（﹣2x）的单调增区间是（kπ+π，kπ+π），k∈Z（3）角α终边经过点（a，a）（a≠0）时，sinα+cosα=（4）若y=sin（ωx）的最小正周期为4π，则ω=（5）若cos（α+β）=﹣1，则sin（2α+β）+sinβ=0（6）若定义在R上函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），则y=f（x）是周期函数．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题的真假判断与应用．【专题】证明题；简易逻辑．【分析】对6个命题一一验证，可以举反例来简化判断过程．【解答】解：361°是第一象限角但不是锐角，故（1）不正确；（2）y=sin（﹣2x）的单调增区间是（kπ+π，kπ+π），k∈Z，正确；角α终边经过点（a，a）（a≠0）时，sinα+cosα=或﹣，故（3）不正确；若y=sin（ωx）的最小正周期为4π，则ω=±，故（4）错误；若cos（α+β）=﹣1，则sin（2α+β）+sinβ=sin（2π﹣β）+sinβ=0，成立，故（5）正确；若定义在R上函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），则可得f（x+2）=f（x），则y=f（x）是周期函数，故（6）正确．故选C．【点评】本题借助命题真假性判断，实质上考查了三角函数部分的相关性质，属于基础题．12．函数f（x）=log a（ax2﹣x）在[2，4]上是增函数，则a的取值范围是（）A．＜a＜1或a＞1 B．a＞1 C．＜a＜1 D．0＜a＜【考点】对数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题．【分析】先根据复合函数的单调性确定函数g（x）=ax2﹣x的单调性，进而分a＞1和0＜a ＜1两种情况讨论．【解答】解：令t（x）=ax2﹣x，则y=log a ta＞0且a≠1，t（x）=ax2﹣x的对称轴为x=当a＞1时，t（x）在[2，4]上单调递增，∴t（2）=4a﹣2＞0，t（4）=16a﹣4＞0，∴a＞1当0＜a＜1时，t（x）在[2，4]上单调递减，∴t（2）＞0，t（4）＞0，≥4，此时a不存在综上所述：a＞1故选B．【点评】本题主要考查复合函数的单调性和对数函数的真数一定大于0．答中容易漏掉定义域的考虑，解属中档题．二、填空题：（每题6分，满分24分）13．已知A，B是圆O上两点，∠AOB=2弧度，AB=2，则劣弧AB长度是．【考点】弧长公式．【专题】计算题．【分析】通过解直角三角形求出圆的半径，然后利用弧长公式求出劣弧AB长度．【解答】解：圆的半径r=∴劣弧AB长度是l=故答案为：【点评】利用弧长公式l=Rα求圆中的弧长时，一定要注意公式中的角α的单位是弧度．14．函数的单调递减区间是（2，+∞）．【考点】对数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题．【分析】先求函数的定义域，然后分解函数：令t=x2﹣2x，则y=，而函数y=在定义域上单调递减，t=x2﹣2x在（2，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减，根据复合函数的单调性可知函数可求【解答】解：由题意可得函数的定义域为：（2，+∞）∪（﹣∞，0）令t=x2﹣2x，则y=因为函数y=在定义域上单调递减t=x2﹣2x在（2，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减根据复合函数的单调性可知函数的单调递减区间为：（2，+∞）故答案为：（2，+∞）【点评】本题主要考查了由对数函数及二次函数复合而成的复合函数的单调区间的求解，解题的关键是根据复合函数的单调性的求解法则的应用，解题中容易漏掉对函数的定义域的考虑，这是解题中容易出现问题的地方．15．已知tanx=2，则= ．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得所给式子的值．【解答】解：∵tanx=2，∴===，故答案为：．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．16．关于函数有下列命题：①函数y=f（x）的图象关于y轴对称；②在区间（﹣∞，0）上，函数y=f（x）是减函数；③函数f（x）的最小值为lg2；④在区间（1，+∞）上，函数f（x）是增函数．其中正确命题序号为①③④．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，再由函数t（x）=，的单调性可判其他命题．【解答】解：∵函数，显然f（﹣x）=f（x），即函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，故①正确；当x＞0时，，令t（x）=，则t′（x）=1﹣可知当x∈（0，1）时，t′（x）＜0，t（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，t′（x）＞0，t（x）单调递增，即在x=1处取到最小值为2．由偶函数的图象关于y轴对称及复合函数的单调性可知②错误，③正确，④正确．故答案为：①③④．【点评】本题为函数的性质的应用，正确运用函数的性质及图象的关系式解决问题的关键，属基础题．三、解答题：（本题满分76分，要求写出必要的步骤和过程）17．已知函数．（1）求证：不论a为何实数f（x）总是为增函数；（2）确定a的值，使f（x）为奇函数．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）先设x1＜x2，欲证明不论a为何实数f（x）总是为增函数，只须证明：f（x1）﹣f（x2）＜0，即可；（2）根据f（x）为奇函数，利用定义得出f（﹣x）=﹣f（x），从而求得a值即可．【解答】解：（1）∵f（x）的定义域为R，设x1＜x2，则=（4分）∵x1＜x2，∴，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，（6分）即f（x1）＜f（x2），所以不论a为何实数f（x）总为增函数．（7分）（2）∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即，解得：．∴．（12分）【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用等基础知识，考查运算求解能力与化归与转化思想．属于基础题．18．已知，求下列各式的值（1）（2）．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（1）由已知利用正弦加法定理求出sinxcosx=，由此利用余弦加法定理能求出cos（）．（2）利用正弦加法定理能求出sin（）的值．【解答】解：（1）∵，∴=﹣=﹣，∴sinx﹣cosx=，∴1﹣2sinxcisx=，∴sinxcosx=，∴cos（）=cos cosx+sin sinx=（sinx+cosx），∴cos2（）=[]2==，∴=±．（2）sin（）=sin cosx+cos sinx==﹣．【点评】本题考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意正弦加法定理和余弦加法定理及同角三角函数关系式的合理运用．19．若二次函数满足f（x+1）﹣f（x）=2x且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）若在区间[﹣1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围．【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；待定系数法．【分析】（1）利用待定系数法求解．由二次函数可设f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=1得c 值，由f（x+1）﹣f（x）=2x可得a，b的值，从而问题解决；（2）欲使在区间[﹣1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，只须x2﹣3x+1﹣m＞0，也就是要x2﹣3x+1﹣m的最小值大于0即可，最后求出x2﹣3x+1﹣m的最小值后大于0解之即得．【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由f（0）=1，∴c=1，∴f（x）=ax2+bx+1∵f（x+1）﹣f（x）=2x，∴2ax+a+b=2x，∴∴f（x）=x2﹣x+1（5分）（2）由题意：x2﹣x+1＞2x+m在[﹣1，1]上恒成立，即x2﹣3x+1﹣m＞0在[﹣1，1]上恒成立其对称轴为，∴g（x）在区间[﹣1，1]上是减函数，∴g（x）min=g（1）=1﹣3+1﹣m＞0，∴m＜﹣1（10分）．【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．20．已知函数f（x）=5sin（x+）﹣acos2（x+）的图象经过点（﹣，﹣2）（1）求a的值（2）若函数定义域是R，求函数的最大值及此时x的取值集合（3）若函数定义域是[﹣，]，求函数的值域．【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（1）点（﹣，﹣2）代入函数式，能求出a=2（2）利用同角三角函数关系式求出f（x）=2[sin（x+）+]2﹣，由此利用正弦函数的性质能求出函数的最大值及此时x的取值集合．（3）定义域是[﹣，]时，先求出x+的范围，再求出sin（x+）的范围，由此能求出函数f（x）的值域．【解答】解：（1）∵函数f（x）=5sin（x+）﹣acos2（x+）的图象经过点（﹣，﹣2），∴点（﹣，﹣2）代入函数式得：f（﹣）=5sin0﹣acos20=﹣a=﹣2解得a=2（2）f（x）=5sin （x+）﹣2cos2（ x+）=5sin （x+）﹣2+2sin2（x+）=2[sin（x+）+]2﹣，故当sin（x+）=1时，f（x）最大值为5，此时x+=+2kπ，即x的取值集合为{x|x=+2kπ，k属于Z}．（3）定义域是[﹣，]时，x+的范围是[﹣，]，sin（x+）的范围是[﹣，1]∴函数f（x）的值域为[﹣4，5]．【点评】本题考查三角函数的最大值及对应的x的集合的求法，考查值域的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．21．一半径为4米的水轮如图，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时．（1）将点P距离水面的高度h（米）表示为时间t（秒）的函数；（2）点P第一次到达最高点要多长时间？（3）在点P每转动一圈过程中，有多少时间点P距水面的高度不小于米．【考点】在实际问题中建立三角函数模型．【专题】应用题．【分析】（1）先根据h的最大和最小值求得A和B，利用周期求得ω，当x=0时，h=0，进而求得φ的值，则函数的表达式可得；（2）令最大值为6，即可求得时间；（3）根据条件建立不等式，求出t的范围，从而求出时间．【解答】解：（1）依题意可知h的最大值为6，最小为﹣2，∴有，求得，，ω=，t=0时，h=0，∴sinφ=，∴φ=，∴函数的表达式为；（2），即，解得t=5s；（3），即，解得，即在点P每转动一圈过程中，有2.5s点P距水面的高度不小于米．【点评】本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型的问题．考查了运用三角函数的最值，周期等问题确定函数的解析式．22．函数的定义域为（0，1]（a为实数）．（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数y=f（x）的值域；（Ⅱ）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，求a的取值范围；（Ⅲ）求函数y=f（x）在x∈（0，1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的值域；函数的单调性与导数的关系．【专题】综合题．【分析】（I）将a的值代入函数解析式，利用基本不等式求出函数的值域．（II）求出导函数，令导函数大于等于0在定义域上恒成立，分离出a，构造函数，通过求函数的最小值，求出a的范围．（III）通过对a的讨论，判断出函数在（0，1）上的单调性，求出函数的最值．【解答】解：（Ⅰ）显然函数y=f（x）的值域为；（Ⅱ）∵在定义域上恒成立而﹣2x2∈（﹣2，0）∴a≤﹣2（II）当a≥0时，函数y=f（x）在（0.1]上单调增，无最小值，当x=1时取得最大值2﹣a；由（2）得当a≤﹣2时，函数y=f（x）在（0.1]上单调减，无最大值，当x=1时取得最小值2﹣a；当﹣2＜a＜0时，函数y=f（x）在上单调减，在上单调增，无最大值，当时取得最小值．【点评】求函数的单调性常借助导数，当导函数大于0对应的区间是函数的单调递增区间；当导函数小于0对应的区间是函数的单调递减区间．求含参数的函数的性质问题时，一般要对参数讨论．。
2015-2016学年江西省赣州市高一上学期期末数学试卷【解析版】
江西省赣州市2015～2016学年度高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{1，2，4} B．{2，4，5} C．{0，2，4} D．{0，2，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】由全集U以及集合A，求出A的补集，确定出A补集与B的并集即可．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，∴∁U A={4，5}，∵B={2，4}，∴（∁U A）∪B={2，4，5}．故选B【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．已知，则cosθ=（）A． B．C． D．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值．【分析】已知等式左边利用诱导公式化简，即可确定出所求式子的值．【解答】解：∵sin（﹣π+θ）=sin（﹣2π+π+θ）=sin（π+θ）=，且sin（π+θ）=cosθ，∴cosθ=，故选：A．【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．3．（log227）•（log34）=（）A． B．2 C．3 D．6【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用对数性质、运算法则和换底公式求解．【解答】解：（log227）•（log34）===6．故答案为：6．【点评】本题考查对数化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质、运算法则、换底公式的合理运用．4．函数的定义域为（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（1，2）∪（2，+∞）D．（1，3）∪（3，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即，即，解得x＞1且x≠2，故函数的定义域为（1，2）∪（2，+∞），故选：C【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．5．已知a=20.3，，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．【解答】解：∵1=20＜a=20.3＜=20.4，c=2log52=log54＜log55=1，∴c＜a＜b．故选：B．【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用．6．函数f（x）=x2﹣（）|x|的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】可判断函数f（x）是偶函数且在[0，+∞）上是增函数，从而解得．【解答】解：∵f（﹣x）=x2﹣（）|x|=f（x），∴函数f（x）=x2﹣（）|x|是偶函数，易知f（x）在[0，+∞）上是增函数，而f（0）=﹣1，f（1）=＞0，故f（x）在（0，1）上有一个零点，故f（x）共有2个零点，故选C．【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用．7．已知集合A={1，2，3}，则B={x﹣y|x∈A，y∈A}中的元素个数为（）A．9 B．5 C．3 D．1【考点】元素与集合关系的判断．【专题】计算题；探究型；集合思想；数学模型法；集合．【分析】根据集合B中元素与A中元素之间的关系进行求解．【解答】解：∵A={1，2，3}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}，∴x=1，2，3，y=1，2，3．当x=1时，x﹣y=0，﹣1，﹣2；当x=2时，x﹣y=1，0，﹣1；当x=3时，x﹣y=2，1，0．即x﹣y=﹣2，﹣1，0，1，2．即B={﹣2，﹣1，0，1，2}共有5个元素．故选：B．【点评】本题主要考查集合元素个数的判断，利用条件求出x﹣y的值是解决本题的关键，是基础题．8．若α，β为锐角，，则=（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由同角三角函数基本关系可得sin（+α）和sin（+），整体代入两角差的余弦公式计算可得．【解答】解：α，β为锐角，，∴sin（+α）==，sin（+）==，∴=cos[（+α）﹣（+）]=cos（+α）cos（+）+sin（+α）sin（+）=+=．故选：D．【点评】本题考查两角和与差的余弦公式，涉及同角三角函数基本关系，属基础题．9．已知函数f（x）=x+tanx+1，若f（a）=2，则f（﹣a）的值为（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．3【考点】函数的值．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】先求出a+tana=1，由此能求出f（﹣a）的值．【解答】解：∵函数f（x）=x+tanx+1，f（a）=2，∴f（a）=a+tana+1=2，∴a+tana=1，∴f（﹣a）=﹣a﹣tana+1=﹣1+1=0．故选：A．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．10．已知，则sin2θ=（）A．B． C．D．【考点】三角函数的化简求值．【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由两角和的余弦展开已知式子，平方结合二倍角的正弦可得．【解答】解：∵，∴cosθ﹣sinθ=，∴cosθ﹣sinθ=，平方可得1﹣2sinθcosθ=，∴sin2θ=2sinθcosθ=﹣，故选：A．【点评】本题考查三角函数化简求值，属基础题．11．设且，则（）A．B．C．D．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由题意和三角函数公式变形可得cosα=cos[﹣（α﹣β）]，由角的范围和余弦函数的单调性可得．【解答】解：∵，∴﹣=，∴=+=，∴sinαcosβ=cosα（1+sinβ）=cosα+cosαsinβ，∴cosα=sinαcosβ﹣cosαsinβ=sin（α﹣β）由诱导公式可得cosα=sin（α﹣β）=cos[﹣（α﹣β）]，∵，∴[﹣（α﹣β）]∈（0，π），∴α=﹣（α﹣β），变形可得2α﹣β=，故选：D．【点评】本题考查三角函数恒等变换，熟练应用三角函数公式是解决问题的关键，属中档题．12．已知方程x2﹣2ax+a2﹣4=0的一个实根在区间（﹣1，0）内，另一个实根大于2，则实数a的取值范围是（）A．0＜a＜4 B．1＜a＜2 C．﹣2＜a＜2 D．a＜﹣3或a＞1【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用；不等式．【分析】令f（x）=x2﹣2ax+a2﹣4，由已知可得，即，解得答案．【解答】解：令f（x）=x2﹣2ax+a2﹣4，∵方程x2﹣2ax+a2﹣4=0的一个实根在区间（﹣1，0）内，另一个实根大于2，∴，即，解得：1＜a＜2，故选：B．【点评】本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，难度中档．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，答案填写在答题卷上.13．设实数，如果函数y=xα是定义域为R的奇函数，则α的值的集合为{1，3}．【考点】幂函数的性质．【专题】计算题；数形结合；定义法；函数的性质及应用．【分析】讨论α的取值，得出函数y=xα是定义域R上的奇函数时α的取值范围．【解答】解：∵实数α∈{﹣2，﹣1，，1，3}，∴当α=﹣1时，函数y=x﹣1是定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，不满足题意；当α=1时，函数y=x是定义域R上的奇函数，满足题意；当α=3时，函数y=x3是定义域R上的奇函数，满足题意；∴α的取值集合为{1，3}．【点评】本题考查了幂函数的定义与单调性质的应用问题，是基础题目．14．若，则=2．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得所给式子的值．【解答】解：若，则===2，故答案为：2．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．15．已知，则f（x）的值域为[，]．【考点】三角函数的最值．【专题】计算题；函数思想；转化法；三角函数的求值．【分析】化简函数f（x），利用二次函数与三角函数的图象和性质，求出函数f（x）的值域即可．【解答】解：∵f（x）=sin2x+cosx=1﹣cos2x+cosx=﹣+，且x∈[﹣，]，∴cosx∈[﹣，]，∴﹣1≤cosx﹣≤0，∴﹣1≤﹣≤0，∴≤﹣≤，即函数f（x）的值域为[，]．故答案为：[，]．【点评】本题考查了三角函数的化简与求值的应用问题，也考查了求函数最值的应用问题，是基础题目．16．下列叙述正确的有④（将你认为所有可能出现的情况的代号填入横线上）．①集合{0，1，2}的非空真子集有6个；②集合A={1，2，3，4，5，6}，集合B={y|y≤5，y∈N*}，若f：x→y=|x﹣1|，则对应关系f 是从集合A到集合B的映射；③函数y=tanx的对称中心为（kπ，0）（k∈Z）；④函数f（x）对任意实数x都有f（x）=﹣恒成立，则函数f（x）是周期为4的周期函数．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数思想；集合思想；综合法；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】①集合{0，1，2}的非空真子集有7个；②举反例x=1时不合题意；③反例（，0）也是函数y=tanx的对称中心；④可证f（x+4）=﹣=f（x），由周期函数的定义可得．【解答】解：①集合{0，1，2}的非空真子集有：{0}、{1}、{2}、{0，1}、{0，2}、{1，2}、{0，1，2}共7个，故错误；②当x取集合A={1，2，3，4，5，6}中的1时，可得y=|x﹣1|=0，而0不在集合B中，故错误；③（，0）也是函数y=tanx的对称中心，而（，0）不在（kπ，0）（k∈Z）的范围，故错误；④∵函数f（x）对任意实数x都有f（x）=﹣恒成立，则f（x+2）=﹣，∴f（x+4）=﹣=f（x），故函数f（x）是周期为4的周期函数，故正确．故答案为：④【点评】本题考查命题真假的判定，涉及函数的周期性和对称性以及集合和映射的知识，属中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知集合A={x|x2﹣8x+12≤0}，B={x|5﹣2m≤x≤m+1}．（1）当m=3时，求集合A∩B，A∪B；（2）若B⊆A，求实数m的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；并集及其运算；交集及其运算．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】（1）将m=3代入求出B，求出A，从而求出A∩B，A∪B即可；（2）根据B⊆A，通过讨论B=∅和B≠∅时得到关于m的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）当m=3时，B={x|5﹣6≤x≤3+1}=[﹣1，4]因为A={x|2≤x≤6}所以A∩B=[2，4]A∪B=[﹣1，6]（2）因为B⊆A，所以当B=∅时，5﹣2m＞m+所以当B≠∅时，则解得综上所述：实数m的取值范围为【点评】本题考查了集合的包含关系，考查集合的交集．并集的运算，是一道基础题．18．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期与对称轴方程；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【专题】函数思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）使用二倍角公式化简f（x），利用正弦函数的性质列出方程解出对称轴；（2）利用正弦函数的单调性列出不等式解出．【解答】解：（1）∴f（x）的最小值正周期T=π，令，解得x=+．∴f（x）的对称轴方程为：．（2）令，解得，∴f（x）的增区间为．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于基础题．19．已知函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）求实数a，b的值；（2）判断并证明f（x）在（﹣1，1）上的单调性．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据条件，奇函数f（x）在原点有定义，从而f（0）=b=0，从而，而根据便可求出a=1，这样便得出a，b的值；（2）写出，根据单调性的定义，设任意的x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，然后作差，通分，提取公因式，便得到，可以说明f（x1）＜f（x2），从而得出f（x）在（﹣1，1）上为增函数．【解答】解：（1）∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数；∴f（0）=b=0；得；而；∴a=1；∴a=1，b=0；（2），设x1，x2∈（﹣1，1）且x1＜x2，则：；∵x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2；∴x1﹣x2＜0，x1x2＜1，1﹣x1x2＞0；∴；∴f（x1）＜f（x2）；∴f（x）在（﹣1，1）上为增函数．【点评】考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，以及函数单调性的定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程，作差的方法比较f（x1），f （x2），作差后，是分式的一般要通分，一般要提取公因式x1﹣x2．20．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）图象的一个最高点坐标是，相邻的两对称中心的距离为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）函数y=f（x）的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变化得到．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由相邻的两对称中心的距离为，可求周期，利用周期公式可求ω，由，结合范围|φ|＜π，可求，从而可求函数解析式．（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得解．解法一：按照纵坐标不变先φ（左、右平移），纵坐标不变，横坐标向左平移个单位，再ω，就是横坐标变为原来的倍；解法二：将函数y=sinx的图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位长度，是先ω，再φ的变换过程．【解答】（本题满分为12分）解：（1）因为f（x）相邻的两对称中心的距离为，所以，即T=π所以所以f（x）=sin（2x+φ）因为，所以因为|φ|＜π，所以所以（2）解法一：将函数y=sinx的图象纵坐标不变，横坐标向左平移个单位得到的图象然后将的图象纵坐标不变横坐标缩短为原来的得到的图象解法二：将函数y=sinx的图象纵坐标不变横坐标缩短为原来的得到y=sin2x的图象然后将y=sin2x的图象纵坐标不变横坐标向左平移个单位得到的图象【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了数形结合思想，属于基础题．21．为振兴苏区发展，赣州市计划投入专项资金加强红色文化基础设施改造．据调查，改造后预计该市在一个月内（以30天记），红色文化旅游人数f（x）（万人）与日期x（日）的函数关系近似满足：，人均消费g（x）（元）与日期x（日）的函数关系近似满足：g（x）=60﹣|x﹣20|．（1）求该市旅游日收入p（x）（万元）与日期x（1≤x≤30，x∈N*）的函数关系式；（2）当x取何值时，该市旅游日收入p（x）最大．【考点】函数模型的选择与应用；分段函数的应用．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据条件建立函数关系即可得到结论．（2）根据分段函数的表达式，判断函数的单调性即可求出函数的最值．【解答】解：（1）p（x）=f（x）•g（x），（2）由（1）可知，p（x）在[1，10]上为增函数，在[10，20）上为减函数当x∈[1，20）时，p（x）max=p（10）=125因为p（x）在[20，30]上为减函数，所以当x∈[20，30]时，p（x）max=p=120综上所述，当x=10时p（x）max=125【点评】本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用分段函数的表达式判断函数的单调性的性质是解决本题的关键．22．已知函数．（1）判断并证明f（x）的奇偶性；（2）若两个函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上恒满足|F（x）﹣G（x）|＞2，则称函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上是分离的．是否存在实数a使得y=f（x）的反函数y=f ﹣1（x）与g（x）=a x在闭区间[1，2]上分离？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】证明题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）容易判断f（x）的定义域为R，且可得出f（﹣x）=﹣f（x），从而得出f（x）在R上为奇函数；（2）可以求出，从而得到，可假设存在实数a使得y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）与g（x）=a x在闭区间[1，2]上分离，即有在闭区间[1，2]上恒成立．可令，设a x=t，t∈[a，a2]，讨论a：a＞1时，t=a x为增函数，并且为增函数，从而得出h（x）在[1，2]上为增函数，从而得到h（x）的最小值h（1）=，解该不等式即可得出a的一个范围；而同理可得出0＜a＜1时的a的一个范围，这两个范围求并集即为实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵；∴f（x）的定义域为R；∵=；即f（﹣x）=﹣f（x）；∴f（x）为R上的奇函数；（2）∵x∈R，∴y∈R；由得；∴两边平方整理后得：；∴；∴；假设存在实数a使得y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）与g（x）=a x在闭区间[1，2]上分离；所以|f﹣1（x）﹣g（x）|＞2，即在闭区间[1，2]上恒成立；令，t=a x，x∈[1，2]当a＞1时，t=a x在[1，2]上为增函数，t∈[a，a2]，在[a，a2]上为增函数；∴h（x）在[1，2]上为增函数；∴；由解得或，∴；当0＜a＜1时同理可得在[1，2]上为增函数；∴；由解得或；∴；综上所述：存在a使得y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）与g（x）=a x在闭区间[1，2]上分离，且a的取值范围为．【点评】考查奇函数，偶函数的定义及判断方法和过程，对数的运算性质，反函数的概念，以及求一个函数的反函数的方法和过程，指数式和对数式的互化，复合函数单调的判断，指数函数的单调性，清楚的单调性，一元二次不等式的解法．。
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2015-2016学年江西省吉安市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，每小题给出四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.）1．（5.00分）若集合A={x|1≤x＜5}，B={x|x＜﹣1或x＞4}，则集合A∩B=（）A．{x|﹣1≤x＜5}B．{x|4＜x＜5}C．{x|1＜x＜5}D．{x|﹣1＜x＜1} 2．（5.00分）已知tanα=2，并且α为第三象限的角，那么cosα=（）A．﹣B．C．﹣D．3．（5.00分）设向量，不平行，向量+λ与3﹣平行，则实数λ=（）A．B．﹣ C．﹣3 D．﹣24．（5.00分）若f（x）对任意实数x恒有f（x）﹣2f（﹣x）=2x+1，则f（2）=（）A．﹣ B．2 C．D．35．（5.00分）函数f（x）=sin（2x+），图象的对称中心为（k∈z）（）A．（﹣，0）B．（﹣，0）C．（kπ﹣，0）D．（kπ+，0）6．（5.00分）已知映射f：A→B，其中A=B=R，对应法则f：x→y=x2﹣2x+3，若对实数k∈B，在集合A中存在2个原象，则k的取值范围是（）A．k≥2 B．k＞2 C．k＜2 D．k≤27．（5.00分）要得到函数y=cos（2x﹣1）的图象，只要将函数y=sin（2x+）的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移1个单位C．向右平移+1个单位D．向左平移个单位8．（5.00分）如图示中的幂函数在第一象限的图象，则下面四个选项中正确的是（）A．a+b+c+d为正数B．b+c+d﹣a可能为零C．a﹣b﹣c﹣d为负数D．b×c×d×a符号不能确定9．（5.00分）在△ABC中，点M在边BC上，且2=3，E在边AC上，且=3，则向量﹣=（）A．﹣B．+C．﹣D．+10．（5.00分）已知函数y=f（x）为奇函数且在R上的单调递增，若f（2m）+f （1﹣m）＞0，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2]B．（﹣1，+∞）C．（﹣1，4]D．[﹣1，+∞）11．（5.00分）某实验小组通过实验产生的一组数据（如表），现欲从理论上对这些数据进行分析并预测后期实验结果的最佳模拟函数的模型是（）A．y=log2x B．y=2x C．y=x2+2x﹣3 D．y=2x﹣312．（5.00分）已知函数f（x）=x2﹣x+m﹣，g（x）=﹣log2x，用min{m，n}中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0）则当函数h（x）有三个零点时m的取值范围为（）A．（0，）B．（﹣∞，]C．（，）D．（，+∞）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13．（5.00分）满足{1，2}⊆A⊊{1，2，3，4，5}的集合A的个数是．14．（5.00分）y=log a（4﹣x2）（0＜a＜1）的单调增区间为．15．（5.00分）已知sin（+α）=，则cos（﹣2α）=．16．（5.00分）已知非零向量，的夹角为锐角，||=2，当t=时，|﹣t|取最小值为，则||=．三、解答题（本大题共6小题，5×12+10=70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10.00分）已知A={x|x2≥4}，B={x|x＞﹣2}，C={x|x2﹣3x+2≤0}．（1）求A∩B及A∪C；（2）若U=R，求（A∩C）∪（∁U B）18．（12.00分）已知二次函数f（x）=x2﹣4x+3．（1）指出函数的对称轴、顶点坐标（要写出求解过程）；（2）指出其图象可由函数y=x2的图象如何变换得到的；（3）当x∈[1，4]时，求函数f（x）的最大值与最小值．19．（12.00分）已知向量=（s inθ，cosθ）（θ∈R），=（1，）．（1）当θ为何值时，向量+，不能作为平面向量的一组基底；（2）求+在上的投影的最大值；（3）求|﹣2|的取值范围．20．（12.00分）已知函数f（x）=cos（﹣x）cos（2π﹣x）﹣cos2x．（1）求函数f（x）的单凋递增区间；（2）若θ∈[0，]，f（+）=，求tan（θ+）的值．21．（12.00分）已知一家公司生产某种品牌运动服的年固定成本为10万元，每生产1千件需要投入3万元，设该公司一年内共生产该品牌运动服x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=．（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千克）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌运动服的生产中所获利润最大？（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）22．（12.00分）已知函数f（x）=为偶函数．（1）求实数a的值；（2）记集合A={y|y=f（x），x∈{1，﹣2，3}}，p=（lg2）2+lg2lg5+lg5+，判断p与集合A的关系；（3）当x∈[m，n]（m＞0，n＞0）时，若函数f（x）的值域为[﹣+2，﹣+1]，求实数m，n的值．2015-2016学年江西省吉安市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，每小题给出四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.）1．（5.00分）若集合A={x|1≤x＜5}，B={x|x＜﹣1或x＞4}，则集合A∩B=（）A．{x|﹣1≤x＜5}B．{x|4＜x＜5}C．{x|1＜x＜5}D．{x|﹣1＜x＜1}【解答】解：集合A={x|1≤x＜5}，B={x|x＜﹣1或x＞4}，则集合A∩B={x|4＜x＜5}．故选：B．2．（5.00分）已知tanα=2，并且α为第三象限的角，那么cosα=（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：∵tanα=2，1+tan2α=，∴cos2α=∵α是第三象限角，∴cosα=﹣，故选：C．3．（5.00分）设向量，不平行，向量+λ与3﹣平行，则实数λ=（）A．B．﹣ C．﹣3 D．﹣2【解答】解：∵向量，不平行，向量+λ与3﹣平行，∴存在实数μ使得+λ=μ（3﹣）=3μ﹣μ，∴，解得故选：B．4．（5.00分）若f（x）对任意实数x恒有f（x）﹣2f（﹣x）=2x+1，则f（2）=（）A．﹣ B．2 C．D．3【解答】解：∵f（x）对任意实数x恒有f（x）﹣2f（﹣x）=2x+1，∴用﹣x代替式中的x可得f（﹣x）﹣2f（x）=﹣2x+1，联立可解得f（x）=x﹣1，∴f（2）=×2﹣1=故选：C．5．（5.00分）函数f（x）=sin（2x+），图象的对称中心为（k∈z）（）A．（﹣，0）B．（﹣，0）C．（kπ﹣，0）D．（kπ+，0）【解答】解：由2x+=kπ，得x=﹣，k∈Z，即函数的对称中心为（﹣，0），故选：A．6．（5.00分）已知映射f：A→B，其中A=B=R，对应法则f：x→y=x2﹣2x+3，若对实数k∈B，在集合A中存在2个原象，则k的取值范围是（）A．k≥2 B．k＞2 C．k＜2 D．k≤2【解答】解：由y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2≥2，若若对实数k∈B，在集合A中存在2个原象，则k＞2，故选：B．7．（5.00分）要得到函数y=cos（2x﹣1）的图象，只要将函数y=sin（2x+）的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移1个单位C．向右平移+1个单位D．向左平移个单位【解答】解：∵函数y=cos（2x﹣1）=cos[2（x﹣）]，而y=sin（2x+）=cos2x，∴只需把将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位即可得到函数y=cos（2x ﹣1）的图象．故选：A．8．（5.00分）如图示中的幂函数在第一象限的图象，则下面四个选项中正确的是（）A．a+b+c+d为正数B．b+c+d﹣a可能为零C．a﹣b﹣c﹣d为负数D．b×c×d×a符号不能确定【解答】解：由幂函数在第一象限的图象，得：在第一象限，f（x）=x a是减函数，∴a＜0，在第一象限，f（x）=x b，f（x）=x c，f（x）=x d都是增函数，根据幂函数y=x n的性质，在第一象限内的图象当n＞0时，n越大，递增速度越快，当n＜0时，|n|越大，曲线越陡峭，∴b＞c＞d＞0，∴a+b+c+d符号不能确定，故A错误；b+c+d﹣a一定大于0，故B错误；a﹣b﹣c﹣d＜0，故C正确；b×c×d×a＜0，故D错误．故选：C．9．（5.00分）在△ABC中，点M在边BC上，且2=3，E在边AC上，且=3，则向量﹣=（）A．﹣B．+C．﹣D．+【解答】解：由题意，===，所以向量﹣==；故选：A．10．（5.00分）已知函数y=f（x）为奇函数且在R上的单调递增，若f（2m）+f （1﹣m）＞0，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2]B．（﹣1，+∞）C．（﹣1，4]D．[﹣1，+∞）【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴不等式f（2m）+f（1﹣m）＞0等价为f（2m）＞﹣f（1﹣m）=f（m﹣1），∵y=f（x）在R上的单调递增，∴2m＞m﹣1，即m＞﹣1，故选：B．11．（5.00分）某实验小组通过实验产生的一组数据（如表），现欲从理论上对这些数据进行分析并预测后期实验结果的最佳模拟函数的模型是（）A．y=log2x B．y=2x C．y=x2+2x﹣3 D．y=2x﹣3【解答】解：通过所给数据可知y随着x的增大而增大，且其增长速度越来越快，而A中的函数增长速度越来越慢，D中的函数增长速度保持不变，且24=16、26=64即B中的函数不满足题意，于是选项C满足题意，故选：C．12．（5.00分）已知函数f（x）=x2﹣x+m﹣，g（x）=﹣log2x，用min{m，n}中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0）则当函数h（x）有三个零点时m的取值范围为（）A．（0，）B．（﹣∞，]C．（，）D．（，+∞）【解答】解：在同一坐标系中，画出函数y=f（x）和y=g（x）的图象，当两图象交于（1，0），即有1﹣1+m﹣=0，解得m=，由函数h（x）有三个零点时，即为（1，0）和y=f（x）与x轴的两个交点，则判别式△＞0，即有1﹣4（m﹣）＞0，解得m＜，通过y=f（x）图象的变化，以及h（x）的图象的特点，（A点g（x）的图象下面的部分和A点右边y=f（x）的部分）可得m的范围是（，）．故选：C．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13．（5.00分）满足{1，2}⊆A⊊{1，2，3，4，5}的集合A的个数是7．【解答】解：满足{1，2}⊆A⊊{1，2，3，4，5}的集合A有：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}．故答案为7．14．（5.00分）y=log a（4﹣x2）（0＜a＜1）的单调增区间为[0，2）．【解答】解：设t=4﹣x2，则y=log a t，（0＜a＜1）为减函数，由t=4﹣x2＞0得﹣2＜x＜2，要求y=log a（4﹣x2）（0＜a＜1）的单调增区间，等价为求t=4﹣x2，的单调递减区间，∵t=4﹣x2的单调递减区间为[0，2），∴y=log a（4﹣x2）（0＜a＜1）的单调增区间为[0，2），故答案为：[0，2）15．（5.00分）已知sin（+α）=，则cos（﹣2α）=．【解答】解：sin（+α）=，则cos（﹣2α）=﹣1=﹣1==﹣．故答案为：．16．（5.00分）已知非零向量，的夹角为锐角，||=2，当t=时，|﹣t|取最小值为，则||=2．【解答】解：如图所示，非零向量，的夹角为锐角，||=2，当t=时，|﹣t|取最小值为，此时（﹣t）⊥，且C是OA的中点，所以||=2|OC|=2=2．故答案为：2．三、解答题（本大题共6小题，5×12+10=70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10.00分）已知A={x|x2≥4}，B={x|x＞﹣2}，C={x|x2﹣3x+2≤0}．（1）求A∩B及A∪C；（2）若U=R，求（A∩C）∪（∁U B）【解答】解：A={x|x2≥4}={x|x≤﹣2或x≥2}，B={x|x＞﹣2}，C={x|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}；（1）A∩B={x|x≥2}，A∪C={x|x≤﹣2或x≥1}；（2）U=R，A∩C={2}，∁U B={x|x≤﹣2}，∴（A∩C）∪（∁U B）={x|x≤﹣2或x=2}．18．（12.00分）已知二次函数f（x）=x2﹣4x+3．（1）指出函数的对称轴、顶点坐标（要写出求解过程）；（2）指出其图象可由函数y=x2的图象如何变换得到的；（3）当x∈[1，4]时，求函数f（x）的最大值与最小值．【解答】解：（1）y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴对称轴为直线x=2，顶点为（2，﹣1），（2）图象为：，可由函数y=x2的图象向下平移1个单位再向右平移2个单位得到；（3）∵函数的对称轴是：x=2，∴函数在[1，2]递减，在（2，4]递增，∴x=2时函数取到最小值，最小值是：﹣1，x=4时函数取到最大值，最大值是：3．19．（12.00分）已知向量=（sinθ，cosθ）（θ∈R），=（1，）．（1）当θ为何值时，向量+，不能作为平面向量的一组基底；（2）求+在上的投影的最大值；（3）求|﹣2|的取值范围．【解答】解：（1）=（sinθ，cosθ）（θ∈R），=（1，），∴+=（sinθ+1，cosθ+），∵向量+，不能作为平面向量的一组基底，∴（+）与共线，∴（sinθ+1）=cosθ+，∴tanθ=．∴θ=kπ+，k∈Z；（2）∵（+）=sinθ+cosθ+4=2sin（θ+）+4，||==2．∴+在上的投影为=sin（θ+）+2，当θ+=+2kπ时，有最大值，即为3．∴+在上的投影的最大值为3；（3）∵﹣2=（sinθ﹣2，cosθ﹣2），∴|﹣2|2=（sinθ﹣2）2+（cosθ﹣2）2=﹣8sin（θ+）+17，∵﹣1≤sin（θ+）≤1，∴9≤﹣8sin（θ+）+17≤25，∴3≤|﹣2|≤5．20．（12.00分）已知函数f（x）=cos（﹣x）cos（2π﹣x）﹣cos2x．（1）求函数f（x）的单凋递增区间；（2）若θ∈[0，]，f（+）=，求tan（θ+）的值．【解答】解：（1）函数f（x）=cos（﹣x）cos（2π﹣x）﹣cos2x=sinx•cosx ﹣=sin（2x﹣）﹣，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（2）∵θ∈[0，]，f（+）=sin（θ+﹣）=cosθ=，∴sinθ=，∴tanθ==，∴tan（θ+）==．21．（12.00分）已知一家公司生产某种品牌运动服的年固定成本为10万元，每生产1千件需要投入3万元，设该公司一年内共生产该品牌运动服x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=．（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千克）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌运动服的生产中所获利润最大？（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）【解答】解：（1）当0＜x≤10时，W=xR（x）﹣（10+3x）=﹣x2+10x+40，当x≥10时，W=xR（x）﹣（10+3x）=+30，∴W=；（2）①当0＜x≤10时，由W=﹣（x﹣5）2+65可知当x=5时W取最大值，且W max=65；②当x≥10时，W≤+30=40；综合①②知当x=5时，W取最大值65万元，故当年产量为5千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．22．（12.00分）已知函数f（x）=为偶函数．（1）求实数a的值；（2）记集合A={y|y=f（x），x∈{1，﹣2，3}}，p=（lg2）2+lg2lg5+lg5+，判断p与集合A的关系；（3）当x∈[m，n]（m＞0，n＞0）时，若函数f（x）的值域为[﹣+2，﹣+1]，求实数m，n的值．【解答】解：（1）∵f（x）为偶函数，∴f（x）=f（﹣x），即=，即x2﹣（a+1）x+a=x2+a（x+1）+a，即﹣（a+1）=a+1，即a+1=0，解得，a=﹣1；（2）由（1）知，f（x）=，当x=1时，f（x）=0，当x=﹣2时，f（x）==，当x=3时，f（x）==；故A={0，，}；而p=（lg2）2+lg2lg5+lg5+=lg2（lg2+lg5）+lg5+=lg2+lg5+=1+=，故p∉A；（3）∵f（x）==1﹣，∴当x＞0时，f（x）为增函数，∵x∈[m，n]（m＞0，n＞0）时，若函数f（x）的值域为[﹣+2，﹣+1]，∴，即，即，则，即．。