应用随机过程试卷-湖南科技学院

湖南科技学院二○一 年 学期期末考试

数学与应用数学 专业 年级 应用随机过程试题

考试类型：闭卷 试卷类型：C 卷 考试时量： 120分钟

一 、填空题（每空4分共24分）

1、过程12{()cos sin ;0}X t Z at Z at t =+≥，其中1Z ，2Z 独立同分布，其共同分布为2(0,)N σ，

a 为常数，则均值函数(())E X t

= ，方差函数(())Var X t = ，协方差函数

(,)s t γ= ．

2、计数过程

{}

(),0N t t ≥为参数为2的泊松过程，则

{}(20)(18)2P N N -== ，((3))=E N ．

3、()1

()N t i i S t Y ==

∑

是复合Poisson 过程，其中{}(),0N t t ≥为参数为3的泊松过程，1Y 服

从正态分布(1,4)N ，则[(5)]E S = ．

二 、判断题（小题2分，共16分）

1、 设{}(),0N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，n T 为第n 次泊松事件发生的等待时间，

则

{}{}()n N t n T t <⇔>． （ ） 2、{}(),0N t t ≥是更新过程，则对0t ≤<+∞，有()EN t <+∞． （ ） 3、Poisson 过程具有独立增量性． （ ） 4、{}n Z 是马尔可夫链，则2

02(,)()n n n n P X j X i X k P X j X i ++======．

（ ）

5、Brown 运动的样本路径()B t ，0t T ≤≤具有连续性． （ ）

6、{}n Z 是有限状态的马尔可夫链，其一步转移矩阵为P ，则其n 步转移矩阵()

n n P

P =．

（ ）

7、Brown 运动不是平稳增量过程． （ ） 8、{}(),0N t t ≥是Poisson 过程，n T 为第n 次泊松事件发生的等待时间，则当t →+∞时，

()1()N t r t T t +=-与()()N t s t t T =-有相同的极限分布． （ ）

三 、计算题（共46分）

1、（12分）设{}(),0N t t ≥是强度为3的Poisson 过程， 求（1）{}(1)2,(3)4,(5)6P N N N ===； （2）{}(5)6(3)4P N N ==；

（3）求协方差函数(),s t γ，写出推导过程．

2、（10分）设{}(),0N t t ≥是更新过程，第k 次更新与第1k

-次更新的时间间隔k X 服

从分布

2

(2)3

k P X ==

，1(3)3k P X ==．计算((1))P N n =，((2))P N n =，

((3))P N n =，0,1,2,

n =．

3、（12分）设1{(),0}N t t

≥，2{(),0}N t t ≥是强度分别为1λ，2λ 且相互独立

的Poisson 过程，记k T 为1{(),0}N t t

≥的第k 次事件发生的等待时间，1V 为

2{(),0}N t t ≥第1次事件发生的等待时间．求1()k P T V <．

4、(12分){,1,2,

}n X n =为独立同分布的随机变量序列，具有如下分布

1

(1)(1)2

n n P X P X ===-=

1,2,n =

令1n

n

i i S X ==∑．

（1）求随机过程{,1,2,}n S n =的均值函数和自相关函数；

（2）判断{,1,2,}n S n =是否为宽平稳过程．

四 、证明题（共14分）

1、设{}(),0i N t t ≥，1,2,

,i

n =是n 个相互独立的Poisson 过程，参数分别为i λ，

1,2,

,i n =，试证{}

1()=(),0n

i i N t N t t =≥∑是Poisson 过程．