应用随机过程答案最终版
应用随机过程第3章习题简答
iu
Yk
k
n
) (Y1 (u )) n
所以特征泛函：
Z (t ) (u ) E[ E (eiuZ (t ) | N (t ))] E[(Y (u )) N (t ) ] (Y (u )) k m(t )k m ( t )(Y1 ( u ) 1) 。 e k!
进而在时刻 s,t 的协方差函数：
Z ( s, t ) RZ ( s, t ) Z ( s) Z (t ) E ( N ( s))Var (Y1 ) Var (Y1 ) (u)du, ( s t )
0
s
由于： E (e
iuZ ( t )
| N (t ) n) E (e
（1）E (T ) (t R) f S1 (t )dt ( s W ) f S1 (t )dt = (W R 1/ )e s ( R 1/ ) 。
0 s
s
d ( E (T )) (W R 1/ )e s ds d ( E (T )) 当 W < 1/λ+ R 时， 0 ，平均到家时间是 s 的增函数，所以（1）的 ds 期望时间在 s=0 时最小； d ( E (T )) 当 W > 1/λ+ R 时， 0 ，平均到家时间是 s 的减函数，所以（1）的 ds
（1） P{ X (3) 5} e 3
(3 )5 ； 5!
P{ X (2) 5, X (3) X (2) 0} P{ X (3) 5} e2 (2 )5 e 2 5! ( )5 ； 5 (3 ) 3 e3 5!
（ 3 ） P{ X (2) 5 | X (3) 5}
0 s1 s2 s3 。 other
随机过程及其应用_习题答案(陆大金)
− ∞ < t < ∞}, ξ (t ) = η cos t ，其中 η 为均匀分布于（0,1）间的
⎧1 (0 ≤ y < 1) 试证： ⎩0 (其它y值）
1 cos t1 cos t2 3 1 （2） Cξξ (t1 , t2 ) = cos t1 cos t2 12
第一章概论
第1题 某公共汽车站停放两辆公共汽车 A 和 B，从 t=1 秒开始，每隔 1 秒有一乘客到达车站。 如果每一乘客以概率
1 1 登上 A 车，以概率 登上 B 车，各乘客登哪一辆车是相互统计独立 2 2
即乘客登上 A 车则 ξ j ＝1， 乘客登上 B 车则 ξ j 的， 并用 ξ j 代表 t=j 时乘客登上 A 车的状态， ＝0，则 P{ξ j = 1} =
⎛ n ⎞⎛ 1 ⎞ P{η n = k } = ⎜ ⎜k ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ 2 ⎠
解（2） ：
n
P{车A在时刻n开车} = P(在n - 1时刻，车A有9名乘客；在n时刻第10名乘客登上车A) ⎛ n − 1 ⎞⎛ 1 ⎞ =⎜ ⎜9 ⎟ ⎟⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ n − 1 ⎞⎛ 1 ⎞ =⎜ ⎜9 ⎟ ⎟⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
20120121212121212ttttkkttkkttoddkkeekttekttektt??????????????1t和2t的二维联合概率密度12121212121212121212121212211z412114tttttttttttttttttttttttpzppzpzppz?????????????????偶数次变化偶数次变化偶数次变化奇数次变化奇数次变化偶数次变化奇数次变化奇数次变化??????????????????偶数次变化奇数次变化奇数次变化21212121212121212121222221212124tttttttttttttttttttttzppzppzpzz?????????????????????偶数次变化奇数次变化奇数次变化偶数次变化偶数次变化偶数次变化奇数次变化奇数次变化偶数次变化奇数次变化奇数次变化1212121212122212ttttttttttttppzpz??偶数次变化奇数次变化奇数次变化偶数次变化偶数次变化偶数次变化212121212121222412222424124211411z114211421121111411221ttttttttttttezezezezzezez??????????????????????????????????????????????????????????????????2121212224122221141211421142ttttttezzezez????????????????????第10题质点在直线上作随机游动即在t123
《应用随机过程》A卷及其参考答案
，求
E
X
X
c；
2、（15 分，选做一题）（1）设 Xi E i ， i 1, 2 ，且 X1, X 2 独立，试
由条件数学期望的一般定义以及初等条件概率定义的极限分别求
E IX1X2 X1 X 2 t P X1 X 2 X1 X 2 t ，t 0 ；（2）设 X1, X 2 , , X n 独
T 2 t dt 0
，令
Z
t
exp
t
0
u
dW
u
1 2
t 0
2
u
du
，则
dZ
t
t
Z
t
dW
t
，
从而Z t ,0 t T 是一个连续鞅。
1
三、计算证明题（共 60 分）
得分
1、（13 分）假设 X～E ，给定 c 0 ，试分别由指数分布的无记忆性、
条件密度和 E X
A
E
P
XI A
A
x
0
，且
q
x
dx
1
；（b）存在
a
0
，使得
p q
x x
a（当
p
x
0
时），令 r x a qpxx（当 p x 0 时，规定 r x 0 ）；又记 M U r X ，
3
试证明：
P
X
z
M
z
q
x dx
，即
X
在
M
发生的条件下的条件密度
函数恰是 q x ；（2）设有 SDE：dXt (aXt b
（2） ___________________________________________________；
随机过程及其在金融领域中的应用课后答案
习题二：1.证：设为X 取值为k （1k ≥）的随机变量。
且()k p p x k == 证法I （通俗证法，但不严格）：111()()(1)2(2)3(3)...()...(1)(2)(3)...()...()k k k k k E x x p kp x k p x p x p x np x n p x p x p x p x n p x k ∞∞==∞======+=+=+=+=≥+≥+≥+≥+=≥∑∑∑证法II ：111111()()()()()k k k i i k ii k EX kp x k p x k p x k p x i p x k ∞∞∞∞∞======∞========≥=≥∑∑∑∑∑∑∑证法III ：1111111()()(()(1))()(1)(1)(1)(1)(1)()k k k k k k k E X kp x k k p X k p x k kp x k k p x k p x k p k p x k p x k ∞∞==∞∞∞===∞∞=====≥-≥+=≥-+≥++≥+==+≥+=≥∑∑∑∑∑∑∑2.解：(1)0(1)0()()()1111ax ax ax x x a a x E Y E e e f x dx e e dx e dxde a a+∞+∞+∞---∞+∞-======--⎰⎰⎰⎰3.解：边缘概率密度为：12021202,01()(,)603,01()(,)60,X Y x x f x f x y dy xy dy y y f y f x y dx xy dx +∞-∞+∞-∞<<⎧===⎨⎩⎧<<===⎨⎩⎰⎰⎰⎰其它其它因为(,)()()f x y f x f y =所以X ，Y 独立。
故cov(,)cov(,)0X Y Y X ==11223001132400222221()()2()23233()()3()34513cov(,)()(())cov(,)()(())1880E X xf x dx x dx E X x dx E Y yf y dy y dy E Y y dy X X E X E X Y Y E Y E Y +∞-∞+∞-∞===========-==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 故(,)X Y 的协方差矩阵为10cov(,)cov(,)18cov(,)cov(,)3080X X X Y Y X Y Y ⎡⎤⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦4.解：（1）22121210,1,4,2μμσσρ=====将各参数代入二维正态分布密度函数，最终得：22211(,)324f x y x xy y ⎧⎫⎡⎤=--+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭（2）1cov(,)12XY X Y ρ==⇒=cov(,)()()()()1X Y E XY E X E Y E XY =-∴=当Z 与X 独立时，有()()()E ZY E Z E Y =()()()()()222()()()0,()0,()404E Z aE X E Y E Y E ZY E a XY Y aE XY E Y aE XY E Ya a ⎡⎤=+===+=+⎣⎦∴+=+=⇒=-6.解：()()()1212121211()()12121()(,)!!!!!!!kn kn nk k nnk n kk P X Y n P X k Y n k ee k n k en e n k n k n λλλλλλλλλλλλ---==-+-+-=+====-=-==+-∑∑∑()()12121212()121212!!(|)(|)()!kn kk n kk n n ee k n k P X k Y n k P X k X Y n C e P X Y n n λλλλλλλλλλλλλλ-----+-⎛⎫⎛⎫==-=+====⎪ ⎪+=++⎝⎭⎝⎭+8.解：()0()()()ux ux ux x X M u E e e f x dx e e dx u uλλλλλ+∞+∞--∞====>-⎰⎰()()()()222121()X X u u E X M u E X M u D X λλλ=='''=====13.解：由特征函数与矩母函数关系知：()11X M u u=- ()()()()201()21X X u u E X M u E X M u D X =='''∴=====14.解：1,...,n X X 均相互独立。
随机过程试题及答案
随机过程试题及答案随机过程是概率论与数理统计的重要理论基础之一。
通过研究随机过程，可以揭示随机现象的规律性，并应用于实际问题的建模与分析。
以下是一些关于随机过程的试题及答案，帮助读者更好地理解与掌握这一概念。
1. 试题：设随机过程X(t)是一个马尔可夫过程，其状态空间为S={1,2,3}，转移概率矩阵为：P =| 0.5 0.2 0.3 || 0.1 0.6 0.3 || 0.1 0.3 0.6 |(1) 计算X(t)在t=2时的转移概率矩阵。
(2) 求X(t)的平稳分布。
2. 答案：(1) 根据马尔可夫过程的性质，X(t)在t=2时的转移概率矩阵可以通过原始的转移概率矩阵P的2次幂来计算。
令Q = P^2，则X(t=2)的转移概率矩阵为：Q =| 0.37 0.26 0.37 || 0.22 0.42 0.36 || 0.19 0.36 0.45 |(2) 平稳分布是指随机过程的状态概率分布在长时间内保持不变的分布。
设平稳分布为π = (π1,π2, π3)，满足πP = π（即π为右特征向量），且所有状态的概率之和为1。
根据πP = π，可以得到如下方程组：π1 = 0.5π1 + 0.1π2 + 0.1π3π2 = 0.2π1 + 0.6π2 + 0.3π3π3 = 0.3π1 + 0.3π2 + 0.6π3解以上方程组可得到平稳分布：π = (0.25, 0.3125, 0.4375)3. 试题：设随机过程X(t)是一个泊松过程，其到达率为λ=1，即单位时间内到达的事件平均次数为1。
(1) 请计算X(t)在t=2时的累计到达次数的概率P{N(2)≤3}。
(2) 计算X(t)的平均到达速率。
4. 答案：(1) 泊松过程具有独立增量和平稳增量的性质，且在单位时间内到达次数服从参数为λ的泊松分布。
所以，P{N(2)≤3} = P{N(2)=0} + P{N(2)=1} + P{N(2)=2} +P{N(2)=3}，其中P{N(2)=k}表示在时间间隔[0,2]内到达的次数为k的概率。
《随机过程及应用》教案-习题课五答案.doc
1.（X （r ）,r （r ））是零均俏的二维正态过程.试证X 2（r ）也是二阶矩过程. 证明：MeT,XQ ）~ N （O,D ⑴），所以有•••心]=2,申]=1 D ⑴ D(t)空 2[渔]“ D\tY Z )(0D\t)E[X 2(/)]2 = E[X 4(r)] = 3D 2(r) /.｛X 2（o ）为二阶矩过程。
2. 设｛x”, n 1｝是相互独立的随机变量序列，其分布律为:,_7试讨论此序列是否均方收敛。
其中从而当mW n 时 lim E X m - X nlim 2-2 ——HT2^｛X H ,n>l ｝不均方收敛。
£[x,J = m -r = - m m n n E X ： 一；E X ；(=m 2-丄7 = 1 」 m" =zi 2~- = 1n~E[X m X n ] = E[X m ]E[X n ]mn< 4-00解：EX m -X n=E X ；+ 町 X^-2E[X m]E[X n]3.证明若1 ,i.m X… = X，则X”的特征函数收敛于X的特征函数。
H—证因为对于函数f(x) = e itx xe R,有卩"(兀)| = ”严勻小从而|/(x)-/(j)|<H|x-y|即f(X)=严XG R满足李普希兹条件，故对X5)冇"T8 所以E[I.^/(XJ]= E[/(X)]即lim(p x (/)= lim ~\ = 1 •/-,we，，X" = E e'rX =(p x (/)X(”)的特征函数收敛于X的特征函数.4.证明Poisson随机变最序列的均方极限是Poisson随机变最。
证明：设｛X”/ = l,2,・・・｝是Poisson随机变量序列，1.加X”=X,则lim£[Xj = £[%],n—>oo >8即lim = AnT8于是(p x(r) = lim(p x (r) = lim/3~" =/宀""TOO "->8故X是Poisson随机变量。
应用随机过程第三章习题解
g(t) = f (x, tx)|x|dx
3
第三章 更新过程
第三章 更新过程
其中 f (t, tx) 是 Xi 与 TiXi 的联合密度函数, 当 Xi 与 TiXi 独立时，有
∫ g(t) = λ exp{−λtx}f (x)|x|dx
所以这样的 Ti 是存在的.
3.6 如果 p = P (X = ∞) > 0, 则称 X 是广义的随机变量. 设 X 是广
是 3 分钟. 假设每台电话独立工作, 一共有 6 部电话, 估算上午 10:30 时恰
有 5 部电话占线的概率.
解:
由题可知每台电话占线的概率为
p
=
3 23
,
又各电话是否占线独立，
所以 10:30 有 5 部电话占线的概率为：
P = C65p5(1 − p)
3.11 眨眼使泪水均匀地涂在角膜和结膜的表面，以保持眼球润湿而不
∑ ∑k
∑
P ( Xi = j, Xk+1 > t − j) = (kλ)jexp(−kλ)P (X1 > t − j)/j!
0≤j≤t i=1
0≤j≤t
3.9 设更新过程 N (t) 的更新间隔是 Xn, i1, i2, . . . , in 是 1, 2, . . . , n 的一
个全排列. 对于 n ≥ 2, 证明
= 1/p − 1
3.7 对于泊松过程验证定理 1.2（2）成立.
证明: 对于泊松过程 N (t) 有 m(t) = E(N (t)) = λ·t, 而 λ·(t) 是连续的且 在 t≥0 时是严格增加的，当然是单调不减的, 也即定理 1.2(2) 对于泊松过 程是成立的。
3.8 设更新过程N(t)的更新间隔是来自总体 X 的随机变量。
2011-2012学年第二学期应用随机过程试卷及参考答案
({ X
2
+ Y 2 ≤ 1}
)；
3、 （4 分，选做一题） （1）设 X , Y 独立同 U [0,1] 分布，试基于微元 法由条件密度求 E ( X X < Y ) ； （2）设 ( X , Y ) ～U ( D ) ， D : 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 ，
2 试由条件数学期望的直观方法求 E (Y X ) 、 E ⎡ Y −X) ⎣(
－域，定义 E ( X C ) 如下： （1）_______________ ； （2） _____________________________________________ ； 2、设 { N ( t ) , t ≥ 0} 是强度为 λ 的 Poisson 过程，则 N ( t ) 具有_____、 _____增量，且 ∀t > 0 ， h > 0 充分小，有： P ({ N ( t + h ) − N ( t ) = 0}) ＝
4
四、应用分析题（共 12 分）
得分
设股价遵循几何布朗运动 dS ( t ) = μ S ( t ) dt + σ S ( t ) dW ( t ) ，利率为 常数 r 。定义风险的市场价格为：Θ =
⎧
μ −r 以及状态价格密度过程 σ
2⎞ 为： ζ ( t ) = exp ⎨−ΘW ( t ) − ⎛ ⎜ r + Θ ⎟ t ⎬ ；a）证明： 2
1 + (λ − μ ) c⎤ 1 1− ⎡ ⎦e E ( X X + Y = c) = ⋅ ⎣ − λ −μ c λ−μ 1− e ( )
−( λ − μ ) c
。
x
（2）令 X ～f X ( x ) ，即有： f X ( x ) = ∫−∞ f ( x, y ) dy = ∫0 1 dy, 0 ≤ x ≤ 1 ，即：