应用随机过程4.1 更新过程精讲
随机过程-第四章 更新过程
N (t ) 的情况。 t
为考虑 N (t ) 的发散速度，我们先考虑到达时刻 TN (t ) （ TN (t ) 表示在时刻 t 或时刻 t 之前 最后一次更新发生的时刻，以此类推，则 TN (t )1 表示在时刻 t 之后第一次更新发生的时刻） 。 利用 TN (t ) 和 TN (t )1 ，我们提出并证明以下命题。
X
i 1
n
i
n
Tn n
以概率 1 成立。因 0 ，这意味着当 n 时，Tn ，这即是说无穷多次更新只可能 在无限长的时间内发生，因此在有限时间内至多只能发生有限次更新。因此，更新过程亦可 写成
N (t ) max n, Tn t
4.2 N (t ) 的分布
这其中利用了 X n , n 1, 2, 的独立同分布性质，这里 [1 F (b)] (0,1) 。又因为
k
Tmk t Tk T0 t , T2k Tk t ,, Tmk T( m1)k t
而且更新区间（相当于时间间隔）服从独立同分布，即
N (t ) 的分布至少在理论上能够得到，首先我们注意这样一个重要的关系：到时刻 t 为
止的更新次数大于或等于 n 当且仅当在 t 之前或在时刻 t 发生第 n 次更新，即
N (t ) n Tn t
所以
P N (t ) n P N (t ) n P N (t ) n 1 P Tn t P Tn1 t
N (t ) sup n, Tn t
定义 4.1 更新过程：计数过程 N (t ), t 0 称为更新过程。
在更新过程中我们将事件发生一次叫做一次更新， 从而 X n 就是第 n 1 次与第 n 次更新 相距的时间，Tn 表示第 n 次更新发生的时刻， 而 N (t ) 就是 t 时刻或 t 时刻之前发生的总的更 新次数。更新过程一个典型的例子是机器零件的更换。 我们首先要回答是第一个问题是在有限时间内是否会有无限多次更新发生。答案是不 会发生这种情况的概率为 1。由强大数定律可知
《应用随机过程》教学大纲
《应用随机过程》课程教学大纲课程代码：090541007课程英文名称：Applications Stochastic Processes课程总学时：40 讲课：40 实验：0 上机：0适用专业：应用统计学大纲编写（修订）时间：2017.6一、大纲使用说明（一）课程的地位及教学目标随机过程是现代概率论的一个重要的组成部分，其理论产生于上世纪初期，主要是由物理学、生物学、通讯与控制、管理科学等方面的需求而发展起来的。
它是研究事物的随机现象随时间变化而产生的情况和相互作用所产生规律的学科。
随机过程的理论为许多物理、生物等现象提供诸多数学模型，同时为研究这类现象提供了数学手段。
本课程为统计学专业的专业课程，通过本课程的学习，掌握随机过程的基本概念、基本理论、内容和基本方法，了解随机过程的重要应用，为后继课程学习提供知识准备，另一方面，随机过程的发展也是人们认识客观世界的一个重要组成部分，它有助于学生辩证唯物主义世界观的培养。
（二）知识、能力及技能方面的基本要求1.基本知识：通过本科程的学习，使学生掌握，要求学生掌握随机过程的基本概念、二阶矩过程的均方微积分、马尔可夫过程的基本理论、平稳过程的基本理论、鞅和鞅表示、维纳过程、Ito定理、随机微分方程等理论和方法。
2.基本能力：通过本课程的学习，使学生能较深刻地理解随机过程的基本理论、思想和方法，并能应用其解决实践中遇到的随机问题，从而提高学生的数学素质，加强学生开展科研工作和解决实际问题的能力。
3.基本技能：掌握建立随机数学模型、分析和解决问题方面的技能，为进一步自学有关专业应用理论课程作好准备。
（三）实施说明本大纲是根据沈阳理工大学关于制订本科教学大纲的原则意见专门制订的。
在制订过程中参考了其他学校相关专业应用随机过程教学大纲。
本课程思维方式独特，还需要学生有较高的微积分基础，教学中应注意概率意义的解释和学生基础情况的把握，处理好抽象与具体，偶然与必然、一维与多维，理论与实践的关系。
第四章更新过程
容易看出，基本更新定理是Blackwell定理的特殊 情况。
3、关键更新定理
记
m
=
EX n
，设h(t)
≥0满足(1)
h(t)
非负不增；(2)
ò +¥ h (t )dt 0
< ¥。
H(t)是更新方程
òt
H (t) = h(t) + H (t - x)dF (x) 0
用N (t)表示[0,t)内更换部件的数目， Ti为更新间距，各Ti相互独立且同分布F (t)
则：
(1)若更新时间X i = 0
对任意的时刻t ¹ 0,系统是在工作着的。
前n个更换部件的寿命t
的分布：
n
Ft1 (t) = P{T1 £ t}= F (t) = F1(t)
ò Ft2 (t) = P{T1 + T2
t
ò = E( X1) +
K (t - x)dF (x)
0
这就是更新方程，其解为
4.2.2更新方程在人口学中的一个应用
4.3 更新定理
一、基本更新定理 Theorem： （Feller初等更新定理）
设 m = E[ X n ] ，则
二、N(t)的渐近正态分布
Q{N (t ) ³ n} Û {Tn £ t}
A(t)
---------剩余寿命 ---------年龄
Y (t)
TN (t)
t
解：令
X N (t)+1
Ry (t) = P(Y (t) > y)
TN (t)+1
对第一次更新时刻X1取条件，得
ì 1,
P(Y (t)
随机过程及其应用-清华大学
4.1(等待时间的和)设诚恳按照参数λ的Poisson 过程来到公交站，公交车于时刻t 发出，那么在],0[t 时间段内到达的乘客等待时间总和的期望应该如何计算那？对于某一个乘客而言，假设其到达时间为k t ，那么他等待时间就是k t t -所以乘客总的等待时间为∑=-=)(0)()(t N k k t t t S使用条件期望来处理平均等待))(|)(())((n t N t E E t S E ==对于某已成了而言，其到达时刻k t 随机],0[t 内均匀分布的随机变量。
但在车站上，乘客是先后到达次序排队，所以在n t N =)(的条件下，n t t t ,...,,21形成了独立均匀分布的顺序统计量。
不过就他们的和nt t ++...1而言，可以那他们看着顺序统计量，也可以把他们看着不排顺序的n 各独立的],0[t 内均匀分布的随机变量，所以2))((2)2)(())((22)())(|)((20t t N E t t t N E t E E nt nt nt t E nt n t N t E E nk k λ====-=-==∑=从而有4.2(数值记录)设},{N n X n ∈是一独立同分布的非负期望随机变量序列。
定义风险率)(t λ如下)(1)()(t F t f t -=λ 这里)()(t F t f 和分别是k X 的概率密度分布和分布函数。
定义随机过程)(t N 如下}),,..,m ax (:{#)(01t X X X X n t N n n n ≤>=-这里A #表示集合A 中的元素个数。
如果把)(t N 中的时间t 看做时间，那么)(t N 是一个非齐次Poisson 过程。
事实上，由于k X 彼此独立，所以)(t N 具有独立增量性。
很明显0)0(=N ，于是只需要检查一个时间微元内)(t N 的状态。
假定t ∆充分小，在0,...,X X n 中只有n X 在],(t t t ∆+上，因此111-11-11111))())(()((),...,(]),((),...,],,(()),...,max(],,(()),...,max(],,(()1)()((--∞=-∆+∆=≤≤∆+∈=≤≤∆+∈=>∆+∈>∆+∈==-∆+∑n n n n n n n n n n n n t F t o t t f t X t X P t t X P t X t X t t X P X X X t t X P X X X t t X P t N t t N P所以)()()(1)()())(())()(()1)()((21t o t t t F t o t t f x F t o t t f t N t t N P n n ∆+∆=-∆+∆=∆+∆==-∆+∑∞=-λ另一方面，可以证明)()2)()((t o t N t t N P ∆=≥-∆+ 所以)(t N 是非齐次的Poisson 过程，强度)(t λ。
应用随机过程PPT课件
k
EX kP(X k) (1)P(X k)
k0
k1 i1
P(X k)
交换求和顺序
k1
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同理，对连续型随机变量有相似的结论成立
若X0
x
EX0 xd(PXx)0 (0 dy)dP(Xx)
0 P(Xx)dx
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概率
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1 .古典概型
A
P(A)
(A) ( )
A 中的样本点数目 中的样本点数目
隐含了等可能条件
2 .几何概型
P(A)
A 点集的面积 点集的面积
隐含了等可能条件
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概率是满足 1) 非负性； 2) 归一性； 3) 可列可加性； 的集函数。
可测集 粗略地说，可以定义长度（面积、体积）的 点集即为可测集；反之称为不可测集。
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Chebyshev不等式
0,
P(|
X
EX
|
)
DX
2
P(|
X
EX
|
)
E
|
X EX
p
|p
( p1)
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条件数学期望
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(iN)
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用示性函数的线性组合表示离散型随机变量 （见前面“随机变量”部分 ）
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例： 随机变量 X I A ,Y I B , A, B ，
应用随机过程教学大纲
遵义师范学院课程教学大纲应用随机过程教学大纲（试行）课程编号：280020 适用专业：统计学学时数：48 学分数： 2.5执笔人：黄建文审核人：系别：数学教研室：统计学教研室编印日期：二〇一五年七月课程名称：应用随机过程课程编码：学分：2.5总学时：48课堂教学学时：32实践学时：16适用专业：统计学先修课程：高等数学、线性代数、概率论、测度论或者实变函数（自学）一、课程的性质与目标：（一）该课程的性质《应用随机过程》课程是普通高等学校统计学专业必修课程。
它是在学生掌握了数学分析、线性代数和概率论等一定的数学专业理论知识的基础上开设的，要求学生掌握随机过程的基本理论和及其研究方法。
（二）该课程的教学目标（1）从生活中的需要出发，结合研究随机现象客观规律性的特点，并根据随机过程的内容和知识结构，着重从随机过程的基本理论和基本方法出发，就实际应用中的典型随机过程做应用研究，并在理论、观点和方法上予以总结、提高及应用。
（2）对各个章节的教学，随机过程侧重于基本思想和基本方法的探讨，介绍随机过程的基本概念，建立以分布函数等研究相关问题概率的实际应用思路，寻求解决统计和随机过程问题的方法。
着重基本思想及方法的培养和应用。
（3）结合学生实际，利用生活中的实例进行分析，培养学生的辩证唯物主义观点。
二、教学进程安排课外学习时数原则上按课堂教学时数1:1安排。
三、教学内容与要求 第一章 预备知识 【教学目标】通过本章的学习，复习并扩展概率论课程的内容，为学习随机过程打下良好的基础，提供必备的数学工具。
【教学内容和要求】随机过程以概率论为其主要的基础知识，为此，本章主要对概率空间；随机变量与分布函数；随机变量的数字特征、矩母函数与特征函数；独立性和条件期望；随机变量序列的收敛性与极限定理等常用到的概率论基本知识作简要的回顾和扩展。
其中概率空间，矩母函数和特征函数的定义及性质、条件期望、收敛性、极限定理等既是本章的重点，又是本章的难点。
应用随机过程第五版张波商豪教案
应用随机过程第五版张波商豪教案摘要：随机过程是概率论中的重要内容，通过对随机过程的学习和应用，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
本教案分析了应用随机过程的相关案例，并结合张波商豪教授的第五版教材进行教学设计。
引言：应用随机过程是一个有趣且实用的领域，它可以帮助我们了解和模拟现实世界中的随机现象。
在现代科学和工程领域，应用随机过程的知识和方法被广泛应用于通信、金融、电力系统、生物医学工程等诸多领域。
通过学习和应用随机过程，我们可以更好地理解和预测这些领域中的随机现象，提高问题解决的效率和准确性。
主体：1. 应用随机过程的基本概念和性质1.1 随机过程的定义和分类1.2 随机过程的性质：平稳性、独立增量性、Markov性2. 马尔可夫链的建模和分析2.1 马尔可夫链的定义和特性2.2 马尔可夫链的转移概率矩阵2.3 马尔可夫链的平稳分布2.4 马尔可夫链的应用案例3. 排队论的应用3.1 排队论的基本概念和模型3.2 M/M/1排队模型3.3 M/M/1排队模型的应用4. 随机过程在金融工程中的应用4.1 随机过程模型在金融衍生品定价中的应用4.2 随机过程模型在风险评估中的应用4.3 随机过程模型在投资组合优化中的应用5. 随机过程在通信系统中的应用5.1 随机过程模型在信道建模中的应用5.2 随机过程模型在网络性能评估中的应用5.3 随机过程模型在调度算法设计中的应用结论：应用随机过程是一个广泛而深入的领域，通过学习和应用随机过程的方法，我们可以更好地理解和解决实际问题。
本教案以张波商豪教授的第五版教材为基础，结合相关案例进行教学设计，旨在帮助学生掌握随机过程的基本概念和方法，并将其应用到实际问题中。
通过本教案的学习，学生将能够提高问题解决的能力和创新思维，为将来的学习和研究打下坚实的基础。
应用随机过程课件
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性质：线性变换不改变随机过程的 统计特性
举例：高斯随机过程经过线性变换 后仍为高斯随机过程
定义：将随机过程通过非线性函数进行变换得到新的随机过程。 常见变换：对随机变量进行指数变换、对数变换等。
应用场景：在信号处理、通信等领域中通过对随机信号进行非线性变换实现信号的调制、解调等功能。
多径传播：随机过程用于描述无线通信中的多径传播效应以提高信号的可靠性和稳定性。
随机过程在金融领域的应用包括股 票价格预测、风险评估和投资组合 优化等方面。
随机过程还可以用于信用评级和风 险评估帮助金融机构评估借款人的 信用风险和违约概率。
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通过随机过程模型可以分析金融市 场的波动性和相关性从而制定有效 的投资策略。
循环性是随机过程的基本性质之一它决定了过程的可预测性和不可预测性的程度。
循环性对于理解和预测某些自然现象（如气候变化、生态系统的动态等）具有重要意义。
在实际应用中循环性可以帮助我们更好地理解和预测某些随机现象如股票价格的波动、人口增长等。
定义：将随机过程进行线性变换得 到新的随机过程
应用：在信号处理、通信等领域中 广泛应用
数学模型：基于概率论和随机过程的理论基础建立非线性变换的数学模型分析其统计特性。
傅里叶变换的定义和性质 随机过程的傅里叶变换方法 傅里叶变换在信号处理中的应用 傅里叶变换在随机过程中的应用实例
信号传输：随机过程用于描述信号在通信系统中的传输过程如噪声和干扰。
信道容量：随机过程用于分析通信信道的容量以优化通信系统的性能。 调制解调：随机过程用于实现高效的调制解调技术如QM和QPSK。
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如果我们将事件发生一次称为一次更新，那么 定义4.1中的X n 就是第n-1次和第n次更新的间隔 时间，Tn是第n次更新发生的时刻，而N(t)就是 t时刻之前发生的更新次数.
更新过程可以模拟机器零件更换：
如在0时刻安装一零件，并开始工作，经过时间X1，在T1 时刻发生损坏，立即换新的零件并开始工作，又经过时 间X 2，在T2时刻有坏掉了，同样还第三个，依次下去， ... 我们可以认为这些零件的使用寿命是i.i.d.的，显然到 t时刻为之所更换的零件数目就构成一个更新过程.
第四章
Renewal process
1. 2. 3. 4. 5. 定义及若干性质 更新方程及其应用 更新定理 Lundberg-Cramer 破产论 更新过程的推广
4.1 更新过程的定义及若干分布
4.1.1 更新过程的定义
首先回顾 Poisson 过程. 定义3.3告诉我们:
在Poisson过程中，相邻事件发生的时间间隔X1， X 2，...是一列独立同分布的随机变量，此时的 "同分布"是指他们服从同一个指数分布.
有限次更新，从而 P(N(t)<)=1。
2). 两个等价事件： {N(t) n} {Tn t}； {N(t) n} {Tn t<Tn+1}；
下面我们来看N(t)的分布。
P(N(t) n)=P(Tn t<Tn+1 ) =P(Tn t)－P(Tn+1 t) =P( i=1 Xi t)－P( i=1 Xi t)
n
对t 0, 记 N(t)= sup{n， Tn t}， 称{N(t)，t 0}为更新过程.
图示:
X1 X2 T1 T2 X3 T3 X4 T4 X5 T5 X6 t T6
T0
显然，更新过程亦是一个计数过程，并且是 Poisson 过程把时间间隔由指数分布推广到一般分布的情形.
定义4.1定义的过程为什么被称为更新过程呢？
n
n 证明 M(t ) EN(t ) i=1 P(N(t) n)
i=1 P(Tn t ) i=1 Fn (t ).
n n
定理 4. ２ M(t )是关于t不减的，且对0 t<, 有M(t)<． 证明 由于N(t )是关于t不减的，故M(t)也是不减的.下证
4.1.2 N(t)的分布及EN(t)的性质
我们先讨论一下更新过程的一些性质：
1). 由{Ｘ ，n 1｝的独立同分布性及强大数律，知 ｎ Tn i 1 Xi EX1 0 以概率1成立。 n n 所以，当n 时，Tn ，换言之，无穷多次更新只
n
能发生在无限长时间内, 即在有限时间内最多只能发生
M(t )的有限性。首先我们先确定一个结论，即
Fn (t ) [F(t )]n .
实际上，由{Xi，i 1}的非负性知，事件( i 1 X i t)
n
一定能推出( 所以，
n i 1
(X i t))，即( i 1 X i t) (
n n
n i 1
(X i t)).
n n+1
=Fn(t)-Fn+1(t), 这里Fn 是F的n重卷积.
接下来我们讨论EN(t)的性质。
这里的EN(t)称为更新函数，记作M(t).
注：更新函数M(t)就是更新过程{N(t),t≥0}的均值函数， 它不是一个r.v.，而是关于t的函数。
定理 4.1
M(t ) i=1 Fn(t )．
我们作如下的一个推广:
保留X1，X2， ...的独立性和同分布性，但是该分布 是任意的，不再仅仅是指数分布的.
由此得到的计数过程就是更新过程, 其定义如下:
定义 4.1 设{X n，n 1}是一列独立同分布的非负r.v.s, 分布函数为F(x)，且F(0)<1. 令 T0 0，Tn i 1 Xi .
Fn (t ) P( i 1 X i t) P(
n
n (X t))=[F( t )] , i i 1
最后一个等号是由于{Xi，i 1}的独立同分布性.
再由定理4.1及F(t)<1知， M(t) n1 Fn (t ) n1[F(t)]n
F (t )(1 F (t )) 1 .