应用随机过程(第三章)PPT课件

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例3.1.5
• 天空中的星体数服从Poisson分布，其参数 为λV，V为被观测区域的体积。若每个星球 上有生命存在的概率为p，则在体积为V的 宇宙空间中有生命存在的星球数服从强度 为λpV的Poisson 分布。
与Poisson过程相联系 若干分布
Nt
3
2
1
0 X1X2X3
t
T0
0t1t2tn
例3.2.3
• 乘客按强度为λ的Poisson过程来火车站， 火车在t 时刻启程，计算(0，t]内到达的乘 客等车时间总和的数学期望。
P A 发生s之 在(s 前 ,时 t]内 A 没 ， 刻有 发
P N t 1
P N S 1 P P N N t t1 N s 0
sesteetts
s t
定理3.2.3
在已知N(t)=n的条件下，事件发生的n 个时 刻T1，T2，…,Tn的联合密度函数为
ft1,
t2,
,
tn
tn n!
T1
T2
T3
X n 与 T n 的分布
T n 表示第n次事件发生的时间； n1,2, , 规定 T0 0 ，
X n 表示第n次与第n-1次事件发生的时间 间隔， n1,2, ,
定理3.2.1 X n n 1 ,2 ,
服从参数为λ的指数分布，且相互独立。
X 1 t N t 0
P X 1 t P N t 0 e t
定义３.１.２
计数过程N t,t0称为参数为λ的
Poisson过程，如果：
（1） N00；
（2）过程有独立增量；
（3）在任一长度为t的时间区间中事件发生 的次数服从均值为λt的Poisson分布，即对 一切 s0,t0，有：
P N t s N s n e n t ! n , n 0 , 1 , 2 ,
N t 是强 3 的 P度 o过 is为 s 程 on
N 4 N 0 ~ P 3 4 P N 4 N 0 0 1 0 ! 0 e 2 1 2 e 12
事件发生时刻的条件分布
考虑n=1的情形，对于s≤t有：
P T 1 sN t 1PT P1N s;N t t11
第三章 Poisson过程
§3.1 Poisson过程
• 定义3.1.1
随机过程 N t,t0称为计数过程，如 果 Nt 表示从0到t时刻某一特定事件A发
生的次数，它具备以下两个特点：
（1） Nt0且取值为整数； （2） st 时，N sN t且 N tN s
表示 s,t 时间内事件A发生的次数。
Poisson的特性
平稳增量性。
由 E N tt ，知λ是单位时间内发和事件
的平均次数。 称λ为Poisson近程的强度或速率。
例3.1.1 售票处乘客以10人／小时的平均速率 到达，则9：00 ～10：00最多有5名乘客的 概率？10：00 ～11：00没有人的概率？
例3.1.2 保险公司接到的索赔次数
证明2 N t n T n t
P T n t P N t n etn
对上式两端对t求导，可得Tn 的密度函数为：
fnte tjt!je tjt 1 j !1
j n
j n
et tn1
n1!
nntn1et
定义3.2.1
计数过程 N t,t0是参数为λ的
N t 是强 3 的 P度 o过 is为 s 程 on
P N 4 N 0 n 1 n ! n e 2 12 P N 4 N 0 9 1 9 ! 9 e 2 12
例3.2.2
• 假定某天文台观测到的流星流是一个 Poisson过程，以往资料统计，平均每小时 观察到3颗流星，试求上午8：00 ～12：00 期间，该天文台没有观测到流星的概率？
N t,t0是Poisson过程。
反过来Poisson过程一定满足这四个条件。
例3.1.3
事件A的发生形成强度为λ的poisson过
程N t,t0，如果每次事件发生时以概率
p能够被记录下来，并以M（t）表示到时刻t
被记录下来的事件总数，则 M t,t0
是一个强度为λp的Poisson过程。
P M tm
• 设保险公司每次的赔付都是1，每月平均接 到的索赔要求是4次，则一年中它要付出的 金额平均是多少？
P N 1 2 N 0 n e 4 1 4 2 n 1 !n 2
E N 1 N 2 0 4 1 4 28
Poisson过程的等价定义
• 设 N t,t0是一个计数过程，它满足：
Poisson过程，如果每次事件发生的时间间
隔X1，X2， …， 相互独立，且服从同一
参数为λ的指数分布。
例3.2.1
• 设从早上8：00开始有无穷人排队，只有一 名服务员，且每人接受服务的时间是独立 的并服从均值为20min的指数分布，则到中 午12:00为止平均有多少人已经离去？已有 9人接受服务的概率是多少？
P M tm N tnm P N tnm
n0
C m m npm1pn m t m n n !et n0
et
ptm1ptn
m!n!
n0
e tp m !m t 1 n!ptne ptm p !t n 0
例3.1.4
设每条蚕产卵数服从poisson分布，强度 为λ，而每个卵变成成虫的概率为p，且每 个卵是否变成成虫彼此间没有关系，求在 时间[0，t]内每条蚕养活k条小蚕的概率。
(1)′ N(0)=0； (2)′ 过程有平稳独立增量；
(3)′ 存在λ＞0，当h↓0时有： P N t h N t 1 h o h
(4)′ 当h↓0时有：
P N t h N t 2 o h
定理3.1.1 满足上述条件(1) ′ ～(4) ′的计数过程
P X 1 t 1 e t
P X 2 t X 1 s P N s t N s 0 X 1 s
P N s t N s 0
et
定理3.2.1
Tn n1,2, 服从参数为n和λ的Γ分布。
证明：
n
Tn Xi
i1
Xi独立且服从相 同的指数分布
指数分布分n=1的Γ分布，且具有可 加性。定理得证。