随机过程课件4.2
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《数学随机过程》课件
《数学随机过程》PPT课 件
欢迎大家来到今天的课程，本PPT课件将介绍数学随机过程的定义、分类、 特性、应用领域及实例，带您领略数学随机过程的魅力。
数学随机过程的定义
数学随机过程是描述随机变量随时间或空间的变化规律的数学模型。
数学随机过程的分类
离散时间随机过程
在离散时间点上定义的随机变量序列。
马尔可夫过程
用于模拟金融资产的价格变化。
用于预测天气变化及气象灾害 风险。
交通流量
用于优化交通规划及道路设计。
数学随机过程的实例
泊松过程
用于描述随机事件的到达 过程，如电话呼叫的到达。
随机游走
用于模拟股票价格随机波 动。
排队论
用于研究服务系统中顾客 达到、等待和离开的规律。
总结和要点
数学随机过程是一种重要的数学工具，可以描述和分析不确定性的变化。
具有马尔可夫性质的随机过程。
连续时间随机过程
在连续时间上定义的随机变量函数。
布朗运动
具有连续、平稳、独立增量的随机过程。
数学随机过程的特性
1
随机性
随机过程的未来状态是不确定的。
2
独立增量
过程在不同时间间隔上的增量是相互独立的。
3
平稳性
统计特性在时间上保持不变。数学随机过程的应用领域
金融市场
天气预报
欢迎大家来到今天的课程，本PPT课件将介绍数学随机过程的定义、分类、 特性、应用领域及实例，带您领略数学随机过程的魅力。
数学随机过程的定义
数学随机过程是描述随机变量随时间或空间的变化规律的数学模型。
数学随机过程的分类
离散时间随机过程
在离散时间点上定义的随机变量序列。
马尔可夫过程
用于模拟金融资产的价格变化。
用于预测天气变化及气象灾害 风险。
交通流量
用于优化交通规划及道路设计。
数学随机过程的实例
泊松过程
用于描述随机事件的到达 过程，如电话呼叫的到达。
随机游走
用于模拟股票价格随机波 动。
排队论
用于研究服务系统中顾客 达到、等待和离开的规律。
总结和要点
数学随机过程是一种重要的数学工具，可以描述和分析不确定性的变化。
具有马尔可夫性质的随机过程。
连续时间随机过程
在连续时间上定义的随机变量函数。
布朗运动
具有连续、平稳、独立增量的随机过程。
数学随机过程的特性
1
随机性
随机过程的未来状态是不确定的。
2
独立增量
过程在不同时间间隔上的增量是相互独立的。
3
平稳性
统计特性在时间上保持不变。数学随机过程的应用领域
金融市场
天气预报
随机过程简介PPT课件
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X1(t) 在固定时刻读得各样本的瞬时波面高度
t X2(t)
t
Xk(t)
tj
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t
5ห้องสมุดไป่ตู้
给出随机过程的定义:设T是一无限实数集（例如海洋中 无数的波浪）, 把依赖于参数tT的一族(无限多个)随机变量 称为随机过程, 记为{X(t), tT}, 这里对每一个tT, X(t)是
•
自然界的事物都是变化着的，在经典物理学的研究中，我们多把事物的运动变化形式看作是可确知的，
例如自由落体运动的速度V(t)=gt;静水压力随水深的变化规律
• P(h)=γh.这些变化都是可以用确定的函数描述的，从而被称之为确定过程。
1
第1页/共12页
•
然而还有另外一种过程，在空间与时间上是高度不规则和不重复的物理现象，其变
10
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随机过程的不同描述方式在本质上是一致的. 在理论分 析时往往以随机变量族的描述方式作为出发点, 而在实际测量 和数据处理中往往采用样本函数族的描述方式。 这两种描述 方式在理论和实际两方面互补。
11
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感谢您的观看！
12
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程. 且它们的状态空间是(-, +).（连续型随机过程）
9
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例3设某城市的120急救电话台迟早会接到用户的呼叫, 以X(t) 表示时间间隔(0,t]内接到的呼叫次数, 它是一个随机变量, 且 对于不同的t0, X(t)是不同的随机变量. 于是, {X(t),t0}是
一随机过程. 且它的状态空间是{0,1,2,...}. （离散型随机过程）
程的一个样本函数：
通信原理-随机过程课件
一个随机过程在时间上是否具有某种 稳定的统计特性。如果一个随机过程 在长时间观察下表现出稳定的统计特 性，则称该随机过程具有遍历性。
遍历性的数学描述
对于一个随机过程，如果存在一个常 数$c$，使得对于任意的时间$t$，有 $E[X(t)]=c$，则称该随机过程具有遍 历性。其中$X(t)$表示在时刻$t$的随 机变量的取值。
标量乘法
标量乘法满足结合律和分 配律，即对于任意标量a 和任意随机过程X，有 a(X+Y)=aX+aY。
线性变换的应用
信号处理
在通信系统中，信号经常 需要进行线性变换以实现 调制、解调、滤波等操作 。
控制系统
在控制系统中，线性变换 被广泛应用于系统的分析 和设计，如传递函数、状 态方程等。
图像处理
在图像处理中，线性变换 被广泛应用于图像的增强 、滤波、变换等操作。
04
CATALOGUE
随机过程的平稳性
平稳性的定义
平稳性定义
一个随机过程如果对于任何正整数n，以及任何非负整数k，其n维联合分布函 数与n+k维联合分布函数相同，则称该随机过程是严平稳的。
数学表达式
若对于任意的正整数n和任意的非负整数k，都有P(X_1, X_2, ..., X_n) = P(X_1+k, X_2+k, ..., X_n+k)，则称随机过程{X_t}是严平稳的。
06
CATALOGUE
随机过程的功率谱密度
功率谱密度的定义
功率谱密度
表示随机信号的功率随频率的分布， 是描述随机信号频域特性的重要参数 。
定义方式
功率谱密度函数通常由傅里叶变换来 定义，将随机信号的时域表示转换为 频域表示。
遍历性的数学描述
对于一个随机过程，如果存在一个常 数$c$，使得对于任意的时间$t$，有 $E[X(t)]=c$，则称该随机过程具有遍 历性。其中$X(t)$表示在时刻$t$的随 机变量的取值。
标量乘法
标量乘法满足结合律和分 配律，即对于任意标量a 和任意随机过程X，有 a(X+Y)=aX+aY。
线性变换的应用
信号处理
在通信系统中，信号经常 需要进行线性变换以实现 调制、解调、滤波等操作 。
控制系统
在控制系统中，线性变换 被广泛应用于系统的分析 和设计，如传递函数、状 态方程等。
图像处理
在图像处理中，线性变换 被广泛应用于图像的增强 、滤波、变换等操作。
04
CATALOGUE
随机过程的平稳性
平稳性的定义
平稳性定义
一个随机过程如果对于任何正整数n，以及任何非负整数k，其n维联合分布函 数与n+k维联合分布函数相同，则称该随机过程是严平稳的。
数学表达式
若对于任意的正整数n和任意的非负整数k，都有P(X_1, X_2, ..., X_n) = P(X_1+k, X_2+k, ..., X_n+k)，则称随机过程{X_t}是严平稳的。
06
CATALOGUE
随机过程的功率谱密度
功率谱密度的定义
功率谱密度
表示随机信号的功率随频率的分布， 是描述随机信号频域特性的重要参数 。
定义方式
功率谱密度函数通常由傅里叶变换来 定义，将随机信号的时域表示转换为 频域表示。
随机过程的基本概念ppt课件
求X(t)的均值、均方值和方差。
.
2.3 平稳随机过程
三、相关系数及相关时间
也称为归一化协方差函 数或标准协方差函数。
相关系数： rX()KXX 2 ()RX()X 2mX 2
相关时间：
0
0 rX()d
rX ( )
1
rX(0) 0.05
0
0
相关时间示意图
.
2.3 平稳随机过程
三、相关系数及相关时间
为随机过程X(t)的二维概率分布。定义
fX(x1,x2,t1,t2)2FX(xx11,xx22,t1,t2)
为随机过程X(t)的二维概率密度。 注意：X(t1)及X(t2)为同一随机过程上的随机变量。
.
2.2 随机过程的统计描述
2、二维概率分布
例2、设随机相位信号
X (n )co s( n/1 0 )
.
2.2 随机过程的统计描述
二、随机过程的数字特征（连续）
• 协方差函数
K X ( t 1 , t 2 ) E { [ X ( t 1 ) m X ( t 1 ) ] [ X ( t 2 ) m X ( t 2 ) ] } （1）如果 KX(t1,t2)0，则称 X (t1 )和 X (t2 )是不相关的。
.
2.3 平稳随机过程
一、定义
(1)严格平稳随机过程
f X ( x 1 , ,x n ,t 1 , ,t n ) f X ( x 1 , ,x n ,t 1 , ,t n )
一维概率密度： fX(x,t)fX(x)
二维概率密度： fX (x 1 ,x 2 ,t1 ,t2 ) fX (x 1 ,x 2 ,) t1 t2
接收机噪声
5
x1(t) 0
.
2.3 平稳随机过程
三、相关系数及相关时间
也称为归一化协方差函 数或标准协方差函数。
相关系数： rX()KXX 2 ()RX()X 2mX 2
相关时间：
0
0 rX()d
rX ( )
1
rX(0) 0.05
0
0
相关时间示意图
.
2.3 平稳随机过程
三、相关系数及相关时间
为随机过程X(t)的二维概率分布。定义
fX(x1,x2,t1,t2)2FX(xx11,xx22,t1,t2)
为随机过程X(t)的二维概率密度。 注意：X(t1)及X(t2)为同一随机过程上的随机变量。
.
2.2 随机过程的统计描述
2、二维概率分布
例2、设随机相位信号
X (n )co s( n/1 0 )
.
2.2 随机过程的统计描述
二、随机过程的数字特征（连续）
• 协方差函数
K X ( t 1 , t 2 ) E { [ X ( t 1 ) m X ( t 1 ) ] [ X ( t 2 ) m X ( t 2 ) ] } （1）如果 KX(t1,t2)0，则称 X (t1 )和 X (t2 )是不相关的。
.
2.3 平稳随机过程
一、定义
(1)严格平稳随机过程
f X ( x 1 , ,x n ,t 1 , ,t n ) f X ( x 1 , ,x n ,t 1 , ,t n )
一维概率密度： fX(x,t)fX(x)
二维概率密度： fX (x 1 ,x 2 ,t1 ,t2 ) fX (x 1 ,x 2 ,) t1 t2
接收机噪声
5
x1(t) 0
随机过程课件.ppt
随机过程的统计描述 二 有限维分布族
两种描述
分布函数 特征数
设随机过程X (t),t T,对每一固定的t T ,随机变量X (t)的分布函数与t有关， 记为FX (x,t) PX (t) x，x R，称它为随机过程X (t),t T的一维分布函数 FX (x,t),t T称为一维分布函数族
为了描述随机过程在不同时刻状态之间的统计联系， 一般地，对任意n(n 2,3,L )个不同的时刻，t1,t2,L tn T
研究生课程
随机过程
汪荣鑫编 主讲教师：田ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ俊
2013年9月
第一章 随机过程基本概念
第1节 随机过程及其概率分布
1）随机过程概念 随机过程被认为是概率论的“动力学”部分，即
它的研究对象是随时间演变的随机现象，它是从 多维随机变量向一族(无限多个)随机变量的推广。
自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类： 确定性过程：事物变化的过程可用时间的确定函数表示；
4
x1 (t )
3
2
1
t1' t1 t2 t2' t3 t3' t4' t4
t
4
例5：考虑抛掷一颗骰子的试验：
(1) 设X n是第n次(n 1)抛掷的点数，对于n 1, 2,L 的不同值，
X n是随机变量，服从相同的分布，P( X n
i)
1 6
,i
1, 2,3, 4,5, 6
因而X n , n 1构成一随机过程，称为伯努利过程或伯努利随机序列,
它的状态空间为1,2,3,4,5,6。
(2) 设Yn是前n次抛掷中出现的最大点数,Yn , n 1也是
一随机过程，它的状态空间仍是1, 2,3, 4,5, 6。
随机过程PPT课件
4、自相关序列性质
◆ 若平稳随机序列不含任何周期分量，则
lim
m
RX
(m)
RX
()
mX2
lim
m
K
X
(m)
K
X
()
0
◆ 如果Y (n) X (n n0 )，其中n0为某一个固定的离散时刻， 则有RY (m) RX (m)，KY (m) KX (m)
◆ K X (m) RX (m) mX2
概率密度函数
2020/2/18
fX (x1, x2,L
, xN ;1, 2,L
, N)
N FX (x1, x2,L , xN ;1, 2,L x1x2 L xN
, N)
3
4.1 离散时间随机过程基本概念
二、概率分布
4、相互独立
FX (x1, x2 ,L , xN ;1, 2,L , N ) FX (x1;1)FX (x2; 2)L FX (xN ; N )
FXn (xn; n) xn
概率分布函数 FXn (xn, xm;n, m) PXn xn, Xm xm
概率密度函数
3、n维情况
fXn
( xn
,
xm ;
n,
m)
2 FXn
(xn , xm; xnxm
n,
m)
概率分布函数 FX (x1, x2,L , xN ;1, 2,L , N) PX1 x1, X2 x2,L , XN xN
线性独立的含义是随机序列X n和Ym中的任意两个随机变量都互不相关。
统计独立一定线性独立，反之不一定
2020/2/18
随机过程课件
。每个可能取的值称为一个状态。
对随机过程 {X (t) , t T} 进行一次试验 (即在 T 上进行一次全程观测) , 其结果是 t 的函数, 记为
x(t) , t T , 称它为随机过程的一个 样 本 函 数 或 样本曲线 .
所有不同的试验结果构成一族样本函数.
随机过程 总体
样本函数 个体
（4）连续参数、连续状态的随机过程。如例3，T=[0，∞]， 状态空间为[-∞，∞]。
离散参数的随机过程亦称为随机序列。
四、随机过程的分布函数族
给定随机过程 {X (t),t T}.
对固定的 t T, 随机变量 X (t) 的分布函数一 般与 t 有关, 记为 FX (x,t) P{X (t) x}, x R.
1 0.5
-4
-2
-0.5
2
4
-1
当t固定时,X(t)是随机变量,故{X(t), t>0}是一族随机变量。
另一方面，对随机变量 做一φ次试验得一个试验值 ，
就是一条样本曲线。X (t) a cos(0t )
二、随机过程的概念
1 定义 参数集：设T是实数轴 (, )上的一个子集，且包含无限多
个数。随机过程是一族随机变量，可用 {X (t),t T} 来表示。T称为 随机过程的参数集。
在次概数率是论一中个曾随指机出变，量在，单记位X时(t间)为内[0一,t]电内话的站呼接叫到次的数呼唤 次数可用一离散型随机变量 X()表示，且有
P{X() k} k e , k 0, 1,2, ,( 0)
k! 在[0，t]时间内接到的呼唤次数,这一随机变量可记为X(t)。
P{X(t) k} (t)k et , k 0, 1,2, ,( 0)
随机过程马尔科夫过程 ppt课件
3442马尔可夫链的状态分类ijij3542马尔可夫链的状态分类ii1称状态i为非常返的ii不返回到i期望值表示由i出发再返回到i的平均返回时间iinfiiii定义3642马尔可夫链的状态分类首达概率与n步转移概率有如下关系式定理44对任意状态iijij定义3742马尔可夫链的状态分类ijij3842马尔可夫链的状态分类引理42周期的等价定义gcdgcd例例4848设马尔可夫链的状态空间i123转移概率矩阵为求从状态1出发经n步转移首次到达各状态的概率3942马尔可夫链的状态分类121212124042马尔可夫链的状态分类同理可得11134142马尔可夫链的状态分类以下讨论常返性的判别与性质数列的母函数与卷积的卷积的母函数4242马尔可夫链的状态分类定理45状态i常返的充要条件为规定则由定理44iiiiii4342马尔可夫链的状态分类iiiiii4442马尔可夫链的状态分类4542马尔可夫链的状态分类ii同理ii4642马尔可夫链的状态分类定理47设i常返且有周期为d则其中ndiindii4742马尔可夫链的状态分类由定理47知对d的非整数倍数的nndiindiindii4842马尔可夫链的状态分类子序列所以d1从而i为非周期的i是遍历的ndiindiilim而由定理limlimndii4942马尔可夫链的状态分类状态的可达与互通状态i与状态j互通ij
输一局后输光）
2020/11/13
23
4.1 马尔可夫链与转移概率
( p q )u i pu i 1 qu i 1
p(ui1 ui ) q (ui ui1 )
ui1 ui
q p
(ui
ui1 )
i 1,2, , c 1
(1q)1,即 pq1
p
2
ui1ui uiui1ui1ui2 u1u0 ˆ
输一局后输光）
2020/11/13
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4.1 马尔可夫链与转移概率
( p q )u i pu i 1 qu i 1
p(ui1 ui ) q (ui ui1 )
ui1 ui
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ui1 )
i 1,2, , c 1
(1q)1,即 pq1
p
2
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证 由均方收敛准则知
l.i.m X (t ) X (t 0 )
t t0
定理4.2.1及均 方连续定义
lim E ( X ( s )X ( t )) E[ X ( t 0 )X ( t 0 )]
s ,t t 0
s ,t t0
即
lim R( s, t ) R(t 0 , t 0 ).
§4.2 随机过程的均方极限与均方连续 本节将二阶矩随机变量空间中的均方极 限概念引入二阶矩随机过程中,并引进均方 连续的概念. 一、二阶矩过程 二阶矩过程是一类重要的随机过程， 在物理、生物、通讯与控制、系统工程 与管理科学等方面，有广泛的应用.
电子科技大学
1）随机过程的概率性质由其分布函数族 完全确定，但在实际问题中很难确定出分 布函数族. 2）正态随机过程的一、二阶矩就能完全 确定其有限维分布. 3）不少实际问题通过对二阶矩的讨论就 足以了解过程的统计特征.
电子科技大学
1 2 1 2 A cos ( t s ) A cos , ( t s ) 2 2
二、二阶矩过程的均方极限 定义4.2.2 设{X(t), t∈T}是二阶矩过程, X∈H, 如果 lim d ( X ( t ), X ) lim X ( t ) X 0
电子科技大学
对任意t≥0在(t, t)处连续，维纳过程均方连续. 设随机过程 X(t)=W2(t), t≥0，其
均值函数为
自相关函数为
E[X(t)]=σ2t.
RX ( s, t ) 4 ( st 2 min 2 ( s, t ))
4 2
对任意t 0, RX ( t , t ) 3 t 是连续函数， 故X ( t )是均方连续过程 .
同理 1 过程X ( t ) tW ( )，对所有t 0均方连续 . t
电{X(t),t∈T}均 方连续，则其均值函数、方差函数也在T上连 续. 由定理4.1.5可得 思考题： 1)你认为关于随机过程的均方极限最本 质的性质是哪一条? 为什么?
2)均方连续随机过程的样本函数是否一 定是连续函数?
振幅A与角频率ω取常数，相位θ～U(－π, +π) 1 2 2 2 因 E X ( t ) A cos (t ) d A2 , t 0. 2 故 X(t)是一个二阶矩过程. 1 且 E { X ( t )} A cos( t ) d 0, 2 R( s, t ) E[ X ( t ) X ( s )] 1 2 A cos(t ) cos(s ) d ] 2
电子科技大学
t t0 t t0
X (t ) X 称X(t) 均方收敛于X,记为 l.i.m t t
0
注 l.i.m X ( t ) X成立的充分必要条件是
t t0
电子科技大学
对任意的数列{t k }, 若 t k t 0 ( k ), 有
l.i.m X ( t k ) X
k
电子科技大学
均方连续准则的重要性: 二阶矩过程的均方连续可由其相关函数的 普通意义下的连续性来确定. 均方连续的重要结论： 相关函数R(s, t)在对角线上连续. 推论1 二阶矩过程{X(t), t∈T}的相关函数 R(s,t) 对 t T 在点(t, t)处连续, 则它在T×T 上连续.
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s s0
电子科技大学
0
定理4.1.5之1)
lim E ( X ( s )X ( t )) E[ X ( s0 )X ( t 0 )]
s s0 t t0
即
lim R( s, t ) R( s0 , t 0 )
s s0 t t0
由s0, t0 的任意性知R(s, t)在T×T上连续. EX.2 {N(t), t≥0}为参数为λ的Poisson过程, 均值函数 m N ( t ) t ,
自相关函数 RN ( s, t ) min( s, t ) st
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2
在(t, t)处连续,故{N(t),t≥0}是均方连续过程.
N(t)
Poisson过程的每一条 样本函数都是跃度 为1 的阶梯函数
均方连续过程的样本函数可能不连续.. EX.3 设{W(t), t≥0}是参数为σ2的维纳过 程 ,其自相关函数 RW(s,t)=σ2min(s,t)
参见P163定 理1的证明.
定理4.2.3 二阶矩过程的均方连续
t
T
0
T
s
R(s, t)在整个区域 T×T上连续，等 价于在对角线上 连续.
证
R( s, t )对t T , 在( t , t )处连续
{X(t),t∈T}在T上均方连续
定理4.2.2
对s0 , t 0 T , 有
X (t ) X (t0 ) l.i.m X ( s ) X ( s0 ), l.i.m t t
l.i.m X (t ) X (t 0 )
t t0
若X(t)对 t T 都均方连续,称随机过程 {X(t) , t∈T} 是均方连续的.
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定理4.2.2 (均方连续准则) 二阶矩过程{X(t),t∈T}在t0∈T 处连续的充 分必要条件是{X(t),t∈T}的相关函数R(s,t) 在 (t0 , t0)处连续.
随机过程有类似随机变量序列 的均方收敛意义下的性质. 定理4.2.1(洛易夫均方收敛准则) X(t)在t0 处收敛的充分必要条件是极限
s ,t t0
lim E ( X ( s )X ( t )) 存在.
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二重极限
二、二阶矩过程的均方连续 定义4.2.3 称二阶矩过程{X(t), t∈T}在 t0∈T处均方连续,如果
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定义4.2.1 如过程XT={X( t ),t∈T},对任意 t∈T, 有 2 E{ X ( t ) }
称过程是二阶矩过程.. 二阶矩过程的均值函数和协方差函数一定存在. 注 随机变量矩性质: 高阶矩存在则低阶矩及其他同阶一定 存在. 正态过程是二阶矩过程.
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EX.1 余弦波过程X( t )=Acos(ωt+θ), t≥0.
l.i.m X (t ) X (t 0 )
t t0
定理4.2.1及均 方连续定义
lim E ( X ( s )X ( t )) E[ X ( t 0 )X ( t 0 )]
s ,t t 0
s ,t t0
即
lim R( s, t ) R(t 0 , t 0 ).
§4.2 随机过程的均方极限与均方连续 本节将二阶矩随机变量空间中的均方极 限概念引入二阶矩随机过程中,并引进均方 连续的概念. 一、二阶矩过程 二阶矩过程是一类重要的随机过程， 在物理、生物、通讯与控制、系统工程 与管理科学等方面，有广泛的应用.
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1）随机过程的概率性质由其分布函数族 完全确定，但在实际问题中很难确定出分 布函数族. 2）正态随机过程的一、二阶矩就能完全 确定其有限维分布. 3）不少实际问题通过对二阶矩的讨论就 足以了解过程的统计特征.
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1 2 1 2 A cos ( t s ) A cos , ( t s ) 2 2
二、二阶矩过程的均方极限 定义4.2.2 设{X(t), t∈T}是二阶矩过程, X∈H, 如果 lim d ( X ( t ), X ) lim X ( t ) X 0
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对任意t≥0在(t, t)处连续，维纳过程均方连续. 设随机过程 X(t)=W2(t), t≥0，其
均值函数为
自相关函数为
E[X(t)]=σ2t.
RX ( s, t ) 4 ( st 2 min 2 ( s, t ))
4 2
对任意t 0, RX ( t , t ) 3 t 是连续函数， 故X ( t )是均方连续过程 .
同理 1 过程X ( t ) tW ( )，对所有t 0均方连续 . t
电{X(t),t∈T}均 方连续，则其均值函数、方差函数也在T上连 续. 由定理4.1.5可得 思考题： 1)你认为关于随机过程的均方极限最本 质的性质是哪一条? 为什么?
2)均方连续随机过程的样本函数是否一 定是连续函数?
振幅A与角频率ω取常数，相位θ～U(－π, +π) 1 2 2 2 因 E X ( t ) A cos (t ) d A2 , t 0. 2 故 X(t)是一个二阶矩过程. 1 且 E { X ( t )} A cos( t ) d 0, 2 R( s, t ) E[ X ( t ) X ( s )] 1 2 A cos(t ) cos(s ) d ] 2
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t t0 t t0
X (t ) X 称X(t) 均方收敛于X,记为 l.i.m t t
0
注 l.i.m X ( t ) X成立的充分必要条件是
t t0
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对任意的数列{t k }, 若 t k t 0 ( k ), 有
l.i.m X ( t k ) X
k
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均方连续准则的重要性: 二阶矩过程的均方连续可由其相关函数的 普通意义下的连续性来确定. 均方连续的重要结论： 相关函数R(s, t)在对角线上连续. 推论1 二阶矩过程{X(t), t∈T}的相关函数 R(s,t) 对 t T 在点(t, t)处连续, 则它在T×T 上连续.
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s s0
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0
定理4.1.5之1)
lim E ( X ( s )X ( t )) E[ X ( s0 )X ( t 0 )]
s s0 t t0
即
lim R( s, t ) R( s0 , t 0 )
s s0 t t0
由s0, t0 的任意性知R(s, t)在T×T上连续. EX.2 {N(t), t≥0}为参数为λ的Poisson过程, 均值函数 m N ( t ) t ,
自相关函数 RN ( s, t ) min( s, t ) st
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2
在(t, t)处连续,故{N(t),t≥0}是均方连续过程.
N(t)
Poisson过程的每一条 样本函数都是跃度 为1 的阶梯函数
均方连续过程的样本函数可能不连续.. EX.3 设{W(t), t≥0}是参数为σ2的维纳过 程 ,其自相关函数 RW(s,t)=σ2min(s,t)
参见P163定 理1的证明.
定理4.2.3 二阶矩过程的均方连续
t
T
0
T
s
R(s, t)在整个区域 T×T上连续，等 价于在对角线上 连续.
证
R( s, t )对t T , 在( t , t )处连续
{X(t),t∈T}在T上均方连续
定理4.2.2
对s0 , t 0 T , 有
X (t ) X (t0 ) l.i.m X ( s ) X ( s0 ), l.i.m t t
l.i.m X (t ) X (t 0 )
t t0
若X(t)对 t T 都均方连续,称随机过程 {X(t) , t∈T} 是均方连续的.
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定理4.2.2 (均方连续准则) 二阶矩过程{X(t),t∈T}在t0∈T 处连续的充 分必要条件是{X(t),t∈T}的相关函数R(s,t) 在 (t0 , t0)处连续.
随机过程有类似随机变量序列 的均方收敛意义下的性质. 定理4.2.1(洛易夫均方收敛准则) X(t)在t0 处收敛的充分必要条件是极限
s ,t t0
lim E ( X ( s )X ( t )) 存在.
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二重极限
二、二阶矩过程的均方连续 定义4.2.3 称二阶矩过程{X(t), t∈T}在 t0∈T处均方连续,如果
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定义4.2.1 如过程XT={X( t ),t∈T},对任意 t∈T, 有 2 E{ X ( t ) }
称过程是二阶矩过程.. 二阶矩过程的均值函数和协方差函数一定存在. 注 随机变量矩性质: 高阶矩存在则低阶矩及其他同阶一定 存在. 正态过程是二阶矩过程.
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EX.1 余弦波过程X( t )=Acos(ωt+θ), t≥0.