随机过程课件4.2
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l.i.m X (t ) X (t 0 )
t t0
若X(t)对 t T 都均方连续,称随机过程 {X(t) , t∈T} 是均方连续的.
电子科技大学
定理4.2.2 (均方连续准则) 二阶矩过程{X(t),t∈T}在t0∈T 处连续的充 分必要条件是{X(t),t∈T}的相关函数R(s,t) 在 (t0 , t0)处连续.
同理 1 过程X ( t ) tW ( )，对所有t 0均方连续 . t
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定理4.2.4 若二阶矩随机过程{X(t),t∈T}均 方连续，则其均值函数、方差函数也在T上连 续. 由定理4.1.5可得 思考题： 1)你认为关于随机过程的均方极限最本 质的性质是哪一条? 为什么?
2)均方连续随机过程的样本函数是否一 定是连续函数?
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1 2 1 2 A cos ( t s ) A cos , ( t s ) 2 2
二、二阶矩过程的均方极限 定义4.2.2 设{X(t), t∈T}是二阶矩过程, X∈H, 如果 lim d ( X ( t ), X ) lim X ( t ) X 0
t t0 t t0
X (t ) X 称X(t) 均方收敛于X,记为 l.i.m t t
0
注 l.i.m X ( t ) X成立的充分必要条件是
t t0
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对任意的数列{t k }, 若 t k t 0 ( k ), 有
l.i.m X ( t k ) X
k
s s0
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0
定理4.1.5之1)
lim E ( X ( s )X ( t )) E[ X ( s0 )X ( t 0 )]
s s0 t t0
即
lim R( s, t ) R( s0 , t 0 )
s s0 t t0
由s0, t0 的任意性知R(s, t)在T×T上连续. EX.2 {N(t), t≥0}为参数为λ的Poisson过程, 均值函数 m N ( t ) t ,
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定义4.2.1 如过程XT={X( t ),t∈T},对任意 t∈T, 有 2 E{ X ( t ) }
称过程是二阶矩过程.. 二阶矩过程的均值函数和协方差函数一定存在. 注 随机变量矩性质: 高阶矩存在则低阶矩及其他同阶一定 存在. 正态过程是二阶矩过程.
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EX.1 余弦波过程X( t )=Acos(ωt+θ), t≥0.
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对任意t≥0在(t, t)处连续，维纳过程均方连续. 设随机过程 X(t)=W2(t), t≥0，其
均值函数为
自相关函数为
E[X(t)]=σ2t.
RX ( s, t ) 4 ( st 2 min 2 ( s, t ))
4 2
对任意t 0, RX ( t , t ) 3 t 是连续函数， 故X ( t )是均方连续过程 .
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均方连续准则的重要性: 二阶矩过程的均方连续可由其相关函数的 普通意义下的连续性来确定. 均方连续的重要结论： 相关函数R(s, t)在对角线上连续. 推论1 二阶矩过程{X(t), t∈T}的相关函数 R(s,t) 对 t T 在点(t, t)处连续, 则它在T×T 上连续.
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§4.2 随机过程的均方极限与均方连续 本节将二阶矩随机变量空间中的均方极 限概念引入二阶矩随机过程中,并引进均方 连续的概念. 一、二阶矩过程 二阶矩过程是一类重要的随机过程， 在物理、生物、通讯与控制、系统工程 与管理科学等方面，有广泛的应用.
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1）随机过程的概率性质由其分布函数族 完全确定，但在实际问题中很难确定出分 布函数族. 2）正态随机过程的一、二阶矩就能完全 确定其有限维分布. 3）不少实际问题通过对二阶矩的讨论就 足以了解过程的统计特征.
证 由均方收敛准则知
l.i.m X (t ) X (t 0 )
t t0
定理4.2.1及均 方连续定义
lim E ( X ( s )X ( t )) E[ X ( t 0 )X ( t 0 )]
s ,t t 0
s ,t t0
即
lim R( s, t ) R(t 0 , t 0 ).
自相关函数 RN ( s, t ) min( s, t ) st
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2
在(t, t)处连续,故{N(t),t≥0}是均方连续过程.
N(t)
Poisson过程的每一条 样本函数都是跃度 为1 的阶梯函数
均方连续过程的样本函数可能不连续.. EX.3 设{W(t), t≥0}是参数为σ2的维纳过 程 ,其自相关函数 RW(s,t)=σ2min(s,t)
振幅A与角频率ω取常数，相位θ～U(－π, +π) 1 2 2 2 因 E X ( t ) A cos (t ) d A2 , t 0. 2 故 X(t)是一个二阶矩过程. 1 且 E { X ( t )} A cos( t ) d 0, 2 R( s, t ) E[ X ( t ) X ( s )] 1 2 A cos(t ) cos(s ) d ] 2
随机过程有类似随机变量序列 的均方收敛意义下的性质. 定理4.2.1(洛易夫均方收敛准则) X(t)在t0 处收敛的充分必要条件是极限
s ,t t0
lim E ( X ( s )X ( t )) 存在.
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二重极限
二、二阶矩过程的均方连续 定义4.2.3 称二阶矩过程{X(t), t∈T}在 t0∈T处均方连续,如果
参见P163定 理1的证明.
定理4.2.3 二阶矩过程的均方连续
t
T
0
ຫໍສະໝຸດ Baidu
T
s
R(s, t)在整个区域 T×T上连续，等 价于在对角线上 连续.
证
R( s, t )对t T , 在( t , t )处连续
{X(t),t∈T}在T上均方连续
定理4.2.2
对s0 , t 0 T , 有
X (t ) X (t0 ) l.i.m X ( s ) X ( s0 ), l.i.m t t
t t0
若X(t)对 t T 都均方连续,称随机过程 {X(t) , t∈T} 是均方连续的.
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定理4.2.2 (均方连续准则) 二阶矩过程{X(t),t∈T}在t0∈T 处连续的充 分必要条件是{X(t),t∈T}的相关函数R(s,t) 在 (t0 , t0)处连续.
同理 1 过程X ( t ) tW ( )，对所有t 0均方连续 . t
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定理4.2.4 若二阶矩随机过程{X(t),t∈T}均 方连续，则其均值函数、方差函数也在T上连 续. 由定理4.1.5可得 思考题： 1)你认为关于随机过程的均方极限最本 质的性质是哪一条? 为什么?
2)均方连续随机过程的样本函数是否一 定是连续函数?
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1 2 1 2 A cos ( t s ) A cos , ( t s ) 2 2
二、二阶矩过程的均方极限 定义4.2.2 设{X(t), t∈T}是二阶矩过程, X∈H, 如果 lim d ( X ( t ), X ) lim X ( t ) X 0
t t0 t t0
X (t ) X 称X(t) 均方收敛于X,记为 l.i.m t t
0
注 l.i.m X ( t ) X成立的充分必要条件是
t t0
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对任意的数列{t k }, 若 t k t 0 ( k ), 有
l.i.m X ( t k ) X
k
s s0
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0
定理4.1.5之1)
lim E ( X ( s )X ( t )) E[ X ( s0 )X ( t 0 )]
s s0 t t0
即
lim R( s, t ) R( s0 , t 0 )
s s0 t t0
由s0, t0 的任意性知R(s, t)在T×T上连续. EX.2 {N(t), t≥0}为参数为λ的Poisson过程, 均值函数 m N ( t ) t ,
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定义4.2.1 如过程XT={X( t ),t∈T},对任意 t∈T, 有 2 E{ X ( t ) }
称过程是二阶矩过程.. 二阶矩过程的均值函数和协方差函数一定存在. 注 随机变量矩性质: 高阶矩存在则低阶矩及其他同阶一定 存在. 正态过程是二阶矩过程.
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EX.1 余弦波过程X( t )=Acos(ωt+θ), t≥0.
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对任意t≥0在(t, t)处连续，维纳过程均方连续. 设随机过程 X(t)=W2(t), t≥0，其
均值函数为
自相关函数为
E[X(t)]=σ2t.
RX ( s, t ) 4 ( st 2 min 2 ( s, t ))
4 2
对任意t 0, RX ( t , t ) 3 t 是连续函数， 故X ( t )是均方连续过程 .
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均方连续准则的重要性: 二阶矩过程的均方连续可由其相关函数的 普通意义下的连续性来确定. 均方连续的重要结论： 相关函数R(s, t)在对角线上连续. 推论1 二阶矩过程{X(t), t∈T}的相关函数 R(s,t) 对 t T 在点(t, t)处连续, 则它在T×T 上连续.
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§4.2 随机过程的均方极限与均方连续 本节将二阶矩随机变量空间中的均方极 限概念引入二阶矩随机过程中,并引进均方 连续的概念. 一、二阶矩过程 二阶矩过程是一类重要的随机过程， 在物理、生物、通讯与控制、系统工程 与管理科学等方面，有广泛的应用.
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1）随机过程的概率性质由其分布函数族 完全确定，但在实际问题中很难确定出分 布函数族. 2）正态随机过程的一、二阶矩就能完全 确定其有限维分布. 3）不少实际问题通过对二阶矩的讨论就 足以了解过程的统计特征.
证 由均方收敛准则知
l.i.m X (t ) X (t 0 )
t t0
定理4.2.1及均 方连续定义
lim E ( X ( s )X ( t )) E[ X ( t 0 )X ( t 0 )]
s ,t t 0
s ,t t0
即
lim R( s, t ) R(t 0 , t 0 ).
自相关函数 RN ( s, t ) min( s, t ) st
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2
在(t, t)处连续,故{N(t),t≥0}是均方连续过程.
N(t)
Poisson过程的每一条 样本函数都是跃度 为1 的阶梯函数
均方连续过程的样本函数可能不连续.. EX.3 设{W(t), t≥0}是参数为σ2的维纳过 程 ,其自相关函数 RW(s,t)=σ2min(s,t)
振幅A与角频率ω取常数，相位θ～U(－π, +π) 1 2 2 2 因 E X ( t ) A cos (t ) d A2 , t 0. 2 故 X(t)是一个二阶矩过程. 1 且 E { X ( t )} A cos( t ) d 0, 2 R( s, t ) E[ X ( t ) X ( s )] 1 2 A cos(t ) cos(s ) d ] 2
随机过程有类似随机变量序列 的均方收敛意义下的性质. 定理4.2.1(洛易夫均方收敛准则) X(t)在t0 处收敛的充分必要条件是极限
s ,t t0
lim E ( X ( s )X ( t )) 存在.
电子科技大学
二重极限
二、二阶矩过程的均方连续 定义4.2.3 称二阶矩过程{X(t), t∈T}在 t0∈T处均方连续,如果
参见P163定 理1的证明.
定理4.2.3 二阶矩过程的均方连续
t
T
0
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T
s
R(s, t)在整个区域 T×T上连续，等 价于在对角线上 连续.
证
R( s, t )对t T , 在( t , t )处连续
{X(t),t∈T}在T上均方连续
定理4.2.2
对s0 , t 0 T , 有
X (t ) X (t0 ) l.i.m X ( s ) X ( s0 ), l.i.m t t