有理数四则运算方法

有理数四则运算1、有理数的加法（1）符号相同的两数相加，和的符号与两个加数的符号一致，和的绝对值等于两个加数绝对值之和；+14+12=+|14+12|=+26 -15-14=-|15+14|=-29（2）符号相反的两数相加：当两个加数绝对值不等时，和的符号与绝对值较大的加数的符号相同，和的绝对值等于加数中较大的绝对值减去较小的绝对值；35+（-25）=+|35-25|=+1032+（-60）=-|60-32|=-28（3）互为相反的两个数相加得0；-26+（+26）=0（4）一个数同0相加，仍得这个数。

-26+0=-26 35+0=35注意：一个有理数由符号和绝对值两部分组成，所以进行加法运算时，必须分别确定和的符号和绝对值。

2、有理数的减法减去一个数，等于加上这个数的相反数。

例如：(-25)-(-17)= -25+17=-|25-17|=-814-（+35）=14+（-35）=-|35-14|=-21(-25)+(-17)可以写成省略括号的形式：14+12 -25-17，可以读作“正14加12减25减17”，也可以读作“正14、正12、负25、负17的和。

”在把有理数加减混合运算统一为最简的形式，负数前面的加号可以省略不写。

3、有理数的乘法（1）两数相乘，同号得正，异号得负。

任何数同0相乘，都得0；（＋２）×（＋３）＝＋６ （－２）×（－３）＝＋６（同号相乘得正）（－２）×（＋３）＝－６ （＋２）×（－３）＝－６（异号相乘得负）0×3=0； 0×(－3)=0； 2×0=0； (－2)×0=0．（任何数乘0都得0）（2）互为倒数的两个数乘积是1，符号相反的两个互为倒数的乘积是-1；65×56=1 （-65）×（-56）=1 65×（-56）=-1 （-65）×56=-1 （3）几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；（＋２）×（-３）×（-5）＝＋30 （负因数的个数是偶数积为正）（＋２）×（＋３）×（-5）＝-30 （负因数的个数是奇数积为负）（4）两个数相乘，交换因数的位置，积相等。

即 a b ＝b a（－２）×（＋３）＝（＋３）×（－２）（5）三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。

（a b ）c ＝a （bc ）（－２5）×（＋３）×（－4）＝（－２5）×（－4）×（＋３）（6）一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。

a （b ＋c ）＝a b ＋a c（－２5）×（4＋8）＝（－２5）×4＋（－２5）×（＋8）4、有理数的除法（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

72÷9=8 （-72）÷（-9）=8 （同号相除得正）（2）0除以任何一个不等于0的数，都得0。

0÷9=0 0÷（-9）=0（3）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

15÷65=15×56=18 15÷（-65）=15×(-56)=-18 （4）因为有理数的除法可以化为乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算。

乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。

例：-35÷87×(-43) 原式=-35×78×(-43) （变除为乘） =-40×(-43) （约分） = 305、有理数的乘方基本概念：n个相同的因数a相乘，即aaaa⋅⋅⋅⋅......，我们把它记作a n，表示n个a相乘。

这种求相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

在a n中，a叫做底数，n叫做指数，读作a的n次幂。

幂的运算：（1）正数的任何次幂都是正数；例：23=8 32=9（2）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；例：（-2）3=-8 （-2）2=4（3）0的任何正整数次幂都是0；例：02=0（4）任何不等于0数的0次幂都是1；例：20=1 （-2）0=1（5）任何不等于零的数的―p次幂，等于这个数的p次幂的倒数．例：（3）-2=231注：在同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂中底数均不为0．6、正整数指数幂公式a0=1 (a≠0)a1= a(a≠0)a m+a n= a m+n(m和n是正整数)（a m) n= a mn (m和n是正整数)（a b) n = a n b n (n 是正整数)a m ÷a n = a m ÷n (a ≠0,m 和n 是正整数,m>n)（ba ) n =n nb a (公式乘方公式，n 是正整数) a -n =n 1a(a ≠0, n 是正整数) 7、有理数的开方求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。

（1）平方根如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根。

a 是被开方数。

也即，x 2=a (a ≥0)时，我们称x 是a 的平方根，记做：x=a ±(0≥a 。

) 平方根的性质：A 一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；B 零有一个平方根，它是零本身；C 负数没有平方根。

开平方：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。

+3与-3的平方是9，9的平方根是+3和-3。

可见平方运算与开平方运算互为逆运算。

根据这种关系，我们可以通过平方运算来求一个数的平方根。

平方根的表示方法一个正数a的正的平方根，用符号“2a”表示，a叫做被开方数，2叫做根指数。

±”，其正数a的负的平方根用符号“﹣2a”表示，a的平方根合起来记作“2a中“2”读作“二次根号”，“2a”读作“二次根号下a”。

±”，当根指数为2时，通常将这个2省略不写，所以正数a的平方根也可记作“a读作“正、负根号a”。

因此：①当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；②当a>0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数。

x±=。

通常记做：a③当a<0时，也即a为负数时，它不存在平方根。

（2）算术平方根①如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“a”，读作，“根号a”。

其中，a称为被开方数。

特别规定：0的算术平方根仍然为0。

a(0≥a)。

②算术平方根的性质：具有双重非负性，即：0≥③算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。

因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a；而平方根具有两±。

个互为相反数的值，表示为：a（3）立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，a 叫做被开立方数。

立方根的性质：A ：正数有一个正立方根；例： 38=2 327=3 364=4 ……B ：负数有一个负立方根例：38-=-2 327-=-3 364-=-4 ……C ：零的立方根是零立方根的表示：数a 的立方根我们用符号3a 来表示，读作"三次根号a "，其中a 叫做被开方数，3叫做根指数，3且不能省略。

开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

开立方运算与立方运算是互逆运算。

如：32=27 则 327=3（-3）2=-27 则327 =-3重点：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数。

8、有理数混合运算的运算顺序（1）从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有理数的混合运算涉及多种运算，确定合理的运算顺序是正确解题的关键 例1：计算：3＋50÷22×(231)－1 原式=3＋50÷4×91－1 （先乘方运算） =3＋50×41×91－1 （变除为乘） =3＋1187－1 （再算乘法） =3187 （最后算加减） （2）从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的.例2：计算：-5－[-4+(1-0.2×51)÷(-2)] 原式=-5－[-4+(1-251)÷(-2)] （先算小括号中的乘法） =-5－[-4+2524÷(-2)] （再算小括号中的减法） =-5－[-4+（-2512）] （再算中括号中的除法）=-5－[-42512] （再算中括号中的加法） = -2513 （3）从左向右：同级运算，按照从左至右的顺序进行；例3：计算：(－32 )×(－1115 )－32 ×(－1315 )＋32 ×(－1415) 原式=1011 －（-1013）＋(－1014) （先算三个乘式） =1011 ＋ 1013 －1014 （再去掉数前面的符号） =1024－1014 （从左到右计算） =1。