经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷19
经济数学微积分课程期中模拟考试卷及答案
诚实考试吾心不虚 ，公平竞争方显实力， 考试失败尚有机会 ，考试舞弊前功尽弃。
《经济数学-微积分》课程期中模拟考试卷（A ）答案202 ——202 学年第一学期姓名学号班级题号 一二三四五六总分得分一、 单选题(每小题2分，共计10分)1.1=x 是函数xx f -=11arctan)(的 （ C ） A .连续点. B .可去间断点. C .跳跃间断点. D .无穷间断点.2.若1)0(='f ，则=--→hh f f h 3)()0(lim0（ B ） A . 0. B . 31. C . 3. D . 31-.3.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=.1,2;1,1|1|)(2x x x x x f 则在1=x 处函数)(x f （ A ）A . 不连续.B . 连续，但不可导.C . 可导，但导函数不连续.D . 可导，且导函数连续.4.设)(x f y =是由方程0ln =+y xy 确定的函数，则=dxdy（ C ） A . xy ln -. B . 2y -. C . 12+-xy y . D . xy y 12+-.5.设)(x f 在),(b a 内可导，),(0b a x ∈，若0)(0='x f ，则)(0x f （ D ）A . 是极大值.B .是极小值.C . 是拐点的纵坐标.D .可能是极值也可能不是极值.得分二、 填空题(每小题2分，共计10分)1. =+∞→)sin 1sin(lim xx x x x 1 .2. 设xx f 2)(=，则='-'→x f x f x )0()(lim0 2ln 2 . 3. 设xx f 211)(-=，则=)1()10(f !10210⋅- . 4. 设曲线2x y =的切线与曲线3x y =的切线相互垂直，则曲线2x y =上的点的横坐标=x 361- . 5. 函数x y cos =在23,2[ππ上符合罗尔定理结论中的=ξ π .三、计算题(每小题9分，共计54分)1. ])12()12(1531311[lim +⋅-++⋅+⋅∞→n n n .解: )12()12(1531311[lim +⋅-++⋅+⋅∞→n n n211211[21lim ]1211215131311[21lim =+-⋅=+--++-+-⋅=∞→∞→n n n n n .得分 得分2. 已知213)tan )(1ln(lim=-+→x x x x f ，求20)(lim x x f x →.解:由于3ln )(lim 3ln )(lim 3ln tan )(lim 13)tan )(1ln(lim220000x x f x x x f x x x f x x f x x x x x →→→→===-+=,所以3ln 2)(lim2=→x x f x 。
经济数学基础微分学部分综合练习及参考答案
微积分考试复习题一、单项选择题1．函数()1lg +=x xy 的定义域是（ D ）D ．1->x 且0≠x 2．下列各函数对中，D ）中的两个函数相等D x x x f 22cos sin )(+=，1)(=x g3．设xx f 1)(=，则=))((x f f （C ）． C ．x 4．下列函数中为奇函数的是（ C ）．C ．11ln +-=x x y 5．已知1tan )(-=x xx f ，当（A ）时，)(x f 为无穷小量.A. x →06．当+∞→x 时，下列变量为无穷小量的是（ D ．xxsin 7．函数sin ,0(),0xx f x x k x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在x = 0处连续，则k = ( C )．C ．18．曲线11+=x y 在点（0, 1）处的切线斜率为（A ）A ．21-9．曲线x y sin =在点(0, 0)处的切线方程为（ A ）．A. y = x10．设y x=l g 2，则d y =（B ）． B ．1d x x ln1011．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（B ）．B ．e x12．设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=，则需求弹性为E p =（B ）B ．--p p32二、填空题1．函数⎩⎨⎧<≤-<≤-+=20,105,2)(2x x x x x f 的定义域[-5，2]2．函数xx x f --+=21)5ln()(的定义域是(-5, 2 )．3．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f 62-x ．4．设21010)(xx x f -+=，则函数的图形关于y 轴对称．5．已知生产某种产品的成本函数为C (q ) = 80 + 2q ，则当产量q = 50时，该产品的平均成本为3.66．已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p ，其中p 为该商品的价格，则该商品的收入函数R (q ) = 45q – 0.25q 2．7. =+∞→x x x x sin lim18．已知xxx f sin 1)(-=，当0→x 时，)(x f 为无穷小量． 9. 已知⎪⎪⎨⎧=≠--=1111)(2x a x x x x f ，若f x ()在),(∞+-∞．内连续，则=a 2. 10．曲线y =)1,1(处的切线斜率是(1)0.5y '=．11．函数y x =-312()的驻点是x =112．需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(pp q -⨯=，则需求弹性为E p =2p - 三、计算题1．已知y xxx cos 2-=，求)(x y '．2．已知()2sin ln x f x x x =+，求)(x f '． 3．已知2s i n 2c o s x y x -=，求)(x y '．4．已知x x y 53e ln -+=，求)(x y '．5．已知x y cos 25=，求)2π(y '；6．设x x y x +=2cos e ，求y d 7．设x y x 5si n cos e +=，求y d ．8．设x x y -+=2t an 3，求y d ．四、应用题1．设生产某种产品x 个单位时的成本函数为：x x x C 625.0100)(2++=（万元）,求：（1）当10=x 时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量x 为多少时，平均成本最小？2．某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为q p=-100010（q 为需求量，p 为价格）试求（1）成本函数，收入函数（2）产量为多少吨时利润最大？3．某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C (q ) = 20+4q +0.01q 2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q （元/件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？4．某厂每天生产某种产品q 件的成本函数为9800365.0)(2++=q q q C （元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？5．已知某厂生产q 件产品的成本为C q q q()=++25020102（万元）．问要使平均成本最少应生产多少件产品？三、计算题1．解：2cos sin cos ()(2)2ln 2x x x x x x y x x x --''=-=-2sin cos 2ln 2xx x x x +=+ 2．解xx x x f x x 1cos 2sin 2ln 2)(++⋅='3．解)(cos )2(2sin )(22'-'-='x x x y x x 2cos 22ln 2sin 2x x x x --=4．解：)5(e )(ln ln 3)(52'-+'='-x x x x y xx xx525e ln 3--= 5．解：因为5ln 5sin 2)cos 2(5ln 5)5(cos 2cos 2cos 2x x x x x y -='='='所以5ln 25ln 52πsin 2)2π(2πcos 2-=⋅-='y6．解：因为212cos 23)2sin (e 2x x y x +-='所以x x x y xd ]23)2sin (e 2[d 212cos +-=7．解：因为)(cos cos 5)(sin e 4sin '+'='x x x y x x x x x sin cos 5cos e 4sin -=所以x x x x y x d )sin cos 5cos e (d 4sin -=8解：因为)(2ln 2)(cos 1332'-+'='-x x x y x 2ln 2cos 3322xx x --=所以x xx y x d )2ln 2cos 3(d 322--=四、应用题1．解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为x x x C 625.0100)(2++=625.0100)(++=x xx C ，65.0)(+='x x C 所以，1851061025.0100)10(2=⨯+⨯+=C 5.1861025.010100)10(=+⨯+=C ，116105.0)10(=+⨯='C （2）令025.0100)(2=+-='xx C ，得20=x （20-=x 舍去）因为20=x 是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当=x 20时，平均成本最小.2．解（1）成本函数C q ()= 60q +2000．因为q p =-100010，即p q =-100110， 所以收入函数R q ()=p ⨯q =(100110-q )q =1001102q q -． （2）因为利润函数L q ()=R q ()-C q () =1001102q q--(60q +2000) = 40q -1102q -2000 且'L q ()=(40q -1102q -2000')=40- 0.2q 令'L q()= 0，即40- 0.2q = 0，得q = 200，它是L q ()在其定义域内的唯一驻点．所以，q = 200是利润函数L q ()的最大值点，即当产量为200吨时利润最大．3.（1）由已知201.014)01.014(q q q q qp R -=-==利润函数22202.0201001.042001.014q q q q q q C R L --=----=-=则q L 04.010-='，令004.010=-='q L ，解出唯一驻点250=q .因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大，（2）最大利润为1230125020250025002.02025010)250(2=--=⨯--⨯=L （元） 4．解因为()9800()0.536C q C q q q q==++(0)q > 298009800()(0.536)0.5C q q q q''=++=- 令()0C q '=，即0598002.-q =0，得q 1=140，q 2= -140（舍去）.q 1=140是C q ()在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值. 所以q 1=140是平均成本函数C q ()的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件. 此时的平均成本为9800(140)0.514036176140C =⨯++=（元/件） 5．解因为C q ()=C q q()=2502010q q ++'C q ()=()2502010qq++'=-+2501102q令'C q ()=0，即-+=25011002q ，得150q =，q 2=-50（舍去），q 1=50是C q ()在其定义域内的唯一驻点．所以，q 1=50是C q ()的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品． 积分学一、单项选择题1．在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（A ．y = x 2 + 3 2．下列等式不成立的是（A ．)d(e d e x x x = 3．若c x x f x +-=-⎰2ed )(，则)(x f '=（D .2e 41x--4．下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（C ．⎰x x x d 2sin 5. 若c x x f xx+-=⎰11e d e )(，则f (x ) =（ C ．21x 6.若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则下列等式成立的是( B ．)()(d )(a F x F x x f xa -=⎰7．下列定积分中积分值为0的是（A ．x xx d 2e e 11⎰---8．下列定积分计算正确的是（D ．0d sin =⎰-x x ππ9．下列无穷积分中收敛的是（ C ．⎰∞+12d 1x x10．无穷限积分 ⎰∞+13d 1x x =（C ．21二、填空题1．=⎰-x x d e d 2x x d e 2-2．函数x x f 2sin )(=的原函数是-21cos2x + c (c 是任意常数)3．若)(x f '存在且连续，则='⎰])(d [x f )(x f '4．若c x x x f ++=⎰2)1(d )(，则=)(x f )1(2+x5．若c x F x x f +=⎰)(d )(，则x f xx)d e (e --⎰=c F x+--)e ( 6．=+⎰e12dx )1ln(d d x x7．积分=+⎰-1122d )1(x x x08．无穷积分⎰∞++02d )1(1x x 是收敛的．（判别其敛散性） 9．设边际收入函数为R '(q ) = 2 + 3q ，且R (0) = 0，则平均收入函数为2 + q 23三、计算题1．⎰+-x x x d 242解⎰+-x x x d 242=(2)d x x -⎰=2122x x c -+ 2．计算⎰x x x d 1sin 2 解 c x x x x xx +=-=⎰⎰1cos )1(d 1sin d 1sin23．计算⎰x xx d 2解c x xxxx x +==⎰⎰22ln 2)(d 22d 24．计算⎰x x x d sin 解 c x x x x x x x x x x ++-=+-=⎰⎰sin cos d cos cos d sin5．计算⎰+x x x d 1)ln (解⎰+x x x d 1)ln (=⎰+-+x xx x x d 1)(21ln 1)(2122=c x x x x x +--+4)ln 2(21226．计算 x x x d e 2121⎰解 x x xd e 2121⎰=21211211e e e )1(d e -=-=-⎰x xx7．2e 1x ⎰解 x x x d ln 112e 1⎰+=)ln d(1ln 112e 1x x++⎰=2e 1ln 12x +=)13(2- 8．x x x d 2cos 2π⎰ 解：x x x d 2cos 20⎰π=22sin 21πx x -x x d 2sin 2120⎰π=202cos 41πx =21-9．x x d )1ln(1e 0⎰-+ 解法一 x x x x x x x d 1)1ln(d )1ln(1e 01e 01e 0⎰⎰---+-+=+ =x x d )111(1e 1e 0⎰-+--- =1e 0)]1ln([1e -+---x x ＝e ln =1四、应用题1．投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为)(x C '=2x + 40(万元/百台).试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.解 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量⎰+=∆64d )402(x x C =642)40(x x +=100（万元）又 xc x x C x C x⎰+'=00d )()(=x x x 36402++ =x x 3640++ 令 0361)(2=-='xx C ， 解得6=x .x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.2．已知某产品的边际成本C '(x )=2（元/件），固定成本为0，边际收益R '(x )=12-0.02x ，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？解 因为边际利润)()()(x C x R x L '-'='=12-0.02x –2 = 10-0.02x 令)(x L '= 0，得x = 500x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为500件时，利润最大.当产量由500件增加至550件时，利润改变量为5505002550500)01.010(d )02.010(x x x x L -=-=∆⎰ =500 - 525 = - 25 （元）即利润将减少25元.3．生产某产品的边际成本为C '(x )=8x (万元/百台)，边际收入为R '(x )=100-2x （万元/百台），其中x 为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？解 L '(x ) =R '(x ) -C '(x ) = (100 – 2x ) – 8x =100 – 10x 令L '(x )=0, 得 x = 10（百台）又x = 10是L (x )的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10是L (x )的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大.又 x x x x L L d )10100(d )(12101210⎰⎰-='=20)5100(12102-=-=x x 即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元.4．已知某产品的边际成本为34)(-='q q C (万元/百台)，q 为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本.解：因为总成本函数为⎰-=q q q C d )34()(=c q q +-322当q = 0时，C (0)= 18，得 c =18 即 C (q )=18322+-q q 又平均成本函数为 qq q q C q A 1832)()(+-== 令 0182)(2=-='qq A ， 解得q = 3(百台) 该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当q = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为9318332)3(=+-⨯=A (万元/百台)5．设生产某产品的总成本函数为 x x C +=3)((万元)，其中x 为产量，单位：百吨．销售x 百吨时的边际收入为x x R 215)(-='（万元/百吨），求：(1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？解：(1) 因为边际成本为 1)(='x C ，边际利润)()()(x C x R x L '-'=' = 14 – 2x 令0)(='x L ，得x = 7 由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L (x )的极大值点，也是最大值点.因此，当产量为7百吨时利润最大.(2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为87287)14(d )214(x x x x L -=-=∆⎰ =112–64 – 98 + 49 = -1 （万元）即利润将减少1万元.线性代数一、单项选择题1．设A 为23⨯矩阵，B 为32⨯矩阵，则下列运算中（ ）可以进行.A ．AB2．设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ B .T T T )(A B AB = 3．以下结论或等式正确的是（ ）．C ．对角矩阵是对称矩阵4．设A 是可逆矩阵，且A A B I +=，则A -=1（ C .I B + 5．设)21(=A ，)31(-=B ，I 是单位矩阵，则I B A -T ＝（ D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5232 6．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=314231003021A ，则r (A ) =（ C ．2 7．设线性方程组b AX =的增广矩阵通过初等行变换化为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--00000120004131062131，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ A ．18．线性方程组⎩⎨⎧=+=+012121x x x x 解的情况是（ A . 无解9．若线性方程组的增广矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01221λA ，则当λ＝（ ）时线性方程组无解B ．1210. 设线性方程组b X A n m =⨯有无穷多解的充分必要条件是（ D ．n A r A r <=)()( 11．设线性方程组AX=b 中，若r (A , b ) = 4，r (A ) = 3，则该线性方程组（ B ．无解正确答案：B12．设线性方程组b AX =有唯一解，则相应的齐次方程组O AX =（C ．只有零解 二、填空题1．若矩阵A = []21-，B = []132-，则A T B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---264132 2．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=3421A ，I 为单位矩阵，则T)(A I -＝：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2240 3．设B A ,均为n 阶矩阵，则等式2222)(B AB A B A +-=-成立的充分必要条件是B A ,是可交换矩阵4．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=13230201a A ，当a = 0 时，A 是对称矩阵.5．设B A ,均为n 阶矩阵，且)(B I -可逆，则矩阵X BX A =+的解X =A B I 1)(-- 6．设A 为n 阶可逆矩阵，则r (A )= n ．7．若r (A , b ) = 4，r (A ) = 3，则线性方程组AX = b 无解．8．若线性方程组⎩⎨⎧=+=-002121x x x x λ有非零解，则=λ—1 9．设齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A ，且秩(A ) = r < n ，则其一般解中的自由未知量的个数等于n –r10. 已知齐次线性方程组O AX =中A 为53⨯矩阵，且该方程组有非0解，则≤)(A r 3 ．11．齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=000020103211A 则此方程组的一般为为⎩⎨⎧=--=4243122x x x x x (其中43,x x 是自由未知量)12．设线性方程组b AX =，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-→010********1t A ：t 1-≠时，方程组有唯一解.三、计算题1．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-01241121，求逆矩阵1-A ． 解 因为(AI ) =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-120001010830210411100010001012411210⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→123124112200010001123001011200210201⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→21123124112100010001 所以 A -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----211231241122．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121511311，求逆矩阵1)(-+A I ． 解 因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+021501310A I 且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-110520001310010501100021010501001310⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→112100001310010501⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→1121003350105610001 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=+-1123355610)(1A I 3．设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321，计算(BA )-1．解 因为BA =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2435(BAI )=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1024111110240135⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→54201111⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--→2521023101所以(BA )-1=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--252231 4．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3221,5321B A ，求解矩阵方程B XA =．解：因为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡10530121⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→13100121⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→13102501 即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-132553211所以，X =153213221-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡13253221= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1101 5．设线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+--=+052231232132131x x x x x x x x ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况.解 因为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=211011101201051223111201A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→300011101201 所以 r (A ) = 2，r (A ) = 3. 又因为r (A )≠r (A )，所以方程组无解.6．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+-=-+03520230243214321431x x x x x x x x x x x 的一般解． 解 因为系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=111011101201351223111201A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000011101201 所以一般解为⎩⎨⎧-=+-=4324312x x x x x x （其中3x ，4x 是自由未知量）7．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=+-126142323252321321321x x x x x x x x x 的一般解． 解 因为增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=1881809490312112614231213252A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→0000194101101 所以一般解为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=1941913231x x x x （其中3x 是自由未知量）8．设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-0830352023321321321x x x x x x x x x λ问λ取何值时方程组有非零解，并求一般解 因为系数矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---61011023183352231λλ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→500110101λ 所以当λ = 5时，方程组有非零解. 且一般解为⎩⎨⎧==3231x x xx （其中3x 是自由未知量）9．当λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++1542131321321x x x x x x x x λ有解？并求一般解.解 因为增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=26102610111115014121111λλA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→λ00026101501 所以当λ=0时，线性方程组有无穷多解， 且一般解为：⎩⎨⎧+-=-=26153231x x x x (x 3是自由未知量〕 经济数学基础11年秋季学期模拟试卷一、单项选择题1．B 2.A 3. D 4.C 5. C1．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ B ）．B ．e x 2．曲线11+=x y 在点（0, 1）处的切线斜率为（A ）．A ．21-3．下列定积分计算正确的是（D ）． D ．0d sin =⎰-x x ππ4．设B A ,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ C ）C ．111)(---=A B AB5．设线性方程组b AX =有唯一解，则相应的齐次方程组O AX =（C ） C ．只有零解 二、填空题6．函数⎩⎨⎧<≤-<≤-+=20,105,2)(2x x x x x f 的定义域是[-5, 2)． 7．求极限 =+∞→x xx x sin lim1 . 8．若)(x f '存在且连续，则='⎰])(d [x f )(x f '．9．设B A ,均为n 阶矩阵，则等式2222)(B AB A B A +-=-成立的充分必要条件是BA AB =．10．设齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A ，且r (A ) = r < n ，则其一般解中的自由未知量的个数等于n -r三、微积分计算题11．设xx y -+=2tan 3，求y d ． 12．计算积分 x x x d 2cos 20⎰π．四、代数计算题13．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---112401211，计算1)(-+A I ．14．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=+-5532342243214321421x x x x x x x x x x x 的一般解． 五、应用题15．某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C (q ) = 20+4q +0.01q 2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q （元/件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？三、微积分计算题11．解：因)(2ln 2)(cos 1332'-+'='-x x x y x 2ln 2cos 3322xx x --=所以x xx y x d )2ln 2cos 3(d 322--=12．解：x x x d 2cos 20⎰π=22sin 21πx x -x x d 2sin 2120⎰π=22cos 41πx =21-四、线性代数计算题13．解：因为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+012411210A I 且 (I +AI )=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-12000101083021041110001000101241121⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→12312411220001000112300101120021021⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→21123124112100010001所以 1)(-+A I =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----2112312411214．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---131101311021011551323412121011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000001311012101000001311021011 故方程组的一般解为：1342342131x x x x x x =++⎧⎨=+-⎩(x 3，4x 是自由未知量〕五、应用题15．解：（1）由已知201.014)01.014(q q q q qp R -=-== 利润函数22202.0201001.042001.014q q q q q q C R L --=----=-= 则q L 04.010-='，令004.010=-='q L ，解出唯一驻点250=q .因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大，（2）最大利润为1230125020250025002.02025010)250(2=--=⨯--⨯=L （元）经济数学基础一、单项选择 1.C 2.D 3.B 4.A 5.D 1.下列函数中为奇函数的是（ C ）．(C) 11ln+-=x x y 2.设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=，则需求弹性为=p E3.下列无穷积分中收敛的是(B) ⎰∞+12d 1x x 4.设A 为23⨯矩阵，B 为32⨯矩阵，则下列运算中（ A ）可以进行．(A) AB5.线性方程组⎩⎨⎧=+=+012121x x x x 解的情况是 D) 无解二、填空题 6.函数24)(2--=x x x f 的定义域是),2(]2,(∞+--∞7.函数1()1e xf x =-的间断点是0=x 8.若cx F x x f +=⎰)(d )(，则=⎰--x f x x d )e (e c F x +--)e (． 9.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=13230201aA ，当=a 0 时，A 是对称矩阵10.若线性方程组⎩⎨⎧=+=-002121x x x x λ有非=三、微积分计算题1.设x y x5cos 3+=，求y d ． 2. 计算定积分⎰e1d ln x x x ．四、线性代数计算题11. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211010,211001B A ，求1T )(-A B ．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211010,211001B A ，求1T )(-A B ．12.求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+-=-+03520230243214321431x x x x x x x x x x x 的一般解．五、应用题15.生产某产品的总成本为x x C +=3)(（万元），其中x 为产量，单位：百吨．边际收入为x x R 215)(-='（万元/百吨），求：(1) 利润最大时的产量； (2) 从利润最大时的产量再生产1百吨，利润有什么变化？三、微积分计算题）11. 解：由微分四则运算法则和微分基本公式)(cos d )3(d )cos 3(d d 55x x y x x +=+=)(cos d cos 5d 3ln 34x x x x +=x x x x x d cos sin 5d 3ln 34-=x x x x d )cos sin 53ln 3(4--=12. 解：由分部积分法得⎰⎰-=e 12e12e1)d(ln 21ln 2d ln x x x x x x x 414e d 212e 2e 12+=-=⎰x x四、线性代数计算题13. 解：因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3121211001211100T A B 所以由公式⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⨯-⨯-=-11231123)1(23)1(1)(1T A B 14. 解：因为系数矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=111011101201351223111201A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000011101201 所以一般解为⎩⎨⎧-=+-=4324312x x x x x x （其中3x ，4x 是自由未知量） 五、应用题）15.解：（1）因为边际成本1)(='x C ，边际利润'='-'L x R x C x ()()()x x 2141215-=--=令'=L x ()0 得 7=x （百吨）又7=x 是L x ()的唯一驻点，根据问题的实际意义可知L x ()存在最大值，故7=x 是L x ()的最大值点，即当产量为7（百吨）时，利润最大． 16.x x x x L L d )214(d )(8787⎰⎰-='=1)14(872-=-=x x即从利润最大时的产量再生产1百吨，利润将减少1万元． 1 经济数学基础09秋模拟试卷一、单项选择题1．函数()1lg +=x xy 的定义域是（ D ）． D ．1->x 且0≠x2．函数sin ,0(),0xx f x x k x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在x = 0处连续，则k = ( C ．1 3．下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ C ．⎰x x x d 2sin4．设A 为23⨯矩阵，B 为32⨯矩阵，则下列运算中（ A ）可以进行A ．AB5. 设线性方程组b AX =的增广矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------124220621106211041231，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ B ．2 二、填空题（ 6．设函数2)1(2++=+x x x f ，则42+x7．设某商品的需求函数为2e 10)(p p q -=，则需求弹性=p E 2p - 8．积分 =+⎰-1122d )1(x x x0 ．9．设B A ,均为n 阶矩阵，)(B I -可逆，则矩阵方程X BX A =+的解X =1)(--B I ． 10. 已知齐次线性方程组O AX =中A 为53⨯矩阵，则≤)(A r 3 ． 三、微积分计算题11．设x x y x +=cos e ，求y d ． 12．计算积分 ⎰x x x d 1sin 2．四、代数计算题 13．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121511311，计算 1)(-+A I ． 14．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=--1261423623352321321321x x x x x x x x x 的一般解．五、应用题15．已知某产品的边际成本为34)(-='q q C (万元/百台)，q 为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本. 三、微积分计算题11．解：212co s 23co s 23)sin (e)()(cos ex x x x y xx+-='+'='x x x y x d )e sin 23(d 2cos 21-=12．解： c x x x x xx +=-=⎰⎰1cos )1(d 1sin d 1sin2四、线性代数计算题13．解：因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+021501310A I 且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-110520001310010501100021010501001310⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→11210000131001501⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→1121003350105610001 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=+-1123355610)(1A I 14．解：因为增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=18181809990362112614236213352A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000011101401 所以一般解为 ⎩⎨⎧+=+=1143231x x x x （其中3x 是自由未知量） 五、应用15．解：因为总成本函数为 ⎰-=q q q C d )34()(=c q q +-322 当q = 0时，C (0)= 18，得 c =18，即C (q )=18322+-q q 又平均成本函数为 qq q q C q A 1832)()(+-== 令 0182)(2=-='qq A ， 解得q = 3(百台) 该问题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为9318332)3(=+-⨯=A (万元/百台)经济数学基础09秋模拟试卷2一、单项选择题1．下列各函数对中，（ D ）中的两个函数相等．D ．x x x f 22cos sin )(+=，1)(=x g2．当+∞→x 时，下列变量为无穷小量的是（ C ．21e x -3．若c x x f xx+-=⎰11e d e )(，则f (x ) =（ C ．21x4．设A 是可逆矩阵，且A A B I+=，则A -=1（ A ．B 5．设线性方程组b X A n m =⨯有无穷多解的充分必要条件是（ B ．nA r A r <=)()(二、填空题6．已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p ，其中p 为该商品的价格，则该商品的收入函数R (q ) =42+x7．曲线y =)1,1(处的切线斜率是2p -8．=+⎰x x xd )1ln(d d e12 09．设A 为n 阶可逆矩阵，则r (A )=1)(--B I10．设线性方程组b AX =，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-→010********1t A ，则t 3时，方程组有唯一解． 三、微积分计算题11．设x y x 5sin cos e +=，求y d ． 12．计算积分 ⎰e1d ln x x x ．四、代数计算题13．设矩阵 A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021201，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡142136，计算(AB )-1． 14．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+-=-+03520230243214321431x x x x x x x x x x x 的一般解．五、应用题15．设生产某种产品q 个单位时的成本函数为：qq q C 625.0100)(2++=（万元）,求：（1）当10=q 时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量q 为多少时，平均成本最小？三、微积分计算题 四、解：212cos 23cos 23)sin (e)()(cos ex x x x y xx+-='+'='x x x y x d )e sin 23(d 2cos 21-=12．解： c x x x x x x +=-=⎰⎰1cos )1(d 1sin d 1sin2四、线性代数计算题13．解：因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+021501310A I 且 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-110520001310010501100021010501001310 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→112100001310010501⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→1121003350105610001 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=+-1123355610)(1A I 14．解：因为增广矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=18181809990362112614236213352A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000011101401 所以一般解为 ⎩⎨⎧+=+=1143231x x x x （其中3x 是自由未知量） 五、应用题15．解：因为总成本函数为⎰-=q q q C d )34()(=c q q +-322 当q = 0时，C (0)= 18，得 c =18，即 C (q )=18322+-q q 又平均成本函数为q q q q C q A 1832)()(+-==令 0182)(2=-='qq A ， 解得q = 3(百台) 该问题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为9318332)3(=+-⨯=A (万元/百台)经济数学基础期末模拟练习（二） 一、单项选择题 1.B 2.C 3.D 4.C 5.B 6.A 7.D 8.C 9.B10.A1.下列各对函数中，（ ）中的两个函数相同． (B) 1)(,cos sin )(22=+=x g x x x f2.当1→x 时，下列变量中的无穷小量是 (C) 1122+-x x3.若)(x f 在点0x 有极限，则结论（ ）成立 (D) )(x f 在点0x 可能没有定义4.下列函数中的单调减函数是（ ） (C) x y -=5.下列等式中正确的是（ ） (B) )cos d(d sin x x x -=6.若F x ()是f x ()的一个原函数，则=⎰--x f x x d )e (e （ ）．(A) c F x +--)e (7.设A B ,为随机事件，下列等式成立的是（ ）． (D) )()()(AB P A P B A P -=- 8.已知)2,2(~2N X ，若)1,0(~N b aX +，那么（ ）． (C) 1,21-==b a 9.设A 是n s ⨯矩阵，B 是m s ⨯矩阵，则下列运算中有意义的是（ (B) T AB 10.n 元线性方程组A Xb =有解的充分必要条件是（ ）． (A) 秩=A 秩)(A 二、填空题11.2sin 2+x 12. 减少 13.x cot -14.7.1 15.1 11.若函数2)(2+=x x f ，x x g sin )(=，则=))((x g f 12.函数x x f ln )(-=在区间),0(∞+内单调13.=⎰x xd sin 12． 14.设随机变量⎥⎦⎤⎢⎣⎡3.01.06.0210~X ，则=+)1(X E ． 15.当λ=时，方程组⎩⎨⎧-=--=+112121x x x x λ有无穷多解．三、极限与微分计算题16.求极限xx x 21sin 1lim 0-+→．17.由方程x y x y ln sin =+确定y是x 的隐函数，求y d ．四、积分计算18.计算积分⎰41d ex xx19.求微分方程xx x y y sin =+'的通解． 五、概率计算题 20.已知5.0)(=A P ，3.0)(=B A P ，求)(B A P +．21.设随机变量)9,3(~N X ，求)120(<≤X P ．（已知ΦΦ().,().108413209772==，Φ().309987=） 六、代数计算题 22.已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=244213001,543322011B A ，求1)(--B A ． 23.求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=+-5532342243214321421x x x x x x x x x x x七、应用题24.厂家生产一种产品的需求函数为p q 80720-=（单位：件）而生产q 件该产品时的成本函数为1604)(+=q q C （单位：元）问生产多少件产品时厂家获得的利润最大？八、证明题25.设A 为矩阵，证明T AA 是对称矩阵．三、极限与微分计算题 16. 解：利用重要极限的结论和极限运算法则得)1sin 1(2)1sin 1)(1sin 1(lim21sin 1lim00++++-+=-+→→x x x x x x x x )1sin 1(2sin lim 0++=→x x x x 41= 17. 解：等式两端同时求微分得 左)sin (d d )sin (d y x y y x y +=+=y y x x y y y x x y y d cos d sin d )(sin d d sin d ++=++= 右x xx d 1)(ln d ==由此得x x y y x x y y d 1d cos d sin d =++ 整理得 x yx yx y d cos 1sin 1d +-= 18. 解：利用积分的性质和凑微分法得⎰⎰=4141)(d 2e d ex x xxx⎰==21212ed 2e u uu )e 2(e 2-=19. 解：方程是一阶线性微分方程，xx P 1)(=，积分因子为x x xx ==⎰ln d 1e e原方程改为x y y x sin =+' 上式左端为)('xy ，两端同时积分得c x x x xy +-==⎰cos d sin即微分方程的通解为xcx x y +-=cos 其中c 为任意常数． 五、概率计算题 20. 解：由事件的关系得B A A B A +=+且A 与B A 互斥，再由加法公式得)()()(B A P A P B A P +=+8.03.05.0=+= 21. 解：对X 做变换得出)1,0(~33N X -，于是 )3331()331233330()120(<-≤-=-<-≤-=<≤X P X P X P)]1(1[)3()1()3(ΦΦΦΦ--=--=84.018413.09987.0=-+=六、代数计算题22. 解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-301111010B A 利用初等行变换得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--110210001010010111100301010111001010 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→2121211001010010111111200001010010111 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→212121100001010212323001212121100001010212321011即 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=--212121001212323)(1B A 23. 解：将线性方程组的增广矩阵化为行简化阶梯形矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=131101311021011551323412121011A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000001311012101000001311021011 线性方程组的一般解为 ⎩⎨⎧-+=++=1312432431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量）24. 解：由已知条件可得809q p -=809)(2q q pq q R -== 又由已知条件得1604)(+=q q C进一步得到160805)1604(809)()()(22--=+--=-=q q q q q q C q R q L对利润函数求导得405)(qq L -=' 令'=Lq ()0得200=q ，在定义域内只有一个驻点，故为最值点．即生产200件产品时厂家获得的利润最大． 八、证明题25. 证：由转置的性质得T T T T T T AA A A AA ==)()( 由定义可知T AA 是对称矩阵． 中央广播电视大学2018-2018学年度第二学期 经济数学基础 试卷一、单项选择题二、填空题三、微积分计算题四、线性代数计算题五、应用题一、单项选择题（每小题3分．本题共15分）1．D 2．B 3．A 4．C 5．A。
2023年考研经济类联考综合数学模拟真题及答案详解跨考教育文字版
考研396经济类联考综合（数学）真题及答案详解（跨考教育文字版）二、选择题21.设()f x 旳一种原函数为10x，则'()f x = （ ） ()10x A ()10ln10x B ⋅ ()2()10ln10x C ⋅ ()3()10ln10x D ⋅ 【答案】（B ）【解析】'()f x =10ln10x ⋅22.设函数()f u 可导且'(1)0.5f =，则2()y f x =在1x =-处旳微分1y x d =-=（ ）()x A d - ()0B ()x C d ()2xD d 【答案】（A ）【解析】2'()2dy f x xdx =当1x =-时，1y x x d d =-=-23.已知函数()f x 在(,)-∞+∞内可导，且()(1)lim 12x f x f x x→∞--=-，则'(1)f =（ ） ()2A - ()1B - ()0C ()1D24.已知()F x 是()f x 旳一种原函数，则()xa f t a dt +=⎰（ ）()()()A F x F a - ()()()B F t F a -()()()C F x a F x a +-- ()()(2)D F x a F a +-【答案】（D ）【解析】()()()xx a a f t a dt f t a d t a +=++⎰⎰2()()(2)x aa f u du F x a F a +==+-⎰ 25.设sin 0()ln(1)xF x t dt =+⎰，则'()F x =（ ）()ln(1)()ln(1sin )()sin ln(1sin )()cos ln(1sin )A x B x C x x D x x ++⋅+⋅+【答案】 （D ）【解析】'()ln(1sin )cos F x x x =+26.设b ax x y ++=2，已知当2=x 时，y 获得极小值3-，则（） （A ）0,1==b a （B ）1,4=-=b a（C ）1,1==b a （D ）0,4=-=b a【答案】（B ）【解析】'(2)40y a =+=因此4a =-，483y b =-+=-，431b =-=27.若1333231232221131211=a a a a a a a a a ，则=---333233312322232113121311333a a a a a a a a a a a a （ ）（A ）-3 （B ）-2 （C ）-1 （D ）1【答案】（A ）【解析】 原式1113131112132123232122233133333132333333a a a a a a a a a a a a a a a a a a -=+-=--28.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=54322111t A 且A 旳秩()2=A r ，则=t （ ）（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）-1【答案】（A ）【解析】 01112203452A t t ===得29.一袋中有四只球，编号为1,2,3,4，从袋中一次取出两只球，用x 表达取出旳两只球旳最大号码数，则{}==4X p （ ）（A ）0.4 （B ）0.5 （C ）0.6 （D ）0.7【答案】（B ）【解析】5.0}4{2413===C C X P 30.设随机变量()()4,0~,4,1~U Y N X ，且y x ,相互独立，则()=-Y X D 32（ ）（A ）8 （B ）18 （C ）24 （D ）52【答案】（D ）【解析】因为X 与Y 独立，因此52494494)32(=⨯+⨯=+=-DY DX Y X D三、数学计算题31.已知函数sin 21,0,tan ()2,0x x e x x f x ae x ⎧->⎪⎪=⎨⎪⎪≤⎩在0x =处持续，求未知参数a 旳值。
经济数学微积分试题
经济数学-微积分模拟试题-按模块分类一、单项选择题（每小题3分，）分，）1.下列各函数对中，（下列各函数对中，（ D ）中的两个函数相等．）中的两个函数相等．A. x x g x x f ==)(,)()(2B. 1)(,11)(2+=--=x x g x x x f C. x x g x x f ln 2)(,ln )(2== D. 1)(,cos sin )(22=+=x g x x x f2.已知1sin )(-=xx x f ，当（，当（ A ）时，)(x f 为无穷小量．为无穷小量．A. 0®xB. 1®xC. -¥®xD. +¥®x 3. ò¥+13d 1x x （ C ）．）． A. 0 B. 21- C. 21D. ¥+1.下列函数中为奇函数的是（下列函数中为奇函数的是（ ）．B (A) x x y sin = (B) x x y -=3 (C) xxy -+=ee (D) x x y +=222.下列结论正确的是（下列结论正确的是（ ）．）．C C(A) 若0)(0=¢x f ，则0x 必是)(x f 的极值点的极值点(B) 使)(x f ¢不存在的点0x ，一定是)(x f 的极值点的极值点(C) 0x 是)(x f 的极值点，且)(0x f ¢存在，则必有0)(0=¢x f (D) 0x 是)(x f 的极值点，则0x 必是)(x f 的驻点的驻点 3.下列等式成立的是（下列等式成立的是（ ）．D (A) x x xd d 1= (B) )1d(d ln x x x =(C) )d(e d e x x x --= (D) )d(cos d sin x x x =- 1．若函数xxx f -=1)(， ,1)(x x g +=则=-)]2([g f ( )．A A ．-2 B ．-1 C ．-1.5 D ．1.5 2．曲线11+=x y 在点（0, 1）处的切线斜率为（）处的切线斜率为（ ）．）． B B A ．21 B ．21- C ．3)1(21+x D ．3)1(21+-x3．下列积分值为0的是（的是（ ）．）． C A ．òpp -d sin x x x B ．ò-+11-d 2e e x xxC ．ò--11-d 2e e x xx D ．ò-+p px x x d )(cos 1．函数()1lg +=x xy的定义域是（的定义域是（ ）．）． D A ．1->xB ．0¹xC ．0>xD ．1->x 且0¹x 2．当+¥®x 时，下列变量为无穷小量的是（时，下列变量为无穷小量的是（ ）D A ．)1ln(x +B ． 12+x x C ．21e x - D ． x x sin3. 若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则下列等式成立的是( )． B A ．)(d )(x F x x f xa =ò B ．)()(d )(a F x F x x f xa -=òC ．)()(d )(a f b f x x F b a-=ò D ．)()(d )(a F b F x x f ba-=¢ò二、填空题（每小题3分，）分，）6.若函数x x f +=11)(，则=-+h x f h x f )()( ．)1)(11h x x +++-（ 7.已知ïîïíì=¹--=1111)(2x ax x x x f ，若)(x f 在),(¥+-¥内连续，则=a ．2 8.若)(x f ¢存在且连续，则ò=¢])(d [x f ．)(x f ¢6.函数)1ln(42+-=x x y 的定义域是的定义域是 ．]2,1(-7.曲线1)(2+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是处的切线斜率是 ．21 8.函数x x f 2cos )(=的全体原函数是的全体原函数是 ．c x +2sin 216．如果函数)(x f y =对任意x 1, x 2，当x 1 < x 2时，有时，有 ，则称)(x f y =是单调减少的单调减少的.. 6. )()(21x f x f >7．已知xxx f tan 1)(-=，当，当 时，)(x f 为无穷小量．7. 0®x8．若c x F x x f +=ò)(d )(，则x f x x)d e (e--ò= . 8. c F x+--)e (6．设21010)(xx x f -+=，则函数的图形关于，则函数的图形关于 对称．6.y 轴 7．已知ïîïíì=¹--=1111)(2x ax x x x f ，若f x ()在x =1处连续，则=a . 7. 2. 28．设边际收入函数为R ¢(q ) = 2 + 3q ，且R (0) = 0，则平均收入函数为，则平均收入函数为．8. q q R 232)(+=三、微积分计算题（每小题10分，共20分）分） 11.设2sin 2cos x y x-=，求y ¢． 解；2cos 22ln 22sin x x y x x --=¢ 12. òe1d ln x x x ．解：4141414121d 21ln 21d ln 222e 112e1+=+-=-=òòe e e x x x x x x x e11.设xx y 32e ln -+=，求y ¢．解：由导数运算法则和复合函数求导法则得解：由导数运算法则和复合函数求导法则得)e()(ln 32¢+¢=¢-x x yx xx 33e ln 2--=12.计算òe1d ln x x x ．解：由定积分的分部积分法得解：由定积分的分部积分法得òò×-=e12e12e1d 12ln 2d ln xx x x x x x xe12242e x -=414e 2+=11．设xx y --+=1)1ln(1，求)0(y ¢. .11．解：因为．解：因为 2)1()]1ln(1[)1(11x x x xy --++---=¢ = 2)1()1ln(x x -- 所以所以 )0(y ¢= 2)01()01ln(--= 0 12．x x x d )2sin (ln +ò12．解：x x x d )2sin (ln +ò=òò+-)d(22sin 21d ln x x x x x=C x x x +--2cos 21)1(ln11．设)1ln(2++=x x y ，求)3(y ¢11．解．解 因为因为 )1(1122¢++++=¢x xx x y11)11(11222+=++++=x x x x x 7分所以所以 )3(y ¢=211)3(12=+ 10分12．计算．计算xxxd e 2121ò12．解．解 x xx d e 2121ò=21211211e e e)1(d e -=-=-òx xx10分五、应用题（20分）分）15.已知某产品的边际成本34)(-=¢q q C （万元/百台），q 为产量（百台），固定成本为18（万元），求⑴该产品的平均成本．⑵最低平均成本．（万元），求⑴该产品的平均成本．⑵最低平均成本．解: （1）1832d )34(d )(2+-=-=¢=òòq q q q q q C C平均成本函数平均成本函数 qq q q C C 1832)(+-==2182q C -=¢，令01822=-=¢qC ，解得唯一驻点6=x （百台）（百台） 因为平均成本存在最小值，且驻点唯一，所以，当产量为600台时，可使平均成本达到最低。
经济类专业学位联考综合能力数学基础(微积分)模拟试卷19
经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷19(总分：56.00，做题时间：90分钟)一、<B>计算题</B>(总题数：28，分数：56.00)1.设F(x)是f(x)的一个原函数，则下列命题正确的是( )．A.∫1／xf(lnax)dx=1／aF(lnax)+CB.∫1／xf(lnax)dx=F(lnax)+C √C.∫1／xf(lnax)dx=aF(lnax)+CD.∫1／xf(lnax)dx=1／xF(lnax)+C由题设F(x)为f(x)的一个原函数，可知∫f(x)dx=F(x)+C．故∫1／xf(lnax)dx=∫1／axf(lnax)d(ax)=∫f(lnax)d(lnax)=F(lnax)+C．故选B．2.不定积分∫x 2．A.－1／3(1－x 3 ) 3／2 +CB.－2／9(1－x 3 ) 3／2 +C √C.－3(1－x 3 ) 3／2 +CD.－9／2(1－x 3 ) 3／2 +C利用凑微分法可得∫x 2dx=1／3∫(1－x 3 ) 1／2 d(x 3 )=－1／3∫(1－x 3 ) 1／2 d(1－x 3 ) =－1／3．2／3(1－x 3 ) 3／2 +C=－(1－x 3 ) 3／2 +C．故选B．3.设f(x)在区间[a，b]上，有f(x)＞0，f'(x)＜0，f"(x)＞0．记S 1 =∫a b f(x)dx，S 2 =f(b)(b－a)，S 3 =1／2[f(b)+f(a)](b－a)，则有( )．A.S 1＜S 2＜S 3B.S 3＜S 1＜S 2C.S 2＜S 3＜S 1D.S 2＜S 1＜S 3√由于f'(x)＜0，可知函数f(x)在[a，b]上单调减少；由于f"(x)＞0，可知曲线y=f(x)在[a，b]上为凹．曲线的图形如图1—3—1所示．由图可知，S 1表示曲边梯形ABDC的面积，S 2表示以b－a为长，f(b)为宽的矩形ABDE的面积，而S 3表示梯形ABDC的面积，因此可得S 2＜S 1＜S 3，故选D．4.设F(x)= ∫a x f(t)dt，其中f(x)为连续函数，则为( )．A.a 2B.a 2 f(a) √C.0D.不存在因为且所给问题为含有可变限积分的极限问题，且所给极限为“0／0”型．通常含有可变限积分的极限求解需要利用洛必达法则，通过求导数消去可变限积分．则由洛必达法则可得故选B．5.如图1—3—1所示，曲线段的方程为y=f(x)，函数f(x)在区间[0，a]上有连续的导数，则定积分∫0axf'(x)dx等于( )．A.曲边梯形ABOD的面积B.梯形ABOD的面积C.曲边三角形ACD的面积√D.三角形ACD的面积由于∫0a xf'(x)dx=xf(x)| 0a－∫0a f(x)dx=af(a)－∫0a f(x)dx．又由于af(a)的值等于矩形ABOC 的面积，∫0a f(x)dx的值等于曲边梯形ABOD的面积，可知∫0a xf'(x)dx的值等于曲边三角形ACD的面积．故选C．6.∫01．A.1B.π／2C.π／3D.π／4 √y= 可以化为(x－1) 2 +y 2 =1，y≥0，因此y= 表示圆心在(1，0)，半径为1的上半圆，∫01 dx的值等于上述半圆的面积的二分之一，即∫01dx=π／4．故选D．7.∫1e．A.－eB.eC.－1／e √D.1／e也可以直接使用分部积分法：C．8.二元函数f(x，(0，0)处必定( )．A.连续且偏导数存在B.连续但偏导数不存在C.不连续但偏导数存在√D.不连续且偏导数不存在由偏导数的定义可知可知f(x，y)在点(0，0)处的偏导数存在，因此排除B，D．由于可知f(x，y)不存在，从而知f(x，y)在(0，0)处不连续，因此排除A，故选C．9.设z=，则dz=( )A.B.C.D. √求dz通常利用可微分的充分条件，即先求出为连续函数，则有dz= dy．由于当x 2+y 2≠0时，都为连续函数，因此故选D．10.设z=x y，x=sint，y=tant,则全导数dz／dt| t=π／4 =( )．A.B.C. √D.由于dz／dt= =yx y－1，=x y lnx． dx／dt=cost，dy／dt=1／cos 2 t，因此 dz／dt=yx y－1．cost+x y lnx．1／cos 2t=(sint) tant(1+ )，因此 dz／dt|t=π／4= (1－ln2)．故选C．11.设有三元方程xy－zlny+z 2=1，根据隐函数存在定理，存在点(1，1，0)的一个邻域，在此邻域内该方程( )．A.只能确定一个具有连续偏导数的函数z=z(x，y)B.可确定两个具有连续偏导数的函数y=y(x，z)和z=z(x，y)C.可确定两个具有连续偏导数的函数x=x(y，z)和z=z(x，y)D.可确定两个具有连续偏导数的函数x=x(y，z)和y=y(x，z) √注意隐函数存在定理：设函数F(x，y，z)在点P(x 0，y 0，z 0)的某一邻域内具有连续偏导数，且F(x 0，y 0，z 0 )=0，F' z (x 0，y 0，z 0 )≠0，则方程F(x，y，z)=0在点P(x 0，y 0，z 0 )的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z=z(x，y)，它满足条件z 0 =z(x 0，y 0 )，且有在本题中令 F(x，y，z)=xy－zlny+z 2－1，则 F(1，1，0)=0，且 F' x =y，F' y =x－，F' z =－lny+2z， F' x (1，1，0)=1，F' y (1，1，0)=1，F' z (1，1，0)=0．由隐函数存在定理可知，可确定两个具有连续偏导数的函数x=x(y，z)和y=y(x，z)．故选D．12.设(0，0)( )．A.为z的驻点且为极小值点B.为z的驻点但不为极小值点C.不为z的驻点，但为极小值点√D.不为z的驻点，也不为极小值点z=f(x，y)=，当(x，y)≠(0，0)时，f(x，y)=＞0，而f(0，0)=0，可知点(0，0)为f(x，y)的极小值点，由于不存在，可知在点(0，0)不存在，因此点(0，0)不是z的驻点，故选C．13.函数z=x 2 +y 2在条件=1下的极值为( )．A.B.C. √D.所给问题为条件极值．构造拉格朗日函数 F(x，y，λ)=x 2 +y 2 +λ( －1)，解联立方程组可解得唯一一组解对于条件极值问题，判定其驻点是否为极值点，往往是利用问题的实际背景来解决．所给问题不是实际问题．但是可以理解为：考查直线=1上的点到原点的距离的极值问题．由于直线上任意一点(x，y)到原点的距离而点(x，y)应满足直线方程=1．因此问题转化为求在条件=1下函数d=的最小值问题．为了计算简便，可以求z=d 2 =x 2 +y 2在条件=1下的极值问题．在此实际背景之下，由于原点到定直线上点之间的距离存在最小值，可知所给条件极值存在最小值．由于驻点唯一，因此所求驻点为最(极)小值点，相应的最(极)小值为故选C．14.设z=z(x，y)由方程z－y－xe z－y－x－y=0确定，则．A.－1B.1 √C.－1+e z－y－xD.－1－e z－y－x设F(x，y，z)=z－y－x+xe z－y－x，则 F' y =－1+xe z－y－x．(－1)=－(1+xe z－y－x )， F' z =1+xe z－y－x．因此故选B．__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：设u=lnx，则du=1／xdx．所以ln2x=ln2+lnx=ln2+u，ln4x=u+ln4=u+2ln2=u－ln2．ln(2ln2+u)+C =lnx－ln2．ln(ln4x)+C．)16.设f(x)为连续函数，且满足∫0x f(t－1)dt=x 3，求f'(x)．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由于f(x)为连续函数，因此将所给表达式两端同时关于x求导，可得 f(x－1)=3x 2．令t=x－1，则x=t+1，可得f(t)=3(t+1) 2，即 f(x)=3(x+1) 2，故f'(x)=6(x+1)．)17.，求a，b的值．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由于原式型，由洛必达法则可得由于分子的极限为零，比值的极限存在，因此分母的极限必定为零，即(b－cosx)=b=1=0，可得b=1．因此可知a=2或a=－2．)18.计算定积分∫π／4π／2．__________________________________________________________________________________________正确答案：(19.计算定积分∫1／23／2．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：令t=1－x，则dx=－dt．当x=1／2时，t=1／2；当x=3／2时，t=－1／2．因此)20.设，求∫01 xf(x)dx．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：将f(x)= dt两端同时关于x求导，可得f'(x)=2x 由分部积分公式可得∫01 xf(x)dx 当x=1时，有 f(1)=∫11dt=0，因此∫01 xf(x)dx=1／4(e －1－1)．)21.求由曲线y=和直线x=0，x轴所围成图形的面积．__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由于当0≤x≤＞0，故所求图形面积为令t=x 2，当x=0时，t=0；当x= 时，t=π／4．因此)22.设二元函数__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：设u=x／y，v=y／x，则z=sinu+cosv23.设z=方f[x+φ(y／x)]，其中f(u)，φ(v)为可导函数，求dz．__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：设u=x+φ(y／x)，v=y／x，则z=f(u)24.设2=z(x，y)由f(x 2－y，y 2 +z)=0确定，其中f(u，v)可微，求dz．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：记f' i为f对第i个位置变量的偏导数，i=1，2，设 F(x，y，z)=f(x 2－y，y 2+z)，则F' x =f' 1．2x，F' y =f' 1．(一1)+f' 2．2y，F' z =f' 2．)25.设z=z(x，y)由方程x+y+z－xyz=0确定，求dz．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：解法1利用全微分形式不变性求解．dx+dy+dz－d(xyz)=0，dx+dy+dz－yzdx－xzdy－xydz=0，(1－yz)dx+(1－xz)dy+(1－xy)dz=0．当1－xy≠0时，有dz= [(1－yz)dx+(1－xz)dy]．解法2先利用隐函数存在定理求，再利用全微分公式求dz．令F(x，y，z)=x+y+z－xyz，则F' x=1－yz，F' y =1－xz，F' z =1－xy，当xy≠1时，有)26.设u=f(x，y，z)有连续偏导数，y=y(x)，z=z(x)分别由e xy－y=0和e z－z=0确定，求du／dx．__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由于y=y(x)，z=z(x)，可知u为x的一元函数，则有du／dx=f' 1+f' 2．+f' 3．dz／dx．将e' xy－y=0两端关于x求导，可得 e xy．(xy)'－y'=0， e xy．(y+xy')－y'=0，可得将e z－xz=0两端关于x求导，可得 e z．z'－(z+xz')=0， z'=z／(e z－x) 因此) 27.设函数z=lnx+3lny，求z在条件x 2 +y 2 =25下极值点的坐标．__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：构造拉格朗日函数L(x，y，λ)=lnx+3lny+λ(x 2 +y 2－25)，求解方程组由①，②可得λ=－1／2x 2 =－3／2y 2，因此y 2 =3x 2，代入③可得由于z=lnx+3lny，知x＞0，y＞0，故只有唯一的可能极值点(5／2，5／)．本题可以理解为：在圆周x 2 +y 2 =25上求一点，使lnxy 3达到极值，由lnxy 3表达式可知，其极小值不存在，极大值应该存在，驻点唯一，因此该驻点即为极大值点，此点即为所求点．)28.设计一幅广告画，要求画面面积为4840cm 2，上、下空白处各要留8cm，左、右空白处各要留5cm，问怎样确定画面的长和宽，才能使整幅广告画所用纸张的面积最小?__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：设画面长、宽分别为x，y(cm)，则整幅广告画所用纸张面积为 S=(x+16)(y+10)，(x＞0，y＞0)．要求面积S=(x+16)(y+10)在约束条件xy=4840下的最小值．构造拉格朗日函数L(x，y，λ)=(x+16)(y+10)+λ(xy－4840)．x=88，y=55，则(88，55)是唯一可能的极值点．由实际问题可知所用纸张面积一定存在最小值，且可能极值点唯一，因此长为88cm，宽为55cm时为所求画面的长和宽．)。
经济类专业学位联考综合能力数学基础(微积分)模拟试卷9(题后含
经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷9(题后含答案及解析)题型有：1.jpg />A．－3／2B．－2／3C．2／3D．3／2正确答案：A解析：当x→1时，x25x+4→0，因此故选A．知识模块：微积分5．设f(x)=若f(x)+g(x)在x=0和x=1处都有极限，则( )．A．a=2，b=0B．a=2，b=sin1C．a=1，b=0D．a=1，b=sin1正确答案：B解析：需先求出f(x)+g(x)的表达式．显然点x=0，x=1为f(x)+g(x)的分段点，在分段点两侧函数表达式不同，应考虑左极限与右极限．[f(x)+g(x)]=(2e－x+b)=2+b，[f(x)+g(x)]=(a+b)=a+b．由于f(x)+g(x)在点x=0处有极限，因此a+b=2+b，可知a=2．[f(x)+g(x)]=(a+b)=a+b，[f(x)+g(x)]=(a+sinx)=a+sin1．由于f(x)+g(x)在点z=1处有极限，因此a+b=a+sin1，可知b=sin1．故选B．知识模块：微积分6．A．a=1，b=1／2B．a=1，b=2C．a=1／2，b=1D．a=1／2，b=2正确答案：A解析：由于=b，且分母的极限为零，则必定有分子的极限为零，即(a－cosx)=a －1=0，从而得a=1，因此有故选A．知识模块：微积分7．函数f(x)=，则( )．A．x=－1为f(x)的可去间断点，x=1为无穷间断点B．x=－1为f(x)的无穷间断点，x=1为可去间断点C．x=－1与x=1都是f(x)的可去间断点D．x=－1与x=1都是f(x)的无穷间断点解析：当x=－1与x=1时，f(x)没有定义．这两个点是f(x)的间断点．可知x=－1为f(x)的无穷间断点，x=1为f(x)的可去间断点．故选B．知识模块：微积分8．已知函数y=f(x)在点=1处可导，且=2，则f(1)=( )．A．1B．2C．3D．6正确答案：D解析：所给题设为导数定义的等价形式，由导数定义可知可得f’(1)=6．故选D．知识模块：微积分9．设函数f(x)在点x=0处连续，且f(x)／x=1，则下列命题不正确的是( )．A．f(x)=0B．f(0)=0C．f’(0)=0D．f’(0)=1正确答案：C解析：已知x=0，所以必有f(x)=0．又f(x)在点x=0处连续，故f(0)=f(x)=0．于是故选C．知识模块：微积分10．若y=f(x)可导，则当△x→0时，△y－dy为△x的( )．A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶但不等价无穷小D．等价无穷小正确答案：A解析：由微分的定义可知，当△x→0时，→0，△y－dy为△x的高阶无穷小，故选A．知识模块：微积分11．若在[0，1]上f”(x)＞0，则f’(1)，f’(0)，f(1)－f(0)或f(0)－f(1)的大小顺序是( )．A．f’(1)＞f’(0)＞f(1)f(0)B．f’(1)＞f(1)－f(0)＞f’(0)C．f(1)一f(0)＞f’(1)＞f’(0)D．f’(1)＞f(0)－f(1)＞f’(0)解析：本题考查导数值的关系．题设条件为二阶导数大于零，可考虑利用二阶导数符号来判定一阶导函数的增减性来求解．由于在[0，1]上f”(x)＞0，可知f’(x)为[0，1]上的单调增加函数，因此f’(1)＞f’(0)．又f”(x)在[0，1]上存在，可知f’(x)在[0，1]上连续．f(x)在[0，1]上满足拉格朗日中值定理，可知必定存在点ξ∈(0，1)，使得f(1)－f(0)=f’(ξ)，由于f’(x)在[0，1]上为单调增加函数，必有f’(1)＞f’(ξ)＞f’(0)，即f’(1)＞f(1)－f(0)＞f’(0)．故选B．知识模块：微积分12．设函数f(x)在(－∞，+∞)内连续，其导数的图形如图1—2—1所示．则f(x)有( )．A．一个极小值点和两个极大值点B．两个极小值点和一个极大值点C．两个极小值点和两个极大值点D．三个极小值点和一个极大值点正确答案：A解析：由于极值点只能是导数为零的点或不可导的点，因此只需考虑这两类特殊点．由图1—2—1可知，导数为零的点有三个，自左至右依次记为x1，x2，x3．在这些点的两侧，f’(x)异号：当x＜x1时，f’(x)＞0；当x1＜x＜x2时，f’(x)＜0．可知x1为f(x)的极大值点．当x1＜x＜x2时，f’(x)＜0；当x2＜x＜0时，f’(x)＞0．可知x0为f(x)的极小值点．当0＜x＜x3时，f’(x)＞0；当x＞x3时，f’(x)＜0．可知x3为．f(x)的极大值点．由导函数图形知，在点x=0处f(x)不可导，但在x=0左侧f’(x)＞0，在x=0右侧f’(x)＞0．可知点x=0不为．f(x)的极值点．综上可知函数f(x)有一个极小值点和两个极大值点．故选A．知识模块：微积分13．设y=sinx，则y’=( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：y=sinx，则y’=(x1／3)’sinx+x1／3．(sinx)’=1／3x－2／3sinx+x1／3cosx=故选D．知识模块：微积分14．已知函数f(x)连续，且f(x)／x=2，则曲线y=f(x)上对应x=0处的切线方程是( )．A．y=xB．y=－xC．y=2xD．y=－2x正确答案：C解析：由于f(x)为连续函数，f(x)／x=2，可知f(0)=f(x)=0．因此曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=2x．故选C．知识模块：微积分计算题15．求极限x[ln(x+2)－lnx]．正确答案：所求极限为“0．∞”型，不能利用极限的四则运算法则．由对数性质及连续函数的性质有：=lne2=2．涉及知识点：微积分16．求极限(3－n+4－n)1／n．正确答案：(3－n+4－n)1／n令x=(3／4)n，则(3／4)n=0，即x=0．原式=1／3(1+x)1／n=1／3[(1+x)1／x]x／n=1／3．涉及知识点：微积分17．求极限(1+2n+3n)1／n．正确答案：由于由极限存在准则(夹逼定理)可知=1／3lim(1+2n+3n)1／n=1，(1+2n+3n)1／n=3．涉及知识点：微积分18．若=0，求常数a的值．正确答案：所给表达式中，由于当x→0时sin3x／x极限存在，由极限的性质可知当x→0时，ln()1／x极限存在，且有=lnea+1=a+1．因此a+1=3，得a=2．涉及知识点：微积分19．设当x→0时，(－1)．ln(1+x2)是比xnsinx高阶的无穷小量，而xnsinx 是比1－cosx高阶的无穷小量，求正整数n的值．正确答案：当x→0时，(－1)．ln(1+x2)～x2．x2=x4，xnsinx～xn+1，1－cosx～x2／2．由题设可知，应有2＜n+1＜4，因此n=2．涉及知识点：微积分20．设f(x)=在点x=0处连续，求a，b的值．正确答案：f(x)为分段函数，点x=0为分段点，在分段点两侧f(x)表达式不同，考查f(x)在点x=0处左连续与右连续．由于sin1／x为有界变量，当x→0时，x为无穷小量，因此xsin1／x=0．而可得f(x)=3，由f(0)=a，可知当a=3时，f(x)在点x=0处左连续．(1+bx)2／x=e2b．可知当e2b=a，即b=1／2lna时，f(x)在点x=0处右连续．综上可知，当a=3，b=1／2ln3时，f(x)在点x=0处连续．涉及知识点：微积分21．求函数y=ln的连续区间．正确答案：首先求y=ln的定义域，应有＞0，且1－x≠0，解得0＜x＜1．可知y=ln的定义域为(0，1)，y=ln为初等函数，在其定义区间(0，1)内必定为连续函数，可知(0，1)为所求．涉及知识点：微积分22．设y=cos(2x+x2)，求dy．正确答案：解法1先求y’，由dy=y’dx解之．y=cos(2x+x2)，y’=－sin(2x+x2)．(2x+x2)’=－sin(2x+x2)．(2x．ln2+2x)．因此dy=y’dx=－sin(2x+x2)．(2xln2+2x)dx．解法2利用微分形式不变性解之．dy=d[cos(2x+x2)]=－sin(2x+x2)．d(2x+x2)=－sin(2x+x2)．(2xln2+2x)dx．涉及知识点：微积分23．设y=+sinx，求y’．正确答案：先将所给函数分为两项之和，第一项为连乘除形式，应利用对数求导法，对此，令则有ln|y1|=2ln|x|－ln|1－x|+ln|2+x|－ln|2－x|，两端关于x求导，可得涉及知识点：微积分24．设y=f(x)由方程sin(xy)+lny－x=1确定，求n[f(2／n)－e]．正确答案：由于n→∞时，2／n→0，f(2／n)→f(0)，先将x=0代入所给方程，可得f(0)=e．只需求f’(0)．将方程两端对x求导，有cosxy．(y+xy’)+．y’－1=0．将x=0及y|x=0=e代入上式，可得y’|x=0=f’(0)=e(1－e)，所以n[f(2／n)－e]=2e(1－e)．涉及知识点：微积分25．正确答案：本题是“苦0／0”型极限，但若直接用洛必达法则，求导比较麻烦．考虑到分子、分母都有，故可先设t=，然后用洛必达法则．涉及知识点：微积分26．正确答案：当x→∞时，ln(1+)～1→x，可知所以本题是“∞－∞”型．应先做变换，令t=1→x，则涉及知识点：微积分27．设函数y=x2+ax+b在点x=2处取得极小值3，求常数a，b的值．正确答案：由于函数y在点x=2处取得极小值3，因此有3=22+2a+b，即2a+b=－1．又y’=2x+a，y’|x=2=4+a=0，可得a=－4，进而知b=7．涉及知识点：微积分28．当e＜x1＜x2时，问lnx1／x1与lnx2／x2哪个大，为什么?正确答案：由题目可知是考查函数y=lnx／x的单调性．当x＞e时，y有定义，由于令y’=0得y的驻点x=e．当x＞e时，y’＜0，可知函数y=lnx／x单调减少．因此当e＜x1＜x2时，有lnx1／x1＞lnx2／x2．涉及知识点：微积分29．假设某种商品的需求量Q是单价p(单位：千元)的函数Q=120－8p．商品的固定成本为25(千元)，每多生产一单位产品，成本增加5(千元)．试求使销售利润最大的商品单价和最大销售利润．正确答案：利润等于销售收益减去总成本，所以首先求出成本函数C=C(Q)．然后求L=pQ－C的最大值．已知商品固定成本为25(千元)，可变成本呈线性增长．所以总成本函数C=25+5Q．总销售利润L=R－C=pQ－C=p(120－8p)－25－5(120－8p)=160p－8p2－625，L’=160－16p．令L’=0，得驻点p=10．由L”=－16＜0及唯一性可知当p=10(千元)时，总销售利润最大．最大销售利润为L(10)=160×10－8×102－625=175(千元)．涉及知识点：微积分。
经济类专业学位联考综合能力数学基础(单项选择题)模拟试卷4(题
经济类专业学位联考综合能力数学基础（单项选择题）模拟试卷4(题后含答案及解析)题型有：1.1．已知f(x)存在，且函数f(x)=x2+x－2f(x)=( )．A．3／2B．2／3C．－2／3D．－3／2正确答案：B解析：由于极限值为一个确定的数值，因此可设f(x)=A，于是f(x)=x2+x－2A两端同时取x→1时的极限，有(x2+x－2A)=2－2A，于是A=2－2A．解得A=2／3．故选B．知识模块：微积分2．A．－1B．1C．2D．3正确答案：B解析：所给极限为“∞／∞”型，不能利用极限的四则运算法则，也不能利用洛必达法则求之．通常对无穷大量运算的基本原则是转化为无穷小量运算．故选B．知识模块：微积分3．A．3／2B．2／5C．5／3D．3正确答案：C解析：所给极限为“0／0”型，不能直接利用极限的四则运算法则．首先进行等价无穷小代换，再分组，可简化运算．故选C．知识模块：微积分4．A．等于－1B．等于3／2C．为∞D．不存在，也不为∞正确答案：D解析：当x→+∞时，ex→+∞，因此当x→∞时，ex→0，因此故选D．知识模块：微积分5．设xn=e1／n，则当n→∞时，xn的极限( )．A．1／4B．为1C．为∞D．不存在，也不为∞正确答案：A解析：当n→∞时，cos2／n→1，e1／n→1，sin1／n～1／n．则故选A．知识模块：微积分6．设f’(x0)=f”(x0)=0，f”(x0)＞0，则下列选项正确的是( )．A．f’(x0)是f’(x)的极大值B．f(x0)是f(x)的极大值C．f(x0)是f(x)的极小值D．(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点正确答案：D解析：需注意如果f”(x0)=0，则判定极值的第二充分条件失效．如果记F(x)=f’(x)，由题设条件有F’(x0)=0，F”(x0)＞0．由极值的第二充分条件知F(x0)为F(x)的极小值，即f’(x0)为f’(x)的极小值，因此A不正确，排除A．取f(x)=x3，则f’(x)=3x2，f”(x)=6x，f”‘(x)=6．因此f’(0)=f”(0)=0，f”‘(0)=6＞0．而x=0既不为．f(x)=x3的极小值，也不为f(x)=x3的极大值，可知B，C都不正确，排除B，C．由于f”‘(x0)＞0，知f”(x)在点x0处连续，又f”(x0)=0，由导数定义可以验证f”(x)在x0两侧异号，从而知点(x0，f(x0))为曲线y=f(x)的拐点．故选D．利用泰勒公式可以证明下述命题：若f’(x0)=f”(x0)=…=f(n－1)(x0)=0，而f(n)(x0)≠0，则(1)当n为偶数时，x0为f(x)的极值点，且①当f(n)(x0)＞0时，x0为f(x)的极小值点；②当f(n)(x0)＜0时，x0为f(x)的极大值点．(2)当n为奇数时，x0不为f(x)的极值点．但点(x0，f(x0))为曲线y=f(x)的拐点．以后可以将上述结论作为定理使用．知识模块：微积分7．设在(1，2，3)的某个邻域内z=z(x，y)由方程2z－z2+2xy=1确定，则dz|(1，2)=( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：解法1记F(x，y，z)=2z－z2+2xy－1，则x=1，y=2，z=3满足方程F(x，y，z)=0．又F’x=2y，F’y=2x，F’z=2－2z，F’x(1，2，3)=4，F’y(1，2，3)=2，F’z(1，2，3)=－4．所以因此dz=dx+dy．故选B．解法2由于2z－z2+2xy=1，将方程两端直接求微分，可得2dz－d(z2)+2d(xy)=0，即2dz－2zdz+2ydx+2xdy=0，当x=1，y=2，z=3时，代入上式，可得－4dz+4dx+2dy=0，即dz|(1，2)=dx+dy．故选B．知识模块：微积分8．设z=，则点(0，0)( )．A．为z的驻点且为极小值点B．为z的驻点但不为极小值点C．不为z的驻点，但为极小值点D．不为z的驻点，也不为极小值点正确答案：C解析：z=f(x，y)=，当(x，y)≠(0，0)时，f(x，y)=＞0，而f(0，0)=0，可知点(0，0)为f(x，y)的极小值点，由于不存在，可知在点(0，0)不存在，因此点(0，0)不是z的驻点，故选C．知识模块：微积分9．设f(x，y)=x2y2+xlnx，则点(1／e，0)( )．A．不是f(x，y)的驻点，是f(x，y)的极值点B．不是f(x，y)的驻点，也不是f(x，y)的极值点C．是f(x，y)的驻点，也是f(x，y)的极大值点D．是f(x，y)的驻点，也是f(x，y)的极小值点正确答案：D解析：由题设可知f’x(x，y)=2xy2+lnx+1，f’y(x，y)=2x2y．令解得f(x，y)的唯一驻点x=1／e，y=0，即驻点为(1／e，0)，因此排除A，B．又有f”xx=2y2+，f”xy=4xy，f”yy=2x2，A=f”xx|(1／e，0)=e，B=f”xy|(1／e，0)=0，C=f”yy|(1／e，0)=2／e2，B2－AC=－2／e＜0，所以由极值的充分条件知(1／e，0)为f(x，y)的极小值点，极小值为－1／e．故选D．知识模块：微积分10．设A为m×n矩阵，且r(A)=r，若齐次线性方程组Ax=0有非零解，则有( )．A．m＞nB．m＜nC．m＞rD．r＜n正确答案：D解析：选项D，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是r(A)＜n，故选D．选项A，m＞n，表示方程组Ax=0的方程个数大于未知量的个数，与该方程组解的状态没有直接关系．选项B，m＜n表示方程组Ax=0的方程个数小于未知量的个数，必定含有自由未知量，因此，该方程组必有非零解．但该方程组有非零解未必方程个数小于未知量的个数．选项C，m＞r，表示方程组Ax=0含有多余方程，在消元过程中必定会被消去，与该方程组解的状态没有直接关系．知识模块：线性代数11．设方程组(Ⅰ)(Ⅱ)－x1+x2－x3=0，则( )．A．当a=2时，方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)为同解方程组B．当a=1时，方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)为同解方程组C．当a=0时，方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)为同解方程组D．无论a取何值，方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)均不是同解方程组正确答案：D解析：两个方程组为同解方程组的必要条件是系数矩阵的秩相等，无论a取何值，方程组(Ⅰ)中的两个方程的系数均不成比例，因此，其系数矩阵的秩为2，而方程组(Ⅱ)的系数矩阵的秩为1，所以，这两个方程组不可能为同解方程组．故选D．知识模块：线性代数12．设A为m×n矩阵，r(A)＜n，则( )．A．ATAx=0与Ax=0的解之间没有关联B．Ax=0的解一定是ATAx=0的解，但反之不然C．ATAx=0的解一定是Ax=0的解，但反之不然D．Ax=0与ATAx=0为同解方程组正确答案：D解析：关键在于两方程组非零解之间的关系，若η是方程组Ax=0的非零解，即有Aη=0，也必有ATAη=0，因此，η也必定是方程组ATAx=0的解．反之，若η是方程组ATAx=0的非零解，也必有Aη=0，否则，Aη≠0，使得(Aη)TA η=ηTATAη≠0，从而与假设ATAη=0矛盾．从而知ATAx=0与Ax=0为同解方程组，综上，知选项A，B，C均不正确，故选D．知识模块：线性代数13．设函数f(x)在开区间(a，b)内有f’(x)＜0，且f”(x)＜0，则y=f(x)在(a，b)内( )A．单调增加，图像上凹B．单调增加，图像下凹C．单调减少，图像上凹D．单调减少，图像下凹正确答案：C 涉及知识点：数学基础14．设A，B为两个随机事件，且P(A)=0．4，P(A∪B)=0．7，若A，B 相互独立，则P(B)=( )．A．0．2B．0．3C．0．4D．0．5正确答案：D解析：由加法公式和事件独立性的概念，有P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)=P(A)+P(B)－P(A)P(B)，即0．4+P(B)(1－0．4)=0．7，解得P(B)=0．5．故选D．知识模块：概率论15．假设一批产品中一、二、三等产品各占60％，30％，10％，从中随意取出一件，结果不是三等产品，则取到的是一等产品的概率为( )．A．4／5B．2／3C．3／5D．1／2正确答案：B解析：设事件Ai(i=1，2，3)为取到第i等产品，由题设知P(A1)=3／5，P(A3)=1／10，由条件概率公式，有故选B．知识模块：概率论16．已知离散型随机变量X的分布律为P{X=k)=1／3pk(k=0，1，…)，则p=( )．A．2／3B．1／2C．1／3D．1／4正确答案：A解析：一般地，若随机变量的取值点(即正概率点)为xi(i=1，2，…)，则P{X=xi}=pi(i=1，2，…)为X的分布律的充分必要条件是：pi＞0(i=1，2，…)且pi=1．因此有解得p=2／3，故选A．知识模块：概率论17．把x→0+时的无穷小量α=∫0xcost2dt，排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是( )。
经济类专业学位联考综合能力数学基础(单项选择题)模拟试卷7(题
经济类专业学位联考综合能力数学基础（单项选择题）模拟试卷7(题后含答案及解析)题型有：1.1．已知f(x)存在，且函数f(x)=x2+x－2f(x)=( )．A．3／2B．2／3C．－2／3D．－3／2正确答案：B解析：由于极限值为一个确定的数值，因此可设f(x)=A，于是f(x)=x2+x－2A两端同时取x→1时的极限，有(x2+x－2A)=2－2A，于是A=2－2A．解得A=2／3．故选B．知识模块：微积分2．d／dxxcost2dt=( )．A．－x3cosx4B．－2x2cosx4C．cost2dt+2x2cosx4D．cost2dt－2x2cosx4正确答案：D解析：注意到可变下限积分的求导公式[∫xbf(t)dt]’=－f(x)，被积函数中的变量为t，不含变下限的变元x．而题设所给积分的被积函数中含有变下限的变元x，因此不能直接利用可变下限积分的求导公式．通常的处理方法是进行恒等变形，将被积函数中的x分离到积分号的外面．由于在积分的过程中，积分变元为t，因此可以认定x为积分过程中的常量．所以=cost2dt－xcos(x2)2．(x2)’=cost2dt －2x2cosx4．故选D．知识模块：微积分3．∫01dx=( )．A．1B．π／2C．π／3D．π／4正确答案：D解析：y=可以化为(x－1)2+y2=1，y≥0，因此y=表示圆心在(1，0)，半径为1的上半圆，∫01dx的值等于上述半圆的面积的二分之一，即∫01dx=π／4．故选D．知识模块：微积分4．设g(x)=，则( )．A．x=0必是g(x)的第一类间断点B．x=0必是g(x)的第二类间断点C．x=0必是g(x)的连续点D．g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关正确答案：D解析：所给问题为函数g(x)在点x=0处的连续性及间断点的类型判定问题．又由g(0)=0，可知：当a＞1时，g(x)=g(0)，此时g(x)在x=0处连续；当a=1时，g(x)=1，此时g(x)在x=0处间断，x=0为g(x)的第一类间断点；当a＜1时，g(x)不存在，此时g(x)在x=0处间断，x=0为g(x)的第二类间断点．综上可知，g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关．故应选D．知识模块：微积分5．下列命题错误的是( )．A．f(x，y)=A的充分必要条件是f(x，y)=A+α，其中α满足α=0B．若函数z=f(x，y)在点M0(x0，y0)处存在偏导数，则z=f(x，y)在点M0(x0，y0)处必定连续C．若函数z=f(x，y)在点M0(x0，y0)处可微分，则z=f(x，y)在M0(x0，y0)必定存在偏导数dyD．若函数z=f(x，y)在点M0(x0，y0)处存在连续偏导数，则z=f(x，y)在点M0(x0，y0)必定可微分，且dzdy正确答案：B解析：对于命题A可仿一元函数极限基本定理证明其正确，又可以称这个命题为二元函数极限基本定理．命题B不正确：偏导数存在不能保证函数连续，同样函数连续也不能保证偏导数存在．由全微分的性质可知，若函数z=f(x，y)在点M0(x0，y0)处可微分，则必定存在，且可知命题C正确．对于命题D，教材中以定理形式出现“如果函数z=f(x，y)的偏导数在点(x，y)连续，那么函数在该点可微分”，还给出定理的证明，这说明命题D正确．故选B．知识模块：微积分6．f(x)=ln(1+x2)，则在(－1，0)内( )．A．函数y=f(x)单调减少，曲线为凹B．函数y=f(x)单调减少，曲线为凸C．函数y=f(x)单调增加，曲线为凹D．函数y=f(x)单调增加，曲线为凸正确答案：A解析：y=ln(1+x2)，定义域为(－∞，+∞)．在(－1，0)内，y’＜0，函数y=f(x)单调减少；y”＞0，曲线y=f(x)为凹．故选A．知识模块：微积分7．设行列式其中等于4!的是( )．A．①B．①②C．①②③D．①②③④正确答案：A解析：本题所给每个行列式仅含有4个不同行不同列的非零元素，行列式即为由这4个元素乘积构成的特定项．在乘积大小同为41的情况下，关键是确定项前符号．在行标按自然顺序排列的前提下：①中非零项列标排列的逆序数为τ(4321)=6，为偶数，从而知其值为4!．②中非零项列标排列的逆序数为τ(3421)=5，为奇数，故其值为－4!．③中非零项列标排列的逆序数为τ(4123)=3，为奇数，故其值为－4!．④中非零项列标排列的逆序数为τ(4231)=5，为奇数，故其值为－4!．故选A．知识模块：线性代数8．若有矩阵Am×l，Bl×n，Cm×n，则下列运算可以进行的是( )。
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经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷19经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷19(总分：56.00，做题时间：90分钟)一、计算题(总题数：28，分数：56.00)1.设F(x)是f(x)的一个原函数，则下列命题正确的是( )．A.∫1／xf(lnax)dx=1／aF(lnax)+CB.∫1／xf(lnax)dx=F(lnax)+C √C.∫1／xf(lnax)dx=aF(lnax)+CD.∫1／xf(lnax)dx=1／xF(lnax)+C由题设F(x)为f(x)的一个原函数，可知∫f(x)dx=F(x)+C．故∫1／xf(lnax)dx=∫1／axf(lnax)d(ax)=∫f(lnax)d(lnax)=F(lnax)+C．故选B．2.不定积分∫x 2．A.－1／3(1－x 3 ) 3／2 +CB.－2／9(1－x 3 ) 3／2 +C √C.－3(1－x 3 ) 3／2 +CD.－9／2(1－x 3 ) 3／2 +C利用凑微分法可得∫x 2dx=1／3∫(1－x 3 ) 1／2 d(x 3 )=－1／3∫(1－x 3 ) 1／2 d(1－x 3 ) =－1／3．2／3(1－x 3 ) 3／2 +C=－(1－x 3 ) 3／2 +C．故选B．3.设f(x)在区间[a，b]上，有f(x)＞0，f'(x)＜0，f"(x)＞0．记S 1 =∫a b f(x)dx，S 2 =f(b)(b－a)，S 3 =1／2[f(b)+f(a)](b－a)，则有( )．A.S 1＜S 2＜S 3B.S 3＜S 1＜S 2C.S 2＜S 3＜S 1D.S 2＜S 1＜S 3√由于f'(x)＜0，可知函数f(x)在[a，b]上单调减少；由于f"(x)＞0，可知曲线y=f(x)在[a，b]上为凹．曲线的图形如图1—3—1所示．由图可知，S 1表示曲边梯形ABDC 的面积，S 2表示以b－a为长，f(b)为宽的矩形ABDE的面积，而S 3表示梯形ABDC的面积，因此可得S 2＜S 1＜S 3，故选D．4.设F(x)= ∫a x f(t)dt，其中f(x)为连续函数，则为( )．A.a 2B.a 2 f(a) √C.0D.不存在因为且所给问题为含有可变限积分的极限问题，且所给极限为“0／0”型．通常含有可变限积分的极限求解需要利用洛必达法则，通过求导数消去可变限积分．则由洛必达法则可得故选B．5.如图1—3—1所示，曲线段的方程为y=f(x)，函数f(x)在区间[0，a]上有连续的导数，则定积分∫0axf'(x)dx等于( )．A.曲边梯形ABOD的面积B.梯形ABOD的面积C.曲边三角形ACD的面积√D.三角形ACD的面积由于∫0a xf'(x)dx=xf(x)| 0a－∫0a f(x)dx=af(a)－∫0a f(x)dx．又由于af(a)的值等于矩形ABOC 的面积，∫0a f(x)dx的值等于曲边梯形ABOD的面积，可知∫0a xf'(x)dx的值等于曲边三角形ACD的面积．故选C．6.∫01．A.1B.π／2C.π／3D.π／4 √y= 可以化为(x－1) 2 +y 2 =1，y≥0，因此y= 表示圆心在(1，0)，半径为1的上半圆，∫01 dx的值等于上述半圆的面积的二分之一，即∫01dx=π／4．故选D．7.∫1e．A.－eB.eC.－1／e √D.1／e也可以直接使用分部积分法：C．8.二元函数f(x，(0，0)处必定( )．A.连续且偏导数存在B.连续但偏导数不存在C.不连续但偏导数存在√D.不连续且偏导数不存在由偏导数的定义可知可知f(x，y)在点(0，0)处的偏导数存在，因此排除B，D．由于可知f(x，y)不存在，从而知f(x，y)在(0，0)处不连续，因此排除A，故选C．9.设z=，则dz=( )A.B.C.D. √求dz通常利用可微分的充分条件，即先求出为连续函数，则有dz= dy．由于当x 2+y 2≠0时，都为连续函数，因此故选D．10.设z=x y，x=sint，y=tant,则全导数dz／dt| t=π／4 =( )．A.B.C. √D.由于dz／dt= =yx y－1，=x y lnx．dx／dt=cost，dy／dt=1／cos 2 t，因此 dz／dt=yx y－1．cost+x y lnx．1／cos 2t=(sint) tant(1+ )，因此 dz／dt| t=π／4= (1－ln2)．故选C．11.设有三元方程xy－zlny+z 2=1，根据隐函数存在定理，存在点(1，1，0)的一个邻域，在此邻域内该方程( )．A.只能确定一个具有连续偏导数的函数z=z(x，y)B.可确定两个具有连续偏导数的函数y=y(x，z)和z=z(x，y)C.可确定两个具有连续偏导数的函数x=x(y，z)和z=z(x，y)D.可确定两个具有连续偏导数的函数x=x(y，z)和y=y(x，z) √注意隐函数存在定理：设函数F(x，y，z)在点P(x 0，y 0，z 0)的某一邻域内具有连续偏导数，且F(x 0，y 0，z 0 )=0，F' z (x 0，y 0，z 0 )≠0，则方程F(x，y，z)=0在点P(x 0，y 0，z 0 )的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z=z(x，y)，它满足条件z 0 =z(x 0，y 0 )，且有在本题中令F(x，y，z)=xy－zlny+z 2－1，则F(1，1，0)=0，且 F' x =y，F' y =x－，F' z =－lny+2z， F' x (1，1，0)=1，F' y (1，1，0)=1，F' z (1，1，0)=0．由隐函数存在定理可知，可确定两个具有连续偏导数的函数x=x(y，z)和y=y(x，z)．故选D．12.设(0，0)( )．A.为z的驻点且为极小值点B.为z的驻点但不为极小值点C.不为z的驻点，但为极小值点√D.不为z的驻点，也不为极小值点z=f(x，y)=，当(x，y)≠(0，0)时，f(x，y)=＞0，而f(0，0)=0，可知点(0，0)为f(x，y)的极小值点，由于不存在，可知在点(0，0)不存在，因此点(0，0)不是z的驻点，故选C．13.函数z=x 2 +y 2在条件=1下的极值为( )．A.B.C. √D.所给问题为条件极值．构造拉格朗日函数F(x，y，λ)=x 2 +y 2 +λ( －1)，解联立方程组可解得唯一一组解对于条件极值问题，判定其驻点是否为极值点，往往是利用问题的实际背景来解决．所给问题不是实际问题．但是可以理解为：考查直线=1上的点到原点的距离的极值问题．由于直线上任意一点(x，y)到原点的距离而点(x，y)应满足直线方程=1．因此问题转化为求在条件=1下函数d=的最小值问题．为了计算简便，可以求z=d 2 =x 2 +y 2在条件=1下的极值问题．在此实际背景之下，由于原点到定直线上点之间的距离存在最小值，可知所给条件极值存在最小值．由于驻点唯一，因此所求驻点为最(极)小值点，相应的最(极)小值为故选C．14.设z=z(x，y)由方程z－y－xe z－y－x－y=0确定，则．A.－1B.1 √C.－1+e z－y－xD.－1－e z－y－x设F(x，y，z)=z－y－x+xe z－y－x，则F' y =－1+xe z－y－x．(－1)=－(1+xe z－y－x )， F' z =1+xe z－y－x．因此故选B．________________________________________________________________ __________________________正确答案：(正确答案：设u=lnx，则du=1／xdx．所以ln2x=ln2+lnx=ln2+u，ln4x=u+ln4=u+2ln2=u－ln2．ln(2ln2+u)+C =lnx－ln2．ln(ln4x)+C．)16.设f(x)为连续函数，且满足∫0x f(t－1)dt=x 3，求f'(x)．________________________________________________________________ __________________________ 正确答案：(正确答案：由于f(x)为连续函数，因此将所给表达式两端同时关于x求导，可得f(x－1)=3x 2．令t=x－1，则x=t+1，可得f(t)=3(t+1) 2，即f(x)=3(x+1) 2，故f'(x)=6(x+1)．)17.，求a，b的值．________________________________________________________________ __________________________ 正确答案：(正确答案：由于原式型，由洛必达法则可得由于分子的极限为零，比值的极限存在，因此分母的极限必定为零，即(b－cosx)=b=1=0，可得b=1．因此可知a=2或a=－2．)18.计算定积分∫π／4π／2．________________________________________________________________ __________________________正确答案：(19.计算定积分∫1／23／2．________________________________________________________________ __________________________ 正确答案：(正确答案：令t=1－x，则dx=－dt．当x=1／2时，t=1／2；当x=3／2时，t=－1／2．因此)20.设，求∫01 xf(x)dx．________________________________________________________________ __________________________ 正确答案：(正确答案：将f(x)= dt两端同时关于x求导，可得f'(x)=2x 由分部积分公式可得∫01 xf(x)dx 当x=1时，有f(1)=∫11dt=0，因此∫01 xf(x)dx=1／4(e －1－1)．)21.求由曲线y=和直线x=0，x轴所围成图形的面积．________________________________________________________________ __________________________正确答案：(正确答案：由于当0≤x≤＞0，故所求图形面积为令t=x 2，当x=0时，t=0；当x= 时，t=π／4．因此)22.设二元函数________________________________________________________________ __________________________正确答案：(正确答案：设u=x／y，v=y／x，则z=sinu+cosv23.设z=方f[x+φ(y／x)]，其中f(u)，φ(v)为可导函数，求dz．________________________________________________________________ __________________________正确答案：(正确答案：设u=x+φ(y／x)，v=y／x，则z=f(u)24.设2=z(x，y)由f(x 2－y，y 2 +z)=0确定，其中f(u，v)可微，求dz．________________________________________________________________ __________________________ 正确答案：(正确答案：记f' i为f对第i个位置变量的偏导数，i=1，2，设 F(x，y，z)=f(x 2－y，y 2 +z)，则F' x =f' 1．2x，F' y =f' 1．(一1)+f' 2．2y，F' z =f' 2．)25.设z=z(x，y)由方程x+y+z－xyz=0确定，求dz．________________________________________________________________ __________________________ 正确答案：(正确答案：解法1利用全微分形式不变性求解．dx+dy+dz－d(xyz)=0，dx+dy+dz－yzdx－xzdy －xydz=0，(1－yz)dx+(1－xz)dy+(1－xy)dz=0．当1－xy≠0时，有dz= [(1－yz)dx+(1－xz)dy]．解法2先利用隐函数存在定理求，再利用全微分公式求dz．令F(x，y，z)=x+y+z－xyz，则F' x=1－yz，F' y =1－xz，F' z =1－xy，当xy≠1时，有)26.设u=f(x，y，z)有连续偏导数，y=y(x)，z=z(x)分别由e xy－y=0和e z－z=0确定，求du／dx．__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由于y=y(x)，z=z(x)，可知u为x的一元函数，则有du／dx=f' 1+f' 2．+f' 3．dz／dx．将e' xy－y=0两端关于x求导，可得 e xy．(xy)'－y'=0， e xy．(y+xy')－y'=0，可得将e z－xz=0两端关于x求导，可得 e z．z'－(z+xz')=0， z'=z ／(e z－x) 因此) 27.设函数z=lnx+3lny，求z在条件x 2 +y 2 =25下极值点的坐标．________________________________________________________________ __________________________正确答案：(正确答案：构造拉格朗日函数L(x，y，λ)=lnx+3lny+λ(x 2 +y 2－25)，求解方程组由①，②可得λ=－1／2x 2 =－3／2y 2，因此y 2 =3x 2，代入③可得由于z=lnx+3lny，知x＞0，y＞0，故只有唯一的可能极值点(5／2，5／)．本题可以理解为：在圆周x 2 +y 2 =25上求一点，使lnxy 3达到极值，由lnxy 3表达式可知，其极小值不存在，极大值应该存在，驻点唯一，因此该驻点即为极大值点，此点即为所求点．)28.设计一幅广告画，要求画面面积为4840cm 2，上、下空白处各要留8cm，左、右空白处各要留5cm，问怎样确定画面的长和宽，才能使整幅广告画所用纸张的面积最小?________________________________________________________________ __________________________ 正确答案：(正确答案：设画面长、宽分别为x，y(cm)，则整幅广告画所用纸张面积为 S=(x+16)(y+10)，(x＞0，y＞0)．要求面积S=(x+16)(y+10)在约束条件xy=4840下的最小值．构造拉格朗日函数L(x，y，λ)=(x+16)(y+10)+λ(xy－4840)．x=88，y=55，则(88，55)是唯一可能的极值点．由实际问题可知所用纸张面积一定存在最小值，且可能极值点唯一，因此长为88cm，宽为55cm时为所求画面的长和宽．)。