2021-2022学年江苏省泰州中学高三(上)期初数学试卷(解析版)
江苏省泰州中学2021-2022学度度第一学学期高三数学摸底考试(含详细解析)20220831
江苏省泰州中学2021-2022学度度第一学学期高三数学摸底考试（含详细解析）20220831高三数学考试试题2021.8.31一、填空题(请将答案填写在答题纸相应的位置)1．设集合A={1，2，3}，B={2，4，6}，则A∩B=____▲___ ___．2．已知i是虚数单位，若=b+i(a,b)，则ab的值为____▲______．3．某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，1 0.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为____▲______．4．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（a）＞f（b），则f（﹣a）____▲_____f（﹣b）（用“＞”或“＜”填空）．5．在平面直角坐标系xOy中，已知=（3，﹣1），=（0，2）．若•=0，=λ，则实数λ的值为____▲______．6．如右图，该程序运行后输出的结果为____▲______．7．由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，求得m的取值范畴是（a，+∞），则实数a的值是____▲______．8．函数f(x)=2sin()，x∈[﹣π，0]的单调递减区间单间为____▲______．9．在集合{x|x=}中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cosx=的概率是____▲______．10．设中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是____▲______．BADCFE11．已知点A （1，1）和点B （﹣1，﹣3）在曲线C ：y=ax3+bx2+d （a ，b ，d 为常数上，若曲线在点A 和点B 处的切线互相平行，则a3+b2+d=____▲______．12．（5分）给出下列命题：（1）若一个平面通过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；（3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m 垂直；（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，所有真命题的序号为____▲______． 13．已知函数f （x ）=，当t ∈[0，1]时，f （f（t ））∈[0，1]，则实数t 的取值范畴是____▲______．14．已知函数f （x ）=||x ﹣1|﹣1|，若关于x 的方程f （x ）=m （m ∈R ）恰有四个互不相等的实数根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的取值范畴是____▲______．二、解答题(本大题共6小题，共90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15.在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知.3tan )(222bc A a c b =-+（1）求角A ； （2）若a=2，求△ABC 面积S 的最大值. 16．如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，BE ＝BC ，F 为CE 上的一点，且BF ⊥平面ACE ．（1）求证：AE ⊥BE ；（2）求证：AE ∥平面BFD ．17.有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定.大桥上的车距()d m 与车速(/)v km h 和车长()l m 的关系满足：ll kv d 212+=（k 为正的常数），假定车身长为4m ，当车速为60(/)km h 时，车距为2.66个车身长.写出车距d 关于车速v 的函数关系式;应规定如何样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？18．给定圆P :222x y x +=及抛物线S :24y x =,过圆心P 作直线l ,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为A B C D 、、、,假如线段AB BC CD 、、的长按此顺序构成一个等差数列,求直线l 的方程.19.已知以a 为首项的数列{}n a 满足：13,3,2, 3.n n n n n a a a a a +->⎧=⎨≤⎩ (1)若0＜n a ≤6，求证：0＜1n a +≤6;(2)若a ，k ∈N*，求使n k n a a +=对任意正整数n 都成立的k 与a ； 20．已知(),P x y 为函数1ln y x =+图象上一点，O 为坐标原点，记直线OP 的斜率()k f x =． （1）若函数()f x 在区间1,3m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()0m >上存在极值，求实数m的取值范畴；（2）当 1x ≥时，不等式()1tf x x ≥+恒成立，求实数t 的取值范畴； （3）求证：()*1ln[(1)]2n i i i n n N =⋅+>-∈∑．江苏省泰州中学2021届高三数学摸底考试教师讲评参考 一、填空题1．设集合A={1，2，3}，B={2，4，6}，则A ∩B= {2} ．考点： 交集及其运算．专题： 阅读型． 分析： 直截了当运用交集概念求得结果． 解答： 解：由集合A ={1，2，3}，B ={2，4，6}，因此A ∩B ={1，2，3}∩{2，4，6}={2}．故答案为{2}． 点评： 本题考查了交集及其运算，是会考题型，是基础题．2．已知i 是虚数单位，若=b+i(a,b )，则ab 的值为 ﹣3．考点： 复数代数形式的乘除运算．xyoABCDP专题：运算题．分析：把给出的等式的左边利用复数的除法运算化简，然后利用复数相等的条件求出a，b的值，则答案可求．解答：解：由，得．因此b=3，a=﹣1．则ab=（﹣1）×3=﹣3．故答案为﹣3．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．3．某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，1 0.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为0.032．考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：先运算数据的平均数后，再依照方差的公式运算．解答：解：数据9.7，9.9，10.1，10.2，10.1的平均数==10，方差=（0.09+0.01+0.01+0.04+0.01）=0.032．故答案为：0.032．点评：本题考查方差的定义．一样地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．4．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（a）＞f（b），则f（﹣a）＜f（﹣b）（用“＞”或“＜”填空）．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：依照奇函数的性质f（﹣x）=﹣f（x）求解．解答：解：依照奇函数的性质，f（﹣a）=﹣f（a），f（﹣b）=﹣f（b）；∵f（a）＞f（b），∴﹣f（a）＜﹣f（b），即f（﹣a）＜f（﹣b）．故答案是＜点评：本题考查函数的奇偶性．5．在平面直角坐标系xOy中，已知=（3，﹣1），=（0，2）．若•=0，=λ，则实数λ的值为2．考点：平面向量数量积的运算；平行向量与共线向量．专题：运算题；平面向量及应用．分析：依照向量、的坐标，得到=（﹣3，3），设=（m，n）可得•=﹣3m+3n=0．而=（m﹣3，n+1）=λ，得到m﹣3=0且n+1=2λ，两式联解即可得到实数λ的值．解答：解：∵=（3，﹣1），=（0，2）∴=﹣=（﹣3，3）设=（m，n），可得•=﹣3m+3n=0…①又∵=（m﹣3，n+1），=λ，∴m﹣3=0且n+1=2λ…②将①②联解，可得m=﹣3，n=﹣3，λ=2故答案为：2点评：本题给出向量、的坐标，再•=0且=λ的情形下求实数λ的值．着重考查了向量的平行与垂直、平面向量数量积的运算性质等知识，属于基础题．6．如图，该程序运行后输出的结果为16．考点：循环结构．专题：阅读型．分析：依照流程图，先进行判定条件，满足条件则运行循环体，一直执行到不满足条件即跳出循环体，求出现在的b即可．解答：解：第一次运行得：b=2，a=2，满足a≤3，则连续运行第二次运行得：b=4，a=3，满足a≤3，则连续运行第三次运行得：b=16，a=2，不满足a≤3，则停止运行输出b=16故答案为：16点评：本题要紧考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判定后循环，直到型循环是先循环后判定，属于基础题．7．由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，求得m的取值范畴是（a，+∞），则实数a的值是1．考点：一元二次不等式的解法．专题：运算题．分析：由题意知“任意x∈R，使x2+2x+m＞0”是真命题，由二次函数的性质得△＜0，求出m的范畴，结合题意求出a的值．解答：解：∵“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，∴“任意x∈R，使x2+2x+m＞0”是真命题，∴△=4﹣4m＜0，解得m＞1，故a的值是1．故答案为：1．点评：本题考查了二次函数恒成立问题，即依照二次函数图象开口方向和判别式的符号，列出等价条件求出对应的参数的范畴．8．函数f(x)=2sin()，x∈[﹣π，0]的单调递减区间单间为．考点：正弦函数的单调性．专题：运算题；三角函数的图像与性质．分析：由x∈[﹣π，0]⇒z=x﹣∈[﹣，﹣]，利用正弦函数y=s inz在[﹣，﹣]上单调递增，即可求得答案．解答：解：∵x∈[﹣π，0]∴x﹣∈[﹣，﹣]，令z=x﹣，则z∈[﹣，﹣]，∵正弦函数y=s inz在[﹣，﹣]上单调递增，∴由﹣≤x﹣≤﹣得：﹣≤x≤0．∴函数f（x）=2s in（x﹣）在x∈[﹣π，0]的单调递增区间为[﹣，0]．故答案为[﹣，0]．点评：本题考查正弦函数的单调性，考查整体代入思想的应用，属于中档题．9．在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程的概率是．考点：等可能事件的概率；空集的定义、性质及运算．专题：运算题．分析：本题考查的知识点是古典概型，由集合中共有10个元素，然后我们分析各个元素，求出满足条件的差不多事件个数，代入古典概型公式，即可得到结论．解答：解：∵集合中共有10个元素而当n=2和n=10时，故满足条件的差不多事件个数为2故所取元素恰好满足方程的概率P==故答案为：点评：古典概型要求所有结果显现的可能性都相等，强调所有结果中每一结果显现的概率都相同．弄清一次试验的意义以及每个差不多事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的关键．解决问题的步骤是：运算满足条件的差不多事件个数，及差不多事件的总个数，然后代入古典概型运算公式进行求解．10．设中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是2x2﹣2y2=1．考点：双曲线的标准方程；椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．专题：运算题．分析：欲求双曲线方程，只需求出双曲线中的a，b的值即可，依照双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点，求出椭圆中的c值，也即双曲线中的c值，再求出椭圆中的离心率，因为椭圆与双曲线的离心率互为倒数，因此可得双曲线中离心率，据此求出a值，再利用a，b，c之间的关系式，就可得到双曲线的方程．解答：解：椭圆+y2=1中c=1∵中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点∴双曲线中c=1，∵椭圆+y2=1的离心率为=，椭圆与双曲线的离心率互为倒数．∴双曲线的离心率为，∴双曲线中a=，b2=c2﹣a2=，b=∴双曲线的方程为2x2﹣2y2=1故答案为2x2﹣2y2=1．点评：本题要紧考查了椭圆，双曲线的标准方程以及性质的应用．11．已知点A（1，1）和点B（﹣1，﹣3）在曲线C：y=ax3+ bx2+d（a，b，d为常数上，若曲线在点A和点B处的切线互相平行，则a3+b2+d=7．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：曲线在点A和点B处的切线互相平行得，f′（1）=f′（﹣1），再结合点在曲线上则点的坐标适合方程建立方程组，解方程求出a、b、d值即可．解答：解：设f（x）═ax3+bx2+d，∵f′（x）=3ax2+2bx，∴f′（1）=3a+2b，f′（﹣1）=3a﹣2b．依照题意得3a+2b=3a﹣2b，∴b=0．又点A（1，1）和点B（﹣1，﹣3）在曲线C上，∴解得：a3+b2+d=7．故答案为：7．点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道中档题．12．给出下列命题：（1）若一个平面通过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；（3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，所有真命题的序号为（1）、（3）、（4）．考点：命题的真假判定与应用．专题：证明题．分析：依照面面垂直的判定定理，可判定（1）；依照平面与平面平行的判定定理，可判定（2）；依照空间直线夹角的定义，可判定（3），依照面面垂直的性质定理及反证法，可判定（4）解答：解：由面面垂直的判定定理可得若一个平面通过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，故（1）正确；假如一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，但两条直线平行时，得不到平面平行，故（2）错误；依照空间直线夹角的定义，可得两条平行直线与第三条直线的夹角相等，故若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直，即（3）正确；依照面面垂直的性质定理，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，故（4）正确故真命题有（1）、（3）、（4）三个故答案为：（1）、（3）、（4）点评：本题以命题的真假判定为载体考查了空间直线与平面的位置关系，熟练把握空间线面关系的判定定理，性质定理及几何特点是解答的关键．13．已知函数当t∈[0，1]时，f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范畴是．考点：函数与方程的综合运用．专题：运算题；不等式的解法及应用．分析：通过t的范畴，求出f（t）的表达式，判定f（t）的范畴，然后代入已知函数，通过函数的值域求出t的范畴即可．解答：解：因为t∈[0，1]，因此f（t）=3t∈[1，3]，又函数，因此f（f（t）=，因为f（f（t））∈[0，1]，因此解得：，又t∈[0，1]，因此实数t的取值范畴．故答案为：．点评：本题考查函数一方程的综合应用，指数与对数不等式的解法，函数的定义域与函数的值域，函数值的求法，考查运算能力．14．已知函数f（x）=||x﹣1|﹣1|，若关于x的方程f（x）=m （m∈R）恰有四个互不相等的实数根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3 x4的取值范畴是（﹣3，0）．考点：根的存在性及根的个数判定．专题：函数的性质及应用．分析：画出函数f（x）=||x﹣1|﹣1|的图象，可得方程f（x）=m（m∈R）恰有四个互不相等的实数根是地，m的取值范畴，进而求出方程的四个根，进而依照m的范畴和二次函数的图象和性质，可得x1x2x3x4的取值范畴．解答：解：函数f（x）=||x﹣1|﹣1|的图象如下图所示：BADCFE（第16题）由图可知，若f （x ）=m 的四个互不相等的实数根，则m ∈（0，1） 且x 1，x 2，x 3，x 4分别为：x 1=m ，x 2=2﹣m ，x 3=m +2，x 4=﹣m ，∴x 1x 2x 3x 4=（m 2）2﹣4•m 2=（m 2﹣2）2﹣4∈（﹣3，0） 故答案为：（﹣3，0） 点评： 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判定，其中画出函数的图象，引入数形结合思想是解答本题的关键二、解答题(本大题共6小题，共90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15.（本小题满分14分）在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知.3tan )(222bc A a c b =-+（1）求角A ； （2）若a=2，求△ABC 面积S 的最大值.15.解：（1）由已知得23sin 23cos sin 2222A A A bc a c b ⇒=⋅-+ ……4分又在锐角△ABC 中，因此A=60° ……7分（2）因为a=2，A=60°因此bc A bc S bc c b 43sin 21,422==+=+ ……8分而424222≤⇒≥+⇒≥+bc bc bc bc c b ……10分又344343sin 21=⨯≤==bc A bc S ……14分因此△ABC 面积S 的最大值等于316．（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 为矩形，平面A BCD ⊥平面ABE ，BE ＝BC ，F 为CE 上的一点，且BF ⊥平面ACE ．（1）求证：AE ⊥BE ；（2）求证：AE ∥平面BFD ．16．（1）证明：∵平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE=AB ，AD ⊥AB ，∴AD ⊥平面ABE ，AD ⊥AE ．∵AD ∥BC ，则BC ⊥AE ． ………………………3分又BF ⊥平面ACE ，则BF ⊥AE ．∵BC ∩BF=B ，∴AE ⊥平面BCE ，∴AE ⊥BE ． ……………………… 7分（2）设AC ∩BD=G ，连接FG ，易知G 是AC 的中点，∵BF ⊥平面ACE ，则BF ⊥CE ．而BC=BE ，∴F 是EC 中点． …………………10分 在△ACE 中，FG ∥AE ，∵AE ⊄平面BFD ，FG ⊂平面BFD ，∴ AE ∥平面BFD ． ………………………14分 17.（本题满分14分）有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定.大桥上的车距()d m 与车速(/)v km h 和车长()l m 的关系满足：ll kv d 212+=（k 为正的常数），假定车身长为4m ，当车速为60(/)km h 时，车距为2.66个车身长.写出车距d 关于车速v 的函数关系式;应规定如何样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？ 17．⑴因为当60v =时，l d 66.2=，因此0006.06016.2602166.222==-=l l l k ，∴20.00242dv . …………6分G B A DCFE⑵设每小时通过的车辆为Q ，则10004=+vQ d ．即Q21000100060.002460.0024v v v v==++∴1000125000.243Q =≤，当且仅当60.0024v v =，即50v =时，Q 取最大值125003 (13)分答：当()50v =km /h 时，大桥每小时通过的车辆最多．…………14分 18．（本小题满分16分）给定圆P :222x y x +=及抛物线S :24y x =,过圆心P 作直线l ,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为A B C D 、、、,假如线段AB BC CD 、、的长按此顺序构成一 个等差数列,求直线l 的方程.18．解：圆P 的方程为()2211x y -+=,则其直径长2BC =,圆心为()1,0P ,设l 的方程为1ky x =-,即1x ky =+,代入抛物线方程得:244y ky =+,设()()1122,, ,A x y D x y ，有121244y y k y y +=⎧⎨=-⎩,则222121212()()416(1)y y y y y y k -=+-=+.故222222212121212||()()()()4y y AD y y x x y y -=-+-=-+ 因此2||4(1)AD k =+. …… 8分据等差，2BC AB CD AD BC =+=-,因此36AD BC ==，即()2416k +=,22k =±，………14分 即：l 方程为220x y --=或220x y +-=. ………16分19.(本小题满分16分)已知以a 为首项的数列{}n a 满足：13,3,2, 3.n n n n n a a a a a +->⎧=⎨≤⎩(1)若0＜na ≤6，求证：0＜1n a +≤6;(2)若a ，k ∈N ﹡，求使n k n a a +=对任意正整数n 都成立的k 与a ； 19．（1）当]3,0(∈n a 时，则∈=+n n a a 21]6,0(，当]6,3(∈n a 时，则]3,0(31∈-=+n n a a ,xyoAB CDP故]6,0(1∈+n a ，因此当60≤<n a 时，总有601≤<+n a ． …………8分 （2）①当1=a 时，1,4,2432===a a a ，故满足题意的∈=t t k ,3N*． 同理可得，当2=a 或4时，满足题意的∈=t t k ,3N*． 当3=a 或6时，满足题意的∈=t t k ,2N*．②当5=a 时，1,4,2432===a a a ，故满足题意的k 不存在． ③当7≥a 时，由（1）知，满足题意的k 不存在．综上得：当421，，a =时，满足题意的∈=t t k ,3N*；当63，a =时，满足题意的∈=t t k ,2N*．…………16分 20．（本小题满分16分）已知(),P x y 为函数1ln y x =+图象上一点，O 为坐标原点，记直线OP 的斜率()k f x =． （1）若函数()f x 在区间1,3m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()0m >上存在极值，求实数m的取值范畴；（2）当 1x ≥时，不等式()1tf x x ≥+恒成立，求实数t 的取值范畴； （3）求证：()*1ln[(1)]2n i i i n n N =⋅+>-∈∑． 解：（1）由题意()1ln x k f x x +==，0x >,因此()21ln ln x x f x x x '+⎛⎫'==- ⎪⎝⎭ …………………2分当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．因此()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故()f x 在1x =处取得极大值．因为函数()f x 在区间1,3m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（其中0m >）上存在极值， 因此01113m m <<⎧⎪⎨+>⎪⎩，得213m <<．即实数m 的取值范畴是213⎛⎫ ⎪⎝⎭，．……………4分（2）由()1tf x x ≥+得()()11ln x x t x ++≤，令()()()11ln x x g x x ++=，则()2ln x x g x x -'=． ……………………………………………………6分 令()ln h x x x=-，则()111=xh x x x -'=-，因为1,x ≥因此()0h x '≥,故()h x 在[)1+∞，上单调递增．……………………8分因此()()110h x h ≥=>,从而()0g x '>()g x 在[)1+∞，上单调递增, ()()12g x g ≥=因此实数t 的取值范畴是(],2-∞． …………………………………………10分 （3）由(2) 知()21f x x ≥+恒成立, 即1ln 2122ln 11111x x x xx x x x +-≥⇔≥=->-+++ ……………………12分令()1,x n n =+则()()2ln[1]11n n n n +>-+，……………………14分 因此()2ln 12112⨯>-⨯， ()2ln 23123⨯>-⨯，……,()()2ln 111n n n n +>-+．将以上n 个式子相加得：()1111ln[(i 1)]212231n i i n n n =⎡⎤+>-++⋅⋅⋅+⎢⎥⨯⨯+⎣⎦∑故()*1ln[(i 1)]2n i i n n N =+>-∈∑． (16)分江苏省泰州中学2021-2021学年度第一学期高三数学考试试题参考答案 2021.8.31一、填空题1．设集合A={1，2，3}，B={2，4，6}，则A ∩B= {2} ． 2．已知i 是虚数单位，若=b+i(a,b)，则ab 的值为 ﹣3．3．某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为 0.032 ．4．设函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （a ）＞f （b ），则f （﹣a ） ＜ f （﹣b ）（用“＞”或“＜”填空）．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知=（3，﹣1），=（0，2）．若•=0，=λ，则实数λ的值为 2 ．6．如图，该程序运行后输出的结果为 16 ． 7．由命题“存在x ∈R ，使x2+2x+m ≤0”是假命题，求得m 的取值范畴是（a ，+∞），则实数a 的值是 1 ．8．函数f(x)=2sin()，x ∈[﹣π，0]的单调递减区间单间为．9．在集合{x|x=}中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cosx=的概率是．设中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是 2x2﹣2y2=1 ．11．已知点A （1，1）和点B （﹣1，﹣3）在曲线C ：y=ax3+bx2+d （a ，b ，d 为常数上，若曲线在点A 和点B 处的切线互相平行，则a3+b2+d= 7 ．12．（5分）给出下列命题：（1）若一个平面通过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；（3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m 垂直；（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，所有真命题的序号为 （1）、（3）、（4） ． 13．已知函数f （x ）=，当t ∈[0，1]时，f （f（t ））∈[0，1]，则实数t 取值范畴是．14．已知函数f （x ）=||x ﹣1|﹣1|，若关于x 的方程f （x ）=m （m ∈R ）恰有四个互不相等的实数根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的取值范畴是 （﹣3，0） ．二、解答题15. （本小题满分14分）在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知.3tan )(222bc A a c b =-+（1）求角A ； （2）若a=2，求△ABC 面积S 的最大值.解：（1）由已知得23sin 23cos sin 2222A A A bc a c b ⇒=⋅-+ ……4分又在锐角△ABC 中，因此A=60° ……7分（2）因为a=2，A=60°因此bc A bc S bc c b 43sin 21,422==+=+ ……8分而424222≤⇒≥+⇒≥+bc bc bc bc c b ……10分又344343sin 21=⨯≤==bc A bc S ，因此△ABC 面积S 的最大值等于3。
泰兴市2022-2023学年高三上学期期中数学试题解析版
绝密★启用前江苏省泰州市泰兴市2022-2023学年高三上学期期中数学试题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx 题号一二三四总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）评卷人得分一、单选题1．已知集合{|||,R}A y y x x x ==-∈，1{|(,R}2xB y y x ==∈，则（）A ．B A ⊆B ．A B =C ．A B ⋂≠∅D ．R A B=ð2．已知α，β为两个不同平面，l 为直线且l β⊥，则“//l α”是“αβ⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】当αβ⊥时，若l ⊂α，则推不出//l α；反之//l α可得αβ⊥，根据充分条件和必要条件的判断方法，判断即可得到答案．【详解】当αβ⊥时，若l ⊂α且l β⊥，则推不出//l α，故必要性不成立；当//l α时，可过直线l 作平面γ与平面α交于m ，根据线面平行的性质定理可得//l m ，又l β⊥，所以m β⊥，又m α⊂，所以αβ⊥，故充分性成立，所以“//l α”是“αβ⊥”的充分不必要条件．故选：A ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，关键是掌握充分条件和必要条件的定义，判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p3．已知向量()1,3a =，()2,4b =- ，则下列结论正确的是（）A ．()//a b a+B ．2a b +C ．向量a 与向量b 的夹角为3π4D ．b 在a的投影向量是(1,3)4．有一个内角为36o 的等腰三角形被称为黄金三角形，它的较短边与较长边之比为黄金．由上述信息可求得sin 234o 的值为（）A ．12+B ．12-C ．14D ．14【答案】C【分析】作出ABC ，其中36ABC ∠= ，AB AC =，计算出cos36 ，然后利用诱导公式可求得sin 234o 的值.【详解】在ABC 中，36ABC ∠= ，AB AC =，取BC 的中点E ，连接AE ，如下图所示：由题意可知AE BC ⊥，且AB BC =所以，cos36cos BE ABE AB =∠=5．已知函数()sin f x x =，()lng x x =，()H x 的解析式是由函数()f x 和()g x 的解析式组合而成，函数()H x 部分图象如下图所示，则()H x 解析式可能为（）A ．()()f x g x +B ．()()f x g x -C ．()()f x g x ⋅D ．()()f xg x6．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭），直线π12x =和点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭分别是()f x 图象相邻的对称轴和对称中心，则下列说法正确的是（）A ．函数π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数B ．函数()f x 的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．函数()f x 在区间ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为单调函数D ．函数()f x 在区间[0,6π]上有12个零点7．已知直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，m ∈R ，则下列结论正确的是（）A ．1l 过定点()1,3B ．点P 的轨迹方程为()()22222x y -+-=C ．点P 到点()3,1和点()1,3距离之和的最大值为D ．点P 到坐标原点O 的距离的最小值为8．已知函数32()3f x ax ax b =-+，其中实数0a b >∈R ，，则下列结论错误的是（）A ．()f x 必有两个极值点B ．()y f x =有且仅有3个零点时，b 的范围是(0)6a ，C ．当2b a =时，点(1)0，是曲线()y f x =的对称中心D ．当56a b a <<时，过点()2A a ，可以作曲线()y f x =的3条切线【答案】B【分析】对()f x 求导，得到()f x 的单调性，判断()f x 的极值点个数可判断A ；要使()y f x =有且仅有3个零点，只需(0)0,(2)0f f ><即可判断；当2b a =时，计算()()20f x f x +-=可判断C ；设切点为()32000,3C x ax ax b -+，求出过点A 的切线方程，令()322912,g x ax ax ax a y b =-++=，所以过点A 可以作曲线()y f x =的切线条数转化为()y g x =与y b =图象的交点个数即可判断D.【详解】对于A ，()()23632f x ax ax ax x '=-=-，令()0f x '=，解得：0x =或2x =，因为0a >，所以令()0f x ¢>，得0x <或2x >，令()0f x '<，得02x <<，所以()f x 在()(),0,2,-∞+∞上单调递增，在()0,2上单调递减，所以()f x 在0x =处取得极大值，在2x =处取得极小值,所以A 正确；对于B ，要使()y f x =有且仅有3个零点，只需(0)0(2)0f f >⎧⎨<⎩即08120b a a b >⎧⎨-+<⎩，所以04b a <<，所以b 的范围是(0)4a ，，故B 不正确；对于C ，当2b a =时，()3232f x ax ax a =-+，()()()32322232232f x a x a x a ax ax a -=---+=-+-，()()20f x f x +-=，所以点()1,0是曲线()y f x =的对称中心，所以C 正确；对于D ，()236f x ax ax '=-，设切点为()32000,3C x ax ax b -+，所以在C 点处的切线方程为：()()()32200000336y ax ax b ax ax x x --+=--，又因为切线过点()2,A a ，所以()()()322000003362a ax ax b ax ax x --+=--，解得：320002912ax ax ax a b -++=，令()322912,g x ax ax ax a y b =-++=，所以过点A 可以作曲线()y f x =的切线条数转化为()y g x =与y b =图象的交点个数.()()()()2261812632612g x ax ax a a x x a x x '=-+=-+=--,令()0g x '=，解得：1x =或2x =，因为0a >，所以令()0g x '>，得1x <或2x >，令()0g x '<，得12x <<，则()g x 在()(),1,2,-∞+∞上单调递增，在()1,2上单调递减，()()16,25g a g a ==，如下图所示，当56a b a <<时，()y g x =与y b =图象有3个交点，即过点A 可以作曲线()y f x =的3条切线，故正确，故选：B【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．评卷人得分二、多选题9．设复数z 在复平面内对应的点为Z ，i 为虚数单位，则下列说法正确的是（）A ．若2i z =，则z 的虚部为－2iB ．若|z |＝1，则z ＝±1或z ＝±iC ．若点Z 坐标为（－1，3），且z 是关于x 的实系数方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，则p ＋q ＝12D ．若12i z ≤-≤Z 的集合所构成的图形的面积为π所以面积为()21ππ-=，故D 正确故选：CD.10．下列不等关系中成立的是（）A ．43log 3log 4<B ．π3ln >C．lnπ<D．2133 11 32⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．在三棱锥V ABC-中，已知90VAB VAC ABC∠=∠=∠= ，则（）A．AB与VC成角90B．平面VAB⊥平面VACC．平面VAB⊥平面VBCD．VC与平面VAB所成角小于AC与平面VAB所成角【答案】CD【分析】利用反证法可判断A选项；利用二面角的定义可判断B选项；利用面面垂直的判定定理可判断C选项；利用线面角的定义可判断D选项.【详解】如下图所示：对于A 选项，若VC AB ⊥所以，AB ⊥平面VBC ，因为90VAB ∠= ，则VBA ∠对于B 选项，ABC ∠= VA AB ⊥ ，VA AC ⊥，所以，二面角故平面VAB 与平面VAC 不垂直，对于C 选项，VA AB ⊥ 12．螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图（1）所示．如图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD 的边长为4，取正方形ABCD 各边的四等分点,,,E F G H ，作第2个正方形EFGH ，然后再取正方形EFGH 各边的四等分点,,,M N P Q ，作第3个正方形MNPQ ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案．设正方形ABCD 边长为1a ，后续各正方形边长依次为23,,,,n a a a ；如图（2）阴影部分，直角三角形AEH 面积为1b ，后续各直角三角形面积依次为23,,,,n b b b ，下列说法正确的是（）A ．第3个正方形MNPQ 面积为10.B．14n n a -=⨯⎝⎭.C ．使得不等式12n b >成立的n 的最大值为3.D ．数列{}n b 的前n 项和4n S <对任意*N n ∈恒成立.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明评卷人得分三、填空题13．已知函数()f x 同时满足（1）()()()f mn f m f n =+；（2）()[()()]0m n f m f n --<，其中0,0,m n m n >>≠，则符合条件的一个函数解析式()f x ＝_____．14．已知正方形ABCD 的边长为4，中心为O ，圆O 的半径为1，MN 为圆O 的直径．若点P 在正方形ABCD 的边上运动，则PM PN ⋅的取值范围是_____．15．正四棱台高为2，上下底边长分别为表面积是_____．故答案为：80π16．若曲线e x y =在点()00,e x A x 00x >处的切线也是曲线ln y x =的切线，则004xx +e 的最小值为_____．【答案】542+评卷人得分四、解答题17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()()21N n n S n a n *=+∈．(1)求{}n a 的通项公式；(2)对于任意的正整数n ，21,2,n n n na n a a c n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．18．若函数()f x 满足()21log 1a a f x x a x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，其中0a >，且1a ≠．(1)求函数()f x 的解析式；(2)判断并证明函数()f x 的单调性；(3)若01a <<，()40f x +>在2x <时恒成立，求a 的取值范围．19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ＝PB ＝AB ＝2，平面PAB ⊥平面ABCD ，N 是CD 的中点．(1)若点M 为线段PD 上一点，且//PB 平面AMN ，求PMMD的值；(2)求二面角B －PA －C 的正弦值；(3)求点N 到面PAC 的距离．因为//PB 面AMN ，PB ⊂面PBD ，且面所以//PB ME ，故2PM BE ABMD DE ND===.（2）若O 为AB 中点，连接ON ，又N 是所以ON AB ⊥，等边三角形PAB 中PO ⊥由2PA AB PB ===，则(0,0,3)P ，(1,0,0)A -所以(1,2,3)PC =- ，(1,0,3)PA =--，若(,,)m x y z = 为面PAC 的一个法向量，则⎧⎪⎨⎪⎩(3,3,1)m =-，20．在①sin (cos cos )sin sin sin C a B b A a B a A b B +-=+；②22sin sin sin cos sin cos B A B B A A -两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a b ¹，．(1)求角C 的大小；(2)若∠ACB 的角平分线CD 交线段AB 于点D ，且4,4CD BD AD ==，求△ABC 的面积．因为CD 为角平分线，且4BD AD =由ADC BDE △△，则AD CD BD ED ==所以16ED =，4BE AC =，故BE =故△BCE 为等边三角形，则BE BC =结合（1）结论，△ABC 的面积为1221．已知圆O ：x 2＋y 2＝16，点A （6，0），点B 为圆O 上的动点，线段AB 的中点M 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C的方程；(2)设T（2，0），过点T作与x轴不重合的直线l交曲线C于E、F两点．（i）过点T作与直线l垂直的直线m交曲线C于G、H两点，求四边形EGFH面积的最大值；（ii）设曲线C与x轴交于P、Q两点，直线PE与直线QF相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．22．函数()e xf x =，()sing x x =．(1)求函数()()g x y f x =的单调递增区间；(2)当[]0,πx ∈时，()()()ln 122g x t x f x -++≤，求实数t 的取值范围．。
【高三】江苏省泰州市泰兴三中2021届高三上学期期中考试数学理试题(含答
【高三】江苏省泰州市泰兴三中2021届高三上学期期中考试数学理试题（含答试卷说明：江苏泰州泰兴第3中学2022高级3（第一）中学数学试卷（理科）1。
填空（这个大问题有14个小问题，每个小问题有5个点，总共70个点，请在答题纸的相应位置填写答案）1。
（5点）已知复数z=x+Yi（x，y∈ R），Z（1+2I）=5，然后x+y=_________________。
2.（5点）如果集合M={X5？2x？3∈ n+}是已知的，那么M的所有非空真子集的数目是_______。
3.（5点）已知序列{an}是一个等差序列，a1+A7+A13=？π. 然后sina7=______4。
（5分）给出以下建议：① 是的必要条件和不充分条件；②如果a、B、C和D是四个不共线的点，那么=是四边形，ABCD是平行四边形的一个充要条件；③ 如果=则为的充要条件=④ = 是⑤ 如果单位向量相互垂直，=？2，=+，则正确命题的序列号为______________________。
5.（5点）设函数f（x）是R上定义的偶数函数≥ 0，f（x）=2x+1。
如果f（a）=3，实数a的值为____________________。
，（5点）（2022？一种模式），已知的{an}序列的n是Sn，如果a2a8=2a3a6，s5=？62，那么A1的值是。
7.（5分）如果命题“？X∈ R、 X2+ax+1＜0“为真，实数a的取值范围为_uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu∈ （0，π），如果=？，如果F（x2）的（x2）（log）是一个常数为（x1.2x）的函数，那么F（x2）的（x2）（log）被定义为一个常数为（x1.2x）的函数。
江苏省泰州市姜堰区2021届高三上学期期中考试 数学 Word版含答案
2022-2021学年度其次学期期中考试高三数学试题（考试时间：120分钟 总分：160分） 命题人、审核：姜堰区高中数学工作室留意事项：全部试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．纸．相应位置上．．．．．．） 1．设集合{1,2},{2,3}A B ==，则A B = ▲ .2．函数()1f x x =-的定义域是 ▲ .3．函数||()2x f x =的值域为 ▲ .4．已知函数()ln f x x =，则导函数值'1()2f =▲ . 5．若3sin 3α=，则cos2α= ▲ .6．在ABC ∆中，若1,2,30AB BC C ==∠=，则A ∠= ▲ . 7．设向量(,1),(1,2)a m b ==，且//a b ，则m = ▲ . 8．已知{}n a 为等差数列，nS 为其前n 项和，若1356,0a a a =+=，则6S =▲ .9．关于x 的不等式22280(0)x ax a a --<>的解集为12(,)x x ，且2115x x -=，则a 的值为 ▲ . 10．函数1(),(1)1f x x x x =+>-的最小值为 ▲ .11．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，若'()2f x y =的图象如图，则函数()f x 的单调增区间为 ▲ .12．在矩形ABCD 中，21AB AD ==，，边DC 上（包含端点）的动点P与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q 满足||||CP BQ =，则PA PQ ⋅的最小值是 ▲ .13．各项均为正数的等比数列{}n a 满足1231,100,1000a a a ≥≤≥，则4a 的取值范围是▲ .14．若实数,,x y z 满足242,424x y z x y z+=+=，则z 的最小值为 ▲ .二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本题满分14分）已知函数21()sin cos cos 2f x x x x =+-.（1）求()f x 最小正周期；（2）当[0,]4x π∈时，求函数()f x 的值域； （3）将函数()f x 的图象向右平移8π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的解析式.16．（本题满分14分）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知11,2,cos 4a b C ===.（1）求ABC ∆的周长； （2）求cos()A C -的值.17．（本题满分14分）已知函数()42x x f x =-，实数,s t 满足()()0f s f t +=，设22,2s t s ta b +=+=.（1）当函数()f x 的定义域为[1,1]-时，求()f x 的值域； （2）求函数关系式()b g a =（无需求函数()g a 的定义域）.18．（本题满分16分）如图所示的铁片由两部分组成，半径为1的半圆O 及等腰直角EFH ∆，其中FE FH ⊥．现将铁片裁剪成尽可能大的直角梯形铁片ABCD (不计损耗) ，////,//AD BC HF AB EF ，且点,A B 在弧EF 上．点,C D 在斜边EH 上,,AD BC 分别交EF 于,M N ．设AOE θ∠=.（1）求梯形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式，并写出其定义域； （2）试确定θ的值，使得梯形铁片ABCD 的面积S 最大，并求出最大值．19．（本题满分16分）已知数列{}n a 是公差为正数的等差数列，其前n 项和为nS ，且23415,16a a S ⋅==．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足11111,n n n n b a b b a a ++=-=⋅．①求数列{}n b 的通项公式；②是否存在正整数,()m n m n ≠，使得2,,m nb b b 成等差数列？若存在，求出,m n 的值；若不存在，请说明理由．20．（本题满分16分）已知常数0a >，函数312()4(1),()ln(1)32x f x ax a x g x ax x =--=+-+. （1）当1a =时，求函数()g x 在点(0,(0))g 处的切线方程； （2）争辩()f x 在(0,)+∞上的单调性；（3）若f (x )在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上存在两个极值点12,x x ，且12()()0g x g x +>，求实数a 的取值范围．（参考公式：'(ln(1))1aax ax +=+）AD OFC HE BθMN2022-2021学年度其次学期期中考试高三数学参考答案1.{2}2.[1,)+∞3.[1,)+∞4.25.136.907.12 8.6 9.52 10.3 11.(0,)+∞ 或[0,)+∞ 12.3413．46[10,10] 14.25log 33-15．解：2111cos 21()sin cos cos sin 22222x f x x x x x +=+-=+-)24x π=+ ---4分（1）所以最小正周期22T ππ== ---6分（2）当[0,]4x π∈时，32[,]444x πππ+∈，sin(2)[42x π+∈，所以()f x的值域为2] ---10分（3）将函数()f x 的图象向右平移8π个单位，得到())]22842g x x x ππ=-+= ---14分16．解：（1）由余弦定理可得，22212cos 1421244c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，所以2c = ---4分 所以ABC ∆的周长为5. ---6分（2）在ABC ∆中，由于1cos 4C =，所以sin 4C =---7分 由正弦定理sin sin a cA C =，可得sin 8A =, ---10分 由余弦定理得2227cos 28b c a A bc +-==---12分 所以11cos()cos cos sin sin 16A C A C A C -=+=---14分17．（1）令2x t =，当[1,1]x ∈-时，1[,2]2t ∈， --3分 函数可化简为2()h t t t =-，可以推断()h t 在1[,2]2上单调递增，所以()h t 的值域为1[,2]4-， 即()f x 的值域在[1,1]-的值域为1[,2]4-. --7分（2）由()()0f s f t +=可得42420s s t t-+-=，化简得2(22)22(22)0s t s t s t ++-⋅-+=， --10分 由于22,2s t s t a b +=+=，所以220a b a --=，即22a a b -=，2()2a a g a -=. --14分 18．（1）由于,1AOE BOF OA OB θ∠==∠==，所以1cos sin ,1cos sin ,2cos AD BC AB θθθθθ=-+=++= --4分所以()2(1sin )cos ,(0,)22ABCD AD BC AB S πθθθ+⋅==+∈ --7分（2）'22()2[cos (1sin )sin ]2(2sin sin 1)S θθθθθθ=-+=-+- 2(2sin 1)(sin 1)θθ=--+，(0,)2πθ∈ --9分当06πθ<<，'()0,()S S θθ>单调递增,当62ππθ<<，'()0,()S S θθ<单调递减, --12分所以当且仅当6πθ=时，max S =. --16分答：当6πθ=时，梯形铁片ABCD 的面积S最大，最大值为19． 解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则0d >．由23415,16a a S ==，得111()(2)154616a d a d a d ++=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩或172a d =⎧⎨=-⎩（舍去），所以21n a n =- --5分（2）①由于11111,n n n n b a b b a a ++=-=，所以1111111111,()(21)(21)22121n n n n b a b b a a n n n n ++==-===--+-+，所以1121321111(1)23111()235...111(),(2)22321n n b a b b b b b b n n n -==-=--=--=-≥--累加得1111(1)22121n n b b n n --=-=--，所以32,221n n b n n -=≥- --9分11b =也符合上式．故32,21n n b n N n *-=∈-． --10分②假设存在正整数,,()m n m n ≠，使得2,,m nb b b 成等差数列，则22n mb b b +=．又24323131,,321242242n m n b b b n n m -===-=----， 所以43131()2()3242242n m +-=---化简得7292711n m n n -==-++ --12分当13n +=，即2n =时，2m =（舍去）； 当19n +=，即8n =时，3m =，符合题意． 所以存在正整数3m =，8n =，使得2,,m nb b b 成等差数列． --16分20. 解：(1) 当1a =时，'214()=1(2)g x x x -++，当0(0)0x g ==时,所以，()g x 在点(0,0)处的切线方程为0y = --4分（2）由题意可知：'2()4(1)f x ax a =-- 当1a ≥时，'()0f x >，此时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增． --6分当0＜a ＜1时，由f '(x )＝0得：x 1＝2a (1－a )a （x 2＝－2a (1－a )a＜0舍去）当x ∈(0, x 1)时，f '(x )＜0；当x ∈(x 1,＋∞)时，f '(x )＞0.故f (x )在区间(0, x 1)上单调递减，在区间(x 1,＋∞)上单调递增．综上所述，当a ≥1时，f (x )在区间(0,＋∞)上单调递增； --8分当0＜a ＜1时，f (x )在区间(0, 2a (1－a )a )上单调递减，在区间(2a (1－a )a,＋∞)上单调递增．--10分 （3）由（2）知，当a ≥1时，f '(x )≥0，此时f (x )不存在极值点， 因而要使得f (x )有两个极值点，必有0＜a ＜1.又∵f (x )的极值点只可能是x 1＝2a (1－a )a 和x 2＝－2a (1－a )a，由g (x )的定义可知，x ＞－1a 且x ≠－2，∴－2a (1－a )a ＞－1a 且2a (1－a )ax ≠2解得：0＜a ＜12或12＜a ＜1 --12分此时，由（*）式易知，x 1, x 2分别是f (x )的微小值点和极大值点．而g (x 1)＋g (x 2)＝ln(ax 1＋1)(ax 2＋1)－2x 1x 1＋2－2x 2x 2＋2＝ln[a 2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1]－4x 1x 2＋4(x 1＋x 2)x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝ln(2a －1)2－4(a －1)2a －1＝ln(2a －1)2－22a －1－2 --14分令x ＝2a －1，由0＜a ＜12且a ≠12知，当0＜a ＜12时，－1＜x ＜0；当12＜a ＜1时，0＜x ＜1 ，记h (x )＝ln x 2＋2x－2．①当－1＜x ＜0时，h (x )＝2ln(－x )＋2x －2，设t ＝－x ∈(0,1)，(t )＝2ln t －2t －2单调递增 ∴(t )＜(1)＝－4＜0∴h (x )＜－4＜0，故当0＜a ＜12时，g (x 1)＋g (x 2)＜0，不合题意，舍去．②当0＜x ＜1时，h (x )＝2ln x ＋2x －2，∴h (x )＝2x －2x 2＝2x －2x2＜0，∴h (x )在(0,1)上单调递减，∴h (x )＞h (1)＝0，故当12＜a ＜1时，g (x 1)＋g (x 2)＞0．综上，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1． --16分姜堰区2022-2021学年度其次学期期中考试高三数学试题（附加题）（考试时间：30分钟 总分：40分） 命题人、审核人：高中数学工作室留意事项：全部试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效. 1．（本题满分10分）已知集合2{|230},{|}A x x x B x x a =--≤=≥. （1）求集合A ； （2）若A B A =，求实数a 的取值范围.2.（本题满分10分）已知向量(4,5cos ),(3,4tan ),(0,)2a b πααα==-∈，若a b ⊥，求： （1）||a b +；（2）cos()4πα+的值.3.（本题满分10分）已知函数22()ln (2)g x m x mx m x =+++，试求()g x 的单调区间； 4．（本题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）设1(1)(2)n n n nn a c b ++=+，求数列{}n c 的前n 项和n T .2022-2021学年度其次学期期中考试高三数学（附加题）参考答案1.解：（1）解不等式2230x x --≤得13x -≤≤，即[1,3]A =-， ---5分（2）由于A B A =，所以A B ⊆，所以1a ≤- ---10分2．由于(4,5cos ),(3,4tan )a b αα==-，且a b ⊥，所以12-20cos tan 1220sin 0ααα=-=，所以3sin 5α=； ---2分 又由于(0,)2πα∈，所以43cos ,tan 54αα==; （1）(4,4),(3,3),|||(7,1)|a b a b ==-+===---4分（2）43cos()(cos sin )()4225510πααα+=-=-=---4分 3.解： 由已知条件可得222(2)(2)(1)()mx m x m x m mx g x x x +++++'==， ---2分（1）当0m ≥时，()0g x '≥，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增； ---4分 （2）当0m <时，由()0g x '=，得2m x=-或1x m =-，①若m =，则12m m -=-，此时()0g x '≤， 函数()g x 在(0,)+∞上单调递减； ---6分②若0m <<，则12m m -<-，由()0g x '>，解得1(,2m x m ∈--），由()0g x '<，解得10+2m x m ∈--∞（，）（，），所以函数()g x 在1(,2m m --）上单调递增，在02m -（，）与1+m-∞（，）上单调递减； ---8分③若m <12m m ->-，同理可得，函数()g x 在1(,2mm --）上单调递增，在10m -（，）与+2m-∞（，）上单调递减. ---10分综上所述①当0m≥时，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增；②当m =时，函数()g x 在(0,)+∞上单调递减；③当0m <<时，函数()g x 的增区间为1(,2m m --），减区间为02m -（，）与1+m -∞（，）；④当m <()g x 在1(,2m m --）上单调递增，在10m -（，）与+2m-∞（，）上单调递减.4. （1）由题意当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ，当1=n 时，1111==S a ；所以56+=n a n ； ---2分设数列{}n b 的首项为1b ，公差为d ，由⎩⎨⎧+=+=322211b b a b b a ，即⎩⎨⎧+=+=d b db 321721111，解得3,41==d b ，所以13+=n b n ---5分 （2）由（1）知11(66)3(1)2(33)n n n nn c n n +++==+⋅+，又n n c c c c T +⋅⋅⋅+++=321，即]2)1(242322[31432+++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n T ，所以]2)1(242322[322543+++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n T ，以上两式两边相减得234123[22222(1)2]n n n T n ++-=⨯+++⋅⋅⋅+-+224(21)3[4(1)2]3221n n n n n ++-=+-+=-⋅-.所以223+⋅=n n n T . ---10分。
江苏省泰州中学2021届高三上学期第一次月度检测数学试题及解析
17．在①
m
a
b,
c
a
，n
a
b,
c
，且
m
n
，②
2a
c
2b
cos
C
，③
sin
B
π 6
cos
B
1 2
这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并给出解答． 在△ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且______． （1）求角 B ； （2）若 b 4 ，求△ABC 周长的最大值． 【注】如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
试，实践操作能力测试结果分为四个等级水平，一、二等级水平的学生实践操作能力较弱，三、
四等级水平的学生实践操作能力较强，测试结果统计如下表：
等级 水平一 水平二 水平三 水平四
男生/名
4
8
12
6
女生/名
6
8
4
2
（1）根据表中统计的数据填写下面 2 2 列联表，并判断是否有 95% 的把握认为学生实践操作
18．设数列 an
的前
nLeabharlann 项和为Sn，点
n,
Sn n
，
n N
均在函数
y
x
的图象上．
（1）数列an 的通项公式；
（2）记数列
1 anan1
的前
n
项和为 Tn
，若对任意的
n N
，不等式
4Tn
a2
a
恒成立，求实数
a 的取值范围．
19．某学校八年级共有学生 400 人，现对该校八年级学生随机抽取 50 名进行实践操作能力测
C． f x1 f x2 0
江苏省泰州市泰州中学2021届高三数学上学期开学考试试题 理(含解析)
江苏省泰州市泰州中学2021届高三数学上学期开学考试试题 理（含解析）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．. 1.已知集合{}1,0,2,3U =-，{}0,3A =，则U C A =______. 【答案】{}1,2- 【解析】 【分析】根据补集定义直接求解可得结果.【详解】由补集定义可知：{}1,2U C A =- 本题正确结果：{}1,2-【点睛】本题考查集合运算中的补集运算，属于基础题.2.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos (22sin x tt y t =+⎧⎨=-+⎩为参数），则圆C 的普通方程为_____.【答案】()()22324x y -++= 【解析】 【分析】利用22cos sin 1t t +=消去参数即可得到结果.【详解】由22cos sin 1t t +=可得：()()22324x y -++= 即圆C 的普通方程为：()()22324x y -++= 【点睛】本题考查参数方程化普通方程，属于基础题.3.设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的______________条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”中选择）． 【答案】充分不必要 【解析】x-<，得1＜x＜3；由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，再根据充分条件和必要条件的由21定义进行判断即可．【详解】由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1，得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，（1，3）⊊（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），故“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据绝对值不等式以及一元二次不等式的解法求出不等式的等价条件是解决本题的关键，属于基础题.4.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为_______.【答案】8【分析】按照程序框图运行程序，直到4i时输出结果即可.【详解】按照程序框图运行程序，输入1i =，0S =1i =不是偶数，则011S =+=，1124i =+=<，循环2i =是偶数，则1j =，11225S =+⨯=，2134i =+=<，循环 3i =不是偶数，则538S =+=，3144i =+=≥，输出结果：8S =本题正确结果：8【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构计算输出结果，属于基础题.5.用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数是_____人. 【答案】900 【解析】 【分析】计算可得样本中高二年级人数，从而可计算得到抽样比，从而可求得学生总数. 【详解】由题意可知，高二年级抽取：45201015--=人 ∴抽样比为：151453= ∴该校学生总数为：13009003÷=人 本题正确结果：900【点睛】本题考查分层抽样的应用，关键是能够明确每层在样本中占比与该层在总体中的占比相同.6.两位男同学和两位女学生随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是______. 【答案】12【解析】 分析】利用捆绑法可求得两位女同学相邻的排法数；通过全排列求得四位同学排成一列的排法总数，根据古典概型概率公式求得结果.【详解】两位女同学相邻的排法共有：23232612A A =⨯=种排法四位同学排成一列共有：4443224A =⨯⨯=种排法∴两位女同学不相邻的概率：121242p == 本题正确结果：12【点睛】本题考查古典概型求解概率问题，关键是能够利用排列的知识求解出符合题意的排法数和总体的排法数，涉及到利用捆绑法解决排列中的相邻问题. 7.已知(0,)2πα∈，2sin 2cos21αα=+，则sin α=_______.【解析】 【分析】根据二倍角公式可将已知等式化简为24sin cos 2cos ααα=，根据0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得1tan 2α=；根据同角三角函数关系，结合0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得结果.【详解】由二倍角公式可知：sin 22sin cos ααα=，2cos 22cos 1αα=-24sin cos 2cos ααα∴=又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 0α∴≠ 2sin cos αα∴=，即1tan 2α=sin 5α∴=【点睛】本题考查利用二倍角公式、同角三角函数关系求解三角函数值的问题，关键是能够利用公式，结合角的范围来对已知等式进行化简.8.设函数()()(sin ,,f x A x A ωϕωϕ=+为参数，且)0,0,0A ωϕπ>><<的部分图象如图所示，则ϕ的值为______.【答案】3π 【解析】 【分析】根据图象首先求得()f x 最小正周期2T ππω==，从而解得2ω=；代入712f A π⎛⎫=-⎪⎝⎭可得到23k πϕπ=+，结合0ϕπ<<即可求得结果.【详解】由图象可得()f x 最小正周期：473126T πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，即2ππω= 2ω∴= 又77sin 126f A A ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 73262k ππϕπ∴+=+，k Z ∈ 23k πϕπ∴=+，k Z ∈又0ϕπ<< 3πϕ∴=本题正确结果：3π 【点睛】本题考查根据三角函数图象求解函数解析式的问题，关键是能够通过整体对应的方式确定最值所对应的点，从而得到初相的取值.9.已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.【答案】-3 【解析】 【分析】当0x >时0x ->，()()axf x f x e-=--=代入条件即可得解.【详解】因为()f x 是奇函数，且当0x >时0x ->，()()axf x f x e -=--=．又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 28a e -=，两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3a =-． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．10.若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为___.【答案】1 【解析】【详解】令1x =，得423014(2a a a a a =++++；令1x =-，得142340(2a a a a a =+---+；两式相加得22024130241302413()()()()a a a a a a a a a a a a a a a ++-+=++++⋅++--444(2(2(1)1=+⋅-=-=．点睛： “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如2(),()(,)n n ax b ax bx c a b R +++∈的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令1x =即可；对形如()(,)nax by a b +∈R 的式子求其展开式各项系数之和，只需令1x y ==即可.11.在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别为,,a b c ，已知3A π=，a =A 的平分线交边BC 于点D ，其中AD =ABC S ∆=______.【答案】【解析】 【分析】根据余弦定理可得()23112b c bc +-=；利用ABC ACD ABD S S S ∆∆∆=+和1sin 2ABC S bc A ∆=可构造方程求得13b c bc +=，代入余弦定理的式子可求出48bc =，代入三角形面积公式求得结果.【详解】由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得：()2223112b c bc b c bc +-=+-=)1133sin sin 2222ABC ACD ABD A A S S S b AD c AD b c ∆∆∆=+=⋅+⋅=+又13sin 2ABC S bc A ∆== )333b c =+ 13b c bc ∴+= ()2131129bc bc ∴-=，解得：48bc = 348123ABC S ∆∴== 本题正确结果：123【点睛】本题考查解三角形中三角形面积的求解问题，涉及到余弦定理和三角形面积公式的应用；本题的解题关键是能够通过面积桥的方式构造方程求得b c +和bc 之间的关系，进而结合余弦定理求得所需的值.12.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分,负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，比赛停止时一共已打ξ局， 则ξ的期望值()E ξ=______. 【答案】26681【解析】 【分析】首先确定ξ所有可能的取值；根据每个取值所对应的情况计算出其所对应的概率，从而根据数学期望计算公式求得结果.【详解】由题意可知ξ所有可能的取值为：2,4,6则()222152339P ξ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()3311221212204333381P C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ()520166198181P ξ==--=()520162662469818181E ξ∴=⨯+⨯+⨯=本题正确结果：26681【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求解，关键是能够准确求解出随机变量每个取值所对应的概率，从而结合公式直接求得结果，属于常考题型. 13.已知2tan tan()43παα-=，则cos(2)4πα-的值是______.【答案】10【解析】 【分析】根据两角和差正切公式可构造方程求得1tan 3α=-或tan 2α=；利用两角和差余弦公式和二倍角公式可将cos 24πα⎛⎫-⎪⎝⎭)22cos sin 2sin cos αααα-+，根据正余弦齐次式的221tan 2tan 1tan ααα-++，代入tan α即可求得结果. 【详解】tan tantan 124tan tan tan tan 41tan 31tan tan 4παπαααααπαα--⎛⎫-=⋅=⋅= ⎪+⎝⎭+ 解得：1tan 3α=-或tan 2α=()cos 2cos 2cos sin 2sin cos 2sin 24442πππααααα⎛⎫-=+=+ ⎪⎝⎭)222222cos sin 2sin cos cos sin 2sin cos cos sin αααααααααα-+=-+=+221tan 2tan 1tan ααα-+=+当1tan 3α=-时，12193cos 21421019πα--⎛⎫-== ⎪⎝⎭+当tan 2α=时，144cos 2421410πα-+⎛⎫-== ⎪+⎝⎭综上所述，cos 2410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式化简求值、正余弦齐次式的求解问题，涉及到两角和差正切公式和余弦公式、二倍角公式的应用、同角三角函数关系的应用等知识；关键是能够将正余弦齐次式配凑出正切的形式. 14.设直线12,l l 分别是函数ln ,01()ln ,1x x f x x x -<<⎧=⎨>⎩图象上点12,P P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l 与2l 分别与y 轴相交于点,A B ，则PAB ∆的面积的取值范围是_______. 【答案】()0,1 【解析】 【分析】首先可确定12,P P 分别在分段函数的两段上，设()111,P x y ，()222,P x y 且1201x x <<<，通过导数可求得切线斜率；根据12,l l 相互垂直可得到121=x x ；通过12,l l 的方程可求得,A B 两点坐标，从而得到2AB =；联立12,l l 求得P 点横坐标，从而将PAB ∆面积表示为1121PAB S x x ∆=+，根据()10,1x ∈可求得PAB ∆面积的取值范围.【详解】由题意可知，12,P P 分别在分段函数的两段上设()111,P x y ，()222,P x y 且1201x x <<< ()1,011,1x xf x x x⎧-<<⎪⎪∴⎨>'=⎪⎪⎩111l k x ∴=-，221l k x = 1212111l l k k x x ∴⋅=-⋅=-，即：121=x x 1l ∴方程为：()1111ln y x x x x =---；2l 方程为：()2221ln y x x x x =-+ ()10,1ln A x ∴-，()20,ln 1B x - ()12121ln ln 12ln 2AB x x x x ∴=---=-=联立12,l l 可得P 点横坐标为：12121222x x x x x x =++121211122212PAB S AB x x x x x x ∆∴=⋅==+++()10,1x ∈且1y x x =+在()0,1上单调递减 111112x x ∴+>+= 01PAB S ∆∴<<，即PAB ∆的面积的取值范围为：()0,1本题正确结果：()0,1【点睛】本题考查三角形面积取值范围的求解问题，求解取值范围的常用方法是能够将所求三角形面积表示为某一变量的函数，从而利用变量的范围求得面积的取值范围；本题的解题关键是能够熟练应用导数求解切线斜率，通过垂直关系得到斜率间的关系，进而能够进行化简消元.二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．．．．．．．．．．．．．说明、证明或演算步骤．．．．．．．．．．.．15.已知矩阵0A a⎡=⎢⎣ 10⎤⎥⎦，矩阵0B b⎡=⎢⎣ 20⎤⎥⎦，直线1:40l x y -+=经矩阵A 所对应的变换得到直线2l ，直线2l 又经矩阵B 所对应的变换得到直线3:40l x y ++=. （1）求,a b 的值； （2）求直线2l 的方程. 【答案】（1）12a =，1b =-；（2）240x y --= 【解析】 【分析】（1）根据矩阵的乘法运算可建立关于,a b 的方程组，解方程组求得结果；（2）根据（1）可得矩阵A ，得到变换公式，从而可得所求方程.【详解】（1）020120000a BA b a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 1l ∴变换到3l 的变换公式为：2x ax y by ''=⎧⎨=⎩可得到直线240ax by ++=即直线1:40l x y -+=211a b =⎧∴⎨=-⎩，解得：12a =，1b =-（2）由（1）知：01102A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦1l ∴变换到2l 的变换公式为：12x yy x =⎧''⎪⎨=⎪⎩ ∴直线2l 的方程为：240y x -+=，即240x y --=【点睛】本题考查矩阵的乘法运算和直线在矩阵下的线性变换，关键是能够通过矩阵运算得到线性变换的公式，属于常考题型.16.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C所对边的长，cos cos a B A =，cos A =（1）求角B 的值； （2）若a =的面积．【答案】（1）π4B =（2）S = 【解析】 【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin A ，由正弦定理化简已知等式可求1sinBtanB cosB==，结合范围0＜B ＜π，可求B 的值． （2）由（1）及正弦定理可求b 的值，利用两角和的正弦函数公式可求sin C 的值，根据三角形面积公式即可计算得解．【详解】（1）在△ABC中，因为cos 3A =，0πA <<，所以sin A==因为cos cosa B A=，由正弦定理sin sina bA B=，得sin cos cosA B B A=．所以cos sinB B=．若cos=0B，则sin=0B，与22sin cos1B B+=矛盾，故cos0B≠．于是sin tan1cos B B B==．又因为0πB<<，所以π4B=．（2）因为a=sin3A=，由（1）及正弦定理sin sina bA B==，所以2b=．又()()sin sinπsinC A B A B=--=+=sin cos cos sinA B A B+32326=+⋅=．所以△ABC的面积为116sin22264S ab C+==⨯=.【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17.如图，AE⊥平面ABCD，//CF AE，//AD BC，AD AB⊥，1AB AD==，2AE BC==.（1）直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值； （2）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长. 【答案】（1）49；（2）87. 【解析】 【分析】以A 为原点建立空间直角坐标系；（1）表示出,,,C E B D 的坐标，首先求解出平面BDE 的法向量()12,2,1n =，根据直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值等于11CE n CE n ⋅⋅可求得结果；（2）设()0CF t t =>得到()2,1,F t ，可求解出平面BDF 的法向量()2,,2n t t =-，从而得到122cos ,324n n t <>=+；根据二面角余弦值与法向量夹角余弦值的关系可建立方程24213324t t -=+，解方程求得结果.【详解】以A 为原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：（1）由题意得：()2,1,0C ，()0,0,2E ，()0,1,0B ，()1,0,0D()2,1,2CE ∴=--，()1,1,0BD =-，()0,1,2BE =-设平面BDE 的法向量()1111,,n x y z =111111020BD n x y BE n y z ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅=-+=⎪⎩，令11z =，则12y =，12x = ()12,2,1n ∴=设直线CE 与平面BDE 所成角为θ114224sin 339CE n CE n θ⋅--+∴===⨯⋅ 即直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为：49（2）设()0CF t t =>，则()2,1,F t ()2,0,BF t ∴= 设平面BDF 的法向量()2222,,n x y z =222222020BD n x y BF n x tz ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅=+=⎪⎩，令22z =-，则2x t =，2y t = ()2,,2n t t ∴=-由（1）知，平面BDE 的法向量()12,2,1n =1212212cos ,3nn n n n n t ⋅∴<>===⋅又二面角E BD F --的余弦值为1313=，解得：87t = ∴线段CF 的长为：87【点睛】本题考查空间向量法求解直线与平面所成角、利用平面与平面所成角求解其他量的问题；关键是能够熟练掌握直线与平面所成角、平面与平面所成角的向量求法，对于学生的计算能力有一定要求，属于常考题型.18.如图，一楼房高AB 为某广告公司在楼顶安装一块宽BC 为4米的广告牌，CD 为拉杆，广告牌的倾角为60EF 站在楼前观察该广传牌的安装效果：为保证安全，该监理人员不得站在广告牌的正下方：设AE x =米，该监理人员观察广告牌的视角BFC θ∠=.（1）试将tan θ表示为x 的函数； （2）求点E 的位置，使θ取得最大值. 【答案】（1）()23363tan 2x x θ+=>；（2）当121018AE =-米时，θ取得最大值. 【解析】 【分析】（1）作CG AB ⊥，垂足为G ；作FHAB ⊥，垂足为H ，交CG 于M ；作BN CG⊥，垂足为N ；在Rt CFM ∆和Rt BFH ∆分别用x 表示出tan CFM ∠和tan BFH ∠，根据()tan tan CFM BFH θ=∠-∠，利用两角和差正切公式可求得结果；（2）根据（1）的结论，设18t x =+，可得23tan 38t tθ=+-1210t =时，tan θ取最大值，又tan θ在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，可知1210t =时，θ最大，从而可得到结果. 【详解】（1）作CG AB ⊥，垂足为G ；作FH AB ⊥，垂足为H ，交CG 于M ；作BN CG ⊥，垂足为N ，如下图所示：在Rt CFM ∆中，4sin 601933203tan CM CN NM CFM MF AE BN ++-∠====- 在Rt BFH ∆中，183tan BH AB EF BFH HF AE -∠===()tan tan tan tan 1tan tan CFM BFHCFM BFH CFM BFHθ∠-∠∴=∠-∠=+∠∠221080x x +==-+ 监理人员必须在G 的右侧 2x ∴>综上所述：)tan 2x θ=> （2）由（1）可得：()218tan 221080x x x x θ+==>-+ 令18t x =+，则()20,t ∈+∞()()2tan 18218108038tt t t tθ∴==---++-1440t t +≥=（当且仅当1440t t =，即t=tanθ∴≤=∴当t =18x =时，tan θ取最大值又0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且tan θ在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增tan θ∴最大时，θ最大 ∴当18AE =米时，θ取得最大值【点睛】本题考查函数模型的实际应用问题，涉及到两角和差正切公式的应用、利用基本不等式求解函数的最值问题；关键是能够建立起准确的函数模型，在求解最值时，将函数化为符合基本不等式的形式；易错点是忽略了函数模型中定义域的要求. 19.已知函数()()ln 425f x a x a ⎡⎤=-+-⎣⎦，()1ln g x a x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，其中a 为常数． ()1当3a =时，设函数()()()2221h x f x f x =--，判断函数()h x 在()0,+∞上是增函数还是减函数，并说明理由；()2设函数()()()F x f x g x =-，若函数()F x 有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）(]1,2{3⋃，4} 【解析】 【分析】()1代入a 的值，求出()h x 的解析式，判断函数的单调性即可；()2由题意把函数()F x 有且仅有一个零点转化为()()24a x a 5x 10-+-+=有且只有1个实数根，通过讨论a 的范围，结合二次函数的性质得到关于a 的不等式组，解出即可．【详解】（1）由题意，当a 3=时，()()f x ln x 1=+，则()()222x h x ln x 0x 1=≠+，因为2222x 22x 1x 1=-++，又由22x 1+在()0,∞+递减， 所以222x 1-+在()0,∞+递增， 所以根据复合函数的单调性，可得函数()h x 在()0,∞+单调递增函数；()2由()F x 0=，得()()f x g x =，即()1ln 4a x 2a 5ln a x⎛⎫⎡⎤-+-=- ⎪⎣⎦⎝⎭， 若函数()F x 有且只有1个零点，则方程()1ln 4a x 2a 5ln a x ⎛⎫⎡⎤-+-=- ⎪⎣⎦⎝⎭有且只有1个实数根， 化简得()14a x 2a 5a x-+-=-， 即()()24a x a 5x 10-+-+=有且只有1个实数根，a 4=①时，()()24a x a 5x 10-+-+=可化为x 10-+=，即x 1=，此时(4)12530130a a a -⋅+-=>⎧⎨-=>⎩，满足题意，②当a 4≠时，由()()24a x a 5x 10-+-+=得：()()4a x 1x 10⎡⎤---=⎣⎦，解得：14x a=-或x 1=，()i 当114a=-即3a =时，方程()()24510a x a x -+-+=有且只有1个实数根， 此时(4)12520120a a a -⋅+-=>⎧⎨-=>⎩，满足题意，()ii 当114a≠-即3a ≠时， 若1x =是()F x 的零点，则(4)125010a a a -⋅+->⎧⎨->⎩，解得：1a >，若14x a =-是()F x 的零点，则(4)1250114a a a a -⋅+->⎧⎪⎪⎨->⎪⎪-⎩，解得：2a >， 函数()F x 有且只有1个零点，所以12a a >⎧⎨≤⎩或12a a ≤⎧⎨>⎩，1a 2∴<≤，综上，a 的范围是(]1,2{3⋃，4}．【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中涉及到函数的单调性，函数的零点，以及二次函数的性质等知识点的综合应用，同时把函数()F x 有且仅有一个零点转化为方程有且只有1个实数根，合理令二次函数的性质，分类讨论是解答的关键，着重考查了转化思想，分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题. 20.已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x >（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间； （2）对任意21[,)e x ∈+∞均有()f x ≤ 求a 的取值范围. 注：e 2.71828...=为自然对数的底数.【答案】（1）()f x 的单调递增区间是()3,+∞,单调递减区间是()0,3；（2）04a <≤. 【解析】 【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后结合函数的解析式确定函数的单调区间即可.(2)由题意首先由函数在特殊点的函数值得到a 的取值范围，然后证明所得的范围满足题意即可.【详解】(1)当34a =-时，()3ln 4f x x =-()0,∞+，且： ()3433'4x x f x x -+=-+== 因此函数()f x 的单调递增区间是()3,+∞,单调递减区间是()0,3. (2)由1(1)2f a ≤，得04a <≤，当04a <≤时，()2f x a≤，等价于22ln 0x a a --≥， 令1t a=，则t ≥， 设()22lng t t x =，t ≥，则2()2ln g t t x =-， （i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭则()(22)2ln g xg x =， 记1()ln ,7px x x =≥，则1()p x x '=== 列表讨论：()(1)0,()(22)2()0p x p g t g p x ∴=∴=（ii ）当211,7x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g t g ≥=，令211()(1),,7q x x x x e ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦， 则()10q x'=>， 故()q x 211,7e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，1()7q x q ⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭，由（i ）得11(1)07777q p p ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0,()0q x g t g ∴<∴≥=>，由（i ）（ii ）知对任意21,,),()0x t g t e ⎡⎫∈+∞∈+∞≥⎪⎢⎣⎭，即对任意21,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2f x a≤，综上所述，所求的a 的取值范围是0,4⎛ ⎝⎦． 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．。
2021届江苏省泰州市高三上学期数学期末调研测试题答案及答案解析(解析版)
元．另外已知每件次品的销毁费用为 4 元．若甲厂抽检的玩具中有 10 件为 A 等
级，用样本的频率估计概率，试判断甲、乙两厂是否都能盈利，并说明理由．
附：
2
=
(a
+
n(ad − bc)2 b)(c + d )(a + c)(b
+
d)
，其中
n=a+b+c+d．
( ) P 2 x0 0.5 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
A
B
C
频数
20
120
60
(表一)
厂家
合格品
次品
合计
甲
75
乙
35
合计
(表二)
在相关政策扶持下，确保每件合格品都有对口销售渠道，但从安全起见，所有
的次品必须由原厂家自行销毁．
(1)请根据所提供的数据，完成上面的 2×2 列联表(表二)，并判断是否有 95%
的把握认为产品的合格率与厂家有关？
(2)每件玩具的生产成本为 30 元，A、B 等级产品的出厂单价分别为 60 元、40
A． f (x)的一个周期是 2
B． f (x)的值域是 −1，1
C． f (x)的图象关于点（ ，0）对称 D． f (x)在区间 (0， )上单调递减
【答案】AD
11．引入平面向量之间的一种新运算“ ”如下：对任意的向量 m= (x1，y1)，n= (x2，y2 )，
规定 m n= x1x2 − y1y2 ，则对于任意的向量 a，b，c，下列说法正确的有( ▲ )
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
2022届江苏省泰州中学年高三上学期期初检测数学试题(解析版)
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【详解】（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ．
由已知得 ，
解得 ．
所以 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ．
所以
．
考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法．
18.已知数列 的前n项和 ，满足
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前n项和
【答案】（1） ；（2） .
【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）最大值1；最小值 .
【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式 中即可；（Ⅱ）设 ，求 ，根据 确定函数 的单调性，根据单调性求函数的最大值为 ，从而可以知道 恒成立，所以函数 是单调递减函数，再根据单调性求最值.
试题解析：（Ⅰ）因为 ，所以 .
【详解】（1）证明：
又
∴数列 是以首项为 ，公差为 的等差数列
（2）由（1）得 ，
（3）解：
【点睛】本题考查了根据递推关系证明等差数列，由所得数列求原数列的通项公式，最后由新数列与已知数列的关系求新数列通项，结合裂项相消法求新数列的前n项和.
21.已知函数 .
（Ⅰ）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
【详解】设等差数列 的公差为 ，
因为 ，可得 ， ，
，
即 ， ，即 ，
所以 ， ，即数列 递减，
且 ， ，…， ， ，
又由 ，可得 ，
则 ，由 ，要使 取最大值，则 取得最小值，
显然 ，而 ，
所以当 时， 取得最小值.
综上可得，正确的选项为ABC.
故选：ABC.
【点睛】本题主要考查了数列的综合应用，其中解答中熟练应用通项 和 的关系式，数列的“裂项法”求和，以及数列的单调性进行求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
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2021-2022学年江苏省泰州中学高三（上）期初数学试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知全集为R，集合A＝{x|（）x≤1}，B＝{x|x2﹣6x+8≤0}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|x≤0}B．{x|2≤x≤4}C．{x|0≤x＜2或x＞4}D．{x|0＜x≤2或x≥4}2．下列关于x，y的关系中为函数的是（）A．B．y2＝4xC．y＝D．x1234y00﹣6113．“a＝”是“对任意的正数x，2x+的”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（）A．尺布B．尺布C．尺布D．尺布5．设，则a，b，c的大小顺序是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a6．已知：x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）C．（﹣2，4）D．（﹣4，2）7．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝x+a无实根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）∪（，1）B．（﹣1，0）C．（0，）D．（0，1）8．如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若AC＝3，AB＝4，则的值为（）A．﹣3B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．若复数z满足z（1﹣2i）＝10，则（）A．＝2﹣4iB．z﹣2是纯虚数C．复数z在复平面内对应的点在第三象限D．若复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，则10．已知集合A＝{x∈R|x2﹣3x﹣18＜0}，B＝{x∈R|x2+ax+a2﹣27＜0}，则下列命题中正确的是（）A．若A＝B，则a＝﹣3B．若A⊆B，则a＝﹣3C．若B＝∅，则a≤﹣6或a≥6D．若B⫋A时，则﹣6＜a≤﹣3或a≥611．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，S2019＜S2021＜S2020，设b n＝a n a n+1a n+2，则数列{}的前n项和为T n，则下列结论中正确的是（）A．a2020＞0B．a2021＜0C．a2019•a2020＞a2021•a2022D．n＝2019时，T n取得最大值12．设函数f（x）＝min{|x﹣2|，x2，|x+2|}，其中min{x，y，z}表示x，y，z中的最小者．下列说法正确的有（）A．函数f（x）为偶函数B．当x∈[1，+∞）时，有f（x﹣2）≤f（x）C．当x∈R时，f（f（x））≤f（x）D．当x∈[﹣4，4]时，|f（x）﹣2|≥f（x）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知平面向量＝（﹣2，x），＝（1，），且（﹣）⊥，实数x的值为．14．若数列{a n}的通项公式是a n＝（﹣1）n（3n﹣2），则a1+a2+…+a20等于．15．若函数f（x）＝，则f（2021）＝．16．在数列{a n}中，a1＝3，（n∈N*），则a n ＝，对所有n∈N*恒成立，则λ的取值范围是．四、解答题：本题包括6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．等差数列{a n}中，a2＝4，a4+a7＝15．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝+n，求b1+b2+b3+…+b10的值．18．已知数列{a n}的前n项和S n，满足3S n＝1+2a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{（2n﹣1）a n}的前n项和T n．19．已知函数f（x）＝e x cos x﹣x．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．20．已知数列{a n}满足：a1＝6，a n﹣1•a n﹣6a n﹣1+9＝0，n∈N*且n≥2．（1）求证：数列{}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．21．已知函数f（x）＝2e x﹣ax﹣2（x∈R，a∈R）．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）当x≥0时，若不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．22．已知函数．（1）求函数y＝f（x）的最大值；（2）令g（x）＝（x+1）f（x）﹣（a﹣2）x+x2，若g（x）既有极大值，又有极小值，求实数a的范围；（3）求证：当n∈N*时，．参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知全集为R，集合A＝{x|（）x≤1}，B＝{x|x2﹣6x+8≤0}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|x≤0}B．{x|2≤x≤4}C．{x|0≤x＜2或x＞4}D．{x|0＜x≤2或x≥4}解：∵≤1＝，∴x≥0，∴A＝{x|x≥0}；又x2﹣6x+8≤0⇔（x﹣2）（x﹣4）≤0，∴2≤x≤4．∴B＝{x|2≤x≤4}，∴∁R B＝{x|x＜2或x＞4}，∴A∩∁R B＝{x|0≤x＜2或x＞4}，故选：C．2．下列关于x，y的关系中为函数的是（）A．B．y2＝4xC．y＝D．x1234y00﹣611解：对于A，y＝+中，令，解得，即x∈∅，不是关于x，y 的函数；对于B，y2＝x，当x＞0时，有两个y与x对应，不是关于x，y的函数；对于C，y＝，当x＝1时，有y＝±1，所以不是关于x，y的函数；对于D，满足任取定义域内的x，都有唯一的y与x对应，是关于x，y的函数．故选：D．3．“a＝”是“对任意的正数x，2x+的”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：当“a＝”时，由基本不等式可得：“对任意的正数x，2x+”一定成立，即“a＝”⇒“对任意的正数x，2x+”为真命题；而“对任意的正数x，2x+的”时，可得“a≥”即“对任意的正数x，2x+”⇒“a＝”为假命题；故“a＝”是“对任意的正数x，2x+的”充分不必要条件故选：A．4．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（）A．尺布B．尺布C．尺布D．尺布解：设此等差数列{a n}的公差为d，则30×5+d＝390，解得d＝，故选：D．5．设，则a，b，c的大小顺序是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a解：a＝＝＜1，b＝＞1，c＝＝＜1；且0＜＜＜1，函数y＝在（0，+∞）上是单调增函数，所以＜，所以c＜a；综上知，c＜a＜b．故选：A．6．已知：x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）C．（﹣2，4）D．（﹣4，2）解：∵x＞0，y＞0，且，∴x+2y＝（x+2y）（）＝2+++2≥8（当且仅当x＝4，y＝2时取到等号）．∴（x+2y）min＝8．∴x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜（x+2y）min＝8，解得：﹣4＜m＜2．故选：D．7．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝x+a无实根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）∪（，1）B．（﹣1，0）C．（0，）D．（0，1）解：因为函数f（x）＝，关于x的方程f（x）＝x+a无实根等价于函数y＝f（x）的图象与直线y＝x+a无交点，设直线y＝x+a与f（x）＝（x＞0）切与点P（x0，y0），由f′（x）＝，由已知有：，解得x0＝1，则P（1，0），则切线方程为：y＝x﹣1，由图知：函数y＝f（x）的图象与直线y＝x+a无交点时实数a的取值范围为实数a的取值范围为﹣1＜a＜0，故选：B．8．如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若AC＝3，AB＝4，则的值为（）A．﹣3B．C．D．解：∵＝2，∴＝，∵∥，∴＝k，即﹣＝k（﹣），又∵，则（m﹣1）+＝k（﹣），∴，∴k＝，m＝，则•＝•（﹣）＝（+）•（﹣）＝2﹣2﹣•＝﹣﹣×4×3cos＝，故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．若复数z满足z（1﹣2i）＝10，则（）A．＝2﹣4iB．z﹣2是纯虚数C．复数z在复平面内对应的点在第三象限D．若复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，则解：∵z（1﹣2i）＝10，∴z＝＝＝2+4i，∴＝2﹣4i，选项A正确，∵z﹣2＝4i，为纯虚数，∴选项B正确，∵复数z在复平面内对应的点为（2，4），在第一象限，∴选项C错误，∵复数z在复平面内对应的点为（2，4），∴＝，∴选项D错误，故选：AB．10．已知集合A＝{x∈R|x2﹣3x﹣18＜0}，B＝{x∈R|x2+ax+a2﹣27＜0}，则下列命题中正确的是（）A．若A＝B，则a＝﹣3B．若A⊆B，则a＝﹣3C．若B＝∅，则a≤﹣6或a≥6D．若B⫋A时，则﹣6＜a≤﹣3或a≥6解：由已知可得A＝{x|﹣3＜x＜6}，若A＝B，则a＝﹣3，且a2﹣27＝﹣18，解得a＝﹣3，故A正确，当a＝﹣3时，A＝B，故D错误，若A⊆B，则（﹣3）2+a•（﹣3）+a2﹣27≤0且62+6a+a2﹣27≤0，解得a＝﹣3，故B正确，当B＝∅时，a2﹣4（a2﹣27）≤0，解得a≤﹣6或a≥6，故C正确，故选：ABC．11．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，S2019＜S2021＜S2020，设b n＝a n a n+1a n+2，则数列{}的前n项和为T n，则下列结论中正确的是（）A．a2020＞0B．a2021＜0C．a2019•a2020＞a2021•a2022D．n＝2019时，T n取得最大值解：由于S n是等差数列{a n}的前n项和，S2019＜S2021＜S2020，所以S2021﹣S2020＝a2021＜0，S2020﹣S2019＝a2020＞0，所以S2021﹣S2019＝a2021+a2020＞0，即a2020＞﹣a2021＞0，故a2020﹣d＞﹣a2021﹣d＞0，即a2019＞﹣a2022＞0，所以a2019a2020＞a2021a2022，所以d＜0，即数列{a n}单调递减，且满足a1＞0，a2＞0，…，a2020＞0，a2021＜0，…，b n＝a n a n+1a n+2，则数列＝＝，所以＝．由于d＜0，可得要使T n取得最大值，所以取得最小值，所以＞0，而a2a3＞a3a4＞…＞a2019a2020＞a2021a2022＜a2022a2023＜…，所以当n＝2020时，取得最小值．故选：ABC．12．设函数f（x）＝min{|x﹣2|，x2，|x+2|}，其中min{x，y，z}表示x，y，z中的最小者．下列说法正确的有（）A．函数f（x）为偶函数B．当x∈[1，+∞）时，有f（x﹣2）≤f（x）C．当x∈R时，f（f（x））≤f（x）D．当x∈[﹣4，4]时，|f（x）﹣2|≥f（x）解：在同一直角坐标系中画出函数y＝|x﹣2|，y＝x2，y＝|x+2|的图象如右图所示，由图象可知：f（x）＝，显然有f（﹣x）＝f（x），可得f（x）为偶函数；故A正确；又当x≥1时，f（x）＝|x﹣2|，f（x﹣2）的图象可看作f（x）的图象右移2个单位得到，显然x≥1时，f（x）的图象在f（x﹣2）图象之上，∴当x∈[1，+∞）时，有f（x﹣2）≤f（x），故B正确；又由图象可知：若x∈R时，f（x）≥0，可令t＝f（x），由y＝f（t）和y＝t（t≥0）的图象可知：当t≥0时，y＝t在曲线y＝f（t）的上方，∴当t≥0时，有t≥f（t），即有f（f（x））≤f（x）成立，故C正确；若x∈[﹣4，4]，f（﹣4）＝2，f（﹣4）﹣2＝0，显然f（﹣4）＞|f（﹣4）﹣2|，故D不正确，故选：ABC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知平面向量＝（﹣2，x），＝（1，），且（﹣）⊥，实数x的值为2．解：平面向量＝（﹣2，x），＝（1，），所以﹣＝（﹣3，x﹣），又（﹣）⊥，所以（﹣）•＝0，即﹣3×1+（x﹣）＝0，解得x＝2．故答案为：．14．若数列{a n}的通项公式是a n＝（﹣1）n（3n﹣2），则a1+a2+…+a20等于30．解：数列{a n}的通项公式是a n＝（﹣1）n（3n﹣2），依题意可知a1+a2＝3，a3+a4＝3，…，a19+a20＝3，∴a1+a2+…+a20＝10×3＝30故答案为：30．15．若函数f（x）＝，则f（2021）＝2．解：根据题意，当x＞0时，由f（x）＝f（x﹣1）﹣f（x﹣2），可得f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1），两式相加得f（x+1）＝﹣f（x﹣2），则f（x+3）＝﹣f（x），故当x＞0时，f（x+6）＝﹣f（x+3）＝﹣[﹣f（x）]＝f（x），即x＞0时，f（x）是周期为6的周期函数，又函数f（x）＝，则f（2021）＝f（5）＝﹣f（2）＝f（﹣1）＝2，故答案为：216．在数列{a n}中，a1＝3，（n∈N*），则a n ＝，对所有n∈N*恒成立，则λ的取值范围是．解：由于（n∈N*），所以当n≥2时，有，两式相减可得，即当n≥2时，，当n＝1时，求得a2＝6，即也符合该递推关系，所以．由于，令，由于，当n＝4时，c4＝c5，当n＜4单调递增，当n＞4单调递减，所以c1＜c2＜c3＜c4＝c5＞c6＞…，故数列最大项为，即．故答案为：；．四、解答题：本题包括6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．等差数列{a n}中，a2＝4，a4+a7＝15．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝+n，求b1+b2+b3+…+b10的值．解：（Ⅰ）设公差为d，则，解得，所以a n＝3+（n﹣1）＝n+2；（Ⅱ）b n＝+n＝2n+n，所以b1+b2+b3+…+b10＝（2+1）+（22+2）+…+（210+10）＝（2+22+...+210）+（1+2+ (10)＝+＝2101．18．已知数列{a n}的前n项和S n，满足3S n＝1+2a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{（2n﹣1）a n}的前n项和T n．解：（1）3S n＝1+2a n，①，当n＝1时，3S1＝1+2a1，解得a1＝1，当n≥1时，3S n+1＝1+2a n+1，②，由②﹣①可得3a n+1＝2a n+1﹣2a n，即a n+1＝﹣2a n，∴＝﹣2，∴数列{a n}是以1为首项，以﹣2为公比的等比数列，∴a n＝（﹣2）n﹣1，（2）（2n﹣1）a n＝（2n﹣1）（﹣2）n﹣1，则T n＝1×（﹣2）0+3×（﹣2）1+5×（﹣2）2+…+（2n﹣1）（﹣2）n﹣1，∴﹣2T n＝1×（﹣2）1+3×（﹣2）2+5×（﹣2）3+…+（2n﹣1）（﹣2）n，两式相减，可得3T n＝1+2×（﹣2）1+2×（﹣2）2+2×（﹣2）3+…+2×（﹣2）n﹣1﹣（2n ﹣1）（﹣2）n，＝1+2×﹣（2n﹣1）（﹣2）n，＝1﹣﹣×（﹣2）n﹣（2n﹣1）（﹣2）n，＝﹣﹣（2n﹣）×（﹣2）n，∴T n＝﹣﹣．19．已知函数f（x）＝e x cos x﹣x．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．解：（1）函数f（x）＝e x cos x﹣x的导数为f′（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，可得曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝e0（cos0﹣sin0）﹣1＝0，切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1；（2）函数f（x）＝e x cos x﹣x的导数为f′（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，令g（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，则g（x）的导数为g′（x）＝e x（cos x﹣sin x﹣sin x﹣cos x）＝﹣2e x•sin x，当x∈[0，]，可得g′（x）＝﹣2e x•sin x≤0，即有g（x）在[0，]递减，可得g（x）≤g（0）＝0，则f（x）在[0，]递减，即有函数f（x）在区间[0，]上的最大值为f（0）＝e0cos0﹣0＝1；最小值为f（）＝cos﹣＝﹣．20．已知数列{a n}满足：a1＝6，a n﹣1•a n﹣6a n﹣1+9＝0，n∈N*且n≥2．（1）求证：数列{}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】（1）证明：由a n﹣1•a n﹣6a n﹣1+9＝0，得，∴，则＝＝，∴数列{}是公差为的等差数列；（2）解：由（1）知，＝，∴；（3）解：b n＝＝，则＝．21．已知函数f（x）＝2e x﹣ax﹣2（x∈R，a∈R）．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）当x≥0时，若不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）当a＝1时，f（x）＝2e x﹣x﹣2，f′（x）＝2e x﹣1，f′（1）＝2e﹣1，即曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率k＝2e﹣1，又f（1）＝2e﹣3，故所求的切线方程是y＝（2e﹣1）x﹣2．（2）当x≥0时，若不等式f（x）≥0恒成立⇔[f（x）]min≥0．易知f′（x）＝2e x﹣a．①若a≤0，则f′（x）＞0恒成立，f（x）在R上单调递增；又f（0）＝0，∴当x∈[0，+∞）时，f（x）≥f（0）＝0，符合题意．②若a＞0，由f′（x）＝0，解得x＝ln．则当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．∴x＝时，函数f（x）取得最小值．当，即0＜a≤2时，当x∈[0，+∞）时，f（x）≥f（0）＝0，符合题意．当，即a＞2时，当时，f（x）单调递增，f（x）＜f（0）＝0，不符合题意．综上，实数a的取值范围是（﹣∞，2]．22．已知函数．（1）求函数y＝f（x）的最大值；（2）令g（x）＝（x+1）f（x）﹣（a﹣2）x+x2，若g（x）既有极大值，又有极小值，求实数a的范围；（3）求证：当n∈N*时，．【解答】（1）解：（1）函数y＝f（x）定义域为x∈（﹣1，+∞），f′（x）＝﹣，∴x∈（﹣1，+∞）当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＞0；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在区间（﹣1，0）上为增函数；在区间（0，+∞）为减函数，所以f（x）max＝f（0）＝1；（2）解：g（x）＝1+ln（x+1）﹣（a﹣2）x+x2，g′（x）＝﹣（a﹣2）+2x＝，g（x）既有极大值，又有极小值，等价于方程2x2+（4﹣a）x+3﹣a＝0在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等的实数根，即：，解得：a＞2，所以所求实数a的取值范围是：（2，+∞）；（3）证明：由（1）知当x＞0时，f（x）＜f（0）＝1，∴ln（1+x）＜x，∴ln（1+）＜，∴ln（1+1）＜1，ln（1+）＜，ln（1+）＜，…，ln（1+）＜，∴ln（1+1）+ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜1+++…+＜1+++…+＝1+2（﹣+﹣+…+﹣）＝1+2﹣2＝2﹣1＜2．。