江苏省泰州市高三数学上学期期末考试试题苏教版

高三数学试题(考试时间： 120分钟 总分160分)注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效． 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1．已知集合A ={}3,2,1，B ={}5,2,1，则A ∩B = ▲ .2．设复数z 1=2+2i,z 2=2-2i,则21z z= ▲ .3．若数据3,,,,,54321x x x x x 的平均数为3，则数据54321,,,,x x x x x 的平均数为 ▲ .4．设双曲线15422=-yx 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上位于第一象限内的一点，且△PF 1F 2的面积为6，则点P 的坐标为 ▲ .5．曲线y =2ln x 在点(e,2)处的切线（e 是自然对数的底）与y 轴交点坐标为 ▲ .6．如图，ABCD 是一个4×5的方格纸，向此四边形ABCD 内抛撒一粒豆子，则豆子恰好落在阴影部分内的概率为 ▲ .7．设函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且),()(b f a f >则)(a f - ▲ )(b f -（用""""<>或填空）.8． 在空间中，用a b c ,, 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列四个命题：①若//a b ，//b c ，则//a c ； ②若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥； ③若//a γ，//b γ，则//a b ； ④若a γ⊥，b γ⊥，则//a b ；其中真命题的序号为 ▲ .9. 右图是一个算法流程图，则输出的P = ▲ .10. 已知点P (t ,2t )(t ≠0)是圆C ：x 2+y 2=1内一点，直线tx +2ty =m 与圆C 相切，则直线x +y +m =0与圆C 的位置关系是 ▲ .11. 设a ∈R ，s ：数列{()2a n -}是递增的数列；t ：≤a 1.则s 是t 的 ▲ 条件.（填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”中的一个）.12.各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 1≥1，a 2≤2，a 3≥3，则a 4的取值范围是 ▲ .13. 已知六个点A 1(x 1,1),B 1(x 2,-1),A 2(x 3,1),B 2(x 4,-1),A 3(x 5,1),B 3(x 6,-1)（x 1＜x 2＜x 3＜x 4D＜x 5 ＜x 6，x 6－x 1=5π)都在函数f (x )=sin(x +3π)的图象C 上.如果这六点中不同的两点的连线的中点仍在曲线C 上，则称此两点为“好点组”，则上述六点中好点组的个数为 ▲ .（两点不计顺序）14. 已知f (x )=2mx +m 2+2,m ≠0,m ∈R ,x ∈R .若｜x 1｜+｜x 2｜=1，则)()(21x f x f 的取值范围是▲ .二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）15. （本题满分14分）已知向量a =（cos λθ,cos(10-λ)θ），b =(sin(10-λ)θ,sin λθ),λ、θ∈R .（1）求2a +2b 的值；（2）若a ⊥b，求θ；（3）若θ=20π，求证：a ∥b.16. （本题满分14分） 在三棱锥S-ABC 中，SA ⊥平面ABC ，SA =AB =AC =33BC ，点D 是BC 边的中点，点E 是线段AD 上一点，且AE =4DE ，点M 是线段SD 上一点. (1)求证：BC ⊥AM ；(2)若AM ⊥平面SBC ，求证EM ∥平面ABS .17. （本题满分14分）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，AB =1，BC =2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN ⊥BC . （1）设∠MOD =30°，求三角形铁皮PMN 的面积； （2）求剪下的铁皮三角形PMN 面积的最大值.18. （本题满分16分）直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：12222=+b y a x （a >b >0）的左、右顶点分别是A 1，A 2，上、下顶点为B 2，B 1，点P （a 53，m ）（m ＞0）是椭圆C 上一点，PO ⊥A 2B 2，直线PO 分别交A 1B 1、A 2B 2于点M 、N . （1）求椭圆离心率；（2）若MN =7214，求椭圆C 的方程；（3）在（2）的条件下，设R 点是椭圆C 上位于第一象限内的点，F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，RQ 平分∠F 1RF 2且与y 轴交于点Q ，求点Q 纵坐标的取值范围.19. （本题满分16分）已知数列a n =n -16，b n =(-1)n ｜n -15｜，其中n ∈N *. （1）求满足a n +1=｜b n ｜的所有正整数n 的集合； （2）若n ≠16，求数列nna b 的最大值和最小值； （3）记数列{a n b n }的前n 项和为S n ，求所有满足S 2m =S 2n （m ＜n ）的有序整数对（m ,n ）.20. （本题满分16分）已知函数f (x )=(x -a )(x -b )2，a ,b 是常数. (1)若a ≠b ，求证：函数f (x )存在极大值和极小值；(2)设（1）中f (x )取得极大值、极小值时自变量的值分别为x 1、x 2，令点A (x 1, f (x 1)),B (x 2,f (x 2)).如果直线AB 的斜率为-21，求函数f (x )和f ′ (x )的公共递减区间的长度 ； (3)若f (x )≥mxf ′ (x )对于一切x ∈R 恒成立，求实数m ,a ,b 满足的条件.2012～2013学年度第一学期期末考试高三数学试题(附加题)21.［选做题］请考生在A 、B 、C 、D 四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分。

A.（本小题满分10分，几何证明选讲）如图⊙O 的两弦AB ，CD 所在直线交于圆外一点P .(1)若PC =2，CD =1，点A 为PB 的中点，求弦AB 的长；(2)若PO 平分∠BPD ，求证：PB =PD .B.（本小题满分10分，矩阵与变换）已知变换T 把平面上的点(1,0),(0,2)分别变换成点(1,1)，(-2,2).(1)试求变换T 对应的矩阵M ；(2)求曲线x 2-y 2=1在变换T 的作用下所得到的曲线的方程.PA B DCO•C.（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）已知直线⎩⎨⎧-=+=ty tx l 1:（t 为参数）与圆C ：⎩⎨⎧+==θθsin 2cos 2m y x （θ为参数）相交于A ,B 两点，m 为常数. (1) 当m =0时，求线段AB 的长；(2) 当圆C 上恰有三点到直线的距离为1时，求m 的值.D.（本小题满分10分，不等式选讲）若c b a ,,∈R +，+a 2+b 3c =6.(1)求abc 的最大值； (2)求证cc b b a a 236+++++≥12.［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AD 、DC 的中点.(1)求直线BC 1与平面EFD 1所成角的正弦值；(2)设直线BC 1上一点P 满足平面PAC ∥平面EFD 1，求PB 的长.23.(本小题满分10分)如图A 1(x 1，y 1)(y 1<0)是抛物线y 2=mx (m ＞0)上的点，作点A 1关于x 轴的对称点B 1，过B 1作与抛物线在A 1处的切线平行的直线B 1A 2交抛物线于点A 2. (1)若A 1(4,-4),求点A 2的坐标；(2)若△A 1A 2B 1的面积为16，且在A 1，B 1两点处的切线互相垂直.①求抛物线方程； ②作A 2关于x 轴的对称点B 2，过B 2作与抛物线在A 2A BC 1D 1C D E F B 1A 1处的切线平行的直线B 2A 3，交抛物线于点A 3,…,如此继续下去，得一系列点A 4,A 5,…，设A n (x n ,y n )，求满足x n ≥10000x 1的最小自然数n .2012～2013学年度第一学期期末考试高三数学参考答案一填空题1．{}2,1 2.i 3.3 4. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2,556 5.(0,1) 6.0.2 7.< 8. ①④ 9. 6510.相交11.必要不充分 12. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡8,29 13.11 14. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,221 二 解答题15. （1）∵｜a ｜=cos 2λθ+cos 2(10-λ)θ ，｜b ｜=sin 2(10-λ)θ+sin 2λθ （算1个得1分）｜a ｜2+｜b ｜2=2，………………………………………………………………4分（2）∵a ⊥b，∴cos λθ·sin(10-λ)θ +cos(10-λ) θ·sin λθ=0∴sin ((10-λ) θ+λθ)=0，∴sin10θ=0…………………………………………7分∴10θ=k π，k ∈Z ，∴θ=10πk ，k ∈Z (9)分（3）∵θ=20π, cos λθ·sin λθ－cos(10-λ) θ·sin［(10－λ) θ］=cos 20λπ·sin 20λπ－cos （2π－20λπ）·sin(2π－20λπ)=cos20λπ·sin20λπ-sin20λπ·cos20λπ=0，∴a ∥b (14)分16. (1)∵AB =AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ,………………………………………… 2分AM BC SAD AM SAD BC A SA AD BCSA ABC BC ABC SA ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫=⋂⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥面平面面面……………..7分 （证到SA ⊥平面SAD 得5分）（2）∵AM ⊥面SAB ， ⇒AM ⊥SD ，⇒⎭⎬⎫==DE AE MD SM 44⎪⎭⎪⎬⎫⊆⊄平面平面SA ABS //ME SA ME ⇒EM ∥面ABS ……………14分（证到SM =4MD 得10分，得到ME ‖SA 得12分。

） 17. (1)设MN 交AD 交于Q 点 ∵∠MQD =30°，∴MQ =21，OQ =23（算出一个得2分）S △PMN =21MN ·AQ =21×23×（1+23）=8336+ ……………….……… 6分（2）设∠MOQ =θ，∴θ∈［0，2π］，MQ =sin θ，OQ =cos θ∴S △PMN =21MN ·AQ =21(1+sin θ)(1+cos θ) =21(1+sin θcos θ+sin θ+cos θ) (11)分令sin θ+cos θ=t ∈［1，2］，∴S △PMN =21(t +1+212-t )θ=4π，当t =2,∴S △PMN 的最大值为4223+.………………………..……………14分 18. (1)P (53a ,54b )，…………………………………………………………1分 22B A K ·K OP =-1，∴4b 2=3a 2=4(a 2-c 2), ∴a 2=4c 2, ∴e=21① …………………………4分(2)MN=7214=22112b a +，∴1272222=+b a b a ②由①②得，a 2=4,b 2=3, ∴13422=+y x (8)（3RQ RF ·RQ RF ·分∴22000002200000)1(),)(,1()1(),)(,1(y x y t x y x y x y t x y x +-----=++-----化简得：∴t =-31y 0…………………………….................................................14分∵0<y 0<3,t∈(-33,0) …………………………………………………………..16分 19. (1)a n +1=｜b n ｜，n －15=｜n －15｜，当n ≥15时,a n +1=｜b n ｜恒成立， 当n <15时,n －15=－(n －15) ，n =15n 的集合{n ｜n ≥15,n ∈N *}……………………………………….…………….…………….4分(2)nn a b =1615)1(---n n n(i)当n>16时，n 取偶数n n a b =1615--n n =1+161-n当n=18时（nn a b ）max =23无最小值n 取奇数时nn a b =-1-161-n n=17时（nna b ）min =-2无最大值 ……………………………………………………………8分 (ii)当n<16时，nna b =16)15()1(---n n n当n 为偶数时nn a b =16)15(---n n =-1-161-nn=14时（nn a b ）max =-21（n n a b ）min =-1413当n 奇数n n a b =1615--n n =1+161-n ， n=1 ， （nn a b ）max =1-151=1514，n =15，（nna b ）min =0 ………………………………………………………………………11分 综上，nn a b 最大值为23（n =18）最小值-2（n =17） (12)分(3)n≤15时，b n =(-1)n-1(n-15)，a 2k -1b 2k -1+a 2k b 2k =2 (16-2k )≥0 ，n >15时，b n =(-1)n(n -15)，a 2k -1b 2k -1+a 2k b 2k =2 (2k -16) >0，其中a 15b 15+a 16b 16=0∴S 16=S 14 m =7， n =8…………………………………………………………….16分 20．（1）[])2(3)()(/b a x b x x f +--= …………………………………………………1分b a ≠ 32b a b +≠∴0)(,=∴x f 有两不等 b 和32ba + ∴f （x ）存在极大值和极小值 ……………………………….……………………………4分（2）①若a =b ，f （x ）不存在减区间②若a >b 时由（1）知x 1=b ，x 2=32ba + ∴A （b ,0）B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+9)(2,322b a b a 21329)(22-=-+-∴b b a b a ∴)(3)(22b a b a -=- 23=-∴b a○3当a <b 时 x 1=32ba +,x 2=b 。