2020年泰州市高三数学5月二模试卷附答案解析
2020届江苏省泰州中学高三下学期五模考试数学试卷及解析
2020届江苏省泰州中学高三下学期五模考试数学试卷★祝考试顺利★(解析版)一、填空题1. 已知集合{}0A x x =,{}1,0,1,2B =-,则A B ⋂等于 ．【答案】{}1,2试题分析：{}{}{}|01,0,1,21,2A B x x ⋂=>⋂-=2. 设i 是虚数单位,复数z 满足 (34)43i z i +=-,则复数z 的虚部为_____．【答案】1-【解析】利用复数的除法运算求得z ,由此求得z 的虚部. 【详解】依题意()()()()4334432534343425i i i i z i i i i ----====-++-,所以z 的虚部为1-. 故答案为：1-3. 执行下图的程序框图,如果输入6i =,则输出的S 值为 ．【答案】21试题分析：由题意,012345621S =++++++=．4. 函数232x x --的定义域是 .【答案】[]3,1-试题分析：要使函数有意义,需满足2232023031x x x x x --≥∴+-≤∴-≤≤,函数定义域为[]3,1-5. 若将甲、乙两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒子的放球数量不限,则在1,2号盒子中各有一个球的概率是 ． 【答案】29.试题分析：将甲、乙两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子中,共有33=9⨯种方法,其中在1,2号盒子中各有一个球有21=2⨯种方法,因此所求概率是2.9 6. 若x ,y 满足不等式组1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,则32x y +的最大值为______.【答案】3【解析】画出不等式组表示的平面区域,数形结合即可求得目标函数的最值.【详解】画出不等式组表示的平面区域如下图所示：目标函数32z x y =+,即322z y x =-+与直线32y x =-平行. 数形结合可知,当且仅当目标函数过点()1,0A 时,取得最大值.故3max z =.故答案为：3.7. 已知两条直线m ,n ,两个平面α,β,给出四个命题：①若//m n ,m α⊥,则n α⊥ ②若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m n③若//m α,m β⊥,则αβ⊥ ④若αβ⊥,//m α,则m β⊥其中正确命题的序号是_____．【答案】①③【解析】根据直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系逐一判断即可.【详解】对①,由线面垂直的性质以及判定定理可知,①正确；对②,若//αβ,m α⊂,n β⊂,则,m n 异面或者平行,②错误；对③,由面面垂直的判定定理可知,③正确；对④,若αβ⊥,//m α,则m 可能在β内或与β平行或与β相交,④错误；故答案为：①③8. 等差数列{}n a 的公差为2,n S 是数列{}n a 的前n 项的和,若2040S =,则135719a a a a a ++++=_________．【答案】10【解析】利用等差数列奇数项的和与偶数项的和的关系即可求解.【详解】等差数列{}n a 的公差为2,2040S =,则201231920S a a a a a =+++++ 1351719241820a a a a a a a a a =+++++++++ 1351719131719a a a a a a d a d a d a d =+++++++++++++ ()135171921040a a a a a d =+++++=, 解得13571910a a a a a ++++=.故答案为：10 9. 已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合,则该双曲线的渐近线方程为______.【答案】2y x =±【解析】求出抛物线的焦点坐标,根据题意可以知道双曲线的右焦点坐标,结合双曲线标准方程中,,a b c 之间的关系求出b 的值,最后利用双曲线的渐近线方程进行求解即可.【详解】因为抛物线212y x =的焦点坐标为(3,0),所以双曲线22214x y b -=的右焦点也是(3,0),即3c =,而222294c a b b b =+⇒=+⇒=,所以该双曲线的渐近线方程为2y x =±.故答案为：y x =10. 在平面直角坐标系xOy 中,直线1:40l kx y -+=与直线2:30l x ky +-=相交于点P ,则当实数k 变化时,点P 到直线43100x y -+=的距离的最大值为__________． 【答案】92【解析】判断出P 点的轨迹,然后根据直线和圆的位置关系,求得P 到直线43100x y -+=的距离的最大值.【详解】设直线1l 与y 轴交于()0,4A ,直线2l 与x 轴交于()3,0B,5AB ==. 当0k =时,直线1l 为4y =,直线2l 为3x =,所以两条直线的交点为()13,4P .当0k ≠时,两条直线的斜率分别为k 、1k-,斜率乘积为1-,故12l l ⊥,所以P 点的轨迹是以AB 为直径的圆（除,A B 两点外）.设以AB 为直径的圆的圆心为3,22C ⎛⎫ ⎪⎝⎭,半径522AB r ==,圆的方程为()22235222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.点()13,4P 满足圆的方程.综上所述,点P 点的轨迹是以AB 为直径的圆（除,A B 两点外）.圆心C 到直线43100x y -+=的距离为2d ==.所以点P 到直线43100x y -+=的距离的最大值为59222d r +=+=. 故答案为：92. 11. 已知点P 在ABC 内,且满足1134AP AB AC =+,设PBC 、PCA 、PAB △的面积依次为1S 、2S 、3S ,则123::S S S =______．【答案】5:4:3【详解】因为()()11113434AP AB AC PB PA PC PA =+=-+-,所以5430PA PB PC ++=,所以123::5:4:3S S S =．12. 已知函数()24,0,{3,0,x x x f x x x -≥=<若函数()()3g x f x x b =-+有三个零点,则实数b 的取值范围为__________．【答案】1(,6)(,0]4-∞-⋃- 【解析】求出函数()f x 的解析式,分别画出函数()f x 与3y x b =-的图象,将函数()()3g x f x x b =-+有三个零点转化为函数()f x 与3y x b =-的图象的交点有三个求解即可【详解】3y x b =-与3(0)y x x=-<相切时6b =- （正舍）,3y x b =-与()2404y x x x =-≤≤相切时14b =- , 3y x b =-与24(4)y x x x =->不相切.由图可知实数b 的取值范围为(),6-∞-⋃ 1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦.故答案为()1,6,04⎛⎤-∞-⋃- ⎥⎝⎦. 13. 已知函数()sin(2)6f x x π=-,若方程3()5f x =的解为1212(,0)x x x x π<<<,12sin()x x -=____________． 【答案】45- 【解析】 根据122266x x πππ-+-=,可得2123x x π=-,所以121sin(cos(2)6)x x x π-=--,再根据角的范围和同角公式可得结果.【详解】依题意可知,123sin(2)sin(2)665x x ππ-=-=, 因为120x x π<<<,所以1211226666x x ππππ-<-<-<, 所以122266x x πππ-+-=,所以1223x x π+=,所以2123x x π=-, 所以1212sin()sin(2)3x x x π-=-1sin(2)62x ππ=--1cos(2)6x π=--, 因为2123x x π=-1x >,所以103x π<<,所以12(,)662x πππ-∈-,所以14cos(2)65x π-===, 所以124sin()5x x -=-. 故答案为：45-. 14. 已知1x ,2x 是函数()2ln 2f x x m x x =+-,m R ∈的两个极值点,若12x x <,则()12f x x 的取值范围为______． 【答案】3ln 2,02⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】 先由题得所以12121,2m x x x x +=⋅=,1102x <<.化简得()12f x x =111111)2ln 1x x x x -+--（,再构造函数1)x x -+g()=（1112ln (0)12x x x x -<<-,利用导数求函数的值域即得解. 【详解】由题得函数的定义域为(0,)+∞,21()22(22)m f x x x x m x x'=+-=-+, 所以12,x x 是方程2220x x m -+=的两个实数根, 所以12121,2m x x x x +=⋅=, 因为12x x <,1>0x ,所以112021x x x <<+=, 所以1102x <<. 所以()2211111121222ln 2(1)2ln 1=f x x m x x x x x x x x x +--+-= =111111)2ln 1x x x x -+--（ 记1111)2ln (0)12x x x x x x -+-<<-g()=（, 所以22211()12ln 2ln()(1)(1)g x x ex x x '=-++-=--- 由102x <<2201,ln()04e ex ex ⇒<<<∴<, 所以()0,()g x g x '<∴在1(0)2，单调递减, 又由洛必达法则得当0x →时,21ln ln 011x x x x x x x===-→-,即00lim(ln )0,lim ()0x x x x g x →→=∴=1113()ln 2ln 22222g =+-=--, 所以函数g(x)的值域为3ln 2,02⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 即()12f x x 的取值范围为3ln 2,02⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故答案为：3ln 2,02⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、解答题15. ABC ∆的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知cos cos ()cos b A c B c a B -=-.（1）求B 的大小；（2）若D 在BC 边上,22BD DC ==,ABC ∆的面积为求sin CAD ∠.【答案】（1）3B π=（2）13 【解析】（1）利用正弦定理化简已知条件,然后利用两角和的正弦公式、诱导公式进行恒等变换,由此求得cos B 的值,进而求得B 的大小.（2）利用三角形ABC 的面积求得c ,由余弦定理求得AD ,利用勾股定理证得AD BD ⊥,由此求得AC 进而求得sin CAD ∠的值.【详解】（1）因为cos cos ()cos b A c B c a B -=-,所以sin cos sin cos (sin sin )cos B A C B C A B -=-,所以sin cos sin cos 2sin cos B A A B C B +=,即sin()2sin cos A B C B +=,因为在ABC ∆中,A B C π+=-,(0,)C π∈,所以sin 2sin cos C C B =,且sin 0C ≠, 所以1cos 2B =, 因为(0,)B π∈,所以3B π=.（2）因为22BD DC ==,所以1BD =,1CD =,3BC =,因为ABC ∆的面积为所以13sin 23c π⨯=解得4c =,由余弦定理得AD ===所以(22222216AD BD AB +=+==,即AD BD ⊥,所以2213AC AD BD =+=,所以13sin CD CAD AC ∠==.16. 如图,在四棱锥PABCD 中,M 是PA 上的点,ABD △为正三角形,CB CD =,PA BD ⊥．（1）求证：平面MBD ⊥平面PAC ；（2）若120BCD ∠=︒,//DM 平面BPC ,求证：点M 为线段PA 的中点．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）取BD 的中点O ,连结OA ,OC ,可证AC BD ⊥,又由PA BD ⊥,可得BD ⊥平面PAC,即可得证；（2）取AB 的中点N ,连结MN 和DN ,首先可得AB BC ⊥,DN AB ⊥,所以DN //BC ,即可得到//DN 平面BPC ．又由//DM 平面BPC ,可得平面//DMN 平面BPC ．根据面面平行的性质可得//MN PB ,即可得证；【详解】（1）取BD 中点O ,连结OA ,OC ,∵ABD △为正三角形,∴OA BD ⊥．∵CB CD =,∴OC BD ⊥．在平面ABCD 内,过O 点垂直于BD 的直线有且只有一条,∴A ,O ,C 三点共线,即AC BD ⊥．∵PA BD ⊥,AC ,PA ⊂平面PAC ,AC PA A ⋂=,∴BD ⊥平面PAC ．∵BD ⊂平面MBD ,∴平面MBD ⊥平面PAC ．（2）取AB 的中点N ,连结MN 和DN ,因为120BCD ∠=︒,且BC DC =,所以30CBD ∠=︒ 所以90ABC ∠=︒,即AB BC ⊥． ∵ABD △为正三角形,∴DN AB ⊥． 又DN ,BC ,AB 共面,∴//DN CB ． ∵DN ⊄平面BPC ,CB ⊂平面BPC , ∴//DN 平面BPC ．∵//DM 平面BPC ,DN ,DM ⊂平面DMN , ∴平面//DMN 平面BPC ．∵MN ⊂平面DMN ,∴//MN 平面BPC ． ∵MN ⊂平面PAB ,平面PAB ⋂平面BPC=PB, ∴//MN PB ．∵N 是AB 的中点,∴M 为线段PA 的中点．17. 已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>6焦距为22k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ,B ． （1）求椭圆M 的方程；（2）设(2,0)P -,直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ,直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ．若C ,D 和点71(,)42Q -共线,求k ．【答案】（1）2213x y +=；（2）2k =.【解析】（1）根据离心率和焦距求得,c a ,由此求得b ,进而求得椭圆M 的标准方程.（2）设出直线PA 的方程,联立直线PA 的方程和椭圆方程,写出根与系数关系,进而求得C 点的坐标,同理求得D 点坐标.求得QC 、QD ,结合,,Q C D 三点共线列方程,化简求得k 的值. 【详解】（1）由题意得2c =,所以c =又3c e a ==,所以a =所以2221b a c =-=, 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（2）设11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)C x y ,44(,)D x y ,则221133x y +=①,222233x y +=②, 又(2,0)P -,所以可设1112PA y k k x ==+, 直线PA 的方程为1(2)y k x =+,由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得： 2222111(13)121230k x k x k +++-=,则2113211213k x x k +=-+,即2131211213k x x k =--+, 又1112y k x =+,代入①式可得13171247x x x --=+, 所以13147y y x =+,所以1111712(,)4747x y C x x --++, 同理可得2222712(,)4747x y D x x --++．故3371(,)42QC x y =+-,4471(,)42QD x y =+-, 因为,,Q C D 三点共线,所以34437171()()()()04242x y x y +--+-=,将点,C D 的坐标代入化简可得12122y y x x --=,即2k =．18. 某市开发了一块等腰梯形的菜花风景区ABCD （如图）．经测量,AB 长为2百米,CD 长为6百米,AB 与CD 相距2百米,田地内有一条笔直的小路EF （E 在BC 上,F 在AD 上）与AB 平行且相距0.5百米．现准备从风景区入口处A 出发再修一条笔直的小路AN 与BC 交于N ,在小路EF 与AN 的交点P 处拟建一座瞭望塔．（1）若瞭望塔P 恰好建在小路AN 的中点处,求小路AN 的长；（2）两条小路EF 与AN 将菜花风景区划分为四个区域,若将图中阴影部分规划为观赏区．求观赏区面积S 的最小值．【答案】（110（2）324-）平方百米． 【解析】（1）过点P 、N 、C 分别做AB 的垂线,垂足分别为Q 、M 、G ,在直角三角形AMN 中,结合勾股定理,即可求解；（2）以直线CD 所在直线为x 轴,边CD 的垂直平分线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,设13(,) , [0,)22P t t ∈,得出面积2123221t t S t -+=⋅+,结合基本不等式,即可求解.【详解】（1）过点P 、N 、C 分别做AB 的垂线,垂足分别为Q 、M 、G , 因为P 是AN 的中点,所以21MN PQ ==,由已知条件易知CBG 是等腰直角三角形,所以1BM MN ==, 所以213AM AB BM =+=+=,在直角三角形AMN 中,由勾股定理得22223110AN AM MN +=+=, 答：小路AN 10（2）以直线CD 所在直线为x 轴,边CD 的垂直平分线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,设13(,) , [0,)22P t t ∈,则直线1:(1)2(1)AP y x t =++, 联立直线:1BC y x =-,得221N y t =+, 所以PEN △的高为21322122(21)tt t --=++, 所以21311332123()()222222(21)221t t t S t t t t --+=⋅+⋅+⋅-⋅=⋅++,令21[1,4)t m +=∈,则213818332444m m S m m m -+⎛⎫=⋅=⋅+-≥- ⎪⎝⎭, 所以当22m =即122t =-时,S 的最小值为324-．答：观赏区面积S 的最小值为（324-）平方百米．19. 已知函数()2(2)x x f x ae e a x -=++-,（a R ∈,e 是自然对数的底数）． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x >时,()(2)cos f x a x ≥+,求a 的取值范围．【答案】（1）分类讨论,详见解析；（2）[2,)+∞. 【解析】（1）求得()f x ',然后对a 分成0a ≤和0a >两种情况进行分类讨论,由此求得()f x 的单调区间. （2）首先令2x π=,代入()(2)cos f x a x ≥+,求得a 的一个取值范围.构造函数()()(2)cos g x f x a x =-+,利用()g x 的导函数()g x '研究()g x 的最小值,由此求得a 的取值范围.【详解】（1）2(2)2()2(2)x x xxx ae a e f x ae e a e -+--'=-+-=()()21x x x ae e e-+=, 当0a ≤时,()0f x '<,函数()f x 在R 上递减； 当0a >时,由()0f x '<,解得2ln x a <,故函数()f x 在2(,ln )a-∞上单调递减, 由()0f x '>,解得2lnx a >,故函数()f x 在2(ln ,)a+∞上单调递增． 综上所述,当0a ≤时,()f x 在R 上递减；当0a >时,()f x 在2(,ln )a -∞上递减,在2(ln ,)a +∞上递增. （2）当2x π=时,()22()2(2)02cos222f ae ea a πππππ-=++-⋅≥=+,即222()02e a e ππππ+≥->,故0a >,令()()(2)cos g x f x a x =-+2(2)c (2s )o x x ae e a x x a -=++--+,则22()(2)(2)sin x xae g x a a x e -'=+-++, 若2a ≥,则当[0,]x π∈时,()0g x '≥, 函数()g x 在[0,]π上单调递增, 当(,)x π∈+∞时,()2(2)(2)x x g x ae e a a -'≥-+--+2244404ae e a ππ-≥--≥-->, ∴当[0,)x ∈+∞时,()g x 单调递增,则()(0)0g x g ≥=,符合题意； 若02a <<,则(0)2(2)0g a '=-<,()2(2)(2)24x x x x g x ae e a a ae e --'≥-+--+=--,由240x x ae e ---=得20x lna+=>,故(0g '≥, ∴存在0(0,x ∈,使得0()0g x '=,且当0(0,)x x ∈时,()0g x '<,()g x ∴在0(0,)x x ∈上单调递减,∴当0(0,)x x ∈时,()(0)0g x g <=,不合题意,综上,实数a 的取值范围为[2,)+∞．20. 已知数列{}n a 是首项为1的等差数列,数列{}n b 是公比不为1的等比数列,且满足122a a b +=,233a a b +=,454a a b +=（1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式； （2）令*2211()(1)(1)n n n n n n n a b c n N a b a b ++++=∈++,记数列{}n c 的前n 项和为n S ,求证：对任意的*n N ∈,都有413n S <<； （3）若数列{}n d 满足11d =,1n n n d d b ++=,记12nkn k kd T b ==∑,是否存在整数λ,使得对任意的*n N ∈都有212nn nd T b λ≤-<成立？若存在,求出λ的值；若不存在,说明理由． 【答案】（1）12(1)21n a n n =+-=-,1222n nn b -=⋅=；（2）证明见解析；（3）存在整数5λ=,使得对任意的*n N ∈都有212nn nd T b λ≤-<成立,理由见解析. 【解析】（1）利用等差等比数列的基本量表示已知条件,解方程组得到基本量,利用等差等比数列的通项公式得到答案；（2）根据（1）的结论得到数列{}n c 的通项公式,利用指数的运算裂项,相消求和后得到n S 的表达式,判定单调性,然后利用不等式的基本性质即可证明；（3）假设存在满足要求的整数λ,取1,2,3n =得到λ的范围,进而求得λ的值为5,然后证明当5λ=时,对任意的*n N ∈,都有212nn nd T b λ≤-<成立．为此先要根据1n n n d d b ++=,利用等比数列的求和公式,求得114=22nn n T T +⎛⎫+- ⎪⎝⎭,结合11114n n n n T T d +++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,求得11152()24nn n n T d +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,然后利用作差法证明即可.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q ,则1213122327d b qd b q d b q +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩,所以1212(1)4(1)d b q q d b q q =-⎧⎨=-⎩, 因为1,0q ≠,所以2q．所以11122234278d b d b d b+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩,解得12d b ==所以12(1)21n a n n =+-=-,1222n nn b -=⋅=．（2）因为2211(1)(1)n n n n n n n a b c a b a b ++++=++21(23)2[(21)21][(21)21]n n n n n n +++=-⋅+⋅+⋅+ 1114(21)21(21)21n n n n +⎡⎤=-⎢⎥-⋅++⋅+⎣⎦ 所以123n n S c c c c =+++122311114()()112132132152⎡=-+-+⎢+⋅+⋅+⋅+⋅⎣111()1(21)21(21)2n n n n +⎤+-⎥+-⋅++⋅⎦11114(1121(21)2n n +⎡⎤=-⎢⎥+⋅++⋅⎣⎦11144()31(21)23n n +=-<++⋅又因为对任意的*n N ∈,都有n S 单调递增, 即115840131339n S S c ⨯>===>⨯, 所以对任意的*n N ∈,都有413n S <<成立； （3）假设存在满足要求的整数λ, 令1n =,则112212d d b b λ≤⋅-<,解得59λ≤<； 令2n =,则1222441()2d d d b b b λ≤⋅+-<,解得173355λ≤<； 令3n =,则123324661()2d d d d b b b b λ≤⋅++-<,解得671332323λ≤<； 所以133523λ≤<, 又已知Z λ∈,故若存在,则5λ=．下证：当5λ=时,对任意的*n N ∈,都有212nn nd T b λ≤-<成立．2312311114444nn n T d d d d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 231112311111144444nn n n n T d d d d d +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭231111223111111()()()44444n n n n n T T d d d d d d d +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；即1211122311114()()()444nn n n n T T d d d d d d d ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23231111122224444nn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23111111222222nn⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭又11114n n n n T T d +++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；所以111152()42nn n n n n T T T d ++⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭则11152()24nn n n T d +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1221152()()24n n n n n n n n d dT d b b +-=--⋅-11112()()()244n n n n n d d +=--⋅-⋅ 1112()()()24n n n n d d +=--⋅+112()()224n n n =--⋅122()2n =-⋅而对任意的*n N ∈,122()2n-⋅单调递增, 所以11122()22()222n-⋅≤-⋅<即对任意的*n N ∈都有2152nn nd T b ≤-<成立,得证.所以,存在整数5λ=,使得对任意的*n N ∈都有212nn nd T b λ≤-<成立． 2019—2020学年江苏省泰州中学高三年级第五次模拟考试数学第II 卷21. 已知矩阵4001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,1205B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,列向量a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵AB ；（2）若1151B A X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,求a ,b 的值.【答案】（1）4805⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）28a =,5b = 试题分析：（1）根据矩阵乘法得矩阵AB ；（2）根据逆矩阵性质得51X AB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,再根据矩阵乘法得结果.试题解析：（1）401248010505AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦；（2）由1151B A X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,解得51X AB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 485280515⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,又因为a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,所以28a =,5b =.22. 在平面直角坐标系xOy 中,曲线C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）,在以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点M的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭,直线l 的极坐标方程为sin 04ρθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．（1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若N 是曲线C 上的动点,P 为线段MN 的中点,求点P 到直线l 的距离的最大值．【答案】（1）40x y --=,2213x y +=；（2）2.【解析】（1）直接利用极坐标方程、参数方程和普通方程互化的公式求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）设N α,sinα）,α∈[0,2π）．先求出点P 到直线l 的距离d =再求最大值.【详解】（1）因为直线l 的极坐标方程为πsin 04ρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,即ρsinθ－ρcosθ＋4＝0．由x ＝ρcosθ,y ＝ρsinθ, 可得直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0．将曲线C 的参数方程x y sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩消去参数a,得曲线C 的普通方程为2213x y +=．（2）设N α,sinα）,α∈[0,2π）．点M 的极坐标（3π4）,化为直角坐标为（－2,2）．则1cos 1,sin 122P αα⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭．所以点P 到直线l 的距离d ==≤,所以当5π6α=时,点M 到直线l ． 23. 在一次运动会上,某单位派出了由6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛. （1）如果随机抽派5名队员上场比赛,将主力队员参加比赛的人数记为X ,求随机变量X 的数学期望；（2）若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤,不宜同时上场；替补队员中有2名队员身材相对矮小,也不宜同时上场,那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员,教练员有多少种组队方案？【答案】(1)3011；(2)1?91 【解析】（1）由题可知X 服从超几何分布,求得X 的取值,根据概率公式求得对应概率,即可求得其数学期望；（2）根据题意,将问题根据主力分别有3,4,5人上场进行分类,即可容易求得. 【详解】（1）由题可知X 服从超几何分布,X 的可取值为0,1,2,3,4,5,故可得()5551110462C P X C ===；()1465511305146277C C P X C ⋅====； ()236551115025246277C C P X C ⋅====；()326551120030346211C C P X C ⋅====； ()416551175254462154C C P X C ⋅====；()5651161546277C P X C ====. 故()52510025112345777723115477E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=630231. （2）要满足题意,则可以是3名主力2名替补；4名主力1名替补；5名主力.若是3名主力2名替补,则共有()()312211424323144C C C C C C +⋅⋅+⋅=种； 若是4名主力1名替补,则共有()4131424545C C C C +⋅⋅=种； 若是5名主力,则共有41422C C ⋅=种；故要满足题意,共有144452191++=种出场方式.24. （1）已知：111m m xn n n C C C ---+=及1m m n y m C C n-=,（2n ≥,*n N ∈,*)m N ∈．求x ；y （结果用m ,n 表示）（2）已知0121111()(1)2342nnn n n n f n C C C C n =-+-+-+,*n N ∈．猜想()f n 的表达式并用数学归纳法证明你的结论．【答案】（1）x m =或n m -,1y n =-；（2）猜想1()(1)(2)f n n n =++,证明见解析.【解析】（1）根据组合数的性质以及组合数公式证明即可； （2）根据1(1)6f =,1(2)12f =的值猜想出1()(1)(2)f n n n =++,再由数学归纳法证明即可.【详解】（1）111m m m xn n n n C C C C ---+==,可得x m =或n m -；111!(1)!!()!(1)!()m m m n n y m m n n C C C n n m n m m n m ----=⋅===--- 解得1y n =-； （2）111(1)236f =-=,1211(2)23412f =-+= 猜想1()(1)(2)f n n n =++下面用数学归纳法证明： ①1n =时11(1)623f ==⨯,猜想成立； ②假设(*)n k k N =∈时猜想成立即0121111()(1)2342kk k k k k f k C C C C k =-+-+-+1(1)(2)k k =++则1n k =+时,由111m m m n n n C C C ---=+及11m mn n m C C n--=得 0121111111111(1)(1)2343k k k k k k f k C C C C k +++++++=-+-+-+01021111()()234k k k k k C C C C C =-++++111111(1)()(1)23kk k k k k k k C C C k k -++++-++-++01111111()(1)(1)3423kk k k k k k k f k C C C C k k -+=-+++-+-++ 又11111331mm k k m C C m m k +++=⋅+++1112113m k C k m ++⎛⎫=- ⎪++⎝⎭则1211111222(1)()1111343k k k k f k f k C C C k k ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=----++- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎡⎤⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎦{012111111()(1)1k k k k k k f k C C C C k +++++⎡⎤=--+-++-⎣⎦+0111111222(1)233k k k k k C C C k ++++++-+⎫⎡⎤⎬⎢⎣⎭-⎥⎦++2()(1)1f k f k k =-++ 即31(1)()1(1)(2)k f k f k k k k ++==+++ 则1(1)(2)(3)f k k k +=++,则1n k =+猜想成立．由①②知1()(1)(2)f n n n =++．。
2020年江苏七市(南通市、泰州市、扬州市、徐州市、淮安市、连云港市、宿迁市)高考数学二模试卷(带答案)
2020 年江苏省苏北七市（南通市、泰州市、扬州市、徐 州市、淮安市、连云港市、宿迁市）高考数学二模试卷题号 得分一二总分一、填空题（本大题共 14 小题，共 70.0 分） 1. 已知集合 A={1，4}，B={a-5，7}．若 A∩B={4}，则实数 a 的值是______．2. 若复数 z 满足，其中 i 是虚数单位，则 z 的模是______．3. 在一块土地上种植某种农作物，连续 5 年的产量（单位：吨）分别为 9.4，9.7，9.8， 10.3，10.8．则该农作物的年平均产量是______吨．4. 如图是一个算法流程图，则输出的 S 的值是______．5. “石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二 人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头．甲、 乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是______．6. 在△ABC 中，已知 B=2A，AC= BC，则 A 的值是______． 7. 在等差数列{an}（n∈N*）中，若 a1=a2+a4，a8=-3，则 a20 的值是______． 8. 如图，在体积为 V 的圆柱 O1O2 中，以线段 O1O2 上的点 O 为项点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为 V1，V2，则 的值是______．9. 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线（a＞0，b＞0）的左顶点为 A，右焦点为 F，过 F 作 x 轴的垂线交双曲线于点 P，Q．若△APQ 为直角三角形，则该双曲 线的离心率是______． 10. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在直线 y=2x 上，过点 P 作圆 C：（x-4）2+y2=8 的 一条切线，切点为 T．若 PT=PO，则 PC 的长是______．第 1 页，共 18 页11. 若 x＞1，则 2x+ + 的最小值是______．12. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 y=ex 在点 P（x0，e ）处的切线与 x 轴相交于点 A， 其中 e 为自然对数的底数．若点 B（x0，0），△PAB 的面积为 3，则 x0 的值是______13. 图（1）是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图（2）），其中 OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，则的值是______．14. 设函数，若存在实数 m，使得关于 x 的方程 f（x）=m有 4 个不相等的实根，且这 4 个根的平方和存在最小值，则实数 a 的取值范围是 ______． 二、解答题（本大题共 11 小题，共 150.0 分）15. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 =（cosα，sinα）， =（cos（α+ ），sin（α+ ）），其中 0＜α＜ ．（1）求的值；（2）若 =（1，1），且∥ ，求 α 的值．16. 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CA=CB，点 P，Q 分别 为 AB1，CC1 的中点．求证： （1）PQ∥平面 ABC； （2）PQ⊥平面 ABB1A1．第 2 页，共 18 页17. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：（x-3）2+y2=1，椭圆 E：（a＞b＞0）的右顶点 A 在圆 C 上，右准线与圆 C 相切． （1）求椭圆 E 的方程； （2）设过点 A 的直线 l 与圆 C 相交于另一点 M，与椭圆 E 相交于另一点 N．当AN= AM 时，求直线 l 的方程．18. 某公园有一块边长为 3 百米的正三角形 ABC 空地，拟 将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花 卉．方案是：先建造一条直道 DE 将△ABC 分成面积之 比为 2：1 的两部分（点 D，E 分别在边 AB，AC 上）； 再取 DE 的中点 M，建造直道 AM（如图）．设 AD=x， DE=y1，AM=y2（单位：百米）． （1）分别求 y1，y2 关于 x 的函数关系式； （2）试确定点 D 的位置，使两条直道的长度之和最小， 并求出最小值．第 3 页，共 18 页19. 若函数 f（x）在 x0 处有极值，且 f（x0）=x0，则称 x0 为函数 f（x）的“F 点”． （1）设函数 f（x）=kx2-2lnx（k∈R）．①当 k=1 时，求函数 f（x）的极值；②若函 数 f（x）存在“F 点”，求 k 的值； （2）已知函数 g（x）=ax3+bx2+cx（a，b，c∈R，a≠0）存在两个不相等的“F 点”x1， x2，且|g（x1）-g（x2）|≥1，求 a 的取值范围．20. 在等比数列{an}中，已知 a1=1，．设数列{bn}的前 n 项和为 Sn，且 b1=-1，（n≥2，n∈N*）． （1）求数列{an}的通项公式； （2）证明：数列 是等差数列； （3）是否存在等差数列{cn}，使得对任意 n∈N*，都有 Sn≤cn≤an？若存在，求出所 有符合题意的等差数列{cn}；若不存在，请说明理由．21. 已知矩阵 A=的逆矩阵 A-1=．若曲线 C1：换作用下得到另一曲线 C2，求曲线 C2 的方程．在矩阵 A 对应的变22. 在极坐标系中，已知曲线 C的方程为 ρ=（r r＞0），直线 l的方程为．设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，且 AB= ，求 r 的值．第 4 页，共 18 页23. 已知实数 x，y，z 满足，证明：．24. 小丽在同一城市开的 2 家店铺各有 2 名员工．节假日期间的某一天，每名员工休假的概率都是 ，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂 1 人到该店维持营业，否则该店就停业． （1）求发生调剂现象的概率； （2）设营业店铺数为 X，求 X 的分布列和数学期望．25 我们称 n（n∈N*）元有序实数组（x1，x2，…，xn）为 n 维向量，为该向量的范数．已知 n 维向量 =（x1，x2，…，xn），其中 xi∈{-1，0，1}，i=1，2，…，n．记范数为奇数的 n 维向量 的个数为 An，这 An 个向量的范数之和为 Bn．（1）求 A2 和 B2 的值； （2）当 n 为偶数时，求 An，Bn（用 n 表示）．2020 年江苏省苏北七市（南通市、泰州市、扬州市、徐州市、淮安市、连云港市、宿迁市）高考数学二模试卷【答案】1. 9 2. 3. 10答案和解析第 5 页，共 18 页4.5.6.7. -158.9. 2 10. 11. 8 12. ln613. 14. （-∞，1） 15. 解：（1）因为向量 =（cosα，sinα）， =（cos（α+ ），sin（α+ ）），其中 0＜α＜ ． 所以= • - 2= ． （2）因为 =（1，1），所以 ===．因为（ + ）∥ ，所以．于是，从而，即．因为，所以．于是，即．16. （1）证明：取 AB 的中点 D，连结 PD，CD．在△ABB1 中，因为 P，D 分别为 AB1，AB 中点，所以 PD∥BB1，且．直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CC1∥BB1，CC1=BB1．因为 Q 为棱 CC1的中点，所以 CQ∥BB1，且．于是 PD∥CQ，PD=CQ． 所以四边形 PDCQ 为平行四边形，从而 PQ∥CD． 又因为 CD⊂平面 ABC，PQ⊄平面 ABC，所以 PQ∥平面 ABC．第 6 页，共 18 页（2）证明：在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，BB1⊥平面 ABC．又 CD⊂平面 ABC，所以 BB1⊥CD． 因为 CA=CB，D 为 AB 中点，所以 CD⊥AB． 由（1）知 CD∥PQ，所以 BB1⊥PQ，AB⊥PQ． 又因为 AB∩BB1=B，AB⊂平面 ABB1A1，BB1⊂平面 ABB1A1， 所以 PQ⊥平面 ABB1A1．17. 解：（1）记椭圆 E 的焦距为 2c（c＞0）．因为右顶点 A（a，0）在圆 C 上，右准线与圆 C：（x-3）2+y2=1 相切．所以解得于是 b2=a2-c2=3，所以椭圆方程为：；（2）法 1：设 N（xN，yN），M（xM，yM）， 显然直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为：y=k（x-2）．由方程组消去 y 得，（4k2+3）x2-16k2x+16k2-12=0．所以，解得；由方程组消去 y 得，（k2+1）x2-（4k2+6）x+4k2+8=0，所以，解得；因为，所以；即，解得 k=±1，所以直线 l 的方程为 x-y-2=0 或 x+y-2=0． 法 2：设 N（xN，yN），M（xM，yM），当直线 l 与 x 轴重合时，不符题意．设直线 l 的方程为：x=ty+2（t≠0）．由方程组消去 x 得，（3t2+4）x2+12ty=0，所以；由方程组消去 x 得，（t2+1）x2-2ty=0，所以，因为，所以，即，解得 t=±1，所以直线 l 的方程为 x-y-2=0 或 x+y-2=0．18. 解：（1）∵，△ABC 是边长为 3 的等边三角形，又 AD=x，∴，得．第 7 页，共 18 页由，得 2≤x≤3．法 1：在△ADE 中，由余弦定理，得．∴直道 DE 长度 y1 关于 x 的函数关系式为．在△ADM 和△AEM 中，由余弦定理，得 AD2=DM2+AM2-2DM•AM•cos∠AMD，① AE2=EM2+AM2-2EM•AM•cos（π-∠AMD），②∵M 为 DE 的中点，∴．由①+②，得，∴，得．∴直道 AM 长度 y2 关于 x 的函数关系式为；法 2：在△ADE 中，∵，∴．∴直道 DE 长度 y1 关于 x 的函数关系式为．在△ADE 中，∵M 为 DE 的中点，∴．∴．∴直道 AM 长度 y2 关于 x 的函数关系式为；（2）由（1）得，两条直道的长度之和为=（当且仅当，即时取“=”）．答：当百米时，两条直道的长度之和取得最小值百米．19. 解：（1）①当 k=1 时，f （ x ）=x2-2ln x（k∈R），所以，令 f'（x）=0，得 x=1，……（2 分）列表如下：x（0，1）1（1，+∞）f'（x）-0+f（x）↘极小值↗所以函数 f（x）在 x=1 处取得极小值，极小值为 1，无极大值． ……（4 分） ②设 x0 是函数 f（x）的一个“F 点”（x0＞0）．第 8 页，共 18 页因为，所以 x0 是函数 f'（x）的零点．所以 k＞0，由 f'（x0）=0，得，由 f（x0）=x0，得，即 x0+2lnx0-1=0．……（6 分）设 φ（x）=x+2lnx-1，则，所以函数 φ（x）=x+2lnx-1 在（0，+∞）上单调增，注意到 φ（1）=0，所以方程 x0+2lnx0-1=0 存在唯一实根 1，所以，得 k=1，根据①知，k=1 时，x=1 是函数 f（x）的极小值点， 所以 1 是函数 f（x）的“F 点”． 综上，得实数 k 的值为 1． ……（9 分） （2）因为 g （x）=ax3+bx2+cx （ a，b，c∈R，a≠0） 所以 g'（x）=3ax2+2bx+c（a≠0）． 又因为函数 g （x）存在不相等的两个“F 点”x1 和 x2， 所以 x1，x2 是关于 x 的方程 3ax2+2bx+c=0（a≠0）的两个相异实数根．所以又 g （x1）=ax13+bx12+cx1=x1，g （x2）=ax23+bx22+cx2=x2， 所以 g （x1）-g （x2）=x1-x2，即（ax13+bx12+cx1）-（ax23+bx22+cx2）=x1-x2， 从而（ x1-x2）[a （x12+x1x2 +x22）+b （x1+x2 ）+c]=x1-x2．因为 x1≠x2，所以，即．所以 2（3ac-b2）=9a．………（13 分）因为|g （x1）-g （x2）|≥1， 所以=．解得-2≤a＜0．所以，实数 a 的取值范围为[-2，0）．……（16 分）20. 解：（1）设等比数列{an}的公比为 q，因为 a1=1，，所以，解得 ．所以数列{an}的通项公式为：．（2）由（1）得，当 n≥2，n∈N*时，，①所以，，②②-①得，，第 9 页，共 18 页所以，，即，n≥2，n∈N*．因为 b1=-1，由①得，b2=0，所以，所以，n∈N*．所以数列 是以-1 为首项，1 为公差的等差数列；（3）由（2）得 =-1+n-1=n-2，所以 bn= ，Sn=-2（an+1+bn+1）=-2（ + ）=- ， 假设存在等差数列{cn}，其通项 cn=dn+c， 使得对任意 n∈N*，都有 Sn≤cn≤an， 即对任意 n∈N*，都有- ≤dn+c≤ ．③ 首先证明满足③的 d=0．若不然，d≠0，则 d＞0，或 d＜0． （i） 若 d＞0，则当 n＞ ，n∈N*时，cn=dn+c＞1≥≤ =an，这与 cn≤an 矛盾．（ii） 若 d＜0，则当 n＞- ，n∈N*时，cn=dn+c＜-1．而 Sn+1-Sn=- + = ≥0，S1=S2＜S3＜……，所以 Sn≥S1=-1． 故 cn=dn+c＜-1≤Sn，这与 Sn≤cn 矛盾．所以 d=0． 其次证明：当 x≥7 时，f（x）=（x-1）ln2-2lnx＞0． 因为 f′（x）=ln2- ＞ln2- ＞0，所以 f（x）在[7，+∞）上单调递增，所以，当 x≥7 时，f（x）≥f（7）=6ln2-2ln7=ln ＞0．所以当 n≥7，n∈N*，2n-1＞n2．……， 再次证明 c=0．（iii）若 c＜0 时，则当 n≥7，n＞- ，n∈N*，Sn=- ＞- ＞c，这与③矛盾．（iv）若 c＞0 时，同（i）可得矛盾．所以 c=0．当 cn=0 时，因为，，所以对任意 n∈N*，都有 Sn≤cn≤an．所以．综上，存在唯一的等差数列{ cn }，其通项公式为满足题设．第 10 页，共 18 页21. 解：因为 AA-1=E，所以，即．所以解得所以．设 P（x'，y'）为曲线 C1 任一点，则，又设 P（x'，y'）在矩阵 A 变换作用得到点 Q（x，y），则，即，所以即代入，得 y2+x2=1，所以曲线 C2 的方程为 x2+y2=1．22. 解：以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系 xOy，于是曲线 C：ρ=r（r＞0）的直角坐标方程为 x2+y2=r2，表示以原点为圆心，半径为 r 的 圆．由直线 l 的方程，化简得，所以直线 l 的直角坐标方程方程为 x-y-2=0． 记圆心到直线 l 的距离为 d，则，又，即 r2=2+7=9，所以 r=3．23. 证明：在三棱锥 V-ABC 中，VA，VB，VC 两两垂直，高 VO=1， 设 OA=x，OB=y，OC=z，∠OVA=α，∠OVB=β， ∠OVC=γ， VA2=1+x2，VB2=1+y2，VC2=1+z2，由 + + =2，得sin2α+sin2β+sin2γ=2， 则 cos2α+cos2β+cos2γ=1，即有=1，由柯西不等式（ + + ）（）≥（++）2，则 + + ≤ 成立．24. 解：（1）记 2 家小店分别为 A，B，A 店有 i 人休假记为事件 Ai（i=0，1，2），B 店有 i 人，休假记为事件 Bi（i=0，1，2）， 发生调剂现象的概率为 P．第 11 页，共 18 页则，，．所以．故发生调剂现象的概率为 ．（2）依题意，X 的所有可能取值为 0，1，2．则，，．所以 X 的分布列为：X012P所以．25. 解：（1）范数为奇数的二元有序实数对有：（-1，0），（0，-1），（0，1），（1，0）， 它们的范数依次为 1，1，1，1，故 A2=4，B2=4；（2）当 n 为偶数时，在向量 =（x1，x2，x3…，xn）的 n 个坐标中，要使得范数为奇数，则 0 的个数一定是奇数， ∴可按照含 0 个数为：1，3，…，n-1 进行讨论：的 n 个坐标中含 1 个 0，其余坐标为 1 或-1，共有个，每个 的范数为 n-1；的 n 个坐标中含 3 个 0，其余坐标为 1 或-1，共有 …的 n 个坐标中含 n-1 个 0，其余坐标为 1 或-1，共有个，每个 的范数为 n-3； 个，每个 的范数为 1．∴，．∵，①，②得，，第 12 页，共 18 页∴．下面求解 Bn．解法 1：∵∴===．解法 2：得，又∵∴ =，=． ，==．【解析】1. 解：∵A∩B={4}，B={a-5，7}，∴4∈B， ∴a-5=4， ∴a=9． 故答案为：9． 根据 A∩B={4}即可得出 a-5=4，从而可得出 a 的值． 本题考查了列举法的定义，交集的定义及运算，元素与集合的关系，考查了计算能力， 属于基础题．2. 解：∵，∴z=（2+i）i=-1+2i， ∴|z|= ． 故答案为： ． 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3. 解：∵连续 5 年的产量（单位：吨）分别为 9.4，9.7，9.8，10.3，10.8．∴该农作物的年平均产量是=10．即该农作物的年平均产量是 10 吨． 故答案为：10． 由已知直接利用平均数公式求解． 本题考查函数模型的性质及应用，考查平均数的求法，是基础题．第 13 页，共 18 页4. 解：模拟程序的运行，可得S=15，k=1， S=15，不满足 S＜k，执行循环体，k=2，S= ，不满足 S＜k，执行循环体，k=3，S= ，此时，满足 S＜k，退出循环，输出 S 的值为 ．故答案为： ．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟 程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的 结论，是基础题．5. 解：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头．甲、乙两人玩一次该游戏， 甲、乙出拳的基本事件总数 n=3×3=9， 甲不输包含的基本事件个数 m=3×2=6，则甲不输的概率 P=．故答案为： ．甲、乙出拳的基本事件总数 n=3×3=9，甲不输包含的基本事件个数 m=3×2=6，由此能求 出甲不输的概率． 本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6. 解：∵B=2A，AC= BC，∴由正弦定理，可得： = =，可得 cosA= ，∵A∈（0，π），∴A= ．故答案为： ．由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求得 cosA= ，结合范围 A∈（0，π），即可求解 A 的值． 本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思 想，属于基础题．7. 解：∵等差数列{an}（n∈N*）中，a1=a2+a4，a8=-3，∴，解得 a1=4，d=-1， ∴a20=4-19=-15． 故答案为：-15． 利用等差数列通项公式列出方程组，求出 a1=4，d=-1，由此能求出 a20．第 14 页，共 18 页本题考查等差数列的第 20 项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题．8. 解：在体积为 V 的圆柱 O1O2 中，以线段 O1O2 上的点 O 为项点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为 V1，V2， ∵上下底面为底面的两个圆锥全等，且圆锥的底面和圆柱的底面全等， 圆锥的高是圆的高的一半，∴ ===．故答案为： ．推导出 = =，由此能求出结果．本题考查体积的比值的求法，考查圆柱的体积和圆锥的体积等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题．9. 解：∵过双曲线的右焦点 F 作与实轴垂直的直线交双曲线 E 于 B，C 两点，∴设 x=c，得，解之得 y=± ，得 B（c， ）、C（c，- ），∵左顶点 A（-a，0）与 B、C 构成直角三角形， ∴根据双曲线的对称性，得 A 到 BC 的距离等于 BC 长的一半，可得 c+a= ，即 c+a= ，化简得 c2-ac-2a2=0，两边都除以 a2，得 e2-e-2=0，解之得 e=2（舍负）， 即双曲线 E 的离心率为 2． 故答案为：2．利用双曲线方程算出 B（c， ）、C（c，- ），由双曲线的性质得△ABC 为等腰直角三角形，可得 A 到 BC 的距离等于 BC 长的一半，由此建立关于 a、b、c 的等式，化简整理为关于离心率的方程，即可解出双曲线 E 的离心率．本题给出双曲线满足的条件，求双曲线的离心率．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、直角三角形的性质等知识，属于中档题．10. 解：根据题意，点 P 在直线 y=2x 上，设 P 的坐标为（t，2t），圆 C：（x-4）2+y2=8，其圆心为（4，0），半径 r=2 ，过点 P 作圆 C：（x-4）2+y2=8 的一条切线，切点为 T，若 PT=PO，则|PC|2-|PT|2=|PC|2-|PO|2=r2，即[（t-4）2+（2t-0）2]-[（t-0）2+（2t-0）2]=8，变形可得：8t=8，即 t=1；故 P 的坐标为（1，2），则|PC|==，故答案为：根据题意，设 P 的坐标为（t，2t），由圆的切线的性质可得|PC|2-|PT|2=|PC|2-|PO|2=r2，即[（t-4）2+（2t-0）2]-[（t-0）2+（2t-0）2]=8，解可得 t 的值，即可得 P 的坐标，计算PC 的长即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的切线的性质以及应用，属于基础题．11. 解：若 x＞1，2x+ + =x+1+=8，当且仅当 x+1=3，x-1=1，即 x=2 时取等号，故 2x+ + 的最小值是 8，第 15 页，共 18 页故答案为：8． 由 x＞1，把 2x 写出 x+1+x-1，利用基本不等式求出最小值即可． 本题考查基本不等式的应用，考查了运算能力，基础题．12. 解：由 y=ex，得 y′=ex，则，∴曲线在点 P（x0，e ）处的切线方程为 y-e =，取 y=0，得 x=x0-1，则 A（x0-1，0） 又 P（x0，e ），B（x0，0），∴，即 x0=ln6．故答案为：ln6． 写出曲线在点 P（x0，e ）处的切线方程，取 y=0 求得 A 点坐标，写出三角形 PAB 的 面积，由△PAB 的面积为 3 求得 x0 的值． 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查三角形面积的求法，是基础题．13. 解：记 OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，根据题意 OA1=A1A2=A2A3=…A7A8=1， 在直角三角形中，由勾股定理得： an2=an-12+1， ∴{an2}是以 1 为首项，以 1 为公差的等差数列， ∴an2=n， ∴an= ； 所以：OA8= ；OA7= ；OA6= ；∴sin∠A6A7O= = ；∴=1×1×cos[180°-（90°+∠A6A7O）]=sin∠A6A7O= ；故答案为： ．根据所给的直角三角形中的边长，根据勾股定理得到连续两项之间的关系，得到{an2} 是以 1 为首项，以 1 为公差的等差数列，写出通项，得到结果 本题主要考查平面向量的数量积，根据已知条件求出 OAn 的规律是解决本题的关键．14. 解：不妨设这四个根分别为 x1，x2，x3，x4，且 x1＜x2＜x3＜x4，作出函数 f（x）的示意图如下：由图可知：a＜2，且 x1+x4=x2+x3=8，其中 x2∈（2a，4）， 又由 f（x1）=f（x2）=a 可得 x1= ，第 16 页，共 18 页则 x12+x22+x32+x42= +x22+（8- ）2+（8-x2）2，令 x2+ =t∈（2a+1，4+22a-2），则 x12+x22+x32+x42=2t2-16t+128-22a-2，因为平方和存在最小值，即当 t=4 时取得，则只需 2a+1＜4＜4+22a-2， 解得 a＜1， 故答案为：（-∞，1）． 作出函数 f（x）的示意图可得 a＜2，结合图象可得 x1+x4=x2+x3=8，其中 x2∈（2a，4）， 用含 x2 的式子表示出平方和，则根据平方和存在最小值可得 a 的取值范围． 本题考查分段函数零点个数与函数图象交点的转化，数形结合思想，属于中档偏难题．15. （1）直接代入数量积的计算公式，再利用特殊角的三角函数值求解即可．（2）求出 + ，利用向量共线的等价结论以及角的范围即可求解．本题考查了数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档 题．16. （1）取 AB 的中点 D，连结 PD，CD．只需证明 PQ∥CD，即可证明 PQ∥平面 ABC．（2）只需证明 CD⊥平面 ABB1A1，即可证明 PQ⊥平面 ABB1A1． 本题考查直线与平面平行的判定定理，直线与平面垂直的证明，考查空间想象能力，逻 辑推理能力．17. （1）由椭圆的方程求出右顶点 A 的坐标，由题意 A 在圆 C 上，代入圆的方程可得a 的值，再由圆心到右准线的距离等于半径求出 c 的值，再由 a，b，c 之间的关系求出 椭圆的方程；（2）设直线 l 的方程与椭圆联立求出 N 的坐标，与圆联立求出 M 的坐标，再由 AN= AM可得参数的值，即求出直线 l 的方程． 本题考查求椭圆的标准方程的方法及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．18. （1）由面积关系可得 AE，再由 AD、AE 均大于 0 小于 3 求解 x 的范围．法一：在△ADE 中，由余弦定理，求得 y1 关于 x 的函数关系式；在△ADM 和△AEM 中， 由余弦定理可得 y2 关于 x 的函数关系式；法二：在△ADE 中，由，求向量的模可得 y1 关于 x 的函数关系式；在△ADE中，由 M 为 DE 的中点，得．再求向量的模可得 y2 关于 x 的函数关系式；（2）由（1）中的两函数解析式作和，再由基本不等式求最值． 本题考查函数模型的性质及应用，考查余弦定理在求解三角形中的应用，考查向量模的 求法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．19. （1）①当 k=1 时，f （ x ）=x2-2ln x（k∈R），求导后，令 f'（x）=0，通过列表分析，可求得函数 f（x）的极值； ②由 f（x0）=x0，及 f'（x0）=0，即可求得 k 的值； （2）由于 g'（x）=3ax2+2bx+c（a≠0），函数 g （x）存在不相等的两个“F 点”x1 和 x2， ⇒x1，x2 是关于 x 的方程 3ax2+2bx+c=0（a≠0）的两个相异实数根，由此可求得 2（3ac-b2） =9a， 再将|g（x1）-g（x2）|≥1，转化为=．即可求得 a 的取值范围． 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及极值，考查等价转化思想及函数与方程思 想的应用，考查逻辑思维与综合运算能力，属于难题．第 17 页，共 18 页20. （1）因为 a1=1，，所以，解得 q．进而写出数列{an}的通项公式；（2）当 n≥2，n∈N*时，①，②，②-①得，，所以，，即，n≥2，n∈N*，进而得证；（3）求得 bn，Sn，假设存在等差数列{cn}，其通项 cn=dn+c，使得对任意 n∈N*，都有Sn≤cn≤an，即对任意 n∈N*，都有- ≤dn+c≤ ．通过讨论 d＞0，d＜0 不成立，得到 d=0，再考虑 c＞0，c＜0，推理论证，运用构造函数法，通过单调性，可得对任意 n∈N*，都有 Sn≤cn≤an．所以．本题考查等差数列和等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查数列的递推式， 考查分类讨论思想和反证法思想，化简运算能力和推理能力，属于难题．21. 根据 AA-1=E，可求出参数，然后根据点的变换求出对应变换后的方程．本题考查矩阵的逆的有关知识，以及求曲线经过矩阵变换后的曲线，属于中等题．22. 直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换和点到直线的距离公式的应用及勾股定理的应用求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距 离公式的应用，勾股定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属 于基础题型．23. 构造三棱锥 V-ABC 中，VA，VB，VC 两两垂直，高 VO=1，设 OA=x，OB=y，OC=z，∠OVA=α，∠OVB=β，∠OVC=γ，由条件推出得 sin2α+sin2β+sin2γ=2，则 cos2α+cos2β+cos2γ=1，即有=1，再由柯西不等式，即可得证．本题考查不等式的证明，考查运用柯西不等式证明不等式，但必须构造三棱锥证得一个 等式，具有一定的难度．24. （1）记 2 家小店分别为 A，B，A 店有 i 人休假记为事件 Ai（i=0，1，2），B 店有i 人，休假记为事件 Bi（i=0，1，2），发生调剂现象的概率 P=P（A0B2）+P（A2B0）．由 此能求出发生调剂现象的概率． （2）X 的所有可能取值为 0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和数 学期望． 本题考查概率、离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘 法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25. （1）列出范数为奇数的二元有序实数对，分别求其范数，则 A2 和 B2 可求；（2）当 n 为偶数时，在向量 =（x1，x2，x3…，xn）的 n 个坐标中，要使得范数为奇数，则 0 的个数一定是奇数，然后分含 0 个数为：1，3，…，n-1 进行讨论，分别求得范数 及范数的和，再由二项式定理及组合数公式化简即可． 本题是新定义题，考查数列与向量的综合，考查组合与组合数公式的应用，考查计算能 力，正确理解题意是解答该题的关键，属难题．第 18 页，共 18 页。
2020届南通市、扬州市、泰州市高考数学二模试卷(有答案)
江苏省南通市、扬州市、泰州市高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．设复数z满足（1+2i）•z=3（i为虚数单位），则复数z的实部为______．2．设集合A={﹣1，0，1}，，A∩B={0}，则实数a的值为______．3．如图是一个算法流程图，则输出的k的值是______．4．为了解一批灯泡（共5000只）的使用寿命，从中随机抽取了100只进行测试，其使用寿命（单位：h）如表：使用寿命[500，700）[700，900）[900，1100）[1100，1300）[1300，1500]只数 5 23 44 25 3根据该样本的频数分布，估计该批灯泡使用寿命不低于1100h的灯泡只数是______．5．电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是：立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力．某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是______．6．已知函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象如图所示，则a+b的值是______．7．设函数（0＜x＜π），当且仅当时，y取得最大值，则正数ω的值为______．8．在等比数列{a n}中，a2=1，公比q≠±1．若a1，4a3，7a5成等差数列，则a6的值是______．9．在体积为的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，AB=1，BC=2，BD=3，则CD长度的所有值为______．10．在平面直角坐标系xOy中，过点P（﹣2，0）的直线与圆x2+y2=1相切于点T，与圆相交于点R，S，且PT=RS，则正数a的值为______．11．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈[0，+∞），满足f（x+2）=f（x），若当x∈[0，2）时，f（x）=|x2﹣x﹣1|，则函数y=f（x）﹣1在区间[﹣2，4]上的零点个数为______．12．如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3．点B、C 分别在m、n上，，则的最大值是______．13．实数x，y满足﹣y2=1，则3x2﹣2xy的最小值是______．14．若存在α，β∈R，使得，则实数t的取值范围是______．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．在斜三角形ABC中，tanA+tanB+tanAtanB=1．（1）求C的值；（2）若A=15°，，求△ABC的周长．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点．求证：（1）AP∥平面C1MN；（2）平面B1BDD1⊥平面C1MN．17．植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：方案①多边形为直角三角形AEB（∠AEB=90°），如图1所示，其中AE+EB=30m；方案②多边形为等腰梯形AEFB（AB＞EF），如图2所示，其中AE=EF=BF=10m．请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足=2．（1）若点P的坐标为（2，），求椭圆的方程；（2）设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且=m，直线OA，OB的斜率之积为﹣，求实数m的值．19．设函数f（x）=（x+k+1），g（x）=，其中k是实数．（1）若k=0，解不等式•f（x）≥•g（x）；（2）若k≥0，求关于x的方程f（x）=x•g（x）实根的个数．20．设数列{a n}的各项均为正数，{a n}的前n项和，n∈N*．（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）等比数列{b n}的各项均为正数，，n∈N*，且存在整数k≥2，使得．（i）求数列{b n}公比q的最小值（用k表示）；（ii）当n≥2时，，求数列{b n}的通项公式．[附加题]21．在平面直角坐标系xOy中，设点A（﹣1，2）在矩阵对应的变换作用下得到点A′，将点B （3，4）绕点A′逆时针旋转90°得到点B′，求点B′的坐标．[附加题]22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．23．一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k倍的奖励（k∈N*），且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为X元．（1）求概率P（X=0）的值；（2）为使收益X的数学期望不小于0元，求k的最小值．（注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！）24．设S4k=a1+a2+…+a4k（k∈N*），其中a i∈{0，1}（i=1，2，…，4k）．当S4k除以4的余数是b（b=0，1，2，3）时，数列a1，a2，…，a4k的个数记为m（b）．（1）当k=2时，求m（1）的值；（2）求m（3）关于k的表达式，并化简．江苏省南通市、扬州市、泰州市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．设复数z满足（1+2i）•z=3（i为虚数单位），则复数z的实部为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（1+2i）•z=3，得，∴复数z的实部为．故答案为：．2．设集合A={﹣1，0，1}，，A∩B={0}，则实数a的值为1．【考点】交集及其运算．【分析】由A，B，以及两集合的交集确定出a的值即可．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={a﹣1，a+}，A∩B={0}，∴a﹣1=0或a+=0（无解），解得：a=1，则实数a的值为1，故答案为：13．如图是一个算法流程图，则输出的k的值是17．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的k的值，当k=17时满足条件k＞9，退出循环，输出k 的值为17．【解答】解：模拟执行程序，可得k=0不满足条件k＞9，k=1不满足条件k＞9，k=3不满足条件k＞9，k=17满足条件k＞9，退出循环，输出k的值为17．故答案为：17．4．为了解一批灯泡（共5000只）的使用寿命，从中随机抽取了100只进行测试，其使用寿命（单位：h）如表：使用寿命[500，700）[700，900）[900，1100）[1100，1300）[1300，1500]只数 5 23 44 25 3根据该样本的频数分布，估计该批灯泡使用寿命不低于1100h的灯泡只数是1400．【考点】频率分布表．【分析】利用频率、频数与样本容量的关系进行求解即可．【解答】解：根据题意，估计该批灯泡使用寿命不低于1100h的灯泡的只数为5000×=1400．故答案为：1400．5．电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是：立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力．某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，由“立德树人”主题被该队选中的对立事件是从社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力选两个主题，利用对立事件概率计算公式能求出“立德树人”主题被该队选中的概率．【解答】解：电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，某参赛队从中任选2个主题作答，基本事件总数n==10，“立德树人”主题被该队选中的对立事件是从社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力选两个主题，∴“立德树人”主题被该队选中的概率p=1﹣=．故答案为：．6．已知函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象如图所示，则a+b的值是．【考点】对数函数的图象与性质；函数的图象．【分析】由函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象过（﹣3，0）点和（0，﹣2）点，构造方程组，解得答案．【解答】解：∵函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象过（﹣3，0）点和（0，﹣2）点，∴，解得：∴a+b=，故答案为：7．设函数（0＜x＜π），当且仅当时，y取得最大值，则正数ω的值为2．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据题意，得出ω+=+2kπ，k∈Z，求出ω的值即可．【解答】解：∵函数，且0＜x＜π，ω＞0，∴＜ωx+＜ωπ+，又当且仅当时，y取得最大值，∴＜ωx+＜ωπ+＜，∴ω+=，解得ω=2．故答案为：2．8．在等比数列{a n}中，a2=1，公比q≠±1．若a1，4a3，7a5成等差数列，则a6的值是．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意和等差数列可得q的方程，解方程由等比数列的通项公式可得．【解答】解：∵在等比数列{a n}中a2=1，公比q≠±1，a1，4a3，7a5成等差数列，∴8a3=a1+7a5，∴8×1×q=+7×1×q3，整理可得7q4﹣8q2+1=0，分解因式可得（q2﹣1）（7q2﹣1）=0，解得q2=或q2=1，∵公比q≠±1，∴q2=，∴a6=a2q4=故答案为：9．在体积为的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，AB=1，BC=2，BD=3，则CD长度的所有值为．【考点】棱锥的结构特征．【分析】由已知求得△BCD的面积，再由面积公式求得sinB，进一步求得cosB，再由余弦定理求得CD长度．【解答】解：如图，在四面体ABCD中，∵AB⊥平面BCD，∴AB为以BCD为底面的三棱锥的高，∵，AB=1，∴由，得．又BC=2，BD=3，得，得sinB=，∴cosB=．当cosB=时，CD2=22+32﹣2×2×3×=7，则CD=；当cosB=﹣时，CD2=22+32﹣2×2×3×（）=19，则CD=．∴CD长度的所有值为，．故答案为：，．10．在平面直角坐标系xOy中，过点P（﹣2，0）的直线与圆x2+y2=1相切于点T，与圆相交于点R，S，且PT=RS，则正数a的值为4．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设过点P（﹣2，0）的直线方程为y=k（x+2），由直线与圆相切的性质得k=，不妨取k=，由勾股定理得PT=RS=，再由圆心（a，）到直线y=（x+2）的距离能求出结果．【解答】解：设过点P（﹣2，0）的直线方程为y=k（x+2），∵过点P（﹣2，0）的直线与圆x2+y2=1相切于点T，∴=1，解得k=，不妨取k=，PT==，∴PT=RS=，∵直线y=（x+2）与圆相交于点R，S，且PT=RS，∴圆心（a，）到直线y=（x+2）的距离d==，由a＞0，解得a=4．故答案为：4．11．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈[0，+∞），满足f（x+2）=f（x），若当x∈[0，2）时，f（x）=|x2﹣x﹣1|，则函数y=f（x）﹣1在区间[﹣2，4]上的零点个数为7．【考点】函数零点的判定定理．【分析】如图所示，y=g（x）=f（x）﹣1=，再利用f（x+2）=f（x），可得x∈[2，4]上的图象．由函数f（x）是R上的偶函数，可得g（x）也是R上的偶函数，结合图象即可得出零点个数．【解答】解：如图所示，y=g（x）=f（x）﹣1=，再利用f（x+2）=f（x），可得x∈[2，4]上的图象．由函数f（x）是R上的偶函数，可得g（x）也是R上的偶函数，利用偶函数的性质可得x∈[﹣2，0）上的图象．x∈[0，2）时，g（0）=g（1）=0，x∈[2，4]时，g（2）=g（4）=g（0）=0，g（3）=g（1）=0．x∈[﹣2，0）时，g（﹣2）=g（2）=0，g（﹣1）=g（1）=0．指数可得：函数g（x）共有7个零点．故答案为：7．12．如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3．点B、C 分别在m、n上，，则的最大值是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立如图所示的坐标系，得到点A、B、C的坐标，由，求得a+b=±3，分类讨论，利用二次函数的性质求得的最大值．【解答】解：由点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3，可得平行线m、n间的距离为2，以直线m为x轴，以过点A且与直线m垂直的直线为y轴建立坐标系，如图所示：则由题意可得点A（0，1），直线n的方程为y=﹣2，设点B（a，0）、点C（b，﹣2），∴=（a，﹣1）、=（b，﹣3），∴+=（a+b，﹣4）．∵，∴（a+b）2+16=25，∴a+b=3，或a+b=﹣3．当a+b=3时，=ab+3=a（3﹣a）+3=﹣a2+3a+3，它的最大值为=．当a+b=﹣3时，=ab+3=a（﹣3﹣a）+3=﹣a2﹣3a+3，它的最大值为=．综上可得，的最大值为，故答案为：．13．实数x，y满足﹣y2=1，则3x2﹣2xy的最小值是6+4．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出双曲线的参数方程，代入所求式，运用切割化弦，可得+= [（1﹣sinα）+（1+sinα）]（+），展开再由基本不等式即可得到所求最小值．【解答】解：由﹣y2=1，可设x=2secα，y=tanα，则3x2﹣2xy=12sec2α﹣4secαtanα=﹣==+，其中﹣1＜sinα＜1，[（1﹣sinα）+（1+sinα）]（+）=12++≥12+2=12+8，当且仅当=，解得sinα=3﹣2（3+2舍去），取得最小值．则3x2﹣2xy的最小值是6+4．故答案为：6+4．14．若存在α，β∈R，使得，则实数t的取值范围是[，1]．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】由α≤α﹣5cosβ，得到cosβ＜0，由已知α≤t，即，令，则f′（t）=，令f′（t）=0，则sinβ=0，当sinβ=0时，f（t）取得最小值，然后由t≤α﹣5cosβ，即，令，则．令f′（t）=0，则sinβ=0．当sinβ=0时，f（t）取得最大值．【解答】解：∵α≤α﹣5cosβ，∴0≤﹣5cosβ．∴cosβ＜0．∵α≤t，∴，即．令，则f′（t）==，令f′（t）=0，则sinβ=0．∴当sinβ=0时，f（t）取得最小值．f（t）=．∵t≤α﹣5cosβ，∴α≥t+5cosβ．∴即．令，则．令f′（t）=0，则sinβ=0．当sinβ=0时，f（t）取得最大值．f（t）=．则实数t的取值范围是：[，1]．故答案为：[，1]．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．在斜三角形ABC中，tanA+tanB+tanAtanB=1．（1）求C的值；（2）若A=15°，，求△ABC的周长．【考点】两角和与差的正切函数；正弦定理．【分析】（1）由条件利用两角和差的正切公式，诱导公式求得tanC的值可得C的值．（2）由条件利用正弦定理、两角和差的正弦公式求得a、b的值，可得△ABC的周长．【解答】解：（1）斜三角形ABC中，∵tanA+tanB+tanAtanB=1，∴tanA+tanB=1﹣tanAtanB，∴tan（A+B）==1，即﹣tanC=1，tanC=﹣1，∴C=135°．（2）若A=15°，则B=30°，∵，则由正弦定理可得===2，求得a=2sin（45°﹣30°）=2（sin45°cos30°﹣cos45°sin30°）=，b=•2=1，故△ABC的周长为a+b+c=+1+=．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点．求证：（1）AP∥平面C1MN；（2）平面B1BDD1⊥平面C1MN．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出四边形AMC1P为平行四边形，从而AP∥C1M，由此能证明AP∥平面C1MN．（2）连结AC，推导出MN⊥BD，DD1⊥MN，从而MN⊥平面BDD1B1，由此能证明平面B1BDD1⊥平面C1MN．【解答】证明：（1）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点，∴AM=PC1，又AM∥CD，PC1∥CD，故AM∥PC1，∴四边形AMC1P为平行四边形，∴AP∥C1M，又AP⊄平面C1MN，C1M⊂平面C1MN，∴AP∥平面C1MN．（2）连结AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD，又M、N分别为棱AB、BC的中点，∴MN∥AC，∴MN⊥BD，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，又MN⊂平面ABCD，∴DD1⊥MN，而DD1∩DB=D，DD1、DB⊂平面BDD1B1，∴MN⊥平面BDD1B1，又MN⊂平面C1MN，∴平面B1BDD1⊥平面C1MN．17．植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：方案①多边形为直角三角形AEB（∠AEB=90°），如图1所示，其中AE+EB=30m；方案②多边形为等腰梯形AEFB（AB＞EF），如图2所示，其中AE=EF=BF=10m．请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．【考点】定积分在求面积中的应用；基本不等式．【分析】设方案①，②的多边形苗圃的面积分别为S1，S2，根据基本不等式求出S1的最大值，用导数求出S2的最大值，比较即可．【解答】解：设方案①，②的多边形苗圃的面积分别为S1，S2，方案①，设AE=x，则S1=x（30﹣x）≤ []2=，当且仅当x=15时，取等号，方案②，设∠BAE=θ，则S2=100sinθ（1+cosθ），θ∈（0，），由S2′=100（2cos2θ+cosθ﹣1）=0得cosθ=（cosθ=﹣1舍去），∵θ∈（0，），∴θ=，当S2′＞0，解得0＜x＜，函数单调递增，当S2′＜0，解得＜x＜，函数单调递减，∴当θ=时，（S2）max=75，∵＜75，∴建立苗圃时用方案②，且∠BAE=．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足=2．（1）若点P的坐标为（2，），求椭圆的方程；（2）设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且=m，直线OA，OB的斜率之积为﹣，求实数m的值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由已知得A（﹣1，﹣），代入椭圆，得，再由椭圆离心率为，得=，由此能求出椭圆方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），推导出P（﹣2x1，﹣2y1），（﹣2x1﹣x2，﹣2y1﹣y2）=m （x3﹣x2，y3﹣y2），从而得到（）+（）﹣（）=1，由直线OA，OB的斜率之积为﹣，得到=0，由此能求出实数m的值．【解答】解：（1）∵A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足=2，点P的坐标为（2，），∴A（﹣1，﹣），代入椭圆，得，①∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，∴=，②联立①②，解得a2=2，b2=1，∴椭圆方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），∵=2，∴P（﹣2x1，﹣2y1），∵=m，∴（﹣2x1﹣x2，﹣2y1﹣y2）=m（x3﹣x2，y3﹣y2），∴，∴，代入椭圆，得=1，即（）+（）﹣（）=1，③∵A，B在椭圆上，∴+=1，=1，④∵直线OA，OB的斜率之积为﹣，∴=﹣，结合②，知=0，⑤将④⑤代入③，得=1，解得m=．19．设函数f（x）=（x+k+1），g（x）=，其中k是实数．（1）若k=0，解不等式•f（x）≥•g（x）；（2）若k≥0，求关于x的方程f（x）=x•g（x）实根的个数．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）若k=0，先化简不等式即可解不等式•f（x）≥•g（x）；（2）若k≥0，化简方程f（x）=x•g（x），然后讨论k的取值范围即可得到结论．【解答】解：（1）若k=0，f（x）=（x+1），g（x）=，则不等式•f（x）≥•g（x）等价为•（x+1）≥•，此时，即x≥0，此时不等式等价为（x+1）x≥（x+3），即2x2+x﹣3≥0，得x≥1或x≤﹣，∵x≥0，∴x≥1，即不等式的解集为[1，+∞）．（2）若k≥0，由f（x）=x•g（x）得（x+k+1）=x，①．由得，即x≥k，∴当x≥0时x﹣k+1＞0，方程①两边平方整理得（2k﹣1）x2﹣（k2﹣1）x﹣k（k+1）2=0，（x≥k），②当k=时，由②得x=，∴方程有唯一解，当k ≠时，由②得判别式△=（k +1）2（3k ﹣1）2， 1）当k=时，判别式△=0，方程②有两个相等的根x=，∴原方程有唯一解．2）0≤k ＜且k ≠时，方程②整理为[（2k ﹣1）x +k （k +1）]（x ﹣k ﹣1）=0， 解得x 1=，x 2=k +1，由于判别式△＞0，∴x 1≠x 2，其中x 2=k +1＞k ，x 1﹣k=≥0，即x 1≥k ，故原方程有两解，3）当k ＞时，由2）知，x 1﹣k=＜0，即x 1＜k ，故x 1不是原方程的解，而x 2=k +1＞k ，则原方程有唯一解，综上所述，当k ≥或k=时，原方程有唯一解， 当0≤k ＜且k ≠时，原方程有两解．20．设数列{a n }的各项均为正数，{a n }的前n 项和，n ∈N *．（1）求证：数列{a n }为等差数列； （2）等比数列{b n }的各项均为正数，，n ∈N *，且存在整数k ≥2，使得．（i ）求数列{b n }公比q 的最小值（用k 表示）； （ii ）当n ≥2时，，求数列{b n }的通项公式．【考点】数列的求和；等差关系的确定． 【分析】（1）数列{a n }的前n 项和，n ∈N *．利用递推关系可得：a n ﹣a n ﹣1=2，再利用等差数列的通项公式即可得出．（2）（i ）由（1）可得：a n =2n ﹣1，S n =n 2．根据存在整数k ≥2，使得．可得b 1=．b n =k 2•．由，n ∈N *，可得：q n ﹣k ≥，当n=k 时，上式恒成立．当n ≥k +1时，可得：（n ﹣k ）lnq=2，利用导数研究其单调性可得：的最大值为k ，q ≥．当n ≤k ﹣1时，q ≤．可得q 的最小值为（整数k ≥2）． （ii ）由题意可得：q ∈N *，由（i ）可知：q ∈，（k ≥2），可得：q ≥＞1，q ≤≤4，q ∈{2，3，4}，分类讨论即可得出．【解答】（1）证明：∵数列{a n }的前n 项和，n ∈N *．∴当n=1时，，解得a 1=1．当n ≥2时，a n =S n ﹣S=﹣，化为：（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣2）=0，∵数列{a n }的各项均为正数，∴a n +a n ﹣1＞0（n ≥2），a n ﹣a n ﹣1=2，∴数列{a n}是等差数列，公差为2．（2）解：（i）由（1）可得：a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，S n=n2．∵存在整数k≥2，使得．∴，可得b1=．∴b n==k2•，∵，n∈N*，∴k2•q n﹣k≥n2，∴q n﹣k≥，当n=k时，上式恒成立．当n≥k+1时，可得：（n﹣k）lnq=2，∴≥，令f（x）=，（x＞1），则f′（x）=，令g（t）=1﹣t+lnt，（0＜t＜1），则g′（t）=＞0，因此函数g（t）在（0，1）内单调递增，∴g（t）＜g（1）=0，∴f′（x）＜0，∴函数f（x）在（1，+∞）为减函数，∴的最大值为k，∴≥k，∴q≥．当n≤k﹣1时，q≤．∴q的最小值为（整数k≥2）．（ii）由题意可得：q∈N*，由（i）可知：q∈，（k≥2），∴q≥＞1，q≤≤4，∴q∈{2，3，4}，当q=2时，≤2≤，只能取k=3，此时b n=，舍去．当q=3时，≤3≤，只能取k=2，此时b n=4，舍去．当q=4时，≤4≤，只能取k=3，此时b n=22n﹣3，符合条件．综上可得：b n=22n﹣3．[附加题]21．在平面直角坐标系xOy中，设点A（﹣1，2）在矩阵对应的变换作用下得到点A′，将点B（3，4）绕点A′逆时针旋转90°得到点B′，求点B′的坐标．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】设B′（x，y），=，求得A′的坐标，写出向量，，=，即可求得x和y，求得点B′的坐标．【解答】解：设B′（x，y），由题意可知：=，得A′（1，2），则=（2，2），=（x﹣1，y﹣2），即旋转矩阵N=，则=，即=，解得：，所以B′的坐标为（﹣1，4）．[附加题]22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】直线（t为参数），消去参数t化为普通方程．由曲线（θ为参数），利用倍角公式可得y=1﹣2sin2θ，联立解出，再利用两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：直线（t为参数）化为普通方程：y=2x+1．由曲线（θ为参数），可得y=1﹣2sin2θ=1﹣2x2（﹣1≤x≤1），联立（﹣1≤x≤1），解得，或，．∴A（﹣1，﹣1），B（0，1），∴|AB|==．23．一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k倍的奖励（k∈N*），且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为X元．（1）求概率P（X=0）的值；（2）为使收益X的数学期望不小于0元，求k的最小值．（注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！）【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）事件“X=0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次”，由此能求出P（X=0）．（2）依题意，X的可能取值为k，﹣1，1，0，分别求出相应的概率，由此求出E（X），进而能求出k的最小值．【解答】解：（1）事件“X=0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次”，则P（X=0）=3×=．（2）依题意，X的可能取值为k，﹣1，1，0，且P（X=k）=（）3=，P（X=﹣1）=（）3=，P（X=1）=3×=，P（X=0）=3×=，∴参加游戏者的收益X的数学期望为：E（X）==，为使收益X的数学期望不小于0元，故k≥110，∴k的最小值为110．24．设S4k=a1+a2+…+a4k（k∈N*），其中a i∈{0，1}（i=1，2，…，4k）．当S4k除以4的余数是b（b=0，1，2，3）时，数列a1，a2，…，a4k的个数记为m（b）．（1）当k=2时，求m（1）的值；（2）求m（3）关于k的表达式，并化简．【考点】整除的定义．【分析】（1）当k=2时，由题意可得数列a1，a2，…，a8中有1个1或5个1，其余为0，可得m（1）=；（2）依题意，数列a1，a2，…，a4k中有3个1，或7个1，或11个1，或（4k﹣1）个1，其余为0，然后用组合数表示m（3），同理用组合数表示m（1），结合m（1）=m（3），求出m（1）+m（3），即可求得m （3）．【解答】解：（1）当k=2时，数列a1，a2，…，a8中有1个1或5个1，其余为0，∴m（1）=；（2）依题意，数列a1，a2，…，a4k中有3个1，或7个1，或11个1，或（4k﹣1）个1，其余为0，∴m（3）=，同理得：m（1）=，∵，∴m（1）=m（3）．又m（1）+m（3）==24k﹣1，∴m（3）=24k﹣2=42k﹣1．。
江苏省泰州市2020届高三下学期5月高考模拟数学试卷及答案解析
江苏省泰州市2020届高三下学期5月高考模拟数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题）一、填空题（题型注释）1.已知集合1,2A =，{}2,48B =,，则A B =_______．2.若实数x 、y 满足()1x yi x y i +=-+-（i 是虚数单位），则xy =_______．3.如图是容量为100的样本的频率分布直方图，则样本数据落在区间[)6,18内的频数为_______．4.根据如图所示的伪代码，可得输出的S 的值为_______．5.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为2y x =，则离心率等于___.6.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，这两次出现向上的点数分别记为x 、y ，则1x y -=的概率是_______．7.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y x =上一点P 到焦点F 的距离是它到y 轴距离的3倍，则点P 的横坐标为_______．8.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关……”其大意为：“某人从距离关口三百七十八里处出发，第一天走得轻快有力，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程为前一天的一半，共走了六天到达关口……” 那么该人第一天走的路程为______________ 9.若定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，()11f =，则()()()678f f f ++的值为_______．10.将半径为R 的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，若圆锥的体积为，则R =_______．11.若函数()2,1,x a x af x x x a+≥⎧=⎨-<⎩只有一个零点，则实数a 的取值范围为_______.12.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()11,A x y 、()22,B x y 在圆22:4O x y +=上，且满足12122x x y y +=-，则1212x x y y +++的最小值是_______．13.在锐角ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，若3AB AD =，AC AF λ=，且26BC ED EF ED ⋅=⋅=，1ED =，则实数λ的值为_______．14.在ABC 中，点D 在边BC 上，且满足AD BD =，23tan 2tan 30B A -+=，则BDCD的取值范围为_______．二、解答题（题型注释）ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB AC =，点D 、E 、F 分別是AB 、AC 、BC 的中点．（1）求证：//BC 平面PDE ；（2）求证：平面PAF ⊥平面PDE ． 16.已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ． （1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()f α=，3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求sin 2α的值．17.某温泉度假村拟以泉眼C 为圆心建造一个半径为12米的圆形温泉池，如图所示，M 、N 是圆C 上关于直径AB 对称的两点，以A 为圆心，AC 为半径的圆与圆C 的弦AM 、AN 分别交于点D 、E ，其中四边形AEBD 为温泉区，I 、II 区域为池外休息区，III 、IV区域为池内休息区，设MAB θ∠=．（1）当4πθ=时，求池内休息区的总面积（III 和IV 两个部分面积的和）；（2）当池内休息区的总面积最大时，求AM 的长．18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的左顶点为A ，过点A 的直线与椭圆M 交于x 轴上方一点B ，以AB 为边作矩形ABCD ，其中直线CD 过原点O ．当点B 为椭圆M 的上顶点时，AOB 的面积为b ，且AB =．（1）求椭圆M 的标准方程； （2）求矩形ABCD 面积S 的最大值； （3）矩形ABCD 能否为正方形？请说明理由．19.定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“YZ 函数”． （1）判断函数()1x xf x e=-是否为“YZ 函数”，并说明理由； （2）若函数()()ln g x x mx m R =-∈是“YZ 函数”，求实数m 的取值范围； （3）已知()32111323h x x ax bx b =++-，()0,x ∈+∞，a 、b R ∈，求证：当2a ≤-，且01b <<时，函数()h x 是“YZ 函数”．20.已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c 满足2n n n b a a +=-，12n n n c a a +=+．（1）若数列{}n a 是等比数列，试判断数列{}n c 是否为等比数列，并说明理由； （2）若n a 恰好是一个等差数列的前n 项和，求证：数列{}n b 是等差数列；（3）若数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，数列{}n c 是等差数列，求证：数列{}n a 是等差数列．21.已知列向量5a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦在矩阵 3 41 2M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到列向量2 b b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求1b M a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦．22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭P 为曲线C 上任一点，求点P 到直线l 距离的最大值．23.已知实数a 、b 、c 满足0a >，0b >，0c >，2223a b cb c a++=，求证：3a b c ++≤．24.如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，ADE 是等腰直角三角形，且2ADE π∠=，EF ⊥平面ADE ，1EF =．（1）求异面直线AE 和DF 所成角的余弦值； （2）求二面角B DF C --的余弦值． 25.给定()3,n n n N*≥∈个不同的数1、2、3、、n ，它的某一个排列P 的前(),1k k N k n *∈≤≤项和为k S ，该排列P 中满足2k n S S ≤的k 的最大值为P k ．记这n 个不同数的所有排列对应的P k 之和为n T ． （1）若3n =，求3T ； （2）若41n l =+，l N *∈.①证明：对任意的排列P ，都不存在(),1k k N k n *∈≤≤使得2k n S S =；②求n T （用n 表示）．参考答案1.{}1,2,4,8【解析】1.利用并集的定义可求得集合AB .{}1,2A =，{}2,48B =,，{}1,2,4,8A B ∴=. 故答案为：{}1,2,4,8. 2.12【解析】2.根据复数相等建立方程组，求出x 、y 的值，进而可得出xy 的值.()1x yi x y i +=-+-，1x y x y =-⎧∴⎨=-⎩，解得112x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，因此，12xy =.故答案为：12. 3.80【解析】3.将样本数据落在区间[)6,18内的频率乘以100可得出结果.由直方图可知，样本数据落在区间[)6,18内的频率为()0.080.090.0340.8++⨯=， 因此，样本数据落在区间[)6,18内的频数为1000.880⨯=. 故答案为：80. 4.8【解析】4.根据算法程序列举出算法的每一步，进而可得出输出的S 的值.15I =<成立，123I =+=，336S =+=； 35I =<成立，325I =+=，538S =+=； 55I =<不成立，跳出循环体，输出S 的值为8.故答案为：8.【解析】5.根据双曲线方程得渐近线方程，再根据条件得ba＝2，最后得离心率. 双曲线的渐近线方程为：by x a=±， 所以，ba＝2，离心率为：c e a ==== 6.518【解析】6.计算出基本事件总数，列举出事件“1x y -=”所包含的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，基本事件总数为2636=，其中，事件“1x y -=”所包含的基本事件有：()1,2、()2,1、()2,3、()3,2、()3,4、()4,3、()4,5、()5,4、()5,6、()6,5，共10种情况，因此，所求事件的概率为1053618=. 故答案为：518. 7.12【解析】7.设点P 的坐标为()00,x y ，根据抛物线的定义可得出关于0x 的方程，解出0x 的值即可得解. 设点P 的坐标为()00,x y ，则00x >，抛物线的准线方程为1x =-， 由于点P 到焦点F 的距离是它到y 轴距离的3倍，则0013x x +=，解得012x =. 因此，点P 的横坐标为12.故答案为：12. 8.192【解析】8.根据题意，记每天走的路程里数为{a n }，可知{a n }是公比为12的等比数列，又由6天走完378里，利用求和公式即可得出．根据题意，记每天走的路程里数为{a n }，可知{a n }是公比为12的等比数列， 又由6天走完378里， 则S 6=a 1[1−(12)6]1−12=378，解可得：a 1＝192，即该人第一天走的路程为192里． 故答案为：192里． 9.1-【解析】9.利用函数()y f x =的周期性和奇偶性分别求出()6f 、()7f 、()8f 的值，进而可得出结果.由于定义在R 上的奇函数()y f x =满足()()4f x f x +=，则该函数是周期为4的周期函数，且()11f =，则()()800f f ==，()()()7111f f f =-=-=-，()()()622f f f =-=， 又()()22f f -=-，()20f ∴=，则()60f =， 因此，()()()6781f f f ++=-. 故答案为：1-. 10.6【解析】10.设圆锥的底面半径为r ，根据半圆弧长等于圆锥底面圆的周长可得出r 与R 的等量关系，并求出圆锥的高，得出圆锥的体积，由此可求得R 的值.设圆锥的底面半径为r ，由于半圆弧长等于圆锥底面圆的周长，则2r R ππ=，2R r ∴=，圆锥的高为2h R ==，则圆锥的体积为22311334R V r h R R ππ==⨯==，解得6R =.故答案为：6. 11.(](],10,1-∞-【解析】11.分1a ≤-、11a -<≤、1a >三种情况讨论，结合函数()y f x =只有一个零点得出关于实数a 的不等式（组），即可求得实数a 的取值范围. 函数21y x =-的零点为±1.①当1a ≤-时，函数()y f x =在区间(),a -∞上无零点，则函数()y f x =在区间[),a +∞上有零点a -，可得a a -≥，解得0a ≤，此时1a ≤-； ②当11a -<≤时，函数()y f x =在区间(),a -∞上有零点1-，则函数()y f x =在区间[),a +∞上无零点，则a a -<，解得0a >，此时01a <≤； ③当1a >时，函数()y f x =在区间(),a -∞上的零点为±1，不合乎题意. 综上所述，实数a 的取值范围是(](],10,1-∞-.故答案为：(](],10,1-∞-.12.-【解析】12. 求得23AOB π∠=，设点()2cos ,2sin A αα、()2cos ,2sin B ββ，设，可得出()223k k N πβαπ=++∈，然后利用三角恒等变换思想结合正弦函数的有界性可求得1212x x y y +++的最小值.由题意可得()11,OA x y =、()22,OB x y =，12122OA OB x x y y ⋅=+=-， 所以，1cos 2OA OB AOB OA OB⋅∠==-⋅，0AOB π<∠<，23AOB π∴∠=， 设点()2cos ,2sin A αα、()2cos ,2sin B ββ，设，则()223k k N πβαπ=++∈， 所以，12122cos 2cos 2sin 2sin x x y y αβαβ+++=+++222cos 2cos 22sin 2sin 233k k ππααπααπ⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭((()1sin 1cos αααϕ=++=--，ϕ为锐角，且tan 2ϕ==因此，1212x x y y +++的最小值-.故答案为：-. 13.3【解析】13. 将EF 表示为11133EF BC AC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，由题意得知ED 与AC 不垂直，由3ED EF ⋅=可得出1103λ-=，进而可求得实数λ的值. 如下图所示：3AB AD =，AC AF λ=，13AD AB ∴=，1AF AC λ=， ()11111333EF ED AD AF ED AB AC ED AC AB ACλλ⎛⎫∴=-+=-+=+-+- ⎪⎝⎭11133ED BC AC λ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，ABC 是锐角三角形，则ED 与AC 不垂直，即0ED AC ⋅≠，1ED =，6ED BC ⋅=，则21111113333ED EF ED ED BC AC ED ED BC ED AC λλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=⋅++-=+⋅+-⋅ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦11333ED AC λ⎛⎫=+-⋅= ⎪⎝⎭，即1103ED AC λ⎛⎫-⋅=⎪⎝⎭， 0ED AC ⋅≠，1103λ∴-=，因此，3λ=. 故答案为：3. 14.(]1,2【解析】14.作出图形，由23tan 2tan 30B A -+=得出()23tan tan 12A B =+，利用正弦定理和三角恒等变换思想得出24tan 41133tan 2tan 33tan 2tan BD B CD B B B B=+=+-++-，然后利用不等式的性质和基本不等式可求得BDCD的取值范围. 如下图所示：23tan 2tan 30B A -+=，()23tan tan 12A B ∴=+， AD BD =，BAD B ∴∠=，CAD A B ∠=-，且B 为锐角，在ACD 中，()()sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin A B BD AD CA B A B CD CD CAD A B A B A B++====∠--()()222223tan 1tan tan tan 3tan 2tan 34tan 2113tan tan 3tan 2tan 33tan 2tan 3tan 1tan 2B BA B B B B A B B B B B B B +++++====+>--+-++-，另一方面24tan 4111233tan 2tan 33tan 2tan BD B CD B B B B =+=+≤=-++-， 当且仅当4B π=时，等号成立，因此，BDCD的取值范围是(]1,2. 故答案为：(]1,2.15.（1）见解析；（2）见解析.【解析】15.（1）利用中位线的性质得出//DE BC ，然后利用线面平行的判定定理可证得//BC 平面PDE ；（2）证明出DE PA ⊥，DE AF ⊥，利用线面垂直的判定定理可证得DE ⊥平面PAF ，再利用面面垂直的判定定理可得出平面PAF ⊥平面PDE ．（1）在ABC 中，因为D 、E 分别是AB 、AC 的中点，所以//DE BC ， 因为BC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，所以//BC 平面PDE ； （2）因为PA ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，所以PA DE ⊥， 在ABC 中，因为AB AC =，F 是BC 的中点，所以AF BC ⊥， 因为//DE BC ，所以DE AF ⊥， 又因为AFPA A =，AF ⊂平面PAF ，PA ⊂平面PAF ，所以DE ⊥平面PAF ，因为DE ⊂平面PDE ，所以平面PAF ⊥平面PDE ． 16.（1）()f x的最大值为2，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）4sin 26α=.【解析】16.（1）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()sin 224f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得出函数()y f x =的最大值，解方程()2242x k k Z πππ-=+∈可得出对应的x 的取值集合；（2）由()6f α=得出1sin 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，利用同角三角函数的基本关系求得cos 24πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，然后利用两角和的正弦公式可求得sin 2α的值.（1）因为()()211cos 2111sin sin cos sin 2sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=+-=+-=-sin 2cos cos 2sin sin 224424x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当()2242x k k Z πππ-=+∈，即()38x k k Z ππ=+∈时，函数()y f x =取最大值2，所以函数()y f x =的最大值为2，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）因为()f α=24πα⎛⎫-=⎪⎝⎭1sin 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为3,88ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以2,422πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则cos 243πα⎛⎫-=== ⎪⎝⎭，所以sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1432326+=⋅+=.17.（1）2144(2m -；（2）(3AM m =+【解析】17.（1）计算出BM 、DM 的长，利用三角形的面积公式可求得III 和IV 两个部分面积的和； （2）将BM 、DM 用含θ的代数式表示出来，可得出池内休息区的总面积S 关于θ的函数表达式，令()()sin 2cos 1fθθθ=-，利用导数求出()f θ的最大值，并求出对应的θ的值，由此可求得AM 的长.（1）在Rt ABM 中，因为24AB =，4πθ=，所以24cos4MB AM π===24cos12124MD π=-=，所以池内休息区总面积)(()2121214422S MB DM m =⋅⋅==；（2）在Rt ABM 中，因为24AB =，MAB θ∠=， 所以24sin BM θ=，24cos AM θ=，24cos 12MD θ=-，由24sin 0BM θ=>，24cos 120MD θ=->得πθ0,3， 则池内休息区总面积()()1224sin 24cos 12288sin 2cos 12S MB DM θθθθ=⋅⋅=-=-，πθ0,3； 设()()sin 2cos 1fθθθ=-，πθ0,3，因为()()221cos 2cos 12sin 4cos cos 20cos 8f θθθθθθθ=--=--=⇒='，又1cos 2θ=>，所以00,3πθ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得0cos θ=， 则当()00,x θ∈时，()()0f f θθ'>⇒在()00,θ上单调增，当0,3x πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0f f θθ'<⇒在()00,θ上单调递减，即()0fθ是极大值，也是最大值，所以()()0max f f θθ=，此时024cos 3AM θ==+18.（1）22142x y +=；（2）3）ABCD 为正方形，理由见解析.【解析】18.（1）根据题意得出关于a 、b 的方程组，解出a 、b 的值，即可得出椭圆M 的标准方程； （2）设直线AB 的方程为()2y k x =+，其中0k >，将直线AB 的方程与椭圆M 的方程联立，求出点B 的坐标，利用两点间的距离公式求出AB ，并求出BC ，可得出四边形ABCD 的面积S 关于k 的表达式，然后利用基本不等式可求得S 的最大值；（3）由四边形ABCD 为正方形得出AB BC =，可得出()3222200k k k k -+-=>，构造函数()()322220f k k k k k =-+->，利用零点存在定理来说明函数()y f k =在()0,k ∈+∞时有零点，进而说明四边形ABCD 能成为正方形.（1）由题意：12ab b =⎨=⎪⎩，解得2a =，b =所以椭圆M 的标准方程为22142x y +=；（2）显然直线AB 的斜率存在，设为k 且0k >，则直线AB 的方程为()2y k x =+，即20kx y k -+=，联立()222142y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()2222128840k x k x k +++-=，解得222412B k x k -=+，2412Bk y k =+，所以AB ==， 直线CD 的方程为y kx =，即0kxy，所以BC ==，所以矩形ABCD面积2881122k S k k k====++≤所以当且仅当k =ABCD 面积S 取最大值为； （3）若矩形ABCD 为正方形，则ABBC =，即212k =+，则()3222200k k k k -+-=>，令()()322220f k k k k k =-+->，因为()110f =-<，()280f =>，又()()322220f k k k k k =-+->的图象不间断，所以()()322220f k k k k k =-+->有零点，所以存在矩形ABCD 为正方形.19.（1）()f x 是“YZ 函数”，理由见解析；（2）1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（3）证明见解析.【解析】19.（1）利用导数求出函数()y f x =的极大值，结合题中定义判断即可；（2）分0m ≤和0m >两种情况讨论，利用导数分析函数()y g x =的单调性，利用题中定义得出关于m 的不等式，进而可解得实数m 的取值范围；（3）求出函数()y h x =的导数()2h x x ax b =++'，利用导数分析函数()y h x =的单调性，设函数()y h x =的极值点分别为1x 、2x ，可知1x 、2x 是方程()0h x '=的两根，进而可列出韦达定理，结合韦达定理证明出函数()y h x =的极大值为负数，由此可证得结论. （1）函数()1xxf x e =-是“YZ 函数”，理由如下： 因为()1x x f x e =-，则()1xxf x e='-， 当1x <时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<， 所以函数()1x x f x e =-的极大值()1110f e =-<，故函数()1x xf x e=-是“YZ 函数”； （2）函数()ln g x x mx =-的定义域为()0,+∞，()1g x m x'=-. 当0m ≤时，()10g x m x-'=>，函数()y g x =单调递增，无极大值，不满足题意； 当0m >时，当10x m<<时，()10g x m x -'=>，函数单调递增，当1x m>时，()10g x m x -'=<，函数单调递减，所以函数()y g x =的极大值为111ln ln 1g m m m m m ⎛⎫=-⋅=-- ⎪⎝⎭， 易知1ln 10g m m ⎛⎫=--<⎪⎝⎭，解得1m e >， 因此，实数m 的取值范围是1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（3） ()2h x x ax b =++'，因为2a ≤-，01b <<，则240a b ∆=->，所以()20h x x ax b =++='有两个不等实根，设为1x 、2x ，因为121200x x a x x b +=->⎧⎨=>⎩，所以1>0x ，20x >，不妨设120x x <<，当10x x <<时，()0h x '>，则函数()y h x =单调递增； 当12x x x <<时，()0h x '<，则函数()y h x =单调递减. 所以函数()y h x =的极大值为()321111111323h x x ax bx b =++-，由()21110h x x ax b =++='得()3211111x x ax b ax bx =--=--，因为2a ≤-，01b <<， 所以()()322211111111111111323323h x x ax bx b ax bx ax bx b =++-=--++- ()()22211111121121111063333333ax bx b x bx b x b b b =+-≤-+-=--+-<． 所以函数()y h x =是“YZ 函数”．20.（1）答案不唯一，见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】20.（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，分12q =-和12q ≠-两种情况讨论，结合等比数列的定义判断即可；（2）设n a 是公差为d 的等差数列{}n d 的前n 项和，推导出11n n n a a d ++-=，由2n n n a a b +=+推导出12n n b b d +-=，进而可证得结论成立；（3）利用数列{}n c 是等差数列结合12n n n c a a +=+推导出212n n n b b b ++=+，再结合数列{}n b 是等比数列，推导出1n n b b +=，由数列{}n c 是等差数列得出212n n n c c c +++=，推导出3223n n n a a a +++=，并将321n n n n a a a a +++=+-代入化简得212n n n a a a +++=，从而可证明出数列{}n a 是等差数列.（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则()12221n n n n n n c a a a q a q a +=+=+=+， 当12q =-时，0n c =，数列{}n c 不是等比数列； 当12q ≠-时，因为0n c ≠，所以()()112121n n nn q a c q c q a +++==+，所以数列{}n c 是等比数列； （2）因为n a 恰好是一个等差数列的前n 项和，设这个等差数列为{}n d ，公差为d ， 因为12n n a d d d =+++，所以1121n n n a d d d d ++=++++，两式相减得11n n n a a d ++-=， 因为2n n n a a b +=+，所以()()()()1312321312n n n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a d d d +++++++++-=---=---=-=， 所以数列{}n b 是等差数列；（3）因为数列{}n c 是等差数列，所以321n n n n c c c c +++-=-，又因为12n n n c a a +=+，所以()()43322112222n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++++-+=+-+， 即 ()()()423122n n n n n n a a a a a a +++++-=-+-，则212n n n b b b ++=+，又因为数列{}n b 是等比数列，所以212n n n b b b ++=，则2112n nn n b b b b +++=⋅， 即()()1120n n n n b b b b ++-+=，因为数列{}n b 各项均为正数，所以1n n b b +=， 则312n n n n a a a a +++-=-，即321n n n n a a a a +++=+-， 又因为数列{}n c 是等差数列，所以212n n n c c c +++=，即()()()321212222n n n n n n a a a a a a ++++++++=+，化简得3223n n n a a a +++=，将321n n n n a a a a +++=+-代入得2122()3n n n n n a a a a a ++++-+=，化简得212n n n a a a +++=， 所以数列{}n a 是等差数列．21.1611⎡⎤⎢⎥-⎣⎦【解析】21.利用25a b M b -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦列出方程组求出a 、b 的值，求出矩阵M 的逆矩阵1M -，利用矩阵的乘法可求得矩阵1b M a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 因为342125a b b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以320210a b a b +=-⎧⎨+=⎩，解得64a b =-⎧⎨=⎩，设1m p M n q -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则34101201m p n q ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即3413402021m n p q m n p q +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得112232m n p q =⎧⎪⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=⎪⎩， 所以1121322M --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦，所以112416=1361122M b a --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.22.【解析】22.将直线l的极坐标方程化为普通方程，设点()cos P αα，利用点到直线的距离公式结合正弦型函数的有界性可求得点P 到直线l 距离的最大值．由题：直线方程即为sin coscos sin44ππρθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭由cos x ρθ=，sin y ρθ=得直线l 的直角坐标方程为80x y +-=， 设P点的坐标为()cos αα，∴点P到直线的距离6d πα⎛⎫===+ ⎪⎝⎭， 当()262k k Z ππαπ+=-∈，即()223k k Z αππ=-∈时，d取得最大值 此时点P 的坐标为13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 23.见解析【解析】23.利用柯西不等式证明出()()2222a b c b c a a b c b c a ⎛⎫++++≥++⎪⎝⎭，由此可证明出3a b c ++≤.由柯西不等式，得()()2223a b c a b c b c a b c a ⎛⎫++=++++⎪⎝⎭222222⎡⎤⎡⎤=++⋅++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦()22a b c ≥=++， 所以3a b c ++≤．24.（1）5；（2）23.【解析】24.（1）利用面面垂直的性质定理证明出DE ⊥平面ABCD ，然后以D 为坐标原点，{},,DA DC DE 为一组基底建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求出异面直线AE 和DF 所成角的余弦值；（2）求出平面BDF 和CDF 的法向量，然后利用空间向量法可求出二面角B DF C --的余弦值． （1）2ADE π∠=，即DE AD ⊥，因为平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE平面ABCD AD =，DE ⊂平面ADE ，DE ∴⊥平面ABCD ，由于四边形ABCD 为边长为2的正方形, 所以DA 、DC 、DE 两两互相垂直． 以D 为坐标原点，{},,DA DC DE 为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系.EF ⊥平面ADE 且1EF =，()0,0,0D ∴、()2,0,0A 、()0,0,2E 、()0,2,0C 、()2,2,0B 、()0,1,2F ，()2,0,2AE =-，()0,1,2DF =，则cos ,22AE DF A AE DFE DF ⋅<===⋅>，所以AE 和DF 所成角的余弦值为5； （2）()2,2,0DB =，()0,1,2DF =，设平面BDF 的一个法向量为(),,n x y z =，由22020n DB x y n DF y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，取1z =，得()2,2,1n =-，平面CDF 的一个法向量为()1,0,0m =，22cos ,313m nm n m n ⋅∴<>===⨯⋅， 由二面角B DF C --的平面角为锐角，所以二面角B DF C --的余弦值为23. 25.（1）38T =；（2）①见解析；②()!12n n T n =-.【解析】25. （1）列出1、2、3的所有排列，求出6个排列P 中P k 的值，进而可求得3T 的值； （2）①设n 个不同数的某一个排列P 为1a 、2a 、、n a ，求得()()()141212n n n S l l +==++为奇数，再由2k S 为偶数可得出结论； ②由题意可得出2k n S S <，可得出1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+且1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅+，考虑排列P 的对应倒序排列P '，推导出1P k n k '=--，由此可得出1P P k k n '+=-，再由1、2、3、、n 这n 个不同数可形成!2n 个对应组合(),P P '，进而可求得n T 的值. （1）1、2、3的所有排列为1、2、3；1、3、2；2、1、3；2、3、1；3、1、2；3、2、1.因为36S =，所以对应的P k 分别为2、1、2、1、1、1，所以38T =；（2）（i ）设n 个不同数的某一个排列P 为1a 、2a 、、n a ， 因为41n l =+，l N *∈，所以()()()141212n n n S l l +==++为奇数， 而2k S 为偶数，所以不存在(),1k k N k n *∈≤≤使得2k n S S = （ii ）因为2k n S S ≤，即1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤，又由（i ）知不存在(),1k k N k n *∈≤≤使得2k n S S =， 所以1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+；所以满足2k n S S ≤的最大下标k 即满足1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+①， 且1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅+②，考虑排列P 的对应倒序排列:P 'n a 、1n a -、、1a ，①②即2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅++，2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅++， 由题意知1P k n k '=--，则1P P k k n '+=-；又1、2、3、、n 这n 个不同数共有!n 个不同的排列，可以构成!2n 个对应组合(),P P '，且每组(),P P '中1P P k k n '+=-，所以()!12n n T n =-．。
【2020泰州市二模】江苏省泰州市2020届高三第二次模拟考试(5月)数学Word版含答案
2020届高三模拟考试试卷数学（满分160分，考试时间120分钟）2020. 5 参考公式：锥体的体积公式：V=1Sh,其中S为锥体的底面积，h为高. 3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1.已知集合 A = {1 , 2}, B = {2, 4, 8},则 AUB =.2.若实数x, y满足x + yi = —1+（x —y）i（i是虚数单位）,则xy =.3.如图是容量为100的样本的频率分布直方图，则样本数据落在区间[6, 18）内的频数为.I—1While I<5I-I + 2S—1 + 3End WhilePrint S（第3题）（第4题）4.根据如图所示的伪代码，可得输出S的值为.5.若双曲线a2■—$= 1（a>0, b>0）的一条渐近线的方程为y=2x,则该双曲线的离心率为.6.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1, 2, 3, 4, 5, 6个点的正方体玩具）先后抛掷2、次,这两次出现向上的点数分别记为x, v,则|x—y|=1的概率是.7.在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是它到 y轴距离的3倍，则点P的横坐标为.8.我国古代数学名著《增删算法统宗》中有这样一首数学诗：“三百七十八里关，初日健步不为难.次日脚痛减一半，六朝才得到其关. "它的大意是：有人要到某关口，路程为 378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都是前一天的一半，一共走了六天到达目的地.那么这个人第一天走的路程是里.9.若定义在 R上的奇函数 f(x)满足f(x + 4) = f(x), f(1) = 1,则f(6) + f⑺+f(8)的值为10.将半径为 R的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面.若圆锥的体积为943兀，则R=x + a, x>a,11.若函数f(x)= 9只有一个零点，则实数a的取值范围是_________x2- 1, x<a12.在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A(x 1, y1)，B(x2, y2)在圆O： x2+y2= 4上，且满足x1x2+y1y2= —2,则 x1 + x2 + y1+y2 的最小值是 ..... . . . . ........ t13.在锐角三角形 ABC中，点D, E, F分别在边AB , BC, CA上.若AB = 3AD , ACi 二± 二L 一二二L 一•二±.，-=?AF ,且 BC - ED = 2EF - ED=6, |ED|=1,则头数入的值为.14.在 4ABC 中，点 D 在边 BC 上，且满足 AD = BD , 3tan2B—2tan A+3=0,则 BD 的CD取值范围是.二、解答题：本大题共 6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)如图，在三棱锥 PABC中，PAL平面 ABC , AB = AC,点D, E, F分别是 AB , AC , BC的中点.求证：(1)BC //平面 PDE;(2)平面PAF,平面 PDE.16.(本小题满分14分)1 一已知函数 f(x) = sin2x+sin xcos x - 2, xCR.(1)求函数f(x)的最大值，并写出相应的x的取值集合;(2)若 f(a W, “C (— ~8, ^8^),求 sin 2 a 的值.17.(本小题满分14分)某温泉度假村拟以泉眼 C为圆心建造一个半径为12米的圆形温泉池，如图， M,N是圆C上关于直径AB对称的两点，以A为圆心，AC为半径的圆与圆C的弦AM , AN分别交于点D, E,其中四边形 AEBD为温泉区，I、n区域为池外休息区，出、IV区域为池内休息区，设/ MAB = 0 .(1)当0= 7时，求池内休息区的总面积 (出和IV两个部分面积的和)；(2)当池内休息区的总面积最大时，求 AM的长.18.(本小题满分16分)x2 y2、…如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆M ：臣+ ?=1(2> b>0)的左顶点为A,过点A 的直线与椭圆M交于x轴上方一点B,以AB为边作矩形ABCD ,其中直线 CD过原点O. 当点B为椭圆M的上顶点时，△ AOB的面积为b,且AB=43b.(1)求椭圆M的标准方程；(2)求矩形ABCD的面积S的最大值；(3)矩形ABCD能否为正方形？请说明理由.19.(本小题满分16分)定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“ YZ函数”.(1)判断函数f(x)=J—1是否为“ YZ函数”，并说明理由；(2)若函数g(x) = ln x —mx(m C R)是"YZ函数"，求实数 m的取值范围；(3)已知 h(x)=1x3+1ax2+bx-1b, x € (0,十力,a, bCR,求证：当 a< —2,且 0vb 3 2 3< 1时，函数h(x)是“YZ函数”.20.(本小题满分16分)已知数列｛a n｝ , ｛b n｝, ｛C n｝满足 b n=a n + 2 —a n, C n=2a n + 1+a n.(1)若数列｛a n｝是等比数列，试判断数列｛C n｝是否为等比数列，并说明理由；(2)若a n恰好是一个等差数列的前n项和，求证：数列｛b n｝是等差数列；(3)若数列｛b n｝是各项均为正数的等比数列，数列｛c n｝是等差数列，求证：数列｛a n｝是等差数列.2020届高三模拟考试试卷（十七）数学附加题（满分40分，考试时间30分钟）21 .选选做题】 在A, B, C 三小题中只能选做两题，每小题 10分，共20分.若多做, 则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A.（选彳42:矩阵与变换）已知列向量 a 在矩阵M= 3 4对应的变换下彳#到列向量b —2,求M 「b5 1 2baB.（选彳44:坐标系与参数方程）兀L为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 psin （叶7）=4血，点P 为曲线C 上任一点，求点 P 到直线l 距离的最大值.C.（选彳45:不等式选讲）c>0, j+bC" + Cj=3' 求证：a+b + cw 3.【必做题】 第22, 23题，每小题10分，共20分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤.22 .如图，在多面体 ABCDEF 中，平面 ADE ，平面 ABCD ,四边形 ABCD 是边长为 2 兀的正方形，△ ADE 是等腰直角三角形，且/ ADE = -2, EFL 平面ADE , EF=1.(1)求异面直线AE 和DF 所成角的余弦值； (2)求二面角BDFC 的余弦值.在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为X = COS a ,y="\/3sin a（a 为参数）. 以坐标原点已知实数a, b, c 满足a> 0, b>023.给定n(n>3, nC N*)个不同的数1, 2, 3,…，n,它的某一个排列 P的前k(k C N*, iwkwn)项和为S k,该排列P中满足2S kW S n的k的最大值为k p.记这n个不同数的所有排列对应的k p之和为T n.(1)若 n= 3,求 T3；(2)若 n= 41 + 1 , l€N*,①求证：对任意的排列P,都不存在k(kC N*, 1wkwn)使得2S k=S n；②求T n(用n表示).2020届高三模拟考试试卷(十七)(泰州)数学参考答案及评分标准1 5 11. {1 , 2, 4, 8}2.万3. 804. 85.串6. —7. -8.1929. -1 10. 611. ( — 8, — 1] u (0, 1] 12. —2也13. 3 14.(1, 2]15.证明：(1)在4ABC中，因为点 D, E分别是AB, AC的中点，所以 DE // BC.(2 分)因为BC?平面PDE, DE?平面PDE,所以BC //平面PDE.(6分)(2)因为PAL平面 ABC , DE?平面PDE, 所以PAXDE.在△ ABC中，因为 AB =AC,点F是BC的中点，所以AF ± BC.(8分)因为 DE// BC,所以 DELAF.因为 AFAPA=A, AF?平面 PAF, PA?平面 PAF,所以DEL平面 PAF.(12分)因为 DE?平面PDE,所以平面 PAFL平面 PDE.(14分)116.解：(1)因为 f(x) = sin2x+sin xcos x—2,1 — cos 2x 1 1 1所以 f(x) = 2 +2sin 2x—2 = 2(sin 2x — cos 2x)(2 分)-J2 兀兀、/2 兀=2 (sin 2xcos 了一 cos 2xsin —) = sin(2x - -). (4 分)当2x—亍=2kTt + ^- (kJ),即x=k兀+9(kJ)时，f(x)取最大值乎，4 2 8 2所以f(x)的最大值为坐，此时x的取值集合为x x=kTt + ^8L, k e Z .(7分)V2 J21(2)因为 f(启 ,所以/sin(2 圻)=^ ,即 s in(2 a- -) = 3.因为代(-y,字，所以2 a—i (一5，-2),则 cos(2 a—"4~) = y1 — sin2 (2 a—彳)==1 — (；) 2 =232, (10 分)1一，、，兀兀兀兀兀兀所以 sin 2 a = sin[(2 a- -) + —] = sin(2 a- -)cos—+ cos(2 a- -)sin—_1X，J , 2^X-J_4+ ,-2”-3 2 + 3 2 - 6 .(14分)兀17.解：(1)在 RtAABM 中，因为 AB =24, 0 =—,所以 MB=AM=12V2, MD = 24cos -4-12= 12^2-12,所以池内休息区总面积S=2X2MB • DM = 12血(1242—12)= 144(2—也).(4分)(2)在 RtAABM 中，因为 AB = 24, / MAB = 0,所以 MB =24sin 0 , AM = 24cos 0 , MD = 24cos 0 — 12.k=T 时，矩形ABCD 的面积S 的最大值为272.(11分) (3)若矩形ABCD 为正方形，则AB = BC, gp 4/1 tk =-j=2k=,贝U 2k 3-2k 2+k-2=0(k>0). 1 + 2k “1 + k 2 令 f(k) = 2k 3-2k 2+k-2(k>0),因为 f(1) =- 1<0, f(2) = 8>0,又 f(k) =2k 3—2k 2+k —2(k>0)的图象不间断,由 MB = 24sin 0 >0, MD = 24cos兀。
江苏省泰州市2020届高三下学期调研测试数学试题(附答案解析)
江苏省泰州市2019—2020学年度第二学期调研测试 高三数学试题第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{l ，2}，B ＝{2，4，8}，则A B ＝ ．2．若实数x ，y 满足x ＋y i ＝﹣1＋(x ﹣y )i （i 是虚数单位），则xy ＝ ．3．如图是容量为100的样本的频率分布直方图，则样本数据落在区间[6，18)内的频数为 ．4．根据如图所示的伪代码，可得输出的S 的值为 ．5．若双曲线22221x y a b-= (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的离心率为 ．6．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，这两次出现向上的点数分别记为x ，y ，则1x y -=的概率是 ． 7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 上一点P 到焦点F 的距离是它到y 轴距离的3倍，则点P 的横坐标为 ．8．我国古代数学名著《增删算法统宗》中有这样一首数学诗：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”它的大意是：有人要到某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都是前一天的一半，一共走了六天到达目的地．那么这个人第一天走的路程是 里． 9．若定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，(1)1f =，则(6)f ＋(7)f ＋(8)f 的值为 ．10．将半径为R 的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，若圆锥的体积为，则R ＝ ．11．若函数2()1x a x a f x x x a+≥⎧=⎨-<⎩，，只有一个零点，则实数a 的取值范围为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )在圆O ：224x y +=上，且满足12122x x y y +=-，则1212x x y y +++的最小值是 ．13．在锐角△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，BC ，CA 上，若AB 3AD =，AC AF λ=，且BC ED 2EF ED 6⋅=⋅=，ED 1=，则实数λ的值为 ．14．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且满足AD ＝BD ，3tan 2B ﹣2tanA ＋3＝0，则BDCD的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P— ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ＝AC ，点D ，E ，F 分別是AB ，AC ，BC 的中点．（1）求证：BC ∥平面PDE ；（2）求证：平面PAF ⊥平面PDE ．16．（本小题满分14分）已知函数21()sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ． （1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()6f α=，α∈(8π-，38π)，求sin2α的值．17．（本小题满分14分）某温泉度假村拟以泉眼C 为圆心建造一个半径为12米的圆形温泉池，如图所示，M ，N 是圆C 上关于直径AB 对称的两点，以A 为四心，AC 为半径的圆与圆C 的弦AM ，AN 分别交于点D ，E ，其中四边形AEBD 为温泉区，I 、II 区域为池外休息区，III 、IV 区域为池内休息区，设∠MAB ＝θ．（1）当4πθ=时，求池内休息区的总面积（III 和IV 两个部分面积的和）；（2）当池内休息区的总面积最大时，求AM 的长．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆M ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，过点A 的直线与椭圆M 交于x 轴上方一点B ，以AB 为边作矩形ABCD ，其中直线CD 过原点O ．当点B 为椭圆M 的上顶点时，△AOB 的面积为b ，且AB ．（1）求椭圆M 的标准方程；（2）求矩形ABCD 面积S 的最大值；（3）矩形ABCD 能否为正方形？请说明理由．19．（本小题满分16分）定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“YZ 函数”．（1）判断函数()1x xf x e=-是否为“YZ 函数”，并说明理由； （2）若函数()ln g x x mx =-(m ∈R)是“YZ 函数”，求实数m 的取值范围；（3）已知32111()323h x x ax bx b =++-，x ∈(0，+∞)，a ，b ∈R ，求证：当a ≤﹣2，且0＜b ＜1时，函数()h x 是“YZ 函数”．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足2n n n b a a +=-，12n n n c a a +=+．（1）若数列{}n a 是等比数列，试判断数列{}n c 是否为等比数列，并说明理由； （2）若n a 恰好是一个等差数列的前n 项和，求证：数列{}n b 是等差数列；（3）若数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，数列{}n c 是等差数列，求证：数列{}n a 是等差数列．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知列向量5a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦在矩阵M ＝ 3 41 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到列向量2 b b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求1M b a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()4πρθ+=，点P 为曲线C 上任一点，求点P 到直线l 距离的最大值．C ．选修4—5：不等式选讲已知实数a ，b ，c 满足a ＞0，b ＞0，c ＞0，2223a b c b c a++=，求证：3a b c ++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△ADE 是等腰直角三角形，且∠ADE ＝2π，EF ⊥平面ADE ，EF ＝1． （1）求异面直线AE 和DF 所成角的余弦值； （2）求二面角B —DF —C 的余弦值．23．（本小题满分10分）给定n (n ≥3，n N *∈)个不同的数1，2，3，…，n ，它的某一个排列P 的前k (k N *∈，1≤k ≤n )项和为k S ，该排列P 中满足2k n S S ≤的k 的最大值为P k ．记这n 个不同数的所有排列对应的P k 之和为n T ．（1）若n ＝3，求3T ；（2）若n ＝4l ＋1，l N *∈，①证明：对任意的排列P ，都不存在k (k N *∈，1≤k ≤n )使得2k n S S =；②求n T (用n 表示)．2019～2020学年度第二学期调研测试高三数学答案一、填空题1. {}1,2,4,82.123. 804. 85.6.518 7. 128. 192 9. 1- 10. 611. (1](0,1]-∞- 12. - 13. 3 14. (1,2]二、解答题15.（本题满分14分）证明：（1）在ABC ∆中，因为,D E 分别是,AB AC 的中点，所以//DE BC ， ……………2分 因为BC PDE ⊄平面，DE PDE ⊂平面，所以//BC PDE 平面． ……………6分（2）因为PA ABC ⊥平面，DE PDE ⊂平面， 所以PA DE ⊥，在ABC ∆中，因为AB AC =，F 分别是BC 的中点，所以AF BC ⊥， ……………8分 因为//DE BC ，所以DE AF ⊥， 又因为AFPA A =，,AF PAF PA PAF ⊂⊂平面平面，所以DE PAF ⊥平面，……………12分因为DE PDE ⊂平面，所以PAF PDE ⊥平面平面． ……………14分16.（本题满分14分）解：（1）因为21()sin sin cos 2f x x x x =+-， 所以1cos 211()sin 2222x f x x -=+-1(sin 2cos 2)2x x =- ……………2分(sin 2cos cos 2sin )244x x ππ=-)24x π=- ……………4分当2242x k πππ-=+(Z)k ∈，即3(8Z)x k k ππ=+∈时，()f x 取最大值2，所以()f x 的最大值为2，此时x 的取值集合为3,8Z x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭．………7分（2）因为()6f α=，则)246πα-=，即1sin(2)43πα-=， 因为3(,)88ππα∈-，所以2(,)πππα-∈-，则cos(2)43πα-===，……………10分所以sin 2sin[(2)]sin(2)cos cos(2)sin 444444ππππππαααα=-+=-+-1432326=⋅+=……………14分17.（本题满分14分）解：（1）在Rt ABM ∆中，因为24AB =，4πθ=，所以MB AM ==24cos12124MD π=-=，所以池内休息区总面积1212)144(22S MB DM =⋅⋅==． ……………4分 （2）在Rt ABM ∆中，因为24AB =，MAB θ∠=， 所以24sin ,24cos MB AM θθ==， 24cos 12MD θ=-， 由24sin 0,24cos 120MB MD θθ=>=->得0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ……………6分 则池内休息区总面积1224sin (24cos 12)2S MB DM θθ=⋅⋅=-，0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； ……………9分 设()()sin 2cos 1fθθθ=-，0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为()()22cos 2cos 12sin 4cos cos 20cos f θθθθθθθ'=--=--=⇒=又11cos 82θ+=>，所以00,3πθ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得01cos 8θ+=， 则当()00,x θ∈时，()()0f f θθ'>⇒在()00,θ上单调增，当0,3x πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0f f θθ'<⇒在()00,θ上单调减， 即()0θf 是极大值，也是最大值，所以()()max 0f fθθ=，此时024cos 3AM θ==+ ……………13分 答：（1）池内休息区总面积为2144(2-m ；（2）池内休息区总面积最大时AM的长为(3AM =+m ．………14分18.（本题满分16分）解：（1）由题意：22212ab b a b c =⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2,a b c ===，所以椭圆M 的标准方程为22142x y +=． ……………4分 （2）显然直线AB 的斜率存在，设为k 且0k >， 则直线AB 的方程为(2)y k x =+，即20kx y k -+=，联立22(2)142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8840k x k x k +++-=，解得222412B k x k -=+，2412B k y k=+，所以212AB k ==+， 直线CD 的方程为y kx =，即0kx y -=，所以BC ==，所以矩形ABCD面积2881122k S k k k====++≤所以当且仅当k =时，矩形ABCD 面积S的最大值为11分 （3）若矩形ABCD 为正方形，则AB BC =，=，则322220k k k -+-= (0)k >，令32()222(0)f k k k k k =-+->，因为(1)10,(2)80f f =-<=>，又32()222(0)f k k k k k =-+->的图象不间断，所以32()222(0)f k k k k k =-+->有零点，所以存在矩形ABCD 为正方形．……………16分19.（本题满分16分）解：（1）函数()1xxf x =-e是“YZ 函数”，理由如下： 因为()1x x f x =-e ，则1()x xf x -'=e，当1x <时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<，所以()1xx f x =-e 的极大值1(1)10f =-<e ， 故函数()1x xf x =-e是“YZ 函数”． ……………4分（2）定义域为(0,)+∞， 1()g x m x'=-，当0m ≤时，1()0g x m x '=->，函数单调递增，无极大值，不满足题意；当0m >时，当10x m <<时，1()0g x m x '=->，函数单调递增，当1x m >时，1()0g x m x'=-<，函数单调递减，所以()g x 的极大值为111()ln ln 1g m m m m m=-⋅=--，由题意知1()ln 10g m m =--<，解得1m >e． ……………10分（3）证明： 2()h x x ax b '=++，因为2a ≤-，01b <<，则240a b ∆=->，所以2()0h x x ax b '=++=有两个不等实根，设为12,x x ，因为12120x x a x x b +=->⎧⎨=>⎩，所以120,0x x >>，不妨设120x x <<，当10x x <<时，()0h x '>，则()h x 单调递增； 当12x x x <<时，()0h x '<，则()h x 单调递减，所以()h x 的极大值为321111111()323h x x ax bx b =++-， ……………13分 由2111()0h x x ax b '=++=得3211111()x x ax b ax bx =--=--， 因为2a -≤，01b <<， 所以322211111111111111()()323323h x x ax bx b ax bx ax bx b =++-=--++- 221111121121633333ax bx b x bx b =+-≤-+- 2111()(1)033x b b b =--+-<．所以函数()h x 是“YZ 函数”．……………16分（其他证法相应给分）20.（本题满分16分）解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则122(21)n n n n n n c a a a q a q a +=+=+=+， 当12q =-时，0n c =，数列{}n c 不是等比数列， ……………2分 当12q ≠-时，因为0n c ≠，所以11(21)(21)n n n n c q a q c q a +++==+，所以数列{}n c 是等比数 列． ……………5分 （2）因为n a 恰好是一个等差数列的前n 项和，设这个等差数列为{}n d ，公差为d ， 因为12n n a d d d =+++，所以1121n n n a d d d d ++=++++，两式相减得11n n n a a d ++-=， 因为2n n n a a b +=+，所以1312321()()()()n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a +++++++-=---=---312n n d d d ++=-=， 所以数列{}n b 是等差数列． ……………10分 （3）因为数列{}n c 是等差数列，所以321n n n n c c c c +++-=-，又因为12n n n c a a +=+，所以43322112(2)2(2)n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++++-+=+-+， 即 423122()()()n n n n n n a a a a a a +++++-=-+-，则212n n n b b b ++=+， 又因为数列{}n b 是等比数列，所以212n n n b b b ++=，则2112n nn n b b b b +++=⋅， 即11()(2)0n n n n b b b b ++-+=，因为数列{}n b 各项均为正数，所以1n n b b +=， ……………13分 则312n n n n a a a a +++-=-， 即321n n n n a a a a +++=+-，又因为数列{}n c 是等差数列，所以212n n n c c c +++=， 即32121(2)(2)2(2)n n n n n n a a a a a a ++++++++=+， 化简得3223n n n a a a +++=，将321n n n n a a a a +++=+-代入得2122()3n n n n n a a a a a ++++-+=，化简得212n n n a a a +++=，所以数列{}n a 是等差数列． ……………16分 （其他证法相应给分）数学Ⅱ（附加题）21. A ． [选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 解：因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡b b a 252143，所以320210a b a b +=-⎧⎨+=⎩，解得64a b =-⎧⎨=⎩，……………4分 设1m p Mn q -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则34101201m p n q ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即3413402021m n p q m n p q +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得112232m n p q =⎧⎪⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=⎪⎩， 所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=-2321211M ， ……………8分所以11-2416=13-61122b M a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. ……………10分B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）解：由题：直线方程即为(sin coscos sin )44ππρθθ+= 由cos x ρθ=，sin y ρθ=得直线的直角坐标方程为80x y +-=，……………4分 设P点的坐标为()cos αα，∴点P到直线的距离d ==8分 当2()62Z k k ππαπ+=-∈，即22(3Z)k k αππ=-∈时，d取得最大值此时点P 的坐标为13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ……………10分C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 证明：由柯西不等式，得2223()()()a b c a b c b c a b c a++=++++222222]=++++ ………………5分22()a b c =++≥ 所以3a b c ++≤． ………………10分 22.（本小题满分10分）解：因为平面ADE ⊥平面ABCD ,又2ADE π∠=，即DE AD ⊥，因为DE ADE ⊂平面，ADEABCD AD =平面平面， DE ∴⊥平面ABCD ,由四边形ABCD 为边长为2的正方形, 所以,,DA DC DE 两两互相垂直．以D 为坐标原点，{,,}DA DC DE 为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系.………2分 由EF ⊥平面ADE 且1EF =,()()()()()()0,0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0,2,2,0,0,1,2,D A E C B F ∴（1）()2,0,2AE =-,()0,1,2DF =，则cos ,2AE DF AE DF AE DF⋅<===⋅>,所以AE 和DF 所成角的余弦值为5. ……………5分 （2）()2,2,0DB =,()0,1,2DF =,设平面BDF 的一个法向量为(),,n x y z =，由2+2020n DB x y n DF y z ⎧⋅==⎨⋅=+=⎩ ,取1z =,得)1,2,2(-=n , 平面DFC 的一个法向量为()1,0,0m =,22cos ,313m n m n m n ⋅∴<>===⋅⨯, 由二面角B DF C --的平面角为锐角,所以二面角B DF C --的余弦值为23.……10分23.（本小题满分10分）解：（1）1,2,3的所有排列为1,2,3;1,3,2;2,1,3;2,3,1;3,1,2;3,2,1，因为36S =，所以对应的P k 分别为2,1,2,1,1,1，所以38T =； ……………3分（2）（i ）设n 个不同数的某一个排列P 为12,,,n a a a ⋅⋅⋅，因为41,N n l l *=+∈，所以()()()141212n n n S l l +==++为奇数， 而2k S 为偶数，所以不存在(,1)N k k k n *∈≤≤使得2k n S S =； ……………5分(ii) 因为2k n S S ≤，即1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤，又由（i ）知不存在(,1)N k k k n *∈≤≤使得2k n S S =，所以1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+；所以满足2k n S S ≤的最大下标k 即满足1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+① 且1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅+②， 考虑排列P 的对应倒序排列:P '11,,,n n a a a -⋅⋅⋅，①②即2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅++，2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅++, 由题意知1P k n k '=--，则1P P k k n '+=-； ……………8分 又1,2,3,,n ⋅⋅⋅，这n 个不同数共有!n 个不同的排列，可以构成!2n 个对应组合(),P P '， 且每组(),P P '中1P P k k n '+=-，所以()!12n n T n =-． ……………10分。
2020年江苏省泰州中学高考数学五模试卷 (解析版)
2020年江苏省泰州中学高考数学五模试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A ={x|−1<x ⩽1}，B ={x|0<x ⩽2}，则A ∩B =______________．2. 若复数z 满足i ⋅z =1+2i ，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________．3. 执行如图的程序框图，若输出S =7，则输入k(k ∈N ∗)的值为______ ．4. 函数y =√3−2x −x 2的定义域是______ ．5. 将甲、乙两个不同的球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则1，2号盒子中各有1个球的概率为_________．6. 实数x ，y.满足{x +y −4≤0x −2y +2≥0y ≥0，则3x +2y 的最大值为______．7. α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是______(填上所有正确命题的序号)．①若α//β，m ⊂α，则m//β；②若m//α，n ⊂α，则m//n ；③若α⊥β，α∩β=n ，m ⊥n ，则m ⊥β；④若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β．8. 已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 3a 6+a 9=3，S 11=22，a 8=______．9. 已知抛物线y 2=8x 的焦点是双曲线x 2a 2−y 23=1(a >0)的右焦点，则双曲线的渐近线方程为______． 10. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l:x +√3y −m =0，点A (3,0)，动点P 满足2PO 2−PA 2=7.若P 点到直线l 的距离恒小于8，则实数m 的取值范围_____．11. 在△ABC 中，已知BC =2，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =1，则△ABC 面积的最大值是______． 12. 已知函数，若函数g(x)=|f(x)|−3x +b 有三个零点，则实数b 的取值范围为___________．13. 已知函数f(x)=sin(2x +π3)((0≤x <π))，且f(α)=f(β)=12(O)，则O ．14. 函数f(x)=x 2+aln(1+x)有两个不同的极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，则实数a 的范围是______ ．二、解答题（本大题共10小题，共130.0分）15. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足√3bsinA −acosB =a ．(1)求角B 的大小；(2)若b =4，△ABC 的面积为√3，求a +c 的值．16. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB =2CD ，AB//CD ，AB ⊥BC ，△PAB 为正三角形且平面PAB ⊥平面ABCD ，E 是PB 的中点．(1)求证：CE//平面PAD ；(2)求证：平面ACE ⊥平面PBC ．17.椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2．(Ⅰ)若椭圆E的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，求椭圆E的离心率；(Ⅱ)若椭圆E过点A(0,−2)，直线AF1，AF2与椭圆的另一个交点分别为点B，C，且△ABC的面积为50c9，求椭圆E的方程．18.在△ABC中，AB=4，AC=6，∠BAC=60°.点A在边BC上的投影为点D．(1)试求线段AD的长度；(2)设点D在边AB上的投影为点E，在边AC上的投影为F，试求线段EF的长度．19.已知函数f(x)=e x+ax2(a∈R,e为自然对数的底数)．(Ⅰ)当a=−e时，求函数f(x)的单调区间；2(Ⅱ)若f(x)≥x+1在x≥0时恒成立，求实数a的取值范围．20.已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1=1,且a1,a2,a6成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记b n=1，求数列{b n}的前n项和S n．a n a n+121.已知矩阵A=[3122](1)求A2；(2)求矩阵A的特征值．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为x24+y23=1.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin(θ−π4)=−√2．(1)求曲线C的参数方程和直线l的直角坐标方程；(2)若直线l与x轴和y轴分别交于A，B两点，P为曲线C上的动点，求△PAB面积的最大值．23.甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第一名至第五名的名次．比赛之后甲乙两位参赛者去询问成绩，回答者对甲说“根遗憾，你和乙都投有得到冠军”，对乙说“你当然不会是最差的”．(Ⅰ)从上述回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同的情况；(Ⅱ)比赛组委会规定，第一名获奖金1000元，第二名获奖金800元，第三名获奖金600元，第四及第五名没有奖金，求丙获奖金数的期望．24. (本小题满分10分)已知f(n)=C 42C 63+C 63C 84+C 84C 105+⋯+C 2n n C 2n+2n+1，g(n)=C 44C 63+C 65C 84+C 86C 105+⋯+C 2n n+2C 2n+2n+1，其中n ∈N ∗，n ≥2． (1)求f(2)，f(3)，g(2)，g(3)的值；(2)记ℎ(n)=f(n)−g(n)，求证：对任意的m ∈N ∗，m ≥2，总有ℎ(2m )>m−12．-------- 答案与解析 --------1.答案：{x|0<x≤1}解析：本题考查了交集及其运算，是基础题．解：集合A={x|−1<x⩽1}，B={x|0<x⩽2}，则A∩B={x|0<x≤1}，故答案为{x|0<x≤1}．2.答案：−1解析：本题考查复数的概念和复数的运算，属于基础题．求出z后，即可得其虚部．=2−i．解：∵i⋅z=1+2i，∴z=1+2ii∴z的虚部为−1．故答案为−1．3.答案：3解析：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算运行的结果，属于一般题．根据框图的流程依次计算运行的结果，直到输出S=7时，确定此时的n值，从而确定条件n<k的k 值．解：由程序框图知，程序第一次运行n=1，S=0+21−1=1；第二次运行n=1+1=2，S=1+21=3；第三次运行n=3，S=1+21+22=7；∵输出S=7，∴程序运行终止时n=3，又不满足条件n<k时输出S，。
江苏省泰州市2019-2020学年高考第二次模拟数学试题含解析
江苏省泰州市2019-2020学年高考第二次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A ．22(3)2x y -+=B ．22(3)8x y -+=C ．22(3)2x y ++=D ．22(3)8x y ++= 【答案】A【解析】【分析】计算AB 的中点坐标为()3,0，圆半径为r =.【详解】 AB 的中点坐标为：()3,0，圆半径为22AB r ===， 圆方程为22(3)2x y -+=.故选：A .【点睛】 本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.2．已知符号函数sgnx 100010x x x ⎧⎪==⎨⎪-⎩，＞，，＜f （x ）是定义在R 上的减函数，g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）（a ＞1），则（ ）A ．sgn[g （x ）]＝sgn xB ．sgn[g （x ）]＝﹣sgnxC ．sgn[g （x ）]＝sgn[f （x ）]D ．sgn[g （x ）]＝﹣sgn[f （x ）]【答案】A【解析】【分析】根据符号函数的解析式，结合f （x ）的单调性分析即可得解.【详解】根据题意，g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ），而f （x ）是R 上的减函数，当x ＞0时，x ＜ax ，则有f （x ）＞f （ax ），则g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）＞0，此时sgn[g （ x ）]＝1， 当x ＝0时，x ＝ax ，则有f （x ）＝f （ax ），则g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）＝0，此时sgn[g （ x ）]＝0， 当x ＜0时，x ＞ax ，则有f （x ）＜f （ax ），则g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）＜0，此时sgn[g （ x ）]＝﹣1，综合有：sgn[g （ x ）]＝sgn （x ）；故选：A ．【点睛】此题考查函数新定义问题，涉及函数单调性辨析，关键在于读懂定义，根据自变量的取值范围分类讨论.3．若直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为m =（ ）A ．1B ．2CD ．3【答案】A【解析】【分析】将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可.【详解】圆222230x x y y ++--=的标准方程22(1)(1)5x y ++-=,圆心坐标为(1,1)-,因为直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为所以直线20x y m ++=过圆心,得2(1)10m ⨯-++=,即1m =.故选：A【点睛】本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题.4．已知复数z 满足()1i +z =2i ，则z =（ ）AB ．1C ．2D ．12【答案】A【解析】【分析】 根据复数的运算法则，可得z ，然后利用复数模的概念，可得结果.【详解】 由题可知：()()()22212221111i i i i i z i i i i --===++-- 由21i =-，所以1z i =+所以z ==故选：A【点睛】本题主要考查复数的运算，考验计算，属基础题.5．若向量(1,5),(2,1)a b ==-v v ，则(2)a a b ⋅+=v v v （ ）A ．30B ．31C ．32D ．33 【答案】C【解析】【分析】先求出2a b +r r ,再与a r相乘即可求出答案.【详解】 因为2(1,5)(4,2)(3,7)a b +=+-=-r r ,所以(2)35732a a b ⋅+=-+⨯=r r r .故选:C.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算,考查了学生的计算能力,属于基础题.6．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为（ ）A ．36B ．6C ．5D ．34【答案】B【解析】【分析】 先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解.【详解】如图所示：1,,A P C 确定一个平面α，因为平面11//AA DD 平面11BB CC ，所以1//AQ PC ，同理1//AP QC ，所以四边形1APC Q 是平行四边形.即正方体被平面截的截面.因为12B P PC =，所以112C B PC =，即1PC PB == 所以115,23AP PC AC === 由余弦定理得：22211111cos 25AP PC AC APC AP PC +-∠==⨯ 所以126sin APC ∠= 所以S 四边形1APQC 1112sin 262AP PC APC =⨯⨯⨯∠=故选：B【点睛】 本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.7．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如16511=+，30723=+．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ）A ．114B ．112C ．328D ．以上都不对【答案】A【解析】【分析】首先确定不超过20的素数的个数，根据古典概型概率求解方法计算可得结果.【详解】不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个，从这8个素数中任选2个，有2828C =种可能；其中选取的两个数，其和等于20的有()3,17，()7,13，共2种情况，故随机选出两个不同的数，其和等于20的概率212814P ==． 故选：A .【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.8．已知直线2:0l x m y +=与直线:0n x y m ++=则“//l n ”是“1m =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】利用充分必要条件的定义可判断两个条件之间的关系.【详解】若//l n ，则2111m ⨯=⨯，故1m =或1m =-，当1m =时，直线:0l x y +=，直线:10n x y ++= ，此时两条直线平行；当1m =-时，直线:+0l x y =，直线:10n x y +-= ，此时两条直线平行.所以当//l n 时，推不出1m =，故“//l n ”是“1m =”的不充分条件，当1m =时，可以推出//l n ，故“//l n ”是“1m =”的必要条件，故选：B.【点睛】本题考查两条直线的位置关系以及必要不充分条件的判断，前者应根据系数关系来考虑，后者依据两个条件之间的推出关系，本题属于中档题.9．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为A ．12B ．13C ．16D ．112【答案】B【解析】【分析】 求得基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动， 基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=， 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==, 所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为13m p n ==，故选B. 【点睛】 本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10．已知1F ，2F 是双曲线222:1x C y a-=()0a >的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，B 两点，若AB =△2ABF 的内切圆的半径为（ ）A B ．C D 【答案】B【解析】【分析】设左焦点1F 的坐标， 由AB 的弦长可得a 的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形ABF 2的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径.【详解】由双曲线的方程可设左焦点1(,0)F c -，由题意可得22b AB a==，由1b =，可得a =所以双曲线的方程为: 2212x y -=所以12(F F ，所以2121122ABF S AB F F =⋅⋅==V 三角形ABF 2的周长为()()22112242C AB AF BF AB a AF a BF a AB =++=++++=+==设内切圆的半径为r ，所以三角形的面积1122S C r r =⋅⋅=⋅=，所以=解得r =故选：B【点睛】 本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法，内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角形的面积可得半径的应用，属于中档题.11．已知向量()1,2a =r ，()2,2b =-r ，(),1c λ=-r ，若()//2c a b +r r r ，则λ=（ ） A ．2-B ．1-C ．12-D ．12【答案】A【解析】【分析】 根据向量坐标运算求得2a b +r r ，由平行关系构造方程可求得结果.【详解】()1,2a =r Q ，()2,2b =-r ()24,2a b ∴+=r r()//2c a b +r r r Q 24λ∴=-，解得：2λ=- 故选：A【点睛】本题考查根据向量平行关系求解参数值的问题，涉及到平面向量的坐标运算；关键是明确若两向量平行，则12210x y x y -=.12．已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A ．i -B ．iC ．1D ．1-【答案】D【解析】【分析】根据复数z 满足()11z i i +=-，利用复数的除法求得z ，再根据复数的概念求解.【详解】因为复数z 满足()11z i i +=-， 所以()()()211111i i z i i i i --===-++-， 所以z 的虚部为1-.故选：D.【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2020年泰州市高三数学5月二模试卷(满分160分，考试时间120分钟)2020．05参考公式：锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为高．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 已知集合A ＝{1，2}，B ＝{2，4，8}，则A ∪B ＝________．2. 若实数x ，y 满足x ＋yi ＝－1＋(x －y)i(i 是虚数单位)，则xy ＝________．3. 如图是容量为100的样本的频率分布直方图，则样本数据落在区间[6，18)内的频数为________．(第3题)I ←1 While I<5 I ←I ＋2 S ←I ＋3 End WhilePrint S (第4题)4. 根据如图所示的伪代码，可得输出S 的值为________．5. 若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的方程为y ＝2x ，则该双曲线的离心率为________．6. 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，这两次出现向上的点数分别记为x ，y ，则|x －y|＝1的概率是________．7. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 上一点P 到焦点F 的距离是它到y 轴距离的3倍，则点P 的横坐标为________．8. 我国古代数学名著《增删算法统宗》中有这样一首数学诗：“三百七十八里关，初日健步不为难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”它的大意是：有人要到某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都是前一天的一半，一共走了六天到达目的地．那么这个人第一天走的路程是________里．9. 若定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x ＋4)＝f(x)，f(1)＝1，则f(6)＋f(7)＋f(8) 的值为________．10. 将半径为R 的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面．若圆锥的体积为93π，则R ＝________．11. 若函数f(x)＝⎩⎨⎧x ＋a ，x ≥a ，x 2－1，x<a只有一个零点，则实数a 的取值范围是________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在圆O ：x 2＋y 2＝4上，且满足x 1x 2＋y 1y 2＝－2，则x 1＋x 2＋y 1＋y 2的最小值是________．13. 在锐角三角形ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，BC ，CA 上．若AB →＝3AD →，AC →＝λAF →，且BC →·ED →＝2EF →·ED →＝6，|ED →|＝1，则实数λ的值为________．14. 在△ABC 中，点D 在边BC 上，且满足AD ＝BD ，3tan 2B －2tan A ＋3＝0，则BDCD 的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)如图，在三棱锥PABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ＝AC ，点D ，E ，F 分別是AB ，AC ，BC 的中点．求证：(1) BC ∥平面PDE ； (2) 平面PAF ⊥平面PDE.16. (本小题满分14分)已知函数f(x)＝sin 2x ＋sin xcos x －12，x ∈R .(1) 求函数f(x)的最大值，并写出相应的x 的取值集合； (2) 若f(α)＝26，α∈(－π8，3π8)，求sin 2α的值．某温泉度假村拟以泉眼C 为圆心建造一个半径为12米的圆形温泉池，如图，M ，N 是圆C 上关于直径AB 对称的两点，以A 为圆心，AC 为半径的圆与圆C 的弦AM ，AN 分别交于点D ，E ，其中四边形AEBD 为温泉区，Ⅰ、Ⅱ区域为池外休息区，Ⅲ、Ⅳ区域为池内休息区，设∠MAB ＝θ.(1) 当θ＝π4时，求池内休息区的总面积(Ⅲ和Ⅳ两个部分面积的和)； (2) 当池内休息区的总面积最大时，求AM 的长．18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，过点A 的直线与椭圆M 交于x 轴上方一点B ，以AB 为边作矩形ABCD ，其中直线CD 过原点O.当点B 为椭圆M 的上顶点时，△AOB 的面积为b ，且AB ＝3b.(1) 求椭圆M 的标准方程；(2) 求矩形ABCD 的面积S 的最大值； (3) 矩形ABCD 能否为正方形？请说明理由．19. (本小题满分16分)定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“YZ 函数”． (1) 判断函数f(x)＝xex －1是否为“YZ 函数”，并说明理由；(2) 若函数g(x)＝ln x －mx(m ∈R )是“YZ 函数”，求实数m 的取值范围；(3) 已知h(x)＝13x 3＋12ax 2＋bx －13b ，x ∈(0，＋∞)，a ，b ∈R ，求证：当a ≤－2，且0＜b ＜1时，函数h(x)是“YZ 函数”．已知数列{a n }，{b n }，{c n }满足b n ＝a n ＋2－a n ，c n ＝2a n ＋1＋a n .(1) 若数列{a n }是等比数列，试判断数列{c n }是否为等比数列，并说明理由； (2) 若a n 恰好是一个等差数列的前n 项和，求证：数列{b n }是等差数列；(3) 若数列{b n }是各项均为正数的等比数列，数列{c n }是等差数列，求证：数列{a n }是等差数列．数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 5在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3412对应的变换下得到列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤b －2b ，求M －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤b a .B. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝3sin α(α为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝42，点P 为曲线C 上任一点，求点P 到直线l 距离的最大值．C. (选修45：不等式选讲)已知实数a ，b ，c 满足a ＞0，b ＞0，c ＞0，a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＝3，求证：a ＋b ＋c ≤3.【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△ADE 是等腰直角三角形，且∠ADE ＝π2，EF ⊥平面ADE ，EF ＝1.(1) 求异面直线AE 和DF 所成角的余弦值； (2) 求二面角BDFC 的余弦值．23. 给定n(n ≥3，n ∈N *)个不同的数1，2，3，…，n ，它的某一个排列P 的前k(k ∈N *，1≤k ≤n)项和为S k ，该排列P 中满足2S k ≤S n 的k 的最大值为k P .记这n 个不同数的所有排列对应的k P 之和为T n .(1) 若n ＝3，求T 3； (2) 若n ＝4l ＋1，l ∈N *，①求证：对任意的排列P ，都不存在k(k ∈N *，1≤k ≤n)使得2S k ＝S n ； ②求T n (用n 表示)．数学参考答案及评分标准1. {1，2，4，8}2. 123. 804. 85. 56. 5187. 12 8. 192 9. －1 10. 6 11. (－∞，－1]∪(0，1] 12. －22 13.3 14. (1，2]15. 证明：(1) 在△ABC 中，因为点D ，E 分别是AB ，AC 的中点， 所以DE ∥BC.(2分)因为BC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ， 所以BC ∥平面PDE.(6分)(2) 因为PA ⊥平面ABC ，DE ⊂平面PDE ， 所以PA ⊥DE.在△ABC 中，因为AB ＝AC ，点F 是BC 的中点，所以AF ⊥BC.(8分)因为DE ∥BC ，所以DE ⊥AF.因为AF ∩PA ＝A ，AF ⊂平面PAF ，PA ⊂平面PAF ， 所以DE ⊥平面PAF.(12分)因为DE ⊂平面PDE ，所以平面PAF ⊥平面PDE.(14分) 16. 解：(1) 因为f(x)＝sin 2x ＋sin xcos x －12，所以f(x)＝1－cos 2x 2＋12sin 2x －12＝12(sin 2x －cos 2x)(2分) ＝22(sin 2xcos π4－cos 2xsin π4)＝22sin(2x －π4)．(4分)当2x －π4＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋3π8(k ∈Z )时，f(x)取最大值22，所以f(x)的最大值为22，此时x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋3π8，k ∈Z .(7分)(2) 因为f(α)＝26，所以22sin(2α－π4)＝26，即sin(2α－π4)＝13. 因为α∈(－π8，3π8)，所以2α－π4∈(－π2，π2)， 则cos(2α－π4)＝1－sin 2（2α－π4）＝1－（13）2＝223，(10分)所以sin 2α＝sin[(2α－π4)＋π4]＝sin(2α－π4)cos π4＋cos(2α－π4)sin π4 ＝13×22＋223×22＝4＋26.(14分) 17. 解：(1) 在Rt △ABM 中，因为AB ＝24，θ＝π4， 所以MB ＝AM ＝122，MD ＝24cos π4－12＝122－12，所以池内休息区总面积S ＝2×12MB ·DM ＝122(122－12)＝144(2－2)．(4分) (2) 在Rt △ABM 中，因为AB ＝24，∠MAB ＝θ， 所以MB ＝24sin θ，AM ＝24cos θ，MD ＝24cos θ－12. 由MB ＝24sin θ>0，MD ＝24cos θ－12>0得θ∈(0，π3)，(6分)则池内休息区总面积S ＝2×12MB ·DM ＝24sin θ(24cos θ－12)，θ∈(0，π3)．(9分)设f(θ)＝sin θ(2cos θ－1)，θ∈(0，π3)．因为f′(θ)＝cos θ(2cos θ－1)－2sin 2θ＝4cos 2θ－cos θ－2＝0⇒cos θ＝1±338， 又cos θ＝1＋338>12，所以∃θ0∈(0，π3)，使得cos θ0＝1＋338， 则当x ∈(0，θ0)时，f ′(θ)>0⇒f(θ)在(0，θ0)上单调递增； 当x ∈(θ0，π3)时，f ′(θ)<0⇒f(θ)在(θ0，π3)上单调递减，即f(θ0)是极大值，也是最大值，所以f(θ)max ＝f(θ0)， 此时AM ＝24cos θ0＝3＋333.(13分) 答：(1) 池内休息区总面积为144(2－2)m 2；(2) 池内休息区总面积最大时AM 的长为AM ＝(3＋333)m.(14分)18. 解：(1) 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝3b ，12ab ＝b ，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝c ＝2，所以椭圆M 的标准方程为x 24＋y 22＝1.(4分) (2) 显然直线AB 的斜率存在，设为k 且k>0， 则直线AB 的方程为y ＝k(x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 24＋y 22＝1得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，解得x B ＝2－4k 21＋2k 2，y B ＝4k 1＋2k 2， 所以AB ＝（x B ＋2）2＋y 2B ＝41＋k 21＋2k 2.直线CD 的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，所以BC ＝|2k|1＋k 2＝2k1＋k2， 所以矩形ABCD 的面积S ＝41＋k 21＋2k 2·2k 1＋k 2＝8k 1＋2k 2＝81k ＋2k ≤822＝22， 所以当且仅当k ＝22时，矩形ABCD 的面积S 的最大值为2 2.(11分) (3) 若矩形ABCD 为正方形，则AB ＝BC ， 即41＋k 21＋2k 2＝2k 1＋k2，则2k 3－2k 2＋k －2＝0(k>0)．令f(k)＝2k 3－2k 2＋k －2(k>0)，因为f(1)＝－1<0，f(2)＝8>0，又f(k)＝2k 3－2k 2＋k －2(k>0)的图象不间断， 所以f(k)＝2k 3－2k 2＋k －2(k>0)有零点，所以存在矩形ABCD 为正方形．(16分) 19. (1) 解：函数f(x)＝xe x －1是“YZ 函数”，理由如下： 因为f(x)＝xe x －1，则f′(x)＝1－x e x ，当x<1时，f ′(x)>0；当x>1时，f ′(x)<0， 所以f(x)＝x e x －1的极大值f(1)＝1e －1<0， 故函数f(x)＝xe x －1是“YZ 函数”．(4分) (2) 解：定义域为(0，＋∞), g ′(x)＝1x －m ，当m ≤0时，g ′(x)＝1x －m>0，函数单调递增，无极大值，不满足题意； 当m>0时，当0<x<1m 时，g ′(x)＝1x －m>0，函数单调递增， 当x>1m 时，g ′(x)＝1x －m<0，函数单调递减， 所以g(x)的极大值为g(1m )＝ln 1m －m·1m ＝－ln m －1. 由题意知g(1m )＝－ln m －1<0，解得m>1e .(10分) (3) 证明： h′(x)＝x 2＋ax ＋b ，因为a ≤－2，0<b<1，则Δ＝a 2－4b>0，所以h′(x)＝x 2＋ax ＋b ＝0有两个不等实根，设为x 1，x 2.因为⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－a>0，x 1x 2＝b>0，所以x 1>0，x 2>0，不妨设0<x 1<x 2，当0<x<x 1时，h ′(x)>0，则h(x)单调递增； 当x 1<x<x 2时，h ′(x)<0，则h(x)单调递减，所以h(x)的极大值为h(x 1)＝13x 31＋12ax 21＋bx 1－13b.(13分) 由h′(x 1)＝x 21＋ax 1＋b ＝0得x 31＝x 1(－ax 1－b)＝－ax 21－bx 1.因为a ≤－2，0<b<1，所以h(x 1)＝13x 31＋12ax 21＋bx 1－13b ＝13(－ax 21－bx 1)＋12ax 21＋bx 1－13b＝16ax 21＋23bx 1－13b ≤－13x 21＋23bx 1－13b ＝－13(x 1－b)2＋13b(b －1)<0. 所以函数h(x)是“YZ 函数”．(16分) (其他证法相应给分)20. (1) 解：设等比数列{a n }的公比为q ，则c n ＝2a n ＋1＋a n ＝2a n q ＋a n ＝(2q ＋1)a n ， 当q ＝－12时，c n ＝0，数列{c n }不是等比数列．(2分)当q ≠－12时，因为c n ≠0，所以c n ＋1c n ＝（2q ＋1）a n ＋1（2q ＋1）a n ＝q ，所以数列{c n }是等比数列．(5分)(2) 证明：因为a n 恰好是一个等差数列的前n 项和，所以设这个等差数列为{d n }，公差为d. 因为a n ＝d 1＋d 2＋…＋d n ，所以a n ＋1＝d 1＋d 2＋…＋d n ＋d n ＋1， 两式相减得a n ＋1－a n ＝d n ＋1. 因为a n ＋2＝a n ＋b n ，所以b n ＋1－b n ＝(a n ＋3－a n ＋1)－(a n ＋2－a n )＝(a n ＋3－a n ＋2)－(a n ＋1－a n )＝d n ＋3－d n ＋1＝2d ， 所以数列{b n }是等差数列．(10分)(3) 证明：因为数列{c n }是等差数列，所以c n ＋3－c n ＋2＝c n ＋1－c n .因为c n ＝2a n ＋1＋a n ，所以2a n ＋4＋a n ＋3－(2a n ＋3＋a n ＋2)＝2a n ＋2＋a n ＋1－(2a n ＋1＋a n )， 即 2(a n ＋4－a n ＋2)＝(a n ＋3－a n ＋1)＋(a n ＋2－a n )，则2b n ＋2＝b n ＋1＋b n . 因为数列{b n }是等比数列，所以b 2n ＋1＝b n b n ＋2，则b 2n ＋1＝b n ·b n ＋1＋b n2，即(b n ＋1－b n )(2b n ＋1＋b n )＝0.因为数列{b n }各项均为正数，所以b n ＋1＝b n ，(13分) 则a n ＋3－a n ＋1＝a n ＋2－a n ， 即a n ＋3＝a n ＋2＋a n ＋1－a n .又数列{c n }是等差数列，所以c n ＋2＋c n ＝2c n ＋1， 即(2a n ＋3＋a n ＋2)＋(2a n ＋1＋a n )＝2(2a n ＋2＋a n ＋1)，化简得2a n ＋3＋a n ＝3a n ＋2，将a n ＋3＝a n ＋2＋a n ＋1－a n 代入得2(a n ＋2＋a n ＋1－a n )＋a n ＝3a n ＋2， 化简得a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，所以数列{a n }是等差数列．(16分) (其他证法相应给分)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3412⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b －2b ，所以⎩⎨⎧3a ＋20＝b －2，a ＋10＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝－6，b ＝4.(4分) 设M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m p n q ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤3412⎣⎢⎡⎦⎥⎤m p n q ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝1，3p ＋4q ＝0，m ＋2n ＝0，p ＋2q ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－12，p ＝－2，q ＝32，所以M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－2－1232，(8分) 所以M －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤b a ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－2－1232⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4－6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 16－11.(10分) B. 解：由题可知，直线方程即为ρ(sin θcos π4＋cos θsin π4)＝4 2. 由ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 得直线的直角坐标方程为x ＋y －8＝0.(4分) 设点P 的坐标为(cos α，3sin α)，∴点P 到直线的距离d ＝|cos α＋3sin α－8|12＋12＝|2sin （α＋π6）－8|2，(8分)当α＋π6＝2k π－π2(k ∈Z )，即α＝2k π－2π3(k ∈Z )时，d 取得最大值52， 此时点P 的坐标为(－12，－32)．(10分)C. 证明：由柯西不等式，得3(a ＋b ＋c)＝(b ＋c ＋a)(a 2b ＋b 2c ＋c 2a )＝[(b)2＋(c)2＋(a)2][(a b )2＋(b c )2＋(ca )2](5分)≥(b ·a b ＋c ·b c ＋a ·ca)2＝(a ＋b ＋c)2，所以a ＋b ＋c ≤3.(10分) 22. 解：∵ 平面ADE ⊥平面ABCD ，又∠ADE ＝π2，∴ DE ⊥AD. ∵ DE ⊂平面ADE ，平面ADE ∩平面ABCD ＝AD ，∴ DE ⊥平面ABCD. 由四边形ABCD 为边长为2的正方形，∴ DA ，DC ，DE 两两互相垂直．以D 为坐标原点，{DA →，DC →，DE →}为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系．(2分)由EF ⊥平面ADE ，且EF ＝1，∴ D(0，0，0)，A(2，0，0)，E(0，0，2)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，F(0，1，2)．(1) AE →＝(－2，0，2)，DF →＝(0，1，2)，则cos 〈AE →，DF →〉＝AE →·DF →|AE →|·|DF →|＝422×5＝105， ∴ AE 和DF 所成角的余弦值为105.(5分)(2) DB →＝(2，2，0)，DF →＝(0，1，2)，设平面BDF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝2x ＋2y ＝0，n ·DF →＝y ＋2z ＝0，取z ＝1，得n ＝(2，－2，1)． ∵平面DFC 的一个法向量为m ＝(1，0，0)， ∴ cos 〈m ，n 〉＝m·n |m|·|n|＝23×1＝23. 由二面角BDFC 的平面角为锐角，∴二面角BDFC 的余弦值为23.(10分)23. (1) 解：1，2，3的所有排列为1，2，3；1，3，2；2，1，3；2，3，1；3，1，2；3，2，1. 因为S 3＝6，所以对应的k P 分别为2，1，2，1，1，1，所以T 3＝8.(3分)(2) ①解：设n 个不同数的某一个排列P 为a 1，a 2，…，a n ，因为n ＝4l ＋1，l ∈N *，所以S n ＝n （n ＋1）2＝(4l ＋1)(2l ＋1)为奇数． 而2S k 为偶数，所以不存在k(k ∈N *，1≤k ≤n)使得2S k ＝S n .(5分)②证明：因为2S k ≤S n ，即a 1＋a 2＋…＋a k ≤a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a n ，又由①知不存在k(k ∈N *，1≤k ≤n)使得2S k ＝S n ，所以a 1＋a 2＋…＋a k <a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a n ；所以满足2S k ≤S n 的最大下标k 即满足a 1＋a 2＋…＋a k <a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a n (i)，且a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1>a k ＋2＋…＋a n (ii)，考虑排列P 的对应倒序排列P′：a n ，a n －1，…，a 1，(i)(ii)即a n ＋…＋a k ＋2<a k ＋1＋a k ＋…＋a 2＋a 1，a n ＋…＋a k ＋2＋a k ＋1>a k ＋…＋a 2＋a 1. 由题意知k P ′＝n －k －1，则k P ＋k P ′＝n －1.(8分)又1，2，3，…，n ，这n 个不同数共有n ！个不同的排列，可以构成n ！2个对应组合(P ，P ′)，且每组(P ，P ′)中k P ＋k P ′＝n －1，所以T n ＝n ！2(n －1)．(10分)。