三次函数的像和性质
三次函数的有关性质
（1）若 x = −2是函数 f ( x) 的极值点,求 k 的值及 f ( x) 的单调区间；
（2）若函数 f ( x) 在0, 2 上有且仅有 2 个零点,求 f ( x) 在0, 2 上的最大值 g (k ) .
的图象应为上图中的（1）、（3）、（5）三种情况；而当 a 为负时,原函数的图象则为（2）、（4）、（6）三种情
况.当 0 时,二次方程 f (x) = 0 有两相异实根 x1 , x2 ,且在 x1 , x2 的两边 f (x) 的符号相反,故函数 f (x) 存
在两个极值点,图象为上图中的（3）、（4）两种；当 = 0 时,二次方程 f (x) = 0 有两相等实根,且在根的两
三次函数 f (x) = ax3 + bx2 + cx + d (a 0) 的图象有六种,如图：
200
200
f(x) 0
200
10
0
x
200
f(x) 0
200
10
0
x
200
f(x) 0
图(1)
10
图(3)
10
图(5)
f(x) 0 200 10
图(2)
0
10
x
200
f(x) 0 200 10
200 f(x) 0
三次函数的性质
一、考情分析 函数与导数一直是高考中的热点与难点, 我们知道二次函数是重要的且具有广泛应用的基本初等函数,,学生 对此已有较为全面、系统、深刻的认识,并在某些方面具备了把握规律的能力,由于三次函数的导数是二次函 数,使得我们可以利用二次函数研究三次函数的图象与性质,这使得三次函数成为高考数学的一大亮点. 二、解题秘籍 (一) 三次函数的图象与性质
三次函数的图象与性质
解：（1）由原式，得 = 3 − 2 − 4 + 4，
∴ ′ = 3 2 − 2 − 4.
1
1
（2）由′ −1 = 0，得 = 2.此时有 = ( 2 − 4)( − 2)，
′ = 3 2 − − 4.
4
令′ = 0，得 = 3或 = −1
= −
求导：’ = 3 2 − 3 = 3( + 1)( − 1)
令’ = 0，则 = ±1.
列表：
−∞, −
−
−,
, +∞
’
+
0
−
0
+
增
极大
减
极小
增
y
y
o
−1
x
1
′ 图象
x
o
−1
1
图象
探究二：三次函数 = 3 + 2 + + ( ≠ 0)在R上
2 + 12 ≤ + 6,
由题意可知，1 ≥ −2， 2 ≤ 2，即൝
2 + 12 ≤ 6 − .
解不等式组，得−2 ≤ ≤ 2.
优解：因为′ = 3 2 − 2 − 4的图象是开口向上且过点(0,4)
的抛物线，
4 + 8 ≥ 0,
由条件，得′ −2 ≥ 0, ′ 2 ≥ 0,即ቊ
解：（1） ′ = 3 2 − 3 = 3( 2 − )
当 < 0时，对，有′ > 0，所以 的单调增区间为(−∞, +∞)；
当 > 0时，由′ > 0，解得 < − 或 > ；由′ < 0，解得− < <
三次函数图像与性质
2016年9月9日星期五1、三次函数的概念()()()32220.32,412.f x ax bx cx d a f x ax bx c b ac=+++≠′=++∆=−形如函数叫做把叫做三次函数三次函导函数定的义：定数义判别式：y y()()()()()()()()()()1212121112121,,0,0,0,0.x x x x f x a x x x x f x x x x a x x x x x x x x a ′<∴=−−−∞∴<−−>−<−<∴>Q 解：、分别为极大值和极小值点，且在，为增函数，当时，bD.( B( B()()()32.33121011163A.13 B.14 C.15 D 4.16f x x ax bx x y a b =−++−=−−=已知函数的图像与直线相切于点，，则小结 函数三次函数有以作业2.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d在x=0处取得极值, 曲线y=f(x)过原点和点P(-1, 2). 若曲线f(x)在点P处的切线与直线y=2x的夹角为45°, 且倾角为钝角. (1)求f(x)的解析式; (2)若f(x)在区间[2m-1, m+1]递增, 求m 的取值范围.1.设函数f （x ）=x 3-x 2+（a+1)x+1，其中a 为实数（Ⅰ）已知函数f （x ）在x=1处取得极值，求a 的（Ⅱ）已知不等式f (x)>x 2-x-a+1对任意a ∈（0，+∞）都成立，求实数x 的取值范围。
2.a 为何值时，方程x 3-3x 2-a=0恰有一个实根、两个实根、三个实根，有没有可能无实根？2x。
第37讲 三次函数的图像与性质(学生版)
第37讲三次函数的图像与性质三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)具有丰富的性质，利用导数研究这些性质，其研究的过程与方法具有普遍性,一般性和有效性,可以迁移到其他函数的研究中．本专题主要研究三次函数的单调性,极值,最值,对称性等,并在研究的过程中体会数形结合,分类与整合,化归与转化等思想方法.1.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a,b,c,d∈R),设直线l1,l2分别是曲线y＝f(x)的两条不同的切线,若函数f(x)为奇函数,且当x＝1时f(x)有极小值为－4.①求a,b,c,d的值；②若直线l3亦与y＝f(x)相切,且三条不同的直线l1,l2,l3交于点G(m,4),求实数m的取值范围.2.已知函数f(x)＝x3－tx2＋1,求证：对任意实数t，函数f(x)的图像总存在两条切线相互平行.3.已知函数32()3f x x x ax =-+()a ∈R ，()|()|g x f x =．（1）求以(2,(2))P f 为切点的切线方程，并证明此切线恒过一个定点；（2）若()g x kx ≤对一切[0,2]x ∈恒成立，求k 的最小值()h a 的表达式；（3）设0a >，求()y g x =的单调增区间．4.已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b.(1)讨论f(x)的单调性；(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？若存在,求出a,b的所有值；若不存在,说明理由．5.已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：33b a >；（3）若(),'()f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．。
二次函数与三次函数的像与性质
二次函数与三次函数的像与性质二次函数和三次函数都是常见的数学函数，它们在数学和实际问题中都有着广泛的应用。
在本文中，将探讨二次函数和三次函数的像（图像）以及它们的性质。
二次函数是指函数的最高次项为二次的多项式函数，可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a≠0。
在平面直角坐标系中，二次函数的图像呈现出抛物线的形状。
具体来说，关于y轴对称的二次函数的抛物线开口方向由a的正负决定，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
抛物线的顶点坐标为（h，k），其中h = -b / (2a)，k = f(h)。
二次函数的性质包括：定义域、值域、奇偶性和单调性。
对于定义域来说，二次函数的定义域是全体实数集R。
而值域则取决于抛物线的开口方向，当a>0时，值域为[f(h)，+∞)；当a<0时，值域为(-∞，f(h)]。
关于奇偶性，二次函数的图像关于其顶点对称，所以在顶点处具有奇点对称性。
至于单调性，当a>0时，二次函数在（-∞，h）上是递减的；在（h，+∞）上是递增的。
当a<0时，二次函数的单调性正好相反。
而三次函数是指函数的最高次项为三次的多项式函数，可以表示为f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c、d为常数且a≠0。
同样地，在平面直角坐标系中，三次函数的图像也呈现出特殊的形状。
与二次函数不同的是，三次函数的图像可以具备多个极值点和拐点。
三次函数的图像可能具有一个或两个极值点，这些极值点处的x值可以通过求函数的导数得到。
具体来说，当导数f'(x) = 0时，对应的x 值即为极值点。
通过对三次函数求导，可以得到导函数f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c。
根据一元二次方程的求解方法，可以解出对应的x值，再代入原函数f(x)中求得对应的y值，进而得到极值点的坐标。
另外，三次函数的图像可能还具有一个或两个拐点，拐点是指函数图像由凹变凸或由凸变凹的点。
三次函数图像与性质(解析版)
专题2-2三次函数图像与性质【题型1】求三次函数的解析式【题型2】三次函数的单调性问题【题型3】三次函数的图像【题型4】三次函数的最值、极值问题【题型5】三次函数的零点问题【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题【题型7】三次函数对称中心【题型8】三次函数的切线问题【题型9】三次函数根与系数的关系1/342/34【题型1】求三次函数的解析式（1）一般式：()³²f x ax bx cx d =+++（a ≠0）（2）交点式：()123()()()f x a x x x x x x =---（a ≠0）1．若三次函数()f x 满足()()()()00,11,03,19f f f f ''====，则()3f =（）A ．38B ．171C ．460D ．965【解析】待定系数法，求函数解析式设()³²f x ax bx cx d =+++，则()232f x ax bx c '=++，由题意可得：()()()()0011031329f d f a b c d f c f a b c ⎧==⎪=+++=⎪⎨==⎪⎪=+'=⎩'+，解得101230a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩，则()3210123f x x x x =-+，所以()32310312333171f =⨯-⨯+⨯=.【题型2】三次函数的单调性问题三次函数是高中数学中的一个重要内容，其考点广泛且深入，主要涉及函数的性质、图像、最值、零点以及与其他函数的综合应用等方面。
以下是对三次函数常见考点的详细分析：1.三次函数的定义与形式∙定义：形如f (x )=ax 3+bx 2+cx +d （其中a ≠=0）的函数称为三次函数。
∙形式：注意系数a ,b ,c ,d 的作用，特别是a 的正负决定了函数的开口方向（a >0开口向上，a <0开口向下）。
三次函数图像与性质
b b 3 b 2 b 2b3 bc f ( ) a ( ) b( ) c ( ) d d 2 3a 3a 3a 3a 27a 3a
b b x) f ( x) 3a 3a b b b a ( x )3 b( x ) 2 c ( x ) d 3a 3a 3a b b b a ( x )3 b( x ) 2 c ( x ) d 3a 3a 3a 2b b b b b b 2b a( )(( x) 2 ( x)( x) ( x) 2 ) b(2( ) 2 2 x 2 ) c( ) 2d 3a 3a 3a 3a 3a 3a 3a 2b b 2 2b3 2bc 2 ( )(( ) 3 x ) 2 2bx 2 2d 3 3a 9a 3a 4b3 2bc b 2 d 2 f ( ) 27a 2 3a 3a f (
3．已知 f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a<b<c，且 f(a)＝f(b)＝f(c)＝0，现给出如下结论： ①f(0)f(1)>0；②f(0)f(1)<0；③f(0)f(3)>0；④f(0)f(3)<0. 其中正确结论的序号是________．
答案 2. C
例 3．已知三次函数 f ( x) ax3 bx2 cx d 的导函数图像如下所示，则 y f ( x) 的图像 最有可能的是
A
B
C
D
1.5．设函数 g ( x) x x 3x
3 2
1 3
1 2
5 2018 1 2 ，则 g +g + … +g 12 2019 2019 2019
三次函数的像与性质
三次函数的像与性质三次函数是一类常见的函数，它的函数表达式为y=ax³+bx²+cx+d，其中a、b、c和d为任意常数且a≠0。
本文将围绕三次函数的像与性质展开探讨。
一、三次函数的像三次函数的像指的是函数的取值范围，也称为函数的值域。
为了确定三次函数的像，我们可以通过观察函数的图像或分析函数的性质来进行推导。
1. 函数的图像三次函数的图像通常呈现出一种特定的形状，称为“S”型曲线。
具体的形状取决于各个常数的取值。
我们可以通过观察图像来判断函数的像。
2. 函数的性质三次函数具有以下性质，利用这些性质可以推导出函数的像。
a) 当x趋于正无穷大或负无穷大时，函数的值也趋于正无穷大或负无穷大。
因此，三次函数的像可以包括整个实数范围。
b) 当x的取值范围有限时，函数的值也有上下界，即函数的像为一个闭区间。
c) 如果三次函数的a>0，则函数的图像开口向上，最低点为极小值，函数像的下界为最低点的纵坐标。
如果a<0，则函数的图像开口向下，最高点为极大值，函数像的上界为最高点的纵坐标。
二、三次函数的性质除了像，三次函数还具有一些其他的性质，我们来一一探讨。
1. 奇函数和偶函数根据三次函数的定义，当a和b为奇数次幂的系数，而c和d为偶数次幂的系数时，三次函数为奇函数。
如果a、b、c和d都为偶数次幂的系数，三次函数为偶函数。
2. 对称轴三次函数的对称轴可以通过研究函数的导数来确定。
当函数的导数存在一个实数根时，该实数即为对称轴的横坐标。
3. 极值点三次函数一般存在一个极小值或极大值点。
极值点的纵坐标即为函数的最值。
通过求导并令导数为零，可以求解极值点的横坐标。
4. 零点三次函数一般存在一个或多个零点。
通过令函数的值为零，可以解得方程来求解零点。
5. 渐近线三次函数可以有水平、垂直和斜率为有理数的斜渐近线。
求解这些渐近线的方法是求取函数的极限。
综上所述，三次函数的像可以是整个实数范围或者是一个闭区间，取决于函数的性质和常数的取值。
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三次函数的像和性质
三次函数是指次数为3的一元多项式函数，可以表示为
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$。
在这篇文章中，我们将探讨三次函数的像和性质。
一、三次函数的图像
首先，让我们来了解一下三次函数的图像。
一般来说，三次函数的图像呈现出一种典型的"S"形曲线，也称为“小波浪线”。
具体来说，三次函数的图像可能表现为以下几种情形：
1. 当$a>0$时，函数具有下凸性，曲线从$(-\infty,+\infty)$上升，再下降。
2. 当$a<0$时，函数具有上凸性，曲线从$(-\infty,+\infty)$下降，再上升。
3. 当$a=0$时，函数退化为二次函数。
二、三次函数的像
一元函数$f(x)$的像指的是其所有可能输出的实数值的集合。
对于三次函数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，其像的计算方法为：
1. 首先，我们需要求出$f'(x)=3ax^2+2bx+c$，并找出其实根$x_1$和虚根$x_2$、$x_3$。
2. 如果$a>0$，则$f(x)$在$x<x_1$时单调递减，在$x_1<x_2<x_3$处
取得极小值，然后在$x_3<x$时单调递增。
3. 如果$a<0$，则$f(x)$在$x<x_1$时单调递增，在$x_1<x_2<x_3$处
取得极大值，然后在$x_3<x$时单调递减。
4. 如果$a=0$，则$f(x)=bx^2+cx+d$，此时求出抛物线的顶点，便可
得到函数的像。
三、三次函数的性质
接下来，我们来探讨一些三次函数的性质。
1. 零点和极值
对于一元三次函数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，其零点和极值如下所示：
1.1 如果$f(x_1)=0$，则$x_1$为$f(x)$的一次零点。
1.2 如果$f(x_2)=f(x_3)=0$，则$x_2$和$x_3$为$f(x)$的二次零点。
1.3 对于所有实数$x$，$f'(x)$的实根是$x_1$，$f''(x)$的实根是
$x_2$和$x_3$。
此时$x_1$为极小值，$x_2$和$x_3$为极大值。
2. 导数和几何意义
三次函数的导数$f'(x)$是一个次数为2的二次式，它代表曲线的斜率。
对于三次函数$f(x)$而言，其导数有以下性质：
2.1 当$x<x_1$或$x>x_3$时，导数为正；当$x_1<x<x_2$或
$x_2<x<x_3$时，导数为负；当$x=x_1$或$x=x_3$时，导数为0。
2.2 曲线的凸凹性与导函数的符号有关。
当$f''(x)>0$时，曲线是下
凸的；当$f''(x)<0$时，曲线是上凸的；当$f''(x)=0$时，曲线具有拐点。
3. 对称轴和拐点
三次函数$f(x)$的对称轴是一条垂直于$x$轴，并过曲线中心点的直线。
曲线的中心点是横坐标之和的一半和纵坐标之和的一半得到的点。
3.1 如果对称轴与$x$轴相交，则该点是曲线的最小值，对应于
$x_1$。
3.2 如果对称轴与$x$轴不相交，则曲线有一个拐点，对应于
$x_2$和$x_3$。
四、总结
三次函数是一种次数为3的一元多项式函数，其图像具有典型的"S"形曲线。
三次函数的像的计算方法可以根据函数的导数求出，其零点
和极值对应了函数的最小值和最大值。
此外，三次函数的中心点、对
称轴和拐点也是该函数的重要性质。