三次函数图像与性质PPT课件
应用导数研究三次函数课件
知识点2 切线条数 切点的个数
数学思想方法 数形结合，特殊与一般，化归转化
思考
一般情形的证明
对于对称问题，在函数中讲到了很 多，你能用所学知识证明一般三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0) 的对称中心 是 ( b , f ( b ))的这个结论吗？
3a 3a
g(x) x3 3x2 2x 1 (1,1)
x y20
过对称中心的切线只有1条
上下区域 1条
左右区域 3条
切线上（除对称中心） 2条
曲线上（除对称中心） 2条
一般情形
小结
知识点1 对称中心
三次函数有唯一的对称中心，对称中心的横 坐标与其导函数顶点的横坐标相同. ( b , f ( b ))
应用导数研究三次函数
图像的对称性及切线条数
湖北省黄冈中学 袁小幼
函数 y x3图像的对称性
函数 y 的x3图像关于（0，0）对称.
三次函数的图像有唯一的对称中心，对称中 心的横坐标与其导函数顶点的横坐标相同.
一般三次函数图像的对称性
三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0)图像 的对称中心是什么?
f (x) 3ax2 2bx c 3a(x b )2 c b2
3a
3a
( b , f ( b )) 3a 3a
三次函数在对称中心处的切线
函数 g(x) x3 3x2 2x 1 过对称中心 (1,数图像切线条数的探究
同样的，你能证明切线条数的一般 性结论吗？
谢 谢！
三次函数的图象与性质
解：（1）由原式，得 = 3 − 2 − 4 + 4，
∴ ′ = 3 2 − 2 − 4.
1
1
（2）由′ −1 = 0，得 = 2.此时有 = ( 2 − 4)( − 2)，
′ = 3 2 − − 4.
4
令′ = 0，得 = 3或 = −1
= −
求导：’ = 3 2 − 3 = 3( + 1)( − 1)
令’ = 0，则 = ±1.
列表：
−∞, −
−
−,
, +∞
’
+
0
−
0
+
增
极大
减
极小
增
y
y
o
−1
x
1
′ 图象
x
o
−1
1
图象
探究二：三次函数 = 3 + 2 + + ( ≠ 0)在R上
2 + 12 ≤ + 6,
由题意可知，1 ≥ −2， 2 ≤ 2，即൝
2 + 12 ≤ 6 − .
解不等式组，得−2 ≤ ≤ 2.
优解：因为′ = 3 2 − 2 − 4的图象是开口向上且过点(0,4)
的抛物线，
4 + 8 ≥ 0,
由条件，得′ −2 ≥ 0, ′ 2 ≥ 0,即ቊ
解：（1） ′ = 3 2 − 3 = 3( 2 − )
当 < 0时，对，有′ > 0，所以 的单调增区间为(−∞, +∞)；
当 > 0时，由′ > 0，解得 < − 或 > ；由′ < 0，解得− < <
11三次函数的性质及其简单应用
所以 1 2 c 3c 或 1 2 c 3c 解之得 0 c 7 4 3或c 7 4 3 7 4 3 ） 故所求c的范围是（0， （ 7 4 3， ）
例5 设
a为实数，函数 f ( ) 的极值； 在什么范围内取值时，曲线 y f ( x)与 x 轴仅有一个交点 （2）当 2 解：(1) f ( x ) 3 x 2 x 1 1 5 f ( x ) f ( ) a ， 极小值是 f (1) a 1 ∴ 的极大值是 3 27 (2)函数
南京一中
孔凡海
由二次函数类比三次函数的图象和性质
二次函数
y ax2 bx c
三次函数
y ax3 bx2 cx d
图象特征 单调性 对称性
a 0 开口向上 a 0 开口向下
单调区间2个 对称轴 x
b 2a
a 0 朝向右上 a 0 朝向右下
单调区间1个或3个
所以
y ax3 bx2 cx d (a ≠0)，函数的对称中心是（
b b ，f ( ) ）。 3a 3a
3 2 f ( x ) ax bx cx d (a ≠0是中心对 ) 性质3：函数 b b ， f ( ) ）。 称图形，其对称中心是（ 3a 3a
尽管如此，我们还要进一步加强对三次函数 的单调性、极值、对称性、图象变化规律、切线 方程等性质的研究，这也有助于提高知识的系统 性以及对三次函数的理解水平，拓宽解题思路。
解：（I）(b 1) 4c 3 2 2 （II）因为 F ( x) f ( x) g( x) x 2bx (b c) x bc ，2 3 x 4bx b 2 c 0 所以F（x）的导方程为：
三次函数图像与性质
2016年9月9日星期五1、三次函数的概念()()()32220.32,412.f x ax bx cx d a f x ax bx c b ac=+++≠′=++∆=−形如函数叫做把叫做三次函数三次函导函数定的义：定数义判别式：y y()()()()()()()()()()1212121112121,,0,0,0,0.x x x x f x a x x x x f x x x x a x x x x x x x x a ′<∴=−−−∞∴<−−>−<−<∴>Q 解：、分别为极大值和极小值点，且在，为增函数，当时，bD.( B( B()()()32.33121011163A.13 B.14 C.15 D 4.16f x x ax bx x y a b =−++−=−−=已知函数的图像与直线相切于点，，则小结 函数三次函数有以作业2.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d在x=0处取得极值, 曲线y=f(x)过原点和点P(-1, 2). 若曲线f(x)在点P处的切线与直线y=2x的夹角为45°, 且倾角为钝角. (1)求f(x)的解析式; (2)若f(x)在区间[2m-1, m+1]递增, 求m 的取值范围.1.设函数f （x ）=x 3-x 2+（a+1)x+1，其中a 为实数（Ⅰ）已知函数f （x ）在x=1处取得极值，求a 的（Ⅱ）已知不等式f (x)>x 2-x-a+1对任意a ∈（0，+∞）都成立，求实数x 的取值范围。
2.a 为何值时，方程x 3-3x 2-a=0恰有一个实根、两个实根、三个实根，有没有可能无实根？2x。
第37讲 三次函数的图像与性质(学生版)
第37讲三次函数的图像与性质三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)具有丰富的性质，利用导数研究这些性质，其研究的过程与方法具有普遍性,一般性和有效性,可以迁移到其他函数的研究中．本专题主要研究三次函数的单调性,极值,最值,对称性等,并在研究的过程中体会数形结合,分类与整合,化归与转化等思想方法.1.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a,b,c,d∈R),设直线l1,l2分别是曲线y＝f(x)的两条不同的切线,若函数f(x)为奇函数,且当x＝1时f(x)有极小值为－4.①求a,b,c,d的值；②若直线l3亦与y＝f(x)相切,且三条不同的直线l1,l2,l3交于点G(m,4),求实数m的取值范围.2.已知函数f(x)＝x3－tx2＋1,求证：对任意实数t，函数f(x)的图像总存在两条切线相互平行.3.已知函数32()3f x x x ax =-+()a ∈R ，()|()|g x f x =．（1）求以(2,(2))P f 为切点的切线方程，并证明此切线恒过一个定点；（2）若()g x kx ≤对一切[0,2]x ∈恒成立，求k 的最小值()h a 的表达式；（3）设0a >，求()y g x =的单调增区间．4.已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b.(1)讨论f(x)的单调性；(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？若存在,求出a,b的所有值；若不存在,说明理由．5.已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：33b a >；（3）若(),'()f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．。
三次函数的图像和性质复习
三次函数定义1、形如的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。
定义2、三次函数的导数，把叫做三次函数导函数的判别式。
三次函数图象与性质的探究：1、单调性：一般地，当时，三次函数在上是单调函数；当时，三次函数在上有三个单调区间。
（根据两种不同情况进行分类讨论）2、对称中心;三次函数是关于点对称，且对称中心为点，y＝f(x)图象的对称中心在导函数y＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。
3. 图像问题：4. （1）（2）（3）5.三次方程根的问题。
（1）当△=时，由于不等式恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。
（2）当△=时，由于方程有两个不同的实根，不妨设，可知，为函数的极大值点，为极小值点，且函数在和上单调递增，在上单调递减。
此时：①若，即函数极大值点和极小值点在轴同侧，图象均与轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。
②若，即函数极大值点与极小值点在轴异侧，图象与轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。
3 若，即与中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。
1、设是函数f(x)的导函数，的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是（） C2、函数在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是（）A. 1， －1B. 1，－17 C. 3，－17 D. 9，－193、设函数.（1）若的两个极值点为，且，求实数的值；（2）是否存在实数，使得是上的单调函数？若存在,求出的值；若不存在，说明理由.4、设定函数，且方程的两个根分别为1，4。
（Ⅰ）当a=3且曲线过原点时，求的解析式；（Ⅱ）若在无极值点，求a的取值范围。
5、已知函数f（x）=，其中a>0. （Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围. y=6x-9 0<a<56、已知函数（其中常数a，b∈R），是奇函数.（Ⅰ）求的表达式；（Ⅱ）讨论的单调性，并求在区间上的最大值与最小值.8、已知函数（a-b）<b)。
二次函数与三次函数的像与性质
二次函数与三次函数的像与性质二次函数和三次函数都是常见的数学函数，它们在数学和实际问题中都有着广泛的应用。
在本文中，将探讨二次函数和三次函数的像（图像）以及它们的性质。
二次函数是指函数的最高次项为二次的多项式函数，可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a≠0。
在平面直角坐标系中，二次函数的图像呈现出抛物线的形状。
具体来说，关于y轴对称的二次函数的抛物线开口方向由a的正负决定，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
抛物线的顶点坐标为（h，k），其中h = -b / (2a)，k = f(h)。
二次函数的性质包括：定义域、值域、奇偶性和单调性。
对于定义域来说，二次函数的定义域是全体实数集R。
而值域则取决于抛物线的开口方向，当a>0时，值域为[f(h)，+∞)；当a<0时，值域为(-∞，f(h)]。
关于奇偶性，二次函数的图像关于其顶点对称，所以在顶点处具有奇点对称性。
至于单调性，当a>0时，二次函数在（-∞，h）上是递减的；在（h，+∞）上是递增的。
当a<0时，二次函数的单调性正好相反。
而三次函数是指函数的最高次项为三次的多项式函数，可以表示为f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c、d为常数且a≠0。
同样地，在平面直角坐标系中，三次函数的图像也呈现出特殊的形状。
与二次函数不同的是，三次函数的图像可以具备多个极值点和拐点。
三次函数的图像可能具有一个或两个极值点，这些极值点处的x值可以通过求函数的导数得到。
具体来说，当导数f'(x) = 0时，对应的x 值即为极值点。
通过对三次函数求导，可以得到导函数f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c。
根据一元二次方程的求解方法，可以解出对应的x值，再代入原函数f(x)中求得对应的y值，进而得到极值点的坐标。
另外，三次函数的图像可能还具有一个或两个拐点，拐点是指函数图像由凹变凸或由凸变凹的点。
三次函数图像与性质(解析版)
专题2-2三次函数图像与性质【题型1】求三次函数的解析式【题型2】三次函数的单调性问题【题型3】三次函数的图像【题型4】三次函数的最值、极值问题【题型5】三次函数的零点问题【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题【题型7】三次函数对称中心【题型8】三次函数的切线问题【题型9】三次函数根与系数的关系1/342/34【题型1】求三次函数的解析式（1）一般式：()³²f x ax bx cx d =+++（a ≠0）（2）交点式：()123()()()f x a x x x x x x =---（a ≠0）1．若三次函数()f x 满足()()()()00,11,03,19f f f f ''====，则()3f =（）A ．38B ．171C ．460D ．965【解析】待定系数法，求函数解析式设()³²f x ax bx cx d =+++，则()232f x ax bx c '=++，由题意可得：()()()()0011031329f d f a b c d f c f a b c ⎧==⎪=+++=⎪⎨==⎪⎪=+'=⎩'+，解得101230a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩，则()3210123f x x x x =-+，所以()32310312333171f =⨯-⨯+⨯=.【题型2】三次函数的单调性问题三次函数是高中数学中的一个重要内容，其考点广泛且深入，主要涉及函数的性质、图像、最值、零点以及与其他函数的综合应用等方面。
以下是对三次函数常见考点的详细分析：1.三次函数的定义与形式∙定义：形如f (x )=ax 3+bx 2+cx +d （其中a ≠=0）的函数称为三次函数。
∙形式：注意系数a ,b ,c ,d 的作用，特别是a 的正负决定了函数的开口方向（a >0开口向上，a <0开口向下）。
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x1 x2
1个交点 2个交点 3个交点
x x
x x x
x x x
x0
有且只 1个有交点
.
10
探究二 三次方程根的问题
• 三次方程与三次函数有何关系？
• 只画x轴，画出有一根、两根、三根各种情 况图象大致形状，标注相应的a与△的取值 限制条件
• 由图像分析，探究a＜0时，三次方程 ax3+bx2+cx+d=0，有一根、两根、三根的 问题，你有哪些方法？
.
11
若a 方 3 xb2 程 xc x d 0 ,
如 -x3+6x2-9x+10=0
a 0呢？
方法一: 转化为a>0利用图像 方法二: 利用图象
x0
.
12
2： 已知函数 f(x)x3a2x 3x,a R
（1）若 f(1)0,关于 x 的方程 f(x)k
恒有3个不等实根，求实数K的取值范围(高 考题节选)
3、思想方法： 数形结合,函数与方程，
分类讨论，转化思想
.
16
作业：
1.设函数f（x）=x3-xx 2 2+（a+1)x+1，其中a为 实数
（Ⅰ）已知函数f（x）在x=1处取得极值，求 a的
（Ⅱ）已知不等式f (x)>x2-x-a+1对任意a∈ （0，+∞）都成立，求实数x的取值范围。
2.a为何值时，方程x3-3x2-a=0恰有一个实根
.
Δ≤0
x0
无极值 (-∞,+∞)
8
思考 已知三次函数f(x) ＝ax3+bx2+cx+d的
导函数/(x)的图象如右图所示,则y =f (x)
的图象最有可能的是
y
C
O 12
x
y
y
y
y
O 1 2 x O 12x
2
O1
x
A
B
C
.
O
12 x
D
9
探究二 三次方程根的问题 讨 论 a3 x方 b2x c程 x d0 (a0 )
三次函数图像与性质（1 ）
.
1
复习:二次函数的图象与性质
y
0
o
x
y
0
o
x
0
y
o
.x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
2
讲授新课
1.类比二次函数，三次函数一般式是怎样？
形如y ax3 bx2 cx d(a 0)
2.我们如何研究三次函数的图象和性质？
f(x)3ax22bxc
4b2-12ac4(b2-3ac)
.
3
例1.画出下列函数草图
f (x) x3
f(x)x33x
f (x) x3
f(x)x33x
C:\Users\Public\D esktop\几何画板 .lnk几何画板.lnk
f(x)a3xbx2三次函数图象形状
• 观察几何画板中几个三次函数图象，思考下列问 题
Δ>0
Δ≤0
图象
x x
1
2
x1 x2
极值 极大值f(x1) 极小值f(x2)
单调 区间
(-∞,x1),(x2,+∞) (x1,x2)
.
x0
无极值 (-∞,+∞)
7
总结: a0时
Δ>0
图象
极值 单调 区间
x x
1
2
x1
x2
极小值f(x1) 极大值f(x2)
(-∞,x1),(x2,+∞) (x1,x2)
、两个实根、三个实根，有没有可能无实
根？
.
17
三 次 函 数 的 图 象 和 性 质
.
18
分析：由 f10a0
借助导数工具画原函数图像的大致形状，数形结 合得到K的取值范围
.
13
.
14
课堂练习:
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象
如图所示 则f / (x)0的解集？
12 x
（-∞，1）∪（2，+∞）
.
15
本课小结
1、利用导数研究三次函数的图象和性质 2、利用图象与性质解决什么问题？ (1)单调性、极值、最值问题； (2)讨论三次方程根的问题；
.
5
三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象
f'(x)3ax22bxc
4 b2-1 2a c4 (b2-3 a c)
x x1 x2
x x0
x x1 x2
.
x x0
6
(一) 三次函数的图像
f(x)a3xb2 xcxd的图象和性
f'(x)3ax22bxc
a0时 4 b2-1 2a c4 (b2-3 a c)