探讨三次函数及其图像
三次函数及其切割线的关系
三次函数及其切割线的关系曾文远中国/北京市/北京十一学校指导教师：***摘要本文共七章，主要研究了三次函数上一点的切线，割线和三次函数的关系；三次函数上一点切线，割线斜率的性质；三次函数图像的性质和分类；以及三次函数的一种新定义。
全文结构安排如下：第一章介绍了文章的研究背景，基本记号，一些基本定义，引理和定理。
第二章研究了三次函数上一点处的切线和该三次函数相交的问题。
包括切点，交点的坐标关系和切线与三次函数围成图形的面积。
第三章中类比圆锥曲线的极坐标形式，研究了三次函数上一点到一定直线距离的问题，并给出了三次函数新的定义形式。
第四章研究了三次函数图像的对称问题。
第五章研究了三次函数零点处切线斜率的性质，并利用范德蒙德行列式将部分结论推广到n次函数。
第六章研究了平面上一点和三次函数三个零点连线的斜率问题，并推广到n次函数。
第七章研究了三次函数的图像类型与其对应的三次方程的解之间的关系。
关键词：三次函数三次函数图像零点极值点拐点斜率切线割线对称中心面积n次函数范德蒙德行列式目录摘要1第一章4 1.1 4 第二章82.1 8第三章123.1 123.2 13第四章154.1 15附录参考文献致谢第一章…2.1 …3.1 …4.1 …附录参考文献[1]人教版高中数学必修1. 人民教育出版社,2007.[2]人教版高中数学选修1-1. 人民教育出版社,2007.[3]刘玉琏傅沛仁林玎苑德馨刘宁数学分析讲义（第五版）上册.高等教育出版社,2008.[4]卢刚线性代数第三版. 高等教育出版社,2009.[5]Wikipedia致谢感谢指导老师对我的鼓励与帮助.感谢我的家长和同学们，是他们的支持和鼓励给了我勇气和信心来完成这篇论文.。
二基本初等函数及其图像
移
用xh 代替x 是将图像右移h
个单位( h>0)，若h 为负数，则左
移．
第二节 初等函数及其图像
三、构建新函数
例
1. 平
已知 f (x) x3，试画出 2 f (x)
移 和 f (x) 2 的图像，并写出该函数的
图像向左平移 5 个单位所得图像的函
函 函数，设第一种产品的销售利润为
数 U1=f(t)，第二种产品的销售利润为 的 U2=g(t)， 则两种产品的实际利润
和 用函数符号表示即有
差
函数的和
U(t)= U1 +U2 =f(t) +g(t)
第二节 初等函数及其图像
三、构建新函数
函数和的定义
2.
函
两个函数的和是一个函数，其在
数 每一点的函数值都是两个函数在自变 的 量的相同取值点的函数值的和．
例 求函数 y x 的反函数. x2
第二节 初等函数及其图像
一、反函数
想一想
1.一个函数与其反函数的定义域及值域有
什么关系？
2.
f
1(
x)与
1 之间有没有关系？ f( x)
3. f 1( f( x))与f( f 1( x))各等于多少？
第二节 初等函数及其图像
二、基本初等函数及其图像
形如 y = x (R)的函数称为幂函数.
y arccos x的图像
4. 反 三 角 函 数 想一想 反余弦函数有什么性质?
第二节 初等函数及其图像
二、基本初等函数及其图像
y arctan x的图像
4. 反 三 角 函 数 想一想 反正切函数有什么性质?
八年级数学下册《函数》教案、教学设计
3.完成作业后，认真检查，确保答案正确；
4.遇到问题，及时与同学或老师沟通交流，共同解决。
5.拓展延伸，提升能力：在教学过程中，适当拓展函数知识的应用，如解决实际问题、探索数学规律等。培养学生学以致用的意识，提高他们运用数学知识解决问题的能力。
6.关注个体差异，实施个性化辅导：关注每个学生的学习进度和需求，充分利用课余时间进行个性化辅导，帮助学生克服学习中的困难，提高学习效果。
7.定期评价，反馈调整：通过课堂提问、作业批改、阶段测试等方式，了解学生的学习情况。根据评价结果，及时调整教学策略，确保教学目标的实现。
（4）观察生活中的一次函数实例，如电话费、公交车票价等，分析其性质，并简要说明。
2.选做题：
（1）研究二次函数的性质，结合实际例子，分析其图像特点；
（2）求解以下二次函数方程：y = x^2 - 2x - 3，并在坐标系中画出其图像；
（3）某二次函数的图像开口向上，顶点坐标为（2，-3），且过点（0，-6），求该二次函数的解析式；
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学内容：以生活实例引入函数概念，激发学生学习兴趣。
教学过程：首先，通过展示某城市一天内温度随时间变化的图像，引导学生观察温度与时间之间的关系。然后，提出问题：“你能发现温度与时间之间的变化规律吗？它们之间存在怎样的关系？”让学生思考并回答。接着，进一步提问：“在我们的生活中，还有哪些现象是变量之间相互依赖、相互影响的？”通过这些问题，自然导入函数的概念。
1.必做题：
（1）根据课堂所学，用自己的语言解释函数的定义，并举例说明；
（2）完成课本第32页的练习题1、2、3，体会函数的表示方法；
关于三次函数图象切线问题的探讨
关于三次函数图象切线问题的探讨韩尚石【摘要】近年来,三次函数图象的切线问题在高考中时常出现,一些考生感到束手无策.本文利用高等数学知识,探讨了三次函数过定点的切线问题,以期为学生解决此类问题提供新的方法、新的思路.【期刊名称】《延边教育学院学报》【年(卷),期】2015(029)001【总页数】2页(P79-80)【关键词】三次函数图像;切线问题;高等数学;方法;思路【作者】韩尚石【作者单位】延吉市教师进修学校,吉林延吉13000【正文语种】中文【中图分类】G633.6过一点作三次函数图象切线的问题，在历年高考试题当中频频出现。
如2009年江西省文科第12题，2004年天津市理科第20题，2004年重庆市文科第15题等。
这类问题对于一些高考考生来说会感到束手无策，不知如何去解决。
那么，如何才能顺利解决此类问题，在高考中能迎刃而解呢？本文借助高等数学知识，对三次函数f（x）=ax3+bx3+cx+d （a≠0）图像过定点p（m，n）可作几条切线的问题进行了研究，给出了解决此类问题的方法和思路。
一般地，三次函数f（x）=ax3+bx3+cx+d （a≠0）图像过定点p（m，n）可作几条切线呢？下面给出解决方法：设三次函数f（x）=ax3+bx3+cx+d （a≠0）上的点（切点）的坐标为M（t，f （t）），则过点M（t，f（t））的三次函数的切线l的斜率为:k=f´（t）=3at2+2bt+c所以，切线l的解析式为y-f（t）=f´（t）（x-t）由于切线l过点p（m，n），所以n-f（t）=f´（t）（m-t）。
令g（t）=f´（t）（t-m）-f（t）+n，于是切线的条数就是由g（t）在实数集R上零点的个数决定的。
因为g´（t）=f"（t）（t-m），f´（t）=3at2+2bt+c，f"（t）=6at+2b，故g´（t）=（6at+2b）（t-m）。
三角函数图像变换规律
三角函数图像变换规律三角函数图像变换是数学和物理学中重要的一部分，它将函数变换为图像表示。
这里，我们将探讨三角函数图像变换的各种变换规律。
首先，让我们来讨论一下sin (x)的变换规律。
三角函数的变换可以分为一次变换、二次变换和三次变换，其中一次变换是指对于给定的sin (x)来说，将x作为一次变换的函数。
图像中的sin (x)图像变换规律是在坐标原点(0，0)的情况下，假设原函数的值是一定的，则在做一次函数变换时，原点会绕着y轴旋转，由此形成一个新的弧线，该弧线形状与原函数形状是一致的，只是位置发生了变化。
图像变换后，原点在原来函数上恒定距离处又会产生新的一点，经过多次变换后，这样的模式称为周期性振荡模式，它定义了以一定周期性振荡的模式运行，在未来将得到更多的研究。
其次，我们讨论一下cos (x)的变换规律。
cos (x)的变换规律与sin (x)的变换规律大致相同，也分为一次变换、二次变换和三次变换。
但是，cos (x)的图像变换与sin (x)的变换还是有一些不同之处。
首先，cos (x)的图像变换规律是在坐标原点（0，0）的情况下，当处于一次变换过程中时，原点会绕着x轴旋转，形成一个新的抛物线，与原抛物线的形状相同，只是位置发生了变化。
其次，当cos (x)进行二次变换时，其图像变换规律会发生变化，该函数会绕着原点旋转，而不是绕着x轴旋转，即原点会在函数上恒定距离处产生新的点，不断重复，形成一个新的抛物线，与原函数形状大体相同;最后，在三次变换时，cos (x)变换规律将会有所不同，在此条件下，函数会绕着x轴旋转，而不是绕着原点旋转，形成一个新的抛物线，该抛物线上点的位置会比原函数上更加密集。
最后，我们来讨论一下tan (x)的变换规律。
类似于sin (x)和cos (x)，tan (x)也可以进行一次、二次和三次变换，其图像变换的规律也大致相同。
在一次变换时，原点绕着y轴旋转，形成一个新的弧线，该弧线形状与原函数形状大体相同;二次变换时，原点绕着原点旋转，而不是绕着y轴旋转，形成一个新的弧线，与原函数形状大体相同;三次变换时，原点绕着x轴旋转，而不是绕着原点旋转，形成一个新的弧线，与原函数形状大体相同。
数学中的函数性质和图像分析
数学中的函数性质和图像分析在数学中，函数是一种非常重要的概念。
它描述了一种对应关系，将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数的性质以及图像的分析是数学中的一个重要研究领域，它们有助于我们更好地理解和应用数学知识。
首先，我们来讨论函数的性质。
函数可以有不同的性质，其中最基本的是定义域和值域。
定义域是指函数的输入可以取的值的集合，而值域是指函数的输出可能的值的集合。
定义域和值域的确定对于理解函数的范围和特性非常重要。
另外，函数还可以是奇函数或偶函数。
奇函数是满足f(x)=-f(-x)的函数，而偶函数是满足f(x)=f(-x)的函数。
这些性质可以帮助我们简化函数的分析和计算。
其次，我们来探讨函数图像的分析。
函数图像是函数在坐标系中的可视化表示。
通过观察函数图像，我们可以得到很多关于函数的信息。
首先，我们可以通过函数图像来确定函数的增减性。
如果函数图像在某个区间上是上升的，那么函数在该区间上是递增的；如果函数图像在某个区间上是下降的，那么函数在该区间上是递减的。
另外，我们还可以通过函数图像来判断函数的最值。
如果函数图像在某个区间上是上凸的，那么函数在该区间上有一个局部最小值；如果函数图像在某个区间上是下凸的，那么函数在该区间上有一个局部最大值。
除了增减性和最值，函数图像还可以告诉我们函数的对称性。
例如，如果函数图像关于y轴对称，那么函数是关于y轴对称的；如果函数图像关于原点对称，那么函数是关于原点对称的。
对称性是函数图像的一个重要特征，它可以帮助我们更好地理解函数的性质。
此外，函数图像还可以帮助我们解决实际问题。
例如，在物理学中，我们经常需要分析物体的运动。
通过建立合适的函数模型，并绘制函数图像，我们可以更好地理解物体的运动规律。
另外，在经济学中，我们也可以通过函数图像来分析市场需求和供给的关系，从而做出更好的决策。
总结起来，函数的性质和图像分析在数学中起着重要的作用。
函数的性质可以帮助我们理解函数的范围和特性，而函数图像的分析可以帮助我们得到更多关于函数的信息。
函数的图像与图像的特征分析
函数的图像与图像的特征分析函数图像是数学中常见的一种表示方法，通过绘制函数的图像，可以直观地了解函数的性质和特征。
本文将探讨函数图像的分析方法，包括图像的形状、对称性、零点、极值点等特征。
一、图像的形状函数的图像形状可以通过观察函数的导数来确定。
导数表示函数的变化率，可以帮助我们判断函数图像的增减性和凹凸性。
1. 当导数大于零时，函数图像上升，表示函数递增；2. 当导数小于零时，函数图像下降，表示函数递减；3. 当导数等于零时，函数图像可能存在极值点或拐点。
通过观察函数图像的升降和凹凸性，可以进一步分析函数的特征。
二、图像的对称性函数图像的对称性可以通过观察函数的表达式得到。
常见的对称性包括：1. 偶函数：当函数满足f(x) = f(-x)时，函数具有关于y轴对称的特点，图像关于y轴对称；2. 奇函数：当函数满足f(x) = -f(-x)时，函数具有关于原点对称的特点，图像关于原点对称。
通过观察函数图像的对称性，可以简化函数分析的过程。
三、图像的零点函数的零点是指使函数取值为零的输入值。
通过观察函数图像与x轴的交点，可以得到函数的零点。
零点对应于函数的根，可以帮助我们求解方程和解决实际问题。
四、图像的极值点函数的极值点是指函数在某一区间内取得最大值或最小值的点。
通过观察函数图像的局部最高点和最低点，可以确定函数的极值点。
1. 极大值点：当函数在某一区间内最高点对应的y值大于相邻点的y值时，该点为函数的极大值点；2. 极小值点：当函数在某一区间内最低点对应的y值小于相邻点的y值时，该点为函数的极小值点。
通过观察函数图像的极值点，可以进一步分析函数的变化趋势和特征。
综上所述，通过对函数图像的形状、对称性、零点和极值点的分析，可以全面了解函数的特征和性质。
函数图像分析是数学中重要的工具和方法，可以应用于各个领域的问题求解和模型建立。
通过深入理解函数图像的特征，我们可以更好地理解函数的行为和变化规律，为数学学习和实际应用提供有力支持。
三次函数高中什么时候学
三次函数高中什么时候学全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：三次函数是高中数学重要的内容之一，通常在高中数学的二年级学习。
它在数学的重要性不言而喻，因此在教学中被赋予了特别的重要性。
三次函数的概念广泛应用于数学、物理、化学等领域，在解决各种实际问题中都起着重要的作用。
它是一种具有特定形式的二次多项式函数，具有特定的性质和图像，是高中数学的重要内容之一。
在高中数学的学习过程中，三次函数通常是在函数与方程章节中教授的。
学生在学习三次函数之前，需要具备一定的数学基础，例如函数的概念、二次函数的性质和图像等。
在三次函数的学习中，学生将会接触到三次函数的定义、性质、图像以及与二次函数的比较等内容。
通过学习三次函数，学生将会更深入地了解函数的性质和变化规律，进一步提高对函数的理解和运用能力。
三次函数在数学中的应用十分广泛，可以用来描述各种实际问题中的变化规律。
在物理学中，三次函数可以描述物体的运动轨迹、速度、加速度等变化规律；在化学中，三次函数可以描述化学反应速率、溶解度等变化规律。
在经济学、生物学等领域中，三次函数也有着重要的应用。
学习三次函数对于学生将会具有很高的实用性和意义。
三次函数是高中数学中的一个重要内容，通过学习三次函数，可以提高学生对函数的理解和运用能力，为他们将来的学习和工作奠定坚实的数学基础。
学生在学习三次函数时需要认真对待，扎实掌握相关知识，提高自己的数学素养，为将来的学习和发展打下良好的基础。
【三次函数高中什么时候学】文章就到这里，希望对大家有所帮助。
第二篇示例：高中数学中的三次函数一般会在高中数学的第二学期被学习，通常会在高中数学的第一年的下学期进行教学。
三次函数是一种比二次函数更高级的函数，它的表示形式为y=ax^3+bx^2+cx+d，其中a、b、c、d为常数且a不等于0。
三次函数的图像通常是一个倆臾個波浪线，比起二次函数更加复杂且具有更多的起伏变化。
学习三次函数的学生需要掌握如何求三次函数的导数、驻点、凹凸性和拐点等相关知识，并能够利用这些知识来解决实际问题。
华师大版八年级数学下函数的图像
物理问题
在物理学中，复合函数常被用 来描述物体的运动状态。例如 ，物体的位移可以看作是时间 和速度的复合函数。
工程问题
在工程学中，复合函数常被用 来描述各种物理量之间的关系 。例如，电路中的电流可以看 作是电压和电阻的复合函数。
THANK YOU
感谢聆听
02
二次函数
图像是一条抛物线，开口方向、顶点坐标和对称轴是 抛物线的主要特征。
03
反比例函数
图像是双曲线，两支曲线分别位于第一、三象限或第 二、四象限，且关于原点对称。
04
指数函数
图像是一条从左到右上升的曲线，底数决定了曲线的 上升速度。
05
对数函数
图像是一条从下到上上升的曲线，底数决定了曲线的 上升速度。
抛物线的对称轴是$x = frac{b}{2a}$，顶点坐标为 $left(-frac{b}{2a}, c frac{b^2}{4a}right)$。
开口方向、对称轴和顶点
开口方向
由系数$a$决定，$a > 0$时开口向上，$a < 0$时 开口向下。
对称轴
对于一般形式的二次函数，对称轴方程为$x = frac{b}{2a}$。
双曲线的两支分别位于第一、三象限和第二、四象限，且关于原点对称。
实际问题中反比例函数应用
在电学中，反比例函数可以描述电阻、电流和电压之间的关系。例如，当电压一定 描述成本、收益和产量之间的关系。例如，当其他条 件不变时，某种产品的成本和产量成反比关系。
通过建立二次函数模型，可以方便地 找到问题的最优解或近似最优解。
04
反比例函数图像与性质
反比例函数表达式与图像关系
反比例函数的一般表达式为 $y = frac{k}{x}$ (k ≠ 0)，其图像 位于第一、三象限或第二、四象
二次函数与三次函数的性质
二次函数与三次函数的性质函数是数学中的重要概念，而二次函数和三次函数是函数的两种特殊形式。
它们在数学和实际应用中都扮演着重要的角色。
本文将探讨二次函数和三次函数的性质，并比较它们之间的异同点。
一、二次函数的性质二次函数是一个以二次项为最高次幂的多项式函数。
它的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为实数且a不等于0。
二次函数的性质如下：1. 平移性质：二次函数可以沿x轴和y轴的方向进行平移。
当函数表达式中加上常数h时，图像沿x轴的正方向平移h个单位；当函数表达式中加上常数k时，图像沿y轴的正方向平移k个单位。
2. 对称性质：二次函数的图像关于抛物线的对称轴对称。
对称轴的方程为x = -b/2a，即抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
3. 开口方向：当a大于0时，二次函数的图像开口向上；当a小于0时，二次函数的图像开口向下。
4. 最值：当二次函数的开口向上时，函数的最小值为顶点的纵坐标；当二次函数的开口向下时，函数的最大值为顶点的纵坐标。
5. 零点：二次函数的零点是函数图像与x轴的交点，即f(x) = 0的解。
一般来说，二次函数有两个零点。
二、三次函数的性质三次函数是一个以三次项为最高次幂的多项式函数。
它的一般形式为：f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d其中，a、b、c、d为实数且a不等于0。
三次函数的性质如下：1. 平移性质：与二次函数类似，三次函数也可以进行平移。
当函数表达式中加上常数h时，图像沿x轴的正方向平移h个单位；当函数表达式中加上常数k时，图像沿y轴的正方向平移k个单位。
2. 对称性质：三次函数的图像可能存在关于某个点的对称性，这取决于函数的具体形式。
3. 开口方向：三次函数的图像可能存在开口向上或开口向下的情况，这取决于函数的a的正负。
4. 最值：三次函数没有固定的最值。
它的图像可能存在局部最小值或局部最大值，但不一定存在全局最小值或全局最大值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
探讨三次函数及其图像
三次函数是高中数学中一个重要的内容，它的图像特点和性质经常
被用于解决实际问题。
本文将探讨三次函数及其图像的相关知识。
一、三次函数的定义和形式
三次函数是指函数的最高次幂为3的多项式函数，通常表示为
y=ax³+bx²+cx+d，其中a、b、c、d为常数且a≠0。
三次函数的定义域为全体实数。
二、三次函数的图像特点
1. 定义域和值域：三次函数的定义域为全体实数，值域的范围是整
个实数空间。
2. 对称性：三次函数的图像可以有对称的特点。
当a为正数时，图
像关于y轴对称；当a为负数时，图像关于x轴对称。
3. 零点和极值点：三次函数的零点是使得函数取值为0的横坐标点，也就是方程ax³+bx²+cx+d=0的解。
根据高中代数学的知识可知，三次
函数至多有三个零点。
而极值点是函数的最高点或最低点，求解极值
点的方法是求导。
4. 拐点：拐点是三次函数图像由凹变凸或由凸变凹的转折点。
根据
高中微积分的知识可知，三次函数有至多两个拐点。
三、三次函数的图像
三次函数的图像形态丰富多样，可以通过分析函数的系数来判断图像的具体形状。
1. 当a>0时，函数的图像是开口向上的，并且在拐点附近是向下凹的。
2. 当a0时，函数的图像是开口向下的，并且在拐点附近是向上凸的。
3. 当a=0时，函数的图像是二次函数的图像。
此时，三次函数变成了二次函数。
四、三次函数的应用
三次函数的图像特点和性质经常被用于解决实际问题。
1. 利用图像特点解方程：由于三次函数的零点对应图像的横坐标，因此可以通过观察图像来解三次函数的方程。
2. 利用极值点求解最优问题：三次函数的极值点对应图像的最高点或最低点，在解决最优问题时可以通过求解极值点来得到最优解。
3. 利用拐点解决变化问题：三次函数的拐点对应图像的转折点，可以用来解决某个变量随另一个变量变化而产生转折的问题。
综上所述，三次函数是高中数学中的重要内容。
掌握三次函数的定义、图像特点和性质，能够帮助我们解决实际问题。
通过对三次函数的探讨和研究，我们可以更好地理解和应用数学知识。