2019-2020学年甘肃省天水市甘谷一中高一上学期期末数学试题及答案解析

2019-2020学年甘肃省天水市甘谷一中高一上学期期末数学试题及答案解析一、单选题1．已知集合{}0,2,4,6A =，集合{}215B x x =-<，则A B =（）A ．{}0B ．{}0,2C ．{}4,6D ．{}0,2,4【答案】B【解析】先化简集合B ，再求交集，即可得出结果. 【详解】因为{}{}2153B x x x x =-<=<，{}0,2,4,6A =， 所以{}0,2AB =.故选：B. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记概念即可，属于基础题型.2．已知直线:1l y =+，则直线l 的倾斜角为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π【答案】C【解析】根据直线方程得出斜率，根据斜率求得倾斜角. 【详解】 直线:1l y =+，设其倾斜角为[),0,ααπ∈因为其斜率k =所以tan α=所以3πα=.故选：C 【点睛】此题考查根据直线的斜率求倾斜角，关键在于熟练掌握斜率与倾斜角之间的函数关系.3．下列函数中，不是奇函数的是（ ） A ．2y x =- B ．1y x x =+ C ．1ln1xy x -=+ D ．12x y -=【答案】D【解析】根据函数奇偶性的概念，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A 选项，因为2y x =-的定义域为R ，且2()(2)x x --=--，所以2y x =-是奇函数；B 选项，因为1y x x=+的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且11⎛⎫-+=-+ ⎪-⎝⎭x x x x ，所以1y x x =+是奇函数； C选项，由101xx ->+得11x -<<，即函数1ln 1x y x -=+的定义域为()1,1-，又111lnln ln 111x x x x x x ++-==--+-+，所以1ln 1x y x -=+是奇函数； D 选项，12x y -=的定义域为R ，但1122x x ---≠-，所以12x y -=不是奇函数. 故选：D.【点睛】本题主要考查判断函数的奇偶性，熟记函数奇偶性的概念即可，属于基础题型.4．已知幂函数()()23m x m x f =-在()0,∞+上为减函数，则()3f =（ ）A ．19B ．9C ．13D ．3【答案】A【解析】根据幂函数的单调性，以及幂函数的定义，得到231m m ⎧-=⎨<⎩，求出m 的值，进而可求函数值. 【详解】因为幂函数()()23m x mx f =-在()0,∞+上为减函数，所以2310m m ⎧-=⎨<⎩，解得：2m =-，因此()2f x x -=所以()139f =. 故选：A. 【点睛】本题主要考查求幂函数的值，熟记幂函数的单调性与幂函数的概念即可，属于基础题型.5．设,αβ表示不同的平面，l 表示直线，,,A B C 表示不同的点，给出下列三个命题： ①若,,,A l A B B l αα∈∈∈∈，则l α⊂； ②若,,,A A B B αβαβ∈∈∈∈，则AB αβ⋂=； ③若,l A l α⊄∈，则A α∉． 其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．0【答案】B【解析】试题分析：①正确，即公理一；②正确，即公理二；③错误，点A 可以是直线l 与平面α的交点．故选B 【考点】直线与平面，点与平面的位置关系判断6．已知13log 4a =，2log 3b =，0.32c -=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】D【解析】先由对数函数，以及指数函数的性质，确定a ，b ，c 的范围，进而可得出结果.【详解】因为1133log 4log 10a =<=，22log 321log b =>=，0.300221c -<=<=， 所以b c a >>. 故选：D. 【点睛】本题主要考查比较指数幂，以及对数的大小，熟记对数函数以及指数函数的性质即可，属于基础题型.7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．23B ．1C ．43D ．2【答案】C【解析】试题分析：由三视图可知该几何体是一四棱锥，底面是长和宽分别为4和1的矩形，高为1，则其体积为1441133V ⨯⨯⨯=＝,故选C ．【考点】三视图．【方法点晴】本题主要考查三视图，属于较易题型．应注意把握三个视图的位置和尺寸：主视图在图纸的左上方,左视图在主视图的右方,俯视图在主视图的下方；主视图与俯视图长应对正（简称长对正）,主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐）,左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等）,若不按上述顺序放置，则应注明三个视图名称．8．函数()2e 2x f x x --=的一个零点所在区间为（ ） A ．()2,0- B ．()1,0- C ．()0,1 D ．()1,2【答案】D【解析】根据函数零点的存在性定理，直接判定即可. 【详解】 因为函数()2e 2xf x x --=在定义域内是连续的函数，又()242e20f ----<=，()20e 02100f --=-<=，()111e 20f --=--<，()e 12301e f --=-<=，()22e 42e 260f =--->=，所以(1)(2)0f f ⋅<， 因此函数()2e 2xf x x --=的一个零点所在区间为()1,2.故选：D. 【点睛】本题主要考查判断函数零点所在区间，熟记函数零点的存在性定理即可，属于常考题型.9．若圆1O ：()()223425x y -+-=和圆2O ：()()22212x y r -+-=（05r <<）相切，则r 等于（ ） A．5-B．5-C．5 D．5-【答案】A【解析】先由圆的方程，得两圆的圆心坐标与半径，求出圆心距，确定两圆内切，进而可求出结果. 【详解】因为圆1O ：()()223425x y -+-=的圆心坐标为1(3,4)O ，半径为5R =，圆2O ：()()22212x y r -+-=的圆心坐标为2(1,2)O ，半径为r ；所以圆心距为：125O O ==<，又两圆相切，所以只能内切， 因此12O OR r =-，所以5r =-故选：A. 【点睛】本题主要考查由两圆内切求半径的问题，熟记圆与圆位置关系即可，属于常考题型. 10．若函数()()()21,2log 1,2aa x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩（0a >且1a ≠）对任意的12x x ≠，恒有()()12120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()2,+∞B ．52,2⎛⎤⎥⎝⎦ C ．5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】先由题意，确定函数是增函数，再由函数解析式，根据函数单调性，列出不等式组求解，即可得出结果. 【详解】 因为函数()f x 对任意的12x x ≠，恒有()()12120f x f x x x ->-成立，所以函数()f x 在定义域上单调递增；因此()2012(2)1log 21a a a a ⎧->⎪>⎨⎪--≤-⎩，即2125a a a >⎧⎪>⎨⎪≤⎩，解得：522a <≤.故选：B. 【点睛】本题主要考查由分段函数单调性求参数的问题，熟记函数单调性的定义，以及分段函数的性质即可，属于常考题型. 11．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ︒∠=，Q为AD 的中点，点M 在线段PC 上，PM tMC =，若//PA 平面MQB ，则t 等于（ ）A ．12B ．13C ．14D ．25【答案】A【解析】连接AC 交BD 于O ，连接MO ，根据线面平行的性质得//MO PA ，即可得到12AO PM CO MC ==，即可求解. 【详解】连接AC 交BD 于O ，连接MO ，如图：底面ABCD 为菱形，Q 为AD 的中点，所以AQO ∆与CBO ∆相似，12AO AQ CO BC ==， 因为//PA 平面MQB ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC 与平面MQB 交线为MO ，根据线面平行的性质可知：//MO PA ， 在PAC ∆中，12AO PM CO MC ==， 12PM MC =， 即12t =. 故选：A 【点睛】此题考查根据线面平行的性质得线线平行，根据平行关系求解线段的比例关系. 12．设函数()123x f x x -=+，()22g x x a =+-，若在区间()0,3上，()f x 的图象在()g x 的图象的上方，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()1,+∞ B ．()2,+∞ C ．()3,+∞D ．()4,+∞【答案】B【解析】先由题意，得到12322x a x x -+>-++在区间()0,3上恒成立，分别令1()3,(0,3)x u x a x -=+∈，2()22,(0,3)v x x x x =-++∈，根据函数单调性求出min ()u x ，max ()v x ，只需min max ()()u x v x >即可求出结果. 【详解】因为在区间()0,3上，()123x f x x -=+的图象在()22g x x a =+-的图象的上方， 所以()()123220x f x g x x x a --=+--+>在区间()0,3上恒成立，即12322x a x x -+>-++在区间()0,3上恒成立， 令1()3,(0,3)x u x a x -=+∈，2()22,(0,3)v x x x x =-++∈， 则1113,13()33,01x x x a x u x a a x ---⎧+<<=+=⎨+<<⎩，所以min ()(1)1u x u a ==+， 又2()22v x x x =-++是开口向下，对称轴为1x =的二次函数， 因此max ()(1)1223v x v ==-++=，为使12322x a x x -+>-++在区间()0,3上恒成立，只需min max ()()u x v x >，所以13a +>，解得：2a >. 故选：B. 【点睛】本题考查函数性质的综合应用，熟记函数的单调性，最值等，灵活运用转化与化归的思想即可求解，属于常考题型.二、填空题13．33log 272log -=______.【答案】2【解析】根据对数运算法则，直接计算，即可得出结果. 【详解】33333log 272log log log 33123-=-=-=.故答案为：2. 【点睛】本题主要考查对数的运算，熟记对数运算法则即可，属于基础题型.14．已知点()1,1,2-关于y 轴对称点为A ，点()3,2,1B -，则AB =______.【解析】先由题意，求出A 点坐标，再由两点间距离公式，即可求出结果. 【详解】因为点A 与点()1,1,2-关于y 轴对称，所以()1,1,2A ---， 又()3,2,1B -， 所以AB ===【点睛】本题主要考查求空间中两点间的距离，熟记公式即可，属于基础题型.15．已知直线20mxy m --=与函数40()22,0x f x x x -≤≤=->⎪⎩的图象有两个交点.则实数m 的取值范围是________. 【答案】[2,0]-【解析】根据函数图象，结合直线的定点，数形结合讨论两个交点时斜率的取值范围即可得解. 【详解】由题：直线20mx y m --=过定点()2,0，直线20mx y m --=的斜率为m ， 作出函数216,40()22,0x x f x x x ⎧⎪-+-≤≤=⎨->⎪⎩的图象，当直线过()0,4时，此时两个交点，40202m -==--， 当直线过()4,-0时，此时两个交点，0m =， 结合图象可得，要使直线与函数图象有两个交点， 则[2,0]m ∈-. 故答案为：[2,0]- 【点睛】此题考查根据直线与函数图象交点的个数求解参数范围问题，关键在于准确作出图象，数形结合求解.16．在三棱锥1A ABC -中，1AA ⊥底面11,,2ABC BC A B AA AC ⊥==，则该三棱锥的外接球的表面积为 ． 【答案】8π【解析】试题分析：由三棱锥1A ABC -中，1AA ⊥底面1,ABC BC A B ⊥，将三棱锥补成长方体，它的对角线是其外接球的直径，则三棱锥外接球的直径为，∴外接球的表面积248S R ππ==．所以答案应填：8π． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 【方法点睛】由于几何体的形状多种多样，所以体积的求法也各不相同．针对一些不规则的几何体，直接运用体积公式可能比较困难，我们常对原几何体进行割补，转化为几个我们熟悉的几何体，其解法也会呈现一定的规律性：①几何体的“分割”几何体的分割即将已给的几何体，按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之．②几何体的“补形”与分割一样，有时为了计算方便，可将已给的几何体补成易求体积的几何体，如长方体，正方体等等．本题将三棱锥补成长方体，它的对角线是其外接球的直径，从而即可求得该三棱锥的外接球的表面积．本题考查球的表面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，得出将三棱锥补成长方体，它的对角线是其外接球的直径是解题的关键．三、解答题17．设函数()f x =的定义域为A ，集合{}11B x a x a =-<<+.（1）若2a =，求AB ；（2）若()R A B R =，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{}3A B x x ⋃=<（2）1a ≤【解析】（1）先解不等式，得到集合A ；由2a =，得到{}13B x x =<<，再由并集的概念，即可得出结果.（2）先求出B R，再根据()RAB R =，即可得出结果.【详解】（1）由420x -≥，得2x ≤， ∴(],2A =-∞；2a =，则{}13B x x =<<.∴{}3A B x x ⋃=<. （2）{}11B x a x a =-<<+， ∴{1RB x x a =≤-或}1x a ≥+，又()RA B R =，(],2A =-∞，∴12a +≤， ∴1a ≤. 【点睛】本题主要考查求集合的并集，以及由集合并集与补集的运算结果求参数，熟记并集与补集的概念，会求具体函数的定义域即可，属于常考题型. 18．已知直线l 过点(1,2)A -. （1）若直线l与直线134y x =-垂直，求直线l 的方程；（2）若直线l 与直线340x y b -+=平行，且两条平行线间的距离为2，求b .【答案】（1）:42l y x =--（2）1b =或21【解析】（1）根据直线的垂直关系，得出斜率，即可得解； （2）根据平行关系设直线方程，利用平行线之间的距离公式求解参数. 【详解】 （1）直线l与直线134y x =-垂直，所以直线l 斜率为4-，设所求直线上的方程为4y x m =-+， ∵直线l 过点(1,2)A -， ∴24m =+，即2m =-. ∴:42l y x =--（2）设所求的直线l 的方程为340x y n -+=. 则有380n --+=，得11n =.∵l 与直线340x y b -+=间的距离为2， ∴|11|25b -=，解得1b =或21.【点睛】此题考查根据两条直线的位置关系求解参数的取值，关键在于熟练掌握两条直线垂直或平行关系的表示方式，准确计算得解. 19．已知函数()22ax f x b x =+，且()112f =，()425f =. （1）求实数a ，b 的值； （2）求()()1112(3)2019232019f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【答案】（1）1a b ==（2）2018【解析】（1）先由题意，列出方程组1124445ab a b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，求解，即可得出结果；（2）先由（1）得到()221x f x x =+，求出()11f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，进而可求出结果. 【详解】（1）由()112f =，()425f =，得1124445a b a b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得1a b ==. （2）由（1）知()221x f x x =+，则()2222222111111111x x x f x x x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+=+= ⎪+++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∴()()()111320192322019f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()12018201822f f ⎡⎤⎛⎫=⨯+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 【点睛】本题主要考查求函数解析式，以及求函数值的问题，熟记待定系数法求解析式即可，属于常考题型. 20．已知圆22:4O x y +=和点()1,M a .（1）若3a =，求过点M 作圆O 的切线的切线长； （2）若过点M 有且只有一条直线与圆O 相切，求实数a 的值，并求出切线方程.【答案】（12）a =切线方程为40x +-=或a =切线方程为40x --=.【解析】（1）求出点到圆心的距离，根据切线长公式即可得解；（2）过点过点M 有且只有一条直线与圆O 相切，说明该点在圆上，即可求出实数a 的值，根据切线公式即可得到切线方程. 【详解】（1）若3a =，则点(1,3)M .点(1,3)M 与圆心(0,0)O 的距离为||OM ==所以切线长为l ===（2）由题意知点M 在圆O 上， 所以2214a +=，解得a =当a =点M ，根据点在圆上的切线公式可知切线方程为4x +=（或者OM k =切线的斜率为斜式得到切线方程）， 当a =(1,M 切线方程为(4x y +=.因此，所求的切线方程为40x +-=或40x -=.【点睛】此题考查根据直线与圆相切求解相关问题，涉及切线段长度，过圆上一点求切线方程，考查基本公式的应用. 21．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，12AB AA ==，AC =3BC =，M ，N分别为11B C 、1AA 的中点．（1）求证：平面1ABC ⊥平面11AAC C ；（2）求证：//MN 平面1ABC ，并求M 到平面1ABC 的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，5【解析】试题分析：（1）由勾股定理，得出AB AC ⊥，再根据1AA ⊥平面ABC ，利用线面垂直的判定定理，证得AB ⊥平面11AAC C ，即可证明平面1ABC ⊥平面11AAC C ；（2）取1BB 中点D ，∵M 为11B C 中点，∴1//MD BC ，又N为1AA 中点，四边形11ABB A 为平行四边形，∴//DN AB ，即可得出平面//MND 平面1ABC ，进而得出//MN 平面1ABC ，进而即可求解M 到平面1ABC 的距离．试题解析：证明：（1）∵222AB AC BC +=，∴AB AC ⊥， 又1AA ⊥平面ABC ，∴1AA AB ⊥，又1AC AA A ⋂=，∴AB ⊥平面11AAC C ，∵AB ⊂平面1ABC ，∴平面1ABC ⊥平面11AAC C ． （2）取1BB 中点D ，∵M 为11B C 中点，∴1//MD BC ， 又N 为1AA 中点，四边形11ABB A 为平行四边形，∴//DN AB ，又MD DN D ⋂=， ∴平面//MND 平面1ABC ．∵MN ⊂平面MND ，∴//MN 平面1ABC ．∴N 到平面1ABC 的距离即为M 到平面1ABC 的距离． 过N 作1NH AC ⊥于H ，∵平面1ABC ⊥平面11AAC C ，∴NH ⊥平面1ABC ，∴11111125522AA AC NH AC ⨯⨯=⨯=⨯=．∴点M 到平面1ABC 的距离为5．（或由等体积法可求）【考点】线面位置关系的判定与证明；点到直线的距离． 【方法点晴】本题主要考查了直线与平面的位置关系的判定与证明、点到直线的距离，其中解答中涉及到直线与平面的判定定理、勾股定理、点到直线的距离，直线与平面平行的判定等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中熟记线面位置关系的判定与证明，以及转化思想是解答的关键． 22．已知函数1()( 2.718)x x e f x e e a-=≈+在R 上是奇函数.（1）求实数a 的值；（2）判断函数()f x 的单调性，并用定义证明；（3）求满足不等式1log (2)04m f f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭的m 的取值范围.【答案】（1）1a =（2）函数()f x 在R 上为增函数，证明见解析，（3）10,(1,)2⎛⎫⋃+∞⎪⎝⎭【解析】（1）根据奇函数有()()f x f x -=-恒成立，化简求解； （2）利用定义法，作差求证函数单调递增； （3）结合奇偶性和单调性，将不等式等价转化为1log (2)4m f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，只需求解1log 24m <.【详解】（1）∵函数()f x 在R 上是奇函数， ∴()()f x f x -=-，∴e 1e 1e e x x x x a a----=-++，化简后得22a =，1a =. （2）设1x ，2x 为任意两个实数，且12x x <，则12x x e e <，∴()()()()()12121212122e e e 1e 10e 1e 1e 1e 1x x x x x x x x f x f x ----=-=<++++，∴()()12f x f x <， ∴函数()f x 在R 上为增函数， （3）∵函数()f x 为奇函数， ∴111log (2)0log (2)0log (2)444m m m f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-<⇒-<⇒< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又函数()f x 在R 上单调递增，∴1log 24m<. 当1m 时，214m >，∴1m ， 当01m <<时，214m <，∴102m <<， 综上m 的取值范围为10,(1,)2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】此题考查根据奇偶性求参数，用定义证明单调性，根据奇偶性和单调性求解不等式，涉及转化与化归思想，综合性较强.。