14.1三角形三边关系1课件
课堂小结
1.三角形的概念 三角形的概念 2.三角形的九要素 三角形的九要素 3.三角形的表示方法 三角形的表示方法 4.三角形按边分类 三角形按边分类 5.三角形三边之间的关系 三角形三边之间的关系
P69 2,3
练一练
1、五条线段的长分别为1cm,2cm,3cm,4cm,5cm, 、五条线段的长分别为 以其中三条线为边长可以构成________个三角形 3 个三角形. 以其中三条线为边长可以构成 个三角形
2、3、4，2、4、5，3、4、5
2、如果等腰三角形的一边长是4cm,另一边长是 、如果等腰三角形的一边长是 另一边长是 22cm 9cm,则这个等腰三角形的周长 则这个等腰三角形的周长=______________. 则这个等腰三角形的周长 3、如果等腰三角形的一边长是5cm,另一边长是 、如果等腰三角形的一边长是 另一边长是 或 8cm,则这个等腰三角形的周长 18cm或21cm 则这个等腰三角形的周长=______________. 则这个等腰三角形的周长 三边长为：5、5、8和8、8、5
于是我们可以把三角形按照三边情况进行分类 不等边三角形 三角形按边分类 等腰三角形 等边三角形（ 等边三角形（三 边都相等的等腰 三角形） 三角形） 两边相等的等腰三 角形
已知：等腰三角形的周长是 已知：等腰三角形的周长是18cm，腰是 ， 底边长的2倍 求各边长. 底边长的 倍，求各边长
解：底边长为x cm，则腰为2x cm 2x+2x+x=18 解得：x=3.6 则腰为7.2 答：此三角形的各边长分别是7.2cm、 7.2cm、3.6cm
是否任意三条线段都可 以组成一个三角形呢？ 以组成一个三角形呢？
活动①现在我们从边的角度出发， 活动①现在我们从边的角度出发，来 研究三角形， 研究三角形，同学们分别从准备的木 棒中任意取三根来摆三角形， 棒中任意取三根来摆三角形，你们有 什么发现呢？ 什么发现呢？
蚂蚁从A到 的路线有那些 的路线有那些？ 蚂蚁从 到B的路线有那些？走那条路线最 近呢？为什么？ 近呢？为什么？
拓展与应用！ 拓展与应用！
草原上的四口油井， 草原上的四口油井， D 位于如图所示的A、 位于如图所示的 、 B、C、D四个位置， 、 、 四个位置， 四个位置 H′ H 现在要建立一个维 修站H， 修站 ，问H建在 建在 C B 何处， 何处，才能使它到 四个油井的距离之 1.你认为这个 应该在什么 你认为这个H应该在什么 你认为这个 和HA+HB＋ ＋ 位置？大胆设想！ 位置？大胆设想！ HC+HD为最小？ 为最小？ 为最小 2.到A、C距离和最小的 到 、 距离和最小的 说明理由。 说明理由。 点在哪儿？ 点在哪儿？到B、D? 、 A
路线1：从A到C再到B路线走 路线2：沿线段AB走 C
请问：路线1、路线2 请问：路线 、路线 那条路程较短， 那条路程较短，你能 说出你的根据吗？ 说出你的根据吗？ 两点之间线段最短
A B
由此可以得到： 由此可以得到： AC + BC
AB + BC > AC AC + AB > BC
> AB
你能用语言文字表述上述三角形的三边关系吗？ 你能用语言文字表述上述三角形的三边关系吗？
三角形中任何两边之和大于第三边
AC + BC > AB AB + BC > AC
AB − AC < BC
AC + AB > BC
BC − AB < AC
AC − BC < AB
三角形中任何两边之差小于第三边
已知：等腰三角形周长为 已知：等腰三角形周长为18cm，如果一边长等于 ，如果一边长等于4cm， ， 求另两边的长？ 求另两边的长？ 解：若底边长为4cm，设腰长为x cm，则有 2x+4=18 解方程的：x=7 若一条腰长为4cm，设底边长为x cm，则有 2×4+x=18 解得：x=10 因为4+4<10，所以，以4cm为腰不能构成三角形. 所以，三角形另来那个边长都是7cm
注：三角行三边有时可以用它所对角的相 应小写字母表示 边AB可记作c、 边AC可记作b、 边BC可记作a;
A
能你找出图中有哪些三角形？
图中有的三角形分别是： B △ABD、△ADC、△ABC
D
C
你能找出下列三角形各自的特点吗？ 你能找出下列三角形各自的特点吗？
不等边三角形
等腰三角形
等边三角形
三条边各不相等的三角形叫做不等边三角形 . 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等 的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫 做顶角，腰和底边的夹角叫做底角 三条边都相等的三角形叫做等边三角形．
14.1 三角形中的边角关系
第一课时 三边的关系
下图中有你熟悉的图形吗？
由不在同一直线上的三条 线段首尾依次相接所组成 的图形叫做三角形
观察思考 三角形有3个顶点、3条边、3个角
三角形的表Байду номын сангаас法 ∆ABC
如果三角形有九个要素，你能说 出三角形有哪九个要素吗？
A
c
b a
B
C
九 要 素
三顶点 A、B、C 、 、 三边 三角 AB、AC、BC 、 、 A、 B、 C 、 、
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华师大版数学八年级上册14.1.1直角三角形的三边关系 课件(共16张PPT)
证明1：
该图2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示意 图，取材于我国古代数学著作《勾股圆方图》。
大正方形的面积可以表示为 c2 ；
也可以表示为 (b a)2 4 1 ab
2
c a
b
∵ c2= (b a)2 4 1 ab
2
=b2-2ab+a2+ 2ab
c a
b
=a2+b2
c a
b
c a
我国家国之是一。最早早在了三千解多勾年前股，定理的 国国家家之之一一。早。在早三千在多三年千前，多年前，周 朝国家数之学一家。早商在高三千就多提年出前，，将一根直 尺国家折之成一一。早个在直三千角多，年如前，果勾等于三， 股国家等之于一四。早，在那三千么多弦年就前，等于五，即 “国家勾之三一、。早股在四三千、多弦年五前，”，它被记 载国家于之我一国。早古在代三千著多名年的前，数学著作 《国家周之髀一算。早经在》三千中多。年前
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b,
斜边为c，那么 a2+b2=c2
a
c
b
即 ：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
在西方又称毕达 哥拉斯定理！
弦 勾
股
勾
股
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为 "勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形 较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”， 斜边称为“弦”.
；
②若c= 10，b = 8，则a = .
③若a=2，c=6，则b=
。
2、若一个直角三角形的三边长分别
为3，4， x，则x＝
三角形三边关系ppt课件
高层建筑 高层建筑的结构设计中，经常采用三角形支撑结 构，利用三角形三边关系来增强建筑的稳定性和 抗风能力。
建筑设计软件 现代建筑设计软件中集成了三角形三边关系的计 算功能，帮助建筑师快速准确地完成设计。
地理测量中距离计算
三角测量法
01
在地理测量中，利用三角形三边关系和已知的两个角度或两条
边长，可以计算出未知的距离或角度。
04
与三角形三边关系相关的数学定理
勾股定理及其逆定理
01
02
03
勾股定理
在直角三角形中，直角边 的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边满足勾 股定理，则这个三角形是 直角三角形。
应用举例
通过勾股定理可以判断一 个三角形是否为直角三角 形，以及求解直角三角形 的未知边长。
余弦定理及其推论
特殊情况下的三边关系
等边三角形
三边长度相等，任意两边之和等 于两倍的第三边，任意两边之差
等于0。
等腰三角形
有两边长度相等，这两边之和大于 第三边，同时这两边之差等于0。
直角三角形
满足勾股定理，即直角边的平方和 等于斜边的平方。同时也满足任意 两边之和大于第三边和任意两边之 差小于第三边的条件。
03
三角形三边关系应用举例
判断三条线段能否构成三角形
定理应用：任意两边之和大于第三边，任 意两边之差小于第三边。
实例分析：如线段a=3cm, b=4cm, c=5cm，因为a+b>c, a+c>b, b+c>a， 所以能构成三角形。
2. 验证是否满足定理条件。
判断步骤 1. 测量或计算三条线段的长度。
余弦定理
在任意三角形中，任意一 边的平方等于其他两边平 方和减去这两边与它们夹 角的余弦的积的两倍。
建筑设计软件 现代建筑设计软件中集成了三角形三边关系的计 算功能，帮助建筑师快速准确地完成设计。
地理测量中距离计算
三角测量法
01
在地理测量中，利用三角形三边关系和已知的两个角度或两条
边长，可以计算出未知的距离或角度。
04
与三角形三边关系相关的数学定理
勾股定理及其逆定理
01
02
03
勾股定理
在直角三角形中，直角边 的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边满足勾 股定理，则这个三角形是 直角三角形。
应用举例
通过勾股定理可以判断一 个三角形是否为直角三角 形，以及求解直角三角形 的未知边长。
余弦定理及其推论
特殊情况下的三边关系
等边三角形
三边长度相等，任意两边之和等 于两倍的第三边，任意两边之差
等于0。
等腰三角形
有两边长度相等，这两边之和大于 第三边，同时这两边之差等于0。
直角三角形
满足勾股定理，即直角边的平方和 等于斜边的平方。同时也满足任意 两边之和大于第三边和任意两边之 差小于第三边的条件。
03
三角形三边关系应用举例
判断三条线段能否构成三角形
定理应用：任意两边之和大于第三边，任 意两边之差小于第三边。
实例分析：如线段a=3cm, b=4cm, c=5cm，因为a+b>c, a+c>b, b+c>a， 所以能构成三角形。
2. 验证是否满足定理条件。
判断步骤 1. 测量或计算三条线段的长度。
余弦定理
在任意三角形中，任意一 边的平方等于其他两边平 方和减去这两边与它们夹 角的余弦的积的两倍。
2022秋八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理1直角三角形三边的关系__认识勾股定理授课课
解： 根据勾股定理， 可得
长度，可以求出第三 边的长度.
AB2 + BC2 = AC2. 所以 AC = A B 2 ＋ B C 26 2 ＋ 8 2 1 0 .
知1－讲
例2 在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a， b，c， ∠C＝90°. (1)已知a＝3，b＝,4，求c； (2)已知c＝13，a＝12，求b； (3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b（结果保留根号）.
知1－导
要点精析： (1)勾股定理揭示的是直角三 角形的三边的平方关系， 只有在直角三角形中才可 以使用勾股定理； (2)勾股定理的内容描述的是直角三角形三边之间的 数量关系，已知其中任意两边可以求出第三边； (3)勾股定理的变形公式：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2； (4) 运用勾股定理，若分不清 哪条边是斜边时，则要 分 类讨论，写出所有可能的 情况，以免漏解或解 ．
知1－讲
利用勾股定理求直角三角形边长的方法：一般 都要经过“一分二代三化简”这三步：即一分：分 清哪条边是斜边、哪些是直角边；二代：代入a2＋b2 ＝c2及两边之间的关系式；三化简．
知1－讲
例1 在Rt△ABC中，已知∠B＝90°, AB=6,BC=8.
求AC.
应用勾股定理，由直
角三角形任意两边的
知1－讲
例3 已知直角三角形的两边长分别为3，4，求第 三边的长．
错解：第三边的长为 32＋ 42 255. 错解分析：由于习惯了“勾三股四弦五”的说法，因此
将题意理解为两直角边长分别为3和4，于是 斜边长为5.但这一理解的前提是3，4为直角 边长，而题中并没有任何说明，因而所求的 第三边长可能为斜边长，也可能为直角边 长．所以需要分情况求解．
正方形R的面积=
《直角三角形三边的关系》课件
活动一
A
观察左图： （1）正方形P的面积是 R 1 平方厘米。
P
C Q B
（2）正方形Q的面积是
（3）正方形R的面积是
1
2
平方厘米。
平方厘米。
SP+SQ=SR
（图中每一格代表一平方厘米）
上面三个正方形的 面积之间有什么关 系？
Sp=AC2
SQ=BC2
SR=AB2
等腰直角三角形ABC三边长度之 间存在什么关系吗？
AC2+BC2=AB2
想一想
这说明在等腰直角三角形ABC中,两
直角边的平方和等于斜边的平方
那么,在一般的直角三角形中,两直角边 的平方和是否等于斜边的平方呢?
A
P的面 Q的面 R的面 积(单位 积(单位 积(单位 长度) 长度) 长度)
Q
C
R
B
图2 图3
9 9
16 4
25 13
P
图2
A
R P
图3 B
52+122=132
在右图(书本 109页做一做)的方 格图中，用三角尺 化出两条直角边分 别为５cm、12cm 的直角三角形，然 后用刻度尺量出斜 边，并验证刚才得 到的直角三角形三 边的关系是否成立。
13
12
５ (每一小格代表１平方厘米)
勾股定理(毕达哥拉斯定理) （gou－gu theorem）
如果直角三角形两直角 边分别为a，b，斜边为c， 那么
a 勾
弦 c
a b c
2
2
2
股 b
即直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方.
赵爽弦图
c b
a
证明：s总=4s1+s2
14.1.1 直角三角形三边的关系
b股
a2 b2 c2
勾股定理（gou-gu theorem)
即 直角三角形两直角边的平 方和等于斜边的平方。
在西方又称毕 达哥拉斯定理！
毕达哥拉斯
在国外，相传勾股定理 是公元前500多年时古 希腊数学家毕达哥拉斯 首先发现的。因此又称 此定理为“毕达哥拉斯 定理”。法国和比利时 称它为“驴桥定理”， 埃及称它为“埃及三角 形”等。但他们发现的 时间都比我国要迟得多。
（3）已知：b、c，求a? (a c2 b2 )
2、设未知数（如x、y等），用勾股定理建立方
程，求出未知数的值？
?
当堂练习
想 小明的妈妈买了一部29英寸（74 一 厘米）的电视机。小明量了电视机的 想 屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46
厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。 你能解释这是为什么吗？
青 入
朱朱
朱方 出出
朱朱入入 青入
青出
华罗庚
1
1
美丽的勾股树
你能运用勾股定理的知识解决实际
生活中的问题吗?
主要运用： 1、在直角三角形中，已知任意两边，求第三边？ (设a、b为直角边、c为斜边) （1）已知：a、b，求c?
（ c2=a2＋b2
c= a2 b2
）
（2）已知：a、c，求b? (b c2 a2 )
熟记常见的几组勾股数
（1）3、4、5； （2）6、8、10； （3）5、12、13； （4）8、15、17； （5）7、24、25 （6）9、12、15
总统证法
a
c
b
cb a
• 1876年4月1日，伽菲尔 德在《新英格兰教育日 志》上发表了他对勾股 定理的这一证法。
• 1881年，伽菲尔德就任 美国第20任总统。后来， 人们为了纪念他对勾股 定理直观、简捷、易懂、 明了的证明，就把这一 证法称为“总统证法”。
a2 b2 c2
勾股定理（gou-gu theorem)
即 直角三角形两直角边的平 方和等于斜边的平方。
在西方又称毕 达哥拉斯定理！
毕达哥拉斯
在国外，相传勾股定理 是公元前500多年时古 希腊数学家毕达哥拉斯 首先发现的。因此又称 此定理为“毕达哥拉斯 定理”。法国和比利时 称它为“驴桥定理”， 埃及称它为“埃及三角 形”等。但他们发现的 时间都比我国要迟得多。
（3）已知：b、c，求a? (a c2 b2 )
2、设未知数（如x、y等），用勾股定理建立方
程，求出未知数的值？
?
当堂练习
想 小明的妈妈买了一部29英寸（74 一 厘米）的电视机。小明量了电视机的 想 屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46
厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。 你能解释这是为什么吗？
青 入
朱朱
朱方 出出
朱朱入入 青入
青出
华罗庚
1
1
美丽的勾股树
你能运用勾股定理的知识解决实际
生活中的问题吗?
主要运用： 1、在直角三角形中，已知任意两边，求第三边？ (设a、b为直角边、c为斜边) （1）已知：a、b，求c?
（ c2=a2＋b2
c= a2 b2
）
（2）已知：a、c，求b? (b c2 a2 )
熟记常见的几组勾股数
（1）3、4、5； （2）6、8、10； （3）5、12、13； （4）8、15、17； （5）7、24、25 （6）9、12、15
总统证法
a
c
b
cb a
• 1876年4月1日，伽菲尔 德在《新英格兰教育日 志》上发表了他对勾股 定理的这一证法。
• 1881年，伽菲尔德就任 美国第20任总统。后来， 人们为了纪念他对勾股 定理直观、简捷、易懂、 明了的证明，就把这一 证法称为“总统证法”。
1勾股定理(第1课时)(教学PPT课件(华师大版))28张
正方形中小方格的个数，你有什么猜想？
1955年希腊发行的一枚纪念邮票.
讲授新课
知识点一 直角三角形三边的关系
视察正方形瓷砖铺成的地面.
（1）正方形P的面积是
1
（2）正方形Q的面积是
1
平方厘米；
（3）正方形R的面积是
2
平方厘米.
平方厘米；
上面三个正方形的面积之间有什么关系？
等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？
程.
b
a
b
a
c
c
b
c
c
a
a
b
讲授新课
证明：大正方形的面积=(a+b)2.
四个个全等的直角三角形和小正方形的面积
1
2
2
之和= 4 ab c 2ab c .
2
b
由题可知(a+b)2=2ab+c2，
a
c
化简可得a2+b2=c2.
我们利用拼图的方法，将形的问题
与数的问题结合起来，再进行整式
A的面积
B的面积
C的面积
左图
4
9
13
右图
16
9
25
结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
SA+SB=SC
讲授新课
猜想:两直角边a、b与斜边 c 之间的关系？
A
a
B b
c
a2+b2=c2
C
讲授新课
概念总结
由上面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两
数学（华东师大版）
八年级 上册
第14章 勾股定理
1955年希腊发行的一枚纪念邮票.
讲授新课
知识点一 直角三角形三边的关系
视察正方形瓷砖铺成的地面.
（1）正方形P的面积是
1
（2）正方形Q的面积是
1
平方厘米；
（3）正方形R的面积是
2
平方厘米.
平方厘米；
上面三个正方形的面积之间有什么关系？
等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？
程.
b
a
b
a
c
c
b
c
c
a
a
b
讲授新课
证明：大正方形的面积=(a+b)2.
四个个全等的直角三角形和小正方形的面积
1
2
2
之和= 4 ab c 2ab c .
2
b
由题可知(a+b)2=2ab+c2，
a
c
化简可得a2+b2=c2.
我们利用拼图的方法，将形的问题
与数的问题结合起来，再进行整式
A的面积
B的面积
C的面积
左图
4
9
13
右图
16
9
25
结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
SA+SB=SC
讲授新课
猜想:两直角边a、b与斜边 c 之间的关系？
A
a
B b
c
a2+b2=c2
C
讲授新课
概念总结
由上面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两
数学（华东师大版）
八年级 上册
第14章 勾股定理
14.1勾股定理——直角三角形三边的关系
2
Z=625-576=49 Z=7
③
已知S1=1,S2=3,S3=2,S4=4,求S5、S6、S7的值
S2 S1 S5
S3
S4
S6
S7
结论:
S1+S2+S3+S4 =S5+S6 =S7
做一做：
A
625
P
C
B
400
P的面积 =___2_2__5________ AB=_2__5_______ BC=__2_0_______
B
D
练习
1. 在Rt△ＡＢＣ中， ＡＢ＝c， ＢＣ＝a， AC＝b， ∠B＝ 90°．
（1） 已知a＝6， b＝10， 求c；
（2） 已知a＝24， c＝25， 求b．
2. 如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米， 那么这个三角形的周长是多少厘米?
3.小波家买了一部新彩电,小波量了电视机的屏幕后，发现 屏幕长58厘米和宽46厘米，就问妈妈彩电是多少英寸,妈妈 告诉他: “我们平常所说的电视机多少英寸指的是屏幕对角 线的长度,1英寸等于2.54厘米,利用你所学的知识算一下电 视机是多少英寸的?”
正方形R的面积＝ 25 平方厘米．
正方形P、 Q、 R的面积之间的关系
是
SP+ SQ= SR
．
（每一小方格表示1平方厘米） 直角三角形ＡＢＣ的三边的长度之间
分“割”成若存干在个关系直A角C边2+RBC212=AB32 4 4．1 为在整一般数的直的角三三角角形中形，两。直角边的平方和等于斜边的平2方5也成立！
？
2.16
解 在Rt△ＡＢＣ中， ＢＣ＝２.１６米，ＡＣ＝５.４１米， 根据勾股定理可得 ＡＢ＝ AC2 －ＢＣ 2 ＝ ５４. １ 2 －２１. ６ 2 ≈４.９６（米）． 答： 梯子上端A到墙的底边的垂直距离 ＡＢ 约为4.96米．
Z=625-576=49 Z=7
③
已知S1=1,S2=3,S3=2,S4=4,求S5、S6、S7的值
S2 S1 S5
S3
S4
S6
S7
结论:
S1+S2+S3+S4 =S5+S6 =S7
做一做：
A
625
P
C
B
400
P的面积 =___2_2__5________ AB=_2__5_______ BC=__2_0_______
B
D
练习
1. 在Rt△ＡＢＣ中， ＡＢ＝c， ＢＣ＝a， AC＝b， ∠B＝ 90°．
（1） 已知a＝6， b＝10， 求c；
（2） 已知a＝24， c＝25， 求b．
2. 如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米， 那么这个三角形的周长是多少厘米?
3.小波家买了一部新彩电,小波量了电视机的屏幕后，发现 屏幕长58厘米和宽46厘米，就问妈妈彩电是多少英寸,妈妈 告诉他: “我们平常所说的电视机多少英寸指的是屏幕对角 线的长度,1英寸等于2.54厘米,利用你所学的知识算一下电 视机是多少英寸的?”
正方形R的面积＝ 25 平方厘米．
正方形P、 Q、 R的面积之间的关系
是
SP+ SQ= SR
．
（每一小方格表示1平方厘米） 直角三角形ＡＢＣ的三边的长度之间
分“割”成若存干在个关系直A角C边2+RBC212=AB32 4 4．1 为在整一般数的直的角三三角角形中形，两。直角边的平方和等于斜边的平2方5也成立！
？
2.16
解 在Rt△ＡＢＣ中， ＢＣ＝２.１６米，ＡＣ＝５.４１米， 根据勾股定理可得 ＡＢ＝ AC2 －ＢＣ 2 ＝ ５４. １ 2 －２１. ６ 2 ≈４.９６（米）． 答： 梯子上端A到墙的底边的垂直距离 ＡＢ 约为4.96米．
直角三角形的三边关系ppt
数学上可以说明： c b 对于任意的直角三角形， 如果它的两条直角边分别 a 为a、b，斜边为c，那么一定有 • a2+b2=c2 • 这种关系我们称为勾股定理 • 勾股定理 直角三角形两直角边的平 方和等于斜边的平方.
• ∟
勾股定理
a b c
2 2
2
b
a
c 2 2 2 2 2 a c b ， a c b 2 2 2 2 2 b c a ，b c a 2 2 2 2 2 c a b ，c a b
a b c
5
3 4 5
10 15 20 — 5n 5 7 9 11 — 12 24 40 60 — 13 25 41 61 —
从表1、2中你 发现了什么规 律？你能根据 发现的规律写 出的更多的勾 股数吗？
勾股定理
9周四作业：（P55）习题14.1 2. 已知△ＡＢＣ中，∠B＝90°， AC＝13cm， ＢＣ＝5 cm,求ＡＢ的长． 3. 已知等腰直角三角形斜边的长为2cm， 求这个三角形的周长．
40 30
思考
勾股定理
是不是所有的三角形的三边都符合 勾股定理？ 如果不是，那么勾股定理是针对哪一 类三角形 而言的 ?
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
实际应用 勾股定理
如图所示，一棵大树在一次强烈的地震 中于离地面10米处折断倒下，树顶落在 离树根24米处.大树在折断之前高多少？
10
解：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°， AB=10米，BC=24米， 利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为 AC ＋ AB = 26＋10＝36（米）. 所以，大树在折断之前高为36米.
AC=12， BC=5,
根据勾股定理得：
• ∟
勾股定理
a b c
2 2
2
b
a
c 2 2 2 2 2 a c b ， a c b 2 2 2 2 2 b c a ，b c a 2 2 2 2 2 c a b ，c a b
a b c
5
3 4 5
10 15 20 — 5n 5 7 9 11 — 12 24 40 60 — 13 25 41 61 —
从表1、2中你 发现了什么规 律？你能根据 发现的规律写 出的更多的勾 股数吗？
勾股定理
9周四作业：（P55）习题14.1 2. 已知△ＡＢＣ中，∠B＝90°， AC＝13cm， ＢＣ＝5 cm,求ＡＢ的长． 3. 已知等腰直角三角形斜边的长为2cm， 求这个三角形的周长．
40 30
思考
勾股定理
是不是所有的三角形的三边都符合 勾股定理？ 如果不是，那么勾股定理是针对哪一 类三角形 而言的 ?
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
实际应用 勾股定理
如图所示，一棵大树在一次强烈的地震 中于离地面10米处折断倒下，树顶落在 离树根24米处.大树在折断之前高多少？
10
解：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°， AB=10米，BC=24米， 利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为 AC ＋ AB = 26＋10＝36（米）. 所以，大树在折断之前高为36米.
AC=12， BC=5,
根据勾股定理得：
直角三角形三边的关系导学课件华东师大版八年级数学上册
2 22
2
(a＋b)2 c2＋2ab
整个图形面积等于不
,
2
2
重叠、无空隙的各组
即a2+b2=c2.
成部分的面积的和.
感悟新知
3-1. 如图， 写出字母所代表的正方形的面积：SA= 625 ______1，44SB= ______.
感悟新知
3-2. (1)观察图① ②并填写下表(图中每个小方格的边长为1).
图① 图②
A的 面积
16 4
B的 面积
9 9
C的 面积
25 13
感悟新知
(2)三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？ 解：三个正方形A，B，C的面积之间的关系为SA＋SB＝SC.
(3)三个正方形围成的一个直角三角形的三边长之间存在什 么关系？ 三个正方形围成的一个直角三角形的三边长之间的关 系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
感悟新知
解题秘方：紧扣“总体面积等于各部分面积之和” 进行验证. 方法点拨：通过拼图，利用求面积来验证，这种方 法以数形转换为指导思想，以图形拼补为手段，以 各部分面积之间的关系为依据而达到目的.
感悟新知
证明：由题知C′D′=a，AD′=b.
∵四边形BCC′D′为直角梯形，
∴ S 梯形BCC′D′=
方法
加菲尔 德总 统拼图
毕达哥 拉斯 拼图
图形
证明
设梯形的面积为S，则S= 1
(a+b)(a+b)= 1 a2+ 1 b2+ab.2又
1
12
S= ∴
2 ab+ 2 ab+ a2+b2=c2
1 2
c22=
1 2
+14.1.1第1课时+勾股定理+课件++2024—2025学年华东师大版数学八年级上册
上述这种验证勾股定理的方法是面积法.
小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合 起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理.
巩固练习
1.画出两条直角边分别为5cm、12cm为直角三角形，然 后用刻度尺量出斜边的长度，并验证上述关系对这个直 角三角形是否成立.
解：如图.
A
13 5
C
Hale Waihona Puke 12B巩固练习
角形三 边关系
BC2 + AC2 = AB2
掌握新知
分析：
方法1：把 R 看作是四个直角三角形的面积+ 小正方形面积. 方法2：把 R 看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积.
R Q
P
R
Q
P
R Q
P
R
Q
P
掌握新知
小结： 由前面的探索可以发现： 对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别 为 a、b，斜边为 c，那么一定有a2 + b2 = c2. 勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 几何语言： ∵ 在 Rt△ABC 中 ，∠C = 90°， ∴ a2 + b2 = c2（勾股定理）.
3.勾股定理的变形公式：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2.
巩固练习
例2 如图是赵爽弦图的示意图，它由4个全等的直角
三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方. 其中： S大正方形＝c2
c b
S小正方形＝(b-a)2 S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形
a b-a
即 c2=4×1 ab+(b-a)2, 2
c2=2ab+a2-2ab+b2
所以 a2+b2=c2