二重积分的应用
二重积分的社会和人文科学应用
二重积分的社会和人文科学应用二重积分是高等数学中的一种重要概念，它广泛应用于自然科学和工程技术领域。
但是很少有人知道，它在社会和人文科学领域中也有着重要的应用。
本文将探讨二重积分在社会科学和人文科学中的应用。
一、地理学地理学中的许多问题都可以用二重积分来解决。
例如某个地区的人口密度可以通过在该区域内二重积分该区域的人口数量和面积得出。
在地质领域中，可以通过区域内的岩石类型和厚度等因素进行二重积分，来估计该区域下方地层的密度和厚度。
二、经济学经济学中的许多问题都需要用到积分。
例如经济学家可以通过二重积分估计一个国家或地区的国内生产总值。
还可以使用二重积分来计算两个城市之间的流动性，以及某个城市内的部分人群的收入，等等。
三、心理学心理学中的许多问题也可以用到积分。
例如精神科医生可以使用二重积分来计算某个患者在一定时间内的心理状态的变化。
还可以使用二重积分来估计一个人身体健康状况的变化。
四、社会学社会学中的许多问题都需要用到积分。
例如社会学家可以通过二重积分来估计一个国家或地区的犯罪率。
还可以使用二重积分来计算一个城市或地区内的种族和阶级的分布情况，等等。
五、语言学虽然二重积分不像其他学科那样是重要的工具，但它在语言学领域中也有着应用。
例如一些语言学家可以通过二重积分估计两个不同语言的相似性程度；另外一些人则使用二重积分计算语言的种类和它们的分布情况等。
总之，二重积分不仅仅局限于自然科学和工程技术领域，它在社会和人文科学领域中也有着重要的应用。
然而，我们必须承认，这些应用对于绝大部分人来说并不直观，除非你恰好是相关学科领域的专家，不然很难想象到二重积分对某个具体问题的应用。
因此，我们需要更多的交叉科学研究，才能发现二重积分在其他领域中的更广泛应用，为实际问题的解决提供帮助。
二重积分的计算方法及应用
二重积分的计算方法及应用二重积分是微积分中重要的计算方法之一，它用于计算二元函数在平面区域上的累积效应。
本文将介绍二重积分的计算方法和其在实际问题中的应用。
一、二重积分的计算方法1. 矩形区域上的二重积分计算当被积函数在矩形区域上有明显的解析表达式时，可以使用矩形区域的特点进行计算。
首先，将矩形区域划分成小矩形，计算每个小矩形上函数值的加权累计，然后将这些小矩形的累加值相加得到最终结果。
2. 极坐标下的二重积分计算在某些情况下，函数的表达式在直角坐标下很难处理，但在极坐标下却具有较简单的形式。
对于极坐标下的二重积分计算，我们需要根据被积函数的性质选择适当的极坐标变换，并利用极坐标系下的面积微元进行计算。
3. 变量替换法变量替换是一种常用的二重积分计算方法。
通过引入新的变量替换原有的积分变量，可以简化被积函数的形式，使问题变得更易处理。
变量替换法的关键在于选择合适的变换关系，并确定新的积分范围。
4. 利用对称性简化计算当被积函数具有一定的对称性时，我们可以利用对称性简化计算。
例如，如果被积函数关于某个坐标轴对称，可以将积分区域关于对称轴进行映射，再利用对称性将两边的积分结果相等。
二、二重积分的应用1. 物理学中的应用二重积分在物理学中有广泛的应用。
例如，通过对平面区域上的力场进行二重积分计算，可以求解物体的质心、转动惯量等物理量。
二重积分还可以用于计算电场、磁场等物理场的分布情况。
2. 统计学中的应用统计学中的某些问题可以通过二重积分来求解。
例如，在概率密度函数已知的情况下，可以通过二重积分计算随机变量落在某一区域内的概率。
这在统计推断和假设检验中有着重要的应用。
3. 经济学中的应用在经济学中，二重积分可以用于计算产量、收入、消费等指标。
通过对经济模型中的生产函数或效用函数进行二重积分计算，可以分析经济变量之间的相互作用关系。
4. 工程学中的应用工程学中常常需要对平面区域上的物理量进行计算和分析。
二重积分求导的原理及应用
二重积分求导的原理及应用一、二重积分求导的原理在微积分中，二重积分是求解给定区域上的函数值的一种重要方法。
在对二重积分进行求导时，需要了解其原理。
二重积分的求导可以通过两种方法进行：一种是直接对积分进行求导，另一种是通过对被积函数进行求导再进行积分。
直接对积分进行求导直接对二重积分进行求导时，需要使用对Leibniz积分符号求导的方法进行计算。
假设有一个二重积分$$ I = \\int_{a}^{b} \\int_{c}^{d} f(x,y) \\, dx \\, dy $$我们可以将其看作两个积分的复合，即$$ I = \\int_{c}^{d} \\left( \\int_{a}^{b} f(x,y) \\, dx \\right) \\, dy $$然后对内层积分进行求导，最后再对外层积分进行求导，即可得到二重积分的导数。
对被积函数进行求导再进行积分另一种求解二重积分导数的方法是对被积函数进行求导再进行积分。
假设有一个二重积分$$ I = \\int_{a}^{b} \\int_{c}^{d} f(x,y) \\, dx \\, dy $$我们先对函数f(x,y)进行求导，得到其偏导数$\\frac{\\partial f}{\\partial x}$和$\\frac{\\partial f}{\\partial y}$，然后再对其进行积分。
二、二重积分求导的应用二重积分求导在许多实际问题中有广泛的应用，以下列举了一些常见的应用。
1. 面积计算二重积分求导可以用于计算给定区域的面积。
假设有一个平面区域D，可以通过计算该区域上的一个常数函数的二重积分来得到该区域的面积。
即$$ A = \\int_{a}^{b} \\int_{c}^{d} 1 \\, dx \\, dy $$其中，A表示区域D的面积。
2. 质量计算二重积分求导也可以用于计算给定区域上的质量。
假设有一个平面区域D，其密度函数为$\\rho(x,y)$，可以通过计算该区域上密度函数的二重积分来得到该区域的质量。
二重积分的物理应用
二重积分的物理应用
二重积分的物理应用有很多种，主要是在计算物理量时使用。
以下是其中几个具体的应用：
1.计算质量和重心：对于一个平面区域，可以通过二重积分计算它的质量和重心。
这对于计算物体的重心和平衡点等是非常重要的。
2.计算电荷密度：在电学中，电荷密度是一个非常重要的物理量。
通过二重积分，可以计算平面区域内电荷的分布情况和电荷密度。
3.计算磁通量：在电磁学中，磁通量也是一个非常重要的物理量。
通过二重积分，可以计算平面区域内磁场的强度和磁通量。
4.计算流量：在流体力学中，流量是一个非常重要的物理量。
通过二重积分，可以计算平面区域内液体或气体的流量和对应的速度场。
5.计算功率和能量：在物理学中，功率和能量是非常重要的物理量。
通过二重积分，可以计算平面区域内电场、磁场、重力场等的能量和功率。
综上所述，二重积分在物理学中有着非常广泛的应用。
它不仅可以帮助我们计算各种重要的物理量，还可以帮助我们在实际问题中解决很多难题。
第八节二重积分应用举例
第八节二重积分应用举例一、二重积分在几何上的应用二、二重积分在物理上的应用12一、二重积分在几何上的应用1. 平面图形的面积由二重积分的性质可知，当(,)1f x y =时，二重积分1Dd σσ=⎰⎰表示平面区域D的面积．3例1 求由抛物线2y x =和直线2x y -=所围成的平面图形的面积．解如图所示．由22x y x y ⎧=⎨-=⎩解得11x y =⎧⎨=-⎩42x y =⎧⎨=⎩故所给两条曲线围成的区域D 可以表示为：12y -≤≤22y x y≤≤+222 1y y Ddxdy dy dx +-==⎰⎰⎰⎰2219(2)2y y dy -=+-=⎰4例2 求由抛物线2y x=和直线2y x =所围成的平面图形的面积．解如图所示．由22y x y x⎧=⎨=⎩解得00x y =⎧⎨=⎩22x y =⎧⎨=⎩故所给两条曲线围成的区域D 可以表示为：02x ≤≤22x y x≤≤222 0xx Ddxdy dx dy ==⎰⎰⎰⎰2204(2)3x x dx =-=⎰5即曲顶柱体的体积xyz),(y x f z =D⎰⎰=Dd y x f V),(2. 空间立体的体积由二重积分的几何意义知，当(, )0f x y ≥时，二重积分(, )Df x y dxdy⎰⎰的值等于以D 为底，以(, )z f x y =为曲顶的曲顶柱体的体积．由此可知，可以利用二重积分计算空间立体的体积．6例3.xyzRRo 解利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为:dxdy x R V D⎰⎰-=2282222R x R x dy--⎰228()RR x dx =-⎰3316R=22xR z -=⎩⎨⎧≤≤-≤≤∈00:),(22R x x R y D y x 08Rdx =⎰222Ry x =+222R z x =+求由圆柱面222x y R +=222R z x =+所围立体的体积。
与7例4.求由抛物面22z x y =+z h =所围立体的体积。
二重积分的计算与应用
二重积分的计算与应用二重积分是微积分中重要的计算工具之一，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将详细介绍二重积分的定义、计算方法和应用。
一、二重积分的定义二重积分是对二元函数在一个有界闭区域上的积分。
设函数f(x,y)在闭区域D上有定义，则二重积分的定义如下：∬D f(x,y) dA = lim Δσ→0 ∑ f(xi,yi) Δσ,其中D是平面上的一个有界闭区域，Δσ是D中的一个小面积，Δσ=ΔxΔy，xi和yi是Δσ的中点。
二、二重积分的计算方法1.直角坐标系中的二重积分直角坐标系中的二重积分可以通过重积分法进行计算，即首先对其中的一个变量积分，再对另一个变量积分。
2.极坐标系中的二重积分对于极坐标系中的二重积分，可以将二元函数表示为极坐标形式，再进行积分计算。
设D是在极坐标系下的一个有界闭区域，则有：∬D f(x,y) dA = ∫θ1^θ2 ∫r1^r2 f(rcosθ, rsinθ) r dr dθ,其中θ1和θ2是θ的取值范围，r1和r2是r的取值范围。
三、二重积分的应用二重积分在许多领域中都有广泛的应用，下面列举几个常见的应用。
1.面积计算二重积分可以用于计算平面区域的面积。
设D是平面上的一个有界闭区域，用f(x,y)=1表示D上每一点的函数，那么二重积分∬Df(x,y)dA就等于D的面积。
2.质量、质心和转动惯量二重积分可以用于计算平面物体的质量、质心和转动惯量。
设D是平面上的一个有界闭区域，其上的密度函数为ρ(x,y)，则二重积分∬Dρ(x,y)dA就等于D上物体的质量。
质心的坐标可以通过二重积分的计算得到，分别为Xc=∬Dxρ(x,y)dA/∬Dρ(x,y)dA，Yc=∬Dyρ(x,y)dA/∬Dρ(x,y)dA。
转动惯量的计算也可以类似地进行。
3.二维几何中心和弧长二重积分可以用于计算平面曲线的几何中心和弧长。
设曲线L由参数方程x=f(t)，y=g(t)表示，其中a≤t≤b，则曲线的几何中心的x坐标为Xc=1/L ∫a^b x(t) ds，y坐标为Yc=1/L ∫a^b y(t) ds，其中L=∫a^b √[f'(t)^2+g'(t)^2] dt。
二重积分计算方式
二重积分计算方式二重积分是微积分中的重要概念之一，用来求解平面上某个区域上的某个量的总和。
在本文中，我们将介绍二重积分的计算方式和应用。
一、二重积分的定义及性质二重积分是通过将一个二元函数在一个区域上进行积分来求解该区域上的某个量的总和。
在二重积分中，被积函数的两个自变量分别为x和y，积分区域为D。
1. 定义：设函数f(x,y)在区域D上有定义，D是xy平面上的一个有界闭区域，将D分成许多小区域，记作ΔD。
选取ΔD中任意一点(xi,yi)，作函数值f(xi,yi)与ΔDi的乘积f(xi,yi)ΔAi，其中ΔAi为ΔDi的面积。
如果极限$$\lim_{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f(xi,yi) \Delta Ai$$存在且与D和ΔD的选取无关，那么称此极限为函数f(x,y)在D上的二重积分，记作$$\iint_D f(x,y) dxdy$$2. 性质：二重积分具有线性性质和可加性质，即对于任意常数a和b，函数f(x,y)和g(x,y)，以及区域D和E，有以下性质：- 线性性质：$$\iint_D (af(x,y) + bg(x,y)) dxdy = a\iint_D f(x,y) dxdy + b\iint_D g(x,y) dxdy$$- 可加性质：$$\iint_{D \cup E} f(x,y) dxdy = \iint_D f(x,y) dxdy + \iint_E f(x,y) dxdy$$二、二重积分的计算方式在实际计算二重积分时，常常使用直角坐标系和极坐标系来简化计算。
1. 直角坐标系下的计算方式在直角坐标系下，二重积分的计算可以通过迭代积分来进行。
假设被积函数为f(x,y)，积分区域为D，可以将二重积分表示为以下形式：$$\iint_D f(x,y) dxdy = \int_a^b \int_{c(x)}^{d(x)} f(x,y) dy dx$$其中a和b为x的范围，c(x)和d(x)为y的范围。
二重积分几何意义平面
二重积分几何意义平面
摘要：
1.二重积分的概念和应用
2.二重积分的几何意义
3.二重积分在实际问题中的例子
4.如何理解和计算二重积分
正文：
二重积分是数学中一种重要的积分形式，它的几何意义在于可以看作是空间中各个局部区域内柱体体积的代数和。
在空间直角坐标系中，二重积分可以被看作是在xoy平面以上为正，而在xoy平面以下为负的各个部分区域上柱体体积的累加。
二重积分的几何意义使其在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在计算曲面面积、平面切片重心等方面，二重积分提供了有效的计算方法。
此外，二重积分还可以用于计算曲顶柱体的体积，只要知道被积函数f(x，y)所表示的某些特殊曲面和底面围成的曲顶柱体的体积公式，就可以通过二重积分来计算。
要理解和计算二重积分，首先需要掌握其几何意义。
在空间直角坐标系中，二重积分可以看作是各部分区域上柱体体积的代数和。
在xoy平面以上，柱体体积为正；在xoy平面以下，柱体体积为负。
这一理解有助于将二重积分问题转化为几何体积计算问题，从而简化计算过程。
此外，计算二重积分时还需要注意积分区域的选取。
合理的积分区域选取可以大大简化积分计算的复杂性。
通常，积分区域的选取需要满足两个条件：
一是区域内的被积函数f(x，y)要有界；二是积分区域要有足够的光滑性，以便进行积分计算。
总之，二重积分作为一种数学工具，在实际问题中具有广泛的应用。
掌握其几何意义和计算方法，可以帮助我们更好地解决实际问题。
在学习二重积分时，要注重理解其几何意义，合理选择积分区域，并将问题转化为几何体积计算问题，以简化计算过程。
二重积分的计算方法及其在面积质量等问题中的应用
二重积分的计算方法及其在面积质量等问题中的应用二重积分的计算方法及其在面积、质量等问题中的应用二重积分是微积分中重要的概念之一，广泛应用于各个领域，如物理学、经济学等。
本文将介绍二重积分的计算方法，并探讨其在面积、质量等问题中的应用。
一、二重积分的计算方法二重积分表示在平面上对一个二元函数在某个有限区域上的积分。
计算二重积分的方法主要有以下两种：直角坐标系下的二重积分和极坐标系下的二重积分。
1. 直角坐标系下的二重积分在直角坐标系下，二重积分的计算可以通过迭代积分来实现，即先对一个变量进行积分，再对另一个变量进行积分。
设有二元函数$f(x, y)$在区域$D$上连续，则该二重积分的计算公式如下：$$\iint_D f(x, y)dxdy$$其中，$D$表示积分区域。
具体计算过程如下：1) 将积分区域$D$投影到$xoy$平面得到$D'$，确定$D'$的边界方程；2) 写出$x$在$D'$上的范围表达式，如$a(x)\leq x \leq b(x)$；3) 对$x$进行积分，得到$y$的积分上、下限，即$c \leq y \leq d$；4) 得到二重积分的计算公式：$$\iint_D f(x, y)dxdy = \int_{a(x)}^{b(x)}\int_c^d f(x, y)dydx$$2. 极坐标系下的二重积分当积分区域具有较高的对称性时，采用极坐标系下的二重积分可以简化计算过程。
在极坐标系下，一个点的坐标由径向$r$和极角$\theta$表示。
设有二元函数$f(r, \theta)$，则该二重积分的计算公式如下：$$\iint_D f(r, \theta)r drd\theta$$其中，$D$表示换算后的积分区域。
具体计算过程如下：1) 将积分区域$D$由极坐标系给出，确定$r$的上、下限以及$\theta$的范围；2) 根据所给的积分区域，将被积函数$f(x, y)$转换为$f(r, \theta)$；3) 按照换元法，将直角坐标系下的被积函数$f(x, y)$转换为极坐标系下的被积函数$f(r, \theta)$；4) 利用换元后的公式计算二重积分：$$\iint_D f(x, y)dxdy = \iint_D f(r, \theta)r drd\theta$$通过以上两种计算方法，可以灵活地计算二重积分，适用于不同的问题需求。
高数二三重积分的应用
Ω Ω Ω
I x = ∫∫∫ ( y 2 + z 2 ) ρdv ,
Ω
I y = ∫∫∫ ( z 2 + x 2 ) ρdv ,
Ω
I z = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 ) ρdv ,
2y zy = , a
1+ z + z =
2 x 2 y
2x 2 y 1+ + a a
2
2
2 1 + z x + z 2 = 2, 由 z = 2a − x + y 知 y
2 2
1 2 a + 4 x2 + 4 y2 , = a
1 2 2 2 a + 4 x + 4 y dxdy + ∫∫ 2dxdy 故S = ∫∫ D xy a D xy
则 y = 0,
o
(0 < a < b)
y
a
b x
x=
∫∫ xρdσ
D
∫∫ ρdσ D
πρ 8 πρ 4
a cos θ
r cos θ ⋅ rdr
ρ⋅ D
=
(b3 −a 3 ) b 2 + ba + a 2 . = 2 2 (b −a ) 2(b + a )
1 2 πa a 2π 5π π 2 3 [ y( x )] dx = = 2 ∫0 ∫0 [1 − cos t ] dt = 6 . 6 πa 6π
所求形心坐标为 ( πa, 5 π ) . 6
例4、 求位于两圆 r = a cos θ , r = b cos θ 之间的均匀薄片的重心.
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§9.3 二重积分的应用
定积分应用的元素法也可推广到二重积分,使用该方法需满足以下条件： 1、所要计算的某个量对于闭区域
具有可加性(即:当闭区域分成许多小
闭区域时, 所求量相应地分成许多部分量,且)。
2、在内任取一个直径充分小的小闭区域时, 相应的部分量可近似地表示为 , 其中, 称为所求量的元素, 并记作。
(注: 的选择标准为:
是直径趋于零时较更高阶的无穷小量)
3、所求量可表示成积分形式
一、曲面的面积
设曲面由方程给出,为曲面在面上的投影区
域,函数在上具有连续偏导数和,现计算曲
面的面积。
U D D σd U U ∆∑∆=U U D σd U ∆σd y x f ),(σd y x ∈),(σd y x f ),(U ∆dU σd y x f ),(σd y x f U ),(-∆σd σd U U f x y d D
=⎰⎰(,)σ
S z f x y =(,)D xy S xoy f x y (,)D xy f x y x (,)f x y y (,)A
在闭区域
上任取一直径很小的闭区域(它的面积也记作),在
内取一点,对应着曲面上一点,曲面在点处的切平面设为。
以小区域的边界为准线作母线平行于
轴的柱面,
该柱面在曲面上截下一小片曲面,在切平面上截下一小片平面,由于的直径很小,那一小片平面面积近似地等于那一小片曲面面积。
曲面在点
处的法线向量( 指向朝上的那个 )为
它与
轴正向所成夹角的方向余弦为
而
所以
这就是曲面的面积元素, 故
xy
D σd σd σd ),(y x P S )),(,,(y x f y x M S M
T d σz S T d σS M
n f x y f x y x y =--{(,),(,),}
1z γcos (,)(,)
γ=
++1
122
f x y f x y x y dA d =
σ
γcos dA f x y f x y d x y =++⋅122(,)(,)σ
S σ
d y x f y x f A xy
D y x ⎰⎰++=),(),(122
故
【例1】求球面含在柱面
() 内部的面积。
解:所求曲面在
面的投影区域
曲面方程应取为 , 则
,
曲面在
面上的投影区域为
A z x z y dxdy D xy
=+⎛⎝ ⎫
⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭
⎪⎰⎰
12
2
∂∂∂∂x y z a 2222++=x y ax 22+=a >0xoy D x y x y ax xy =+≤{(,)|}
22z a x y =--222z x a x y
x =
---2
2
2
z y a x y y =
---222
122222
++
=
--z z a a x y x y
xoy xy D
据曲面的对称性,有
若曲面的方程为或,可分别将曲面投影到面或面,设所得到的投影区域分别为或,类似地有
或
二、平面薄片的重心
dxdy
y
x a a A xy
D ⎰⎰
--=2
2
2
2rdr
r
a a d a ⋅-=⎰
⎰-
θ
π
π
θ
cos 0
2
2
2
2
2[]
⎰-
--=2
2
cos 0
2
22π
π
θθ
d r a a a ⎰-
-=2
2
)sin (2π
π
θ
θd a a a ⎰-=2
)sin (4π
θ
θd a a a )2(22-=πa x
g y z =(,)y h z x =(,)yoz
zox D yz D zx
A x y x z dydz D yz
=+⎛⎝ ⎫
⎭⎪
+⎛⎝ ⎫⎭
⎪⎰⎰12
2
∂∂∂∂A y z y x dzdx D zx
=+⎛⎝ ⎫⎭
⎪
+⎛⎝ ⎫⎭
⎪⎰⎰
12
2
∂∂∂∂
1、平面上的质点系的重心
其质点系的重心坐标为
,
2、平面薄片的重心
设有一平面薄片,占有
面上的闭区域,在点处的面密度为
,假定在上连续,如何确定该薄片的重心坐标。
这就是力矩元素,于是
x M m
m x m y i i
i n
i
i n
=
=
==∑∑11
y M m
m y m x i i
i n
i
i n
====∑∑11
xoy D (,)x y ρ(,)x y ρ(,)x y D (,)x
y M y x y d M x x y d x y D
D
==⎰⎰⎰⎰ρσρσ
(,),
(,)
又平面薄片的总质量
从而,薄片的重心坐标为
特别地,如果薄片是均匀的,即面密度为常量,则
十分显然, 这时薄片的重心完全由闭区域的形状所决定, 因此, 习惯上将
均匀薄片的重心称之为该平面薄片所占平面图形的形心。
【例2】设薄片所占的闭区域为介于两个圆,
()之间的闭区域,且面密度均匀,求此均匀薄片的重心(形心)。
解: 由
的对称性可知:
而
m x y d D
=⎰⎰ρσ
(,)x M m
x x y d x y d y M m y x y d x y d y D
D
x D D
=
=
==
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ρσ
ρσ
ρσ
ρσ
(,)(,),
(,)(,)x A xd y A yd A d D D
D D
=
==⎰⎰⎰⎰⎰⎰11
σσσ
,()
为闭区域的面积
D r a =cos θr b =cos θ0<<a
b D =0A d d rdr b a D
a b ===
-⎰⎰⎰⎰-
σθπ
π
π
θ
θ
2
2
224
cos cos ()
⎰⎰⎰⎰-
==θ
θ
π
πθθ
σcos cos 22
2
cos b a D
y dr
r d xd M
故
三、平面薄片的转动惯量
1、平面质点系对坐标轴的转动惯量
设平面上有个质点, 它们分别位于点处, 质量分别为。
设质点系对于
轴以及对于轴的转动惯量依次为
2、平面薄片对于坐标轴的转动惯量
设有一薄片,占有面上的闭区域,在点处的面密度为,
假定
在上连续。
现要求该薄片对于轴、轴的转动惯量,。
与平面薄片对坐标轴的力矩相类似,转动惯量元素为
⎰⎰-
-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2
2
4332
2
cos cos 3cos )(31cos 31π
ππ
πθ
θθθθθd a b d r b a 2!!4!)!14()(32cos )(323320
43
3πθθπ
⋅--=-=⎰a b d a b )
(8
33a b -=
π
)(22
2a b a ba b A M x y
+++=
=n (,),(,),,(,)
x y x y x y n n 1122 m m m n 12,,, x y I y m I x m x i n
i
y i n
i
i i
====∑∑2
1
21,xoy D ),(y x ),(y x ρ),(y x ρD x y x I y
I
【例3】求由抛物线及直线所围成的均匀薄片(面密度为常数)
对于直线
的转动惯量。
解: 转动惯量元素为
四、平面薄片对质点的引力
设有一平面薄片,占有
面上的闭区域,在点 处的面密度为
,假定在上连续,现计算该薄片对位于轴上点处的单位质量质点的引力。
y x =2y =1ρy =-
1dI y d =+()12ρσI y d D
=+⎰⎰()12ρσ
=+-⎰⎰ρdx y dy
x 1
1
21
12
()[]
=+⎡⎣⎢⎤
⎦⎥=-+--⎰⎰ρρ13138131
11
23112()()y dx x dx
x =-=1636435368
105ρρρxoy D ),(y x ),(y x ρ),(y x ρD z )
1,0,0(0M
于是,薄片对质点的引力在三个坐标轴上的分力的力元素为
故
F F F F x y z
,,3),(r xd y x k dF x σ
ρ=3),(r yd y x k dF y σρ=
3)10)(,(r d y x k dF z σ
ρ-=
⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰
⋅-=⋅=⋅=D z D
y D
x r d y x k F r yd y x k F r xd y x k F 333
),(),(),(σ
ρσ
ρσ
ρ。