第三章重积分及其应用第三节三重积分
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三重积分
∫∫∫ ( x2 + 5xy2 sin x2 + y2 )d x d y d z, 其中 Ω
Ω 由 z = 1 (x2 + y2 ), z = 1, z = 4围成. 2
解: I = ∫∫∫Ω x2 d x d y d z+ 5 ∫∫∫Ω xy2 sin x2 + y2 d x d y d z
利用对称性
∫∫ ∫ 记作 dxdy z2 (x, y) f (x, y, z)dz
D
z1( x, y)
z = z1(x, y)
y xD
dxd y 微元线密度≈ f (x, y, z) dxd y
1
例 1 化三重积分 I = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz为三
Ω
次积分，其中积分区域Ω为由曲面 z = x2 + 2 y2
Ω
D
z1( x, y)
方法2. “先二后一”
∫∫∫Ω
f
(
x,
y,
z
)
d
v
=
∫b a
d
z
∫∫DZ
f (x, y, z)dxdy
方法3. “三次积分”
∫∫∫ ∫ ∫ ∫ f (x, y, z)d v = Ω
b
dx
y2 (x) d y
a
y1( x)
z2 (x, y) f (x, y, z)d z
z1( x, y)
z
1
o
1
x
y
1
例 3 化三重积分∫∫∫ y 1 − x2dxdydz为三次积分，其中 Ω
Ω 由曲面 y = − 1 − x2 − z2 ， x2 + z2 = 1， y = 1所围成.
第三节三重积分计算法
设M（x,y,z）为空间
z
一点，如果将x，y，z
改用另外三个数r，,z
来表示，则称（r, ,z） O r
为点M的柱面坐标。
x
M (x, y, z)
z
y
P(r, )
在xoy面上 r, 就是极坐标
由图可知柱面与直角坐标的关系是
x r cos
y
r
sin
(0 r ,0 2 , z )
且被积函数含有
x2 y2, y x
常用极柱坐标
2.球面坐标
由球面坐标与直角坐标的关系：
x r sin cos 0 r
y
r
sin
sin
z r cos
,
0
0 2
体积元素
三重积分在球面坐标系下的形式：
f (x, y, z)dv F(r,,)r2 sindrdd
其中 F(r,,) f (r sin cos, r sin cos, r cos)
4
所以 zdxdydz rdrd r2 zdz
D
2
2
4
d rdr zdz
0
0
r2
1
2
d
2 r(16 r2 )dr
20
0
1 2
2 [8r 2
r2 6
]02
64 3
例6 计算 I (x2 y2)dv 其中
由锥面x2 y2 z2 , x 0, y 0
和z a a 0所围成第一卦限 z z a
f (x, y, z)dv
球面方程：r a
2
d
d
a F(r,, )r2 sindr
0
0
0
一般地，空间区域 包含原点在其内
简介三重积分资料讲解
2020/7/30
三、计算xzdxdyd,z其中 是曲面z 0, z y, y 1, 以及抛物柱面y x2所围成的闭区域.
四、计算x2
1
y2
dv,其中是由六个顶点
A(1,0,0), B(1,1,0), C(1.1.2),D(2,0,0),
E(2,2,0),F(2,2,4)组成的三棱锥台.
0 1zd 0 1z z(1yz)dy
o
1
x
01z12(1z)2dz214.
y
1
2020/7/30
例5 计算三重积分 z2dxdyd,z
其中
:
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1.
z
Dz
o
y
解
czc
x
:
x2 y2
z2
Dz :a2 b2 1c2
z2dxdydz
c z2 d z
c
dxd y
Dz
1x2dxdz
x2z21
x1
1y
计算较繁! 采用“三次积分”较好.
2020/7/30
解
1x2z2y1
z
: 1x2z 1x2
1x1
1
o 1y
1
I
1x2dx1x2
1
dz
ydy x1
1
1x2 1x2z2
1
1x2dx1x2
x2z 1x2
1x2(x2zz33)|01x2
思考: dx 若被积函数为
则 三 重 积 分 f ( x , y , z )dxdydz 化 为 三 次 积 分 是
_______________________.
2、 若
是 由 曲 面 cz
xy (c
三、计算xzdxdyd,z其中 是曲面z 0, z y, y 1, 以及抛物柱面y x2所围成的闭区域.
四、计算x2
1
y2
dv,其中是由六个顶点
A(1,0,0), B(1,1,0), C(1.1.2),D(2,0,0),
E(2,2,0),F(2,2,4)组成的三棱锥台.
0 1zd 0 1z z(1yz)dy
o
1
x
01z12(1z)2dz214.
y
1
2020/7/30
例5 计算三重积分 z2dxdyd,z
其中
:
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1.
z
Dz
o
y
解
czc
x
:
x2 y2
z2
Dz :a2 b2 1c2
z2dxdydz
c z2 d z
c
dxd y
Dz
1x2dxdz
x2z21
x1
1y
计算较繁! 采用“三次积分”较好.
2020/7/30
解
1x2z2y1
z
: 1x2z 1x2
1x1
1
o 1y
1
I
1x2dx1x2
1
dz
ydy x1
1
1x2 1x2z2
1
1x2dx1x2
x2z 1x2
1x2(x2zz33)|01x2
思考: dx 若被积函数为
则 三 重 积 分 f ( x , y , z )dxdydz 化 为 三 次 积 分 是
_______________________.
2、 若
是 由 曲 面 cz
xy (c
第三节 三重积分
第三节 三重积分㈠本课的基本要求理解三重积分的概念，会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）㈡本课的重点、难点三重积分在直角坐标、柱面坐标中的计算为本课的重点、球面坐标中的计算为难点 ㈢教学内容一．三重积分的概念定积分及二重积分作为和的极限的概念，可以很自然地推广到三重积分。
定义 设),,(z y x f 是空间有界区域Ω上的有界函数。
将Ω任意分成n 个小闭区域n v v v ∆∆∆,,,21 ，其中i v ∆表示第i 个小闭区域，也表示它的体积。
在每个i v ∆上任取一点),,(i i i ζηξ，作乘积),,2,1(),,(n i v f i i i i =∆ζηξ，并作和i i i i ni v f ∆∑=),,(1ζηξ。
如果当各小闭区域直径中的最大值λ趋于零时这和的极限总存在，则称此极限为函数),,(z y x f 在闭区域Ω上的三重积分。
记作⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(，即 ∑⎰⎰⎰-→Ω∆=n i i i i i v f dv z y x f 10),,(),,(lim ζηξλ ⑴其中dv 叫做体积元素。
在直角坐标系中，有dxdydz dv =，称dxdydz 叫做直角坐标系中的体积元素。
当函数),,(z y x f 在闭区域Ω上连续时，⑴式右端的和的极限必定存在，也就是函数),,(z y x f 在闭区域Ω上的三重积分必定存在。
以后我们总假定函数),,(z y x f 在闭区域Ω上是连续的。
关于二重积分的一些术语也可相应地用到三重积分上。
三重积分的性质也与二重积分的性质类似，请同学们自己对比写出。
如果),,(z y x f 表示某物体在点),,(z y x 处的密度，Ω是该物体所占有的空间闭区域，),,(z y x f 在Ω上连续，则三重积分⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(表示该物体的质量M 。
二．三重积分的计算计算三重积分的基本方法是将三重积分化为三次积分来计算。
0903三重积分-1
过点 ( x , y ) ∈ D 作直线 , 穿出． 从 z1 穿入 , 从 z2 穿出．
x
o
z1
z2 S 2
Ω
S1
z = z1 ( x , y )
D
( x, y)
y
Ω = {( x , y , z ) | z1 ( x , y ) ≤ z ≤ z2 ( x , y ), ( x , y ) ∈ D }.
Ω
1
1− x
1− x − y
0
z dz
z
1 1 1− x 2 = ∫0 dx ∫0 (1 − x − y ) dy 2
1
1 1 1 3 = ∫0 (1 − x ) dx = . 6 24
o
y
1
x
1
读题 计算三重积分∫∫∫ z2dxdydz,其中Ω是由椭球面
x2 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
Ω
= 1(a, b, c > 0)所围成的空间有界闭区 . 域
Ω
Ω1
Ω2
性质4 性质4 三重积分的几何意义 : ◆计算 ∫∫∫ 1 ⋅ dv = ∫∫∫ dv = ? 的体积 . Ω
Ω Ω
性质5 比较性质: 性质5 比较性质: 若在Ω上, 有 f ( x , y , z ) ≤ g ( x , y , z ),
则有
∫∫∫ f ( x , y, z )dv ≤ ∫∫∫ g( x , y, z )dv .
1.先将 x , y 看作定值 , 将 f ( x , y , z )只看作 z 的函数 , 则 :
∫
z2 ( x , y ) f ( x , y , z )dz = F ( x , y ) → 面密度函数; z1 ( x , y )
x
o
z1
z2 S 2
Ω
S1
z = z1 ( x , y )
D
( x, y)
y
Ω = {( x , y , z ) | z1 ( x , y ) ≤ z ≤ z2 ( x , y ), ( x , y ) ∈ D }.
Ω
1
1− x
1− x − y
0
z dz
z
1 1 1− x 2 = ∫0 dx ∫0 (1 − x − y ) dy 2
1
1 1 1 3 = ∫0 (1 − x ) dx = . 6 24
o
y
1
x
1
读题 计算三重积分∫∫∫ z2dxdydz,其中Ω是由椭球面
x2 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
Ω
= 1(a, b, c > 0)所围成的空间有界闭区 . 域
Ω
Ω1
Ω2
性质4 性质4 三重积分的几何意义 : ◆计算 ∫∫∫ 1 ⋅ dv = ∫∫∫ dv = ? 的体积 . Ω
Ω Ω
性质5 比较性质: 性质5 比较性质: 若在Ω上, 有 f ( x , y , z ) ≤ g ( x , y , z ),
则有
∫∫∫ f ( x , y, z )dv ≤ ∫∫∫ g( x , y, z )dv .
1.先将 x , y 看作定值 , 将 f ( x , y , z )只看作 z 的函数 , 则 :
∫
z2 ( x , y ) f ( x , y , z )dz = F ( x , y ) → 面密度函数; z1 ( x , y )
10.3三重积分
M =lim∑µ(ξi ,ηi ,ζi )∆vi
λ→0 i=1 =
n
∆vi
o x
(ξi ,ηi ,ζ i ) y
定义 设 f ( x, y, z)(( x, y, z)∈Ω) 若对 Ω 作任意分割: 任意分割: 任意取点 积和式” 极限 积和式”
lim∑ f (ξi ,ηi ,ζ i )∆vi
λ→0
n
i
)∆v i .
∫∫∫ f ( x, y, z )dv = lim ∑ f (ξ ,η , ζ λ
Ω →0 i =1 i i
n
i
)∆v i .
说明 (1) 在直角坐标系下常写作 dv = dxdydz. (2) 三重积分的性质与二重积分相似. 三重积分的性质与二重积分相似. 例如 线性性质、对积分区域的可加性、比较性质、 线性性质、对积分区域的可加性、比较性质、 估值性质、中值定理，还有 估值性质、中值定理，
1
D xy o
y
= ∫ dx ∫
−1
1− x
2 2
− 1− x
dy ∫
2− x − y
2
2
x
x +y
2
2
f ( x , y , z )dz
方法2 方法2 截面法 (“先二后一”) (“先二后一 先二后一”
(1) 将Ω向 z 轴投影，得投影区间[c1 , c2 ].
z
(2) 任取z ∈ [c1 , c2 ]，过 z作平行于xoy坐标 z 面的平面去截Ω，得截面Dz c1 ( x , y ) ∈ Dz o 则 Ω c1 ≤ z ≤ c2 x
例2 化 ∫∫∫ f ( x , y , z )dxdydz为三次积分，其中Ω为由
三重积分
D
(1 x 4 )dxdydz
解:考虑被积函数和y,z无关,先对y,z积分时把x看成常数.
积分区域 就变成圆 (y2+z2=a2→x2) dydz为圆面积.
D
(1 x )dxdydz dx 2
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
4
y z2 x
(1 x 4 )dydz 2
x3 x7 4 (1 x 4 ) x 2 dx [ ]2 2 3 7
0 0
1
x
2
(2)要把积分次序更换成先x后z再y.可按下列方案进行,第一步 把x和y交换,第二步再x和z交换
但这是错误的.一般说空间闭区域是由几个曲面围
成的,这些曲面的交线向同一坐标轴的投影,这些投影
曲线围成的区域就是空间闭区域向该坐标面的投影. F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0为曲面的交线从两个方程中 消去y,得到H(x,z)=0即是:0≤x≤1, 0≤z≤x+y y=0 y=1-x y=0 z=x+y y=1-x z=x+y 0≤y≤1-x,
1
1 x 2 2 0
上面的计算方法我们称为“投影法”.
“投影法”计算和后面的曲面积分的计算密切
相 关,所以我们要研究“投影法”.这种方法的关键 是 把空间区域Ω向坐标平面投影,如何求空间区域 向坐标面的投影区域?由于空间作图比较困难,再 利用区域Ω的图形去观察就容易出错.例如求空 间区域Ω:0≤x≤1, 0≤y≤1-x, 0≤z≤x+y 在 xoz平面上的投影区域,其图形为如下:从观察得
把f(x,y,z)看成z的函数,在区域
[z1(x,y),z2(x,y)]上对z积分.积分的结果是x,y的函数,记 作
多重积分
当积分区域是长方体的时候,三重积分的积分限最容 当积分区域是长方体的时候 三重积分的积分限最容 易安排
∫∫∫ g ( x, y, z)dV = ∫ dx ∫
Ω a
b
d
c
dy ∫ g ( x, y, z )dz
e
f
如果积分函数可分离变量g ( x, y, z ) = g1 ( x) g 2 ( y ) g 3 ( z )
二 .在直角坐标系中三重积 在直角坐标系中三重积 分的计算方法
三重积分可化为三次积分来计算,其方法可分成 三重积分可化为三次积分来计算 其方法可分成 两种,(1)先求一个定积分 然后求二重积分 两种 先求一个定积分,然后求二重积分 (2)先求 先求一个定积分 然后求二重积分. 先求 二重积分,再计算一个定积分 我们先介绍第一种方 二重积分 再计算一个定积分.我们先介绍第一种方 再计算一个定积分 法即先求一个定积分,然后求二重积分 法即先求一个定积分 然后求二重积分: 然后求二重积分 且假设平行于z轴且穿过闭区域 且假设平行于 轴且穿过闭区域 内部的直线与 闭区域的边界曲面S相交不多于两点 即 为简单区 闭区域的边界曲面 相交不多于两点,即 相交不多于两点 平面上,得到一平面闭区域 域,把闭区域 投影到xoy平面上 得到一平面闭区域 把闭区域 投影到 平面上 D,以D的边界为准线 作母线平行于 轴的柱面 以 的边界为准线 作母线平行于z轴的柱面 的边界为准线,作母线平行于 轴的柱面,
∑ ρ (ξ ,η , ς )∆V
i =1 i i i
n
i
如果当各小区域直径中最大值λ趋向零时这和式的 如果当各小区域直径中最大值 趋向零时这和式的 极限存在,则称此极限为函数 极限存在 则称此极限为函数f(x,y,z)在区域 上的 在区域 则称此极限为函数 三重积分,记作 三重积分 记作
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九 章
区域为
D(z),
则
z D(z)
重
c
积 分 及
f(x,y,z)dxdydz
d
o x
y
其 应 用
dz f(x, y,z)dxdy
c D(z)
先重后定
- 12 -
第三节 三重积分
例4 计算三重积分z2dxdyd,z其中是由曲面
zx2y2,z1,z2围成的闭区域。
第 解 介于平面 z1,
z
九 章
2 x2 y2
dy
fdz
1
1 x2
x2 y2
1
z2 x 2 y2 x2 y2 1 z 1
z x 2 y2
o
y
y
y 1 x2
o
1x
y 1x2
- 11 -
第三节 三重积分
如果区域 落在平面 z c ,z d (d c )之间，对任
z
意固定的 z[c,d],相应的平行于
d
第 xoy面的平面截 所得的平面
第三节 三重积分
第三节 三重积分
第 一 三重积分的概念
九
章 二 三重积分在直角坐标系下计算
重
积
分 及
三
重积分在柱坐标系下计算
其
应 用
四
三重积分在球坐标系下计算
-1-
第三节 三重积分
一 三重积分的概念
引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀
第 九
的物质,
密度函数为
(x,y,z) C ,求分布在
•
第 九
dxdy
z2(x,
y)
f(x ,y ,z)dz
D xy
z1(x,y)
章 重 积
分 特别如果
及
先定后重
•
o
zz1(x,y)
y
x
• D xy (x, y)
其 应 用
Dxy: ay1(xx) byy2(x)
b
f(x, y,z)dxdy dz dx
y2 ( x ) dy
z2(x,y)f(x,y,z)dz
重
0x1
积 分
xdxdydz
o y
及 其 应 用
1
xdx
d 12(1 x) y
1x2 y
dz
0
0
0
1xdx1 2(1x)(1x2y)dy
0
0
x
z0
y y 1(1 x) 2
11(x2x2x3)dx 1
40
48
o
1x
-7-
第三节 三重积分
例2 计算三重积分 xzdxdyd,z 其中是由
a
y1 ( x )
z1(x,y)
-5-
第三节 三重积分
同理如果 : (yx1(,zx), z)D xyzy2(x,z)z yy1(x,z)
第 九 章
f(x,y,z)dxdydz
D xz
重 积 分
dxdz y2(x,z)f(x,y,z)dy
Dxz
y1(x,z)
o
及 其 应 用
: (xy1(,zy), z)D yxzx2(y,z)
9
1
-8-
第三节 三重积分
例3 化三重积分f(x,y,z)dxdyd为z直角坐标下
的三次积分。
z
第 1） 是由曲面 y0,y x
九
章 z0 ,xz 1围成
z1x
重 积 分
0z 1x
解
:
0y
x
及 其
0x1
应
用 f(x,y,z)dxdydz
o
y0
x
z0
y
y x
y
y x
1 dx
x
dy
1x
f(x,y,z)dz
z2之间，对于
z[1,2]
重 相应 的截面 D ( z ) 为区域
积 分
x2y2z2.
z
及
其 应 用
z2dxdydz12 dz z2dxdy
D(z)
2z4dz 31
1
5
o x
z2 z x 2 y2 z1
y
- 13 -
第三节 三重积分
三 重积分在柱坐标系下计算
x
yy2(x,z)
y
f(x,y,z)dxdy dz dydz x2(y,z)f(x,y,z)dx
D yz
x1(y,z)
-6-
第三节 三重积分
例1. 计算三重积分xdxdydz, 其中 为三个坐标
面及平面
x2yz1所围成的闭区域
.
第
0 z 1 x 2 y
九 章
解:: 0y1 2(1x)
z z1x2y
0
1 z
1 1 z dy
22
12yz
1
3 0
f(x,y,z)dx
y
1
1
z
22
y1z
o
y
- 10 -
第三节 三重积分
2）是由 z2x2y2, z x2y2 围成的区域。
z
x 2y2z2x 2y2
第 九
解
:
1x2y1x2
章
1x1
重
积
分
及 其
f(x,y,z)dxdydz
x
应
用
1 dx
1 x2
(x,y)Dxy,相应的平行于
z轴的
o
•
其 应
直线落在
部分的质量
x
• D xy (x, y)
用
F(x,y)z2(x,
y)
f(x,y,z)dz
z1(x,y)
zz1(x,y) y
因此 的总质量为 F(x, y)dxdy, 从而
Dxy -4-
第三节 三重积分
f(x,y,z)dxdydz
z
zz2(x,y)
体积, 则存在 (,,) ,使得ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f(x,y,z)dv f(,,)V
-3-
第三节 三重积分
二 三重积分在直角坐标系下计算
设
z 1 ( x ,y ) z z 2 ( x ,y )
z
zz2(x,y)
第 九
(x,y)Dxy
•
章 如果将被积函数 f(x,y,z)看成
重 积
的体密度函数，则对任意固定
分 及
内的物质
章 的质量 M .
重 积
解决方法: 类似二重积分解决问题的思想, 采用
分 及
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
其 应
可得
用
n
Mlim 0 k 1
(k,k, k) v k
vk
(k,k,k)
-2-
第三节 三重积分
定义. 设 f(x,y,z)在有界闭区域 上有界，若对
作任意分割: v k (k 1 ,2 , ,n )任,意取点 (k,k,k)
曲面 xy2 ,x 1 ,z 0 ,zx围成的空间区域。
第
0zx
zx
九 章
解
:
y2 x1
o
重 积 分
1y1
x1 x
y x y2
及
其 应
1
1
x
xzdxdydz dy xdx zdz
1
y2
0
z0
y
1
用
1
1
dy
1 x3dx
2 1
y2
x y2
o
x1
x
1 1 (1y8)dy 2
8 1
vk, 下列“乘积和式” 极
第 九 章
限l im 0kn1f(k,k,k)vk记作
f(x,y,z)dv
重 存在, 则称此极限为函数 f(x,y,z)在上的三重积分.
积 分
dv
称为体积元素,
在直角坐标系下常写作
dxdydz.
及 其
性质: 三重积分的性质与二重积分相似. 例如
应 用
中值定理. 设f(x,y,z)在有界闭域 上连续, V 为 的
0
0
0
o
-9-
1x
第三节 三重积分
2）由 x0, zz00,, yyzz1 1,,22y yzz1 1,,3 x 2y 3 z3 x
围成的区域
第
0x12 3yz
九 章
解
:
1 21 2zy1z
重
0z1
z0
积
分
2yz1 x
1
2
y
z
3
o
z
及
其 应 用
f(x,y,z)dxdydz
y
yz 1
z
x0
1 dz