第三节4三重积分在球坐标系下的计算
三重积分在柱面及球坐标系下的计算
= ∫ dθ ∫
0
2π
R
0
1 2 1 4 2 ( R − ρ ) ρdρ = πR . 2 4
思考： 思考：是否可考虑用切片法来求解？
例2 计算三重积分I = ∫∫∫ ( x + y )dv,
2 2 (V )
z
其中(V )由z = x 2 + y 2 , z = h所围.
解 (V )在xoy面投影域(σ )为圆 : 0 ≤ ρ ≤ h , xy
π
4
θ
y
,0 ≤ ρ ≤ R.
x
∴ I = ∫ dθ
0
2π
∫
π /4
0
dϕ
∫
R
0
ρ 2 ⋅ ρ 2sinϕ dρ
2− 2 5 = πR . 5
练习 试用三种坐标系分别计算三重积分
z
2
σz
I = ∫∫∫ zdv, 其中(V ) : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 z.
(V )
解法1 解法 直角坐标系(切片法)
1
= 2π ∫ ρ ⋅ 2 1 − ρ 2 dρ
1
4π = . 3
0
解法3 解法 球面坐标系计算
∫∫∫ zdv
(V )
z
2
x2 + y2 + z2 = 2z
球面为 : ρ = 2 cos ϕ , 其中
0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ ϕ ≤
ϕ
o
π
2
,0 ≤ ρ ≤ 2 cos ϕ .
θ
ρ cos ϕ ⋅ ρ 2 sin ϕdρ
z
• •
其中(V )由z = R 2 − x 2 − y 2 与 z = 0所围.
用球坐标系计算三重积分的计算方法
用球坐标系计算三重积分的计算方法宝子，今天咱来唠唠用球坐标系计算三重积分这事儿。
球坐标系呢，有三个参数，分别是r，φ和θ。
r表示点到原点的距离，就像从球心到球面上一点的长度啦。
φ呢，是从正z轴开始向下的角度，取值范围是[0,π]哦。
θ是在xy平面上从x轴正方向开始逆时针转的角度，范围是[0,2π]。
那在球坐标系下，dV = r^2sinφ drdφ dθ，这可是个关键式子呢。
要是计算一个三重积分∭_Ef(x,y,z)dV，第一步就是要把被积函数f(x,y,z)转化成球坐标下的形式。
比如说，如果x = rsinφcosθ，y = rsinφsinθ，z = rcosφ，那就把x、y、z 按照这些式子代入到f(x,y,z)里。
然后呢，就是确定积分限啦。
这个要根据积分区域E的形状来确定。
比如说，如果积分区域是个球体x^2+y^2+z^2≤slant R^2，那在球坐标下，r的范围就是[0,R]，φ的范围是[0,π]，θ的范围是[0,2π]。
确定好这些之后，就可以把三重积分转化成球坐标下的形式啦，就变成了∭_Ef(r,φ,θ)r^2sinφ drdφ dθ，然后就按照单重积分的计算方法，先对r积分，再对φ积分，最后对θ积分就好啦。
不过呢，宝子，这过程中可一定要小心计算哦。
有时候积分限可能比较复杂，要仔细分析积分区域的边界条件。
而且在计算积分的时候，那些三角函数的积分也要特别注意，可别算错啦。
要是遇到比较难的被积函数，也别慌，咱可以试着先化简一下，或者用一些积分技巧，像换元法之类的。
总之呢，球坐标系下的三重积分虽然有点小麻烦，但只要掌握了方法，多做几道题，就肯定能搞定的，加油哦！。
第三节三重积分在球坐标系下的计算
任取球体内一点
对r: 从0? R积分,得半径
?
对?: 从0? π 积分，得锥面
0
2
?
R
对? : 从0? π 积分，得球体
2
.
x
第一
y
2020/4/16
1 ? : 球 x面? ? y? ? z? ? R及 所 围成 。 的
求 I ? ???f ( x, y, z)dxdydz ?
???f (x, y, z)dxdydz ?
? ???f (r sin ? cos?, r sin ? sin ?, ? rcos ? ) r 2 sin? drd?d? x
r
?
0
? d?
2020/4/16
y
.
体积元素
dv ? r 2 sin ? drd? d? .
把三重积分的变量从直角坐 标变换为球面坐标的公式
M
0 ? ? ? 2?
0?φ ?π 4
a
(2) .
0
?
y
? ? ? I ?
2π
dθ
π
4 dφ
2acosφ
x
f (rsinφ cosθ , rsinφ sinθ , rcosφ) r 2sinφ dr
20200/4/16
0
0
??? 例4: 求 ( x2 ? y2 )dxdydz, ? : 锥面x2 ? y2 ? z2 与平 ? 面z ? a(a ? 0) 所围的立体.
? ? 解1: 在球面坐标系中计算 ? :0? r ? a , 0?
?
π ,
cos
4
??(?x2 ? y2 )dxdydz ?
三重积分计算法
如图,将 设 如图 将 向xoy面投影， 面投影 得 D xy ,以 D xy 的边界为准 以 线母线平行于z轴的柱面 线母线平行于 轴的柱面 分为下上两个边界： 把 分为下上两个边界：
O
z
z = z2 ( x, y) z2 S2
z = z1 ( x , y ) , z = z2 ( x , y )
0
xdz
= ∫ dx ∫
0
1 0
D 1
= ∫ xdx ∫
1 x 2 0 1 x 2 0
dy ∫
1 x 2 y
0
xdz
(1 x 2 y )dy
1 1 1 2 3 = ∫ ( x 2 x + x )dx = 4 0 48
例2 将 ∫∫∫ f (x, y, z)dv 化为直角坐标系下的
三次积分， 三次积分，其中 是由平面 x＋y＋z＝1， ＋ ＋＝ ， x＋y＝1，x＝0，y＝0，z＝1围成的区域。 ＋ ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ 围成的区域 围成的区域。 解 ， 的投影 Dxy 是x+y=1， y
Dρθ
1(
2 ( ρ,θ )
, )
f (ρ cosθ, ρ sinθ, z)dz
若 Dρθ : ρ1 (θ ) ≤ ρ ≤ ρ2 (θ ) , α ≤ θ ≤ β 则三重积分化为柱面坐标的三次积分：
∫∫∫ f ( x, y, z )dv
= ∫ dθ ∫
α
β
ρ 2 (θ ) ρ1 (θ )
ρd ρ ∫
∫∫∫ f ( x , y, z )dv = ∫∫ [∫
Dxy
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x , y , z )dz ]dxdy
球面坐标计算三重积分公式dv
球面坐标计算三重积分公式dv球面坐标是三维坐标系中的一种坐标系统，由径向距离r、极角θ和方位角φ组成。
它常用于描述球对称的物体的性质和为球对称的场提供方便的数学表达方式。
球面坐标系下的三重积分可以用于求解球对称体的体积、质心、转动惯量等问题。
球面坐标系下的三重积分公式可以通过坐标变换和雅可比行列式的性质来推导得到。
三重积分公式可以分为直角坐标系到球面坐标系的转换和球面坐标系到直角坐标系的转换两部分。
首先来推导直角坐标系到球面坐标系的转换。
假设有一个在直角坐标系下的积分体元dV，在球面坐标系下的体元为dV =r^2sinθdrdθdφ。
其中，r为球面到原点的距离，θ为球面与正半轴的夹角，φ为球面上的方位角。
则有：∫∫∫f(x, y, z)dV = ∫∫∫f(rsinθcosφ, rsinθsinφ, rcosθ) r^2sinθdrdθdφ其中，f(x, y, z)是在直角坐标系下的函数，f(rsinθcosφ,rsinθsinφ, rcosθ)是在球面坐标系下的函数。
接下来推导球面坐标系到直角坐标系的转换。
由于球面坐标系的坐标轴不是直角坐标系的坐标轴，为了将球面坐标系下的函数转换为直角坐标系下的函数，需要用雅可比行列式进行修正。
则有：∫∫∫f(r, θ, φ)dV = ∫∫∫f(x, y, z) Jdxdydz其中，f(r, θ, φ)是在球面坐标系下的函数，f(x, y, z)是在直角坐标系下的函数。
J为雅可比行列式，可以通过求偏导数来计算：J = ∂(x, y, z)/∂(r, θ, φ)将J乘以直角坐标系下的积分体元dxdydz，则有：∫∫∫f(r, θ, φ)dV = ∫∫∫f(x, y, z) |J|dxdydz其中，|J|为雅可比行列式的绝对值。
这样就得到了球面坐标系下的三重积分公式。
通过适当的变换和雅可比行列式的计算，可以将球面坐标系下的函数转换为直角坐标系下的函数进行计算。
在实际问题中，可以使用数值方法，如数值积分或计算机模拟，来近似计算球面坐标系下的三重积分。
球坐标系三重积分
球坐标系三重积分
想要计算三重积分，就需要知道体积积元dv，在球坐标系中dv需要转换成dρdφdθ，那么三者的顺序，也就是面积积元应当是什么？
尝试用dφdθ作为面积积元。
ΔS是三维空间中物体便面积的微小面积块，在球坐标系中，当Δφ和Δθ足够小时，ΔS的两边p和q可以看作以O和O’ 为圆心的圆的微小弧长，两个圆互相垂直。
如果两个圆的半径分别为r和a，则：Δρ是ΔV的厚度积元，对于球坐标来说，a = ρ：
通常按照dρdφdθ的顺序计算最为简单。
设三元函数f(x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数，将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为ri(i=1，2,3.....n)，体积记为Δδi，记||T||=max{ri}，在每个小区域内取点f(ξi，ηi，ζi)，作和式Σf(ξi，ηi，ζi)Δδi，若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一(即与Ω的分割和点的选取无关)，则称该极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f(x,y,z)dV，其中dV=dxdydz。
设三元函数z=f(x,y,z)定义在有界闭区域Ω上将区域Ω任意分成n个子域Δvi(i=123…，n)并以Δvi表示第i个子域的体积.在Δvi上任取一点(ξiηiζi)作和(n/i=1 Σ(ξiηiζi)Δvi).如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时，此和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f(x,y,z)dv，即
Ω
∫∫∫f(x,y,z)dv=lim λ→0 (n/i=1 Σf(ξi，ηi，ζi)Δvi)，其中dv叫做体积元素。
Ω。
球坐标系求三重积分
球坐标系求三重积分简介在多元积分中，球坐标系是一种非常重要的坐标系。
它在描述球体问题和具有旋转对称性的问题时非常有效，因此在物理学和工程学中广泛应用。
本文将介绍如何利用球坐标系来求解三重积分问题。
球坐标系的定义与坐标变换球坐标系由径向距离（r）、极角（θ）和方位角（φ）组成。
其中，极角θ表示与正z轴的夹角，取值范围为[0, π]，而方位角φ表示在xy平面的投影与正x轴的夹角，取值范围为[0, 2π]。
坐标变换如下：x = r * sinθ * cosφy = r * sinθ * sinφz = r * cosθ三重积分在球坐标系下的表示设有函数 f(x, y, z) 在球坐标系下的表示为f(r, θ, φ)。
使用球坐标系求解三重积分的一般公式如下：∭ f(x, y, z) dV = ∭ f(r, θ, φ) r²sinθ dr dθ dφ其中，r²sinθ是球坐标系中的雅可比行列式。
上式中的dV表示微元体积元素，可以表示为dV = r²sinθ dr dθ dφ。
求解过程与注意事项1.首先，确定被积函数f(r, θ, φ) 和积分区域。
根据具体问题，可设定积分区域的范围。
2.利用所给函数f(r, θ, φ)，根据三重积分的一般公式，计算出积分的表达式。
3.根据所设定的积分区域的范围，确定各个积分的上下限。
4.依次进行积分计算，先完成对 r 的积分，再对θ 进行积分，最后对φ进行积分。
5.注意积分的计算顺序以及积分极限的确定。
示例假设要求解函数 f(x, y, z) = xy 在球体中的三重积分。
球体的半径为 R，由球坐标系的定义可知，积分区域的范围为：0 ≤ r ≤ R，0 ≤ θ ≤ π，0 ≤ φ ≤ 2π。
由于 f(x, y, z) = xy，要将其表示为球坐标系下的函数f(r, θ, φ)。
由球坐标系到直角坐标系的转换公式可知，x = r * sinθ * cosφ，y = r * sinθ * sinφ。
第三节 三重积分
规定： 0 r ,
0 2,
z .
2020/3/11
第十章 第三节
• M(x, y,z)
o
x
r
y
•
P(r, )
24
如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数
z 为常数
圆柱面； 半平面； 平 面．
z
• M (x, y, z)
z
or
• P(r, )
f (i ,i , i )vi .
其中dxdydz 叫做直角坐标系中的体积元素.
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第十章 第三节
4
当函数f(x,y,z)在Ω上连续时,(1)式右端的和式极限
必定存在,也就是函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分必
定存在,以后我们总假设函数f(x,y,z)在Ω上是连续的,
关于二重积分的一些概念都可相应地用于三重积分.
(1 x4)dydz
D
2
y2 z2x2
4 (1 x4 )x2dx [ x3
2
3
x7 7
]42
( 43 23 47 27 ) 2340 20
3
7
21
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第十章 第三节
19
例题: 求曲面z 4a2 x2 y2与 z x2 y2 所围立体体积。
d
x
f (r cos ,r sin , z)rdrddz.
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第十章 第三节
26
一般适用情形
1 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单,当积分 区域为柱体，椎体，或由柱面，锥面，旋转抛物 面与其他曲面所围形体；
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.
0 x
y
2 acosφ
0
f ( rsinφ cos θ , rsinφ sinθ , rcos φ ) r 2 sinφ dr
例4: 求 ( x 2 y 2 )dxdydz , : 锥面x 2 y 2 z 2 与平
面z a (a 0) 所围的立体 .
0 0
2π
π 2 0
R
I dθ dφ f r 2 sinφ dr
0 0 0
π
π
R
5 为球体的第一、二卦限部分
I dθ dφ f r 2 sinφ dr
0 0
. . . . .
π
π 2 0
R
3
已知 : x y ( z a) a ,
二、典型例题
适用范围 1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单; 2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离
1
: 球面 x y z R及平面x , y , z 在第一卦限 z 所围成的区域。
求 I f ( x , y , z )dxdydz
z
x y z . 计算
I f ( x , y , z )dxdydz
化为球系下的方程 r=2a cos
M
M
: 0 r 2a cos
0 2
π 0 φ 4
.
a
r
φ π 4
P164.10.(2)
I dθ dφ
任取球体内一点 对r: 从0R积分,得半径
0
r
R
y
x
1
: 球面 x y z R及平面x , y , z 在第一卦限 z 所围成的区域。
求 I f ( x , y , z )dxdydz
M
任取球体内一点 对r: 从0R积分,得半径
r
0
y
N
y
这样的三个数 r ,x ,叫做点M的球面坐标.
球面坐标的坐标面
z
规定0 r , 0 π, 0 2 π.
动点M(r,,) S
0
M
r
r =常数: 球面S
=常数:
x
y
球面坐标的坐标面
动点M(r,,)
z
C
r =常数: 球面S
=常数: 锥面C
解1: 在球面坐标系中计算 a π :0 r , 0 , 0 2π. cos 4 2 2 ( x y )dxdydz
d d
0
2π
π 4 0
a cos 0
r 4 sin3dr
π 5 a . 10
解2
在柱面坐标系中计算
D xy : x 2 y 2 a 2 .
x y z R
I dθ dφ f r 2 sinφ dr
0 0 0
2π
π
R
2 为空心球体
.
R 添加 x y z 为洞
I dθ dφ R f r 2 sin φ dr
0 0 2
2π
π
R
3 为上半球体 4 为右半球体
I dθ dφ f r 2 sin φ dr
半平面 及+d ； 半径为r及r+dr的球面； 圆锥面及+d
rsind
dV r 2 sin drdd
r
f ( x , y, z )dxdydz
f (r sin cos , r sin sin ,
0
d
.
y
rcos ) r 2 sin drdd
x
体积元素 dv r 2 sindrdd .
z r sin d
r sin dr
把三重积分的变量从直角坐 标变换为球面坐标的公式
f ( x , y , z )dxdydz
O
r
rd d
y
x d f ( r sin cos , r sin sin , r cos )r 2 sindrdd .
一、球面坐标系
设M ( x , y , z )为空间内一点, 则点 M可用三个有次序的数r , , 来确定.z
z
r : 原点O与点M间的距离,
. z轴正向 : 有向线段OM与 .
M(r,,)
所夹的角,
.
: 有向线段OM在xOy面上
的投影向量与x轴正向的夹角
r
x rsin cos y rsin sin x z rcos
.
π 2
R
y
π
x
π 2 0 π 2 0 R
.
I dθ dφ f ( r sinφ cos θ , r sinφ sinθ , r cos φ )r 2 sinφ dr
0
2
球系下确定积分限练习
求 I f ( x , y , z )dxdydz
1 为全球体
.
π 2
R
y
π
x
: 球面 x y z R及平面x , y , z 在第一卦限 z 所围成的区域。 当 f =1, I=V 求 I f ( x , y , z )dxdydz
1
任取球体内一点 对r: 从0R积分,得半径
0Байду номын сангаас
对: 从0 积分， 得锥面 对 : 从0 2 积分，得球体
=常数: 半平面P
S
0
M
P
.
x
y
16. 球面坐标下的体积元素 元素区域由六个坐标面围成：
z
圆锥面 球面r+d r
半平面 及+d ； 半径为r及r+dr的球面； 圆锥面及+d
rsind
r
圆锥面+d
0
x
d
y
16. 球面坐标下的体积元素 元素区域由六个坐标面围成：
z
0
对: 从0 积分，
π 2
R
y
.
x
1
: 球面 x y z R及平面x , y , z 在第一卦限 z 所围成的区域。
求 I f ( x , y , z )dxdydz
任取球体内一点 对r: 从0R积分,得半径
0
对: 从0 积分， 得锥面 对 : 从0 2 积分，得球体
0 2 π.
x2 y2 z2 z .
: z a, 0 a,