计算三重积分详细方法
8.3 三重积分的计算法
v1, v2,…, vn,
其中vi表示第i个小闭区域，也表示它的体积。
在每个vi上任取一点( i , i, i) ，作乘积 f (
i
,
i,
i)
vi
(i=1,2,…
n
,n)
，
并作和 f (i ,i , i )vi。
i 1
如果当各小闭区域直径的最大值趋于零时
1
1)
dv, 其中
:
x2 y2 z2 1 。
13
解 (1) ( x y z)dv 空间区域 如图所示。
z C (0,0,1)
由于空间区域 对三个变量
是对称的, 并且被积函数也是对
o
称的。因此有 :
x A (1,0,0)
xdv ydv zdv
6
f (x, y, z)
b
dx
2 ( x) dy
z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz
a
1 ( x )
z1( x , y )
公式(2)把三重积分化为先对z、次对y、最 后对x的三次积分。
f ( x, y, z)dv dxdy z2 (x, y) f ( x, y, z)dz
化为三次积分形式, 其中 为
(1) : x2 z2 R2 , y 0, y H;
(2) : x 1 y2 z2 , x 0 。
解 (1)及在zox面上的投影如下图
z
z
R
o x
Hy
Dzx
o Rx
10
z R o x
Hy
z
Dzx
o Rx
f
三重积分的计算方法
三重积分的计算方法三重积分是微积分中的重要内容，它在物理学、工程学、经济学等领域都有着广泛的应用。
在实际问题中，我们常常需要对三维空间中的某些物理量进行积分运算，而三重积分就是用来描述这种三维空间中的积分运算的工具。
下面，我们将介绍三重积分的计算方法。
首先，我们来看三重积分的定义。
对于空间中的一个有界闭区域V，如果函数f(x, y, z)在V上有定义且在V上可积，那么三重积分∬∬∬_{V}f(x,y,z)dxdydz的计算方法如下：1. 将积分区域V投影到xy平面上，得到投影区域D。
2. 在D上选择一个合适的坐标系，通常选择直角坐标系或极坐标系。
3. 再在D上选择一个曲线坐标系，通常选择柱坐标系或球坐标系。
4. 根据选择的坐标系，写出积分的累次积分式。
5. 按照累次积分的顺序依次进行积分运算。
在实际计算中，我们通常会遇到一些复杂的积分问题，下面我们来看一些常见的计算方法。
首先是直角坐标系下的三重积分计算。
在直角坐标系下，积分区域V可以用不等式形式表示，利用三次积分的性质，可以将三重积分化为三个一重积分的累次积分。
这样就可以分别对x、y、z进行积分，从而简化计算。
其次是极坐标系下的三重积分计算。
在极坐标系下，积分区域V通常是某个平面区域在z轴上的投影区域，利用极坐标系的性质，可以将三重积分化为一个二重积分和一个一重积分的累次积分。
这样就可以利用极坐标系的简洁性，简化计算过程。
最后是球坐标系下的三重积分计算。
在球坐标系下，积分区域V通常是一个球体或球体的一部分，利用球坐标系的性质，可以将三重积分化为一个球面上的二重积分和一个一重积分的累次积分。
这样就可以利用球坐标系的简洁性，简化计算过程。
总之，三重积分的计算方法是多样的，我们可以根据具体的问题选择合适的坐标系和积分顺序，从而简化计算过程。
在实际问题中，我们需要灵活运用不同的计算方法，以便高效地解决问题。
希望本文对读者有所帮助，谢谢阅读！。
第四节 三重积分的计算
2
a x
b
y
练习：用此方法计算例1．
练习：设W是由曲面z1x2y2，z0所围成的闭区域，将下例三重
积分化为先进行二重积分再进行定积分的形式．
I f(x，y，z)dxdydz
dz
0
W 1
z
x y 2 1 z
2
f ( x, y, z )dxdy
1 z1x2y2
O x
1
y
1
x2+y2=1
例4 计算 I y cos( x z)dv, 其中 W 由柱面 y x , 平面
W
y 0, z 0, x z
2
所围成的空间区域．
2
解
如图所示
2 0 x
I dx dy
0
2 0
x
xz
y x
y cos( x z )dz
f ( x, y, z)dv
W
D
表示先在线段上积分，然后在区域上积分．
积分
f ( x, y, z)dv
W
c2
c1
dz f ( x, y, z )dxdy
Dz
表示先在平面区域上积分，然后在线段上积分．
2 例3 2 计算三重积分 z dxdydz，其中W是由椭球面
0 r<，
0 q 2 ， < z<．
O x
x
q
r
y P(r, q )
y
二、利用柱面坐标计算三重积分
设M(x, y, z)为空间内一点，则点M与数 r、q 、z相对应，
其中P(r, q )为点M在xOy面上的投影的极坐标． 三个数 r、q 、z 叫做点M 的柱面坐标． z 这里规定r、q 、z的变化范围为： zz0 z0 rr0
三重积分及其计算
三重积分及其计算三重积分是对三维空间内的函数进行积分运算。
它在物理、工程、计算机图形学等领域中有广泛的应用。
本文将介绍三重积分的概念、计算方法以及一些常见的应用。
一、三重积分的定义在直角坐标系中，设函数f(x,y,z)在体积为V的闭区域D上连续，将V分割成许多小体积ΔV，取P_i(x_i,y_i,z_i)为小体积ΔV中的任一点，使ΔV_i=f(P_i)ΔV，其中f(P_i)是P_i点上的函数值。
三重积分的定义为：\[\iiint\limits_{V} f(x, y, z) dV = \lim_{\，\Delta V_i\，\to 0}\sum\limits_{i=1}^{n} f(P_i) \Delta V_i \]其中，\(\Delta V_i\)表示小体积的体积，n为分割的小体积数量。
二、三重积分的计算方法根据三重积分的定义，可以推导出以下三种计算方法：直接计算、分离变量法和坐标变换法。
1.直接计算法直接计算法较为繁琐，适用于函数f(x,y,z)的表达式较简单的情况。
将积分区域V分成若干个小区域，然后对每个小区域使用定积分的计算方法进行计算，最后将所有小区域的积分值相加即可。
2.分离变量法当函数f(x,y,z)具有可分离变量性质时，可以使用分离变量法来简化积分计算。
即假设有f(x,y,z)=g(x)h(y)k(z)，则有：\[\int\int\int f(x, y, z) dV = \int g(x)dx \int h(y)dy \int k(z)dz\]3.坐标变换法当函数f(x,y,z)在直角坐标系中表达较为复杂时，可以通过坐标变换将其转换为其他坐标系，从而简化积分计算。
常用的坐标变换方法包括球坐标、柱坐标和三角代换等。
具体的变换公式可参考相关数学教材。
三、常见的应用三重积分在物理、工程和计算机图形学等领域中有广泛的应用。
以下列举几个常见的应用。
1.物理学在物理学中，三重积分常用于计算物体的质量、质心和转动惯量等。
三重积分的计算
方法2. 切片法 (“先二后一”)
设空间闭区域 ( x, y, z ) ( x, y ) D( z ), c1 z c2 ，
z
其中 D ( z ) 是用平面 z=z 截闭区域
所得的平面闭区域，则有
c2 dz c1
c2
z
c1
Dz
c1
f ( x, y, z)dv
D( z )
f ( x, y, z)dxdy.
o
x
y
（先二后一法) （切片法）
例1.计算 xdxdydz , 其中为三个坐标面
及平面x y z 1所围成的闭区域。
z
1
o
1
1
y
x
2 2 2 2 求由两个旋转抛物面 z 3 x y 和 z 5 x y 例2 的 x 0, y 0 部分所围成的立体区域 的体积.
2 2
点到 z 轴的距离 成正比，求其 质量 m 。
解：密度函数 ( x, y, z ) k x 2 y 2 (k 0) ，则
m k x 2 y 2 dxdydz 。
z
y z 4
x y 16
在 xoy 平面上的投影区域为
2
2
4
o x
Dxy {( x, y) x 2 y 2 16} ，
z1 ( x, y ) z z 2 ( x, y ) : ( x, y ) D 细长柱体微元的质量为
z2 ( x, y ) z ( x, y ) f ( x, y, z )d z d xd y 1 该物体的质量为
z z2 ( x, y )
计算三重积分详细方法
= ∫0 dθ ∫0 dr∫r2 r z dz
z = ∫0 dθ ∫0 r ⋅ dr 2 r 2
2π 2 2 4
2π
2
4
1 2π dθ 2 (16r − r5 )dr = ∫0 ∫0 2
1 2π 8r 2 1 r6 d = ∫0 − θ 0 2 6 1 1 = ⋅ 2π ⋅ 8r 2 − r6 = 64 π . 2 6 0 3
规定： 0 ≤ r < +∞, 规定：
z
•
0 ≤ θ ≤ 2π ,
M( x, y, z)
y
− ∞ < z < +∞.
简单地说， 简单地说，柱面坐标就是
x
o Hale Waihona Puke θ•P(r,θ )
4
xoy 面上的极坐标 + z 坐标
如图， 如图，三坐标面分别为
z
r 为常数
圆柱面； 圆柱面； 半平面； 半平面； 平 面．
x
o
•(r,θ )
y
x = r cosθ , y = r sinθ , z = z. dv = rdrdθ dz,
I = ∫∫∫ z dxdydz = ∫∫∫ z ⋅ r drdθdz
Ω Ω
= ∫0 dθ ∫0 dr∫r2
3
2π
3
4−r2
r ⋅ zdz = 13 π . 4
11
例3 计算三重积分
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广州大学数学与信息科学学院
1
工科高等数学
广州大学袁文俊、邓小成、尚亚东 广州大学袁文俊、邓小成、
2
一、利用柱面坐标计算三重积分 二、利用球面坐标计算三重积分 三、小结
三重积分的几种计算方法
例5. 计算 zdxdydz,
其中 ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}.
解：x2+y2+z2=1 r=1
z
用 = 截 得 D()
而 0≤ ≤2 故
0
x
y
原积分
r cos r 2sindrdd
*
2
0 d
r 3cos sin drd
D ( )
z x 0
2
0 d
z
z=z2(x, y)
f (x, y, z)dxdydz
y
[ z2 (x,y) f (x, y, z)dz]dxdy
z=z1(x, y)
D z1 ( x, y)
D
y=y2(x)
0
a y=y1(x) b
x
设 D 为 在 xy 平面上投影区域.
dxdy z2 (x,y) f (x, y, z)dz
z
x2 y2
.
4
y 原积分
a
r 2 r 2 sin drdd *
2
0 d
r 4sindrd
D( )
z
y
a
x
2
0 d
r 4sindrd
D( )
2
0
d
4
0
sin d
0ar
4dr
z
1a5 (2 2)
r=a
5
4
例7. 计算 f (x, y, z)dxdydz,表为球坐标系中的三 次积分，其中 为x2+y2+(z1)2≤1.
0
y= OPsin = rsin sin
yy
z= r cos
6.3三重积分的计算
z
z=z2( x, y) =
P 2
P 1
z=z1( x, y) =
将积分区域
向 oxy 平面
o
Dxy
( x, y)
y
投影, 得投影区域 D xy .
x
xy 型区域
= {( x , y , z ) z 1 ( x , y ) ≤ z ≤ z 2 ( x , y ), ( x , y ) ∈ D xy },
2
π
例3. 计算 ∫∫∫ yzdxdydz , 其中 Ω 由 z =
Ω
R2 − x2 − y2 ,
x 2 + y 2 = Ry 及 z = 0 所围成 .
z
R
解： Ω 在 oxy 面上的投影 区域为 区域为 D xy ： x + y ≤ Ry ，
2 2
o
R
y
x
Ω = ( x , y , z ) 0 ≤ z ≤ R 2 − x 2 − y 2 , ( x , y ) ∈ D xy .
第三节 三重积分的计算 3.1 化三重积分为单积分与二重积分的累次积分
∫∫∫ f ( x , y , z）dV = λlim0 ∑ f（ξ i ,η i , ς i）⋅ ∆V i →
Ω i =1
n
其中 d V 称为体积元素 .
三重积分必定存在. 若 f ∈ C (Ω) ，则 f 在Ω上 的三重积分必定存在.
Ω
c2
c1
dz
D( z )
∫∫ f ( x, y, z)dxdy . (先二后一法)
x y . 类似地有 型和 型空间区域
例4. 计算 ∫∫∫ z dxdydz , 其中
2 Ω
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就叫M 点 的柱面坐标． z
规定： 0r ,
02,
•M(x,y,z)
z . 简单地说，柱面坐标就是
or
y
•
P(r,)
x
xoy 面上的极坐标 + z 坐
4
如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数
z 为常数
圆柱面； 半平面； 平 面．
柱面坐标与直角坐标的 关系为
x r cos ,
y
r
sin
解
求交线：
x2 y2 z2 4
x2 y2 3z
zx21.y2 3,
z
o x
y
将 向 xoy 面投影，
得 D: x2y23.
或
D:
02,
0r 3.
r 3
o
A
10
或
D:
02,
0r 3.
过 (r, )∈D 做平行于 z轴
的直线r，2得z 4r2.
x
3
0 2,
即 : 0r 3, r2 3z 4r2.
20H(H3rr4)dr
H5
10
.
x y
r r
cos sin
, ,
z z .
d vrddr d,z
14
二、利用球面坐标计算三重积分
设M(x, y,z)为空间内一点，则M点 可用三个有次
序的数r，， 来确定，其r中为原点O与点M间 的距离， 为有向线段 OM与z轴正向所夹的角 ，
为从正z 轴来看自x 轴按逆时针方向转向 到线 有段 OP的角，这里 P 为点M 在xoy面上的投影，这
一般，先对 r 积分，再对 ，最后对 积 17
分。
例4 用球面坐标计 z2dv . 其中
z
算
: x2y2z21.
解 画 图。
o
y
确定 r， ， 的上下限。
x
(1) 将 向 xoy 面投影，
得
0 2 .
(2) 任取一 [0,2],过 z 轴作半平面，得
0.
(3) 在半平面上，任取一 [0,],过原点作
z
o
x
A
y
x
•
P
y
16
如图， 球面坐标系中的体积元素为
d vr2sin dd r d,
z
dr
d
rsin
r
rsin d
rd
d
f(x, y,z)dxdydz
o
y
d
x
f ( r s i cn , o r ss i sn , i r c n ) o r 2 ss i d d n d r.
再根据再 中 r， ， 的关系，化为三次积分。
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一、利用柱面坐标计算三重积分 二、利用球面坐标计算三重积分 三、小结
3
一、利用柱面坐标计算三重积分
设M(x,y,z)为空间内一点M ， 在x并 o面 y设上 点
的投P影 的极坐r标 , ， 为则这样的r,三 ,z个数
zdxdydz zrdrddz
0 2d0 2drr42rzdz
02d02r z224r2dr 1 20 2d0 2(1r 6r5)dr
1 2028r21 6r60 2d
1228r216r602
64 3
.
9
例 2求 Izdx， d其 y中 d z是 球 面x2y2z24
与 抛 物 面x2y23z 所 围 的 立 体 .
分。
6
例1 利用柱面坐标计算三重积分z dxdyd,z 其中
是由z曲 x2 面 y2与平z面 4所围成的闭
解 (1) 画
图(2) 确定 z，r， 的上 下限将 向 xoy 面投影，
得 D: x2y24
或
0 2,
D:
0r 2.r2
过 (r, )∈D 做平行于 z轴
的直线，得
o 2A
7
过 (r, )∈D 做平行于 z轴
的直线，得r2z4
0 2 ,
即 : 0 r 2, r 2 z 4
于是，
z
4
o•(r,)
y
x
r2 o 2A
zdxdydz zrdrddz.
0 2d0 2drr42rzdz
x y
r r
cos sin
, ,
z z .
d vrddr d8,z
射线，得 0r1 .
18
(3) 在半平面上，任取一 [0,],过原点作
射线，得 0r1 .
z
0 2 , 即 : 0 ,
0 r 1.
o
y
x
z2dv r2 co 2sr2sin dd rd
0 2 d0 d0 1 r4 c2 ossid nrzxy
r sin cos , r sin sin , r cos.
02d0 co2ssinr551 0d
d vr2sin drd d
19
z2dv r2 co 2sr2sin dd rd
Izd xd yzd rdz rddz
02d03drr324r2rzdz
13 4
.
z
o •(r,) y
x y
r r
cos sin
, ,
z z .
d vrddr d,z
11
例3 计算三重积分(x2y2)dv, 其中 是由曲
面 z x2y2与平 zH 面 (H0)所围成
解 将 向 xoy 面投影，
得 D:
x2y2H2
z
HH
或
D:
0 2,
0rH.
过 (r, )∈D 做平行于 z轴
的直线，r得zH .
o•(r,)
y
y
x
H
H o H
Hx
12
或
D:
0 2,
0rH.
z
HH
过 (r, )∈D 做平行于 z轴
的直线，得 rzH .
0 2 ,
即 : 0 r H , r z H
o•(r,)
,
z
z.
z
z
or
y
x
z
M (x,y,z)
•
o
x
r
y
• P(r,) 5
如图，柱面坐标系中的 体积元素为
d vrddr d,z
z
rd dr
r dz
于是，
f(x, y,z)dxdydz
o
y
x d
f(rc o ,rs i,n z)rdd rd.z
再根据 中 z，r， 的关系，化为三次积分。
一般，先对 z 积分，再对 r ，最后对 积
y
x
y
H
H o H
Hx
(x2y2)dv r2rdrddz.
0 2d0 HdrrHr3dz
x y
r r
cos sin
, ,
z z .
d vrddr d 13,z
0 2 ,
即 : 0 r H , r z H
(x2y2)dv r2rdrddz.
0 2d0 HdrrHr3dz
0 2d0 Hr3zH rdr
样的三个数 r，， 就叫做点M的球面坐标．
规定： 0r ,
0,
0 2 .
z
r•M (x,y,z)
o
y
•P
15
x
z
如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数
球 面； 圆锥面；
r
o
y
为常数 半平
面．
x
球面坐标与直角坐标的关系为
x r sin cos ,
y
r
sin
sin
,
z r cos .
z
r •M(x,y,z)