三重积分的各种计算方法
高数---第3讲 三重积分的计算
第3讲 三重积分的计算一、直角坐标系下三重积分的计算１.先一后二法例1 计算V xdV ⎰⎰⎰，其中V 是由平面1x y z ++=和三个坐标面围成的闭区域. 例2 计算VzdV ⎰⎰⎰,其中{(,,)|0V x y z z =≤≤ 例 3 计算三重积分cos()V y x z dxdydz +⎰⎰⎰,其中V是由抛物柱面y =及平面0,0y z ==及2x z π+=所围区域.2.先二后一法例4 计算sin Vz dxdydz z ⎰⎰⎰,其中V 是由平面,0,0z x y x y =+==及z π=所围成的立体. 例5 已知椭球222222:1x y z V a b c ++≤,其密度222222x y z a b cρ=++,求该椭球体的质量m . 二、柱面坐标下三重积分的计算（适用于有旋转体类型的区域）例1 计算VI zdV =⎰⎰⎰,其中V 是由柱面221x y +=,锥面z =及平面0z =围成的区域. 例2 计算22()V I x y dV =+⎰⎰⎰,其中V 是由曲线220y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周所得曲面与平面2z =围成的空间区域.三、球面坐标下三重积分的计算（适用于区域含球形的情形）例1 计算2V I x dV =⎰⎰⎰,其中V由曲面z =和z = 0R >围成. 例2 计算222[()()()]V I x y y z z x dxdydz =-+-+-⎰⎰⎰,其中2222{(,,)|}V x y z x y z R =++≤例3 计算V xyzdxdydz ⎰⎰⎰,其中V 为球体2222xy z a ++≤在第一卦限的部分.例4 求抛物面222z x y =+与2262z x y =--所围立体的体积.练习：1、2V I z dV =⎰⎰⎰，222222:1x y z V a b c ++≤ 3415abc π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 2、V I =，2222:(1)1,8V x y z x y +-==+及0z =所围。
三重积分的计算方法
三重积分的计算方法三重积分是多元函数积分的一种形式，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。
在实际问题中，我们经常需要计算三维空间中某个区域内的函数取值总和，而三重积分就是用来描述这种情况的工具。
在本文中，我们将介绍三重积分的计算方法，包括直角坐标系下的三重积分和柱坐标系、球坐标系下的三重积分计算方法。
首先，我们来看直角坐标系下的三重积分计算方法。
设函数为f(x, y, z)，积分区域为V，那么三重积分的计算公式为：∫∫∫V f(x, y, z) dV。
其中，dV表示微元体积。
在直角坐标系下，微元体积可以表示为dV = dx dy dz，因此三重积分可以表示为：∫∫∫V f(x, y, z) dx dy dz。
这样，我们就可以按照一定的积分顺序，依次对x、y、z进行积分，从而计算出三重积分的值。
在实际计算中，我们需要根据具体的问题选择合适的积分顺序，以简化计算过程。
接下来，我们来看柱坐标系下的三重积分计算方法。
在柱坐标系下，积分区域V可以用柱坐标表示，即V={(ρ, φ, z) | (ρ, φ, z) ∈ D, α ≤ ρ ≤ β, α1 ≤ φ ≤ β1, γ1 ≤ z ≤γ2}。
这时，三重积分的计算公式变为：∫∫∫V f(ρ, φ, z) ρ dρ dφ dz。
在柱坐标系下，微元体积可以表示为dV = ρ dρ dφ dz，因此三重积分可以表示为：∫∫∫V f(ρ, φ, z) ρ dρ dφ dz。
通过将函数用柱坐标表示，并按照一定的积分顺序，依次对ρ、φ、z进行积分，我们也可以计算出三重积分的值。
最后，我们来看球坐标系下的三重积分计算方法。
在球坐标系下，积分区域V可以用球坐标表示，即V={(r, θ, φ) | (r, θ, φ) ∈ D, α ≤ r ≤ β, α1 ≤ θ ≤ β1, α2 ≤ φ ≤β2}。
这时，三重积分的计算公式变为：∫∫∫V f(r, θ, φ) r^2 sinφ dr dθ dφ。
三重积分的几种计算方法
z z=1
解：先对 z 积分，将
向 xy 平面投影.
z= x2+y2
z= x2+y2
x2+y2=1
z=1
z=1
y
0
1
x
Dxy
D: x2+y2≤1
z z=1
z= x2+y2
y
0
1
x
Dxy
f(x,y,z)dxdydz
1 1d x1 1 xx 22d yx 1 2y2f(x,y,z)d z
其中 ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}.
解：x2+y2+z2=1 r=1
z
用 = 截 得 D()
而 0≤ ≤2 故
0
x
y
原积分
rc o s r2sid n rd d
*
02dr3cossindrd D()
x
0
dxdy02xycoxs(z)dz
y y y x
D
0 2d x0xd y0 2 xyco x sz)d (z
D
x
0
2
2 1
16 2
z
Dxz
y=y1(x, z) y=y2(x, z)
0
x
y
f(x,y,z)dxdydz
dxdzy2(x,z)f(x,y,z)dy
与三个坐标面所围闭区域.
解： D(x): 0≤ y ≤1–x, 0≤ z ≤ 1xy
z
1
0
x1
x:0≤x≤1
xdxdydz01xdxD(x
三重积分的计算
f (x, y, z)dxdydz
b
dx
y2 ( x)dy
z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz
a y1 ( x) z1 ( x, y)
上式是先对 z，次对 y，最后对 x 的三次积分.
注: 类似地，空间区域 还有 yz 型和 zx 型的.
当 是 xy 型或 yz 型或 zx 型空间区域时，都 可以把三重积分按先“定积分”后“二重积分” 的步骤来计算.
y, z）dV
lim
0
i
1
f（
i
,
i
,
i）
Vi
其中dV 称为体积元素.
若 f ( x, y,z) 在有界闭区域上连续，则 f ( x, y,z) 在上 的
三重积分必定存在.
注: 1． f ( x, y, z)dV f ( x, y, z) dxdydz ，
直角坐标系下的体积元素
2. dxdydz 的体积 ( f ( x, y, z) 1 ).
xdxdydz
0
dx 0
2
dy 0
xdz
1
xdx
0
1 x
2 (1
0
x 2 y)dy
1 4
1
(x
2x2
x3
)dx
0
1. 48
例 2. 计算三重积分 I ycos( x z)dxdydz ，
其中 是由抛物柱面 y
x z 所围成的区域.
2
x 及平面 y 0, z 0,
z
2
n
m
lim
0
i
( i
1
,i
,
i
)Vi
三重积分的定义
第四节 三重积分的计算
2
a x
b
y
练习：用此方法计算例1．
练习：设W是由曲面z1x2y2，z0所围成的闭区域，将下例三重
积分化为先进行二重积分再进行定积分的形式．
I f(x，y，z)dxdydz
dz
0
W 1
z
x y 2 1 z
2
f ( x, y, z )dxdy
1 z1x2y2
O x
1
y
1
x2+y2=1
例4 计算 I y cos( x z)dv, 其中 W 由柱面 y x , 平面
W
y 0, z 0, x z
2
所围成的空间区域．
2
解
如图所示
2 0 x
I dx dy
0
2 0
x
xz
y x
y cos( x z )dz
f ( x, y, z)dv
W
D
表示先在线段上积分，然后在区域上积分．
积分
f ( x, y, z)dv
W
c2
c1
dz f ( x, y, z )dxdy
Dz
表示先在平面区域上积分，然后在线段上积分．
2 例3 2 计算三重积分 z dxdydz，其中W是由椭球面
0 r<，
0 q 2 ， < z<．
O x
x
q
r
y P(r, q )
y
二、利用柱面坐标计算三重积分
设M(x, y, z)为空间内一点，则点M与数 r、q 、z相对应，
其中P(r, q )为点M在xOy面上的投影的极坐标． 三个数 r、q 、z 叫做点M 的柱面坐标． z 这里规定r、q 、z的变化范围为： zz0 z0 rr0
三重积分及其计算
三重积分及其计算三重积分是对三维空间内的函数进行积分运算。
它在物理、工程、计算机图形学等领域中有广泛的应用。
本文将介绍三重积分的概念、计算方法以及一些常见的应用。
一、三重积分的定义在直角坐标系中，设函数f(x,y,z)在体积为V的闭区域D上连续，将V分割成许多小体积ΔV，取P_i(x_i,y_i,z_i)为小体积ΔV中的任一点，使ΔV_i=f(P_i)ΔV，其中f(P_i)是P_i点上的函数值。
三重积分的定义为：\[\iiint\limits_{V} f(x, y, z) dV = \lim_{\，\Delta V_i\，\to 0}\sum\limits_{i=1}^{n} f(P_i) \Delta V_i \]其中，\(\Delta V_i\)表示小体积的体积，n为分割的小体积数量。
二、三重积分的计算方法根据三重积分的定义，可以推导出以下三种计算方法：直接计算、分离变量法和坐标变换法。
1.直接计算法直接计算法较为繁琐，适用于函数f(x,y,z)的表达式较简单的情况。
将积分区域V分成若干个小区域，然后对每个小区域使用定积分的计算方法进行计算，最后将所有小区域的积分值相加即可。
2.分离变量法当函数f(x,y,z)具有可分离变量性质时，可以使用分离变量法来简化积分计算。
即假设有f(x,y,z)=g(x)h(y)k(z)，则有：\[\int\int\int f(x, y, z) dV = \int g(x)dx \int h(y)dy \int k(z)dz\]3.坐标变换法当函数f(x,y,z)在直角坐标系中表达较为复杂时，可以通过坐标变换将其转换为其他坐标系，从而简化积分计算。
常用的坐标变换方法包括球坐标、柱坐标和三角代换等。
具体的变换公式可参考相关数学教材。
三、常见的应用三重积分在物理、工程和计算机图形学等领域中有广泛的应用。
以下列举几个常见的应用。
1.物理学在物理学中，三重积分常用于计算物体的质量、质心和转动惯量等。
三重积分的计算
方法2. 切片法 (“先二后一”)
设空间闭区域 ( x, y, z ) ( x, y ) D( z ), c1 z c2 ，
z
其中 D ( z ) 是用平面 z=z 截闭区域
所得的平面闭区域，则有
c2 dz c1
c2
z
c1
Dz
c1
f ( x, y, z)dv
D( z )
f ( x, y, z)dxdy.
o
x
y
（先二后一法) （切片法）
例1.计算 xdxdydz , 其中为三个坐标面
及平面x y z 1所围成的闭区域。
z
1
o
1
1
y
x
2 2 2 2 求由两个旋转抛物面 z 3 x y 和 z 5 x y 例2 的 x 0, y 0 部分所围成的立体区域 的体积.
2 2
点到 z 轴的距离 成正比，求其 质量 m 。
解：密度函数 ( x, y, z ) k x 2 y 2 (k 0) ，则
m k x 2 y 2 dxdydz 。
z
y z 4
x y 16
在 xoy 平面上的投影区域为
2
2
4
o x
Dxy {( x, y) x 2 y 2 16} ，
z1 ( x, y ) z z 2 ( x, y ) : ( x, y ) D 细长柱体微元的质量为
z2 ( x, y ) z ( x, y ) f ( x, y, z )d z d xd y 1 该物体的质量为
z z2 ( x, y )
三重积分的几种计算方法
例5. 计算 zdxdydz,
其中 ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}.
解：x2+y2+z2=1 r=1
z
用 = 截 得 D()
而 0≤ ≤2 故
0
x
y
原积分
r cos r 2sindrdd
*
2
0 d
r 3cos sin drd
D ( )
z x 0
2
0 d
z
z=z2(x, y)
f (x, y, z)dxdydz
y
[ z2 (x,y) f (x, y, z)dz]dxdy
z=z1(x, y)
D z1 ( x, y)
D
y=y2(x)
0
a y=y1(x) b
x
设 D 为 在 xy 平面上投影区域.
dxdy z2 (x,y) f (x, y, z)dz
z
x2 y2
.
4
y 原积分
a
r 2 r 2 sin drdd *
2
0 d
r 4sindrd
D( )
z
y
a
x
2
0 d
r 4sindrd
D( )
2
0
d
4
0
sin d
0ar
4dr
z
1a5 (2 2)
r=a
5
4
例7. 计算 f (x, y, z)dxdydz,表为球坐标系中的三 次积分，其中 为x2+y2+(z1)2≤1.
0
y= OPsin = rsin sin
yy
z= r cos
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三重积分的各种计算方法计算： ()f x y z dxdydz Ω⎰⎰⎰，，. 当积分区域Ω的表面用柱(/球)坐标表示时方程简单，且被积函数 () f x y z ，， 用柱(/球)坐标表示时，可变量分离时，可将其转化为用柱(/球)坐标( )F z d d dz ρρθρθΩ⎰⎰⎰，，()2s ()in r F r drd d θϕϕθϕΩ⎰⎰⎰，或，计算三重积分比较简单。
—— 重积分的换元积分法_____________________________________________________________________三重积分的计算是化为三次积分进行的。
其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。
从顺序看：_____________________________________________________________________1. 如果先做定积分21() z z f x y z dz ⎰，，，再做二重积分(,)xyD F x y d σ⎰⎰，就是投影法，也即 “先一后二”。
步骤为：找Ω及在xoy 面投影区域D 。
过D 上一点() x y ，“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影区域D 上的二重积分，完成“后二”这一步，即()()21,,(,,)[(,,)]xy z x y D z x y f x y z dv f x y z dz d σΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰_____________________________________________________________________2. 如果先做二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(再做定积分⎰21)(c c dz z F ，就是截面法，也即“先二后一”。
步骤为：确定Ω位于平面1 z c =与2 z c =之间，即12[,]z c c ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。
区域z D 的边界曲面都是z 的函数。
计算区域z D 上的二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(，完成了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分⎰21)(c c dz z F ，完成“后一”这一步，即21(,,)[(,,)]zc c D f x y z dxdydz f x y zd dz σΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 当被积函数()f z 仅为z 的函数（与 x y ，无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。
_____________________________________________________________________为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系下进行计算的问题。
可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面)：(1) D 是 X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）；(2) D 是圆域（或其部分），且被积函数形如22 ()( )yf x y f x+，时，可选择柱面坐标系计算（当Ω为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）；(3) Ω是球体或球顶锥体，且被积函数形如)(222z y x f ++时，可选择球面坐标系计算。
以上是一般常见的三重积分的计算方法，对Ω向其它坐标面投影或Ω不易作出的情 形不赘述。
三重积分的计算方法小结：1. 对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域Ω及被积函数() f x y z ，，的情况选取。
一般地，投影法（先一后二）： 较直观易掌握；截面法（先二后一）： z D 是Ω在z 处的截面，其边界曲线方程易写错，故较难一些。
特殊地，对z D 积分时，(),,f x y z 与, x y 无关，可直接计算z D S 。
因而Ω中只要[] z a b ∈，, 且(),,f x y z 仅含z 时，选取“截面法”更佳。
2. 对坐标系的选取，当Ω为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成的形体；被积函数为仅含z 或22()z f x y +时，可考虑用柱坐标计算。
三重积分的计算方法例题：补例1：计算三重积分⎰⎰⎰Ω=zdxdydz I，其中Ω为平面1=++z y x 与三个坐标面000x y z ===，，围成的闭区域。
解法一：“投影法”1. 画出Ω及在xoy 面投影域D 。
2. “穿线”y x z −−≤≤10X 型 D ：xy x −≤≤≤≤101∴Ω：y x z x y x −−≤≤−≤≤≤≤101013. 计算 .I zdxdydz Ω=⎰⎰⎰1110x yx I zdxdydz dx dyzdz −−−Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰11201(1)2xdx x y dy −=−−⎰⎰122310011[(1)(1)]23x x y x y y dx −=−−−+⎰ 241]4123[61)1(6110410323=−+−=−=⎰x x x x dx x解法二：“截面法”1. 画出Ω。
2. [01] z ∈，过点z 作垂直于z 轴的平面截Ω得z D 。
z D 是两直角边为 x y ，的直角三角形， 11x z y z =−=−，3. 计算1[]zD I zdxdydz zdxdy dz Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰11[]zzD D z dxdy dz zSdz ==⎰⎰⎰⎰110011()(1)(1)22z xy dz z z z dz ==−−⎰⎰ 123011(2)224z z z dz =−+=⎰ 补例2： 计算22x y dxdydz +⎰⎰⎰， 其中Ω是222z y x =+和1z =围成的闭区域。
解法一：“投影法”1. 画出Ω及在xoy 面的投影区域D. 由2221z x y z ⎧=+⎪⎨=⎪⎩消去z ，得122=+y x 即D ：122≤+y x 2. “穿线”122≤≤+z y x ，X 型 D ：⎪⎩⎪⎨⎧−≤≤−−≤≤−221111x y x x ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+−≤≤−−≤≤−Ω11111:2222z y x x y x x3. 计算22x y dxdydz Ω+⎰⎰⎰解：22x y dxdydz Ω+⎰⎰⎰2221112211xxx y dxdyx y dz −−−−+=+⎰⎰⎰2211222211(1)x x dxx y x y dy −−−−=+−+⎰⎰6π=（注：可用柱坐标计算。
）解法二：“截面法”1. 画出Ω。
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ω10020:z z r πθ2. ]1,0[∈z 过点z 作垂直于z 轴的平面截Ω得z D ：222z y x ≤+z D ： ⎩⎨⎧≤≤≤≤zr 020πθ下面用柱坐标计算积分结果3. 计算：122220[]zD x y dxdydz x y dxdy dz Ω+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰1220[]zd r dr dz πθ=⎰⎰⎰113300122[]33zr dz z dz ππ==⎰⎰6π=补例3：化三重积分⎰⎰⎰Ω=dxdydz z y x f I ),,(为三次积分，其中Ω是由222x 2z 2−=+=及y x z 所围成的闭区域。
解：使用“投影法”1. 画出Ω及在xoy 面上的投影区域D.由 22222z x y z x⎧=+⎪⎨=−⎪⎩消去z ，得122=+y x即 D ：122≤+y x 2. “穿线” 22222x z y x −≤≤+X 型 D ：⎪⎩⎪⎨⎧−≤≤−−≤≤−221111xy x x Ω：22222111122x x y x x y z x −≤≤⎧⎪⎪−−≤≤−⎨⎪⎪+≤≤−⎩3．计算⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω−−−−−+==11112222222),,(),,(x x x y x dz z y x f dydxdxdydz z y x f I注：当),,(z y x f 的解析式已知时，可用柱坐标计算。
补例4：计算zdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω为22226y x z y x z +=−−=及所围成的闭区域。
解法一：使用“投影法”1. 画出Ω及在xoy 面的投影区域D ， 用柱坐标计算由⎪⎩⎪⎨⎧===z z r y r x θθsin cos 化Ω的边界曲面方程为：z = 6 - r 2，z = r2. 解262=⎩⎨⎧=−=r rz r z 得 ∴D ：2≤r 即⎩⎨⎧≤≤≤≤2020r πθ “穿线” 26r z r −≤≤ ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧−≤≤≤≤≤≤Ω262020:r z r r πθ3．计算.zdxdydz Ω⎰⎰⎰26[]r Drzdxdydz zdz rdrd θ−Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰22226226012[]2r r r rd rdrzdz r z dr πθπ−−==⎰⎰⎰⎰22220[(6)]r r r dr π=−−⎰2250(3613)r r r dr π=−+⎰923π=解法二： “截面法”1. 画出Ω，如右图：Ω由r z r z =−=及26围成。
2. ]6,2[]2,0[]6,0[ =∈z 21Ω+Ω=Ω1Ω由z=r 与z=2围成； ]2,0[∈z ，z D ：z r ≤1Ω：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤20020z z r πθ2Ω由z=2与z=26r −围成； ]6,2[∈z ，z D ：z r −≤62Ω：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−≤≤≤≤626020z z r πθ3. 计算.zdxdydz Ω⎰⎰⎰解：12zdxdydz zdxdydz zdxdydz ΩΩΩ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰12262[][]z z D D z rdrd dz z rdrd dz θθ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰12262z z D D zSdz zS dz =+⎰⎰262202[()][(6)]z z dz z z dz ππ=+−⎰⎰263202(6)z dz z z dz ππ=+−⎰⎰923π=注：被积函数z 是柱坐标中的第三个变量，不能用第二个坐标r 代换。
补例5： 计算22()x y dxdydz +⎰⎰⎰，其中Ω由不等式A z y x a ≤++≤≤2220，0≤z 所确定。
解：用球坐标计算。
由⎪⎩⎪⎨⎧===φρφθρφθρcos sin sin sin cos z y x 得Ω的边界曲面的球坐标方程：A a ≤≤ρP Ω∈，连结OP=ρ，其与z 轴正向的夹角为φ，OP=ρ。
P 在xoy 面的投影为P '， 连结P O '，其与x 轴正向的夹角为θ。
∴ Ω：A a ≤≤ρ，20πφ≤≤，πθ20≤≤2/2222220()(sin )sin Aax y dxdydz d d d ππθϕρϕρϕρΩ+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰/235012sin []5Aa d ππϕρϕ=⎰/255302()sin 5A a d ππϕϕ=−⎰5522()153A a π=−⨯⨯554()15A a π=− 三重积分的计算方法练习1. 计算22)x y dxdydz +⎰⎰⎰（，其中Ω是旋转抛物面z y x 222=+与平面z = 2 , z = 8所围成 的闭区域。