第三节三重积分在球坐标系下的计算
三重积分在柱面及球坐标系下的计算
= ∫ dθ ∫
0
2π
R
0
1 2 1 4 2 ( R − ρ ) ρdρ = πR . 2 4
思考： 思考：是否可考虑用切片法来求解？
例2 计算三重积分I = ∫∫∫ ( x + y )dv,
2 2 (V )
z
其中(V )由z = x 2 + y 2 , z = h所围.
解 (V )在xoy面投影域(σ )为圆 : 0 ≤ ρ ≤ h , xy
π
4
θ
y
,0 ≤ ρ ≤ R.
x
∴ I = ∫ dθ
0
2π
∫
π /4
0
dϕ
∫
R
0
ρ 2 ⋅ ρ 2sinϕ dρ
2− 2 5 = πR . 5
练习 试用三种坐标系分别计算三重积分
z
2
σz
I = ∫∫∫ zdv, 其中(V ) : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 z.
(V )
解法1 解法 直角坐标系(切片法)
1
= 2π ∫ ρ ⋅ 2 1 − ρ 2 dρ
1
4π = . 3
0
解法3 解法 球面坐标系计算
∫∫∫ zdv
(V )
z
2
x2 + y2 + z2 = 2z
球面为 : ρ = 2 cos ϕ , 其中
0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ ϕ ≤
ϕ
o
π
2
,0 ≤ ρ ≤ 2 cos ϕ .
θ
ρ cos ϕ ⋅ ρ 2 sin ϕdρ
z
• •
其中(V )由z = R 2 − x 2 − y 2 与 z = 0所围.
球面坐标系三重积分
球面坐标系三重积分在数学中，球面坐标系三重积分是一种重要的积分方法，可以用于计算三维球形物体的体积、质量、重心等物理量。
本文将介绍球面坐标系三重积分的定义、计算方法和应用。
一、定义球面坐标系由三个坐标轴构成：径向坐标r、极角θ和方位角φ。
其中，径向坐标r表示点到球心的距离；极角θ表示点与正半轴的夹角；方位角φ表示点在xz平面上的投影与正半轴的夹角。
根据球面坐标系，我们可以将三维空间分为一系列的小立体体积。
对于一个小立体体积ΔV，其体积为ΔV=r²sinθΔrΔθΔφ。
其中，r、θ、φ分别表示小立体体积的径向坐标、极角和方位角，Δr、Δθ、Δφ表示小立体体积在各个坐标轴上的增量。
这个体积公式可以通过微积分的方法推导得到。
二、计算方法球面坐标系三重积分的计算方法与直角坐标系的三重积分类似，都是先将积分区域分解为一系列小立体体积，然后对每个小立体体积的函数值进行积分，并对所有小立体体积的贡献求和。
具体而言，球面坐标系三重积分的计算步骤为：1. 确定积分区域：利用几何图形和问题所给条件，确定积分区域。
该区域应该能够用球面坐标系的三个坐标轴描述。
2. 分解小立体体积：将积分区域分解为一系列小立体体积，每个小立体体积的体积用公式ΔV=r²sinθΔrΔθΔφ计算。
3. 确定积分范围：确定每个小立体体积上r、θ、φ的变化范围，这个范围应该与积分区域相对应。
4. 写出被积函数：根据问题所给的函数，写出被积函数f(r,θ,φ)。
5. 进行积分：对每个小立体体积的函数值进行积分，利用积分的线性性和分部积分等方法计算积分结果。
最终，对所有小立体体积的贡献求和得到总的积分结果。
三、应用球面坐标系三重积分广泛应用于物理、工程、化学等领域。
以下分类介绍几个典型的应用场景。
1. 计算球形物体的体积和重心：对于一个球形物体，其体积和重心可以通过球面坐标系三重积分来计算。
其中，体积等于整个球体积积分的值，而重心等于各个小立体体积重心积分的加权平均值。
三重积分计算法
如图,将 设 如图 将 向xoy面投影， 面投影 得 D xy ,以 D xy 的边界为准 以 线母线平行于z轴的柱面 线母线平行于 轴的柱面 分为下上两个边界： 把 分为下上两个边界：
O
z
z = z2 ( x, y) z2 S2
z = z1 ( x , y ) , z = z2 ( x , y )
0
xdz
= ∫ dx ∫
0
1 0
D 1
= ∫ xdx ∫
1 x 2 0 1 x 2 0
dy ∫
1 x 2 y
0
xdz
(1 x 2 y )dy
1 1 1 2 3 = ∫ ( x 2 x + x )dx = 4 0 48
例2 将 ∫∫∫ f (x, y, z)dv 化为直角坐标系下的
三次积分， 三次积分，其中 是由平面 x＋y＋z＝1， ＋ ＋＝ ， x＋y＝1，x＝0，y＝0，z＝1围成的区域。 ＋ ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ 围成的区域 围成的区域。 解 ， 的投影 Dxy 是x+y=1， y
Dρθ
1(
2 ( ρ,θ )
, )
f (ρ cosθ, ρ sinθ, z)dz
若 Dρθ : ρ1 (θ ) ≤ ρ ≤ ρ2 (θ ) , α ≤ θ ≤ β 则三重积分化为柱面坐标的三次积分：
∫∫∫ f ( x, y, z )dv
= ∫ dθ ∫
α
β
ρ 2 (θ ) ρ1 (θ )
ρd ρ ∫
∫∫∫ f ( x , y, z )dv = ∫∫ [∫
Dxy
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x , y , z )dz ]dxdy
球面坐标计算三重积分公式dv
球面坐标计算三重积分公式dv球面坐标是三维坐标系中的一种坐标系统，由径向距离r、极角θ和方位角φ组成。
它常用于描述球对称的物体的性质和为球对称的场提供方便的数学表达方式。
球面坐标系下的三重积分可以用于求解球对称体的体积、质心、转动惯量等问题。
球面坐标系下的三重积分公式可以通过坐标变换和雅可比行列式的性质来推导得到。
三重积分公式可以分为直角坐标系到球面坐标系的转换和球面坐标系到直角坐标系的转换两部分。
首先来推导直角坐标系到球面坐标系的转换。
假设有一个在直角坐标系下的积分体元dV，在球面坐标系下的体元为dV =r^2sinθdrdθdφ。
其中，r为球面到原点的距离，θ为球面与正半轴的夹角，φ为球面上的方位角。
则有：∫∫∫f(x, y, z)dV = ∫∫∫f(rsinθcosφ, rsinθsinφ, rcosθ) r^2sinθdrdθdφ其中，f(x, y, z)是在直角坐标系下的函数，f(rsinθcosφ,rsinθsinφ, rcosθ)是在球面坐标系下的函数。
接下来推导球面坐标系到直角坐标系的转换。
由于球面坐标系的坐标轴不是直角坐标系的坐标轴，为了将球面坐标系下的函数转换为直角坐标系下的函数，需要用雅可比行列式进行修正。
则有：∫∫∫f(r, θ, φ)dV = ∫∫∫f(x, y, z) Jdxdydz其中，f(r, θ, φ)是在球面坐标系下的函数，f(x, y, z)是在直角坐标系下的函数。
J为雅可比行列式，可以通过求偏导数来计算：J = ∂(x, y, z)/∂(r, θ, φ)将J乘以直角坐标系下的积分体元dxdydz，则有：∫∫∫f(r, θ, φ)dV = ∫∫∫f(x, y, z) |J|dxdydz其中，|J|为雅可比行列式的绝对值。
这样就得到了球面坐标系下的三重积分公式。
通过适当的变换和雅可比行列式的计算，可以将球面坐标系下的函数转换为直角坐标系下的函数进行计算。
在实际问题中，可以使用数值方法，如数值积分或计算机模拟，来近似计算球面坐标系下的三重积分。
三重积分在柱坐标和球坐标系下的计算 ppt课件
zz2(,)
(2)求区域Ω在xoy面的投影Dρθ . (3)定出z的上限和下限.
在Dρθ内作平行于z 轴的直线,
o
穿入区域时, Ω的边界曲面F(ρ,θ,z)=0确定
的z=z1(ρ,θ)为z的下限.
x
穿出区域时, Ω的边界曲面G(ρ,θ,z)=0确定
的z=z2(ρ,θ)为z的下限.
(4)将二重积分化为极坐标系下的累次积分.
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三重积分在柱坐标和球坐标系下的计算
一、三重积分在柱坐标系下的计算 二、三重积分在球坐标系下的计算
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二、三重积分在球坐标系下的计算
（一）球坐标系 （二）球坐标系的适用条件 （三）三重积分计算公式 （四）化为累次积分的方法
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二、三重积分在球坐标系下的计算
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一、三重积分在柱坐标系下的计算
（一）柱坐标系 （二）柱坐标系的适用条件 （三）三重积分计算公式 （四）化为累次积分的方法
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➢柱坐标系 平面极坐标系添加oz轴得到的空间坐标系
➢柱坐标
设 M (x,y,z) R 3, x , y
,
x, y, z
, , z
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一、三重积分在柱坐标系下的计算
（一）柱坐标系 （二）柱坐标系的适用条件 （三）三重积分计算公式 （四）化为累次积分的方法
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一般地 在 f (x, y, z)dv中 若
➢Ω在xoy面的投影为圆或圆的一部分 ➢f(x,y,z)中含有 x 2 y 2或 a r c t a n y 的项
球坐标系三重积分
球坐标系三重积分
想要计算三重积分，就需要知道体积积元dv，在球坐标系中dv需要转换成dρdφdθ，那么三者的顺序，也就是面积积元应当是什么？
尝试用dφdθ作为面积积元。
ΔS是三维空间中物体便面积的微小面积块，在球坐标系中，当Δφ和Δθ足够小时，ΔS的两边p和q可以看作以O和O’ 为圆心的圆的微小弧长，两个圆互相垂直。
如果两个圆的半径分别为r和a，则：Δρ是ΔV的厚度积元，对于球坐标来说，a = ρ：
通常按照dρdφdθ的顺序计算最为简单。
设三元函数f(x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数，将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为ri(i=1，2,3.....n)，体积记为Δδi，记||T||=max{ri}，在每个小区域内取点f(ξi，ηi，ζi)，作和式Σf(ξi，ηi，ζi)Δδi，若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一(即与Ω的分割和点的选取无关)，则称该极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f(x,y,z)dV，其中dV=dxdydz。
设三元函数z=f(x,y,z)定义在有界闭区域Ω上将区域Ω任意分成n个子域Δvi(i=123…，n)并以Δvi表示第i个子域的体积.在Δvi上任取一点(ξiηiζi)作和(n/i=1 Σ(ξiηiζi)Δvi).如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时，此和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f(x,y,z)dv，即
Ω
∫∫∫f(x,y,z)dv=lim λ→0 (n/i=1 Σf(ξi，ηi，ζi)Δvi)，其中dv叫做体积元素。
Ω。
利用球面坐标计算三重积分
利用球面坐标计算三重积分设M（x，y，z）为空间内一点，则点M也可用这样三个有次序的数r，φ，θ来确定，其中r为原点O与点M间的距离，φ为有向线段与z轴正向所夹的角，θ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段的角，这里P为点M在xOy面上的投影。
这样的三个数r，φ，θ叫做点M的球面坐标，这里r，φ，θ的变化范围为0 ≤ r < +∞,0 ≤φ≤π,0 ≤θ≤ 2π.r = 常数，即以原点为心的球面；φ= 常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面；θ = 常数，即过z轴的半平面。
点M的直角坐标与球面坐标的关系为（3）为了把三重积分中的变量从直角坐标变换为球面坐标，用三组坐标面r = 常数，φ=常数，θ= 常数把积分区域Ω分成许多小闭区域。
考虑由r，φ，θ各取得微小增量dr，dφ，dθ所成的六面体的体积。
不计高阶无穷小，可把这个六面体看作长方体，其经线方向的长为rd φ，纬线方向的宽为r sinφdθ，向径方向的高为dr，于是得dv = r 2 sinφdrdφdθ，这就是球面坐标系中的体积元素。
再注意到关系式（3），就有,（4）其中F（r，φ，θ）= f（r sinφcosθ，r sinφsinθ，r cosφ）。
（4）式就是把三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式。
要计算变量变换为球面坐标后的三重积分，可把它化为对r对φ及对θ的三次积分。
若积分区域Ω的边界曲面是一个包围原点在内的闭曲面，其球面坐标方程为r = r（φ，θ），则。
当积分区域Ω为球面r = a所围成时，则。
特别地，当F（r，φ，θ）= 1时，由上式即得球的体积，这是我们所熟知的。
例2 求半径为a的球面与半顶角为α的内接锥面所围成的立体的体积。
解设球面通过原点O，球心在z轴上，又内接锥面的顶点在原点O，其轴与z轴重合，则球面方程为r = 2acosφ，锥面方程为φ=α。
因为立体所占有的空间闭区域Ω可用不等式0≤r≤2acosφ, 0≤φ≤α, 0≤θ≤2π来表示，所以在三重积分的应用中也可采用元素法。
三重积分
故：
{( x, y, z ) | x 2 2 y 2 z 2 x 2 , ( x, y ) Dxy }
Dxy {( x , y ) | 1 x 2 y 1 x 2 , 1 x 1}
I 1 dx
1
1 x 2 1 x
x
o
P ( , )
y
z
3.柱面坐标系下的体积元素
d
d
dV d d dz ,
f ( x , y , z )dxdydz
dz
o
d
y
x
f ( cos , sin , z ) d d dz .
4.下列情形可考虑用柱面坐标： 1) 的投影区域 D 是圆域或圆域的一部分 ;
当 f ( x , y , z ) 关于
z 为奇函数时 , f ( x, y, z )dV 0 ; 当 f ( x , y , z ) 关于 z 为偶函数时 , f ( x, y, z )dV 2 f ( x , y, z )dV
1
其中 1 为 在 xoy 面上方的部分.
x 2 y 1, 1 x 1.
I
1
1
dx 2 dy
x
1
x2 y2
0
2xdz .
例4.设是由z x 2 y 2及z=h所围，将 I
.
f (x , y , z )dV 化为直角坐标下的三次积分。
例5.设是由平面x=0,y=0,z=0及x+y+z=1所围，将 I
二、利用直角坐标计算三重积分
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任取球体内一点
对r: 从0? R积分,得半径
?
对?: 从0? π 积分，得锥面
0
2
?
R
对? : 从0? π 积分，得球体
2
.
x
第一
y
2020/4/16
1 ? : 球 x面? ? y? ? z? ? R及 所 围成 。 的
求 I ? ???f ( x, y, z)dxdydz ?
???f (x, y, z)dxdydz ?
? ???f (r sin ? cos?, r sin ? sin ?, ? rcos ? ) r 2 sin? drd?d? x
r
?
0
? d?
2020/4/16
y
.
体积元素
dv ? r 2 sin ? drd? d? .
把三重积分的变量从直角坐 标变换为球面坐标的公式
M
0 ? ? ? 2?
0?φ ?π 4
a
(2) .
0
?
y
? ? ? I ?
2π
dθ
π
4 dφ
2acosφ
x
f (rsinφ cosθ , rsinφ sinθ , rcosφ) r 2sinφ dr
20200/4/16
0
0
??? 例4: 求 ( x2 ? y2 )dxdydz, ? : 锥面x2 ? y2 ? z2 与平 ? 面z ? a(a ? 0) 所围的立体.
? ? 解1: 在球面坐标系中计算 ? :0? r ? a , 0?
?
π ,
cos
4
??(?x2 ? y2 )dxdydz ?
? ? ? ? ? ? 2π
?d
π
4d
a
cos? r 4 sin 3 dr
0
0
0
? π a5.
10
0 ? ? ? 2π.
2020/4/16
解2 在柱面坐标系中计算
3 ? 为上半球体
4 ? 为右半球体
5 ? 为球体的第一、二卦限部分
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? ? ? I ?
2π
dθ
π
dφ
R R
f
?r
2
sinφ
dr
0
0
2
π
? ? ? I ?
2π
dθ
2 dφ R f ?r 2 sinφ dr
0
0
0
? ? ? I ?
π
dθ
π
dφ
R f ?r 2 sinφ dr
0
0
0
π
? ? ? I ?
平x ?面? , y ? ? , z ? ?在 z区 域
当 f =1,
第一
I=V
任取球体内一点
对r: 从0? R积分,得半径
?
对?: 从0? π 积分，得锥面
0
2
对? : 从0? π 积分，得球体
2
R
y
.
x
.
π
π
? ? ? I ? 2 dθ 2 dφ R f (r sinφ cosθ ,r sinφ sinθ ,r cosφ)r 2 sinφ dr
2020/4/16
1 ? : 球 x面? ? y? ? z? ? R及 平x ?面? , y ? ? , z ? ? 在 所 围成 。 的 z 区 域
求 I ? ???f ( x, y, z)dxdydz ?
任取球体内一点
对r: 从0? R积分,得半径
r
0
R
第一
y
x
2020/4/16
1 ? : 球 x面? ? y? ? z? ? R及 平x ?面? , y ? ? , z ? ? 在 所 围成 。 的 z 区 域
圆锥面? 及? +d?
rsin ? d?
圆锥面?
2020/4/16
r
?
0
? d?
x
球面r+d r 圆锥面? +d?
y
16. 球面坐标下的体积元素
z 元素区域由六个坐标面围成：
半平面? 及?+d? ；
半径为r及r+dr的球面；
圆锥面? 及? +d?
rsin ? d?
d V ? r 2 sin? drd?d?
π
dθ
2 dφ R f ?r 2 sin. φ dr
0
0
0
.
.
.
.
3 已 ? : 知x ? ? y? ? (z ? a )? ? a ? , x ? ? y? ? z? . 计
I ? ???f ( x, y, z)dxdydz ?
z 化为球系下的方程
?M? ?
r=2a cos?
? : 0 ? r ? 2a cos ?
三重积分在球坐标系下的计算
一、球面坐标系 二、典型例题
2020/4/16
一、球面坐标系
设 M ( x , y, z)为空间内一点 ,则点 z
M可用三个有次序的数 r ,? ,? 来确定 .z
r : 原点 O 与点 M 间的距离 ,
?
:
有向线段 所夹的角
OM ,
与.
z.轴. 正向
M(r,?,? )
? : 有向线段 OM在xOy面上
z r
sin
?d
?
r sin?dr
r
rd?
?
d?
? ? ? ? ? ? ? ? ???f (x, y,z)dxdydz ?
O
x ? d?
y
? ???f (r sin cos , r sin sin ,r cos )r 2 sin drd d .
?
2020/4/16
二、典型例题
适用范围 1) 积分域表面用球面坐标表示时 方程简单 ; 2) 被积函数用球面坐标表示时 变量互相分离
r
的投影向量与 x轴正向的夹
?
x ? rsin? cos?
0
y ? rsin? sin ?
?
y
y
z ? rcos?
x
这样的三个数 r ,x?,?叫做点 M的球面坐标N.
2020/4/16
球面坐标的坐标面
z
规定0 ? r ? ?? , 0 ? ? ? π, 0 ? ? ? 2π.
M
动点M(r,?,? )
S
r =常数: 球面S
?r
0
? =常数:
x y
2020/4/16
球面坐标的坐标面
动点M(r,?,? )
z
C
r =常数: 球面S
? =常数: 锥面C
M
? =常数: 半平面P
S
?
P
0
?
.
x y
2020/4/16
16. 球面坐标下的体积元素 z
元素区域由六个坐标面围成：
半平面? 及?+d? ；
半径为r及r+dr的球面；
0
0
0
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2 球系下确定积分限练习
1 ? 为全球体 x ? ? y? ? z ? ? R ?
求 I ? ???f (x, y, z)dxdydz ?
? ? ? I ?
2π
dθ
π
dφ
R f ?r 2 sinφ dr
0
0
0
2 ? 为空心球体
.
添加 x ? ? y? ? z? ? R ? 为洞 ?
求 I ? ???f ( x, y, z)dxdydz ? M
任取球体内一点
对r: 从0? R积分,得半径
r
对?: 从0? π 积分，
0
2
?
R
第一
y
.
x
2020/4/16
1 ? : 球 x面? ? y? ? z? ? R及 平x ?面? , y ? ? , z ? ? 在 所 围成 。 的 z 区 域