三重积分的计算方法小结与例题
计算三重积分详细方法
一般，先对 z 积分，再对 r ，最后对 积分。 6
例1 利用柱面坐标计算三重积分 zdxdyd, z 其中
是由z曲 x2面 y2与平 z面 4所围成的闭
解 (1) 画 图
z
(2) 确定 z，r， 的上下限
44
将 向 xoy 面投影，得
D :x2y24
或
02,
D:
0r2.
o•(r,)
yy
xx
就叫M 点 的柱面坐标． z
规定： 0r,
02 ,
•M (x,y,z)
z . 简单地说，柱面坐标就是
or
y
•
P(r,)
x
xoy 面上的极坐标 + z 坐标
4
如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数
z 为常数
圆柱面； 半平面； 平 面．
柱面坐标与直角坐标的 关系为
x r cos ,
y
r
sin
,
z
z.
z
z
or
y
x
z
M (x ,y,z)
•
o
x
r
y
• P(r,) 5
如图，柱面坐标系中的 体积元素为
d v rdd rd, z
z
rd
dr r dz
于是，
o
y
f(x,y,z)dxdydz
x d
f (r c o ,r ssi,z n )r d dr d . z
再根据 中 z，r， 的关系，化为三次积分。
z
R
任取一 [0,2],过 z
轴作半平面，得
04.
在半平面上，任取一
[0, 4],
x
三重积分的计算
f (x, y, z)dxdydz
b
dx
y2 ( x)dy
z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz
a y1 ( x) z1 ( x, y)
上式是先对 z，次对 y，最后对 x 的三次积分.
注: 类似地，空间区域 还有 yz 型和 zx 型的.
当 是 xy 型或 yz 型或 zx 型空间区域时，都 可以把三重积分按先“定积分”后“二重积分” 的步骤来计算.
y, z）dV
lim
0
i
1
f（
i
,
i
,
i）
Vi
其中dV 称为体积元素.
若 f ( x, y,z) 在有界闭区域上连续，则 f ( x, y,z) 在上 的
三重积分必定存在.
注: 1． f ( x, y, z)dV f ( x, y, z) dxdydz ，
直角坐标系下的体积元素
2. dxdydz 的体积 ( f ( x, y, z) 1 ).
xdxdydz
0
dx 0
2
dy 0
xdz
1
xdx
0
1 x
2 (1
0
x 2 y)dy
1 4
1
(x
2x2
x3
)dx
0
1. 48
例 2. 计算三重积分 I ycos( x z)dxdydz ，
其中 是由抛物柱面 y
x z 所围成的区域.
2
x 及平面 y 0, z 0,
z
2
n
m
lim
0
i
( i
1
,i
,
i
)Vi
三重积分的定义
三重积分的计算方法
三重积分的计算方法三重积分是数学中的重要概念，用于计算三维空间中的体积、质量、重心等物理量。
在本文中，我们将介绍三重积分的计算方法，并提供一些实例来帮助读者更好地理解。
一、直角坐标系下的三重积分在直角坐标系下，三重积分的计算方法可以通过迭代法实现。
首先，我们需要确定被积函数的积分区域。
假设被积函数为f(x, y, z)，积分区域为V。
我们可以将V分割成若干个小立方体，每个小立方体的体积为ΔV。
将V分割成小立方体后，我们需要选择一个小立方体，并在其中选择一个点(x,y,z)作为积分点。
然后，我们将小立方体的体积ΔV乘以被积函数在积分点的值f(x,y,z)，得到积分项f(x,y,z)ΔV。
最后，将所有积分项相加并取极限，即可求得三重积分的值。
这个计算过程可以表达为以下公式：∭V f(x,y,z) dV = lim ΔV→0 ∑ ∑ ∑ f(x,y,z)ΔV其中，ΔV表示小立方体的体积，Σ表示对整个区域V内的小立方体进行求和。
举例来说，如果我们要计算函数f(x,y,z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2在立方体V: 0≤x≤1，0≤y≤2，0≤z≤3上的三重积分，那么我们可以将V分割成许多小立方体，并选择一个小立方体上的点(x,y,z)作为积分点。
然后，将小立方体体积ΔV乘以函数值f(x,y,z)，并对所有小立方体进行求和，最后取极限即可得到结果。
二、柱坐标系和球坐标系下的三重积分在某些情况下，采用直角坐标系计算三重积分可能会比较复杂。
此时，我们可以选择转换到柱坐标系或球坐标系下进行计算，以简化问题。
在柱坐标系下，我们将积分区域V进行柱坐标变换，得到新的积分区域。
具体的变换公式可以参考相关数学教材。
然后，按照直角坐标系下的计算方法进行计算。
在球坐标系下的计算方法与柱坐标系类似，先进行球坐标变换，然后按照直角坐标系下的计算方法进行计算。
三、应用举例现在，让我们通过一个应用举例来更好地理解三重积分的计算方法。
三重积分
知识结构图1、三重积分概念理解三重积分的概念是要注意⑴若1),,(=z y x f 时，则⎰⎰⎰=vv dv z y x f ),,(，其中|v|为V 的体积。
例:利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体体积：1) 226y x z --=及)(22y x z +=;2)az z y x 2222=++(a>0)及222z y x =+（含有Z 轴的部分） 3) )(22y x z +=及22y x z += 4))5(22y x z --=及z y x 422=+⑵三重积分的物理意义:若V 是某物体所占有的空间闭区域，连续函数),,(z y x f 为该物体的密度函数，则三重积分⎰⎰⎰vdv z y x f ),,(的值等与该物体的质量。
例1:设有一物体，占有空间闭区域}10,10,10|),,{(≤≤≤≤≤≤=Ωz y x z y x ，在点),,(z y x 处的密度为z y x z y x ++=),,(ρ，计算该物体的质量。
例2:球心在原点、半径为R 的球体，在任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正比，求这球体的质量。
2、三重积分的计算方法一、利用直角坐标进行三重积分 投影法步骤为:以平行与坐标轴的直线穿过区域V 的边界曲面而定，先穿过的为下限后穿过的为上限，确定的积分限，完成“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。
围成的闭区域。
例：计算三重积分⎰⎰⎰Ω=zdxdydz I，其中Ω为平面1=++z y x 与三个坐标面0,0,0===z y x解：画出Ω及在xoy 面投影域D.“穿线”y x z --≤≤10X 型D ：xy x -≤≤≤≤1010 ∴Ω：yx z xy x --≤≤-≤≤≤≤10101三重积分概念三重积分 存在性三重积分 计算利用球面坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分利用柱面坐标计算三重积⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----Ω+---=--===101032210101010102]31)1()1[(21)1(21dx y y x y x dy y x dx zdz dydx zdxdydz I x x y x x241]4123[61)1(6110410323=-+-=-=⎰x x x x dx x截面法步骤为：计算区域上的二重积分 ，完成“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分，完成“后一”这一步。
三重积分先二后一例题
三重积分先二后一例题篇一：三重积分是一种数学工具，可以用来计算面积、体积和其他一些空间量度。
在求解某些三重积分问题时，常常需要按照“先二后一”的方法进行求解。
具体来说，“先二”指的是先计算两个二维积分，即二维平面的面积和体积，再将其代入到三重积分中。
“后一”指的是在计算完两个二维积分后，再计算一个一维积分，即直线的长度或角度，并将其代入到三重积分中。
下面以一个例子来说明“先二后一”的求解方法。
假设要计算以下三重积分: ∫∫∫ f(x, y, z) · dx · dy · dz其中 f(x, y, z) 是一个关于 x、y、z 的函数。
按照“先二后一”的方法，可以先计算两个二维积分，即∫∫ f(x, y, z) · dx · dz = A(x, z)∫∫ f(x, y, z) · dy · dz = B(y, z)其中 A(x, z) 和 B(y, z) 分别是两个二维平面的面积和体积，可以通过几何计算得到。
接下来，将这两个二维积分代入到三重积分中，得到∫∫∫ f(x, y, z) · dx · dy · dz = A(x, z) ·∫∫ f(x, y,z) · dy · dz + B(y, z) ·∫∫ f(x, y, z) · dx · dz最后，再计算一个一维积分，即∫∫ f(x, y, z) · dx · dz = f(x, y, z) · (|x - y| + |z - z|) 并将其代入到三重积分中，即可计算出结果。
除了“先二后一”的方法外，三重积分还有一些其他求解方法，比如“先一后二”、“先二后三”等。
这些方法在实际求解过程中都有不同的适用场景，需要根据具体情况进行选择。
篇二：三重积分是一种数学工具，可以用来计算面积、体积和其他类似的量。
三重积分
z z2(x,y)
Ω为图示曲顶柱体
Ω
I =∫∫ dxdy∫z ( x, y) f ( x, y, z)dz
D
1
z2 ( x, y )
z1(x,y)
这就化为一个定积分和 一个二重积分的运算
0
.
y
D
x
方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法
I = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz
ρ
o
dz
y
其中 F(ρ,θ , z) = f (ρ cosθ , ρ sinθ , z ) 适用范围: 适用范围
θρ
dθ
dρ
1) 积分域 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ; 方程简单 2) 被积函数 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离 变量互相分离. 变量互相分离
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例3. 计算三重积分
∫∫∫Ω f (x, y, z) d v = f (ξ,η,ζ )V
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二、三重积分的计算
1. 利用直角坐标计算三重积分 先假设连续函数 f (x, y, z) ≥ 0, 并将它看作某物体 的密度函数 , 通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法: 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法 方法2 方法 . 截面法 (“先二后一”) 方法3 方法 . 三次积分法 最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
c2 z
z
Dz
Ω
I=
∫
.
c2
c1
dz ∫∫ f ( x,y,z)dxdy
Dz
c1
0 y
高等数学三重积分例题
高等数学三重积分例题一、计算三重积分∭_varOmega z dV，其中varOmega是由锥面z = √(x^2)+y^{2}与平面z = 1所围成的闭区域。
1. 利用柱坐标计算在柱坐标下x = rcosθ，y = rsinθ，z = z，dV = rdzdrdθ。
锥面z=√(x^2)+y^{2}在柱坐标下就是z = r。
由锥面z = r与平面z = 1所围成的闭区域varOmega，其在柱坐标下的范围为：0≤slantθ≤slant2π，0≤slant r≤slant1，r≤slant z≤slant1。
2. 计算积分则∭_varOmegaz dV=∫_0^2πdθ∫_0^1rdr∫_r^1zdz。
先计算关于z的积分：∫_r^1zdz=(1)/(2)(1 r^2)。
再计算关于r的积分：∫_0^1r×(1)/(2)(1 r^2)dr=(1)/(2)∫_0^1(rr^3)dr=(1)/(2)((1)/(2)-(1)/(4))=(1)/(8)。
最后计算关于θ的积分：∫_0^2πdθ = 2π。
所以∭_varOmegaz dV=(1)/(8)×2π=(π)/(4)。
二、计算三重积分∭_varOmega(x + y+z)dV，其中varOmega是由平面x = 0，y = 0，z = 0及x + y+z = 1所围成的四面体。
1. 利用直角坐标计算对于由平面x = 0，y = 0，z = 0及x + y + z=1所围成的四面体varOmega，其范围为0≤slant x≤slant1，0≤slant y≤slant1 x，0≤slant z≤slant1 x y。
则∭_varOmega(x + y + z)dV=∫_0^1dx∫_0^1 xdy∫_0^1 x y(x + y + z)dz。
2. 计算积分先计算关于z的积分：∫_0^1 x y(x + y+z)dz=(x + y)z+(1)/(2)z^2big|_0^1 x y=(x + y)(1 x y)+(1)/(2)(1 x y)^2展开得x + y-(x^2+2xy + y^2)+(1)/(2)(1 2x 2y+x^2+2xy + y^2)进一步化简为x + y x^2-2xy y^2+(1)/(2)-x y+(1)/(2)x^2+xy+(1)/(2)y^2即(1)/(2)-x^2-xy (1)/(2)y^2。
三重积分的计算及重积分的应用
三重积分的计算及重积分的应用三重积分是多元函数积分中的一种，用于计算三维空间内的体积、质量、重心、转动惯量等物理量。
在实际应用中，三重积分可以用于求解物体的质心、转动惯量、力矩等问题，对于解决工程问题具有重要的应用价值。
一、三重积分的计算方法1.直接计算法直接计算法是指直接根据题目给出的积分区域及被积函数的表达式，逐步求解三个方向上的单重积分，然后相乘求和得到最终结果。
以计算空间区域内的体积为例，设被积函数为f(x,y,z)，积分区域为D。
则三重积分的计算公式为：V=∬∬∬_Df(x,y,z)dV其中dV表示体积元素，其表达式为：dV = dx dy dz通过逐步计算对应方向上的单重积分，并依次相乘求和，即可得到最终结果。
2.换元积分法换元积分法是指通过变换坐标系，使得原三重积分的积分区域变得简单，从而通过较简单的计算求解三重积分。
例如，对于柱坐标系下的三重积分计算，可以通过将空间直角坐标系(x,y,z)转换为柱坐标系(ρ,θ,z)，从而简化积分区域的描述。
然后，利用变量替换求解对应的柱坐标系下的三重积分。
1.质心的求解质心是物体在三维空间中的一个特殊点，对于均匀物体而言，质心位于其几何中心。
通过三重积分，可以求解复杂物体的质心位置。
设物体的质量密度函数为ρ(x,y,z)，则质心的坐标(x₀,y₀,z₀)可以通过以下公式计算得到：x₀=∬∬∬_Dxρ(x,y,z)dV/my₀=∬∬∬_Dyρ(x,y,z)dV/mz₀=∬∬∬_Dzρ(x,y,z)dV/m其中m表示物体的总质量，D表示物体的几何形状。
2.转动惯量的求解转动惯量是刻画物体对转动运动的惯性特征，通过三重积分可以求解物体的转动惯量。
设物体的质量密度函数为ρ(x,y,z)，则绕一些轴旋转的转动惯量I 可以通过以下公式计算得到：I=∬∬∬_D(y²+z²)ρ(x,y,z)dV3.力矩的求解力矩是物体受力后产生的力矩矩阵，通过三重积分可以计算物体受力后的力矩。
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三重积分的计算方法介绍：三重积分的计算是化为三次积分进行的。
其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。
从顺序看：如果先做定积分⎰21),,(z z dz z y x f ，再做二重积分⎰⎰Dd y x F σ),(，就是“投影法”，也即“先一后二”。
步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。
多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。
σd dz z y x f dv z y x f Dz z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=21]),,([),,(如果先做二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(再做定积分⎰21)(c c dz z F ，就是“截面法”，也即“先二后一”。
步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。
区域z D 的边界曲面都是z 的函数。
计算区域z D 上的二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(，完成了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分⎰21)(c c dz z F ，完成“后一”这一步。
dz d z y x f dv z y x f c c D z]),,([),,(21σ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。
为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。
可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面)（1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）（2） D 是圆域（或其部分），且被积函数形如)(),(22xyf y x f +时，可选择柱面坐标系计算（当Ω为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）（3）Ω是球体或球顶锥体，且被积函数形如)(222z y x f ++时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。
对Ω向其它坐标面投影或Ω不易作出的情形不赘述。
三重积分的计算方法小结：1.对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域Ω及被积函数f(x,y,z)的情况选取。
一般地，投影法（先一后二）：较直观易掌握；截面法（先二后一）： z D 是Ω在z 处的截面，其边界曲线方程易写错，故较难一些。
特殊地，对z D 积分时，f(x,y,z)与x,y 无关，可直接计算z D S 。
因而Ω中只要],[b a z ∈, 且f(x,y,z)仅含z 时，选取“截面法”更佳。
2.对坐标系的选取，当Ω为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成的形体；被积函数为仅含z 或)(22y x zf +时，可考虑用柱面坐标计算。
三重积分的计算方法例题：补例1：计算三重积分⎰⎰⎰Ω=zdxdydz I ，其中Ω为平面1=++z y x 与三个坐标面0,0,0===z y x 围成的闭区域。
解1“投影法” 1.画出Ω及在xoy 面投影域D. 2. “穿线”y x z --≤≤10X 型 D ：xy x -≤≤≤≤101∴Ω：y x z x y x --≤≤-≤≤≤≤101013.计算⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----Ω+---=--===1010322110101102]31)1()1[(21)1(21dx y y x y x dy y x dx zdz dydx zdxdydz I x xyx x241]4123[61)1(6110410323=-+-=-=⎰x x x x dx x解2“截面法”1.画出Ω。
2. ]1,0[∈z 过点z 作垂直于z 轴的平面截Ω得z D 。
z D 是两直角边为x,y 的直角三角形，z y z x -=-=1,13.计算⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰====Ω1110][][zz zD D D dz zS dz dxdy z dz zdxdy zdxdydz I⎰⎰⎰=+-=--==10321010241)2(21)1)(1(21)21(dz z z z dz z z z dz xy z补例2：计算⎰⎰⎰+dv y x 22，其中Ω是222z y x =+和z=1围成的闭区域。
解1“投影法”1.画出Ω及在xoy 面投影域D. 由⎩⎨⎧=+=1222z y x z 消去z ，得122=+y x 即D ：122≤+y x2. “穿线”122≤≤+z y x ，X 型 D ：⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤--≤≤-221111xy x x ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤--≤≤-Ω11111:2222z y x x y x x3.计算⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω---+-----=+-+=+=+xxyx x x dy y x y x dxdz y x dydxdv y x 11111112222221122222226)1(π注：可用柱坐标计算。
解2“截面法”1.画出Ω。
2. ]1,0[∈z 过点z 作垂直于z 轴的平面截Ω得z D ：222z y x ≤+z D ： ⎩⎨⎧≤≤≤≤zr 020πθ用柱坐标计算 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ω10020:z zr πθ3.计算⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω====+=+1010200101030322222632]31[2][][zD z z dz z dz r dz dr r d dz dxdy y x dv y x ππππθ补例3：化三重积分⎰⎰⎰Ω=dxdydz z y x f I ),,(为三次积分，其中Ω：222x 2z 2-=+=及y x z 所围成的闭区域。
解：1.画出Ω及在xoy 面上的投影域D.由 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=22222xz y x z 消去z ，得122=+y x 即D ： 122≤+y x2.“穿线” 22222x z y x -≤≤+X 型 D ：⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤--≤≤-221111xy x x Ω：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤≤+-≤≤--≤≤-22222221111x z y x x y x x3．计算 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω-----+==11112222222),,(),,(x x x y x dz z y x f dydxdxdydz z y x f I注：当),,(z y x f 为已知的解析式时可用柱坐标计算。
补例4：计算⎰⎰⎰Ωzdv ，其中Ω为22226y x z y x z +=--=及所围成的闭区域。
解1“投影法”1.画出Ω及在xoy 面投影域D ， 用柱坐标计算由⎪⎩⎪⎨⎧===z z r y r x θθsin cos 化Ω的边界曲面方程为：z=6-r 2，z=r2.解262=⎩⎨⎧=-=r r z r z 得 ∴D ：2≤r 即⎩⎨⎧≤≤≤≤2020r πθ“穿线”26r z r -≤≤ ∴⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤≤≤≤≤Ω262020:r z r r πθ3．计算⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰---Ω===Dr rr rr rdr z r zdz rdrd rdrd zdz zdv 22262026262]21[2][ππθθ ⎰⎰=+-=--=2522222392)1336(])6[(πππdr r r r dr r r r 。
解2“截面法”1.画出Ω。
如图：Ω由r z r z =-=及26围成。
2. ]6,2[]2,0[]6,0[ =∈z 21Ω+Ω=Ω1Ω由z=r 与z=2围成； ]2,0[∈z ，z D ：z r ≤1Ω：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤20020z z r πθ2Ω由z=2与z=26r -围成； ]6,2[∈z ，z D ：z r -≤62Ω：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤≤≤626020z z r πθ3.计算⎰⎰⎰Ωzdv =⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+ΩΩ2621212][][z z D D dz rdrd z dz rdrd z zdv zdv θθ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-+=-+=+=2622362222622392)6(])6([)]([21πππππdz z z dz z dz z z dz z z dz zS dz zS z z D D 注：被积函数z 是柱坐标中的第三个变量，不能用第二个坐标r 代换。
补例5：计算⎰⎰⎰+dv y x )(22，其中Ω由不等式A z y x a ≤++≤≤2220，0≤z 所确定。
解：用球坐标计算。
由⎪⎩⎪⎨⎧===φρφθρφθρcos sin sin sin cos z y x 得Ω的边界曲面的球坐标方程：A a ≤≤ρP Ω∈，连结OP=ρ，其与z 轴正向的夹角为φ，OP=ρ。
P 在xoy 面的投影为P '，连结P O '，其与x 轴正向的 夹角为θ。
∴Ω：A a ≤≤ρ，20πφ≤≤，πθ20≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=+ππρφρφρφθ202022222sin )sin ()(Aa d d d dv y x =⎰253]51[sin 2πφρφπd A a =)(154132)(52sin )(52555520355a A a A d a A -=⨯⨯-=-⎰ππφφππ三重积分的计算方法练习1. 计算⎰⎰⎰+dv y x )22（，其中Ω是旋转面z y x 222=+与平面z=2,z=8所围成的闭区域。
2. 计算⎰⎰⎰Ω+dv z x )（，其中Ω是锥面22y x z +=与球面221y x z --=所围成的闭区域。
为了检测三重积分计算的掌握情况，请同学们按照例题的格式，独立完成以上的练习，答案后续。