2015-2016学年辽宁沈阳二十一中高二数学学案：2.2.2《反证法》(新人教B版选修2-2)
高中数学 2、2-2-2反证法 新人教A版选修1-2
(2)如图，点A在平面α外，假设经过点A至少有平面α 的两条垂线AB和AC(B、C为垂足)那么AB、AC是两条相交 直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于直线BC， 因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC⊂α，
2．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛 盾可以是与 已知条件 矛盾，或与 假设 矛 盾 ， 或 与定义、公理、 定理 、 事实 矛盾等．
[例1] 求证：若两条平行直线a，b中的一条与平面α 相交，则另一条也与平面α相交．
[证明] 不妨设直线a与平面α相交，b与a平行，从而 要证b也与平面α相交．假设b不与平面α相交，则必有下面 两种情况：(1)b在平面α内．由a∥b，a⊄平面α，得a∥平面α， 与题设矛盾．
求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60°. [证明] 假设△ABC的三个内角A、B、C都小于60°， 即∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°. 相加得∠A＋∠B＋∠C<180°. 这与三角形内角和定理矛盾，所以∠A、∠B、∠C都小 于60°的假定不能成立，从而，一个三角形中，至少有一 个内角不小于60°.
1．反证法证明数学命题的四个步骤 第一步：分清命题的条件和结论； 第二步：做出与命题结论相矛盾的假设； 第三步：由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾 的结果； 第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的 假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为 真．
常见的主要矛盾有：(1)与数学公理、定理、公式、定 义或已被证明了的结论相矛盾；
4．反证法属于逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原 理上，即“否定之否定等于肯定”，其中第一个否定是指 “否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定 了假设”．反证法属于“间接证明方法”，书写格式易错 之处是“假设”错写成“设”．
(新课程)高中数学《2.2.2反证法》教案 新人教A版选修22
1．教学目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。
过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
2.教学重点：了解反证法的思考过程、特点3. 教学难点：反证法的思考过程、特点4．教具准备：与教材内容相关的资料。
5．教学设想：利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。
6．教学过程:学生探究过程：综合法与分析法(1)、反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。
用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n 个/至多有(n 一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。
推理必须严谨。
导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
(2)、例子例1、求证：2不是有理数例2、已知0>>b a ，求证：n n b a >（N n ∈且1>n ）例3、设233=+b a ，求证.2≤+b a证明：假设2>+b a ，则有b a ->2，从而.2)1(68126,61282233323+-=+->+-+->b b b b a b b b a因为22)1(62≥+-b ，所以233>+b a ，这与题设条件233=+b a 矛盾，所以，原不等式2≤+b a 成立。
高中数学2.2.2反证法学案新人教B版选修2_2
2.2.2 反证法1．了解反证法的思考过程、特点．(重点、易混点)2．会用反证法证明简单的数学问题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理反证法阅读教材P66～P67“例3”以上部分，完成下列问题．1．反证法的定义由证明p⇒q转向证明：綈q⇒r⇒…⇒t，t与________矛盾，或与某个________矛盾，从而判定__________，推出________的方法，叫做反证法．2．常见的几种矛盾(1)与假设矛盾；(2)与__________、定理、公式、定义或____________矛盾；(3)与______________矛盾(例如，导出0＝1,0≠0之类的矛盾)．【答案】1．假设真命题綈q为假q为真2．(2)数学公理已被证明了的结论(3)公认的简单事实1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)反证法属于间接证明问题的方法．( )(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．( )(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．( )【答案】(1)√(2)×(3)√2．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设__________．【解析】∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b与c平行或相交．【答案】b与c平行或相交[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]有整数根”，正确的假设是方程存在实数根x0为( )A．整数B．奇数或偶数C．自然数或负整数D．正整数或负整数(2)已知三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．【自主解答】(1)要证明的结论是“方程没有整数根”，故应假设：方程存在实数根x0为整数，故选A.【答案】 A(2)证明：假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b.又a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，即b＝ac，所以a＋c＋2ac＝4ac，所以a＋c－2ac＝0，即(a－c)2＝0，所以a＝c，从而a＝b＝c，所以a，b，c可以成等差数列，这与已知中“a，b，c不成等差数列”相矛盾．原假设错误，故a，b，c不成等差数列．1．用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．2．反证法证明问题的一般步骤[再练一题]1．(2016·晋州高二检测)设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．求证：数列{S n }不是等比数列．【证明】 假设数列{S n }是等比数列，则S 22＝S 1S 3， 即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1(1＋q ＋q 2)， 因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2， 即q ＝0，这与公比q ≠0矛盾． 所以数列{S n }不是等比数列．已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.【精彩点拨】 “不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等于”其对立面为“全部大于”．【自主解答】 假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14.∵a ，b ，c ∈(0,1)， ∴1－a >0,1－b >0,1－c >0. ∴－a ＋b2≥－a b >14＝12.同理－b ＋c 2>12， －c ＋a 2>12. 三式相加得 －a ＋b2＋－b ＋c2＋－c ＋a 2>32， 即32>32，矛盾． 所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：[再练一题]2．已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．【证明】 假设a ，b ，c ，d 都是非负数， 因为a ＋b ＝c ＋d ＝1，所以(a ＋b )(c ＋d )＝1. 又(a ＋b )(c ＋d )＝ac ＋bd ＋ad ＋bc ≥ac ＋bd ， 所以ac ＋bd ≤1， 这与已知ac ＋bd >1矛盾，所以a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．[探究共研型]探究 【提示】 否定结论、导出矛盾，从而证明原结论正确．已知直线m 与直线a 和b 分别交于A ，B 两点，且a ∥b .求证：过a ，b ，m 有且只有一个平面．【精彩点拨】“有且只有”表示“存在且唯一”，因此在证明时，要分别从存在性和唯一性两方面来考虑．【自主解答】因为a∥b，所以过a，b有一个平面α.又因为m∩a＝A，m∩b＝B，所以A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.又因为A∈m，B∈m，所以m⊂α，即过a，b，m有一个平面α，如图．假设过a，b，m还有一个平面β异于平面α，则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β，这与a∥b，过a，b有且只有一个平面矛盾．因此，过a，b，m有且只有一个平面．用反证法证明唯一性命题的一般思路证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性．[再练一题]3．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．【证明】由于f(x)在[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)·f(b)<0，所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)＝0.假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，则n≠m.若n>m，则f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；若n<m，则f(n)<f(m)，即0<0，矛盾．因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．[构建·体系]1．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为( )A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数【解析】自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数，所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．【答案】 D2．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是A．三个内角中至少有一个钝角B．三个内角中至少有两个钝角C．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角【解析】“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．【答案】 B3．“x＝0且y＝0”的否定形式为________．【解析】“p且q”的否定形式为“綈p或綈q”．【答案】x≠0或y≠04．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设________．【解析】“x≠a且x≠b”形式的否定为“x＝a或x＝b”．【答案】x＝a或x＝b5．若a，b，c互不相等，证明：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．【证明】假设三个方程中都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.相加得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，∴a＝b＝c.这与a，b，c互不相等矛盾．∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．实数a，b，c不全为0等价于( )A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0【解析】“不全为0”的对立面为“全为0”，故“不全为0”的含义为“至少有一个不为0”．【答案】 D2．(2014·山东高考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根【解析】 依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根的反面是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根，故应选A.【答案】 A3．已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b 的位置关系为( )A ．一定是异面直线B ．一定是相交直线C ．不可能是平行直线D ．不可能是相交直线【解析】 假设c ∥b ，而由c ∥a ，可得a ∥b ，这与a ，b 异面矛盾，故c 与b 不可能是平行直线，故应选C.【答案】 C4．设a ，b ，c 大于0，则3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a的值( )【导学号：05410049】A ．都大于2B ．至少有一个不大于2C ．都小于2D ．至少有一个不小于2【解析】 假设a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 三个数都小于2，则必有a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a<6，而⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥2a ·1a＋2b ·1b＋2c ·1c＝6，故二者相矛盾．所以假设不成立．【答案】 D5．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是( ) A ．有两个内角是钝角 B ．有三个内角是钝角 C ．至少有两个内角是钝角 D ．没有一个内角是钝角【解析】 “最多只有一个”的否定是“至少有两个”，故选C. 【答案】 C 二、填空题6．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是____________________________________________________________．【解析】 “至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是：没有一个面是三角形或四边形或五边形．【答案】 没有一个面是三角形或四边形或五边形7．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＝1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2. 其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)． 【解析】 假设a ，b 均不大于1，即a ≤1，b ≤1.则①②④均有可能成立，故①②④不能推出“a ，b 中至少有一个大于1”，故选③. 【答案】 ③8．完成反证法证题的全过程．题目：设a 1，a 2，…，a 7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．证明：假设p 为奇数，则__________均为奇数．① 因7个奇数之和为奇数，故有(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)为__________．② 而(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝__________.③ ②与③矛盾，故p 为偶数．【解析】 由假设p 为奇数可知(a 1－1)，(a 2－2)，…，(a 7－7)均为奇数， 故(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数， 这与0为偶数矛盾．【答案】 ①a 1－1，a 2－2，…，a 7－7 ②奇数 ③0 三、解答题 9．已知f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)，证明：方程f (x )＝0没有负数根． 【证明】 假设x 0是f (x )＝0的负数根， 则x 0<0且x 0≠－1且ax 0＝－x 0－2x 0＋1， 由0<ax 0<1⇒0<－x 0－2x 0＋1<1， 解得12<x 0<2，这与x 0<0矛盾，所以假设不成立，故方程f (x )＝0没有负数根．10．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于32.【证明】 假设a ，b ，c 都小于等于32，即a ≤32，b ≤32，c ≤32.∵abc ＝1，∴a ，b ，c 三数同为正或一正两负． 又a ＋b ＋c ＝0，∴a ，b ，c 只能是一正两负， 不妨设a ＞0，b ＜0，c ＜0. 则b ＋c ＝－a ，bc ＝1a，∴b ，c 为方程x 2＋ax ＋1a＝0的两根，∴Δ＝a 2－4a≥0，即a 3≥4.∴a ≥ 34＞3278＝32，这与a ≤32矛盾，∴a ，b ，c 中至少有一个大于32.[能力提升]1．下列命题运用“反证法”证明正确的是( )A ．命题：若a >b >0，则a >b .用反证法证明：假设a >b 不成立，则a <b .若a <b ，则a <b ，与已知a >b 矛盾．故假设不成立，结论a >b 成立B ．命题：已知二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R ，且a ≠0)有实根，求证：Δ＝b 2－4ac ≥0.用反证法证明：假设Δ＝b 2－4ac <0，则ax 2＋bx ＋c ＝0无实根，与已知方程有实根矛盾，∴Δ≥0C ．命题：已知实数p 满足不等式(2p ＋1)(p ＋2)<0，证明：关于x 的方程x 2－2x ＋5－p 2＝0无实数根．用反证法证明：假设方程x 2－2x ＋5－p 2＝0有实数根，由已知实数p 满足不等式(2p ＋1)(p ＋2)<0，解得－2<p <－12，而关于x 的方程x 2－2x ＋5－p 2＝0的根的判别式Δ＝4(p 2－4)，∵－2<p <－12，∴14<p 2<4，∴Δ<0，即关于x 的方程x 2－2x ＋5－p 2＝0无实数根D ．命题：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R .“若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0”．用反证法证明：假设a ＋b <0，则a <－b ，b <－a . ∵f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数， 则f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )，∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．这与已知相矛盾．∴原命题成立【解析】 A ．反证法中的反证不全面，“a >b ”的否定应为“a ≤b ”．B ．本题犯了“循环论证”的错误，实质上没有求出该题．C ．在解题的过程中并没有用到假设的结论，故不是反证法．【答案】 D2．设a ，b ，c 均为正实数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR >0”是“P ，Q ，R 同时大于0”的( ) 【导学号：05410050】A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 首先，若P ，Q ，R 同时大于0，则必有PQR >0成立．其次，若PQR >0，且P ，Q ，R 不都大于0，则必有两个为负，不妨设P <0，Q <0，即a ＋b －c <0，b ＋c －a <0，所以b <0，与b >0矛盾．故P ，Q ，R 都大于0.【答案】 C3．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误；②所以一个三角形不能有两个直角；③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°.上述步骤的正确顺序为__________．【解析】 由反证法证明数学命题的步骤可知，上述步骤的顺序应为③①②.【答案】 ③①②4．已知函数f (x )＝x 22x －2，如果数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝f (a n )，求证：当n ≥2时，恒有a n <3成立．【证明】 假设a n ≥3(n ≥2)，则由已知得a n ＋1＝f (a n )＝a 2n 2a n －2， 所以当n ≥2时，a n ＋1a n ＝a n 2a n －2＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a n －1 ≤12⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＝34＜1(因为a n －1≥3－1)， 又易证a n >0，所以当n ≥2时，a n ＋1<a n ，所以当n ＞2时，a n <a n －1<…<a 2；而当n ＝2时，a 2＝a 212a 1－2＝168－2＝83＜3， 所以当n ≥2时，a n <3；这与假设矛盾，故假设不成立， 所以当n ≥2时，恒有a n <3成立.。
专题2.2.2 反证法(讲)-学年高二数学同步精品课堂(提升版)(新人教A版选修1-2) Word版含解析
一、教学目标：1.知识与技能：(1)了解间接证明的一种基本方法──反证法；(2)了解反证法的思考过程与特点,会用反证法证明数学问题.2.过程与方法:通过学生动手及简单实例,让学生充分体会反证法的数学思想,并学会简单应用.3.情感态度与价值观通过反证法的学习,让学生形成逆向思维的模式,体验数学方法的多样性。
提高学生推导、推理能力及思考问题和解决问题的能力，并在合作探究中找到一种解决生活生产实际问题的新方法。
二.教学重点：了解反证法的思考过程与特点..三.教学难点：正确理解、运用反证法.四.教学方法：多媒体辅助教学；小组合作探究，多元活动.教学过程：一、课前复习与思考：（1）请学生复习旧知，为本节课夯实基础：直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推理证明结论的真实性。
常用的直接证明方法：综合法与分析法。
综合法的思路是由因导果；分析法的思路是执果索因。
（2）让学生思考间接证明是什么？它有哪些方法？（初中所学）间接证明：不是从正面证明命题的真实性，而是证明命题的反面为假，或改证它的等价命题为真，间接地达到证明的目的。
反证法就是一种常用的间接证明方法。
二、探究新知【新课导引】多媒体课件显示9个白色球.上课时要求学生将9个球分别染成红色或绿色.让学生注意观察现象.提问学生，让学生由感性认识上升到理性认识：同学们请看，这9个球无论如何染色，至少有5个球是同色的.你能用数学中的什么方法来证明这个结论吗？【学生自主合作探究】学生阅读完教材后，小组合作探究以下问题：1、什么是反证法？2、反证法的证题步骤有哪几步？3、什么样的命题适合用反证法来证明？4、反证法的应用关键在于什么？【学生展示、交流】（1）反证法概念反证法：假设命题结论不成立（即命题结论的反面成立），经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。
（2）反证法的一般步骤：a、反设：假设命题结论不成立（即假设结论的反面成立）；b、归缪：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；c、下结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立。
高中数学新人教版A版精品教案《2.2.2 反证法》
[教学设计•高中数学]《反证法》教学设计姓名：赵钊学校：西安市铁一中学区县：碑林区：地址：友谊东路12021邮编：710054《反证法》教学设计陕西省西安市铁一中学赵钊第一部分：教学内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书选修2-2》（人教A版）第一章《推理与证明》的第3节《反证法》“逻辑推理能力”是高中数学核心素养中非常重要的一个环节，也是人们学习和生活中，经常使用的思维方式。
推理与证明贯穿于高中数学的整个体系，也是学数学、做数学的基本功。
这一部分的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领的作用第二部分：学生学情诊断学生在初中已经接触过反证法，但是不够系统和详细。
也已经在选修2-1《逻辑与推理》环节接触过命题的真假、逆否命题。
但用反证法证明数学问题却是学生学习的一个难点。
究其原因，主要是反证法的应用需要逆向思维，但在中小学阶段，逆向思维的训练和发展都是不充分的，所以本节课要引导学生联系已学过的教学实例学习新内容进行教学。
由于所教学生基础较好，但是数学思维相对欠缺，对于反证法证明简单命题问题不大，但由于对数论基础知识不是特别专长、对生活中的逻辑学生对数的了解不多，研究不够，所以例1能顺利解决，但是例2例3，解决起来还是会出现一定困难。
第三部分：教学目标设置1知识与能力：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。
通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。
2过程与方法：通过直观感知—观察—操作确认的认识方法培养学生观察、探究、发现的能力和逻辑思维能力。
让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。
3情感、态度、价值观：通过体验数学活动，渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。
人教新课标版-数学-高二(人教B版)选修2-2学案 2.2.2 反证法
2．2.2反证法学习目标 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．知识点反证法王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”思考1本故事中王戎运用了什么论证思想？思考2反证法解题的实质是什么？梳理(1)反证法的概念一般地，由证明p⇒q转向证明：綈q⇒r⇒…⇒t，t与____矛盾，或与____________矛盾，从而判定________为假，推出________为真的方法，叫做反证法．(2)反证法常见的几种矛盾①与假设矛盾；②与____________、定理、公式、定义或______________矛盾；③与________________矛盾(例如，导出0＝1,0≠0之类的矛盾)．(3)反证法证明数学命题的一般步骤①分清命题的________________；②做出与命题________相矛盾的假设；③由________出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果；④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的________不真，于是________成立，从而间接地证明命题为真．类型一用反泟法证明否定性命题例1已知三个正数a，b，c成等比数列但不成等差数列．求证：a，b，c不成等差数列．反思与感悟对某些结论为肯定形式或者否定命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的．跟踪训练1已知正整数，a，b，c满足a2＋b2＝c2.求证：a，b，c不可能都是奇数．类型二用反证法证明“至多、至少”类问题例2a，b，c∈(0,2)，求证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.反思与感悟(1)用反证法证明“至少”“至多”类命题，可减少讨论情况，目标明确．否定结论时需弄清楚结论的否定是什么，避免出现错误．需仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等表达的意思．(2)常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个一个也没有反设词至少有两个至多有n－1个至少有n＋1个(不存在)跟踪训练2已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．类型三用反证法证明唯一性命题例3求证：方程2x＝3有且只有一个根．反思与感悟用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性．跟踪训练3求证：两条相交直线有且只有一个交点．1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设()A．三角形中至少有一个直角或钝角B．三角形中至少有两个直角或钝角C．三角形中没有直角或钝角D．三角形中三个角都是直角或钝角2．用反证法证明“在三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中() A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°3．“a<b”的反面应是()A．a≠b B．a>bC．a＝b D．a＝b或a>b4．用反证法证明“在同一平面内，若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ”时，应假设( )A ．a 不垂直于cB ．a ，b 都不垂直于cC ．a ⊥bD ．a 与b 相交5．已知f (x )＝x 2＋px ＋q .(1)求证：f (1)＋f (3)－2f (2)＝2；(2)求证：|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．答案精析问题导学知识点思考1 运用了反证法思想．思考2 否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确．梳理 (1)假设 某个真命题 綈q q (2)②数学公理 已被证明了的结论 ③公认的简单事实 (3)①条件和结论 ②结论 ③假设 ④假定 原结论题型探究例1 证明 假设a ，b ，c 成等差数列，则2b ＝a ＋c ，∴4b ＝a ＋c ＋2ac .①∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ，②由②得b ＝ac ，代入①式，得a ＋c －2ac ＝(a －c )2＝0，∴a ＝c ，从而a ＝b ＝c .这与已知a ，b ，c 不成等差数列相矛盾，∴假设不成立． 故a ，b ，c 不成等差数列．跟踪训练1 证明 假设a ，b ，c 都是奇数，则a 2，b 2，c 2都是奇数．左边＝奇数＋奇数＝偶数，右边＝奇数，得偶数＝奇数，矛盾．∴假设不成立，∴a ，b ，c 不可能都是奇数．例2 证明 假设(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 都大于1.因为a ，b ，c ∈(0,2)，所以2－a >0,2－b >0,2－c >0.所以(2－a )＋b 2≥(2－a )b >1. 同理，(2－b )＋c 2≥(2－b )c >1， (2－c )＋a 2≥(2－c )a >1. 三式相加，得(2－a )＋b 2＋(2－b )＋c 2＋(2－c )＋a 2>3， 即3>3，矛盾．所以(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 不能都大于1.跟踪训练2 证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点， 由y 1＝ax 2＋2bx ＋c ，y 2＝bx 2＋2cx ＋a ，y 3＝cx 2＋2ax ＋b ，得Δ1＝(2b )2－4ac ≤0，Δ2＝(2c )2－4ab ≤0，且Δ3＝(2a )2－4bc ≤0.同向不等式求和，得4b 2＋4c 2＋4a 2－4ac －4ab －4bc ≤0，所以2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ≤0，所以(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2≤0，所以a ＝b ＝c .这与题设a ，b ，c 互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证．例3 证明 ∵2x ＝3，∴x ＝log 23.这说明方程2x ＝3有根．下面用反证法证明方程2x ＝3的根是唯一的．假设方程2x ＝3至少有两个根b 1，b 2(b 1≠b 2)，则12b ＝3, 22b ＝3，两式相除得122b b -＝1，∴b 1－b 2＝0，则b 1＝b 2，这与b 1≠b 2矛盾．∴假设不成立，从而原命题得证．跟踪训练3 证明 设两直线为a 、b ，假设结论不成立，即有两种可能：无交点；至少有两个交点．(1)若直线a ，b 无交点，那么a ∥b 或a ，b 是异面直线，与已知矛盾；(2)若直线a ，b 至少有两个交点，设为A 和B ，这样同时经过点A ，B 就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．所以假设不成立，两条相交直线有且只有一个交点．当堂训练1．B 2.B 3.D 4.D5．证明 (1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝(1＋p ＋q )＋(9＋3p ＋q )－2(4＋2p ＋q )＝2.(2)假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12不成立， 则|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|<2.因为|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|≥f (1)＋f (3)－2f (2) ＝(1＋p ＋q )＋(9＋3p ＋q )－(8＋4p ＋2q )＝2， 这与|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|<2相矛盾， 所以假设不成立，原命题成立，所以|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不少于12.。
高中数学 2.2.2反证法教案 新人教A版选修2-2
2.2.2反证法教学建议1.教材分析本节主要内容是反证法的概念及应用反证法进行证明的一般步骤,通过学习本节内容,对培养学生的逆向思维是非常有利的,反证法是间接证明的一种基本方法.重点:了解反证法的含义及思维过程和特点,并能简单应用.难点:应用反证法解决问题.2.主要问题及教学建议(1)方法的选择.建议教师要求学生总结何时采用反证法证明更好.当问题涉及否定性,唯一性,至多,至少等字眼或问题很显然从正面无法下手时可以考虑反证法.(2)证明过程中的问题.建议教师注意展示学生的证明过程,有针对性地改正以下错误现象:不会反设或反设不全面,反设后不会应用反设(若不用反设就不是反证法了),对推出矛盾没有预见性或推不出矛盾,引导学生学会制造矛盾.备选习题1.如图,设SA,SB是圆锥SO的两条母线,O是底面圆的圆心,C是SB上一点.求证:AC与平面SOB不垂直.证明:如图,连接AB,OB,假设AC⊥平面SOB.∵直线SO在平面SOB内,∴AC⊥SO.∵SO⊥底面圆O,∴SO⊥AB.又AB∩AC=A,∴SO⊥平面ABC,∴平面ABC∥底面圆O.这显然与AB⊂底面圆O矛盾,∴假设不成立.故AC与平面SOB不垂直.2.设{a n}是公比为q的等比数列,S n是它的前n项和.(1)求证:数列{S n}不是等比数列;(2)数列{S n}是等差数列吗?为什么?(1)证明:反证法:假设{S n}是等比数列,则=S1S3,即(1+q)2=a1·a1(1+q+q2).∵a1≠0,∴(1+q)2=1+q+q2,即q=0,与q≠0矛盾,∴{S n}不是等比数列.(2)解:当q=1时,{S n}是等差数列.当q≠1时,{S n}不是等差数列.假设q≠1时,{S n}是等差数列,则S1,S2,S3成等差数列,即2S2=S1+S3.∴2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2).由于a1≠0,∴2(1+q)=2+q+q2,q=q2.∵q≠1,∴q=0,与q≠0矛盾.∴当q≠1时,{S n}不是等差数列.第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
高中数学 2.2.2 反证法学案 新人教A版选修2-2
2.2.1 综合法和分析法学习目标：1、了解反证法是间接证明的一种基本方法；2、理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题。
一、主要知识：1、反证法： 。
2、反证法常见矛盾类型： 。
二、典例分析：〖例1〗：〖例2〗：已知函数()()201xx f x a a x -=+>-，请用反证法证明：方程()0f x =没有负实数根。
〖例3〗：已知,0x y >，且2x y +>，求证：11,x y y x++中至少有一个小于2。
〖例4〗：设0,,2a b c <<，求证：(2),(2),(2)a c b a c b ---不可能同时大于1。
三、课后作业：1、用反证法证明命题“三角形内角中至少有一个大于60”时，反设正确的是（ ）A 、假设三个内角都不大于60 B 、假设三个内角都大于60C 、假设三个内角至多有一个大于60 D 、假设三个内角至多有两个大于602、设,,a b c 都是正数，则三个数111,,a b c b c a +++（ ） A 、都大于2 B 、至少有一个大于2 C 、至少有一个不大于2 D 、至少有一个不小于23、用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程20ax bx c ++=有有理根，那么,,a b c 中存在偶数”时，否定结论应为（ ）A 、,,a b c 都是偶数B 、,,a b c 都不是偶数C 、,,a b c 中至多一个是D 、,,a b c 中至多有两个偶数 4、已知110,1x x >≠且()()21231,2,31n n n n x x x n x ++==+。
试证：数列{}n x 或者对任意正整数都满足1n n x x +<，或者对任意正整数都满足1n n x x +>。
当此题用反证法否定结论时，应为（ ）A 、对任意正整数n ，有1n n x x +=B 、存在正整数n ，使1n n x x +=C 、存在正整数n ，使1n n x x -≥且1n n x x +≥D 、存在正整数n ，()()110n n n n x x x x -+--≥5、两条直线,l m 都在平面α内且都不在β内。
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1 2.2.2反证法
【教学目标】通过实例，体会反证法的含义；培养用反证法简单推理的技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力，了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题；构造和谐的教学氛围，增加互动，培养他们勇于探索和创新精神以及优化他们的个性品质.
【教学重点】体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤
【教学难点】理解反证法证明得出矛盾的所在
一、课前预习：（阅读教材66页，完成知识点填空）
1.反证法：一般地，由证明q p ⇒转向证明 ，t 与 矛盾，或与 矛盾，从而判断 为假，推出q 为真的方法叫做反证法。
2.矛盾主要是指：（1）与 矛盾；
（2）与 矛盾；
（3）与 矛盾.
3.反证法不是 去证明结论，而是先 结论，在否定结论的基础上，运用 ，导出矛盾，从而肯定结论的真实性.
4..反证法解题的一般步骤：否定结论，推理论证，导出矛盾，肯定结论。
二、课上学习：
用反证法证明“至多”“至少”型命题
例1. 已知0,>y x ，且2>+y x .
求证：x
y y x ++1,1中至少有一个小于2.
三、课后练习：
1.证明二次函数,2,222a cx bx y c bx ax y ++=++=b ax cx y ++=22 ()0,,≠c b a （c b a ,,是互不相同的实数），它们的图像至少有一个与x 轴有两个交点。