高中数学选修2-2人教A版2.2.2反证法
合集下载
人教a版数学【选修2-2】2.2.2《反证法》ppt课件
成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
推理与证明
第二章 2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反证法
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
巩固提高学案
4
备 选 练 习
自主预习学案
理解反证法的概念，掌握反证法的特点及证题的步骤．
重点：反证法概念的理解以及反证法的证题步骤． 难点：反证法的应用．
已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2. [解析] 假设p＋q>2，那么p>2－q，所以p3>(2－q)3＝8－12q ＋6q2－q3，将p3＋q3＝2代入消去p，得6q2－12q＋6<0，即 6(q－1)2<0.这与6(q－1)2≥0矛盾，故假设错误．所以p＋q≤2. [点评] 本题已知条件为p、q的三次幂，而结论中只有p，q 的一次幂，若直接证明，应考虑到用立方根，同时用放缩法 ，但很难证，故考虑采用反证法.
[方法规律总结] 用反证法证明数学命题的步骤 第一步：审题，分清命题的条件和结论； 第二步：反设，做出与命题结论相矛盾的假设； 第三步：归谬，由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾 的结果； 第四步：下结论，断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做 的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真 ．
典例探究学案
用反证法证明直接证明不易入手的问题
求证：若两条平行直线 a、b 中的一条与平面 α 相交，则另一条也与平面 α 相交．
[分析] 直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反 证法，注意该命题的反面情形不止一种，需一一驳倒，才能 推出命题结论正确．
[解析] 不妨设直线a与平面α相交，b与a平行，从而要证b 也与平面α相交．假设b不与平面α相交，则必有下面两种情 况：(1)b在平面α内．由a∥b，a⊄平面α，得a∥平面α，与题 设矛盾． (2)b∥平面α. 则平面α内有直线b′，使b∥b′. 而a∥b，故a∥b′，因为a⊄平面α，所以a∥平面α，这也与 题设矛盾． 综上所述，b与平面α只能相交．
人教A版 · 选修2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
推理与证明
第二章 2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反证法
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
巩固提高学案
4
备 选 练 习
自主预习学案
理解反证法的概念，掌握反证法的特点及证题的步骤．
重点：反证法概念的理解以及反证法的证题步骤． 难点：反证法的应用．
已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2. [解析] 假设p＋q>2，那么p>2－q，所以p3>(2－q)3＝8－12q ＋6q2－q3，将p3＋q3＝2代入消去p，得6q2－12q＋6<0，即 6(q－1)2<0.这与6(q－1)2≥0矛盾，故假设错误．所以p＋q≤2. [点评] 本题已知条件为p、q的三次幂，而结论中只有p，q 的一次幂，若直接证明，应考虑到用立方根，同时用放缩法 ，但很难证，故考虑采用反证法.
[方法规律总结] 用反证法证明数学命题的步骤 第一步：审题，分清命题的条件和结论； 第二步：反设，做出与命题结论相矛盾的假设； 第三步：归谬，由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾 的结果； 第四步：下结论，断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做 的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真 ．
典例探究学案
用反证法证明直接证明不易入手的问题
求证：若两条平行直线 a、b 中的一条与平面 α 相交，则另一条也与平面 α 相交．
[分析] 直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反 证法，注意该命题的反面情形不止一种，需一一驳倒，才能 推出命题结论正确．
[解析] 不妨设直线a与平面α相交，b与a平行，从而要证b 也与平面α相交．假设b不与平面α相交，则必有下面两种情 况：(1)b在平面α内．由a∥b，a⊄平面α，得a∥平面α，与题 设矛盾． (2)b∥平面α. 则平面α内有直线b′，使b∥b′. 而a∥b，故a∥b′，因为a⊄平面α，所以a∥平面α，这也与 题设矛盾． 综上所述，b与平面α只能相交．
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第二章 2.2 2.2.2 反 证 法
栏 目 链 接
自 测 自 评
上述步骤的正确顺序为________(填序号)．
解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序 应为③①②. 答案：③①②
栏 目 链 接
自 测 自 评
3.“实数 a，b，c 不全大于 0”等价于( A．a，b，c 均不大于 0 B．a，b，c 中至少有一个大于 0 C．a，b，c 中至多有一个大于 0 D．a，b，c 中至少有一个不大于 0
栏 目 链 接
题型3
用反证法证明唯一性命题
例3 用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直 线b与已知直线a平行．
栏 目 链 接
证明：假设过点 A 还有一条直线 b′与已知直 线 a 平行，即 b∩b′＝A，b′∥a.因为 b∥a，由平 行公理知 b′∥b.这与假设 b∩b′＝A 矛盾，所以 假设错误，故原命题成立．
栏 目 链 接
跟 踪 训 练
1．已知三个正数 a，b，c 成等比数列，但不成等差数 列，求证： a， b， c不成等差数列．
解析： 假设 a， b， c成等差数列， 则 a＋ c＝2 b， 即 a＋c＋2 ac＝4b， 而 b2＝ac，即 b＝ ac，所以 a＋c＋2 ac＝4 ac， 所以( a－ c)2＝0.即 a＝ c， 从而 a＝b＝c，与 a，b，c 不成等差数列矛盾， 故 a， b， c不成等差数列．
证明：假设方程 f(x)＝0 在区间[a，b]上至少有两个实 根，设 α、β 为其中的两个实根．因为 α≠β，不妨设 α ＜β，又因为函数 f(x)在[a，b]上是单调递减函数，所以 f(α)＞f(β)．这与假设 f(α)＝0＝f(β)矛盾，所以方程 f(x) ＝0 在区间[a，b]上至多有一个实根．
2
栏 目 链 接
自 测 自 评
上述步骤的正确顺序为________(填序号)．
解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序 应为③①②. 答案：③①②
栏 目 链 接
自 测 自 评
3.“实数 a，b，c 不全大于 0”等价于( A．a，b，c 均不大于 0 B．a，b，c 中至少有一个大于 0 C．a，b，c 中至多有一个大于 0 D．a，b，c 中至少有一个不大于 0
栏 目 链 接
题型3
用反证法证明唯一性命题
例3 用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直 线b与已知直线a平行．
栏 目 链 接
证明：假设过点 A 还有一条直线 b′与已知直 线 a 平行，即 b∩b′＝A，b′∥a.因为 b∥a，由平 行公理知 b′∥b.这与假设 b∩b′＝A 矛盾，所以 假设错误，故原命题成立．
栏 目 链 接
跟 踪 训 练
1．已知三个正数 a，b，c 成等比数列，但不成等差数 列，求证： a， b， c不成等差数列．
解析： 假设 a， b， c成等差数列， 则 a＋ c＝2 b， 即 a＋c＋2 ac＝4b， 而 b2＝ac，即 b＝ ac，所以 a＋c＋2 ac＝4 ac， 所以( a－ c)2＝0.即 a＝ c， 从而 a＝b＝c，与 a，b，c 不成等差数列矛盾， 故 a， b， c不成等差数列．
证明：假设方程 f(x)＝0 在区间[a，b]上至少有两个实 根，设 α、β 为其中的两个实根．因为 α≠β，不妨设 α ＜β，又因为函数 f(x)在[a，b]上是单调递减函数，所以 f(α)＞f(β)．这与假设 f(α)＝0＝f(β)矛盾，所以方程 f(x) ＝0 在区间[a，b]上至多有一个实根．
2
栏 目 链 接
数学选修2-2人教新课标A版2-2-2反证法课件(17张)
反证法的思维方法：
正难则反
反证法的一般步骤：
(1)假设命题的结论不成过推理 论证，得出矛盾；
(3) 由矛盾判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。
反设 归谬 结论
常用的互为否≥1定的表述方＜式1：
至少有一个≥—3 — 一个也＜没3有 至少有三个—≥n— 至多有两＜n个 至少有n个——≤1 至多有(n-＞1)1个 最多有一个—— 至少有两个
翻转3个奇数之和次,即要翻转奇数次.
但由于每次用双手同时翻转2枚硬币,3枚硬币被
翻转的次数只能是2 的倍数,即偶数次.这个矛盾
说明假设错误,原结论正确,即无论怎样翻转都不
能使3枚硬币全部反面朝上.
反证法：
一般地，假设原命题不成立（即在原命 题的条件下，结论不成立），经过正确的 推理,最后得出矛盾，因此说明假设错误, 从而证明原命题成立,这样的的证明方法 叫反证法。
准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是 一些常见的结论的否定形式.
原词语 否定词 原词语
等于 不等于 任意的
是
不是 至少有一个
都是 不都是 至多有一个
大于 不大于 至少有n个 小于 大于或等于 至多有n个
对所有x, 存在某x， 对任何x，
成立 不成立
不成立
否定词
某个
一个也没有 至少有两个 至多有（n-1)个 至少有（n+1)个 存在某x, 成立
高中人教A版选修《数学2-2》
2.2.2反证法
直接证明（综合法和分析法）
上述两种证法有什么异同？
相同 都是直接证明 不同 证法1综合法：由因导果，形式简洁，易于表述 ；
证法2分析法：执果索因，利于思考，易于探路
反证法是间接证明的一种基本方法.我们对 于这种方法其实并不 陌生,在日常生活或解 决某些数学问题时, 有时会不自觉地使用反 证法.
正难则反
反证法的一般步骤：
(1)假设命题的结论不成过推理 论证，得出矛盾；
(3) 由矛盾判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。
反设 归谬 结论
常用的互为否≥1定的表述方＜式1：
至少有一个≥—3 — 一个也＜没3有 至少有三个—≥n— 至多有两＜n个 至少有n个——≤1 至多有(n-＞1)1个 最多有一个—— 至少有两个
翻转3个奇数之和次,即要翻转奇数次.
但由于每次用双手同时翻转2枚硬币,3枚硬币被
翻转的次数只能是2 的倍数,即偶数次.这个矛盾
说明假设错误,原结论正确,即无论怎样翻转都不
能使3枚硬币全部反面朝上.
反证法：
一般地，假设原命题不成立（即在原命 题的条件下，结论不成立），经过正确的 推理,最后得出矛盾，因此说明假设错误, 从而证明原命题成立,这样的的证明方法 叫反证法。
准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是 一些常见的结论的否定形式.
原词语 否定词 原词语
等于 不等于 任意的
是
不是 至少有一个
都是 不都是 至多有一个
大于 不大于 至少有n个 小于 大于或等于 至多有n个
对所有x, 存在某x， 对任何x，
成立 不成立
不成立
否定词
某个
一个也没有 至少有两个 至多有（n-1)个 至少有（n+1)个 存在某x, 成立
高中人教A版选修《数学2-2》
2.2.2反证法
直接证明（综合法和分析法）
上述两种证法有什么异同？
相同 都是直接证明 不同 证法1综合法：由因导果，形式简洁，易于表述 ；
证法2分析法：执果索因，利于思考，易于探路
反证法是间接证明的一种基本方法.我们对 于这种方法其实并不 陌生,在日常生活或解 决某些数学问题时, 有时会不自觉地使用反 证法.
人教A选修2-211-12学年高二数学：2.2.2 反证法 课件(人教A版选修2-2)
[例3] 已知：一点A和平面α. 求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直． [分析]
[解析] 根据点A和平面α的位置关系，分 两种情况证明． (1)如图1，点A在平面α内，假设经过点A 至少有平面α的两条垂线AB、AC，那么AB、 AC是两条相交直线，它们确定一个平面β， 平面β和平面α相交于经过点A的一条直线a.
[点评] 1.本题的解答依赖于等差和等比 数列的概念和性质，体现了特殊化思想、 分类讨论思想和正难则反的思维策略．对 代数的推理能力要求较高． 2．结论中含有“不”、“不是”、“不 可能”、“不存在”等词语的命题，此类 问题的反面比较具体，适于应用反证法．
3．反证法属逻辑方法范畴，它的严谨体 现在它的原理上，即“否定之否定等于肯 定”，其中：第一个否定是指“否定结论 (假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结 果否定了假设”．反证法属“间接解题方 法”，书写格式易错之处是“假设”易错 写成“设”．
2．命题“三角形中最多只有一个内角是 直角”的结论的否定是 ( ) A．两个内角是直角 B．有三个内角是直角 C．至少有两个内角是直角 D．没有一个内角是直角 [答案] C [解析] “最多只有一个”即为“至多一 个”，反设应为“至少有两个”，故应选 C.
3．如果两个实数之和为正数，则这两个 数( ) A．一个是正数，一个是负数 B．两个都是正数 C．至少有一个正数 D．两个都是负数 [答案] C [解析] 假设两个数都是负数，则两个数 之和为负数，与两个数之和为正数矛盾， 所以两个实数至少有一个正数，故应选C.
[分析] 本题中，含有“至少存在一个” 词，可考虑使用反证法．
[证明]
1 假设不存在 x∈[－1,1]上一个 x 满足|f(x)|≥2.
2.2.2反 证 法
证明：假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，
设α，β为其中的两个实根．因为α≠β，不妨设α<β，又因为函 数f(x)在[a，b]上是增函数，所以f(α)<f(β)，与f(α)＝0＝f(β)矛 盾． 所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多只有一个实根．
金品质•高追求
我们让你更放心！
金品质•高追求
我们让你更放心！
返回
◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆
用反证法证明“至少”、“至多”等存在性 问题 若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋π ，b＝y2－2z
2 π π ＋ ，c＝z2－2x＋ ，求证：a，b，c中至少有一个大于0. 3 6
证明：假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a ＋b＋c≤0. π π π 2 2 2 而a＋b＋c＝x －2y＋2＋y －2z＋3 ＋z －2x＋6 ＝ (x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.
∵π－3>0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0， ∴a＋b＋c>0， 这与a＋b＋c≤0矛盾． 因此，a，b，c中至少有一个大于0.
金品质•高追求 我们让你更放心！
返回
◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆
跟踪训练 2．已知：x，y>0，且x＋y>2.
1＋x 1＋y 中至少有一个小于2. 求证： ，
金品质•高追求
我们让你更放心！
返回
◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆
证明：假设p＋q>2，那么p>2－q， ∴p3>(2－q)3＝8－12q＋6q2－q3. 将p3＋q3＝2代入得6q2－12q＋6<0， 即6(q－1)2<0， 由此得出矛盾． ∴p＋q≤2. 点评：当命题“结论反面”比“结论”更为明确具体时， 宜用反证法． 金品质•高追求 我们让你更放心！
2018版高中数学人教A版选修2-2课件：2-2-2 反证法
证法一:假设 ������ + ������为有理数,令 ������ + ������ = ������, 则 ������ = ������ − ������, 两边平方,得 b=t2-2������ ������ + ������, 所以 ������ = 因为 a,b,t
������2 +������-������ 均为有理数,所以 也是有理数. 2������ ������2 +������-������ . 2������
2.2.2 反证法
-1-
目标导航
1.了解反证法是间接证明的一种基本方法. 2.理解反证法的思考过程,会用反证法证明数学问题.
重难聚焦
1.怎样理解反证法的概念? 剖析:(1)反证法不是直接去证明结论,而是先否定结论,在否定结 论的基础上,运用演绎推理,导出矛盾,从而肯定结论的真实性. (2)反证法属逻辑方法范畴,它的严谨体现在它的原理上,即“否定 之否定等于肯定”.其中,第一个否定是指“否定结论(假设)”;第二个 否定是指“逻辑推理结果否定了假设”.反证法属“间接解题方法”,书 写格式易错之处是“假设”易错写成“设”. 2.反证法解题的实质是什么? 剖析:用反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾,从而证明原 结论正确.否定结论:对结论的反面要一一否定,不能遗漏;要注意用 反证法解题,“否定结论”在推理论证中作为已知使用,导出矛盾是指 在假设的前提下,逻辑推理结果与“已知条件、假设、公理、定理 或显然成立的事实”等相矛盾.
������-2 ������+1
������ > 1 . 用反证法证明
方程������(������) = 0 没有负数根. 证法一:假设存在 x0<0(x0≠-1)满足 f(x0)=0,
(人教A版)数学【选修2-2】2-2-2《反证法》ppt课件
规律技巧 用反证法证明“至多”“至少”型命题，可减 少讨论情况，目标明确．否定结论时需弄清楚结论的否定是什 么，避免出现错误．需仔细体会“至多有一个”“至少有一 个”的含义.
三 用反证法证明否定性命题 【例3】 求证抛物线上任取四点所组成的四边形不可能
是平行四边形．
已知：如图所示，A，B，C，D是抛物线y2＝2px(p>0)上的 任意四点，其坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4， y4)．连接AB，BC，CD，DA.
答案 D
3．求证：如果a>b>0，那么n
n a>
b(n∈N，且n>1)．
证明 假设n a不大于n b，则n a＝n b，或n a<n b.
当n a＝n b时，则有a＝b. 这与a>b>0相矛盾．
当n
n a<
b时，则有a<b，
这也与a>b相矛盾．
所以n
a>
b.
4．若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋
求证：四边形ABCD不可能是平行四边形． 【分析】 解答本题的关键在于通过假设，根据平行四边 形对边所在直线的斜率相等，推出结论与已知条件相矛盾，从 而肯定原命题正确．
【证明】 由题意得，直线AB的斜率为 kAB＝xy22－－xy11＝y12＋py2，同理kBC＝y32＋py2， kCD＝y42＋py3，kDA＝y12＋py4. 假设四边形ABCD为平行四边形，则有kAB＝kCD，kBC＝kDA. 即有yy23＋ ＋yy12＝ ＝yy31＋ ＋yy44， ，① ② 由①－②，得y1－y3＝y3－y1，
π 2
，b＝y2－2z＋
π3，c＝z2－2x＋6π.
2014年人教A版选修2-2课件 2.2 直接证明与间接证明
2.1 合情推理与演绎推理 2.2 直接证明与间接证明 2.3 数学归纳法 第二章 小结
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法与分析法
2.2.2 反证法
2.2.1的证明顺序是怎样的? 2. 什么是分析法? 它的证明顺序是怎样的? 3. 综合法与分析法有什么关系?
从要证明的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分 条件, 直至最后, 把要证明的结论归结为判定一个明 显成立的条件 (已知、定理、定义、公理等). 这种证 明的方法叫做分析法. 用 Q 表示要证明的结论, 则可有框图表示为: QP1 P1P2 P2P3 …
明显成立的条件
例2. 求证 3 + 7 2 5 .
例3. 已知 a , b k + (k Z), 且 sinq+cosq=2sina, 2 sinq · cosq=sin2b. 求证: 1 - tan2 a = 1 - tan2 b . 1 + tan2 a 2(1 + tan2 b ) 证明: 由 sinq+cosq=2sina, sinq · cosq=sin2b 消去 q 得 4sin2a-2sin2b=1. 1 - tan2 a = 1 - tan2 b , 要证 1 + tan2 a 2(1 + tan2 b ) 2 2 sin b sin a 1- 2 1- 2 cos b cos a = , 只需证 2 2 1 + sin 2a 2(1 + sin 2 b ) cos a cos b cos2 a - sin2 a = cos2 b - sin2 b , 即证 cos2 a + sin2 a 2(cos2 b + sin2 b )
3. 已知 tana+sina=a, tana-sina=b, 求证 (a2-b2)2=16ab. 证明: 解关于 tana 和 sina 的方程组 tana + sina = a, tana - sina = b. 得 tana = a + b , sina = a - b . 2 2 又由 tana = sina 得 cosa = a - b . cosa a+b 因为 sin2a+cos2a=1, 所以得 ( a - b )2 + ( a - b )2 = 1, 2 a+b 整理得 (a2-b2)2=16ab.
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法与分析法
2.2.2 反证法
2.2.1的证明顺序是怎样的? 2. 什么是分析法? 它的证明顺序是怎样的? 3. 综合法与分析法有什么关系?
从要证明的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分 条件, 直至最后, 把要证明的结论归结为判定一个明 显成立的条件 (已知、定理、定义、公理等). 这种证 明的方法叫做分析法. 用 Q 表示要证明的结论, 则可有框图表示为: QP1 P1P2 P2P3 …
明显成立的条件
例2. 求证 3 + 7 2 5 .
例3. 已知 a , b k + (k Z), 且 sinq+cosq=2sina, 2 sinq · cosq=sin2b. 求证: 1 - tan2 a = 1 - tan2 b . 1 + tan2 a 2(1 + tan2 b ) 证明: 由 sinq+cosq=2sina, sinq · cosq=sin2b 消去 q 得 4sin2a-2sin2b=1. 1 - tan2 a = 1 - tan2 b , 要证 1 + tan2 a 2(1 + tan2 b ) 2 2 sin b sin a 1- 2 1- 2 cos b cos a = , 只需证 2 2 1 + sin 2a 2(1 + sin 2 b ) cos a cos b cos2 a - sin2 a = cos2 b - sin2 b , 即证 cos2 a + sin2 a 2(cos2 b + sin2 b )
3. 已知 tana+sina=a, tana-sina=b, 求证 (a2-b2)2=16ab. 证明: 解关于 tana 和 sina 的方程组 tana + sina = a, tana - sina = b. 得 tana = a + b , sina = a - b . 2 2 又由 tana = sina 得 cosa = a - b . cosa a+b 因为 sin2a+cos2a=1, 所以得 ( a - b )2 + ( a - b )2 = 1, 2 a+b 整理得 (a2-b2)2=16ab.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.由这个假．设．出发,经过正确的推理, 归谬
导出矛盾;
推理过程中一定要用到才行
显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾).
3.由矛盾判定假设不正确,从而肯定
命题的结论正确.
结论
统编版优秀公开课课件下载PPT课件高 中数学 选修2- 2人教A 版 2.2.2反证法(共16张PPT)人教版部编 版
统编版优秀公开课课件下载PPT课件高 中数学 选修2- 2人教A 版 2.2.2反证法(共16张PPT)人教版部编 版
什么是反证法？ 统编版优秀公开课课件下载PPT课件高中数学选修2-2人教A版 2.2.2反证法(共16张PPT)人教版部编版
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，
最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命
题成立，这样的证明方法叫做反证法(归谬法).
反证法证明命题的一般步骤如下:
1.假设结论的反面成立; 反设
执果索因:(结论) B B1 Bn A (已知)
2.反证法是一种常用的间接证明方法.
(1)用反证法证明命题的一般步骤是什么? ①反设②归谬③结论
(2)用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些? 用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾,与
假设矛盾,与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等． (3)适宜使用反证法的情况: 正难则反! (1)结论以否定形式出现；(2)结论以“至多---,” ,“至少---” 形式出现；(3)唯一性、存在性问 题;(4)结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题。
统编版优秀公开课课件下载PPT课件高 中数学 选修2- 2人教A 版 2.2.2反证法(共16张PPT)人教版部编 版
例3:用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦 统编版优秀公开课课件下载PPT课件高中数学选修2-2人教A版 2.2.2反证法(共16张PPT)人教版部编版
不能互相平分。
已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点P，且
统编版优秀公开课课件下载PPT课件高 中数学 选修2- 2人教A 版 2.2.2反证法(共16张PPT)人教版部编 版
例2 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有 一个根．
证：假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根，
不妨设其中的两根分别为x1，x2且x1 ≠ x2 则ax1 = b，ax2 = b ∴ ax1 = ax2 ∴ ax1 - ax2 = 0 ∴a（x1 - x2）= 0 ∵ x1 ≠ x2，x1 - x2 ≠ 0 ∴a = 0 与已知a ≠ 0矛盾, 故假设不成立，结论成立。
统编版优秀公开课课件下载PPT课件高 中数学 选修2- 2人教A 版 2.2.2反证法(共16张PPT)人教版部编 版
2.2.2 反证法
反证法
阅读下面的故事,体会其中的推理: 《路边苦李》
古时候有个人叫王戎，7 岁那年的某一天和 小伙伴在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得 把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王 戎站着没动。他说：“李子是苦的,我不吃。”小伙 伴摘来一尝，李子果然苦的没法吃。小伙伴问王 戎:“这就怪了!你又没有吃,怎么知道李子是苦的 啊?”王戎说:“如果李子是甜的,树长在路边,李 子早就没 了！李子现在还那么多 ,所以啊,肯定李 子是苦的，不好吃!”
数学上很多有名的结论都是用反证法得证的.比如说,
素数有无穷多个, 2 是无理数的证明等.
统编版优秀公开课课件下载PPT课件高 中数学 选修2- 2人教A 版 2.2.2反证法(共16张PPT)人教版部编 版
方法小结: 统编版优秀公开课课件下载PPT课件高中数学选修2-2人教A版 2.2.2反证法(共16张PPT)人教版部编版 1直接证明:直接从原命题的条件逐步推得结论成立. ⑴综合法──联想尝试(浮想联翩,尝试前进!) 由⑵因分导析果法:─(已─知转)化A尝试B(1执果索因,B妙n 在转 B (化结!论) )
例1：用反证法证明： 如果a>b>0，那么 a > b 证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
若 a = b，则a = b,与已知a > b矛盾, 若 a < b，则a < b, 与已知a > b矛盾, 故假设不成立，结论 a > b成立。
统编版优秀公开课课件下载PPT课件高 中数学 选修2- 2人教A 版 2.2.2反证法(共16张PPT)人教版部编 版
AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分. A
证明：假设弦AB、CD被P平分，
O
D
由于P点一定不是圆心O，连结OP，根据垂径
定理的推论，有OP⊥AB，OP⊥CD，
P C
即过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂线性质矛盾。
B
所以，弦AB、CD不被P平分。
反 证法是一 种重要的 数学思想 方法， 对于那些 含有否 定词的命题，“至少”型命题、唯一性命题，尤为适宜。牛 顿说：“反证法是数学上最精良的武器之一.” 这就充分肯 定了这一方法的积极作用和不可动摇的重要地位。
你能举出一个类似故事《路边苦李》中的推理 的例子吗？
“昨晚下雨了……”
下面的计算结果是否正确：
123456789 999999999 123456789876543211
当我们直接从正面考虑不易解决问题时,于是就要 改变思维方向,从结论入手,反面思考。这种从“正面难 解决就从反面思考”的思维方式就是我们通常所说的 间接解法中的一种——反证法. (又比如课本的思考)
统编版优秀公开课课件下载PPT课件高 中数学 选修2- 2人教A 版 2.2.2反证法(共16张PPT)人教版部编 版
统编版优秀公开课课件下载PPT课件高 中数学 选修2- 2人教A 版 2.2.2反证法(共16张人教版部编 版
说明：常用的正面叙述词语及其否定：
正面 词语
否定
等于 不等于
大于（>） 小于 (<) 是
小于或 大于或 等于（≤） 等于（≥） 不是
都是 不都是
正面 至多有 至少有 任意的 所有的 至多有n 任意
词语 一个 一个
个 两个
至少有 一个也 否定 两个 没有
某个
某些 至少有n 某两个 ＋1个
统编版优秀公开课课件下载PPT课件高 中数学 选修2- 2人教A 版 2.2.2反证法(共16张PPT)人教版部编 版