人教版数学高二A版选修4-4反证法教案
反证法教案高中数学
反证法教案高中数学
一、教学内容：反证法
二、教学目标：
1. 了解反证法的基本概念和应用；
2. 能够灵活运用反证法解决问题。
三、教学重点和难点：
1. 反证法的基本原理和思想；
2. 如何正确运用反证法进行证明。
四、教学准备：
1. 教材：高中数学教材；
2. 教具：黑板、彩色粉笔、教学PPT等。
五、教学步骤：
1. 引入：通过一个生活中的例子引发学生对反证法的兴趣，引出反证法的概念。
2. 讲解：讲解反证法的基本原理和思想，以及在数学证明中的应用方法。
3. 练习：设计一些简单的例题，让学生通过反证法进行证明。
4. 拓展：提供一些更具挑战性的问题，引导学生灵活运用反证法解决问题。
5. 总结：对本节课内容进行总结，并强调反证法在解决问题中的重要性。
六、课后作业：
1. 完成课堂练习题，并写出解题思路；
2. 查找一些实际问题，尝试用反证法进行证明。
七、教学反思：
在教学中要注重引导学生思考和灵活运用反证法，培养其逻辑思维和解决问题的能力，同时要注重培养学生的合作意识和自主学习能力。
人教课标版高中数学选修1-2：《反证法》教案-新版
2.2.2 反证法一、教学目标1．核心素养培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力2．学习目标（1）理解反证法的概念（2）体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤（3）会用反证法证明简单的命题3．学习重点对反证法的概念和三个步骤的理解与掌握．4．学习难点理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据．二、教学设计（一）课前设计【学习过程】1．预习任务任务1预习教材P42—P43，思考：什么是反证法？你以前学过反证法吗？任务2反证法证明问题的步骤是什么？值得注意的问题哪些？2．预习自测1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（）①结论相反的判断，即假设②原命题的条件③公理、定理、定义等④原结论A．①②B．①②④C．①②③D．②③答案：C【知识点：三角形内角和的性质，命题的否定，反证法】由反证法的定义可知应选C．2．如果两个实数之和为正数，则这两个数（）A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．两个都是非负数D．至少有一个是正数答案：D3．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，用反证法求证a>0，b>0，c>0时的假设为（）A．a<0，b<0，c>0B．a≤0，b>0，c>0C．a，b，c不全是正数D．abc<0答案：C4．否定“至多有两个解”的说法中，正确的是（）A．有一个解B．有两个解C．至少有两个解D．至少有三个解答案：D（二）课堂设计1．知识回顾著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”王戎的论述运用了什么推理思想？王戎的推理方法是:假设李子不苦,则因树在“道”边,李子早就被别人采摘而没有了,这与“多李”产生矛盾．所以假设不成立,李为苦李．2．问题探究问题探究一反证法的概念●活动一1．什么是反证法？引例：证明：在一个三角形中至少有一个角不小于60°．已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个不小于60°．∆的三个内角∠A，∠B，∠C都小于60°，证明：假设ABC则有∠A <60°，∠B < 60°，∠C <60°，∠A+∠B+∠C<180°这与三角形内角和等于180°相矛盾．所以假设不成立，所求证的结论成立．先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确．这种证明方法就是——反证法一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．反证法也称归谬法●活动二1．常用词语的反义词从上面的引例可以看出：用反证法证明问题时，都是得到一系列矛盾结果，会出现一些反义词，因此，同学们要注意常见词语的反义词，你知道哪些反义词呢？下面是一些常见反义词：问题探究二反证法的证题的基本步骤●活动一反证法的证明过程从前面的引例中你可以总结出反证法证明问题有哪些步骤？反证法的证明过程：否定结论——推出矛盾——肯定结论，即分三个步骤：反设—归谬—存真反设——假设命题的结论不成立；归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立．●活动二归谬矛盾的方法思考一下，归谬矛盾的方法有哪些？归谬矛盾主要有以下方法：（1）与已知条件矛盾．（2）与假设矛盾或自相矛盾．（3）与已有公理、定理、定义、事实矛盾．●活动三反证法证明问题的适用范围同学们知道用反证法证明问题的范围有哪些吗？是不是所有的问题反证法都适用？反证法证明问题的适用范围（1）否定性命题；（2）限定式命题；（3）无穷性命题；（4）逆命题；（5）某些存在性命题；（6）全称肯定性命题；（7）一些不等量命题的证明；（8）基本命题；（9）结论以“至多……”“至或少……”的形式出现的命题等．问题探究三反证法可以解决哪些问题？●活动一用反证法证明否(肯)定式命题例1 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．【知识点：函数的零点，命题的否定，反证法；数学思想：函数与方程】详解：假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)．而f(0)，f(1)均为奇数，即c 为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数．∴n，an＋b均为奇数．又a＋b为偶数，∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数，∴n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．∴f(x)＝0无整数根．点拔：（1）此题为否定形式的命题，直接证明很困难，可选用反证法．证题的关键是根据f(0)，f(1)均为奇数，分析出a，b，c的奇偶情况，并应用．（2）对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的．●活动二用反证法证明“唯一性”命题例2 若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断开，f(a)＜0，f(b)＞0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．【知识点：函数的零点，函数的单调性，命题的否定，反证法】详解：由于f(x)在[a，b]上的图象连续不断开，且f(a)＜0，f(b)＞0，即f(a)·f(b)＜0，所以f (x )在(a ，b )内至少存在一个零点，设零点为m ，则f (m )＝0，假设f (x )在(a ，b )内还存在另一个零点n ，且n ≠m ．，使f (n )＝0，若n ＞m ，则f (n )＞f (m )，即0＞0，矛盾；若n ＜m ，则f (n )＜f (m )，即0＜0，矛盾．因此假设不正确，即f (x )在(a ，b )内有且只有一个零点．点拔：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了．●活动三 用反证法证明“至多、至少”问题例3 已知x ，y ＞0，且x ＋y ＞2．求证：1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于2．【知识点：不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】详解： 假设1＋x y ，1＋y x 都不小于2，即1＋x y ≥2，1＋y x ≥2．∵x ＞0，y ＞0，∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x ．∴2＋x ＋y ≥2(x ＋y )．即x ＋y ≤2，这与已知x ＋y ＞2矛盾．∴1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于2．点拔：反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n 个/至多有(n 一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个等．例4 设二次函数2()f x x px q =++，求证：(1),(2),(3)f f f 中至少有一个不小于12． 【知识点：不等式的性质，绝对值不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】 详解：假设(1),(2),(3)f f f 都小于12，则 .2)3()2(2)1(<++f f f （1）另一方面，由绝对值不等式的性质，有2)39()24(2)1()3()2(2)1()3()2(2)1(=+++++-++=+-≥++q p q p q p f f f f f f （2）（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确．点拔：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行．议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况．试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？●活动四利用反证法证题时，假设错误而致误例5 已知a，b，c是互不相等的非零实数．求证：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a ＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．【错解】假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac<0，Δ2＝4c2－4ab<0，Δ3＝4a2－4bc<0，相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2<0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2<0，此不等式不能成立，所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．【知识点：方程的根，反证法】【错因分析】上面解法的错误在于认为“方程没有两个相异实根就有Δ<0”，事实上，方程没有两个相异实根时Δ≤0．【正解】假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0．相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，(*)由题意a，b，c互不相等，所以(*)式不能成立．所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．点拔：用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．3．课堂总结【知识梳理】(1)反证法：假设原命题的反面正确，根据已知条件及公理、定理、定义，按照严格的逻辑推理导出矛盾．从而说明假设不正确，得出原命题正确．(2)反证法是间接证明的一种方法，在证明否定性命题、唯一性命题和存在性命题时运用反证法比较简便．(3)反证法的基本步骤是：①反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果；③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定结论成立．【难点突破】用反证法证题时,应注意的事项:（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏．（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性．（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的．（4）反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个．（5）归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木．推理必须严谨．导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾．4．随堂检测1．用反证法证明“如果a＞b，那么3a＞3b”的假设内容应是（）A．3a＝3bB．3a＜3bC．3a≤3bD．3a≥3b答案：C【知识点：不等式的性质，绝对值不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】“大于”的对立面为“小于等于”，故应假设“3a ≤3b ”．2．否定“任何一个三角形的外角都至少有两个钝角”时正确的说法为（ ）A ．存在一个三角形，其外角最多有一个钝角B ．任何一个三角形的外角都没有两个钝角C ．没有一个三角形的外角有两个钝角D ．存在一个三角形，其外角有两个钝角答案：A【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】原命题的否定为：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角．3．用反证法证明命题：若a 、b 是实数，且|a －1|＋|b －1|＝0，则a ＝b ＝1时，应作的假设是________．答案：a ≠1或b ≠1．【知识点：命题的否定，反证法】∵“a ＝b ＝1”的否定为“a ≠1或b ≠1”，故应填a ≠1或b ≠1．4．证明方程2x ＝3有且仅有一个实根．【知识点：命题的否定，反证法】证明：∵2x ＝3，∴x ＝32，∴方程2x ＝3至少有一个实根．设x 1，x 2是方程2x ＝3的两个不同实根，则⎩⎨⎧2x 1＝3， ①2x 2＝3， ② 由①－②得2(x 1－x 2)＝0，∴x 1＝x 2，这与x 1≠x 2矛盾．故假设不正确，从而方程2x ＝3有且仅有一个实根．三、智能提升★基础型 自主突破1．(2013·海口高二检测)用反证法证明命题：三角形三个内角至少有一个不大于60°时，应假设（ ）A ．三个内角都不大于60°B ．三个内角都大于60°C ．三个内角至多有一个大于60°D ．三个内角至多有两个大于60°答案：B三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°，故B正确．2．实数a，b，c不全为0等价于（）A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0答案：D【知识点：命题的否定，反证法】实数a，b，c不全为0，即a，b，c至少有一个不为0，故应选D．3．(1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2．用反证法证明时，可假设p＋q≥2．(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1．以下结论正确的是（）A．(1)与(2)的假设都错误B．(1)与(2)的假设都正确C．(1)的假设正确；(2)的假设错误D．(1)的假设错误；(2)的假设正确答案：D【知识点：命题的否定，反证法】(1)的假设应为p＋q>2；(2)的假设正确．答案是D4．下列命题不适合用反证法证明的是（）A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线互相平分D．已知x，y∈R，且x＋y＞2，求证：x，y中至少有一个大于1答案：C【知识点：命题的否定，反证法】A中命题条件较少，不易正面证明；B中命题是否定性命题，其反设是显而易见的定理；D 中命题是至少性命题，其结论包含两种情况，而反设只有一种情况，适合用反证法证明．5．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的否定是_____________．答案：三角形中最少有两个内角是直角【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】“最多”的反面是“最少”，故本题的否定是：三角形中最少有两个内角是直角．能力型 师生共研1．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则三数a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c 中（ ）A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2答案：C【知识点：基本不等式，命题的否定，反证法】假设都大于－2，则1116a b c b c a+++++>-，又()112a a a a ⎡⎤+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦，同理12b b +≤-，12c c +≤-， 故1116a b c b c a+++++≤-，矛盾．即a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c 中至少有一个不大于－2,所以答案C ． 2．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a 、b 为实数)”，其反设为________． 答案：a 、b 不全为0【知识点：命题的否定，反证法】“a 、b 全为0”即“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a ≠0或b ≠0，3．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°．上述步骤的正确顺序为________．答案：③①②【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】4．甲乙丙三位同学中，有一位同学做了一件好事，这时候老师问他们三人，是谁做的？甲说："丙做的．”丙说：“不是我做的．”乙也说：“不是我做的．”如果知道他们三个人中，有两人说了假话，有一人说真话，你能判断出是谁做的吗？【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】解：每人讲的话中都有一句真话，一句假话．乙说：“我没有做这件事，丙也没有做这件事．”说明乙丙两人中有一人做了这件事，甲一定没做而甲说：“我没有做这件事，乙也没有做这件事．”前一句是真的，后一句一定是假的．所以，是乙做的这件好事！5．用反证法证明：无论m 取何值，关于x 的方程x 2－5x ＋m ＝0与2x 2＋x ＋6－m ＝0至少有一个有实数根．【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】解：假设存在实数m ，使得这两个方程都没有实数根，则⎩⎨⎧ Δ1＝25－4m ＜0，Δ2＝1－8(6－m )＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞254，m ＜478，无解．与假设存在实数m 矛盾．故无论m 取何值，两个方程中至少有一个方程有实数根．6．已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0，c ＞0．【知识点：不等式的证明，命题的否定，反证法】证明: 假设a ＜0，由abc ＞0得bc ＜0，由a ＋b ＋c ＞0，得b ＋c ＞－a ＞0，于是ab ＋bc ＋ca ＝a (b ＋c )＋bc ＜0，这与已知矛盾．又若a ＝0，则abc ＝0，与abc ＞0矛盾，故a ＞0，同理可证b ＞0，c ＞0．探究型 多维突破1．若x ，y ，z 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，则a ，b ，c 中是否至少有一个大于0？请说明理由．【知识点：推理与证明，实数非负性，命题的否定，反证法】解：假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0．而a ＋b ＋c ＝x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3，因为π－3>0，且无论x ，y ，z 为何实数，(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2≥0，所以a ＋b ＋c >0．这与假设a ＋b ＋c ≤0矛盾．因此，a，b，c中至少有一个大于0．2．如下图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长；(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．【知识点：线面垂直，面面垂直，异面直线，命题的否定，反证法】解：(1)如图，取CD的中点G，连接MG，NG，∵ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，∴MG⊥CD，MG＝2，NG＝2．∵平面ABCD⊥平面DCEF，∴MG⊥平面DCEF．∴MG⊥GN．∴MN＝MG2＋GN2＝6．(2)证明假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN∩平面DCEF＝EN．由已知，两正方形ABCD和DCEF不共面，故AB⊄平面DCEF．又AB∥CD，∴AB∥平面DCEF，∴EN∥AB，又AB∥CD∥EF．∴EF∥NE，这与EF∩EN＝E矛盾，故假设不成立．∴ME与BN不共面，它们是异面直线．（四）自助餐1．用反证法证明命题“若a，b∈N，ab可以被7整除，则a，b中至少有一个能被7整除”，其假设正确的是（）A．a，b都能被7整除B．a，b都不能被7整除C．a不能被7整除D．a，b中有一个不能被7整除答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】“至少有一个”的否定是“一个也没有”．所以选B．2．有下列叙述：①“a＞b”的反面是“a＜b”；②“x＝y”的反面是“x＞y或x＜y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形的内角中最多有一个钝角”的反面是“三角形的内角中没有钝角”，其中正确的叙述有（）A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】①错，应为a≤b．②对．③错，应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上．④错，应为三角形的内角中有2个或3个钝角．即选B．3．设正实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于（）A．1 3B．1 2C．3 4D．2 5答案：A【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】假设a，b，c中至少有一个数不小于x的反命题成立，即假设a，b，c都小于x，即a＜x，b＜x，c＜x，∴a＋b＋c＜3x．∵a＋b＋c＝1，∴3x＞1．∴x＞13，若取x＝13就会产生矛盾．故选A．4．下列命题错误的是（）A．三角形中至少有一个内角不小于60°B．四面体的三组对棱都是异面直线C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点D．设a、b∈Z，若a、b中至少有一个为奇数，则a＋b是奇数答案：D【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】a＋b为奇数⇔a、b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误．因此选D．5．已知α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，若a，b为异面直线，则（）A．a，b都与l相交B．a，b中至少有一条与l相交C．a，b中至多有一条与l相交D．a，b都不与l相交答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】逐一从假设选项成立入手分析，易得B是正确选项，故选B．6．以下各数不能构成等差数列的是（）A．3，4，5B．2，3， 5C．3，6，9D．2，2， 2答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】假设2，3，5成等差数列，则23＝2＋5，即12＝7＋210，此等式不成立，故2，3，5不成等差数列．7．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角【知识点：命题的否定，反证法】“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”．“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．8．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、b、c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．【知识点：函数的奇偶性，推理与证明，命题的否定，反证法】证明设f(x)＝0有一个整数根k，则ak2＋bk＝－c．①又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均为奇数，∴a＋b为偶数，当k为偶数时，显然与①式矛盾；当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x)＝0无整数根．9．如图，已知平面α∩平面β=直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a=A，c∥a．求证：b与c是异面直线．【知识点：线面平行，线线平行，推理与证明，命题的否定，反证法】证明：证明：假设b，c不是异面直线，则①b∥c；②b∩c＝B．①若b∥c，∵a∥c，∴a∥b，与a∩b＝A矛盾，∴b∥c不成立．②若b∩c＝B，∵c⊂β，∴B∈β．又A∈β，A∈b，∴b⊂β．又b⊂α，∴α∩β＝b．又α∩β＝a，∴a与b重合．这与a∩b＝A矛盾．∴b∩c＝B不成立．∴b与c是异面直线．10．若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．【知识点：判别式，不等式组的解法，命题的否定，反证法】解：设三个方程均无实根，则有⎩⎨⎧ Δ1＝16a 2－4(－4a ＋3)<0，Δ2＝(a －1)2－4a 2<0，Δ3＝4a 2－4(－2a )<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ －32<a <12，a <－1，或a >13，－2<a <0，所以－32<a <－1． 所以当a ≥－1，或a ≤－32时，三个方程至少有一个方程有实根．11．已知函数f (x )＝x 22x －2，如果数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝f (a n )，求证：当n ≥2时，恒有a n <3成立．【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】证明：法一(直接证法) 由a n ＋1＝f (a n )得a n ＋1＝a 2n 2a n －2， ∴1a n ＋1＝－2a 2n ＋2a n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －122＋12≤12， ∴a n ＋1<0或a n ＋1≥2；(1)若a n ＋1<0，则a n ＋1<0<3，∴结论“当n ≥2时，恒有a n <3”成立；(2)若a n ＋1≥2，则当n ≥2时，有a n ＋1－a n ＝a 2n 2a n －2－a n ＝－a 2n ＋2a n 2(a n －1)＝－a n (a n －2)2(a n －1)≤0， ∴a n ＋1≤a n ，即数列{a n }在n ≥2时单调递减；由a 2＝a 212a 1－2＝168－2＝83<3， 可知a n ≤a 2<3，在n ≥2时成立．综上，由(1)、(2)知：当n ≥2时，恒有a n <3成立．法二：(用反证法) 假设a n ≥3(n ≥2)，则由已知得a n ＋1＝f (a n )＝a 2n 2a n －2， ∴当n ≥2时，a n ＋1a n＝a n 2a n －2＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a n －1≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝34<1，(∵a n －1≥3－1)， 又易证a n >0，∴当n ≥2时，a n ＋1<a n ，∴当n >2时，a n <a n －1<…<a 2；而当n ＝2时，a 2＝a 212a 1－2＝168－2＝83<3，∴当n ≥2时，a n <3；这与假设矛盾，故假设不成立，∴当n≥2时，恒有a n<3成立．三、数学视野边际分析法是这一时期产生的一种经济分析方法，同时形成了经济学的边际效用学派，代表人物有瓦尔拉(L．Walras)、杰文斯(W．S．Jevons)、戈森(H．H．Gossen)、门格尔(C．Menger)、埃奇沃思(F．Y．Edgeworth)、马歇尔(A．Marshall)、费希尔(I．Fisher)、克拉克(J．B．Clark)以及庞巴维克(E．von Bohm-Bawerk)等人．边际效用学派对边际概念作出了解释和定义，当时瓦尔拉斯把边际效用叫做稀缺性，杰文斯把它叫做最后效用，但不管叫法如何，说的都是微积分中的“导数”和“偏导数”．西方经济学中,边际分析方法是最基本的分析方法之一,是一个比较科学的分析方法．西方边际分析方法的起源可追溯到马尔萨斯．他在1814年曾指出微分法对经济分析所可能具有的用途．1824年，汤普逊(W．Thompson)首次将微分法运用于经济分析，研究政府的商品和劳务采购获得最大利益的条件．功利主义创始人边沁(J．Bentham)在其最大快乐和最小痛苦为人生追求目标的信条中，首次采用最大和最小术语，并且提出了边际效应递减的原理．边际分析法是把追加的支出和追加的收入相比较，二者相等时为临界点，也就是投入的资金所得到的利益与输出损失相等时的点．如果组织的目标是取得最大利润，那么当追加的收入和追加的支出相等时，这一目标就能达到．边际分析法的数学原理很简单．对于离散discrete情形，边际值marginal value为因变量变化量与自变量变化量的比值；对于连续continuous情形，边际值marginal value为因变量关于某自变量的导数值．所以边际的含义本身就是因变量关于自变量的变化率，或者说是自变量变化一个单位时因变量的改变量．在经济管理研究中，经常考虑的边际量有边际收入MR、边际成本MC、边际产量MP、边际利润MB等．。
高中数学《反证法》教案(北师大版选修
高中数学《反证法》教案(北师大版选修)一、教学目标1.理解并掌握反证法的基本概念和应用方法；2.能够熟练运用反证法解决数学问题；3.培养学生逻辑思维和推理能力；4.培养学生批判性思维和解决问题的能力。
二、教学重点和难点2.1 教学重点1.反证法的基本概念和原理；2.反证法的应用方法；3.反证法解决数学问题的实例。
2.2 教学难点1.理解和掌握反证法的原理；2.运用反证法解决复杂的数学问题。
三、教学内容和教学步骤3.1 反证法的基本概念反证法是一种利用逻辑推理的方法，通过假设命题的否定，推导出与已知条件或已有结论相矛盾的结论，从而证明原命题的方法。
3.2 反证法的原理反证法的原理是：如果假设命题的否定，能够推导出与已知条件或已有结论相矛盾的结论，则原命题成立。
3.3 反证法的应用方法1.假设命题的否定；2.推导出与已知条件或已有结论相矛盾的结论；3.得出原命题成立的结论。
3.4 反证法解决数学问题的实例示例1：证明根号2是无理数。
解：假设根号2是有理数，即可以表示为p/q（其中p和q互质）。
根据根号2的定义，有（p/q）^2 = 2，即p^2 = 2q^2。
根据整数的奇偶性，可知p为偶数，表示为p = 2m。
代入上述等式，得到(2m)^2 = 2q2，即4m2 = 2q2，简化得到2m2 = q^2。
根据整数的奇偶性，可知q也为偶数，与p、q互质的前提相矛盾。
所以根号2是无理数。
四、教学方法和学时安排4.1 教学方法1.讲解法：通过简洁明了的语言讲解反证法的概念、原理和应用方法；2.实例法：通过实际例子演示反证法的具体应用；3.讨论法：引导学生讨论反证法在数学问题中的应用。
4.2 学时安排本教案预计用时2课时，具体安排如下：第一课时： - 介绍反证法的基本概念和原理（20分钟） - 示例1的讲解和演示（15分钟） - 学生讨论与思考（15分钟）第二课时：- 复习上节课的内容（10分钟）- 示例2的讲解和演示（15分钟）- 学生讨论与思考（20分钟）五、教学评估5.1 自我评估教师可以通过观察学生的学习情况、听取他们的问题和解答，来进行自我评估。
反证法
C
假设所求证的结论不成立，即 ∠A＿＿60°， ∠B＿＿60°，∠C＿＿60° ＜ ＜ ＜
则
∠A＋∠B＋∠C
＜ 180°
这于＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿矛盾 三角形三个内角的和等于180° 不成立 所以假设＿＿＿＿＿＿， 所以，所求证的结论成立． B C A
三 检测提升
2 、已知a,b,c为实数， a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0, 求证：a>0,b>0,c>0.
证
明
因为x>0.y>0,所以1+x≥2y, 把这两个不等式相加， 得2+x+y ≥2(x+y),从而x+y≤2. 这与已知条件x+y>2矛盾. 因此，
且1+y ≥2x.
1 x 1 y都不小于2是不可能的 , y x
即原命题成立
三 检测提升
1 用反证法证明： 在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于60°. 已知：如图， ∠A，∠B，∠C是△ABC的 内角， A 求证： ∠A，∠B，∠C中至少 有一个角大于或等于60度. B
根据原命题与逆否命题同真同假， 原命题：若p则q 逆否命题：若非q则非p
通过证明一个命题逆否命题的正确，从而肯定原命题的 真实。
例一
已知y 0, 且x y 2. 已知x＞0，y＞0，且x+y＞2. 1 x 1 y 试证： , 中至少有一个小于2. y x
分析：
要证的结论和条件之间的联系不明 显，如果从正面证明，需要对某个分式 小于2或两个分式都小于2等进行分类讨 论，从反面证明只要证明两个分式都不 小于2是不可能的即可.
高中数学选修～课件第三章§反证法
推理不严谨，结论不成立
推理过程中存在漏洞
在使用反证法时，需要确保推理过程的严谨性。如果推理过程中存在漏洞，就可 能导致结论不成立。
未能正确运用逻辑规则
在反证法中，需要正确运用逻辑规则进行推理。如果未能正确运用逻辑规则，就 可能导致推理结果出现错误。
05 练习题与拓展思考
针对性练习题
证明
若$a,b,c in mathbb{R}$，且$a=b+c$，则$a,b,c$中至少有一个数不小于$frac{a}{3}$ 。
错误地否定原命题
在反证法中，需要假设原命题的否定 形式成立，然后进行推理。如果错误 地否定了原命题，就会导致推理方向 偏离正确轨道。
未能找到矛盾点或突破口
对已知条件理解不足
在使用反证法时，需要充分利用已知条件进行推理。如果对 已知条件理解不足，就可能无法找到矛盾点或突破口。
缺乏解题经验
对于一些较为复杂的题目，需要具备一定的解题经验才能找 到矛盾点或突破口。如果缺乏解题经验，就可能无法有效地 运用反证法。
假设$x,y$都不大于$1$，即$x leq 1, y leq 1$，则$x+y leq 2$，与已知条件 $x+y>2$矛盾，故假设不成立，原命题成立。
答案及解析
• 假设在这$99$个数中，任意三个数的和都不是$3$的倍数。 考虑这$99$个数除以$3$的余数，只能为$0,1,2$。由于 $99$个数中任意三个数的和都不是$3$的倍数，故余数为 $0,1,2$的数应各出现$33$次。但在这$99$个连续自然数中 ，必有一个数能被$3$整除，即余数为$0$的数至少有$34$ 个，与假设矛盾，故原命题成立。
高中数学选修～课件 第三章§反证法
汇报人：XX 20XX-01-30
人教版数学高二A版选修4-5学案反证法
课堂导学三点剖析一,熟悉反证法证明不等式的步骤【例1】 设f(x)、g(x)是定义在［0,1］上的函数，求证:存在x 0、y 0∈［0,1］，使|x 0y 0-f(x 0)-g(y 0)|≥41. 证明:用反证法.假设对［0,1］内的任意实数x,y 均有|xy-f(x)-g(y)|<41，考虑对x,y 在［0,1］内取特殊值: (1)取x=0,y=0时，有|0×0-f(0)-g(0)|<41,∴|f(0)+g(0)|<41; (2)取x=1,y=0时，有|1×0-f(1)-g(0)|<41,∴|f(1)+g(0)|<41; (3)取x=0,y=1时，有|0×1-f(0)-g(1)|<41,∴|f(0)+g(1)|<41; (4)取x=1,y=1时，有|1×1-f(1)-g(1)|<41,∴|1-f(1)-g(1)|<41. ∵1=1-f(1)-g(1)+f(0)+g(1)+f(1)+g(0)-f(0)-g(0),∴1≤|1-f(1)-g(1)|+|f(0)+g(1)|+|f(1)+g(0)|+|f(0)+g(0)|<41+41+41+41=1. ∴1<1，矛盾，说明假设不能成立.故要证结论成立.各个击破类题演练1求证:如果a>b>0，那么n n b a >(n ∈N 且n>1).证明:假设n a 不大于n b 有两种情况:n n b a <或者n n b a =.由推论2和定理1，当n n b a <时，有a<b;当n n b a =时，有a=b ，这些都与已知a>b>0矛盾，所以n n b a >. 变式提升1求证:如果a>b>0,那么21a <21b . 证明:假设21a ≥21b, 则21a -21b =2222b a a b -≥0. ∵a>b>0,∴a 2b 2>0.∴b 2-a 2=(b+a)(b-a)≥0.∵a>b>0,∴b+a>0.∴b-a≥0,即b≥a.这与已知a>b 矛盾. ∴假设不成立，原结论21a <21b 成立. 二、什么时候用反证法证明不等式【例2】 设0<a 、b 、c<1,求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 三个数不可能同时大于41. 思路分析:此命题为否定式，直接证明比较困难，可以考虑反证法.假设命题不成立，则三个数都大于41，然后从这个结论出发，推出与题设矛盾的结果来. 证明:假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 三个数都大于41, 即(1-a)b>41,(1-b)c>41,(1-c)a>41. 以上三式相乘得(1-a)b5(1-b)c5(1-c)a>641, 亦即(1-a)a5(1-b)b5(1-c)c>641.① 又∵0<a<1,∴0<(1-a)a≤［2)1(a a +-］2=41. 同理,0<(1-b)b≤41,0<(1-c)c≤41. 以上三式相乘得(1-a)a·(1-b)b·(1-c)c≤641,与①矛盾. ∴假设不成立，故命题获证.类题演练2已知x>0,y>0,且x+y>2,求证:xy +1与y x +1中至少有一个小于2. 证明:假设x y +1、y x +1都不小于2，则xy +1≥2,y x +1≥2. ∵x>0,y>0,∴1+y≥2x,1+x≥2y,2+x+y≥2(x+y).∴x+y≤2，这与已知x+y>2矛盾.故假设不成立，原题得证.变式提升2设a,b,c 均为正数且a+b+c=1,求证:a 2+b 2+c 2≥31. 证明:∵ab≤222b a +,bc≤222c b +,ca≤222a c +, 三式相加得ab+bc+ca≤a 2+b 2+c 2.假设a 2+b 2+c 2<31,由1=a+b+c, ∴1=(a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2(ab+bc+ca)≤a 2+b 2+c 2+2(a 2+b 2+c 2)=3(a 2+b 2+c 2)<3×31=1,即1<1,显然不成立.三、体会反证法证明不等式的优越性【例3】 若△ABC 三边a,b,c 的倒数成等差数列,则∠B<2π. 证明:假设∠B≥2π,则b 边最大,有b>a,b>c. ∴a 1>b 1,c 1>b1. 两式相加得a 1+c 1>b2, 这与题设a 1+c 1=b2相矛盾. 因此,假设是错误的,∴∠B<2π. 温馨提示证明过程就那么简单,推出矛盾也这般容易!用反证法证明不等式思路清清爽爽,有化难为易的功效.类题演练3若|a|<1,|b|<1,求证:|ab b a ++1|<1. 证明:假设|abb a ++1|≥1,则|a+b|≥|1+ab|. ∴a 2+b 2+2ab≥1+2ab+a 2b 2.∴a 2+b 2-a 2b 2-1≥0.∴a 2-1-b 2(a 2-1)≥0.∴(a 2-1)(1-b 2)≥0.∴⎪⎩⎪⎨⎧≥≤⎪⎩⎪⎨⎧≤≥⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-1,11,1.01,01010122222222b a b a b a b a 或即或 即a 2≥1,b 2≤1或a 2≤1,b 2≥1,与已知矛盾.∴|abb a ++1|<1. 变式提升3 已知f(x)=x 2+px+q,求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于21. 证明:用反证法.假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于21,则 |f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2,而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥|f(1)+f(3)-2f(2)|=|(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)|=2,相互矛盾.∴|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于21.。
人教版高中选修(B版)2-22.2.2反证法课程设计
人教版高中选修(B版)2-22.2.2反证法课程设计一、课程背景反证法是高中数学中的重要证明方法之一，它既常见于初中数学，也在高中数学中经常使用。
而本次课程设计是为了让学生更加深入地理解反证法，并能够熟练地运用反证法解决复杂问题。
二、课程目标通过本课程的学习，学生将达到以下目标：1.掌握反证法的基本思想和证明过程；2.熟悉反证法的常用应用场景；3.能够用反证法解决实际问题。
三、教学方法本次课程设计采用以下教学方法：1.讲授法：通过讲解反证法的概念、基本思想和证明过程等内容，让学生了解反证法的定义和运用；2.练习法：通过大量的练习题，让学生熟悉反证法的常用应用场景和证明方法；3.探究法：通过引导学生自主发现反证法的应用，探究反证法的灵活运用。
四、教学内容和进度安排第一课时主要内容：反证法的定义和基本思想。
•反证法的概念和基本思想；•通过例题介绍反证法的思路。
教学目标：学生了解反证法的基本概念和基本思想，具备初步的反证法推理能力。
教学时长： 1学时。
第二课时主要内容：反证法的证明过程。
•反证法的证明过程；•通过例题演示反证法的证明方法。
教学目标：学生熟悉反证法的证明过程，掌握反证法证明的基本技巧。
教学时长： 1学时。
第三课时主要内容：反证法在数学证明中的应用。
•反证法在一元二次方程中的应用；•反证法在三角形中的应用。
教学目标：学生掌握反证法在数学证明中的应用，熟悉反证法的运用场景。
教学时长： 1学时。
第四课时主要内容：反证法在实际问题中的运用。
•反证法在实际问题中的应用；•通过例题演示反证法在实际问题中的应用。
教学目标：学生掌握反证法在实际问题中的应用，能够用反证法解决实际问题。
教学时长： 1学时。
五、教学评估本次课程设计采取以下方式进行教学评估：•平时作业：通过布置一定数量的反证法练习题，检测学生对反证法的掌握程度；•课堂练习：通过课堂讲解和练习，检测学生的学习效果；•期末考试：通过综合的期末考试，检测学生对反证法的综合运用能力。
人教课标版高中数学选修4-5：《反证法与放缩法》教案-新版
2.3 课时7 反证法与放缩法一、教学目标（一）核心素养通过对反证法与放缩法的学习，体会数学证明的基本思想及逻辑思路.（二）学习目标1.通过实例，体会反证法的含义、过程与方法，了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题.2.感受在什么情况下，需要用放缩法证明不等式.探索用放缩法证明不等式的理论依据和技巧. （三）学习重点体会反证法和放缩法证明命题的思路方法，会用反证法证明简单的命题.（四）学习难点会用反证法证明简单的命题，体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材第26页至第29页，思考：什么是反证法？什么是放缩法？（2）想一想：使用两种方法证明时的步骤和注意事项有哪些？2.预习自测（1）使用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60︒”时，第一步应假设成立的结论是（）A.三角形中的内角都不小于60︒B.三角形中的内角都小于60︒C.三角形中的内角都不大于60︒D.三角形中的内角都大于60︒【知识点】反证法【解题过程】“三角形中至少有一个内角不小于60︒”时，第一步应假设成立的结论是三角形中的内角都小于60︒【思路点拨】“至少有一个”的否定是“一个都没有”【答案】B（2)在求证“数列()A.分析法B.综合法C.反证法D.直接法【知识点】反证法【解题过程】若是等比数列，则25即3=10，显然不成立，则原命题成立.【思路点拨】命题中有“不”等字样的证明常用反证法 【答案】C（3）用反证法证明命题“如果a b >>”时，假设的内容是( )= <=< =<【知识点】反证法≤，即=<.【思路点拨】“大于”的否定是“小于或等于” 【答案】D（4）使用放缩法证明不等式时，要注意不等号的方向，即放大还是缩小，如对于分子分母均取正值的分式，如果分子不变，分母缩小（分母仍为正数），则分式的值 . 【知识点】放缩法【解题过程】分子不变，分母缩小（分母仍为正数），分式的值变大 【思路点拨】不等式的性质 【答案】放大 (二)课堂设计 1.知识回顾（1）证明不等式有比较法、综合法、分析法.（2）综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式.（3）分析法是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中. 2.问题探究 探究一 反证法 ●活动① 反证法的定义前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法.也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立.例如，对于性质（3）“如果a b >，那么a c b c +>+”，我们可以这样来证明：由a b >得0a b ->，于是()()0a c b c a b +-+=->，所以a c b c +>+.但对于性质（6）“如果0a b >>,2)n N n >∈≥”，我们很难从条件和已有事实直接推证出结论.这时可以采用如下方法：>=<.=那么a b =；<，那么由性质5有a b <.这些都与0a b >>矛盾.于是，>.像这样的方法，即先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法.对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明. 【设计意图】初步了解反证法. ●活动② 反证法的使用步骤对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明.使用反证法证明问题时，主要有以下几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步 作出与所证不等式相反的假定（反设）；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果（归谬）；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立（结论）. 反证法经常用于证明否定性命题(结论中出现“不存在”“不可能”等字眼)、唯一性命题、结论中出现“至多”“至少”的命题、结论中出现“都是”“都不是”的命题、证明方法上直接证明较困难或在证明方向上从结论的反面着手较容易的命题. 用反证法证明不等式必须把握以下几点：①必须否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种情况，缺少任何一种可能的情况，反证法都是不完整的；②反证法必须从否定的结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理论证.否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；③推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知的事实相违背等.推导出的矛盾必须是明显的；④在使用反证法时，“否定结论”在推理论证中往往作为已知使用，可视为已知条件. 反证法中的数学语言.反证法适宜证明存在性问题、唯一性问题、带有“至少有一个”“至多有一个”等字样的问题，或者说“正难则反”，直接证明有困难时，常采用反证法，下面我们列举一些常见的涉及反证法的文字语言及与其相对应的否定假设.【设计意图】掌握反证法的步骤及注意事项. ●活动③ 反证法的应用例1 设233=+b a ，求证.2≤+b a 【知识点】反证法【解题过程】证明：假设2>+b a ，则有b a ->2，从而.2)1(68126,61282233323+-=+->+-+->b b b b a b b b a 因为22)1(62≥+-b ，所以233>+b a ，这与题设条件233=+b a 矛盾，所以，原不等式2≤+b a 成立【思路点拨】用反证法结合不等式性质 【答案】见解析同类训练 已知0a b c ++>，0ab bc ca ++>，0abc >，求证：,,0a b c >. 【知识点】反证法【解题过程】证明：假设0a <，∵0abc >，∴0bc <.又由0a b c ++>, 则b c a +>- > 0，∴()0ab bc ca a b c bc ++=++<与题设矛盾.又假设若0a =，则与0abc >矛盾，∴0a >.同理可证：0b >，0c >. 【思路点拨】直接证明较困难，用反证法 【答案】见解析例2 设二次函数q px x x f ++=2)(，求证：)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一个不小于21. 【知识点】反证法【解题过程】证明：假设)3(,)2(,)1(f f f 都小于21，则.2)3()2(2)1(<++f f f 另一方面，由绝对值不等式的性质，有2)39()24(2)1()3()2(2)1()3()2(2)1(=+++++-++=+-≥++q p q p q p f f f f f f 上两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确.【思路点拨】直接证明较困难，“少有一个”的问题的证明常用反证法 【答案】见解析同类训练 设0,,1a b c <<，求证：(1)a b -，(1)b c -，(1)c a -不可能同时大于41. 【知识点】反证法【解题过程】证明：(1)a b -，(1)b c -，(1)c a -同时大于41，即假设 111(1),(1),(1)444a b b c c a ->->->,则三式相乘：1(1)(1)(1)64a b b c c a --->，即 1[(1)][(1)][(1)]64a a b b c c -⋅-⋅->，又∵0,,1a b c <<，∴412)1()1(02=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≤-<a a a a 同理：41)1(≤-b b ，41)1(≤-c c ，以上三式相乘： 1[(1)][(1)][(1)]64a ab bc c -⋅-⋅-≤ 上两式矛盾，∴原式成立，即(1)a b -，(1)b c -，(1)c a -不可能同时大于41.【思路点拨】直接证明较困难，“不可能”的问题的证明常用反证法.注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行.思考：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况.试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？ 【答案】见解析【设计意图】通过例题的练习，熟悉并掌握反证法证明不等式. 探究二 放缩法 ●活动① 放缩法的定义所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法.这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛. 【设计意图】了解放缩法的含义. ●活动② 理解放缩法 放缩法的主要理论依据.①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量； ③同分子(分母)、异分母(分子)的两个分式大小的比较；④基本不等式与绝对值不等式的基本性质；⑤三角函数的有界性等. 使用放缩法的主要方法.放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往从要证明的结论考虑.常用的放缩法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等.对不等式而言，放缩的本质是“不等式的加强”，常见的放缩有下面四种类型： ①直接放缩；②裂项放缩；③利用数列或函数的单调性放缩；④利用基本不等式放缩. 常见的放缩方式有以下几类： （1）21111(1)1k k k k k >=-++；*21111(2,)(1)1k k k k k k k <=-≥∈--N（2=>=-；2)k =<=≥（3）2()(0,0)4a b a b ab a b ++≥≤>>（4）121222113211-=⋅⋅⋅⋅<⨯⨯⨯⨯k k ；（5）1112n n k n<<+ （6）糖水不等式：(0,0)b b ma b m a a m+<>>>+【设计意图】掌握常见的放缩方式. ●活动③ 放缩法的应用 例3 若n 是自然数，求证.213121112222<++++n【知识点】放缩法【数学思想】化归与转化思想 【解题过程】证明：.,,4,3,2,111)1(112n k kk k k k=--=-< ∴nn n ⋅-++⋅+⋅+<++++)1(13212111113121112222 =)111()3121()2111(11n n --++-+-+ =.212<-n【思路点拨】常见放缩*21111(2,)(1)1k k N k k k k k<=-≥∈--注意：实际上，我们在证明213121112222<++++n 的过程中，已经得到一个更强的结论nn 1213121112222-<++++ ，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想. 【答案】见解析同类训练 若n 是自然数，求证222211117.1234n ++++< 【知识点】放缩法【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证明 因为2211111()(2)1211n n n n n <=-≥--+， 左边1111111+[(1)+()++()]232411n n <----+11111171+(1+)1(1)221224n n =--<++=+；当1n =时，714<显然成立【思路点拨】将通项放缩成列项求和模型，注意保留第一项从第二项开始放缩 【答案】见解析例4 求证：.332113211211111<⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯++n【知识点】放缩法【数学思想】化归与转化思想 【解题过程】 证明：由,212221132111-=⋅⋅⋅⋅<⨯⨯⨯⨯k k （k 是大于2的自然数），得n ⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯++ 32113211211111.3213211211121212121111132<-=--+=++++++<--n n n 【思路点拨】将通项放缩成等比数列模型在求和 【答案】见解析同类训练 若,,a b c ∈R ，求证：21<+++++++++++<ca d db dc c a c b bd b a a .【知识点】放缩法【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证明：记m =ca d db dc c a c b bd b a a +++++++++++ ∵,,a b c ∈R ∴1=+++++++++++++++>c b a d db a dc c a c b a bd c b a a m2=+++++++<cd d d c c b a b b a a m ，∴12m <<，即原式成立.【思路点拨】将分母放缩成相同才能化简 【答案】见解析【设计意图】通过对例题的学习，进一步理解放缩法. 3.课堂总结 知识梳理（1）利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤： 第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立. （2）常用的两种放缩技巧：对于分子分母均取正值的分式，（Ⅰ）如果分子不变，分母缩小（分母仍为正数），则分式的值放大； （Ⅱ）如果分子不变，分母放大，则分式的值缩小. 重难点归纳（1）体会反证法证明命题的思路方法，会用反证法证明简单的命题. （2）体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”. （三）课后作业基础型自主突破1.实数,,a b c不全为0的等价命题为()A.,,a b c均不为0 B.,,a b c中至多有一个为0C.,,a b c中至少有一个为0 D.,,a b c中至少有一个不为0【知识点】命题的等价性【解题过程】实数,,a b c不全为0就是,,a b c中至少有一个不为0【思路点拨】“不全”就是“至少一个”【答案】D2.用反证法证明：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a++=≠有有理根，那么,,a b c中至少有一个偶数，下列假设中正确的是()A.假设,,a b c都是偶数 B.假设,,a b c都不是偶数C.假设,,a b c至多有一个偶数 D.假设,,a b c至多有两个偶数【知识点】反证法【解题过程】假设,,a b c都不是偶数【思路点拨】“至少有一个是”的否定是“一个也不是”【答案】B3.设,,x y z都是正实数，1a xy=+，1b yz=+，1c zx=+，则,,a b c三个数()A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于2 【知识点】反证法【解题过程】因为111()()()22+2=6a b c x y zx y z++=+++++≥+，当且仅当1x y z===时等号成立，所以,,a b c三者中至少有一个不小于2. 【思路点拨】基本不等式模型【答案】C4.若不等式220x ax a -+≥对一切实数x ∈R 恒成立，则关于t 的一元二次不等式2230at t +->的解集为( )A.(3,1)-B.(,3)(1,)-∞-⋃+∞C.∅D.(0,1) 【知识点】恒成立问题；解不等式【解题过程】不等式220x ax a -+≥对一切实数R x ∈恒成立，则2440a a ∆=-=，即1a =或0a =（舍去），所以不等式2230at t +->转化2230t t +->，解得3t <-或1t >. 【思路点拨】一元二次不等式在R x ∈上恒成立只用考虑开口和Δ. 【答案】B5.某同学准备用反证法证明如下一个问题，函数()f x 在[0,1]上有意义，且(0)(1)f f =，如果对于不同的12,[0,1]x x ∈，都有1212|()()|||f x f x x x -<-，求证：121|()()|2f x f x -<，那么它的假设应该是 . 【知识点】反证法【解题过程】假设121|()()|2f x f x -≥【思路点拨】小于的否定是大于或等于 【答案】假设121|()()|2f x f x -≥6．lg 9lg11⋅与1的大小关系是________. 【知识点】放缩法【数学思想】化归与转化思想 【解题过程】因为22lg 9lg11lg 99lg 9lg11()()122+⋅<=<，所以lg 9lg111⋅< 【思路点拨】同底对数相加才可用性质化简，和积结构转化用基本不等式 【答案】lg 9lg111⋅< 能力型 师生共研7.设,,a b c 均为正数，,,P a b c Q b c a R c a b =+-=+-=+-，则“0PQR >”是“,,P Q R 同时大于零”的________条件.【知识点】充分必要条件；反证法【解题过程】必要性是显然成立的；当0PQR >时，若,,P Q R 不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设0,0,0P Q R ><<，则20Q R c +=<，这与0c >矛盾，即充分性也成立. 【思路点拨】直接做较困难，用反证法 【答案】充要9.若0,0a b >>满足1ab a b ≥++ ，那么( )A.a b +有最小值2+B.a b +有最大值2+C.ab 1+D.ab 有最小值2+ 【知识点】放缩法；基本不等式 【数学思想】化归与转化思想【解题过程】2()14a b a b ab +++≤≤，所以2()4()40a b a b +-+-≥，解得2a b +≤-2a b +≥+1ab a b a b =++⎧⎨=⎩，即1a b ==+等号.【思路点拨】用基本不等式实现和积结构转换 【答案】A 探究型 多维突破9.设,,,x y z t 满足1100x y z t ≤≤≤≤≤，则x zy t+的最小值为________. 【知识点】放缩法；不等式的基本性质；基本不等式【解题过程】因为11x y y z ≥≥，且100z zt ≥，所以111005x z z y t z +≥+≥=，当且仅当1,10,100x y z t ====时，等号成立. 【思路点拨】通过放缩消元求最值【答案】1510.设0,0a b >>，且11a b a b+=+.证明： (1)2a b +≥；(2)22a a +<与22b b +<不可能同时成立.【知识点】反证法【解题过程】证明：由11a ba b a b ab++=+=，0,0a b >>，得1ab =.(1)由基本不等式及1ab =，有2a b +≥=，即2a b +≥.(2)假设22a a +<与22b b +<不可能同时成立，则由22a a +<及0a >得01a <<；同理，01a <<，从而1ab <，这与1ab =矛盾.故22a a +<与22b b +<不可能同时成立. 【思路点拨】基本不等式化简 【答案】见解析 自助餐 11.设1010101111112212221M =++++++-，则( ) A.1M = B.1M < C.1M > D.M 与1大小关系不定 【知识点】放缩法【解题过程】111010101011101010101011111111221221222122222M -=++++<++++==++- 【思路点拨】放缩成相同分母化简可证 【答案】B12.1A n=+++与*)n N ∈的大小关系为 . 【知识点】放缩法【解题过程】*n ∈N ，当1n =时，1A ==； 当2n ≥时，1121321A n n n =+++>+++++++-11n =++-=综上可知，A ≥.2)k >=-≥【答案】A ≥.13.用反证法证明命题：“已知,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是( )A.方程20x ax b ++=没有实根.B.方程20x ax b ++=至多有一个实根.C.方程20x ax b ++=至多有两个实根D.方程20x ax b ++=恰好有两个实根. 【知识点】反证法【解题过程】假设方程20x ax b ++=没有实根【思路点拨】本题考查了反证法，从问题的反面出发进行假设.一元二次方程根的个数为0，1，2.因此至少有一个实根包含1根或两根，它的反面为0根. 【答案】A14.已知,0x y >，且2x y +>.求证：11,x yy x++中至少有一个小于2. 【知识点】反证法 【解题过程】证明：假设112,2x yy x++≥≥，则12,12x y y x +≥+≥ 两式相加，得22()x y x y ++≥+，即2x y +≤，与题设矛盾. 所以11,x yy x++中至少有一个小于2. 【思路点拨】“至少有一个”问题的证明用反证法 【答案】见解析15.若数列{}n x 的通项公式为1n nx n =+，求证：13521n x x x x -<【知识点】放缩法【数学思想】化归与转化思想=， 13521132113211242352121n n n x x x x n n n ---=⨯⨯⨯<⨯⨯⨯=++. 所以13521n x x x x -<【思路点拨】213211133212112342121321()24222442223452213521n n n n n n n n n n n n -----⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯<⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯++【答案】见解析16.数列{}n a 的通项公式4(1)n a n n =+. 求证：对一切正整数n ，有1231111211117n a a a a ++++<----. 【知识点】放缩法；分析法 【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证明：所证明的不等式为211112723474417n n +++<+-. 首先证明21211()(2)44171n n n n n <-≥+-+. 只要证221244177n n n n<+-+，只要证2277882n n n n +<+-，只要证220n n +->， 只要证(2)(1)0n n +->，当2n ≥时，此式显然成立，所以21211()(2)44171n n n n n <-≥+-+. ∴当2n ≥时，2111112111111212()72347441772334177(1)7n n n n n +++<+-+-++-=-<+-++. 【思路点拨】放缩成列项求和模型 【答案】见解析。
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2.2.2 反证法
教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.
教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.
教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.
教学过程：
一、复习准备：
1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）
2. 提出问题：平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A、B、C 不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？
则O在AB的中垂线l上，O又在B C的中垂线m上，
即O是l与m的交点。
但∵A、B、C共线，∴l∥m(矛盾)
∴过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆.
二、讲授新课：
1. 教学反证法概念及步骤：
①练习：仿照以上方法，证明：如果a>b>0，那么b
a>
②提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.
证明基本步骤：假设原命题的结论不成立→从假设出发，经推理论证得到矛盾→矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立
应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.
方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.
注：结合准备题分析以上知识.
2. 教学例题：
①出示例1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
分析：如何否定结论？→如何从假设出发进行推理？→得到怎样的矛盾？
与教材不同的证法：反设AB、CD被P平分，∵P不是圆心，连结O P，
则由垂径定理：O P⊥AB，O P⊥CD，则过P有两条直线与OP垂直（矛盾），∴不被P
平分.
② 出示例2：. （ 同上分析 → 板演证明，提示：有理数可表示为/m n ）
/m n （m ,n 为互质正整数），
从而：2(/)3m n =，223m n =，可见m 是3的倍数.
设m =3p （p 是正整数），则 22239n m p ==，可见n 也是3的倍数.
这样，m , n 就不是互质的正整数（矛盾）. /m n .
③ 练习：如果1a +为无理数，求证a 是无理数.
提示：假设a 为有理数，则a 可表示为/p q （,p q 为整数），即/a p q =.
由1()/a p q q +=+，则1a +也是有理数，这与已知矛盾. ∴ a 是无理数.
3. 小结：反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确. 注意证明步骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题）
三、巩固练习： 1. 练习：教材P 54 1、2题 2. 作业：教材P 54 A 组3题.。